Конечные полугруппы богатые подполугруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

■тз ОД • в о мг/1

Бобрикова Людмила Николаевна

Конечные полугруппы богатые подполугруппами

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Российском государственном педагогическом университете им. А. И. Герцена.

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки, доктор физ.-мат. наук, профессор, Е. С. Ляпин.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор И. С. Понизовский;

доктор физ.-мат. наук С. И. Кублановский.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет.

Защита состоится 'г*^" . 2000 года в часов на заседании

диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проходить по адресу: г. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан " ___ . года.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-

математических наук Р. А. Шмидт

ОЛ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При изучении алгебраических систем важным является рассмотрение совокупности ее подсистем. Настоящая работа посвящена изучению системы подполугрупп конечных полугрупп. Большой интерес при рассмотрении такой системы представляет ее количественная характеристика.

Множество подполугрупп бесконечной полугруппы, очевидно, бесконечно. В классе всех конечных полугрупп для любого натурального к существует полугруппа, у которой количество подполгрупп равно к. Однако, в классе n-элементных полугрупп (при фиксированном п > 3) не для всякого к < 2" существует га-элементная полугруппа, у которой количество подполугрупп равно к. Задача о выяснении всех таких чисел к в общем случае в настоящее время не представляется полностью разрешимой.

В настоящей работе рассматриваются конечные полугруппы относительно более "богатые" системой своих подполугрупп (полугруппы у которой количество подполугрупп больше 3/4 от числа всех подмножеств, такие полугруппы будем называть богатыми подполугруппами или просто богатыми). Для класса полугрупп, состоящих из п элементов, полностью выясняется для каких к > |2" существует п-элеметная полугруппа обладающая точно к подполугруппами.

В работе описано строение n-элеметных богатых полугрупп, а так же выявлен ряд свойств, которыми обладают эти полугруппы. При выяснении строения указанных полугрупп оказалось, что они являются эксклюзивными. (Полугруппа 5 называется эксклюзивной, если для любых а, Ь, с 6 S, abc = ab, Ьс или ас.) Задача описания строения эксклюзивных полугрупп была поставлена впервые Б.М. Шай-ном (см., напр. Свердловская тетрадь. Нерешенные вопросы теории полугрупп. 1979 г., Задача 1.44). Изучением таких полугрупп занимались T.Tamuta, L.O'Corrol и Б.Шайн, M.Jamada.

В ряде работ система подполугрупп полугруппы (с добавленным пустым множеством) рассматривается с точки зрения отношения включения. В том случае она, очевидно, является решеткой. Изучение связей между свойствами полугруппы и решеткой ее подоплугрупп в настоящее время составляет одну из обширных областей исследования в теории полугрупп. Оказалось, что рассмотрение количественной характеристики совокупности подполугрупп конечных полугрупп позволяет решить некоторые вопросы из теории решеток подполугрупп.

Цель работы заключается в выявлении существования богатых n-элементных полугрупп с данным числом подполугрупп, изучении их строения и свойств.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В качестве методов исследования используются некоторые понятия и свойства множеств, а также понятия и свойства известные из теории полугрупп и конструкции вводимые в настоящей работе.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для исследований конечных полугрупп, при рассмотрении количественной характеристики совокупности подполугрупп конечной полугруппоы, а так же при изучении взаимосвязей между конечной полугруппой и решеткой ее подполугрупп.

В настоящей работе полностью выясняется вопрос о существовании п-элементных богатых полугрупп с данным числом подполугрупп; приводится описание строения полугрупп богатых подполугруппами; выделены некоторые свойства, которыми обладают такие полугруппы; определены формулы для нахождения количества подполугрупп для некоторых теоретико-полугрупповых конструкций.

Для п-элеметных полугрупп богатых подполугруппами определены все неизоморфные полугруппы с изоморфными решетками подполугрупп. Указаны все решеточно замкнутые классы конечных богатых полугрупп. Показано, что не для любой конечной решетки существует полугруппа решетка подполугрупп которой с ней изоморфна. Некоторые такие совокупности решеток указаны в работе.

Результаты исследования могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеменаров для университетов и пединститутов.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е. С. Ляпина [5] (Санкт-Петербург, 1999), на Герценовских чтениях в РГПУ им. Герцена (1998, 1999, 2000 гг. г. Санкт-Петербург), на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в РГПУ (г. Ростов-на-Дону) и на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (г. Таганрог).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста, состоит из введения, заключения и двух глав, содержащих четыре параграфа. Библиография включает 37 работ российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Приведем основные определения, используемые в данной работе и полученные результаты.

Первый параграф главы I посвящен выявлению формул для нахождения количества подполугрупп в введенных теоретико-полугрупповых конструкциях. Результаты этого параграфа используются в доказательстве всех основных теорем представленной работы.

Во втором параграфе главы I выясняется вопрос о существовании п-элементных богатых группоидов (?, в которых выполняется формула: (Уа, Ь € (?) (аЬ — Ьа V аЬ = а V аЬ = Ь). Выяснение этого вопроса позволило выделить некоторые свойства, которыми должны обладать п-элементные богатые полугруппы.

Основная теорема первой главы содержится в третьем параграфе. Здесь непосредственно выясненяется вопрос о существовании п-элементных богатых полугрупп.

Для произвольной полугруппы 5 через <г(5) обозначим количество всех ее подполугрупп, включая пустое множество.

Разложением класса К будем называть разбиение этого класса на попарно непересекающиеся подклассы К, такие, что К = у К{.

«е/

Если при этом каждый из классов К{ не пуст, то разложение будем называть точным.

Пусть п^, к,т Е N. N — множество натуральных чисел.

П(п, к, т) — класс всех п-элементных группоидов в таких, что:

1) (V«, Ь € в) (аЬ =ЬаЧаЬе {а, 6} V Ьа е {а, Ь});

2) к < <т(в) < т.

Г(п, к, та) — класс всех п-элементных полугрупп 5 таких, что:

к < <7(5) < т.

Г(п, к) = Т(п,к,к).

Теорема 2.18.

Пусть п 6 п > 2.

Имеет место точное разложение:

Г(п, |2»,2») = (]]Г(п, + 2')^ иг(», \гп)

Приведем еще одну формулировку теоремы 2.18.

Для каждого натурального п > 2 обозначим через Е„ следующую возрастающую последовательность натуральных чисел:

|2П < |2" + 1< |2" + 2 < ...< |2" + 2к < ...<

< |2" + 2"~3 < §2" + 2п~2 = 2".

Теорема 2.19. Пусть ть € N, п > 2. Справедливы следующие утверждения:

1. Если количество подполугрупп п-элементной полугруппы S не меньше |2П, то оно равно одному из чисел последовательности £„.

2. Для любого числа к, являющегося членом последовательности Еп, существует п-элеметная полугруппа, обладающая ровно к под-полгруппами.

Приведем несколько примеров таких последовательностей. £5 = 24 < 25 < 26 < 28 < 32. Е6 = 48 < 49 < 50 < 52 < 56 < 64.

Вторая глава посвящена изучению n-элементных богатых полугрупп. В первом параграфе главы II на основе свойств, полученных в первой главе и введенных теоретико-полугрупповых конструкций, описано строение таких полугрупп.

Определение 2.1. Пусть I — некоторое линейно упорядоченное множество индексов и полугруппа S является объединением попарно непересекающихся ее подполугрупп (¿Gl). Если при этом для всяких Xi G 5,-, xj € Sj (i,j € I, i < j) имеет место XiXj — XjXi = xj, то

S называется последовательно аннулирующей связкой (ординальной

★

суммой) своих подполугрупп 5,- и обозначается S — (J 5,-.

•е-г

Определение 2.4. Пусть (Т,о), (£/,•) — полугруппы; Tf]U = 0. а € U — некоторый фиксированный идемпотент. На множестве 5 = T\JU определим операцию (*) следующим образом:

х *у = а - у, у * х = у • а, если х € Т, у Е Z7;

х * у = а о у, если х,у € Т;

х * у = а • у, если х,у £U.

Очевидно, что 5 с введенной операцией является полугруппой. Будем говорить, что полугруппа S получена в результате инфляции (или инфляция) полугруппы U в идемпотенте а 6 U полугруппой Т и обозначать:

5 = Infi Щ.

Для произвольного класса полугрупп К, через К, будем обозначать изоморфное замыкание этого класса. Если класс К состоит из одной

полугруппы S, то его изоморфное замыкание будем обозначать через

S.

Будем придерживаться следующих обозначений:

V — трехэлементная полурешетка высоты два. Для удобства формулировок теорем обозначим Kv = V.

L*, R* — двухэлементные полугруппы левых и правых нулей соответственно.

U — класс полугрупп односторонних нулей.

Некоторые теоретико-полугрупповые конструкции

1. Пусть Е = {е} — единичная полугруппа, R — полугруппа правых нулей и т = |Я| > 2.

Определим на множестве А — Е (J R операцию умножения.

Пусть а, с € А. Если а и с оба содержатся в одной и той же полугруппе Е либо Д, ив этой полугруппе имеет место ас = d, то в А полагаем ас = d.

В R зафиксируем t (i < [т/2]) различных элементов 6,-, i — 1,1 Элементны £>,• будем называть особыми.

1) Для любого элемента d £ R, d ф hi, i = l,t в А полагаем de = ed = d.

2) Для зафиксированных нами элементов Ь,- £ R в А полагаем ebi = bit Ь,е = а (i = 1 ,<), где с,- € Л \ и с,- ^ Cj, при г ф j. Полугруппу, состоящую из п элементов (п > 3), у которой бинарная операция определена таким образом, с t (t < [(n — 1)/2]) особыми элементами, будем обозначать через Rn,t-

На множестве А = E\JL, где L полугруппа левых нулей, двойственным образом определяется полугруппа Lnj.

Обозначим KR,t{n) = Rn%t, K.i,t{n) =

2. Пусть £ — m-элементная (то > 1) полугруппа левых нулей. R — fc-элементная (к > т + 1) полугруппа правых нулей.

Определим на множестве А = L\j R действие умножения.

Пусть а, с € А. Если а и с оба содержатся в одной и той же полугруппе L либо R, причем в этой полугруппе имеет место ас = d, то и в А полагаем ас = d.

Зафиксируем в R элемент а.

1) Для любого b £ L и для любого элемента с £ Д, с ф а в А полагаем bc = cb = с.

2) Для зафиксированного нами элемента а £ Я и произвольного b £ L в А полагаем

ab = с, Ьа = а, с £ Л. Причем, (V&i, £>2 € L) (Ь\ ф b2 —> abi ф а£>2)-

Полугруппу L[J R, состоящую из п элементов (n > 3), у которой бинарная операция определена таким образом, |£| = t, t < [^-f^] будем обозначать LRn<t.

На множестве А = R (J L, двойственным образом определяется полугруппа RLn}t.

Обозначим:

= LRn,t, K-RL,t{n) —

3. Пусть Um — класс то-элементных полугрупп, у которых любое подмножество есть подполугруппа. U £Ыт. Тогда

U = U1\J...\JUk (к<т), (1)

где £/,-, г = 1, к — полугруппы односторонних нулей.

Пусть п £ N, п > 3. Введем следующие обозначения:

1) fcinfi и(п) = {Infi t/g | U £ U„-1} — класс n-элементных полугрупп образованных в результате инфляции полугруппы из Un-\ в произвольном элементе с из последней компоненты связки (1), единичной полугруппой Е.

2) Пусть L* — двухэлементная полугруппа левых нулей. R* — двухэлементная полугруппа правых нулей.

Kruft L- (п) = {Infi L*u | U £ Un-г) — класс n-элементных полугрупп образованных в результате инфляции двухэлементной полугруппы левых нулей L* в произвольном элементе с £ L* полугруппой из класса Un-

Kinti я-(») = {tnfl R*cu I и еип-а}.

4. Пусть L* — двухэлементная полугруппа левых нулей. U £ U. 5\ = Infi L'jj, 5г — полугруппа левых нулей. |Si| = т > 3, = = 1>1.

На множестве А = S1US2 определим бинарную операцию '*' следующим образом:

!ху, если х,у €Si или х, у £ S2; х, если х £ L, у £ S2 или х £ S2, у £ S\; у, если х £ U = Si \ L*, у £ Sara-элементную полугруппу (га > 4), у которой бинарная операция определена таким образом и | Infi L*y| = t, 3 < i < n + 1 будем обозначать UL*n t.

На множестве А = Infi R*y JJ 5г, где 5г полугруппа правых нулей, двойственным образом определяется полугруппа UR„t.

Обозначим: K.uL-,t{n) = UL*t, KuR*,t(n) = UR*it.

5. Пусть Е — единичная полугруппа. L, 62 — полугруппы левых нулей. Si = Infi L%, |5i| = та > 3, |52| = l > 1.

На множестве А = 5i (J 52 определим бинарную операцию * следующим образом:

{ху, если ж, у £ Si или ж, у G 52; ж, если х £ L,y Е S2 или ж € 52, у € 5i; у, если ж б Е, у G 52.

На множестве Л = In// Яд U 5*2, где 52, R полугруппы правых нулей, двойственным образом определяется полугруппа ERn,t.

Обозначим: КеьА71) = Е£п^, К,е^{п) — ЕНп^-

Теорема 1.3. Пусть 5 — п-элементная полугруппа п > 3. Я 6 Г(п, |2П + 2"~3) тогда и только тогда, когда

5 = 5! 0 Т 0^2,

где каждая из компонет 52, либо является п.а. связкой полугрупп односторонних нулей, либо отсутствует;

Т € /Сдд(та) у /С£>1(т) у Ку, где т = |Т|.

Теорема 1.6. Пусть п € ЛГ,п > 2,£ € ЛГ \ {1,2, 3,5,6},* < п. 5 — п-элементная полугруппа.

5 € Г(п, |2" + 2"~') тогда и только тогда, когда

5 = 5! иТй52,

где каждая из компонет 51,52, либо является п. а. связкой полугрупп односторонних нулей, либо отсутствует;

Т € и(т) у // ¿.(т) у £гп// д.(та) у

У Киь'Ат) у Кид.,«(та) у/С.Б£,,(т) у /Свй,«(т),

г<?е т= \Т\.

Теорема 1.10. Пусть 5 — п-элементная полугруппа п > 5. 5 € Г(п, |2" + 2п~5) тогда и только тогда, когда

Б = 31()Т{)32,

где каждая из компонет 5г, 5г, либо является п.а. связкой полугрупп односторонних нулей, либо отсутствует;

т € К,1П}1 и{тп) и К-1п}1 Ь'{т) и и

&и1\ь{гп) у Кин',ъ{т) у КЕь,и(т) у КВп,ь{т) у

и £ьМт) и К-яЖ™) и КьяА™) и

где т = |Т|.

Теорема 1.13. Пусть 5 — п-элементная полугруппа тг > 5. 5 € Г(п, §2" + 2П_5) тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

1. 5 = у Т 0^2,

где каждая из компонет 81,5г, либо является п.а. связкой полугрупп односторонних нулей, либо отсутствует;

т € к1п}1 ¡/(т.) и Kin.fi ¿*М и и

и Киь\б(т) у Кип%б{т) у КЕь,б(т) у Кея,б(т) где т= |Т|.

2. 5 = уТх^гТгйЯз

где каждая из компонет 81,82,83, либо является п.а. связкой полугрупп односторонних нулей, либо отсутствует;

ъ б ¡Су у ад™,) у Кя^тщ),

где т,- = г = 1,2.

Формулировки приведенных теорем дают описание строения полугрупп, так как строение классов, используемых в теореме и строение полугрупп из этих классов, указаны при рассмотрении теоретико-полугрупповых конструкций.

Во втором параграфе главы II изучаются решетки подполугрупп п-элеметных богатых полугрупп. Здесь описаны решетки всех конечных богатых полугрупп. Неизоморфные полугруппы иногда обладают изоморфными решетками своих подполугрупп. В работе для п-элементных полугрупп богатых подполугруппами указаны все неизоморфные полугруппы с изоморфными решетками подполугрупп и указаны все решеточно-замкнутые классы богатых полугрупп.

В теории решеток ряд работ посвящен отысканию таких классов полугрупп, что всякая решетка вложима в решетку некоторой полугруппы из этого класса. Так из основного результата работы Пудлака и Тумы вытекает, что любая конечная решетка представима решеткой подполугрупп некоторой конечной полугруппы (а именно, конечной группы). Наравне с этим существуют такие классы решеток, что решетка подполугрупп любой полугруппы не изоморфна никакой решетке из данного класса. Во втором параграфе главы II указаны некоторые классы таких решеток.

Публикации по теме диссертации.

[1] Бобрикова JI.H. О максимальном количестве подполугрупп конечной полугруппы // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3(23). С. 11-13.

[2] Бобрикова JI.H. Строение конечных полугрупп наиболее богатых подполугруппами // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3(23). С. 14-18.

[3] Бобрикова Л.Н. О полугруппах с заданным числом подполугрупп // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1999. Вып. 4(24). С. 6-15.

[4] Бобрикова Л.Н. О решетках подполугрупп некоторых конечных полугрупп // Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1999. Вып. 4(24). С. 16-23.

[5] Bobrikova L. On Quantity of Subsemigroups of Certain Finite Semigroups// II Междунар. конф. "Полугруппы: теория и приложения" в честь проф. Е.С. Ляпина. Санкт-Петербург, 1999. Тезисы докладов. С. 10.

Отпечатано в ООО "АкадемПринт" СПб, ул.Миллионная, 19, т.315-11-41 Подписано в печать 27.10.2000 Тираж 100 экз.

Введение.

§ 1. Основные результаты диссертации.

§ 2. Основные определения и обозначения.

Глава I. Точное разложение класса п -элементных богатых полугрупп

§ 1. Количество подполугрупп для некоторых теоретикополугрупповых конструкций.

§ 2. Точное разложение класса п -элементных богатых полугрупп.

2.1. Точное разложение некоторых классов п -элементных группоидов.

2.2. Некоторые свойства богатых п -элементных полугрупп.

2.3. Точное разложение класса полугрупп Г(п, |2П,2П)

Глава II. Строение и решетки подполугрупп п -элементных богатых полугрупп

§ 1. Строение п -элементных богатых полугрупп.

1.1. Вспомогательные утверждения.

1.2. Строение полугрупп из класса Г(п, |2та + 2П~3).

1.3. Строение полугрупп из класса Г(п, |2П + 2п~*) ;.

1.4. Строение полугрупп из класса Г(п, -т 2П + 2П~5).

1.5. Строение полугрупп из класса Г(п, |2П + 2та6).

§ 2. Решетки подполугрупп п -элементных богатых полугрупп

2.1. Решетки подполугрупп полугрупп из класса е АГ\{1,2,5,6}

2.2. Решетки подполугрупп полугрупп из класса ^Эб

2.3. Решетки подполугрупп полугрупп из класса

2.4. Конечные неподполу групповые решетки

При изучении алгебраических систем важным является рассмотрение совокупности ее подсистем. Настоящая работа посвящена изучению системы подполугрупп конечных полугрупп. Большой интерес при рассмотрении такой системы представляет ее количественная характеристика.

Множество подполугрупп бесконечной полугруппы, очевидно, бесконечно. В классе всех конечных полугрупп для любого натурального к существует полугруппа, у которой количество подполгрупп равно к . Однако, в классе п -элементных полугрупп (при фиксированном п > 3) не для всякого к < 2П существует п -элементная полугруппа, у которой количество подполугрупп равно к . Задача о выяснении всех таких чисел к в общем случае в настоящее время не представляется полностью разрешимой.

В настоящей работе рассматриваются конечные полугруппы относительно более "богатые" системой своих подполугрупп. Для класса полугрупп, состоящих из п элементов, полностью выясняется для каких к > |2П существует п-элеметная полугруппа обладающая точно к подполугруппами. (Полугруппу у которой количество подполугрупп больше 3/4 от числа всех подмножеств будем называть богатой подполугруппами или богатой полугруппой).

В работе описано строение п -элеметных богатых полугрупп, а так же выявлен ряд свойств, которыми обладают эти полугруппы.

В ряде работ система подполугрупп полугруппы (с добавленным пустым множеством) рассматривается с точки зрения отношения включения. В этом случае она, очевидно, является решеткой. Неизоморфные полугруппы иногда обладают изоморфными решетками своих подполугрупп. В работе для п -элеметных полугрупп богатых подполугруппами определены все неизоморфные полугруппы с изоморфными решетками подполугрупп. Указаны все решеточно замкнутые классы конечных богатых полугрупп. Показано, что не для любой конечной решетки существует полугруппа решетка подполугрупп которой с ней изоморфна. Некоторые такие совокупности решеток указаны в работе.

1. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико - структурные свойства групп и полугрупп // Усп. матем. наук., 1972. Т 27, N 6. С.139-180.

2. Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др. Общая алгебра. М., 1991. Т. 2. 480 с.

3. Бобрикова Л. Н. О максимальном количестве подполугрупп конечной полугруппы// Современная алгебра. Вып. 3 (23). Ростов-на-Дону, 1998. С 11-13.

4. Бобрикова Л.Н. Строение конечных полугрупп наиболее богатых подполугруппами // Современная алгебра. Вып.3(23).Ростов-на-Дону, 1998. С. 14-18.

5. Бобрикова Л.Н. Решетки конечных полугрупп богатых подполугруппами // Современная алгебра. Вып.4(24).Ростов-на-Дону, 1999. С. 16-23.

6. Бобрикова Л.Н. О полугруппах с заданным числом подполугрупп // Современная алгебра. Вып.4(24).Ростов-на-Дону.1999. С. 6-15.

7. Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных циклических групп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Вып. 2(22). Ростов-на-Дону, 1997. С. 6-9.

8. Бобрикова Л. Н. Тождественные включения моногенных полугрупп/ / Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 8-10.

9. Канторович П.Г., Пеликс A.C., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп // Матем. зап. Урал.ун-та. Свердловск, 1961. Т 3, N 1. С.3-50.

10. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М., 1977. 240 с.

11. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972. Т. 1. 287 с. Т. 2. 422 с.

12. Кон П. Универсальная алгебра. М., 1968. 352 с.

13. Кауфман A.M. Уч.зап.ЛГПИ им. А. И. Герцена. Т 86, 1949.

14. Ляпин Е.С. Полугруппы. М., 1960.

15. Ляпин Е.С. Нормальные комплексы ассоциативных систем // Известия АН СССР, матем., 1950. Т.14, N2. С.179-192.

16. Ляпин Е. С. Тождественные включения в полугруппах, у которых всякое подмножество есть подполугруппа// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1978. С. 118-133.

17. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970. 392 с.

18. Репницкий В. Б. О представлении решеток решетками подполугрупп/Известия выс. уч. зав. N1(404), 1996. С.60-69.

19. Садовский JI.E. Некоторые теоретико-структурные вопросы теории групп // Усп. матем. наук., 1968. Т 23, N 3. С.123-158.

20. Свердловская тетрадь. Нерешенные вопросы теории полугрупп. Свердловск. 1979. 41 с.

21. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1982.

22. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М.: Изд-во иностр.лит.,1960. 158 с.

23. Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. Полугруппы и их подполугруп-повые решетки. Свердловск, 1990.

24. Шеврин Л.Н., Волков М.В. Тождества полугрупп. Изв. ВУЗов. Математика, №11, 1985, С. 3-47.

25. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Полугруппы, у которых все подполугруппы единично идеальные// Изв. ВУЗов. Математика. 110 (101). 1970. С. 44-48.

26. Ляпин Е. С. Единично идеальные элементы полугрупп// Теория полугрупп и ее приложения, Сборник, Вып. 2, Саратов. 1971. С. 41-50.

27. Шутов Э. Г. Полугруппы с идеальными подполугруппами// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Д., 1975. Вып. 3. С. 134-158.

28. Bobrikova L. On Quantity of Subsemigroups of Certain Finite Semigroups// II Междунар. конф. "Полугруппы: теория и приложения" в честь проф. Е.С.Ляпина. Санкт-Петербург, 1999. Тезисы докладов. С. 10.

29. Bobricova L. N. On semigroup identical inclusive varieties, not being varieties// Quasigroups. Kishinev, (в печати)

30. Jamada M. Note on exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. №2. P. 160-167.

31. Jones P. Semimodular inverse semigroups// J. LondonBull. Math. Soc. 1978. - V.17. - P.446-456.

32. Ljapin E. S. Semigroups. Third edition. 1974. Amer. Math. Soc. Chapter XII.

33. O'Corrol L., Shein В. M. On exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. №1. P. 338-348.

34. Petrich M. Lectures in semigroups. Berlin, 1977. 168 p.

35. Reserch problems// Semigroup Forum. 1970. V. 1. P. 91-92.

36. Pudlak P., Tuma J. Every finite lattice can be embedded in the lattice of all equivances over a finite set// Algebra Universalis. 1980. -V.10. - P.74-95.

37. Shevrin L., Ovsjanikov A. Semigroups and their subsemigroup lattices// Semigrup Forum. 1983., V27, №1-4. P. 1-154.

38. Tamura T. On commutative exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1971. V. 2. №2. P. 181-187.

39. Whitman Ph.M. Lattices, equivalence relations, and subgroups// Bull. Amer. Math. Soc. 1946. - V.52. - P.507-522.