Корректность краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

¿л и П •

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации

Удмуртский государственный университет имени 50-летия СССР

На правах рукописи

РАГИМХАНОВ Герман Римиханович

УДК 517.929

КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 1992

Работа выполнена в Пермском политехническом институте.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Азбелес.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор С. Т. Завалищин; кандидат физико-математических наук, доцент Ю. Ф. Коган.

Ведущая организация — Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского.

Защита состоится «_»___1992 г.

в _ часов на заседании специализированного совета

К 064.47.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете имени 50-летия СССР по адресу: 426037, г. Ижевск, ул. Красногеройская, 71.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «__» _____1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент А. Г. Иванов

ОСУДАРСТйЕННАМ

библиотека.

"Т!,"Л ич! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теми. Вопрос о непрерывной зависимости решений от параметров ( корректность ) постоянно Заходит -ся в центре внимания ведущих исследователей краевых задач. В работах И.Т.Кигурадзе, Д.Г.Ешадзе, ¡О.А.Дядченко, А.Я.Ля -пина, В. Д, Пономарева и других рассматривался вопрос о "ма -лих" возмущениях задачи нэ нарушающих ее однозначной разрэ -шта/остп. В иной постановка вопрос о корректности исследовал Я. Курпвейлв: при каких условиях реиения последовательности задач Копи для обыкновенных дифференциальных уравнений схо -дятся к решению данной задачи в случае ее однозначной раз -решимости. Эта постановка получила дальнейшее развитие в линейном■случае в работах Н.В.Азбелева, Л.Ф.Рахматуллииой, Л.М,Береэаяского п других.

Для нелинейных уравнений в работах Ц.Артитейна, Г. М.Вайникко, В.П.Максимова рассматривается вопрос: при ка -ких условиях предел х лх>бой последовательности (хк решений уравнений принадлежит множеству резэннЯ данного уравнения. ' .

В математических моделях некоторых прикладных задач возникает ситуация, когда каздое уравнение упомянутой кос -ледовательности определано на своем функциональном-прост -ранстве. Например, в исследованиях А.В.Анохина о коррект -ности линейной импульсной системы, в теории Г. 1!. ВаЯникко приближенных методов.

Сказанное определяет актуальность теш.

Цель работа. Исследование условий, при которых предал любой последовательности решений нелинейных паевых заяач для функционально-дифференциальных уравнений, кллдая из ко -торнх определена на сворм пространстве, принадлежит множеству решений данной задачи.

Общие уедгоды исследования. Основные результаты диссер -талии получены с помощью методов функционального анализа и

теории функционально-дифференциальных уравнений.

Научная новизна результатов диссертации состоит в еле -дувщан

- сформулированы условия при которых предел послэдош -тельности решений нелинейных краевых задач, определенных на разннх пространствах, принадлежит множеству резаний данной краевой задата,

« сформулирована условия при которых предел последоаа -тельности решений краевых задач для уравнения нейтрального типа принадлежит множеству решений данной краевой задачи.

Практическая ценность. Работа носит теоретический ха -рактер. Однако ее результаты могут найти применение для приближенного решения и исследовании; на корректность задач, возникающих в приложениях ( например, в некоторых задачах механики, экономической динамики и так далее ).

Аппобатртя работы. Результаты диссертации докладывались и обсуядались ка Республиканской научной конференции "Раз -рывниа динаимческие системы" / Мвако-Фрапковок 1990 /, на научной школе-семинаре "Разрывные динамические системы" / Ужгород 1991 /, на третьей Северо-Кавказской региональной конференции по "Фуикционально-дифферанцаальшат уравнениям и ?х приложениям" / Махачкала 1991 /, на Пермском семинаре по "Зункшональцо-дифференцнальпым уравнениям" / Пермь 1989 -1992 /, на семинаре "Импульсные систеш и их приложения" Жм УНЦ АН СССР профессора С." Т. Завалищина / Свердловск' 1991 /, на семинара член-корр. А. М. Самойленко / Киев 1991 /, на семинаре профессора Е. Л. Тонкова / Ияевск 1992 /, на сеыинаре профессора С. Ф, Шрозоза / И. Новгород 1992 /.

Публикации. Основные результаты диссертации опубляко -■ ваш в 8 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 92 страницах машинописного текста и состоит из введения, предварительная сведений, двух глав и бписка литературы, включающего 65 наименовании.

СОДЕРЯЛШЕ ДИССЕРТАЦИИ

В работе принята (?лздугдк8 обозкачогшя: К - пространство вещэотвотшх вакгоров опорной 1'1 ; ( И-р }, ир<СО , -

пространство ввктор-<$уикпи& 2: [й, 8] |1\П , компонента ■ которых оумиирует на [ 0., 8 ] со степенью р ,

Щл = С]|12(|)|РС&)?» ^Са,^ { Ц ) - пространст -Р ^ г\

ео Б9Етор-л'1у71кш;й > с из?«эримыш я огрштп -

пзннжя п сутзоствзннсм кет.тонептака, ¡12II „ = vrCL¿&Ш)l 2(4)1;

$0 [а, 8] (

). {р СО пространство таких обсо -ЛЗТИО пзпрзрнзнах ВЙКТОр-фТПЕДПЯ XI [Д,8]—* ^ , 1Т0

Хе Ьр . вх^,- »хв + 1х««|.

Пусть а=1в< V < ...< 4.И1<1'Я4,= $ - заданная система фиксированных точэк отрезка [й,§] . Чэрзз ШЭр (Ш.) а[й,4.™, Ё ] 9<Зозпачии пространство тагах ввктор-фушешй ^ : 1(1, Е1-* К абсолютно нзпрзрнвши на интервалах . 1 = 1,2,.,.,т и [ 4"1, $ ] о воз -

мятскя разрывает первого рода в фиксированных точках 1 ,

I 1

, что ^ б (_р . Норма в пространстве

ЮБГЧт) опредаягйтоя равэнствогл й и п = Я И II +

Р О Ю5"ст.) о

Цусть {I* ,...,4™} , К = 0.1,.., -последовательность точек отрезков ' < < < ^

Каждому такому набору поставим в соответствие пространство ж (И1), которое таете будем обозначать

• Вк . Х)к , К = 0,1,...- банаховы пространства;

|)к изоморфны и изометричш соответственно прямым произ -ведениям Вк*К ; В0 и В, - изоморфные пространства

341) - система тождественных операторов I - в рассматриваемых пространствах.

В первой, главе диссертации исследуются условия оринад -

лэяности предела X любой последовательности (х

решений каавилтаейшя {фаевых задач

* * (I )

множеству решений краевой задачи

е.х-у.* ^

Здесь • —*• 6ц - линейные ограниченные оператора,

- линейные непрерывные вектор-функционалы,

:ВК Вк - непрерывные операторы, Ч^ :1)к-> К ^ - непрерывные вектор-функционалы, К = О, \,...

Пусть сН? 3 - связывающая сиотема ойерато -

ров** •. В0—* Вк , для пространства В„ и пространств Вк . К = 1,2,... С то есть для любого г е В0

1)1,21—121 при к —00 =

К о

связывающая'система операторов р : Х)5 —1)к для пространства Д и пространств X)« , K~i,Z,... . удовлетворяв 'юяпис условиям ЫХрй кк Я < Со , ОДрИр В < со . Предполо -

яи?л тагла, что суцоствувт обратные оператора к^ "■ В^-> В„, р*':!)^ Юв , причем зоря К^ в < оа , &ир Яр-' п < СО

Определение Будем говорить, что последовательность

(X«)"., • Хх6Дс ^-сходится к Хэ«Бг ),

если 11 хк — р хв1|-»-0 при К со ; последовательность ( X к( , х^Ц, -компактна, если любая.ее под -

последовательность содержит ^-сходяцуюоя под -

последовательность Сх^')™,^^ .

Определение 2. £удем*говорить, что непрерывные опэра -торн ^: Вк ~* Вк , К = 1,2,... ФЗР-сходится к оператору 90 : Вв В„ , если из ахк -р х0Ц при К-»-«

следует » - кк при ксо ( Ф )

Определение 3. Оператора т„ называются

т

ком -

К

^Вайникхо Г. И, Регулярная сходимость операторов и ттрнб -лижеяное решение .уравнений // Мат. анализ. Итога каутси а техн. / ВИНИТИ АН СССР. И., 1379. Т. 16. С. 5 - 53.

пактными в совокупности, золи любая последовательность

> ^^{^кр-^} я^я®™ ^-компактной для любого

ограниченного инонаотва Л из .

Вопрос о непрерывной зависимости решений от параметров будем рассматривать в следующих предположениях:

1} главная чаоть*^ оператора являэтоя фредголь -

новым оператором, к с 0,1,... ;

3) множество ЗТЬ^ всех решений 8 адата ( 1к ) непусто, К = 0, {,... . Пусть А любое ограниченное множест -

во из В« такое, что .¿Щ: П Р ¿Ь Ф 0 , где - с !)„ (?)

множество всех и-предельных точек тг-с холящихся поолёдо -вательностей (Х„)<*> , , Х,;ерЛ.

К К / 'К

Теорема 1. Дустъ выполнены следующие условия:

а) операторы , К= 0,1, ... -компактны в

совокупности;

б) вектор-функционалы . К * О,1,... ^5-томпакт-нн в совокупности;

в) выполнена условия 1) - 3);

г) оуществуэт такой вектор-функпионая

что задача к^об^ р х » | , £х ( К» О, 4 ,...,) однозначно разрешима при К = О и всех достаточно больших К и при каждой правой чаоти { | ,«с}€ В,.*!^ для ре шения Ц.^ этих задач имела меото оходнмость ии.к-1101_ —»-О

........... ' 1 "

'Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматулпина Л.Ф, &едение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. И.: Наука, 1991, 280 о.

Тогда последовательность (Хк решения запач ( )

таких, что X « Л р /Л , $*-ко?*пактна п ев Ф-прадоль-к л

нне точки принадлежат 0. Если, кроглз того ¿31 (¡¿В -

IX 9 А

В этой ке главе приведена конкретная реализация теореш 1 для импульсных квазилинейных краевых задач. При этом операторы |у 1_*|:аД1-* я ^••®5р((и,о)->Ш5р(т,к) определены соответственно равенствам

к

В п. 1.5 первой главы привадепн .условия '^З&совокуттпой компактности операторов Т:ф5р(Щ,К) —*■ ,

к

определенных равенствами ,

(Тх)(Ь = (0кх:4) + .

где О^СйДЗ-Ц^.и : а*

элементы п*(тп.+п)-катр1яш Ак принадлежат пространству ,§¡,1 . Для этого сначала устанавливаются условия сС??-со во купно й компактности операторов О К

Для сокращения записей рассмотрим операторы, действую -щие в пространстве скалярных функций. В общем случае приво -димыа 1шяб условия должны выполняться Для всех элементов. соответствующих матриц.

Теорема 2. Пусть измеримая по совокупности переменных

функции 0^(1,5) удовлетворяют условиям: 1) для каждого

Бе 1й(с,^(е3 0^0,5)6 ЦСйцДц] ; 2) существует функция

^ Ц1й0, Е01 такая, что 1для воех Бе

и всех 11*0,1,... ; 3) при каждом К для любо»

последовательности , е [й^ последовательность

компактна по мере; 4) для любой посладова -

тельности (, [Д,,, Ек 3 последовательность

(О (•£(')А))03 . компактна во мэре.

К * * »

Тогда операторы ОД^й^]-* Ц[0К.1>К], НХ<а>, К»«^,... 3^£-шш1актнн в совокупности.

Теорема 3. Пусть функции 0^(4,5) удовлетворяв условиям: б) при почти ?сах 5«[йк,8|13 О С',8)* !

6) при почти всех 0^(4. )« Ь^Сй^.Е^З < £

10ксх1ф,х|[л))и чл.ъ)» К * °> 4»' ГДе Ф™1™"1

К измерима и удовлетворяет уоловим

6), б), кроме того,

К

(Д)|г^Г = ШСХ), то*Цдй„ВвЗ;

6) при почти каждом X « [й(, последовательность (О^^'О.Л;^)))", компактна по мере.

Тогда операторы С]^ Ц^,^} , 1<р4 0э,

К = 0,1,... <?£3£кшпактны в совокупности. Теперь для ^?3&-созокуппой компактности операторов достаточно потребовать чтобы последовательность

о йшга к0шактна п0 М8Р0 и выполнялось неравенство I-А^'цйкЦф, для любого к,

В этом пункта приводятся также условия равномерной сходимости операторов Немышгого {цУ^к^' ¡^[йд,^],

к оператору Нэмнцкого Лд • 1-*[а,,&„] [йв,]

( 1 $ р <оо } на любом компактном множестве !Х с 1р[й0 Д0]. Операторы определены равенствами

где | (Х'^0),•)•' -♦К'1 удовлетворяют условиям

КаратеоДори*1

Деша 1. Пусть выполнены условия: а) | ^ «Оф + йхГ/ ае Ц О { б) ||^САк'ф,Х)~

. где СО: £аДК°,

удовлетворяет условиям Кйратеодори, СО(£,х) не убывает по X при почти всех |еСа,, .803 , ¿3(3, г) в ¡-[са^,

для Любого 2 >0 , С0(Х,0)»0 ) в) | (Д^ф,х)^

для любого X в при К —► аз . •

Интегральные операторы в пространствах суммируемых функции / Краснооельский И. А,, Эабрайко П. П., Пустыльник В. И., Ооболэвский П.Б. М.; Наука, 1966. 500 с.

С2с)

Тогда для любого компакт-

ного множества !К из Ц1йв,$в1 при К —•

Во второй главе диссертации исследуются условия, при выполнении которых предел К любой последовательности (Х*)^

решений краевых задач

х<1)-^с1,<ТкхХ-1>, (5КХ)(1)) £

*(&) - х<й), хшхЬ » р

о, *

принадлежит множеству репений краевых задач

*(4)*}в<'4,<Т0>о<Ь, (БоХхЪ)

й а "

Здесь при катаом к = 0,1,... "К —*• 8? удов-

летворяет условия?.! Каратеодори и обеспечивает непрерывность оператора Немыпкого {_* * Ц I-* , определяемого равенством = , ' - линейный

ограниченный вольтарров оператор Тх • 0„х + Ак(-)Х(й)

П . I п \п

с интегральной вполне непрерывной главной частью Ц,, • и Ц

(СЫс1> = $(Ы,5)2<5)£Ь.

й П

Столбцы 11«Ц-матриш Дк принадлежат пространству . I" - л.гаейнзй вольтерров оператор, функция ^: [о, К"-* К" удовлетворяет условиям Каратеодори,

Будем предполагать, что задачи (2К), к«0,1.... раз -реш«ы, через „ обозначим множество решений К-ой

к ¿а

задачи последовательности. ( 2 ) и ЖЬ - 0.32};

* со X

Приведем сначала общую схему предлагаемого доказательства корректности краевой задачи С 2, ). Рассмотрим после довательность задач Копи

= (Ткх)(4), (Б.ххЪ) < Сз,)

I х(а)

Цуоть эти задачи разрешимы, МК - множество решений К -ой задачи этой последовательности и Ж "Ро^к • Сформулируем

условия, гарантирующие

1) ограниченность множества Ж . ( теорема 4 );

2) относительную компактность множества ЛИ { теорема 5 );

3) корректность задачи Кэши (. 30 ) ( теорема б ).

Далее, определим операторы Гк : К *Я равенствами }

я Ц , г^ЙсЬ ♦ Д

и запишем краевые задачи ( 2К ) в виде

(х(Ъ- (Ткхх^). (5,,х)(Ь)

Х(а)= ^{хса>, х} Заметим, что если

а

- решение К-ой задачи Кош (. 5к ) и выполнено равенство

. I

__а *

то Х^ - решение К-ой краевой задачи (2„ ). Таким образом, результаты теорем 4-5 при определенных условиях на

, Д можно использовать для доказательства аналогичная утверждений в олучае задач ( Ч ).

(Ч)

Будем предполагать, что 1^04,^,2)} < С0(4., + где со)-* - удовлетворяет условиям Каратео-

лори, Ц)(1,')не убывает при почти всех ^ и суперпозиция СО(4,2(4)) принадлежит лая любого неотрицательного ¿еЦ, 1?, * ССШ>1 >' 0 . Ядро £^(4,5) оператора 0„ удовлетворяет неравенству 10К(4,в)! и<4)У"($) лля всех К = 0,1.... . где Ч-« , Ъч . Такш образом, операторы 0К имеют положительную мажоранту: для любого , 1(Р|(г)с4)1 ^ С 0|2О1)(4) . где оператор * Ц определен равен-

отвом

Для оператора 5 к существует линейная вольтеррова маяоранта: Ок- Ц , такая что для любого 2 « Ц ,

Пусть, далео

здря^и^ <1.-

Будег.1 говорить, что интегральное неравенство

2С-Ы ~ [VI 11(1) |сОС5,Н(5))с19 + 0(Ы- (5) м Чо й

имеет в Ц верхнее решение Н, , если для любого другого

I <

решения 2® Ц этого неравенства справедлива опенка Пусть Хк - реиенкя задачи ( Зк), К = 0»1, • Теорема 4. Пусть интегральное неравенство ( 5 ) имеет в Ц верхнее репепиа . Тогда

^ «д. 4 + ^ 1со< •, г/-))Я •

Теорема .5. Пусть мноаосгво От Л относительно ком -

К

пактно в пространстве , для любого ограниченного мно -

жества 5 множество {Бк2} относительно компактно в

. при каждом фиксированном Н е I., • множество

00 ^

иДХЗС,5) относительно компактно в к, для любого фяк-ксо "

сированного Сек." и компактного множества . Пусть,

далее, -Л'Д?,^}!^ для любах »4»

I из 1*' , ¿,*С0П%1>0 и

Тогда, если множество Л1 ограничено, то оно относительно компактно.

Пусть X , У - банаховы пространства, Я* : X У непрерывные операторы, К~0>1, ••• . Говорят, что операторы ф К= 1,2,... непрерывно сходятся к оператору *р0 , если из вх'^-—Хй О при К —>• со , следует ])ФК - Я^х

при К-^Сй ).

Теорема в. Пусть выполнены условия: чг и 5К II $ < 1 ;

для любого фиксированного § е и компактного !К с .

Тогда, если множество Ж ограничено, то оно относи -телыга компактно и предельные точки последовательности

Л1К принадлежат ктожеству . Если, кроме того,

•*М{ХЛ . то Хк->Х9 при К .

Будем предполагать, что I ^(•Ь, 2 444,1^1) 121,

где функция Н7:10-,ё]я10,со)-»- К1 удовлетворяет условиям Кара-

теодори, Н'С!,') не убывает при почти всех {. и для любого

неотрицательного ^ 6 1-* суперпозиция ЧЧ1, ;

, р>*СОПЯ>1ъО.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 4 и множество решений неравенства

Î№.eO + i/s + ô

a

ограничено. Тогда множество ¿îb ограничено.

Теорема.6. Пусть выполнена условия теоремы 6, Пусть,

далее, при почти всех ieLû.B] IT^-l,, Z,) ~Vl* для либого Uе К и любых

l^-jbl-0 , SiCf I 9k <1, ^, г ) - 9.(1, ^ г)| ДЛЯ любого

Фиксированного î « L* и ограниченного множества { g ) /LJI4C ^COtuUïOj кз R* . Тогда, если мпонество Ш ограничено, то оно относительно компактно и предельные точки последовательности (х*)^ > ^elli^ принадлежат Î3ifl.

Если, кроме того, Î3b0"= £х0J , то Хх—Х„ при К-*-«)

В этой яе главе результаты теорем 4 -8 распространены на импульсную краевую задачу для уравнения нейтрального типа

Азтор виранает глубокую благодарность к признательность своему научному руководители Н.В. Азбелеву п В. П. Максимову за помощь в работе и постоянное вникание.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рагкмханов Г.Р. Нелинейные краевые задачи с -импульсными воздействиями: непрерывная зависимость решений от' пара -метров и моментов импульсов // Фунщгонально-диф?>ерэкп. уравнения: Меавуз. сб. паучн. тр. / Перм. политехи, йн-т. Пермь, 1990. С. 145-151.

2. Рагимханоз Г.Р. О разреяи.гастя импульсных квазилинейных краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Разрывные динамические спстеггн. Тез. дом. научн. конфе -реншга, 11-14 сентября 1990 г. Ивано-Франковск / Киев 1990. С. 33-34.

3. Рагпмханоз Г.Р. К вопросу о ФЙ-совокупной компакт -

поста операторов // Третья Северо-Кавказская региональная конференция по фунщионально-диффереппиальннм уравнениям р. их приложениям. Тез. догл, Махачкала, 10-15 сентября 1991 г.' / Махачкала, 1991. С. 133.

4. Рагимханов Г. Р. О приводимости квазилинейных краевых задач // Разрывные динамические системы. Тез. докл. научн. школн-семинара, 17-20 сентября 1991 г. Удгород / Клав 1991. С, 53.

5. Рагимханов Г.Р. Условия корректности нелинейной импульсной краевой задачи для уравнения с последействием // Функционально-диффэренп. уравнения: Мэнвуз. сб. научн. тр. / Перм. политеха. ин~т. Пер:ль, 1991, С. 167-173.

6. Рагимханов Г.Р. Априорные оценки решений и разрешимость импульсной краевой задачи // Краевые задачи: Мзжвуз. сб. паучн. тр. / Перм. политехи, шг-т. Пермь, 1991. С. 82-87.

7. Рагимханов Г.Р, 0 предельном переходе в импульсных краевых задачах для уравнения нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 1992. № 3

8. Рагимханов Г.Р. К вопросу о непрерывной зависимости решений от параметров квазилинейной импульсной паевой задач*т // Дифференд. уравнения. 1992. Т. 28, № 3.

С. 432-436.