Конечные регулярные группы с абелевыми 3-максимальными подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

9 К 1 о ч %

КИЕВСКИЙ ОРДЗНА ЛУНИНА И иРДЕНА ОКТЯКШЖОИ ШзОЛЩИИ 1'0СУДАГ(Л'ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМВНИТ.Г. ШЕВЧЕНКО

на правах рукописи

ДРАГАНЮК СЕРГЕИ ВЛАДИМИРОВИЧ

КОНЕЧНЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ С АБЕЛЕВЫЖ 3 - МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

01.01.06 - математическая логика, алгеора и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ, диссертации на соискание ученой степени •кандидата 'физико '- математических наук

С.

Киев -- 19 У2

Работа выполнена на кафедре высшей математики Киевского педагогического института им. М.П.Драгоманова.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

кандидат физико-математических наук, доцент ЖЩЕНКО С.С.

доктор физико-математических наутс , профессор Чарин B.C. кандидат физико-математических наук Кузенный Н.Ф.

1 Львовсниа государственный университет им. и.Я. Франко

Защита диссертации состоится " " 1992 г, в //

часов на заседании специализированного совета Д.016.50.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Киевском государственном университете имени Т.Г.Шевченко по адресу: ¡¿$¿127, г. Киев, пр. Ак. В.М.Глушкова, 6, КГУ, корпус механико-математического факультета, ауд. 42 .

С диссертацией мохно познакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "/'¿> 992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Сущанскии В.И.

1' . ! $т;.с? )

' /" "V;

ОБЩ/Л ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных и интенсивно развивающихся направлений теории групп является изучение строения групп по заданным свойствам некоторых систем их подгрупп. Результаты, относящиеся к эти,¡у направлению, широко представлены в работах многих алгебраистов.

Начало указанного направления связано с появлением работ Р.Дедекинда, Г.Миллера и Г.Морено, О.Ю.Шмкдта и других авторов. Общая задача описания строения групп с ограничениями для тех или иных систем их подгрупп явно с.Торкулкрована в работах С.Н.Чершкова. На этом пути были выделены и детально описаны многие классы групп, обогатившие конкретную базу теории групп.

При таком подходе прежде всего выделяются и изучаются классы групп, у которых все собственные подгруппы обладают некоторым теоретико-групповым свойством О . В этом случае сама группа не обязана быть $-группой. Не 0 -группа, у которой все собственные подгруппы являются Ф-группаАШ, называется минимальной не 0-груп-псй. Хорошо известны следующие классы минимальных не &-групп: класс конечных минимальных неабелевых групп /групп Миллера - Морено/, введений в рассмотрение и изучавсийся Г.Миллером и Г.Морено в 1903 г; класс конечных минимальных ненильпотентных групп /групп Шмидта/, введенный в рассмотрение и изучавшийся О.Ю.Пмидтом в 1йг4 г. Дальнейшие исследования в этом направлении посвящаются выделению и изучении- классов групп, у которых свойством 6 обладает наедая подгруппа из некоторой системы 2 , содержащей не все собственные подгруппы рассматриваемой группы. В качестве 2» монет выступать, например, система всех: ¿-максимальных, 3-макси-мальных и т. д. подгрупп конечной группы.

Напомним, что подгруппа Н группы О называется «--максимальной, если 0 содержит такую максимальную подгруппу М , что {-[сМ и Н является (Уъ~ 4.)-максимальной подгруппой в группе С .

При этом для П=4 под (Я-/)-максимальной подгруппой понимается вся группа.

Много работ посвящено решению подобных теоретико-групповых задач.

Тан, например, в 1970-19/аг.г. появились две работы, дающие описание конечных неабелевых примарных групп, в которых все 2-максимальше подгруппы абелевы /Казарин Л.С. и Шериев В.А. /,

/случай П = 2 /.

В 1Г68 году Еелоноговым било получено описание конечных

разрешимых групп с нильпотентными 2-максимальными подгруппами. П.Пел-Ти в 1981 г. изучал непркиарные разрешимое группы с абелэ-2-!,1а:чС1::'а"ьн1;:^: подгруппам.

Я.Г.Ееркозич изучал конечные группы, у которых все /1-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта.

С.С.Левищснко, Н.Ф.Кузенньш изучали ''строение групп с условиями дисперсивности для П-максимальннх подгрупп.

К указанному направлению принадлежит к настоящая диссертация,

В качестве системы подгрупп 2 в данной работе выступает множество всех 3-макси.\:альных подгрупп конечной группы б , а под теоретико-групповым свойством О понимается абелевость всех подгрупп из системы . Обозначим через (% класс конечных групп, у которых существует хотя бы одна неабелева Гд-'О-максимальная подгруппа, а все их /^-максимальные подгруппы являются абелевыми.

Цусть СЯр - класс конечных Р-групп, содержащихся в С/1 , таких, что их порядок Дольше ра<" . Такое ограничение на порядок групп ¡1^ класса ОХр оправдано, так как среди групп порядка не вше р не существует групп, содержащих неабелеву П.-максимальную подгруппу. Кроме того, для малых СЬ эти группы уже изучень В лемме 9 настоящей работы будет доказано, что при таком ограничении на порядок 01 р -группы С её нкхний слой¿¡-(б) является элементарной абелеаой группой.

Класс СЛ. , как уде упоминалось, был введен в рассмотрение в 1503 году ^.Миллером и Г.Морено. Конструктивное описание групп класса СЯ , получивших в послздствии название групп !.!ил-лера-Мореуо, было получено .в 1947 году Л.Редей. Описание групп класса СХр было независимо получено Казариным-Л.С. и Шериевым В.А. Отметим таюпе, что непримарные разрешите группы изучены П.Пелфи, а неразрешимые -группы - I.Редей и З.Янко. Непримарные СЛ? - ' группы исследовали Г.Гагин, З.Янко, Я.Г.Беркович, С.С.Левищенко, Н.Ф.Кузенный.

Целью р а б^о с ы является описание конечных регулярных 2-порогденных С2р-групп с точностью до порождающих элементов и определяющих отношений. Напомним, что р-группа называется регулярной /или регулярной в с;,меле «.Холла/, если для любых её элементов 5-и 6 и любого П- р , выполняется равенство \аЬ\ = ОС-О ,,, Где некоторые элементы ком-

мутанта подгруппы <о-,$> .

Общая методика исследования. При решении поставленной задачи осуществляется единый подход, состоящий в расширении С^р-группы при помощи циклической группы простого

порядка р . Далее на полученную группу G накладываются такие ограничения, чтобы рассматривав? :ая группа включалась в класс СЛр и проверяется дос/аточность этих ограничений. В каждом конкретном случае устанавшвается не изоморфна ли полученная группа ранее найденным 01 р -группам.

Теоретическое значение и научная новизна работы. Теоретическое значение работы состоит в описании класса конечных регулярных 2-порогде:жкх СЛр -групп; доказано, что все группы из класса СЛр имеют ке более четырех образующих; получены некоторые результаты, касающиеся З-поро.-ден-ных и 4-поро~<денных (лр -групп; установлено, что для простого числа 1р>3 все СЛр -группы регулярны. Ряд результатов данной работы характеризует свойства pip -групп. В частности доказано, что ниглий слой регулярной -группы абелев, а таксе, что если группа H из класса СЛр~, то группа , где !cl~p, являет-

ся СЯр+ -группой. Определенный самостоятельный интерес представляют пакты, касающиеся нздгрупп подгруппы Ораттини Так как изучаемые группы строились при псмопр! СЛ-р -группы, то автору пришлось уточнить список ÙZp-групп, получений В.А.ШерпеЕкм /были исключены из этого списка группы гне язляюпреся Ol'p -группами, а такке в калдом типе оставлены липь неизомор'иые группы/.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах по теории групп. Института математики АН Украины /г.Киев 1990 г./, на киевском городском алгебраическом семинаре /г.Киев i99i v./, на отчетных научных конференциях КГПИ им. М.П.Драгоманова /1987-1990 г.г./.

П у б л и к а ц. и- и. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4 ].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на S5 страницах машинописного текста. Она состоит из введения, семи параграфов, разбитых на две главы, и списка литературы, KOTOpri' содержит 36 наименований.

Содержание работы. Во введении приведен обзор исследований по тематике диссертации, постановка задачи, краткое описание содержания работы, общая методика исследований и теоретическое значение полученных результатов. Во введении помещен также основной результат диссертации, который мы одесь и сформулируем.

Теорема!. Конечные регулярные групш, содержащие не-абелеву подгруппу индекса рг и все 3-максимальные подгруппы которых абелевы, исчерпываются р-группами при порядка р5*, в которых выполняются требуемые свойства, а также группами перечисленных кит.е типов. Все группы из данного нике списка попарно неизо-морйны. Для простого р)Ъ группы этого списка исчерпывают Еесь класс групп с указанным ограничением на подгруппы. Список конечных регулярных групп:

1. 0=<о.>'<4>, = |Ь|=Р,11 т^п + 2.■»••{: >3 р>г

2. 0=<о.>><Ь>, 10,11&{ = рП, р>а, л ^з, [«,,&] = о"3

т>А р>3, Ць^З-о^М*,

р2, где £(5) - любое, и 8(т) = 0 при т^-5, <¿=1 или с£- - абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р. 4, &^<й»<с)]К|>)^<6>, КИс| = ||| = р, т>Д

абелева подгруппа.

. = |еМ{| = р, р>3, Са,вЗ-6Р, •

или при т=»Я возможен один из случаев:

а)

где 1 - такое множество кубических невычетов по модулю р , что для любых Т^еТ и Т^Т не существует такого числа Л , что "4=%Л5 ;

£=0 или £ = 1, сЬ(0)~ абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р;

¿(4) - любое такое число, что - квадратичный невычет

по модулю р ;

р{0)={ или ^>(0)- абсолютно минимальный квадратичный невычет по модули р, р(4)у£0(то& р) _ жбое-

6. G =(({<&>*<г>]л<о)\ф)\<&, leu =p"% m^Z, p>3,

- элементарная абелева группа, Ей,, СЛ^] - С.

7. /a,i=i-ff-p2-, \ы=рп, n»af рА [щМ*, t^l-аР, Га^Иилипри са^ЬЧа^.Г^Г

и при n=5, to^I-í^p1 ; где £-0 или e-i, <£=0 или

5*= i, d.= i или cL - абсолютно минкмальшй квадратичный невычет по модулю р,

m-i

или cL(0) - абсолютно минимальный невычет по модулю р, сШ)фО(то4р\ jъ(0). такое число, что ji(0)' Ь-- абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р , - любое, талое, что

i+'ibfO.)-

квадратичный невычет по модулю р .

8. G=<ct>.<£>.Ce> 1б|=р,г1 loHp, m»b, n^z,

Сa,¿] = of (Г (3)^0

или

или - абсолютно минимальный квадратичный невы- '

чет по модулю р , ^СЬ) - любое, такое, что Т fb)'(¡"(^>) — 0 f t(rn)-X(n)^ при п>Ъ и П>3". Если D*,^! , то а если

ca.glM , то р>2>.

9 & = (<а>Аф)х<Я>. la-l-p14, lél-p^ э,

10. ; |a|--pb, p^ ^^

; или Сл. - абсолютно минимальный

квадратичный невычет по модулю р .

>n»2, ra,ii4, Di.fj-2, C-f,2]---rS,z] = i,

где СГ(2)=0 „ли <«2H „ли tríe) - абсолютно i мальный квадратичный невычет по модулю р, при

I2 laMghp*-,

или оL - абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р

13. IM-p»4, lél=pn, ifthp* р^Я,

мини-

-à -

Щи! , где иСШили

При ■'ОС .

n = 2, или W=S,

где

T=0 или Т= i , если y*-2, или Ь-2 и в остальных

„ m-i

случаях. При 11=2 будет гп^Я, §] = & . При h =>"5

= g & ^ , где £=0 или £ =lt<t(0)- абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р,

- квадратичным

невычет по модулю р .

15. G=<a>.<*>.<&>, . iQUp*, l£|=p, |g|=p5, р>^

в 0- ^ ''где G-0 или СГ - абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р ,

При M > С.

16. G lai= \£l = pz, 4l = p,

'--f £ = 0 или абсолютно мини-

мальный квадратичный невычет по модулю р , - квадратичный

невычет по модулю р , и им

Глава I "Вспомогательные и предварительные результаты" содержит определения, теоремы и (¿акты, используемые для доказательства новых результатов, а также несколько авторских лемм, проявляющих свойства исследуемых групп или часто используемых при нахождении конкретных типов СЛр-групп. Так, в §1 сформулирован ряд достаточных условий и свойств регулярных групп. В частности, из этих сведений следует, что 2-порожденные 3-группы регулярны тогда и только тогда, когда они икеют циклический коммутант. .Критерием регулярности 2-групп является их абелевость. Именно по этой причине в различных списках примерных групп, встречающихся в диссертации, автор ограничивается нечетным простым числом р . Далее в данном параграфе приведен список

-групп /теорема 2/, а также два критерия этих групп, изложенные в лемме 4. Как уже упоминалось, СЯр-ГруППы были изучены независимо Л.С.Казариным и В.А.Шериевнм /теорема 3/. В теореме 4 приводится уточненный список этих групп.

В §2 доказывается пять лемм, которые составляют технический аппарат при получении основных результатов диссертации. Так, в лемме 5, указан критерий разрешимости уравнения второй степени от двух переменных над полем характеристики р . Условие неразрешимости данного уравненгл зачастую эквивалентно отсутствию в иссле-

дуемой группе неабелевых подгрупп индекса р3. В лемме б рассмотрено строение группы 0 видаНх<>с^, где 1с| = р.

Лемма 6, Пусть группа &=»Н*<С> , где Н - произвольная группа, и |с.! = р . .Тогда для любой подгруппы НЦ возможна одна из следующих ситуаций: I/ существует подгруппа Н^й Н такая, что 2/ существует подгруппа Нгй. Н такая, что Сг^ = Н^ ,

Кз этой леммы видно, что если группа Н из класса СЛ , то группа С из класса СЛпН , а также, что группы (т=Нх<с> и ^ = неизоморфны мел-ду собой тогда и

только тогда, когда группы Н и Н ^ 'неизоморфны. Леммы 7 и 8 представляют некоторый самостоятельный интерес. В доказательстве этих лемм существенно используются некоторые факты из теории матриц.

Лемма 7, Пусть б - конечная р-группа такая, что Сг = <0С1, ,.,, > и П - минимальное число образующих данной группы. Пусть тахг.е подгруппы < где О о - Ф(&),

6 ¿= Ь-Фс, А; £ дал •¿с/''2'-.. 1п, £■ в п . Гогда

1<3г : Сг-4 1=Р и = Р тогда и только тогда, когда

Цусть матрица ••-> ^Уп. \ и пусть

А Л*' • • • У

матрицы /1 к состоят из первых к -строк матрицы Л . В этом случае I й О к И |Э 12 тогда и только тогда, когда хотя бы один минор к. -порядка матрицы Я к. является невырожденной матрицей.

Данная лемма позволяет найти все надгруппы подгруппы Фраттшш П»-порожденной конечной р-группы Сг любого фиксированного индекса. Здесь П> - минимальное число образующих группы О- . С помощью этой лежи мо:шо указать все наборы, состоящие из П. элементов группы & , которые могут порождать данную группу, что позволяет выбором одного из наборов образующих оставить в каждом конкретном типе групп только неизоморфные группы. В частности, лемма 7 применяется в доказательстве следующей лег.ащ, которая описывает все максимальные подгруппы '¿-порожденных и 3-порогден-ных р-групп. Эта леша /лемма 8/ слукит для проверки принадлежности группы классу СЯр , а такие для доказательства неизоморф-

'лп гп

ности различных типов IX р -групп по признаку различал их макск-мальных подгрупп. Лета 9, завершающая утверждает, что кк;гжп слой регулярности ©I р5 -группы О- является элементарной абеле-вой группой. Нетрудно видеть, что если бы мы в класс

сл с? включали и группы порядка рт+2, то вышеуказанная леша бг.'ла бы к^-вер:;а /это видно на прттере гррппь», являющейся нргаш про:;зееде-

нием группы <\{нллера-"орено порядка рй экспоненты р и циклической группы порядка prn-1/> ^

Основная задача §3 "Уточнение списка регулярных аь -групп" указана в его названии. Эта задача состоит в исключении из списка полученного В.А.Шериевым, изомоо^яых групп и изъятии из данного списка групп, не являющихся СЛ.р" -группами, и вообще, в проведении обратной проверки, так как в работе В.А.Шериеза она отсутствует. Обратная проверка проводится следующим образом: с помощью леммы 8 устанавливаются все максимальные подгруппы исследуемой группы и доказывается, что они абелевы или СЯр -группы. При этом обнаружилось, что ряд групп из списка В.А.Иериева не является СЛ-р -группа:.;«. Исключение из рассматриваемого типа групп изоморфных групп проводится с помощью леммы 7. Таким образом получен уточненный список СЛ,р -групп /теорема 4/, существенно облегчающий расширение даннцх групп до С£р -групп.

Теорема 4. Конечные регулярные СХр-группы исчерпываются группами следующих типов:,

I. S=<a>-<&>, ia,l=pn}, |Й1=рп, пЪ-Х,

La;g>]-af , £-0 или 1. Если , то.т^-п. + Я;

3. S=("(<«-> *<2,>)x<-c>) >,<&>, la/=jon'? т>,2, tt^lal-Wf,

S = Ccft»<<c»x<?,>, )al = p2, ic/.p,

tCU,?>]=C, Cb(C]=CL <5"= l или У - абсолютно минималь-

1шй квадратичный невычет по модулю р ;

5. S = ((<ct>*«&p>)b<c>)-<b, ¡a)=lihp%lc\ = p,CQ,Zl*c, Са,с] = &р, е-Оидивг!, МО).

абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р i oi-(l) _ - любое чпсло, такое, что квадратичный невычет по моду-

лю р ;

6. S= МХ<С>; |cl = p, М - группа Ыиллера-ыорено;

7. S = &a>*<e>V<:fe>; р"1, 1Й1 = рп, /с/-=р*

о. S (<a.W&>)*<c>, 1о-1=\Ы= р2-, n^i,

- У -

£а(С]=ЬР, , где £=0 или <М0)-

абсолютно минимальный квадратичный невычет по модулю р, -

квадратичны;: невычет по модулю р;

9. 5 = |о.1=рп, 1&!=р2, М = р,

Са.^аР™"1, Па ,с]4р, пб, <?].-£.

3 типах <1-5 3 , в типах 6-9 рт4 2, .

Любые две группы типов 1-9 неизомор;Тны.

При доказательстве этой теоремы были изучены некоторые свойства СЙ.р-групп /леммы 10 и II/. Они будут полезны в дальнейших исследованиях, но сначала для краткости записи введем обозначения. Будем говорить, что СЯ.р-группа 5 , записываемая через свои образующие как группа типа ¡^теоремы 4, (-<= 1,9 , язляется группой типа У*- . ,7л будем такке писать, что__Г2уппа й — ^ (й-, £>), если 1е 1,3 или §-1Р''1-(<1,Ь,с), ее.та 1е6,9, причем порядок следования образующих С в этих выражениях точно соответствует порядку их записи в представлен™ группы 5 различными произведениям! циклических групп с вышеперечисленными образующими в типе теоремы 4. Отметил, что в этих обозначениях вакен правильный выбор образующих группы 3 , а тшссе порядок их записи. Теперь сформулируем упомянутые выше леммы 10 и -II.

Л е м м а 10. Все максимальные подгруппы групп типов У' и У5 являются группами Удллера-Морено. Если группа 3 типа ТТ*", где ¿& 2,4 , то она имеет только одну максимальную абелезу подгруппу М, а именно:

если о — (<С^>Х<С>)>'<'-(•> _ группа типа (Г^ , то

если

группа типа V3. то

М =<СЪР>х<г>х<;с>х<£>;

если 3 = Г<^>х<о)А<&1> - группа типа , то

Г1 = фх<С>хиР>. __

Л е мм а II. Пусть группа 3 = С), се о, 9 .Тогда

2. Бее максимальные абелевы подгруппы данной группы исчерпываются следующими подгруппам: го

а/ при ¿-6: <а/,6,с>, <а-Л\с>, <а..в\с,а!™р>, где ЛфО(тос(_р)) > если ¡л/£.¡61 , в противном случаев;

б/ при ¿=У: <&р,Ь,с>, <а,)В^р>, <а, где Х^О(тос1 р)

в/ пси = ,с")

г/ пои ¿=3: <:а.Р,Ъ,с> !

3 §4 "Первоначальные сведения об С/1 р-группах" приводится ряд леи.!, характеризующих наиболее ванные свойства ^Л -групп. Так, в лемме 12 утверждается, что подгруппа Фраттини Шр-

группы С является абелевой или группой }.лллера-'.!орено. Следующая лемма /лемма 13/ определяет число образующих исследуемой группы в зависимости от абелевости подгруппы Фраттинк ФСб) и некоторых ее внешних свойств.

Л е м м а 13. Пусть & является ОС р -группой. Тогда

1. Если т(0)~ неабелева группа, то 6 поражается двумя элементами.

2. Если Ф(С)- абелева группа, Фк если существуют элементы (АТСс-), х<гсР(&), такие, что <&,.£> то С- порождается двумя'элементами. Если для любых абСХФГС-) и ЛбФС&), £<Х1ЗС} = 1 выполняется

то б порождается тремя элементами.

3. Если ФСО)^ ей(ь) и при ртом в & содержится такая С1 уЗ-группа

8 , что то & порождается тремя элементам, в

противном случае она поражается не менее, чем четырьмя образующими.

Теперь, используя те ореху Бернс&'эда о базисе и лемму 7 данной работы, нетрудно указать какую подгруппу ©ратт'ши долина иметь СХр-группа (? , если она содержит в качестве максимальной подгруппы (Хр-группу некоторого из перечисленных в теореме 4 типов. Так, для 2-поронденной ©1р-группы (г подгруппы, одна из которых мокет быть подгруппой ^раттини указаны в леммах 10

и II. Ваянык результатом работы является леша 14, в которой устанавливается, что при р>3 все С^р-группы регулярны. Этой леммой завершается первая глава диссертации."

В главе 2 диссертации "Описание регулярных 2-поровденных СХр-групп" перши ее параграф /параграф 5/ " СЛр -группы с не-абелевой подгруппой фраттини" начинается двумя леммами, которые, • наряду с некоторыми иными утверждениями, такие дают критерий регулярных СЯ о-групп с неабелевой подгруппой фраттини.

Л е м мл 15. Если регулярная -группа & такая, чтоТСР]-группа Шллера-шорено, то

'ФШЭД.

Л е м ы а 16. Пусть Тогда Ф^У является

группой А^ллера-'лорено, а любая максимальная подгруппа группы С имеет тип п любая подгруппа индекса рА в группе & явля-

ется метш^клической группой Ниллера-Иорено.

К'онс ['ругтпвпос описание регуляр:шк С^р-групп С с неабе-ло:;оГ< пздгру^о:: С;лтг-.-И1ГЛ Ф(6) получено в лемме 1?, которая у г вор даст, что псследу^оя гоу.тка является иотацдеяичоской и

имеет щклический коммутант порядка р . Оставшаяся часть параграфа 5 посвящена уточнению типов таких метациклических групп. Все С%р -группы с неабелезой подгруппой Сраттини включены в типы I и 2 теоремы I.

Последние два параграфа работы посвящены исследованию СЛ. р ~ групп с абелевой подгруппой сраттиш. Так как CJL р -группы ш получаем путем расширения СЯр -групп с помощью группы порядка р , то далее целесообразно соблюдать соглашение, приведенное, в замечании I: если расширяемая 01 р -группа S имеет тип , то в группе G не содержится ни одной -группы типа (Г^ для J ^^ . Отсюда сразу ~е следует, что все ^'р -группы, полученные при расширении С/1р -групп различных типов, неизоморакы менду собой. Это требование естественно, поскольку в противной случае в качестве расширяемой группы 5 при j < ксото было бы взять группу типа ^^ .

В §5 исследуются №р-группы G с абелевой подгруппой 'îpaT-тиш ^CG) и которые содержат ¿-порогхдеккую СЕ- р -группу S . Так как ФС&) - абелеза подгруппа индекса Р2" в группе G- и максимальная подгруппа в любой Ciup -группе, содержащейся в группе & , то по лемме 10 расширяемая С^-р-груша S должка '-меть вид

, где ¿s Я,У. А так как все эти CZp-группы имеют нециклические коммутанты, то для всех получешх в §6 р -групп имеет место р>5 /см. свойства регулярных групп/. В этим параграфе получены группы типов 3-7 теоремы I . Остальные CZ p -группы, перечисленные в теореме 1, получены в §? "Описание 2-порскдекных

QZB

-групп с абелевой подгруппой «зраттини, не содержащих ¿-порожденных -групп". 3 этом параграфе исследуемая группа G-содерхсит только З-порооденные СЯ-р -группы. Это значит, что любая неабелева собственная 2-порозкденная подгруппа группы & является группой Миллера-.','орено. Как установлено В.А.Шетжевым, для любо-Ч Cî-p-группц Т выполняется соотношение ФОТ) ¿= СТ) . Далее параграф разбит ка пункты, в зависимости от того, какой ткп имеет расширяемая СЛ р -группа S и какая её максимальная подгруппа считается подгруппой Фраттини группы & .

Осовпые результаты, получение в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Драганюк C.B. Конечные р-группы с неабелевой подгруппой Срат-тини, все 3-маясимальнне подгрупш которых абелевы ( р > 3). -Киев: КГПИ, 1989. - 22с. Библиогр. 4 назв. /рус./. /Рукопись деп. в УкрНИИНТИ 13 ноября К8°г., К°2562-Ук89/.

2. Драганюк C.B. К вопросу о строении конечных щглмарних групп,

все 2-максимальные подгруппы которых аоелевы. - Киев: КГПИ, 1990.-16с. Библиогр. 4 назв. /рус./. /Рукопись деп. в УкрНИЙНТИ II мая 19911г., И 813-Ук90/.

3. Драганюк C.B. К вопросу о строении конечных прзшарных групп, все 2-максимальные подгруппы которых аоелевы. //Комплексный анализ, алгебра и топология. - Киев: Институт математики АН УССР, 1990. С. 42 - 51.

4. Драгаток C.B.'Конструктивное-описание конечных регулярных 2 - по-ровдэниых групп, все 3-максимальные подгруппы- которых аоелэвы. -Киев: КГПИ, 1991. - 92с., Библиогр. 15 назв.//рус./. /Рукопись деп. в УкрНЙИНТИ 18 октября 1991г., № 1379-Ук91.

Подписано к печати 23.04.1092г.Обьем 0,6.Формат50х84 I/I6. Печать о; сетная.ív.y.ICO.L-ar.295, Бесплатно, yon ::Г;Г.' i: .¿рагоканояа, ;{кси,Пирогова, 9. .