Контурно-телесные свойства тонко субгармонических и тонко голоморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМ 1Я НАУК УКРАГНИ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На пряла* руисоису

САРАНА Олександр Аиатолшсгшч

КОНТУРНО - Т1ЛЕСН1 ВЛАСТИBOCTI тс: СУ-ГАРК-йм:'-:: ж та IОНКО ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦ1Й

01.01 01 - математичний внвл!э

A stop аф врат

дисертацК из здо.Зу ни вченого с г кандидата фйико мзтяматнч^и.

Ки?0 - 1S95

Дис0ртац1ею е рукошс.

Робота виконана у В1дд1л1 комплексного анал!зу та теорИ потецЮлу 1нституту математики HAH УкраГни.

Иауковий коровник: доктор ф!зико - математичних наук, професор ТАМРАЗОВ П.М.

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф1зико - математичних наук, БОВДАР A.B.;

кандидат ф!зико - математичних наук, КАРУ11У О.В.

Пров1дна установа: Льв1вський ун!вврситет 1м. 1.Я.<рранка.

Захист в!дбудеться 1995 р. о /S~год. на зас!данн1

сп9Ц1ал1зовано1 ради Д 016.66.01 при 1нститут1 математики HAH Укрв!ни за адресов:

252601, Ки1в 4, ЫСП, вул. Терещенк1вська, 3. 3 дасертац1ею можна ознайомитися у б1бл1отец! Гнституту

Автореферат роз1слано "<2$ ^f 1995 р.

Вчений секретар спец1ал1зовано! ради

ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн!сть тешь Контурно--т1лесн1 задач! полягакть у вяясненн! вшшву контурних властевостей ФункцИ! на властивост! всеродш! облает!. Перш! контурно-т!лесн! результата отримвл» в 1932 роц! Хард! i Л1тлиуд для круга 1 мажоранта ц(С) = е" ( v = const, v е (0,1 J), в 1934 роц! oouui.bue.-j:. i n n - ппя кооданово! облает! i

мажорант ц(0) = 0*', щв) - о )ln 6j. Б tS-12 р?цт я моногрвфИ Сыоелла Оула поставлена трупа задач, так звана проблема Варшавського-Уолша-Сыоолла: поширитн вилазгадан! результата Варшавського, Уолша, Сьюелла на мажоранти ц(0), В1дм1нн1 в!д Ov та 0 |In 01, та на неяэрданов! одаозв'язн! облает!, а також з'ясувати, для яких найОЬлып загальних модул I а ноперервност! так! результата в!рн! хоча <3 для областей з анал1тичною мекею.

Дояк! частков! контурно-т!лесн! результата б у ли одержан! в роботах Л.Г.Ыагнарадзе, и.В.Гягуа, е.П.Долженка, Я.Л.ГороШиуса.

В 1971 роц! поставлена Сьюелом задачи Оула розв'язана n.M.Tawpngrmwj. П.Ы.Темразов встановив контурно-тШсн! теороми тахоя для досить широких kji&cIb оагатозв'язнкх (в тому числ! нэскЫчевнозв'язних) областей 1 вщкритих юю»ш 9 додатною нижньою и!льн!стю меж! та для класу вс!х маЕорант типу модуля няпррервност!, а такой для rff,>wa

широкого класу мажорант - так званих нормалыгах.

Н1зн1ше для степеневих мажорант 1 голоморфних функц!й ряд результат1в було отримано в роботах Ю.Ю.Трохимчука, 1.0.Шевчука, А.й.Щехорсъкого, П.М.Тамразова, Гер!нгв, Хейманв 1 Инннанена. На2б1лыд загальн! результата було отримано П.М.Тамразовим - для дов!льних б1логарифм1чно вгнутих в узагальненому сено! мажорант, для досить широкого класу голоморфних функц!й, в дов!льних в1дкритих мнокннах. Ним же буди встановлен! локальн! контурно-т!лесн! результата для субгармон!чних функц!й.

В наш час 1нтенсивно розвиваеться тонка теор!я потенц!алу, в як!й центральну роль вЩграють аналоги ввичайних субгармон!чних функцШ - тонко г1погармон1чн1 функцП, вперше детально досл1даен! в монограф! I Б.Фугладе. ГИзнЬпе Б.Фугледе вв!в поняття тонко голоморфних функцШ. Становить науковий 1нтервс досл!дити контурно-т!лесн! влвстивост! ЦИХ функц!й.

Мета роботи. Дисертац!я присвячена встановленню для тонко голоморфних та тонко г1погармон1чних функцШ у тонко Ыдкритих множинах комплексно! площини аналог!в контурно-т!лвсних теорем, одержаних П.М.Тамразовим для голоморфних та г1пог8рмон1чних функц!й.

Загалъна методика виконання досл!джвнь. При отриманн! основних результат!в використовуввлись метода тонко1 теорИ потекц!алу та • метода, розроблен! П.М.Тамразовим при

досл!дяенн1 контурно-т!лесних властивостей голоморфных та г1погармон1чних функц!й.

Новизна результата та !х наукова цИш!сть. Робота носить тооретичшгй характер. Bei отриман! результата е новими. Вони можуть бути шжористан! в тонк!й теорН потеиц1алу i в 1ншх розд1лах анал!зу.

Апробац1я робота. Рвзультати роботи допов1дались на сем1н«р1 ulüjuiw "a/~irit * потенц1алу

1нституту математики HAH Укра!ни (кер1в;пс: д.ф.- м.н., прсф. Тамразов n.M.) та на сем1нар! кафедри теорИ функцМ Льв1вського ун!верситету 1м. I.Я.Франка.

Публ1кац11. Основн! рвзультати дисертвцН опублйсован!

в роботах С1-31.

Структура та обсяг дисертацИ. Дисертац1я складаеться з

вступу, двох розд!л1в та списку л!тератури, який нал!чуе 54 найменування. Об'ем роботи 76 стор!нок машинописного тексту.

КОРОТКИ 8Я1СТ ДИСЕРТАЦИ

Дисертац1я складаеться з вступу t двох роздШв. У вступ! даеться короткий 1сторичний огляд досл!даюнь р!зних автор!в по питаниях, як! стаяляться в дисертацИ, tп

вводиться ocHQßHl поняття, пов'язан! з тонкою тополог1ею, тонко голоморфними та тонко г1погармон1чними фушаЦями, коротко викладено зм!ст дисвртацИ.

А.Картан означив тонку тополог!ю як найслабшу з тополог U3, для яких вс! су0гармон1чн! функцН е неперервними. Тонка топологin е сильнЬвою, н!ж стандартна евкл1дова тополоПя. Визначення тонких окол!в зв'язане з гонягтям розр1даеност! мноасини в точц!. Нэхай с - розширана комплексна площина. Множила Вес називаеться розр1дженою в точд! хас с, якщо виконуеться одна з двох умов: aöo точка х0 из е гранично» точкою многаши E\íx0) (в стандартам топологИ замкнено! площини с), або точка ха е граничною точкою множили E\lxa) t в окол! точки х0 1снуе субгермон1чна функц!я и(х) така, що

и(ха) > lim u(x). x+xo,xtE\<xa)

Структура тонких окол1в описуеться теоремою А.Картана: tohkí околи точки j0 (С сШвпадають з шожинаш виду счв = :СЕ, де В - мнокина, яка розр!даена в точц! х0 1 не

MÍCTHTb II.

Ыножина bcíx тонок х е с, в яких дана множина Е е нерозр1даеною, називаеться базою множит Е в с t позначаеться ь(В). Тонко в!дкрита множина Е називаеться регулярною, якщо ь(СВ) = СВ. Множина В: = EU ь(2?)

називаеться тонким замиканням множини Е в с. очевидно, Б с в. Домовимось позначати через otG тонну межу множини G вс. Пехай <»fG: = с П otG. Через (E)t домовимось позначати множину Bclx тонко 1зольованих точок множини Е i покладемо Е\(Е).. Для всяко! тонко в!дкрито!

шюжини Е виконуються «Пвв1дношвння: (E)t= 0, ь(Е) = Е. Кокна тонко в!дкрита множила Е мЮтиться в регулярна чаиш aUsli :~с—'-rrf = К U (GS).. Рогулярн! тонко

в1дкрит1 мнокшш сзиадаить овэио тош'.й1 юполоПТ.

Для числово1 функцП ф, задано! в . множин! Е с с, домовимось позначати It звукення на множину V с в через Ф1у.

Нехай Dec- тонко в!дкрита множина. функц!я Ф : D - с називаеться тонко голоморфною, якщо кокна точка z е D мае компактный в с тонкий ок!л V с D такий, що Ф|у € R(V). Тут R{Y) означав р!вном1рне звмикання алгеОри вс1х звухюнь на V рац!ональних на с функц!й з полюсами поза V (чи, що екв!валентно, вс!х звукень на У функц!й, голоморфних у в!дкритих областях, що м!стять V). Функц1я ф. назначена у звича1)н1й в1дарит!й множин! D с с, е тонко голоморфное тод! 1 т!льки тод1, коли вона е голоморфною в D.

Для z € с через е2 Оудемо позначати м1ру Д1рака, зосереджену в (z). Uipy, отримаяу в результат! вимХтанпя м!ри eg на множину f с с, будет позначати ej.

Функц1я /: D -> Г- + «], впзначена в тонко в1дкритш

множим! Dec, називаетъея тонко г1погармон1чною, якщо виконувться так! умови: 1) / тонко Швнеперервна вверху в D ;

II) / < + « в D ;

Ш) 1ндукована тополог!я в D мае базис, що складаеться 8 компактных тонко в!дкритих множин 7 з тонким замиканням Y с D таких, що

/(z) < J" / dJE®7 V Z € V,

де J розум!еться як нижн!й йиеграл.

Тонко г!погармон!чна фушц!я, задана на тонко в!дкрит!й мнонш! D 1 ск!нчеяна на тонко щ1льн1й в D множил!, називаеться тонко субгармон!чнов.

Розд!л I присвячений встановленню лок&лышх 1 глобальних контурно-т1Л0сних теорем для тонко голоморфних функц!й.

$1 розд!лу Z дов!дковий. В ньому викладено основн! положения 1 результата тонко! теорИ потенц!алу стосовно тонко г!погармон!чних та тонко голоморфних функц!й.

Нехай В клао вс!х фуищШ ц: (0,+ «) {0,+ о»), для кожно! з яких множина tx: ц(х) > О) зв'язна I звужвння функц11 log ц(х) на вгнуто в!дносно log х. Для ц € К через 1 позначимо в!дпов1дно л!вий 1 правий к!нц! пром1кку . (якщо такий 1снуе). 1снувть границ!

u я 11m (log n(i))/log x, U s îim (log n(i>)/log s

3>*0 Z^+eо

t ВИКОНУЮТЬСЯ СП1ВВ1ДН0Ш0ННЯ

a якщо x~ > О (аналоПчно x?' < + « ), то покладемо

H r^

H.® + « (в1дпов!дно ц^« - «в ). для ц в о за цо 1 цга nowijibul w:l::t"T*TiT w™. VMOB.II

(1). При цо < + а> визначшо ц!лэ rto умоватя «0- i < ' ^ та, а при Цда > - 00 визначшо Шла умовами ^ * М^со < % + 1 • Всяку фувхцЮ fi € В будет називати 01лога'ри£м1чно вгнутою мажорантою. Цей клее Щ запровадашно П.Ы.Тамразовим.

Нехай в тонко в!дкрит1й мнояш! G с с задана числова функц!я /. Для а < с \ G введено величина

I1« ? IV > - М* < + « •

(1)

lira (log |/(z) | )/1log \г - а| | при а е о G, z-a,z(.G

О

при а < efi.

11л (log |/(z)|)/log \z\ z^»,ztG

О

при ов £ Ofi,

при га 1 âfi.

Основная локальпим результатом розд!лу I е такв

твердження.

Теорела 1. Нехай а € с - фасована точка, G <= с\1а) -тонко в!дкрита множина; Q - множина, яка м!ститься в Mi стать точки zt = а та а, алв не м!стигь «одного нвполярного компакту; ja € St ; f:G-c -тонко голоморфна функц!я, яка обмежена на всяк!й частой! мноюши G, в!дд!льн!й в!д точок zt= а I z2= », 1 аадовольняе умову

/(na lim /(С) « - а|) уи (в G)\ Q. (2)

G

Припустимо, що при кожному в - U 2 (веаалехно одна в!д одного), для кожно! тонко зв'язно! компонента Gs множини G, для яко! ед t b{G}) Gj), виконуеться нер!вн!сть

V, < + <3>

а ямцо г0 £ ö(GG.), то припустимо також, що при zfl = а в!рно

И0 < + /(С) » о(|С - а|то-1) (С - а), (4) а при z8 в <о в!рно

/(С) - odClV1) (С(5)

Тод! рввл!зуеться одна 1 т!льки одна з даох можливостей: або в!рнв сп!вв!дношення

|/(С)| < УК 1С - OJ) v с € G , (6)

вбо мае lâicue тагам вкнятковий випадок: G = с\ Q, |А<1)= р зР v х > О, /(С) = с (С - af v с € G, m - ц!ле число, m = mo= |с| > р £ 0, р, с - aocTîftiiî.

3 вякористанням цього результату встоновлэно наступи! контурно-т1лвсн! теореми для тонко голоморфна функцШ.

Теорела Z. Кэхвй ф!ксован! тонко в!дкрита мнонина G <= с t мажоранта ц е й . Пехай /: G П с ~ с - тонко непэрервна функц!я, яка тонко голоморфна в G, обмекена на

««мотом ы 4ttwj.^îî <• I ------

nepiBHlcTb

!/<«> -/<С>| <И<1« - Cl) v z, С с г t С. (?)

Для кожно1 тонко эв'язно! компонента Oj множини О, для яко! » е Gjt додатково припустимо, що для гд = m

виконуеться умова (3), а якщо <» ( (= Cb(CS) П С(7 к

= (afG)\ b{CG)), то припустило, що £ 0 t виконуеться (б). Тод! в!рно

1/(2) - /<С)| < ц(|г - сI> v 2 е («,C)t, у с € 5 П с, г ^ с. (0)

Теореха 3. Нехай ф1ксован! тонко в!дкрита множила С с с, точка z0 € (*fO\ U G t мажоранта ц « а з + га. Нохай /: G П с ■* с —тонко неперврвна функц1я, яка гзняо ( Голоморфна в С, оСмежена на когн1й обмеетн!» чостаК мноюши в i задоаольняе умови (7) i

(/(«) - /Ц,>1 « оЦг - (я - г0). <9)

Для кожно! тонко гв'язно! компонента Gj мнохини О, для

«V

яко! <ю с , додатково припустимо, що для га = « виконуеться умова (3), а якщо со с <<>,<2^. то црицустимо, що > 0 1 виконуеться (б). Тод! реал1зуеться одна 8 двох можливостей - або сп1вв!дношення

|/(*) -/<*в)| - г0|> * г с С\(го,о), (10)

або такий винятшвий випадок: («,С)1 = 0, ц(х)= р а/" V х > О, /(С) = с(С-г0)т + Ь у с е 5 . я - натуральна число, ш в |с| > р О, р, с, Ь - пост1Йн1; якщо

го € то О = с\{го), а (10) неможливо; якщо т = 1,

то ыножина с \ о м!стить не б1льшв ода1е1 точки.

Справедливий наступний глобальний контурно-тХлесняй результат, який одержуеться за допомогою теорем 0.2 та 0.3.

Теорела 4. Нехай ф!ксован1 тонко в!дкрита многаша <? с с така, що * 0, 1 мажоранта ц с © така, що

« 1. Нехай /: С Л <с - с— нвперервна функц1я, яка тонко голоморфна в С, обмежена на кожн!й обмеженШ частин! множили с 1 задовольняе умову (7). Для кожно! тонко зв'язно! компоненте множини в, для яко! <х> е додатково припустимо, що для яд = оэ виконуеться умова (3), а якщо ® € то припустимо, що Цц, > О 1

виконуеться (5). Тод! мае м!сце одна 1 т!льки одна з двох маютгвостсК - або сп1вв1дношвння

1/(2> -/<С>| «И1* - СП V г. С € в П с, 2 * С. (11)

або такий вшятковий випадок: ц(х)= р г V х > о,

/(С) = с С + Ь V с € а , |с[ > (3 » а, 0. с, Ь -

шп,»^, :._:;ггг:г: л п и^-гат», но б1лыпв одн1е1 точки.

Доведено ко1гтурпо-т1.таС1иЛ результат, в «дому умеий |1о ^ 1 в1доутня, ала додатково припускаеться, що функц1я /(С) неперэрвна в точц! г - оз. у

Теорела 5. Нзхай ф!ксован1 тонко в!дкрита множина С с с

1 макоранта ц € К . Иэхай /: в - с—' ......непврервна

обможена функц1я, яка тонко голоморфна в С 1 задовольняе умову (7). Для кожно! топко зв'язио! КОШОНОНГИ Gj ШЮКИНК в, для яко! со е додатково припусти?,ю, що дая гд - &

—ч

виконуеться умова (3), а ягацо со е , то припустимо,

що > 0. Тод! в!рно (11).

Досл1дкено питают про досягнення знака р!тюст1 в

локальних та глобальккх сц1нхах. наводених пще теорем.

Розд1л II присвяченнй встановлешш локалышх контур т1лесних теорем для тонка гйгогармоШчнах <5ункц1й.

Позначимо через £ клас вс!х фушаШ Я: (0,+ ») - I- оз,+ со), для кожно! а яких иаокина

{a:: k(x) > - »} вв'язна 1 звуження функцП Mx) на вгнуто в1дносно log х. Через i позначимо в1дпов1дно л!вий i правий к!нц! пром!жку <якщо такий !снуе).

Коли функц!я Х(-) npoölrae клас I, функц!я вхр А.(♦ > npoölrae iuiöo И. 1снують границ!

\°= lim M*)/log г. V0 » 11® X(i)/log х т^О лн+с®

1 виконуються сп!вв!дношання А.° » A,W, > - < + «а .

-Нахай в тонко в!дкрит1й множив! G с с задана тонко г!погармон!чна функц!я и. Якщо и мае в G тонко супергармон1чну мажоранту, то позначимо

7с<".С):= 1лГ {«(С): * тонко супергармон!чна в G, « > « в о}»

С € G. Для а е с \ G 1 г > О введвмо величини

f lim u(z)/|log |s - ац при а € [ о при о * *(6,

I lim u(*)/log|zf при » с *fG,

ug a J z-co,zeG

l О при со ^ »fit

Mr n(u,r) * Inf { p log r * q: p 4 {*-»,+»), 0 € (- «. + »).

b'° p.g

u(z) < p log12 - a| + q у г t G ).

Для розглядувшшх G, а, и, \ при а = 1, 2 введено велнчини а3 - оa(G,a,u,K), якt внзначимо наступницш умоваш. Явдо Д. е L*. то покладемо

(u(-) - Ml • - at при х^ = О,

(u(.) - Ml* - al О

при х^ > О,

при Х^ = О, при < + ».

Яицр К в ~ а , то вваааемо о*- о*« О.

Для К € L* очевидн! наступи? в!даошення : якщо л° ¡t + со, то о4= Ug + Л°. а ягецо ¡4 -со, то о*= - Я™.

Для тонко вШрито! ?.шокшш G с с з неполяргаш доповнонням СО при ш, С € с, иг С iraye Функщя Гр1на:

gQiw,С): = | log (|ш - z|/|ю - CI) cfe£G(z).

Основном результатом розд!лу II е наступно локально контурно-т1лвсн9 тверджоння . (отримана суц!сно з П.М.Тгмразопим).

Теорела 6. Нахай a € с - ф1ксована точка. G с с\{а) -тонко в!дкрита множила, тонко зв'яза! компонента якоГ позначаються через GJ; Q - множинв, яка моститься в CG,

t3

м!стить точки zt= о та zx= ю, ала не ы1стить «одного неполярного компакту; к « I ; и - тонко Ппогармон1чна в G функЩя, обмежена зверху на всяк!й обмеконМ частая! множшщ G, в1дд1льн!й в!д точки а. Нехай для кожно! тонко зв'язио!

КОМПОНОНТИ Gj

fine Ilm u(C) < M|z - o|) v z € (°,G.)\ Q. (12) C-z,Ce Gi 1

Припустймо, що при кожному в и 1,2 (незалекно одна в!д одного) для всякоI тонко зв'язно! компоненти Gi, для яко! zB с b(Gi), виконуеться одна 8 двох умов :

гя

1) Zg € btCGj) I Uq® < + со;

2) для С € Gj Функц1я u(C) - М|С - °1> обмежена в даякому окол! точки zg.

Тод! и мае в G тонко гармон!чну мажоранту I виконуеться одна 1 т!льки одна а двох мокливостей: або üg < - tg < К" 1

: u(C) < 7G(tL,Z) < jfüa(u, 1С - а|) < MIC - а|>

v С € О: ij И 1С - а| * (13)

u(C) - 7с(и.С) « - » V с с в: |С - в| / (14)

%a(u,r) - - » V г * <15)

або мае м!сце такий винятковий випадок: в = с\(а),

Мх) » Хов^) V а: > о, и<С) « « а(и,|С-а|) =

« 1о£(с|С-а|г'> V с е С. с > р > О, V, р, с - постши. • Якщо ие е полярною мноаиною, то для кожиоХ тонко зв'язгю? компонент в! множили <3 в!рно такс: ибо и(С) » 7с(и,С) = - и в С, або при кожному в = 1, 2, при акому он- - згрто гв * 0(05,>. - *"' * V * £ 1

7с(и,С) < М1С - а|) + £ о8 С) V с е О, (16)

в:гд€ Ь(С0{)

%а(и(,) " Г °8 «С(2в'С)*1С " °0 < - а|) V с € <?.<1Т)

0:ос?г-<»

Досл1джено можлив1сть досятнення знаку р!вност1 в оцЬпсах (13).

Автор висловлюе щиру подяку пауковому кер1вников! Промарзу Мел1ковичу Тамразову за допомогу в робот! над дисертатсю*

OchqbhI результата даоертацИ надрукован! у наступних роботах: ■

1. Оарана O.A., Тамразов П.М. Контурно-т1лесн1 властивост! тонко субгармон±чних функций. - Ки!в, 1994. - 14 с. -

( Препринт / HAH Укра!ни. 1н-т математики ; 94.33 ).

2. Сарана O.A. Локальна контурно-т1лэсна теорема для тонко субгармон!чних функц±й. - Ки!в, 1994. - 9 о.

Деп. в ДНТВ УкраХни, N 2345-Ук94.

»

3. Оарана O.A. Контурно-т1лесн1 теореми для тонко голоморфних функц!й. - Ки1в, 1994. -19 о. Деп. в ДНТВ УкраХни, '

N 2346-Ук94.

Сарана А.А. Контурно-телесные свойства донко субгармонических и тонко голсморфшх функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический внализ, Ип-т' математики 1Ш1 Украшш, Киев, 1995. Рукопись.

Работа содержит исследования коцтурпо-телесшх свойств

Г»?«л»»""тА. и 1ии1„ -—----~«*утгооотгщ (ТГЛПОШЙ НВ ТОНКО

открытах множествах комплексной плоскости, локалышо и глобалыше теоремы для тонко голомор&шх функций с бшюгарифшчески вогпутиш магорантаж и локалышо тоореггн для топко гтазгермовичаских функций.

Sarana A.A. Contour-aolid properties of finely eubharmonic and. finely .holomorphic functions. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph. D.) in Phlsics and Mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical analysis. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine. Kiev. 1995.

The work contains researches of contour-solid properties of finely holomorphic and finely hypohannonic functions on finely open sets of the complex plane. The local and global theorems for finely holomorphic functions with bllogarithmlcally concave maJorantB and local theorems for finely hypoharmonlc functions have been established.

Ключов! слова: тонко голоморфа! функцН. тонко г!погармон1чн1 функцН, контурио-т1лесн! задач!.