Конструктивные методы анализа периодических систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

.На правах рукописи

ЕЛИСЕЕНКО Михаил Николаевич

КШСТРУГСГИВШЕ МЕТОД! АНАЛИЗА ПЕИГОДИЧЕСКИХ

СИСТЕМ ДИФЕРШЦИАЛЬНШ! УРАЗНШЙ

*

01.01.02 - дифференциальное уравнения

Автореферат ка соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

• Минск - 1992

Района выполнена в Могилазском отдалении Института фззикк АНЗ.

Научный руководитель: доктор физико-математических неук, старанй научный сотрудник Ыогилевского отделения Института фюики АНБ В.Н.Ластинсяий.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент АНЗ» доктор физико-математических наук, профессор Э.Й.Грудз,

кандидат физико-математических наук» доцент В.З-Амзльхнн.

Бедуцал организация - Институт математики АШ*.

Защита состоится "20" ноября 1392 г. в 10 часов на заседании специализированного Собеса К 056.03.10 по ггрисужденкю уча.ной степени кандидата ¿ааико-матома-тйчосхих наук в Белорусском гозударствзпкш университете по адресу: 220050» г.Минск, проспект й.Окарины, гд.корпус, ко&кзча 206.

С диссертацией можно оанаиокиться в биЗдястекз

Белору

^чокай гскр-зтьрь спеЕДОлиэиромшиего Ссаетс

доцек

В.Й.Кортак

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Начиная с классических работ А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, теория периодических решений дифференциальных.уравнений интенсивно развивается. Развитие этой теории обусловлено прежде всего необходимостью изучения колебательных процессов, возникающих в различных системах (механика, электро- и радиотехники, регулирования и т.д.), описываемых обыкновенными .дифференциальными уравнениями.

Теория линейны* дифференциальных уравнений с псркодн-чесхамк коэффициентами, основы которой были залохг...ы й.Флоке,

A.М.Ляпуновым, получиха своз развитие в трудах Н.Ц.Еругина,

B.М.Старжкнского, И.З.Штокало, В.Я.ЯнубазгЖ..

Б теория нелинейных периодических дифференциальных уравнений одним из важных этапов развития явилась разработка приближенных аналитических методов отыскания перяодаческях рете-

кий. К таккм методам следует отнесгя метод малого параметра

/

Пяпунова - Пуанкаре» развитый в работах И.Г.Мадккна, А.П.Про- • зкуряхова, Ю.А.Рябога, ДкДейяа и др.

УниЕерсальикн средством выявления л мрпблшетого от- . зканвл периодг,ческах решений дифференциальных систем являются дэтодк Н.Н.Воголнбога (мл.)« В.Я.Зубова» Е.А.Рябова, . 1.М.Самойлен:сс и др. ' . *

Несмотря на шгагочнсленность работ, поезягценных нсследова-иго периодических резений, а связи с задачами теории колеба-!нЯ разработка эффектявных алгоритмов построения периодхчее-сих решений сложных систем дифференциальных ургенений являет^ ¡я актуальной.

В диссэртаилошой работе изучается аналитическая струн- ' ■ура периодических решений линейных систем дифференциальных

3 ,

уравнений, содержащих параметр; выведены коэффициентные условия существования и единственности периодических решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений, а тгшже рвзрабс таны итерационные алгоритмы построения -этих решений.

Дель работы:

- исследовать вопросы существования и единственности пс риодкческих решений некоторых классов систем обыкновенных дне ференцкальных уравнений;

- разработать удобные для практического применения алго ритаы построения периодических решений рассмотренных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Б основу к с следований положен пред ложеншй В.Н.Лаптинским подход к конструктивному анализу пери дичееккх решений систем дифференциальных уравнений. Этот подх основан на истоде малого параметра и методе интегро - функцио нальннх тождеств А.М.Самойленко.

Научная новизна результатов. Научная новизна результате диссертационной работы состоит в следующем:

- получены коэффициентные достаточные условия существования и единственности периодических репекий некоторых классов линейных сисгеи дифференциальных уравнений с параметром. Дани представления отих репеккй в ввдэ рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра;

- получены коэффициентные достаточные условия существования и единственности периодических реиений квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Для отыскания этих решений разработаны итерационные алгоритмы, заключающиеся в построе-ккк равномерно сходящихся последовательностей периодических Функция» определяемых ре|эдрраитниий кктегральныкя еоотношени-

■ 4

ми;

- im основе указанного вшэ подхода проведен конструктив-:ы(1 анализ периодических решений систем дифференциальных урав-:ений, не разрешениях относительно производной.

Теоретическая и практическая ценность. Разработана методи-:а получения векторных интегральных и шггегро-фуякписнальнкх урав-ений, эквивалентных задаче о периодических решениях дифферен-¡иальнмх систем. Получеш коэффициентные достаточные условия су-;ествоваяия и единственности и разработаны нтерациокигтз алгорит-:ы построения периодических репенкй зт:;х систем. Пгстдот.-еншз лгсритмы да гут быть использованы при решении ряда задач мзхаш*-и, физики, техники.

Аггообапуя работы. Результаты диссертация докладывались и Осуждались на семинаре по теории дифференциальных и идтеграль-ых уравнений в Кяегском государственном уккЕсрситете. на сзий-врэ по дифференциальным уранпенаям в Институте математика АН ■крайни» на се:а;«аре г.о дкфкрэнцмальккм урязн-эшигл з Института атейатикя АН-Белоруса, ня ресцу&япгсэнсяоя семикгрэ по длфргрел-яяльнш урзрнекягм (BD', г.Минск).

Материалы диссертанта тгродстянлялясь и обсуждались ка III, У конферетглях по дя&^еренциалышм уравнениям и их прямвненя-м (Болгария, Русс«, 1985,; ISS3); кя XI Международной донферея-зт по нелинейным колебаниям iБудапешт, I9S7).

Публплгатаи. Основные результаты-диссертация опубликована

сех глаз и списка цитируемой литератур«, содержащего 129 накме-озакий. Объем- работы составляет 13.7 страниц маптиннслиского вкста.

работах

Ойт=е«-и структура работы. Диссертация состоят из введения

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по и с следа ваш® периодических решений дифференциальных уравнений, обосновывается актуальность теш, приводится краткое изложение работы.

В первой глаге "Периодические решения лкнейных систем, ссдергацкх малый параметр* рассматривается задача о период*лчес ких рзпегмях некоторых классов систем линейных дифференциальных уравнений с параметром. Разработаны алгоритмы построения периодических реыений указанных систем. Эти решения строятся з вкде рядов, содержащих недыа отрицательные степенл napai^^eтpг Дакы оценки, характеризуете скорость сходимости полученных р-' дев. Выведены достаточные коэффициентные условия су^ествоваяш и единственности поряодчческкх репений.

В § 1.1 расе^атряаьется (Л -пориадкческая система вентерных деффгрзк!р;гдьных уравнений

\ш +

»■ А- отряда еоотзетстзуЕЧЯх раз-ызрносгей, ( ); «Гг0 ~ скзакраый яарааетр.

Введем обозначения: • \

ем• (И, "Ц+ввМт.

' 6 '

т- т.

и Л

-3 яу\сг3

Здесь /• I - любая согласованная норма векторов и матриц. Теорема 1.1.1, Пусть выполнены условия

л в Фо, ^еь 8/и) Ф о ;

2)спелтр матркш ^¿У/-^ находится внутри единичного

руга.

Тогда СО -периодическое репекме системы (I) существует,

динсгвенно и представимо в виде

оо

А ^

(2)

де - постоянную вэзсторы; коэффициента ОС^^)}

— -периодические вектор-функции, определяемые ре-

урректнымн интегральиюга соотнопенига.га.

Скорость сходимости рядов {<), <3) характеризуется нера-екствскл

[Нх&АЬЗГш&М-У ' -/ '. пи

де £ - единичная матрица,

т

(ь, = +Ц Г^(У, ^^.

к=о

fti lb* (lp.

В § 1.2 изучена задача об (jJ -периодических решениях системы (I) в случае, когда В(^) —0.

Показано, что СО -периодическое решение представимо рядами , . Оо

Н~й

- £ и®+л-% fij.

В ? 1.3 рассматривается матричное дифференциальное уравнение

^ЦМАь+ЛЬХЬМ + т, ""

где Aj(i). , F(i)~ непрерывные (]ХЦ —матрицы, имею-

щие обний период (ЮУО} 9 В^ - постоянные невырожденные ft ХП -матрицы,

Пряма;.: следующие обозначения

d = та.эсlAf(t)l'lA2lJ fi = тазе/В^&)ИВ,/

cT= max IА,6)НВ'Х p^axlB£{tii-IAU Л' = fA&c/c,

s

где V ~ линейный оператор:

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены услоЕпя:

1) матрицы /-'/ и /V ке имевт обцих характеристических

чисел;

2)

Тогда (х) -периодическое решение /{(¿/л) уравнения (4) существует, единственно и предстази.мэ рядом

где

К

-Г- ^ , Л О) . о \

'Ш = 9А, +

+ ?ск{[в!А,1г)Р(*) + Рйв^АГЗ^},

С? (Я) -А-

со

Для приближенной формулы

ХМ б*.»■= Т 4 Л*

9

шеет место оценка / , УЦ+±

II т - Ш1 * —■ (,,

1- щ у/

В 5 1.4 рассмотрено векторное дифференциальное уравне-.

яке

с!эс

а

где

Здесь , матрицы А}к1 ^(-к) и вектор - ^оШ^Ш^к)

непрерывны и 0) -периодичны;

Обозначим фО) - В^УА^'О-А^)?

ЪМ = Дф с/т, .й) = С/Г,

О ч о

ф: . й/л-Цсф>

Теорема 1.4.1. Пусть выполнены условия:'"

Тогда Д) -периодическое решекяе уравнения (5) существует, единственно и представило рядом

Со ^

осШ - ^ эсч(±)+11Лэсе &).

чо '

В 5 1.5 изучается задача об Ой -периодических решениях уравнения

для случал, когда &(й.ч)—0 . (8(t)~ JA (TJC/rJ, ЗдесbJC(r!f¿n . /\(-t) . ^-(i) - класса Q uj - периодические SI X /1 - матрица и fl - вектор; \rfrQ •

Эта задача рассмотрена в предположении, что матрица

= ¿o

неицровдена.

Периодическое решение получено в виде

i . £2. £ эс С* А) = .

Во второй главе "Итерационные методы построения иер'.'.одм-чески'с реяений квазилинейных дифференциальных уравнекйй" разработаны итерационные алгоритмы построения периодических рспенкЯ системы ¡зэкторны* дифференциальных уравнений и уравнений это- ~ poro порядка.

•В 5 2.1 рассматривается система дифферэнцкальнлх ¿равнений

ff- fi fij ^ = Д^х +АЩ р, (6)

с/ fi «S ' "1

, /¡¿Щ.и-ЫГ-ыассьС ¿У-пе-

«одические мзтрпцы соответствующих размерностей; ¿У-лериоди-еские по пектор-фун:о?т , улС^)^^) спре-

елены и нзярертчы по совокупности лзрзизшгых

' II.

4 Т и &-/Р /Р"'*

оцА. 1 ¡¡Х' -и к. /■■ /гь и удовлетворяют относительно ОС « условия Ляшпца с постоянным« соответственно , И 13- , ¿1/ .причем £ &,О,0)ф0, (/-1,3,)-Введем матрица

</ 4,*(1гп1 ¿а. )

Iй ~ & [ тъ к« / ( с/ч / ( у/

Т'

Матрицы » ' ^ » M¿ определены в § 1.1.

Имеет место следующий результат.

Теорема 2.1.1. Предположим, что выполнены следующие

Тогда ^-периодическое решение системы (6) сучествует, единственно и представало как предел равномерно сходящейся по-' слсдовательвдсти СО - периодических функций, определяемых рекуррентными антегральнкии соотношениями.

В § 2.2 в аналогичном плане рассматривается задача об -периодических ренешях системы (6) в случае, когда В(и))=С

В » 2.3 рассматривается векторное дифференциальное ураэ-

•где А к}' класса С ¿У-периодическая матрица;

- . 12

СО -периодическая, по вектор-функция ^(-ijXj у J определена и непрерывна по совокупности переменных

/ОС, jj 6 l&X Id X Ifl и удовлетворяет относительно Л? , ^ условию Лидаица с постоянными соответственно /vf , /л^ , причем f(-it ot о) фо, С0>0. ¿j

В случае, когда ~0} (В(м)- f/lfrjc/ijполучены

условия существовпн.ия и единственности и разработаны итерационные алгоритмы построения ¿6*-периодического решения уравнения (?).

Лримем следующие обозначения

£ о(сО ■+ со Li Ojl/%, 'де патрица

введена в 5 1.5.

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия . 4

B(w) = 0, ciet$(co)i:o, dei(E~H)>o.

Тогда. СО -периодическое резение деавдозм (?) суаасг-ует, единственно и представкмо как предел равдакэрно сходяцеЯ-я последовательности ¿cj -периодических функций, опредаляе-ых рекуррентными соотношениями ^ ../_

£0 % Т° 6 ^ I

UJ

Oi0 * ■ fa ft) - h jWr /Й fe,-, & (фк

0 'Г Си

К . Гр/l____i L

7

где эсч=0,

■ cc> L J_ Q

• yfto^ifterSAWdeXo.

о ^

Третья глава "Итерационные методы построения периодически: скич решении Д!«]$ере1гаиг,.ль1?ы:с ургшенкЯ» не разрешенных относительно произг.однеу" посБ-щена разработке итерационных алгорит mod построения периодических реиешй квазилинейных дифференциальных уравнений первого и FToporo порядков, не раэрепзнных относительно производной.

В я 3.1. рассматривается векторное дифференциальное (jj -периодическое урашение

jife^Ateoc+f^x^tCceit '8)

Введем обозначение f СО + j^fai^/'+^c/ljiO f^

где постоянные q^ , ¡^ , // определены з § 2.3;

о

Теорема 3.E.I. Предположим, что выполнены следующие ус-

лояия: ' deiBM^O, <p<i.

Тогда СО -перш;.мческсе реиение уравнения (8) существует, единственно и представимо как предел равномерно сходящейся последовательности (jJ -периодических функций» определяе-

14

мы/с рокуррентныш! соотношениями

WhBM ¡Шск

о Г о ■

I co

где XrC,40=-C>. (Co) $£(?,(> ,0)dt.

I </ о

Приведен тайге алгоритм с неявной итерационной схзксй.

Получены оценки, херактеркзукцие скорость сходлкостп разре-'

ботанных алгоритмов.

Бызедены таете достаточные услозая с;дестэовшгая и

единственности А)' -периодического ранения ура5не:с-:я

dec - x.i± «о dx)

-air - ж;

!i алгоритм отыскания этого ранения.

3 § 3,2 аналогяч11ыы оЗразоы исследуется загс-'; оЗ СО -периодических решениях урггнения (8) зрп услог-г«, что В(0))~О. й)

Введем обозначения ~ (if db f

f= | о/jso -1 if v

max ¡АШ1> fi^lC'Ul.

Теорзма 3.3.1. Пусгь гнпкнегга слсйус^з yassrsja

в(с*)=0, Мс(й>)ф0л

' Тогда I СО -всриодкчесгов р«ам®а^Еуам1»гм (В) еу^езт-15

вует, единственно к представимо как предел равномерно' сходящейся последовательности ¿с)-периодических функций, определяем;« рекуррентными соотношениями

Хн(±)=ш ШАШг^УКШ6 -( ^ 0 'г

- е'Ссо) 1 ш {(% ХмМ + б'Н• ]'■ #(Г)„(г))с& 1Лг..^

о

У™ С+) +

где Л

^-о, а, ^¿¿И ШГо/£0^СЩ{(та&Г

3 5 3.3 на основе разработанной методики выведены (при О ) достаточные условия однозначной раз-

решчости задачи о5 бс* -периодических репениях векторного дифференциального уравнения

¿^е _ / £'/1 г )

а также разработаны алгоритмы отыскания такого решения.

Основные •результаты работы.

I.Коэффициентные достаточные условия существования и едш-стзенности периодических решений некоторых классов линейных систем дифференциальных уравнений с параметром; представления этих ресзнкй б виде рядов» содержащих целке отрицательные степени параметра.

К

2.Итерационные алгоритмы отыскания периодических решетя квазилинейных систем дифференциальных уравнений и коэффи-шентные достаточные условия существования и единственности ¡тих решений.

3.Итерационные алгоритмы построения периодических решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений, не разрешения относительно производной.

Публикации по теме диссертации

1.Елисеенко М.Н., Лзптинский В.Н. К вопросу о построении ериодических решений квазилинейных дифференциальных уравнений.

Укр.мат.журн., 1983 , 35, I? 4, с.494-493.

2. Елисеенко М.Н. 0 построении периодического решения вазилинейного дифференциального уравнения второго порядка.-есц! АН. БССР, Сер. физ. - кат. наук, 1934, № 1, с.27-32.

3. Елисеенко 'Л.II. О периодических репеккях обыкновенных ифференциалькых уравнений, первого порядка, но разрешенных строительно производной. - Бесц1 АН БССР, Сер. ф1з.-к2т.каззух, 334, » 2, с.120. Рукопись депонирована э ЕИНЮТ 1933,

4S35 - 83 Дел.

4. Елисеенко М.Н. О построении периодических рсгений ¡нейных дифференциальных уравнений .первого порядка. Рукопись ¡¡тонирована в ВИНИТИ 1985, £ 43 - В5 Деп.

5. Елисеенко H.H. О периодических ревениях обызснозеншяс [фференцизльных уравнений второго порядка, но разрезэдак* от-сите."?-КО производной. - Дифферекц. уравнения, 1985, Р 9, I6I8-I62I. ' ______

I?

6. Елисеенко М.Н., Лап?::нский В.Н., Подолян С.В. О периодических решениях линейного матричного дифференциального уравне ния. - Труды III конференции по дифференциальном уравнениям и и применениям. Болгария, Руссе» 1987, с.123-126.

7. Елисеенко H.H., Пугин В.В., Юрасова Л.П. Построение периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений. XI Международная конференция по нелинейным колебаниям. Тезисы докладов. Будапешт, 1987, с.83.

8. Елисеенко Й.Н-, Юрасова Л.Г1. О периодических решениях квазилинейных систем дифференциальных уравнений. 1У .конференция по дифференциальным уравнениям и их применениям. Болгария. Руссе. Тезисы докладов и сообщений, 1989, с.107.