Контактное взаимодействие упругих тел с теплообразованием от трения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ -ги $3>ГИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ IVе-' . МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАНА

На правах рукопису Юринець Ростислав Володимирович

УДК 539.3

КОНТАКТНА ВЗАЄМОДІЯ ПРУЖНИХ ТІЛ З ТЕПЛОУТВОРЕННЯМ ВІД ТЕРТЯ

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

■і- !

ЛЬВІВ - 1998 р.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі механіки Львівського державного л верситету ім. І. Франка.

Наукові керівники: доктор технічних наук, професор

Гриліцький Дмитро Володимирович, кафедра механіки ЛДУ ім. І. Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професс Вігак Василь Михайлович, керівник відділу механіки деформ. тверд, ті ІППММ ім. Я.С. Підстригана НАН України;

доктор технічних наук, професор Сяський Андрій Олексійович, завідуючий кафедрою загально-технічних дисциплін і методики трудового навчання Рівненського педагогічного інституту.

Провідна установа: Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпен;

НАН України, відділ фізичних основ міпнос матеріалів, м. Львів.

Захист відбудеться “22_” 199.? р. о і5" год. на засіда

спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладі проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України адресою: 290053, м. Львів, вул. Наукова, 3 б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці ІППММ (м. Лы вул. Наукова, 3 б).

Автореферат розісланий длапспадд 199£ р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук

Шевчук П.Р

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Забезпечення міцності і довговічності елементів інструкцій, які піддаються під час експлуатації впливу теплових і їлових навантажень, зумовило численні дослідження їх термонапру-еного стану.

Значний внесок у розвиток теорії контактних задач термопружності з ;плоутворенням зроблено у працях В.М. Алєксандрова, В.М. Вігака, .В. Гриліцького, М.Б. Генералова, Є.В. Коваленка, М.В. Коровчинського, .А. Кудрявцева, В.П. Левицького, В.З. Партона, J. Barber, F. Ling та ін.

У сучасних різнотипних технічних конструкціях часто використову-ться складові елементи, які наділені анізотропними і навіть неоднорід-іми властивостями. Неоднорідність фізико-механічних властивостей ма-гріалів складових елементів конструкцій та їх анізотропія можуть бути риродними або виникнути в процесі формування заготовок внаслідок гхнологічних операцій, або ж з’явитися в процесі експлуатації під впли-зм дії реактивних середовищ. Врахування реальних властивостей мате-іалів під час проектування і розрахунку конкретних конструкцій при-зодить до значного ускладнення математичних моделей та їх формалі-званого опису. Це вимагає розробки нових підходів до аналітичного роз-язування такого класу задач і їх числового моделювання за допомогою Зчислювальної техніки. Таким дослідженням присвячені наукові праці .П. Барана, Д.В. Гриліцького, Б.М. Кизими, Ю.М. Коляно, С.Г. Лехніць-зго, Т.Л. Мартиновича, Г.М. Савіна, B.C. Саркісяна, А.О. Сяського, Ashiba ., Noda N., Singh А. та багатьох ін.

Мета роботи полягає у встановленні впливу контактної взаємодії пружного ізотропного ци-індра з жорсткою обоймою на його термонапружено-деформований стан; у виведенні співвідношень для визначення термонапруженого стану вошарових пружних циліндрів з врахуванням теплоутворення на межі озділу;

у розробці математичного підходу для визначення термонапружено-еформованого стану трансверсально-ізотропних циліндричних тіл; у встановленні впливу трансверсальної ізотропії на напружений стан в иліндрі при його поступальному русі в жорсткій обоймі;

- у визначенні впливу тепла на розподіл контактних напружень, перемі щень і температурних полів в пружній півгагогцині, що виникають прі взаємодії жорсткого нахиленого штампа і півплощини з врахування! часткового відставання півплощини від штампа.

Загальна методика виконання досліджень. Побудова розв’язкі крайових задач стаціонарної термопружності для ізотропних і трансвер сально-ізотропних тіл грунтується на застосуванні рядів Фур’є, ін тегрального перетворення Фур’є, методі зважених нев’язок.

Наукова новизна. Основні результати роботи стосуються задач пр контакт двошарових циліндрів та штампа і півпростору при їх взаємном; нагріванні від тертя. Наукова новизна міститься в постановках задач, . методах розв’язування, в отриманих результатах.

У роботі:

- одержано розв’язок статичної осесиметричної задачі термопружност для ізотропного циліндра, який поступально рухається в жорсткій обоймі

- запропоновано математичний підхід для визначення термонапруженоп стану трансверсально-ізотропних тіл при застосуванні розкладу шукани: розв’язків вихідних рівнянь в ряди Фур’є по осьовій координаті;

- застосовано розроблений підхід до розв’язання осесиметричної задач термопружності для трансверсально-ізотропного циліндра, який посту пально рухається в жорсткій обоймі;

- отримано розв’язки осесиметричної задачі для визначення термонапру женого стану двошарових пружних циліндрів у випадку теплоутворенню від тертя на межі розділу;

- знайдено віддалення (зближення) нахиленого нагрітого штампа ві; пружного півпростору та досліджено його вплив на силові і температури поля.

Практична цінність. Отримані в дисертаційній роботі результати мо жуть знайти застосування при розрахунку рухомих з’єднань в машинах механізмах при бурових роботах, протягуванні тощо. Подана в робот математична модель дає можливість описати і пояснити термопружну поведінку трансверсально-ізотропного циліндра, який поступально рухається в жорсткій обоймі. Диференціальне рівняння для визначенню узагальненої функції напружень можна застосувати для розв’язуванню задач термопружності для транверсально-ізотропних тіл.

з

Вірогідність одержаних результатів забезпечується строгістю поста-юк задач і коректністю використання математичних методів їх роззування, знаходженням точних аналітичних розв’язків основних вихід-£ диференціальних рівнянь, збігом окремих результатів дисертації з омими в літературі.

Особистий внесок здобувана. Автором роботи проведені дослідження контактної взаємодії пружних тіл з теплоутворенням від тертя, іблені узагальнення отриманих результатів, одержані розрахункові іежності, які прогнозують поведінку тіл при контакті.

Розв’язано задачі термопружності про контактну взаємодію ізотропне циліндрів, жорсткого штампа та пружного півпростору з врахуванні теплоутворення від тертя, постановка яких здійснена к.ф.-м.н гвицьким В.П.; досліджена контактна задача для трансверсально-ізот-

іних циліндричних тіл під керівництвом д.т.н. Гриліцького Д.В. Апробація роботи. Окремі результати досліджень з теми дисертацій-роботи доповідалися на IV Міжнародній конференції з механіки >днорідних структур ( Тернопіль, 1995р.), на Всеукраїнській науковій іференції «Розробка та застосування математичних методів в науково-:нічних дослідженнях» ( Львів, 1995р.), на III Міжнародному симпозіу-«Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та іико-хімічної механіки композиційних матеріалів» ( Івано-Франківськ, )5 р.), на II Міжнародному симпозіумі «Механіка і фізика руйнування цвельних матеріалів та конструкцій» (Львів-Дубляни, 1996р.), на 3-му жнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові >вів, 1997р.).

Загалом дисертаційна робота обговорювалася на науковому семінарі £іедри механіки Львівського держуніверситету ім. І. Франка, на роз-реному науковому семінарі ІППММ ім. Я.С. Підстригана НАН України. Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано інадцять наукових праць.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з всту-чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел (134 іменувань) і містить 139 сторінок та 22 рисунки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано важливість та актуальність питань, розгляд яких присвячена дисертація, вказана мета роботи і сформульовано ос новні положення, що виносяться на захист. Наведено огляд наукови праць з контактних задач з врахуванням теплоутворення і трансверсалі ної ізотропії матеріалів.

В першому розділі наведено вихідні рівняння та основні співвіднс шення, необхідні для постановки і розв’язування осесиметричних кої тактних задач термопружності для ізотропного й трансверсальнс ізотропного тіл та формули розкладу функцій в ряди Фур’є.

Диференціальні рівняння осесиметричної термопружності ді ізотропного тіла мають вигляд

. 1 де 2(і+у) ді 1 де 2(і + у) ді

А иг+----------= -------а—, Д и. +-= •----а--, (1)

1-2V 5г 1 - 2у дг \-2vdz 1 - 2у дг

де иг і иг - радіальне і осьове переміщення, Д - оператор Лапласа,

а - коефіцієнт лінійного теплового розширення, V - коефіцієнт Пуассона. Розв’язок однорідної системи (1) шукається введенням функції Ляі Цг,г), яка задовольняє рівняння

ААЬ = 0. (2)

Для побудови частинного розв’язку рівнянь (1) вводиться термопружний потенціал переміщень Ф, який задовольняє рівняння

дФ = ~ Ш . (3)

1-У

Диференціальні рівняння осесиметричної термопружності до трансверсально-ізотропного тіла мають вигляд **>

. &иг Аи диг Аи . 51иг , ^с^и. „

а ’ + Я. 2иг + А«-* 2 +(^13+^44)-я-І: =РПЯ- -дг' г дг г сс дгсі дг

** Мелан Э., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стаци нарными температурными полями. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1958. - 168 с.

"> Грилицкий Д.В., Кизыма Я.М. Осесиметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости. Львов, Вища школа, изд-во при Львов, ун-те. -1981. - 136 с.

2 а - модулі пружності.

Для знаходження розв’язку однорідної системи (4) вводяться функції і(г,г), у2(.г,.г) за допомогою співвідношень: *>

^ ду2 и.=кі^г+к^2^ (5)

дг дг ■ 1 & 2 &

'ункції V)/,, \|/2 задовольняють рівняння

д2\\)і 1 5ш, 2д2\у. п

я 2 + я' +Ц?., =0 (1 = 1,2). (6)

дг г дг 02'

Розв’язок неоднорідної системи (4) шукаємо шляхом введення функ-

ї уХг>2)- яка є узагальненням функції напружень для ізотропного тіла,

л2

о х

иг = ги,

дгс2

д21 д2і

11. - О - -■ -2--- і" - - -

(7)

5/

& Л,3 + Л44

А а2 і 5 , а2

А,- - _- , + + Ц,

¥гХ=®4

& ’

дг

&-

(»' = ]-2)>

(8)

(9)

Я.п, А.33 - коефіцієнти теплопровідності трансверсально-ізотропного іа відповідно в радіальному та осьовому напрямах.

V

Рівняння стаціонарної теплопровід-3 ності для трансверсально-ізотропного середовища має вигляд

Р

п

Рис. 1

ехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.-М., 1977. - 415 с.

У другому розлілі розглянуто задачу про визначення температурна полів, теплових потоків і напружень у двошаровій циліндричній систем яка складається з довгого пружного порожнистого циліндра 1 внутрішній радіус ЯКОГО - Г\, ЗОВНІШНІЙ - Г2, який рівномірно рухаєтьс з швидкістю V в довгому абсолютно жорсткому циліндрі (обоймі) 2 (ри 1) зовнішнього радіуса /3 і внутрішнього радіуса Г2- Циліндри перебув; ють під дією осесиметричного стаціонарного температурного поля навкі лишнього середовища. Тепловий контакт між тілами неідеальний. Крі того, в результаті дій сил тертя на поверхні контакту двох циліндр утворюєтьсяся тепло, що поширюється в кожне із співдотичних тіл.

Теплові й механічні крайові та контактні умови мають вигляд при г =п:

дг

при г =г2:

а?(1)

= у/1), ст^=0, а^=0, (11)

д(т 8і(2)

д -^2-- =-/опУ , иг= 0, (12)

дг дг

5/(І) ‘ 0/(2) пЛ

. +^2 =й(г(2,-г(1)), СУк=/ап, (13)

дг дг ' }

при г = г3:

= -Ус('(2)-'с). (14)

дг(1)

дг

де Л - коефіцієнт теплопроникливості контакту, іс - температура навк лишнього середовища, яка є функцією координати г і подається у вигля ряду Фур’є на сегменті

Для побудови розв’язків вихідних рівнянь використовується розклі шуканих величин в ряд Фур'є за осьовою координатою на сегменті [-1 Розв'язок стаціонарного рівняння теплопровідності для ізотропного ті. має вигляд

}+В£Кп\ І І8ІП

ттс:

+ М\і)\пг+М^) (15)

І0(г) і К0(г) - функції Беселя і Неймана від уявного аргументу, *, , МІЛ ( 1,7 = ІД) - невідомі коефіцієнти, які визначаються з кра-

зих умов.

Після розв’язання вихідних рівняннь (2), (3) і задоволення крайових зв (11)-(14) задача зводиться до розв'язування системи лінійних ■ебраїчних рівнянь для кожного лз=0,1,2... . Числові розрахунки на ос-іі отриманого розв’язку задачі виявили зміну знаку контактних напру-нь стгг, що свідчить про існування зони відставання пружного циліндра жорсткої обойми в області контакту.

Щоб визначити розмір зони відставання, необхідно додати до розв’яз-задачі з крайовими умовами (11)-(14) розв’язок задачі з такими кра-:ими умовами і г = г,:

.0)

дг

і г— і\\

' у/4, а„=0, а. =0, (гє(-У,/)) (16)

X-

-Х2 ■ - =-/а„Г, (- є(—7,/)) (17)

1 дг * дг

я, 0) лг(2) , ч

V -'■”)• ИИ')) ««

иг= о, (г є(/„/)) (19)

Огг = -ст„., (г є(0,/,)) (20)

Оп. =/сгг, (г є(0,/)) (21)

\г= г3:

^ =~Ує*™, (- Ф>0)> (22)

-]и 7^ - величина зони відставання.

Розв’язана задача числовим методом. Відрізок [~1,1\ ділиться на 2Л-1 гини. Крайові умови задовольняються по г методом колокацій в

точках :п = А/ -п , де п = -N+1, . . . ,N-1, А 1=1 (ТУ -1). Умови (19), (20

задовольняються в залежності від значення 2-. Якщо </,, то задо вольняється умова (20), а якщо г ■ >/,, то - (19). Кількість розбиттів під

бирається так, щоб при його подвоєнні результати співпадали з певнов точністю. Якщо /, замале (спостерігаються додатні радіальні напружен ня), то його збільшуємо на Д/ і повторюємо розв’язування задачі з крайо вими умовами (16)-(22). Процес продовжується доти , поки контакти напруження не будуть всюди від’ємними.

Підсумовування за т велося до тих пір, поки для будь-якого є>і

-Бці/Бк <є, де N достатньо велике число, 5дг - сума певного числі

оГГ) МПа

0.2

-0.2

-0.4

-0 6

л

-Ч 2 3^

2, М

50

40

30

20

10

2 ч

N *

Г. М

-10

0.9

-6 0 5 10 0.5 0.6 0.7 0.8

Рис. 2 Рис. З

доданків відповідного ряду. Для числових розрахунків бралося Ы=21 Відносна похибка не перевищувала п’яти відсотків.

Деякі результати розрахунків наведені на рисунках 2, 3 при таки: пружних і фізичних характеристиках матеріалу: у=0.32, <3=2.5-Ю10 Н/м а =23.1-10-6ІГ’, ?ч=207 Вг/(м-К), X, =56.9 Вт/{м-К), уа=1 м~\ А =10

Вт/(м -К), ї=0.18. Геометричні розміри труб мають такі значення: Г]=0. м, г2=0.7 м, г3=0.9 м, 1—10 аг. На рисунках зображено графіки залежною відповідно радіального напруженя від координати т. при г=г2 та темпера

тур від координати г при т.—Ъ м (крива 1 при ус = 1 м_1, крива 2 пр:

ус=2 м~]). Показано, що коефіцієнт теплообміну ус жорсткого циліндр

ливає на розмір ділянки відставання. Зона відриву при ус=1 м 1 спос-

зігалася на відрізку [-3.47 ж, 3.47 м], а при уе=2 м~1 - на відрізку .59 лг, 3.59 м]. Коефіцієнт термічної провідності поверхні контакту її хож впливає на величину ділянки відставання. При збільшенні Ь роз-

з зони відставання збільшується; (рис. 2: крива 1 при Л=104 Вт/(м2-К), З ^

ива 3 при Л=10 Вт/(м" -Щ). При збільшенні швидкості руху утрішнього циліндра контактні радіальні напруження зменшуються, рис. 2 крива 4 отримана при ^=0.01 м/с, а крива 1 при ^==0.02 м/с.

В третьому розділі розглянуто осесиметричні задачі термопружності я циліндричних тіл. В першому підрозділі визначаються температурні ля, напруження і деформації пружних циліндрів при їх відносному зтупальному русі. Циліндри перебувають під дією зовнішнього осеси-тричного стаціонарного температурного поля. Крім того, в результаті сил тертя на поверхні контакту утворюється тепло, що поширюється кожне із співдотичних тіл. Внаслідок розв’язування відповідної айової задачі отримано співвідношення, які дають можливість об-слювати всі необхідні величини термопружного стану циліндрів. Як :тковий випадок розглянуто задачу, коли відсутнє теплоутворення на верхні контакту. Визначені температурні поля і теплові потоки, напру-'ння і деформації двошарових пружних циліндрів.

Після подання розв’язків вихідних рівнянь у вигляді рядів Фур’є, задачу зведено до розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів.

Деякі результати розрахунків при значеннях температур відповідно внутрішнього і зовнішнього навколишніх середовищ

'і 00, 0<г<7

0, 7<2’(10 ’

0.5

0.6 0.7

Рис. 4

0.8

т, м

іа = 0, і=-

ведені на рисунку 4, де зображено графік радіальних переміщень від зрдинати ,г(рис. 4) при ус = 1 м~'(криві 1) і при ус=2 м~1 (криві 2).

Далі досліджується термонапружений стан трансверсально-ізотрог ного циліндра, вкладеного в жорстку обойму при фрикційному нагрівані Пружний циліндр в обоймі рухається рівномірно з швидкістю V. Цилін; ри перебувають під дією осесиметричного стаціонарного температурної поля. Визначається термонапружений стан внутрішнього циліндр; зумовленого стаціонарним осесиметричним температурним полем взаємодією з обоймою. Крайові умови мають вигляд (11)-(14).

Розв’язок рівняння теплопровідності (10) шукаємо у вигляді ряд Фур’є

г(,)М=^

т =1

2т1

тс тгЛ

т~г)

+ М\і) Іпт- + М?\ (23)

де

ті/= 'Ъ33

Для функції отримуємо вираз

Vі Г

Уі = 2Д

„,=Дтш

*г1ті0

лот пт

„ , , пт _ „\пт

Іи 0І7,7Т 2га °Ь^Г

БІП

пт: собі - І +

п ті

І

Аналогічно поступаємо при відшуканні функції ці2. При лз=0 розв’язо) рівняння (8) подаємо у вигляді

X = (5,1п л- +^2 г1 +г253 + 54/'21пг +53х3. (24)

Пошук частинного розв’язку неоднорідної системи рівнянь (4) зводиться до отримання частинного розв’язку рівняння (8), який подамо у вигляді:

пт:

т-1

с> 1/я

(г)с08^---^£2ів(г)8ІП^-/

(25)

Підставляючи (25) в (8), отримаємо для gjm (і= 1,2) звичайні диференціальні рівняння четвертого порядку, частинний розв’язок яких шукаємс методом варіації сталих і запишемо у вигляді

(г) - визначник Вронського, gЗт - визначена функція. Аналогічно аходиться функція £2т. Отримавши вирази для складових переміщень :апружень і задовольняючи крайові умови (11)-(14), задача зводимо до стеми лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного Л2=0,1,2... . Після про-цення на основі отриманого розв’язку задачі числових розрахунків, римано зміну знаку контактних напружень агг, що свідчить про існу-ння зони відставання пружного циліндра від жорсткої обойми в області нтакту. Щоб визначити розмір зони відставання, необхідно додати до зв’язку задачі з крайовими умовами (11)-(14) розв’язок задачі з крайо-ми умовами (16)-(22), як це зроблено в другому розділі.

Отже, розв’язана задача для трансверсально-ізотропного циліндра, що поступально рухається всередині жорсткої обойми. На рис. 5 зображено графік зміни радіального переміщення вздовж осі Ог при і^=г2 (крива 1 при

ус=1 м_1 і крива 2 при ус=2 м~'). Показано, що коефіцієнт теплообміну жорсткого циліндра впливає на розмір ділянки відставання. Зона відриву при -і

Рис. 5

ус=1 м

спостерігалася на відрізку

.33 яг, 3.33 м\, а при ус=2 м-1- на відрізку [-3.42 м\ 3.42 м\ Коефіцієнт змічної провідності контакту Л також впливає на величину ділянки 'ставання. При збільшенні Л розмір зони відставання збільшується. >и збільшенні модуля зсуву С для площини, перпендикулярної до ощини ізотропії, ділянка відриву пружного циліндра від жорсткої зйми збільшується. При збільшенні Е (модуль Юнга для розтягу і іску в напрямі, перпендикулярному до площини ізотропії) спостеріга-2я збільшення контактних радіальних напружень і ділянки відставання ужного циліндра від обойми.

Явище відставання штампа від ізотропної півплощини розглянуто четвертому розділі. Поставлена і розв’язана задача про рух нагріте нахиленого жорсткого штампа по пружному півпростору при неідеал ному тепловому контакті.

такту А. Від дії сил тертя на ділянці контакту відбувається теплоутв рення, пропорційне питомій роботі сил тертя. Необхідно визначи температурні поля, теплові потоки в контактуючих тілах, а такс напруження і переміщення в пружній основі.

Для побудови розв’язку задачі необхідно проінтегрувати рівнян термопружності для півплощини

Розглядається жорсткий штамп висоти Н, як: втискається силою Р в пружну півплощину рухається зі сталою швидкістю V (рис. 8). Пі площина перебуває в умовах плоскої деформаї Тепловий контакт між штампом і півплощинс неідеальний з коефіцієнтом теплопроникливості ко

Рис. 8

(27)

+ -—- + - -

(32)

при таких температурних крайових умовах: У=-Я

(33)

х=+а

=±уаР - Н< у< 0;

дх

(34)

У=0

ду

илових крайових умовах при у=0:

V- /(х) + 5[ + д2х х<а,

ауу = 0 х >а, іху = 0 х<<х>, (36)

5, , <52 - задані величини осадки і кута повороту штампа, а - пів->ина штампа, ,я!-р - коефіцієнти теплопровідності, - температура солишнього середовища.

Використовуючи скінчено-різницеву апроксимацію рівняння тепло-зідності для штампа і крайових умов (33), (34) по координаті х , роз-ок задачі для штампа будуємо методом прямих, в результаті чого імуємо систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку, з’язок якої будуємо за допомогою матричної експоненти.

Частинний розв’язок рівнянь (31) та (32) для півплощини шукаємо у іяді:

5Ф дФ

и= , т/= . (37)

Зх ду

а-Ф + ^Ф = зх+2ц /2)_ .

дх2 ду Х + 2 ц г

ія застосування інтегрального перетворення Фур’є по координаті х, в ;торі трансформант розв’язок рівняння теплопровідності для півпрос-7 у>0 має вигляд

- Сйе'у.

з’язок однорідної системи рівнянь (31), (32) шукається у вигляді:

/ = + ^ = -(Я. + ц)^/, (39)

функція /має вигляд:

ґ=(С1 + С2^еіу. (40)

ія задоволення крайових умов, задача зведеться до розв’язування шх інтегральних рівнянь, для розв’язування яких використано :лад невідомих функцій в ряди Фур’є

сі2

китский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы ения жестких систем. - М.: Наука, - 1979. -208 с.

к

к

.(л") = ехр(/Атгл' /а), Х(лг) = ^ Ьк ехр [іккх / а).

(41)

к=-К

к=-К

Використовуючи метод поточкової колокації при х = хг х; = -а + ]. У = 1,...,Ы) отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для зн ходження невідомих коефіцієнтів ак, Ьк.

Числові розрахунки були проведені для випадку, коли матері; штампу є сталь, а півпростору - алюміній, при таких параметрах:

1=5.6-\О10Н/м2, ц= 5.6• 1010Н/м2, ат = 23.8- 10_б 1/К, Х^ =209 Вт/{м-1 = 25 Вт/(м-К), а=0.25 м, Л=20 кВт/^-К), 6,=0.01 м, 52=-0.02, Дх)=

здійснюється на ділянці - а <—1х < х< 12 < а, тому перші дві умої контакту (35) і першу умову (36) слід віднести тільки до — 1Х <х<12. І ділянках - а < х < і 12< х< а поверхні контактуючих тіл вважають вільними від зовнішніх навантажень, і необхідно задовольнити та крайові умови:

де Лд1 - термічний опір контакту на - а < х< і 12< х < а. Крайс

умови, що відповідають ділянці |х|>а, залишаються без змін. Проц зменшення розмірів ділянки контактування (/ = 1,2) здійснюється ,

тих пір, поки напруження <зуу не перестануть змінювати знак.

У висновках наведено основні результати з дисертаційної роботи.

у0=2 м~\ /г=0.1, Я=0.15 м, V— 0.25 см/с, Ґе=100°С, №= 25. В результг обчислень виявлено зміну знаку суу на ділянці 1х|<а, що свідчить п; існування зон відставання штампа від основи. Отже, контакт між тілаї

- а< х<-1х і 12<х< а

оуу(х,0) = 0, - а<х<-1] і 12<х< а

(42)

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

1. Поставлена і розв’язана осесиметрична контактна задача терм пружності для довгого ізотропного кругового циліндра, який поступальї

іється в довгій жорсткій циліндричній обоймі з врахуванням тепло-рення від дії сил тертя на ділянці контакту. В ході побудови розв’яз-зуло отримано ділянку відставання пружного циліндра від жорсткої ми. Це призвело до необхідності розв’язувати задачу при нових іових умовах на зміненій ділянці контакту. Встановлено, що при Зшенні коефіцієнта теплообміну жорсткого циліндра з навколишнім довищем збільшується ділянка відставання. При збільшенні коефі-га термічної провідності контакту розмір зони контакту зменшується. ;о товщину пружного циліндра збільшити, то ділянка відставання ішується.

□зроблено математичний підхід для визначення термонапружено-де-мованого стану для трансверсально-ізотропних тіл. Для побудови 'язку вихідних рівнянь застосовувався розклад шуканих величин в і Фур’є. Частинний розв’язок неоднорідних рівнянь шукався методом ації сталих.

а основі розробленого математичного підходу розв’язана задача про юпружний стан при поступальному русі довгого трансверсально-зопного циліндра в довгій жорсткій обоймі з врахуванням тепло-рення від дії сил тертя на ділянці контакту. Як і для ізотропного .дку має місце ділянка відставання, що призводить до необхідності ’язування контактної задачі із зміненими крайовими умовами, .новлено, що теплоутворення суттєво впливає на характеристики актної задачі: температура і теплові потоки в контактуючих тілах тають. Показано вплив анізотропії на термонапружений стан ндра. При зростанні модуля зсуву £?’ і модуля Юнга Е збільшуються актні радіальні напруження та ділянка відриву пружного циліндра корсткої обойми. При зменшенні коефіцієнта Пуассона у' зростають ві переміщення.

використанням методу зважених нев’язок розв’язано плоску конну задачу термопружності нахиленого штампа, що рухається по кній півплощині з врахуванням теплоутворення від тертя на ділянці акту. В ході побудови розв’язків було отримано ділянки відставання япа від основи. Це призвело до необхідності розв’язувати задачу при :х крайових умовах на зміненій ділянці контакту. Показано, що із танням коефіцієнта теплообміну верхнього торця штампа з навко-нім середовищем зона контакту зменшується. При зростанні

коефіцієнта термічної провідності контакту ділянка контакту а шується. Вертикальні переміщення краю півплощини зростают напрямку, протилежному до дії сили.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Гриліцький Д.В., Юринець Р.В. Термонапружений стан трансверс но-ізотропного циліндра, вкладеного в жорстку обойму при фрикцій; нагріванні.-Львів, 1997.-33 с. (Препр./ Львів, держ. ун-т ім. І. Франка).

2. Левицький В.П., Юринець Р.В. Термонапружений стан двошар циліндрів у випадку фрикційного теплоутворення на межі розді. Доповіді НАН України. - 1997. - № 4. - С. 54-60.

. 3. Левицький В.П., Юринець Р.В. Фокусування в узагальненій і рух термопружності// Вісник Львівського університету, сер. мех.-мат.-19 вип. 40. - С. 67-72.

4. Левицький В.П., Юринець Р.В. Фрикційна взаємодія осесиметрі: пари вкладених труб з теплоутворенням// Матеріали II міжнарс симп. з механіки і фізики руйнування будівельних матеріалі! конструкцій. Львів-Дубляни. - 1996. - С. 331-334.

5. Левицький В.П., Юринець Р.В. Математичне моделювання рухс циліндрів з теплоутворенням// Тези 1-ої міжнародної науково-техї конф. з математ. модел. в електротехніці й електроенергетиці. Лье 1995. - С. 84-85.

6. Левицький В.П., Новосад В.П., Юринець Р.В. Деякі осесиметричн дачі з урахуванням теплоутворення від тертя// Всеукраїнська нау конф. з розробки та застосування математ. методів в науково-технг дослідженнях. Львів. - 1995. - С. 48-49.

7. Левицький В.П., Новосад В.П., Онишкевич В.М., Юринець Р.В. ] тактні задачі з урахуванням фрикційного розігріву// Матеріали д відей III міжнародного симпозіуму з некласичних проблем теорії костінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки кої зиційних матеріалів. Івано-Франківськ. - 1995. - С. 111-114.

8. Левицький В.П., Юринець Р.В. Напружено-деформований стан ліндричних елементів при фрикційному розігріві// Тези доповідей міжнародного симпозіуму українських інженерів-механіків у Ль Львів. - 1997. - С. 222-223.

Юринець Р.В. Пара труб при поступальному русі з теплоутворенням тертя// Тези доповідей IV міжнародної конф. з механіки неодно-шх структур. Тернопіль. - 1995. - С. 71.

). Юринец Р.В. Расчет теловых и механических полей интегральных я// НТУ "Київ, політехн. інст-ут", научн.-техн. сб. "Электр, и связь",

в. - 1998. - вип. 4, ч. 2. - С. 399-404.

1. Юринець Р.В. Вплив трансверсальної ізотропії на напружено-юрмівний стан циліндра// Вісник Львів, ун-ту, сер. фізична. - 1998.. 31. С. 87-88.

2. Юринець Р.В. Контактна взаємодія плоского нахиленого шару і їлощини з тертьовим розігріванням// Технічні вісті. Львів - 1998/1(6),

. С. 70-71.

Юринець Р.В. Контактна взаємодія пружних тіл з теплоутворенням тертя.- Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-мате-ичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердотіла.- Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. стригача НАН України, Львів, 1998.

Дисертацію присвячено дослідженню контактної взаємодії пружних

з врахуванням теплоутворення від тертя для вкладених циліндрів, імпа та півпростору. Розроблено математичний підхід до розв’язуван-зсесиметричних крайових задач термопружності для трансверсально-■ропних тіл. Досліджується вплив теплоутворення на силові та темпе-урні поля і явище відставання контактуючих тіл.

Ключові слова: термопружність, теплоутворення, контактна взаємо-трансверсально-ізотропний циліндр, осесиметрична деформація.

Юринец Р.В. Контактное взаимодействие упругих тел с теплообразо-ием от трения.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-•ических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого рдого тела,- Институт прикладных проблем механики и математики Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 1998.

Диссертация посвящена исследованию контактного взаимодействия іугих тел с учетом теплобразования от трения для вложеных ци-

линдров, штампа и полупространства. Разработан математический ход к решению осесимметрических краевых задач термоупругости трансверсально-изотропных тел. Исследуется влияние теплообразов на силовые и температурные поля и явление отставания контакт ющих тел.

Ключевые слова: термоупругость, теплообразование, контак взаимодействие, трансверсально-изотропный цилиндр, осесимметри1 деформация.

Yurynets R.V. Contact interaction of stressed bodies with a generation on account of friction.- Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidat< physico-mathematical sciences on a speciality 01.02.04 - mechanics deformable solid body- Institute of Applied Problems of a Mechanics Mathematics by Y.S. Pidstryhach of National Academy of Science Ukraine, Lviv, 1998.

The thesis is devoted to an investigation of contact interactior stressed bodies, taking into consideration influence of heat, which organized owing to friction of contacting bodies, that is embedded cylind punch and half-space. The mathematical approach for a solution of axisymmetrical problems of a thermoelasticity for transversely isotn bodies. The influence of a heat generation to force and temperature fi< and appearance of lag of contacting have been investigated.

Key word: thermoelasticity, heat generation, contact interact: transversely isotropic cylinder, axisymmetrical strain.

Підписано до друку 11.11.1998р.

Формат 60x84 116. Папір оф. № 1. Гарн. літ. оф. друк.

Умов. друк. л.-І. Тираж 100. Зам. 2030.

__________________ Безкоштовно.____________________________

Видавництво ЛОУС 290058, Львів, вул. 700-річчя Львова, 4