Ковариантные ряды Тейлора и геодезическая структура пространства времени тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НЙУК БЕЛАРУСИ

сгти трудового красного знамени йютхгхт штш ум. г..и.сткпанора

Ра прз/Ъп рцктиаи АЛВКСМЩРС® Мвкпгняр Николввшп

УМ 530.12:531.51

Я0ВШ1»НТН№? ЕЯДН ТЕЙЛОРА И ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПГОСЯРАЛСТВА-ВРЕМЕНИ

ОГДМ.О?, - ТЧореПГЧЧОКРЯ фчзчкэ

А.ВГОРКФЕР&Т

.1Г.г.(у?ртт?т .на соитапет® ученой степени гчп.яшптя фтоирп-мятемптичоягая1 няугс ■

Работа Вьшолнеаа и Кюшжом университете им. г1'арьоа Иивчеш

■ Науушкй руководитель: доктор физико-математическиз наук • профессор К. А.. ПИРАТ АС.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор А. В. ЬМНКЕВЙЧ;

кандидат физико-математических на Н. Н. КОСТКНОВИЧ.

Ведущая организация: Институт физики конденсированных

систем .АН Украины (г. Львов).

Защите состоится « I •» декабря 1992 г. в 14 часов заседании специализированного сой*-?« Д-006.01.02 по аа докторских диссертаций при-Институте физики АН Беларуси. ■ Ад МинскУ Ленинский пр., - 70. -----------

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. Листу физики АН Бздаруси.

Автореферат разослан октября 1992 г.

' 5чвяыа секретарь спецсовета Д-006.01.02, п

жяядидат фааяко-иатеиатаческнх наук А-'

РОССИЙСКАЯ ¡СУД'-;

i ¿iiA

оещ4я характеристика. работы

Актуальность тош. Одаа из хорошо изввеуш« проблем общэЯ теории относитель-йости (ОТО) состоит в рапраббтш преобразог«. rnt, связишщяз координатное описоыю физических систем с темя величинами, значения которых могли Си гошряться зксперишнтальпо. Эта проблэма галзет ряд общетеоретических аспектов: проверка внутренней полноты ОТО; соглосоввита ©а с друггаз! разделами физики, » частности с квоятотй ыэхиникой; фгемгезская интерпретация грввполя -его стошки свобода, анергия-импульс; др. Вмэсто с тем, по шра расширения исследований в области реллткшсгской петрефтажи, получащих выхода па наблвдательньв программа, неуклонно возрастает роль прикладных аспектов обсуждаемой пройдами. Го se в полной мэра относится к о^спер^мэнтам по обнаружению гравитационного излучения.

За последнее десятилетие появился экэ. один нэмгяоэежцкЯ факта р. Соазрюзнствованиз техники гкеперимэнта привело к тому, что точность некоторых видов астроиэтркческигс наблвдэнкй - Проздэ всего рвдиоинтерфгрсмэтриии со ссзр'хдгашными багами - • немного превысила тостньютоновский порог. Это потребовало по только систематического учета релятивистских поправок при обработке точных шзблкдатальшдс данных, по и в целом обфрэллтишгстгасой переориентации фуидадэптзльной астромотрии. В частности, большое внкмаииэ удаляется релятивистскому обобщения основных астрономических систем отсчета (СО), опкевиио в визг дапжания тел п сштотах лучей'""2. •

Существует широкий спектр подходов к реящнкю вопросов впрде-вмя ввблвдвешх, или другими словами, к определенна СО в ОТО" (СО служит теоретической моделью совокупяости ерэдегз и- иэтодоп

'Relativity In eel e.s tl a I' mechan ics and a stroraotry/ Eds. O.Kovalev-sky, V.А.ВгимЬега.-Dordrecht: Kluwsr,1986.- <Proc.TAU Symp. Ifll4).

Inertial coord 1 na te зуз1еи on tHe sky/ Eds J .H. LibaVe, v.K..1baIa-kln.- Dordrecht: Kluwar,1990.- 526p.- (Pro'c. ¡AU-Synp. »12S>. ^Владимиров Ю.С. Систему отсчета в теории гравитации - П.: Энергоиэдат,1942.- 236с.

'Ииикович H.G., Ефремов А.П., Нестеров А.Я, Лимамикд полей в общей теории относительности. и..' Энергоатомиэлаг, 1963 . - 164с.

изьъронмй,' по атому ми пользуемся как синонимами термином СО и шрнжемшкш типа "способ перехода к наблюдаемым"). Различия мзжду подходами отражают прежде- всего разные логические возможности бьэйжин и применения СО. 1'Е1К, це.лисообргззно говорить о полном или частичном'опредалишм СО, имея ввиду, что полная СО моделирует изнырекиэ полного набора нвОлвдиеыих:, о частично .опр«эделенная СО служит для придания значении ограниченному кругу величин (точнее подалгебре алгебру ивблшдцлмцк). Подчэркшм, что полный набор ьеличин должок в частности еодьржать парамэтры, задащие положения мирошх точек, в также характеристик!! физических полей включая граьитоиионнаб.

Бижно различать СО внутренние и внешние по отношению к заданной метрической структура Ш. Шутранши. СО опирается ва собстюлив сродства римаяовой геомзтрии (геодезическиэ линии, векторы Кйллипгв, канонические тетрада и т.п.)-'Единственный дополнительный объект, который в общем случав должен быть задан - это опорный орторепер, моделирующий а.талопы времени и длины и опорные пространственные направлении в одной мировой точке'. Внешние СО используют сверг того какие-либо дополнительные геомзтрическш объекты. Внешняя СО либо определяется по отношению к некоторой внутренней, либо содержит неопределенные парамэтры. Способы перехода к наблю-двемым, которые не вюшчаггг неопределенных. паромэтров (кроме орторепера) назовем конструктивными. Соответствущие наблвдаемые мы называем локальными, подчеркивая тем самим, что они приобретают _конкретныд числовые значения, как только задав релер в опорной мировой точке. "Очевиднорчто -длл -описания_яонкретпьга: вксиеритн'-тяльных ситуаций необходимо введение имзнно конструктивных'СО'.

Некоторые типы СО яаляюггся универсальными, т.е.' могут быть введены в произвольном пространстве-времэни (ПВ), другие же -сдациальннми. Послвднда опираются на тр или иные честнда свойство ПВ и допускаются лтль более юш менее узким классом пространств (наир. митинговые СО). Как правило такие пространства представляют чрезмэрво упрощенные модели реального Ш и часто на удовлетво ряют потребностям приложений. . .

Осповвея структуре, которая служит фундамвнтом для построения

утТ!КроП.ГЫ!ЫЯ КОНСТРУКТИВНЫХ СО - ВТО СОВОКУПНОСТЬ г€юде?31Пас»г1т*

пеготЬ Р. 1Лг»1 оГ грасв-Ния// Соичип. РЬур,- -

У.13, ГЛ. - Г.1ВО-193.

линий IIB- В сочетания с экгпогезшдаяльннм отображением, ыньт.тппео ким шратандам которого является расложошю Тейлора, она позволяет добиться также полютн (-0. сказанного мо*но сйрлгчить, что изутэят .геодезической структуры о приложениями к теории ноЛяедав-мих и релятивистской динпмикв нрдстовляот актуальную пвдпчу соврп М0ЯНОЙ теории гравитации. :

IliïïïL лздсертавдонной работы является ргаработка уштверса» ных методов полного конструктивного списания протяженных релятивистских систем, приложения их к динвйикэ пробных тел и к описвни?? грапитацкогтш: полей. "

Задачи исследования конкретизировались, сдадууг?им образом:

-разработка штодов инвариантного описания тензорных и енп норных волей. включая метода задания точек ПВ и грчгоетея ролчтяб в разных точка*;

-изучение взаимной дгштики геодэзическт и ее диффар^янкась-вых характеристик - пол^Л Югоби;

. -вывод и исследования уравнений относительного двчтрш'я частиц, подаержокш« дейс^рию сроиоролАянх ввеших сил, при различных типах соответствия точ*?к ira траекториях;

-получение в рамках лягрвнжешго подхода урчшоняй даикения для коллективного импульса и момента системы точечных тел;

-построошю системы ияБаривптных локалшчх • характеристик риманоной геомзтрш;

-анализ алгебраической структуры, 1гсучен№ 'нормальных $орм теяпоров кривизны Якоби для ПВ ОТО.

Наложения, вияосиммо на зайдату;

1. Обсйпрвшй датод иоварияитных разложений ТгРяора. ,

2. Урввнршю взаимной динамики геодезических.

3. Метод ошгсвяяя геодезических вяриаций погл",дог}ях<'ль'л.м:71^ векторных полчй, шражойия полей Якоби первого и второго тюря-1"-' перэз дифференциал/ зксткжетпдаального отоброткпкя в ироптр»ч^т!>т йиммотричесгсоЯ густотой связности.

4. Уравприия относительного движения пройшк тг>л, 1к\яр>-{-г"-п тех дайстпив пнршг-т. сил, при об?рм, нормальном г щгпгкчт.« СООТР9ТПТПИЯХ ТОЧ^'С н я траекториях.

5. Легранам и гпмильтоиовя коваркянччы? форм» ypepi угп относительного ДИСКЛШЯ.

6. Динамические уравнения для коллективного импульсе и угле кого момэнта системы точечшя тел в рямкях четарехмэрпого логрш «евого формализма с лагранжианом ойцого эидв.

7. Яшый вид коверивнттшх разложений дня реаений уравиеш девиацгм, соотношения шрзжащна через юяк ютрюсу, векторы Ки. лшшз, другие геомзтрическио вмятины в нормальных коордаяятах

? обгщгх координатах Ферми.

8. Иссдадоааниэ алгобр локальных ваблюдвешх, одноввач) вадакда гооыэтрив нрострянс-гв с отшзчеянь'м репером, для общ рймппошз пространств и ГШ ОТО.

Научная новизна. По вопросам, выносил»! нй защиту. вдарв получэны едадуодив глава.® результ«ты.

ООойцэны различные форщ коваргаатнш тейлоровских роздож ниЯ, и дана формулировка , явно использующая ковариаптвш прои шДныэ и произвольные трансляторы; нвПдоно выражение остаточна

«ШЭЕЫ.

Подучены тачнда уравнение взаимной динарами геодезичаских урввнэпкя отиосстельного движения пробных тал, годпвржовдыг да ствиа вавкниг сил, для всех основных типов соответствия точек траекториях. Построено приближониа третьего порадев для уравнен омюентапьного движения при произвольных внешних силах. Даны яг сСаэковаризнтнда лагрвнтова и гвмильтоновэ формы уравнений относ тельного движения. " —-В-рямках четырехмерного лагранжевого формализма с латрвняа ном оба«эг0 ввда выведет данампесгав уревнеши для коллектив® импульсе и углового моменте системы точечных тел, нвйдзш дипольныэ приближения.

Изучена основные локально наблюдаемые характеристики гоом; рии. Введена фундаментальная алгебра ркманового прос.трвнст! порождаемая значениями тензоре кривизны и его последователь: ковариавтных производных в опорной точке. В терминах фундаменте, • ной алгебры явно построены тейлоровские разложения мэтрики, век ров Клллинга, других величия в • нормальных координата*. Найд формулы преобразований к осадим координатам Ферми.

. Исследована алгебряичееквя структура тензоров кривианн Як для ПВ ОТО, даны нормальные форма, изучены свойство бяфуркацшн диаграмм.

Научно-практичоская приврать роботы. Исследования, гсродстав-нные в диссертации имэют осйцетеоретическое значение. Развитые в Я метода описания протяженных релятивистетда систем позволяют пструктивним образом вводить наОлвдаамие величины в прокзволышх авитационши полях. В частности, они служат основой для построена релятивистских аналогов астромэтритеских СО и описания в яж :>«ею1Я тел.

Уравнения относительного и коллект1Язвого дв'.кэяля прсС;яа тол иьюняигся в посладованияз вопросов устойчивости дшрмния*, ализе нелинейных оффэктов7, теории двтектировбпия грзвитвдиойно-| излучения". Косвриантнме разложения геоттрхгчэсгскх веягтич иользуются ¿э задачах классгфнкации, сравионяя. пру.б-^жзшм ввитацкошшх полей*" я рюдаговьЕ пространств'0.

Назовем еще некоторые области, в которых суиэствэтю исаоль-■ется вксйоненциальное отобразинт, и сждователько могут зайти иэлзнения полученные результаты: исследования функций Гр:па и ивеялй задачи Коши для полай яа фойе заданного П3"~*а; мультчзоль-1Я динамика протяженны! тол"-1''; йянокальпиА подход к определении

!ирагас К.A. Gonpocu устойчивости движения и метода ьачестзенного шлиэа .в рэлятивистсхой творим гравитации: Лис . л Л~н .и. -Киев, 1973 ирагас Л.Е. Нелинейны© эффект« э относительной динамико проСних

*л в общей теории относительности: Лис. к. ф.-м.

аммело P.P. Движение пробымх частии и протяженных тел в римамо-

>м пространстве-времени : Дис. д^ +.-н. п.- Тарту,1990. С'

;удря й.н. Локальные наблмаэмые в общей теории относительности и ххЗлема сравнения полей тяготения: Лис. к. *.-и. ' и.-Кмво,1968. Локась С.H . Изокетрич. и конформ. преобразования в ассоциирояан-IX ринан. пространствах второго порядка: Дис.к Л. -м.н .класса, 1984 DeWitt В.S., Brehme R.JJ. Radiation darcplna In a srcvltatlon ields/V Ann. Phys.. ( USS ) - 1960,- V.9.- P.220-239. Cdstagnlno H.A., Hararl D.D. Had araard renorna П ra.t i on In curved jaca-tina// Ann. РЬуз. <U3A) - 19S4.- V.132.- P.83-104. Isolated systems In genera] relativity/ Ed. J. Ehiei-з,- Abater jm: North Holland, 1979.

SchnttHer K., Law Itzky G. A fleneralIsatIon or Dixon's description [ extended bod 1ез//Апп . Inst. H.Pol ncare . -1984 . V.40.IT3. P.291-327

S

f

HcnpnxeïfflocTii и анергии гравигеционнаго поля15"*"; - релягивистск кшематкка континуума17. Инвариантный характер и конструктивное подхода делает его привлекательным дам объединения с система аналитических вычислений на ЭВМ1"'1".

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались нв 45-й, е-й Всесрюнш конференциях по теории относительности гравитации, 6-Я й ?-й Всесасзных геометрических конференцщ Всесоюзной конференции "150 лат геометрии Лобачевского" (Кпзаг 1ЭТ6), 1-м и 2-м Всесоюзных н 1-м Шддународцом симпозиумах "Дг ¡кош» т&л в релятивистской теории гравитации" (Вильнюс), 14: Симпозиума Шздународного' астрономического союза "Inert; Coordínate System on the Sky" (Ленинград, 1989), Всесоюзном на; ко-техиичвеком соввцании-самшарв "Стандартизация и нвкото; проблемы фундаментальной штрологш" (Москва, 1386). sa заседая научных семинаров Астрономической обсерватория Кшвского униээр тэта. Института теоретической физики АН УССР, Украинского цэн метрологии и стандартизации. Института прикладной астрономии СССР. v •

Публикации. Освоввыз результата, -изложенные в дассерта!: опубликованы в работах CI-7J, они также отражены в тезисах до? дов на конференциях и симпозиумах- C8-Í51.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из вш шш, трех гл&в, включавдих 14 параграфов, заключения и двух irpi пиний. Список литературы содержит 226 наименований:, о( диссертации 155 страниц.

»5

Рьлов Ю.А. Об относительной локализации гравитационного по

Вестн. НГУ. Физика, астрономия .'-1962. -*3. -С.70-60. tti

Антонов В.И. Билокадъный Формализм ОТО и проблема энэрг импульса гравитацион . поля/ /Вестн.ИГУ-Сер.3. -1960. -721 ,1С5. -С. 1 *7Ланковский А.К. Релятивистская кинематика, неевклидовы просгр ства и экспонанциальное отображение,- Минск- Наука и техн.,. 1S

*aYrm3sh¡ la Í, Сопри ter calculation of tensor» in El emann nc coordinates// Gen. Relativ. Grow It.-19&4 . - V.16, *'2.- P.V9-1H IORodloiio<j A.Ya., Taranov A.Ku. Computation o[ covai derivatives of the fleodetia Interval with coincident argurcet Class. and Qucmtu» Gravity - 1987,- V .4 , V6 .'- F. 1767-1775.

КРАТКОЕ СОДЕгЯЛШК РАБОТУ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы даль и задачи диссертации, охарактеризованы датодн исследования, перечислены положения внносимыи на оэгрггу. Здесь же описана структура диссертации и краткое содержание работа, даются сведения об епробацют.

Первая глава посвящэяа вопросом инвариантного описания полевых величин. В п.1.1, носящем вводный характер, сделаны необходимые пояснения относительно системы обозначений я ряда используемых понятий. "

В п.1.Й развита теория трансляторов. Транслятор определяется Как двухточечный тензорное поле вида У Ра{р,р). Он переносит дакторы из Тр в Т- по правилу 1'2= № рс£с*. Иадвксы из первой половины алфавита относятся к точке р, ¡и второй (начиная с к) - к точке р. Введение трвпсляторп необходимо и достаточно для инвариантного сравнения тензорных величин, заданных в разных точкм, при атом операторы переноса тензорных величин и плотностей строятся по однозначно определенным ирпмлпм.- Проанализированы наиболее важные классы трансляторов. Для сравнения спинорпых величин необходимо введение спиноряого транслятора V ВА- Показано, что векторный транслятор допускает спшорную факторизацию вида И й? **ЛЛ- =

ч Яг°л!Уел. , если и только если он является конформным:"

При *>=1 8то условие дзет определение ортотранслятора, сохрэ-няпцего при переносе скалярное произведение верторов; в этом случае имеем также сохранение спинорной "метрики" ей' ^ с,в=е>я.

В частности ортотранслятором является оператор псевдоппрпл-

лельного переноса вдоль геодезической, соединяющей точки р и р.'

В п.1.3 приведены необходимые сведения об зкспопелдапльнсм отображении. Оно позволяет, сопоставить упорядоченной паре точ>>" ф,р) вектор ¡^(рУ^Т- - аналог радиус-вектора. Точка ;> чаете является опорной и ассоциируется с иоложа'ниэм наблюдателя. точка ¡' - текушая точка многообразия. Прирящвниэ вектора ¡/'(р) при инфтш-тезимпДьных ларомея: чнях точек р и р зврвктеризуюгея двумя линейными операторами ¡/ 0 - 'Га; = \Га- Полный дифференциал вектор-

функции ¡/°(р) имеет вид: Л."*

Главное содержание главн составляет обобщенная коваркантная

формудагровкэ теорема Тейлора, изложенная в п. 1.4. Вначале показано, что переход от честных проиааоданх к снм©тркзовашшм ковари-остшдй в тейлоровском резложэшш скалярной функция р эквивалентен п-зрвжоду к задают положения точки р ев радиус-вектором <f(p), т.е.

■7 Р = > —Г" Р.

lb- р;(«1...ап)1

Взэрпда ряд Тейлора был представлен в ковариаятвом вида Руоо'/°, который спирался на работы ВеОлона и Томаса по теории аормальякз коорданзт и вффишшя: распираний. В этих терминах наш рззудьтат формулируется так:-

Иредхв&втв 1.4. Еускь футарш р (Р треОел&ш. в окресш-ноюм качки р прсс^ранаява Аг 'ii.ta.cca С1. Тоеда пчсрв&ше афрлиюе раещреюю фунхц?*» р (л £ г. < I) еоСлоЗаяя с ее п-краягнай силяяхразаванной кобарианяной производной:

.п в р

- = р;(и1...«Р1)

¿уу"' 0 ¿льтеркатнвзый вариапт разложений, используший Еарвлшльйте кереавсэжиа, применялся Кзртаиом и Вэнроузом". Осо&цэнпвя форма коваркЕЯтиого тейлоровского рвздожзнкя, полученная в диссертации, деэтся сладу ода предложением.

Првдлогшниа 1.6. Аншишинескае поле яюпворной тиаяюсш 1А, определенное в окрестности кочии р с Аг, мохт. Със-гъ представлегю в форяэ абобщ&аюго ряда Тейлора

- { * \ ];»,..„> '

гдо - щхяшволъшй. аналитический щхтслтор.

Здесь заглвввыш греческими буквами обозначены соОирагельнда индексы, вадчеркнутш индексы относятся к точке р.

' Обобиеню касается нескольких аспектов. Прежде всего пришивши трансляторов, обдего вида позволило проанализировать взаимосвязь указанных формулировок и открыло возможность выбора наиболее подходящего транслятора. В основе лежит сладущев

Ruse H.S. Taylor's tfieoron in the tensor caIculus//- Proc. London Hath. Saa.- 1931.- Vol.32.- P.67-92.

"Penrose R. ft splnor approach lo general ra1 ativity.- Arm. Phys. (USA) -I960.- V.10.- P.171-201.

Предлогеняе 1.7. Трсаюлзтор (/^(у), спрг&сляемий. соатслиегсиея

(сгуа = (г'г; V,...

шст.ся операяорсм параллельного пере несения вдоль ровиалъкш: эвезическц: у1 = ult, ы1= сспз! ( независимо ал выбора Я °а).

Ковариантнзя форма тейлоровского разложения распространена на гоорши плотности и сяинтензорные поля. Ссяошш соотношения ражены в терминах а'ЭДотнной спязцости, римяцова структура пводит-по море необходимости. Инвариантно определена'область сходимос-и дано кшариаЕТШЗ выражение остаточного члока.

Во второй главе рассматривается попроси днквмкш пробных тел. гдвзритвльио в п.2.1 развизавтея Подход к теории измерений в Э, вводится понятие локальных наблюдаемых - таких наличия, вчэяия которых однозначно определяется заданием опорного ре-аера.

В п.2.2 с помоадл окспоиенциальпого отображения исследуется екмяая деяамикв -геодезических. В частности, когда ош! вреуркно-дойач, это можно рассматривать как задачу об относительном имущи пробных тел в саденноч гравитационном пода. .Получено чков уравнение относительного дтаженш вида

* * г Он" Цр ,

— + Г^ = О, где ^ [*>„ -аУ + 2 С, .-¿Г- •

ичем тензорные коэффициента А, В, С является функциями у* и решаются через первый и второй дифференциалы експоношдаэльаого обряжения. ■ . '

Нвйдэна. ©го приближенная форма с точностью до членов кубичес-х но отклонение. Ранее так^о рода приближенное _ уравнение бшга •лучэно при илом оиборе соотеотствия -точек па геодезических". В м я® п.2.2 предложен способ описания геодезических вариаций с ¡мощью последовательности векторных полей - старших полей Якоби, ги атом поле Якоби второго порядт-го ■ удоялэтноряег уравнения жвньского".

В п.2.3 рассмотрена .общая задача описания относительного ¡икения пробных тел под действием произвольных внешних сил.

Ной$к\паси ц.В. А тоЛПеЛ ечиаМоп Л деоЛен¡с 11ау1<Н1оп// (п .кв1а1 .ога'^и 1'->7?..-Ч.З,- р.301-373.

[•мйипзк I 5.1.. Т?кз ге1аЦус впегоу oí дог 11аI«а 1п йнпега!

¡1аи«иу// Нс-уа Асы ЬвороМ I по . •• 197/1,- v. з*), 2. - Р.213.

Получены уравнения движения при общем сооте.тствии точек на трвез ториях, в также в честных случаях изохронного соответствия, сосу ветствия по нормали и оптического соответствия.

Предяоасшв 2.3. Уравнение относительного движения в слуь соответствия по корены к опорной траектории гикеет вид

%) (¡/'"4 + (2 'уJ yj VLJt") V = О .

Предлсшзиав 2.4. В случае оптического соответствия уравнен аязюстелънога движения щпшиат вид

*

yj у р + »"> + «Г цг„ - ^ = 0

*

Здесь введены такда обозначения = ¡^ / - Р )

* _ *

i* = i/5- {Л, «Л- «„(У) -

СИМЕ

лами /°йР° обозначены обдековариштнда выражения внешних ад дэйетвуюциз на единичную мессу в точках р и р, соответственно.

Выписаны уравнения первого приближения для наиболее ваш типов сил; в Приложении II дано также приближение третьего поря; при произвольных силах.

Во многих случаях уравнения движения пробных тел (в честно* геодезических) могут быть представлзны в ховарионтной лаграшш: форш". При атом переход к- относительны!,« переменным пвибо Просто мокет быть осуп^эствзвя нейосредстшнно в функции Лагрш Вопросы аналитической ковариэвтноЯ дшшгажи относительного дай тя исследуются в п.2.4. Доказана следувдая теорема

Щмдяожеявв 2.6. Пусть в пространстве АТ вешение почки задается функцией Дагранха Ъ(ка,^)г и путь сри) - произвол опорная краетория навляОтеля. Тогда уравнение отюстелъь движения точки р хожет быть предсмз&лено в форм? коваршвш уравнения ЭОивра-Лащяг

« »

■ Ь ¿Ъ »1

гЗв I - функция, полученная из I гарроЯрпэсСана?.* .ш~рпг псрежкиш с"—1» у р

• иу р, » г) -= хсс^су р), {Г'У'/у и «*)),

Pyraflas К.A. Сочаг1аЫ canonical equations сИ the' te.3t-p.1rl notion in general relatlvlty/ZTsnsor, H. S .-1'<7й. -" ;>.3- Г.ги4

1Q

аависж;ая оп (¡ярцсций ) , иР= ср нак параеетров.

' Получена также явно коваривнтвая гамидьтопова форма атих уравноний. Здесь же указан вид их интегралов дввкеяия, которые обусловдэны изомэтриями Ш; дап лагранжев _алгоритм построения уравнений для стерших полой Якоби.

В п.2.5 выводятся в рамках лагранжевого подхода уравнения движения для коллективного импульса и момэвта импульса ■ систеш точечных тел. Предполагается, что уравнения движения могут быть получены из вариационного принципа вида ¿-^ £(('а, и1^') О, где координзты 1-оИ частицы, = сХ - ее 4-скорость, т - общий параметр. Коллективное движение систоиы ассоциируется с движением изображающей (опорной) точки р , которая служит к центром локальной систеш отсчета. Функция Лагранжа, выраженная через коллективные и относительные перемзннда, имеет вид

Выражения для коллективных динамических переменных строятся в соответствии с определениями Диксона, которые могут быть обоснованы с помощью квазигруппового обобя>евия групш Пуанкаре'*:

. Рр= - Е ^„(Г1)^ = - £ ; •

2 Е у£ Сг,<Г')(?)т] Пса= 2 £ ^ 1 .

Здесь - канонический импульс 1-ой частицы.

Особый интерес вызывает следующее точное соотношение

Предложение 2.13. Уравнение движения полного импульса яохеп бьспь представлено в 6Шэ

пр0 га "ЗГ"

» ■ »»* » сгг

Получено также уравнение движения для Я . Проанализировано дитюльаов приближен«».

Третья глава посвящена вопросам описания геометрии ГШ с помощью локально наблвдяекых даличин. В основе рассмотрения лежит изучение даЭДу?регпфальши характеристик геодезической структуры. В п.3.1 обсуждается о&дяя поптвяовкв проблеш ии.»'./.>ештя гряпитяциш-ннх полей»

В п.3.2 и п.3.3 исследуется связь полей Якоби первого и второго порядков с фундаментальными геометрическими гтичкяпни:

штрикой, связностью, крившной, векторами Киллингр и др. Вводится понятна специальных подай Якоби старших порядков, которые характеризуют само пространство и на зависят от частного выбора геодезической вариации. Дано виражение подай Якоби первого порядка и специальных полей второго порядке через производные экспоненциального отображения. . ¡f а

Обще© решение уравнения девиации -- + Я "¡iyj^'1?' О6 * О

представлено в виде J " = iG"1)"Jt[ Cfp b" + <f т j. При в той

«i^0110= ba; djta/rir |G--= а", в аффиноры s*p и c*p можно считать фундвдантвльнь'ми решениями. Для них в яыюм видэ получены разложения Тойдора; коаффицивяти которых выражены через тензор кривизны и его коварйантяш производные.

йлэют мэсто следущие фундаментальные соотношения k_=

per

= АЛО = (r'fpi~y \ <г + с?т

позболяещш выразить (.»тркку в нормальных координатах , Векторы аффинных движений <a и оператор ' переноса опорной точки черва нвйденныа разложения.

Предложена рвкуррантнвл процедура отыскания аффинных нормальных тензоров. На'Ядены формулы преобразований тензорных- величин к координатам Ферми произвольно ускоренного и врацащегося ваблвда-твля, которые позволяют лвгко .трансформировать разложения не нормальным координатам в ряда но прострвнствопным крордянатаы Ферми. В Приложении 1 дани начальные отрезки ковариантиых реуложе-нкй для основных геометрических величин.

В п.3.4 рассматриваются системы .наблвдвешх, опродалявдк локальную геометрия). Вводогся фундаментальная алгебра римваовогс пространства. Ее адамантами является аффинорниэ поля, осредагашшс на касательном пространств© наОлавдателя и ортогональные радиус-вектору. Йх совокупность обладает структурой матричной алгебра i дополшггедьно наделяется операцией дифференцирования. В термина; фундамэнтальнйй алгебры формулируется соотношения, связывящж между собой основные локально наблцдвемиа характеристики гвомэт-

• Аналогичное разложение для метрического тензора четырехмерное^ .. пространства в спи норном представлении выло пол учено Гюнтером Gunter Г. Spl по г kill kúl und norma Ikoardlndten// ZAHM .-197S .-V . BD. -P.203-210.

зии. В качестве системы оврязущих фундаментальной, влгебры могут Зыть взяты однородные члены тейлоровского разложения топзора

кривизна Якоби г"^ = К ру "у где

гр = . /''Л--- У*14.

I 2 * 9 г.

Существенно, что такие образуйте могут быть вычислены исходя из мзтрики в произвольных координатах. Проанализирована также система локально наблвдпокых характеристик пространств, с .сигАотрической аффетно.1 связность» я условия нртодкмости их к римяновим.

В п.З.Б исследуется алгебраическая структура тензоров ЯкоОи для ПВ ОТО в зависимости от компоиенг тепзора Римаяя и направления опорной геодезической. Впервые такая задач» была сформулирована Плебаньским, который рассмотрел частный случай премешю'.тодобпых геодезических"1. Знзченга вопроса объясняется тем, что локальная геоьатркя в окрестности произвольной отмзчеппоЯ точки р велностьи определяется поведением совокупности радиальных геодезических, проходящих через р, которое, в свол очередь, диктуется свойствами тензора Якоби.

Следует заметить, что в отличие от Плабаньского ш рассматриваем тензор Якоби как иоле на касательном пространство точки _ р и используем понятия теории нормальных форм семейств матрш^7. Мзоже-отво локальных геоштркй разбивается но классы ш&ивалаятпости, каждому из которых соответствует сяря (нолевая) нормальная форма тензора Якоби. Она вычислэяа для времэннападобяих, изотропных и пространственноподобных направлений и всех возможных типов 'характеристики Вейерштрасса; найдена явные выражения с'обствевяых значений через компоненты сшшоров Вейля и Риччи. Особое внимание уделено исследованию бифуркационных диаграмм, т.е. прострвнстЬон-но-временному распределению алгебраических типов в окрестности опорной точки. Некоторым типпМ бифуркаций дпна определенная физическая интерпретация. Так- йяпрямзр, своп особые тины соответствуют главным световым направлениям и волной™ Фронтам.

в жииючснии резкиируются основные- результата.

2(5Г I СопГоггпи! дооЛезю 'Зеу 1 о П оп . 1 .РЬуз .

Го1ом1са.- У.?.».~ Р.И1-173.

г?

Арнольд В.И. Дочощит^.чьнуз гл<звн гоогн*и осикноренных дИ'Нерении -ильных уравнений,- М.: Наука, Г>76.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЮГ.'м ТАЦВД

1. Исследована ковариантная (тиютричвская) форму лирош ■теоремы Тейлора. Показано, чго переход от частных произьюдпых ковариантным в коэффициентах тейлоровского разложения одаоэнвчи связан с применением экспоненциального отображения для задай взаимного положения точек. В инвариантных терминах одредоле» область сходимости ряда и получено выражение остаточного члв! формулы Тейлора.

2. Дяпа обобщенная форма, разложения Тейлора для тензорных сшшорниж полей, а также тензорных плотностей, которая опираете на применение общих трансляторов с целью сравнения объектов разных точках. Рассмотрены вшиийшю классы трансляторов. Проаш лдаированы связи мэвду ране© известными формами ковариавтга разложений.

3. С помощью экспоненциального отображения получено точш уравнение относительного движовия двух точек, переиздающихся ] изозронно параметризованным геодезическим. Дана приближенная фор] этого уравнения с точностью до членов третьего порядка по степей рзоим!юш радиус-вектора.

4. Выведены и исследованы уравнения относительного двкжея двух точек, подверженных дайотвнп нэ только гравитационного, по произвольных внешних полей при общем соответствии т«.- ок ив трав ториях. Эти уравнения конкретизированы дая двух частных случае соответствия по нормали и оптического соответствия. Шотро? приближенные форм атих уравнений { в дтесортахрм приведены уре иэяия третьего приближения в случае сил общего вида, в твя первого приближения конкретно для силы Лоренца и сил, квадрет'.П!" ио скоростям).

Б. Уравнения откос'.гельного движения представлена также гавэриантЕкг лзгршжешй и гямояьтоновой формах. .Указан шк штс рвлов движения обусловленных изомэтриями пространства.

6. В рамках четнрэхмэркого лагранжового описания динвм! система частиц выводанн уравнения движения для полного импульса момента иинульсв системы, Исследовано. довольное приближзш Показано, что для системы частиц в потенциальном пол© найдею У)!8Ш19НИЛ В ДИЛОЛЪНСМ ИрИбЛИЯЙНИИ переходят В УР8ВП9МШ Матиссм Папопетру. При наличии взаимодействия г, электромагнитным полем ( тор«1 холя г в уравнения Шпвпетру-Уриха, в которые .однако, ввел

сшштелънда слаговша, учитиваыцш дшюльшй моьвит сисгеш ядов.

7. Дано определение отярштх полей Якоби,^ последовательность орых образует струи якобивьых вариаций. Предложены мэгодц гучрнил уравнений для атих полой, показано, что поля Якоби >рого порядка удовлетворяют уравнению Бажоньского. Найдопн шжинин нолг-й первого и второго порядков чероз длффврвициали ;шненцшшьього отойрвзгания в пространствах с симмэтричоскоЯ

.ЙШНОЙ СПЯ'.ШООТЬЮ. .

м. Найден явный вид тейлоровских разложений для фундамзитпль-i pt;i!i/'iiiift уравнения девиации. Указвш алгебраические соотпоии-!, шракапциз черва них мэтрику, векторы •Кюишнгв и другие ничитш и нормальных координатах, а также" в осй;их координатах зми (ускоренных и цращишдооя). |.,;1Д»дэ1Ш начальные отре<гп<и зложбний всех обсуздкмых величин.

9; Рассмотрена аадача описания гооштрии с помощью локальных Злвдавмых, проанализированы шдапш, однозначно задвпцда reo-грию пространства с отмоченным ро пером. Показано, что для римд-вых пространств основные геометрические локвльные наблвдаемыс и отношения между ними формулируются в то ринк ах специальной алгей-.■даиноров, которая назвала фундаментальной алгеброй 'пространна . Образуицда атой алгебры внрпг^ии через значения тг.цг»орн ирпшш и ого ковариантных- производных в опорной точке.

10. Исслэдопоне алгебраическая структура операторов криыгнш :оби для пространств ОТО. Найдены их соПстаэнныэ значения и 'рмпльныо &орми в зависимости от значений тензоре крипиэпи и 'мпоиеит радиус вектора-, Изучены свойства бифуркационных диаграмм уь'^идна физическая идтррпретацнч некогорьгс dtifiypirmyit.

ГАБОТМ ШТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕГТАДОИ

[. Alexnndxov A..N., Ругадаз К.A. Exponential mapping шн1

Inj lor* a tlic-ornn !n temoi ншйугИя// Тешог, N.S. 1C>?!>.

Ч.Р9. - P. tCT-199; ffp'-tTp./ Aft VTP Ito-т тсор. фи:*., Пп~п.

ЕЭ74. - * 70Г.- 271.

Александров A.II., Шфяггс К.Д.. Грояпэитрг структур«. I.

Взаимная динамика ге'лрзичесчяг// T«ip. ч мят«*. flmwB.

-1979. --Т.ЗИ.1ГГ. -0.71-03. . А.трясангроп JS.n. Г СТРУК'^'УР'1 . ч»'.'^ M.-qii^JTMlrv»

отображений и фундаментальные объекты// Acta РЬуз. Polonies В. -1981 .-V. 12,^.-.£.523.-540.

4. Александров А.Н., Пирдгас К.А., Пирагас Л.Е. Уравнений othoci тельного движения пробных тел иод .действием внешних сил ОТО//'Изв. вузов СССР. Физика.-1Э83.-JÍ8.-С.38-45.

6. Александров А.Н., Кудря ¡O.H. Алгейраическвя структура пол тяготения и девиация геодезических// Acta Phys. Polonlca. -V.13.JÍ7. - P.475-500.

6. ЗЕдаиов.В.Й., Александров А.Н. Координаты Ферми и радаоинтерф ромэтрическш наблюдения// Вэсник Кмавского уп-та. Астроц мши- 1990.- вал.32.- С.24-28.

7. Александров А.Н. Динамика систаш пробных тел в ОТО// Всесоьз. гравитационная конф.: Тез. .докл.- X!.: Из-во Ун-дру*бы народов,1984.- С.218-219.

Й. Александров А.Н., Пирагас К.А. Коваривнтная формуляров ,теореда Тейлора//?1 Всесоюз. геометрическая конф.: Таз. докд .Вильнюс, 1975.- С.11-13.

9. Александров А.Н., Пирог ас К. А. Локально наблвдаемда в неевш довой теории доля//Всесоюз. кокф. '"I5Q лет геоштрки Лобаче скоро": Тез. докл.- М., 1976.- С:6.

ТО. Александров А.Н., Пирагас К.А. Относительное движете проСь тал в ОТО// IV Всесова, гравитационная конф.: Тез. дои IteHCK, 1976.- С.122-133.

11. Кудря Ю.Н., Александров А.Н. Мэтрический тензор и • вектс Ккдлинга в нормальных координатах// IV Всосош. гравитшрюнг кокф.: Тез", докл.- Минск, 1976.- С.226.

12. Александров А.Н. Многообразие пространств с отмэченньм peí ром//VII Всесоиз. геоштр. копф-: Тез. докл.-Минск, 1979.-С,

13. Александров А.Н., Кудря К.Н.'Алгебраическая структура по. тяготения и девиация геодезических// V Всесоюз. грввитациош конф.: Тез. докл.- М., 1981.- С.66.

14. Пирагас» К.А., Александров АЛ., Пирагас Л.Е. Относитолы донамикв пробных тел и некоторые нелинейные аффекта// Всосохю. сшп. "Движвит-тол в релятивистской теории грошу

■ ши": Тез. докл.- Вильнюс, I98G.- C.60-R4.

15. Ашкснндров А.Н. Наблсдяеми© и уравнения движения чясгиц

р системах отсчета локального набдвдвтеля// л4эждун8родн. ск

"Движеии» тол н ролятимигтпкой "юорт гравитации*": Tr-nt. док. Вильни:, ТУ90.- С.8-9.

. ... . Iк. Г,':.'•'>!>!' /*- Згк,:. // '< ihf'.KK?

i Г|Щ f'ni-.f T!-v Ук^нгня 'У")М k

lo