Краевые периодические задачи для гиперболическихинтегро-дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 Од } 6*даизз$

Міністерство освіти України Львівський державний університет ім. Ів. Франка

На правах рукопису

ПЕТРІВСЬКИЙ ЯРОСЛАВ БОРИСОВИЧ

КРАЙОВІ ПЕРІОДИЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.02-диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів-1996

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Тернопільського державного педагогічного інституту.

Науковий керівник- доктор фізико-математичних наук, професор Хома Г.П.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Слюсарчук В.Ю.,

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Коломісць В.Г.

Провідна установа- Інститут прикладних проблем механіки та математики НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться “?£• “ ) 199Ср. о ^ год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради 04.04.01 у Львівському державному університеті ім. Ів.Франка (290001, м. Львів, вул. Університетська, 1).

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Львівського держуніверситету (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано “ -Ь “ А^иСгСиад 1996 р.

Вчений секретар л

спеціалізованої вченої ради МикитюкЯ.В.

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. Багато фізичних явищ описується рівняннями в частинних похідних гіперболічного типу. Зокрема, такими рівняннями відображаються різні хвильові процеси, як для однорідних, так і неоднорідних середовищ, коливні характеристики радіоелектронних контурів, рух рідин та газів у певних умовах. Велика кількість задач небесної механіки зводиться до розв'язування рівнянь даного типу.

Важливе місце у дослідженні вище описаних процесів займає питання існування мінімальних умов розв'язності мішаних та крайових періодичних задач для гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку.

Після отримання В.А. Стекловим у 1922 році результатів, що стосуються умов існування розв'язку мішаної задачі для однорідного гіперболічного рівняння другого порядку, дане питання стало темою розгляду для багатьох наукових посібників. Зокрема, відомі достатні, досить жорсткі, умови існування розв'язку цієї задачі належать І.Г.Петровському, Б.М.Левітану. Слід відмітити, що при обгрунтуванні отриманих результатів істотньо використовувалась операція почленного диференціювання формальних рядів, що зображають цей розв'язок. У середині 80-х років В.А.Чернятіним, при дослідженні мішаної задачі, були отримані необхідні і достатні, більш м’які, умови існування її розв'язку.

Для різного класу гіперболічних рівнянь та систем значних результатів при вивченні мішаної задачі добились у своїх роботах 3.0. Мельник, В.М.Кирилич, В.Є.Аболіня, А.Д.Мишкіс, Н.С.Бахвалов, А.І.Марковський. При вивченні крайових періодичних задач доведення існування їх розв'язку до 80-х років здебільшого проводилось за допомогою рядів Фур’є, причому період Т і крайова умова підбирались так, щоб можна було досягти бажаного результату. Першою серед таких робіт була стаття Н.А. Артем’єва (1937 р.) в якій він розв'язував крайову періодичну задачу для часткового випадку нелінійного гіперболічного рівняння. Різними варіантами цієї задачі займались П.В.Соловйов, А.П.Мітряков, Г.Т.Соколов, В.Н. Карп. Відмітимо також авторів, роботи яких присвячені дослідженню крайових періодичних задач для широкого класу рівнянь в частинних похідних:

B.І.Арнольд, Х.Брезіс, М.М.Вайнберг, О.Вейвода, М.М.Вульпе, М.Л.Горбачук, І.М.Корон, О.А.Ладиженська, А.М.Нахушев, Л.Ніренберг, Б.Й.Пташник, П.Рабінович, І.А.Рудаков, А.М.Самойленко, І.В.Скрипник,

C.Л.Соболсв.

У другій половині 80-х років з’явились роботи О.Вейводи, М.Штедри, Ю.О.Митропольського, Г.П.Хоми, в яких при дослідженні крайових періодичних задач для гіперболічних рівнянь другого порядку будуються інтегральні оператори і розв'язок шукається у спеціально означених просторах неперервно диференційованих функцій для конкретних випадків періодичності.

У даній дисертаційній роботі продовжено встановлення і вивчення просторів функцій, де існує розв'язок крайової періодичної задачі, а також

знаходження мінімальних умов розв'язності мішаних та крайових періодичних задач для інтегро-диференціальних гіперболічних рівнянь другого порядку.

Мета роботи. Відшукання мінімальних умов існування розв'язку мішаної задачі та встановлення умов існування розв'язку крайової періодичної задачі для лінійних та нелінійних гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку. Знаходження просторів функцій, в яких вказані задачі сумісні.

Наукова новизна роботи.

-Встановлені мінімальні умови існування класичного розв'язку мішаної задачі для лінійних однорідного та неоднорідного гіперболічних рівнянь другого порядку.

-Доведено .теорему існування і єдиності розв'язку лінійної крайової періодичної задачі у конкретно означеному просторі функцій.

-Отримано умови існування гладкого розв'язку нелінійних крайових періодичних задач для гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку.

Наукова і практична цінність роботи. Результати дисертації є певним внеском у загальну теорію гіперболічних мішаних і крайових періодичних задач. Вони можуть знайти своє застосування як в теоретичних, так і в практичних питаннях.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на таких конференціях та семінарах:

1.Міжнародна наукова конференція, присвячена 150-річчю від дня народження видатного українського фізика і електротехніка Івана Пулюя (м.Тернопіль, 1995 р.);

2.Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (м.Київ,

1995 р., 1996 р.); '

3.Всеукраїнська наукова конференція “ Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях присвячена 70-річчю від дня народження професора П. С. Казімірського (м. Львів, 1995 р.).

4. Львівський міський семінар з диференціальних рівнянь ( керівники Б.Й.Пташник, В. Я. Скоробогатько, С.П. Лавренюк, 1996 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-8], список яких подано в кінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. Основні результати дисертації отримані автором самостійно, теорема II.3.1.-у співавторстві з Н.Г. Хомою.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох глав, списку літератури, що нараховує 117 найменувань. Повний об’єм роботи 137 сторінок.

Зміст роботи.

У вступі обгрунтовується актуальність теми, зроблений короткий огляд літератури по темі дисертації, сформульовані основні результати роботи, а також наведені деякі відомі результати, що використовуються у роботі.

Перша глава дисертаційної роботи присвячена вивченню розв'язності мішаної задачі і встановленню мінімальних умов існування її розв'язку, накладених на коефіцієнти і вільний член, для інтегро-диференціального рівняння в частинних похідних другого порядку гіперболічного типу. Спочатку у §2 для такої мішаної задачі:

І

иа -а2ихх = |Ь(х,1,8)и(х,5)сІ5, 0<Х<Я, 0<5<КТ, (1)

о

и(0Д) = и(яД) = 0, 0<1<Т, • (2)

и(х,0) = ф(х), и((х,0) = \)/(х), 0<Х<7Г, (3)

Ь(х,1,5)єС{<3), <3 = {(х,і,5)єіі3: 0<х<к, 0<в <І <Т),

шукаються умови існування класичного розв'язку

и(хД) є С2Д(П), де ЇЇ = {(хД) є И2: 0 < х < п, 0 < І < Т}.

Для цього у §1 показано, що задача (1) - (3) еквівалентна відповідній мішаній задачі для гіперболічних систем першого порядку. Крім класичного результату розв'язності задачі (1) - (3) (Ь(х,г,з)єС1Д0((5)) отримано наступний результат.

Теорема (Л.2.2. При виконанні умов

1) <р(х) є С2 [0. я], <р(0) = ф(я) = ф"(0) = ф"(я) = 0;

2) \|/(х) є С'[0,я], у(0) = \|/(тс) = 0; .

3) Ь(х,і,з)єС0І 0(д);

існує єдиний класичний розв’язок мішаної задачі (1) - (3) в прямокутнику П.

У §3 для неоднорідного лінійного інтегро-диференціального рівняння гіперболічного типу

и,( -а2ихх = |Ь(хД,5)и(х,5)СІ5 + Г(хД), 0 < X < 71, 0<Б<1<Т (4)

о

сформульовано і доведено теореми існування класичного розв’язку мішаної задачі (4), (2), (3). На початку параграфа досліджується мішана задача для неоднорідного гіперболічного рівняння ии -а2ихх = {'(хд). На основі отриманих результатів в §2 сформульовано і доведено теореми існування класичного розв’язку мішаної задачі (4), (2), (3). З урахуванням позначень

І ^

р+(х,аД) = (х + а(Ч - т),т)с1т,

0

1 __

р~(х,аД) = | ? (х -а(1 - т),т)сіт,

о

де 7(хд)- непарне, 2п- періодичне продовження функції Г(хД) по змінній х з відрізка [0,л] на всю числову вісь встановлені мінімальні умови існування вказаної мішаної задачі. Відмітимо такий результат.

Теорема (І).3.3. Нехай виконуються умови

1) Кх,і)єС(П), П = {(х, 0 є ГІ2: 0 < х 2 7Г, 0 < і < Т);

2) ф(х) є С2[0, ті], ф(0) = ф(тг) = 0;

3) 1|/(х) Є С'[0, Я], \|/(0) = = 0;

4) -а2ф"(0) = £(0,0), - а2ф"(я) = КТС.О);

5) Г(0Д) = ДкД) = 0, ЯКЩО ф(х) з 0, \у(х) = 0;

6) Ь(х.І,5)ЄС0І0(д), д = {(х,1,8)еН’:0<х<7Г,0<8<1<Т);

7) р+(х,І,а) є СОЛО(П), р-(х,1,а) є С010(П),

П = {(хд)є И2: 0<х<тс, 0<1<Т}.

Тоді існує єдиний класичний розв’язок мішаної задачі (4), (2), (3).

У §4 уточнюється теорема Вейводи про розв’язок мішаної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння и„ -а2ихх = Г(х,і) на всьому прямокутнику П = {0<х<л:, 0<1<Т}.

Результати досліджень, проведених у §1 - 4 дають можливість сформулювати у §5 пом’якшені умови існування неперервного розв’язку для нелінійного неоднорідного інтегро-диференціального гіперболічного рівняння вигляду

Чц - а2ихх = Р[и,у[и]] + Г(х,1), (5)

в прямокутнику П, де Р[и,у[и]](хд) = і',(х,г,и(хд),\[и](хд)),

Ь(х,і)

у[и](хД)= |ф(х,1,5,и(х,3))сі5.

а(х,0

Задані в рівнянні (6) оператори Р[и,у[и]], у[и], взагалі кажучи, нелінійні, переводять гладку (иєС'СІІ2)) функцію и(хД) в неперервні скалярні функції Р[и,у[и]](хД), у[и](хД), визначені на П.

У § 6 уточнюється формула Вейводи про розв’язок мішаної задачі ' для випадку неоднорідного нелінійного інтегро-диференціального рівняння.

Результати, отримані у главі І, суттєво допомагають розв’язанню питання існування розв’язків крайових періодичних задач для інтегро-диференціальних рівнянь гіперболічного типу, якому присвячені II і III глави дисертації.

У § 1 глави II з’ясовується питання існування класичного розв’язку лінійної крайової періодичної задачі

и„ -а2и„=Е(хд), (хД) є И х И,

и(0,0 = и(лД) =0, І є її,

(6)

(7)

и(хД + Т) = и(хД), (хД)єКхЯ.

(8)

На основі введеного оператора

(І ь 1

(Рд)(х, і, а, Ь) = | ск| г(х, ау, т)с!у сіт| г(х, ау, т)с!у =

0 т їх

(9)

^ 1 х+а(1-т) | Ь х+аО-т)

^Т\йї |е(х,1еіт ^(г,х)йг, а є Я,Ь є Я,

4а 0 х-а(і-т) 4а 1 х-а(і-т)

де г(х,ау,т) = -^(х + а(у-т:),т) + £(х-а(у-т),т)), в просторах функцій

Ох(простір функцій g(x,t), неперервних і обмежених на II2 разом з похідною по х), С>2Л (простір функцій g(x,t), які задовольняють на И2 умови g(x,t)= = -§(-хД) = §(х + 2яД)),С>т (простір функцій g(x,t), які задовольняють на Я2 умову g(x,t+T)= =g(x,t)), НаЬ( простір

функцій g(x,t), які задовольняють умови г(х,ау,т + Ь) = -г(х,ау,т),

о ь

|сіх/г(х,а(т + со),Ь + т)с1<в = 0 ) доведено справедливість твердження.

-т о

Теорема (Ш.1.1. Для % є С, ПЄ)~2п П <3Т П Н,ь функція u=Pg,

визначена формулою (9), є функцією з простору С2, яка задовольняє умови крайової періодичної задачі (6) - (8).

На основі властивостей простору НаЬ у § 2 виділено три простори функцій^,; = 1,2,3, в яких може бути розв’язана задача (6)-(8). Детальне вивчення властивостей третього простору

ва =^(хД):§(хД) = -§(-хД) = £(х+2л:Д) = -в(хД + ^)}, Т3 =- ^

І 2 ] аф-І)

Ь3 —— дало можливість продовжити дослідження існування

розв’язку крайової періодичної задачі. Зокрема , у даному параграфі побудовано конкретний підпростір простору Ва:

і з урахуванням позначеннь ЦХ,У)-простір лінійних і обмежених відображень X в У, С-простір неперервних функцій, С1- простір неперервних разом з першими похідними по змінних х та І функцій , С2 - простір неперервних разом з другими похідними по змінних х та І функцій , на основі оператора

. І х+а^-т) ■ Ь3 х+аО-т)

(Р^)(хД,а,Ь3) = — |сіт ]ё(2ч’1)йг~— jg(z,^:)dz

0 х-а(І-т) І х-ао-т)

повелено справедливість тверджень.

Теорема (Ш.2.1. Нехай §(хД)єС< пВа+.Тоді

Р3 єЦСпВ^С1 пВ^),Р3єЦОх пВ^+,С2 пВ3+).

Теорема (II). 2.2. Для g(x,t)єС,пВ:|+ функція и(хд) = (Р3§)(хД,а,Ь3)є

єдиною функцією з простору С2пВ^+, яка задовольняє умови

крайової періодичної задачі (6)-(8), причому справедливі оцінки

ИХ>1)|ІС !К(М)|С <-у|ІЕ(хД)|с,

||их(хд)|с <-^(хД)||с, а*0,

||е(хД)[|с =5ир{|г(хД); (хД) є II2}.

На основі отриманих у §§1 - 2 результатів у §3 досліджується існування гладкого (и є С'(К2)) розв’язку крайової періодичної задачі для нелінійного інтегро-диференціального рівняння гіперболічного вигляду

ип-а2ии = р[и,и,,у[и]], (хД)єЯ2, (10)

и(0Д) = и(тгД), гєіі, (11)

и(хД + Т) = и(хД), (хД)єЯ2, (12)

де Р[и,и,,у[и]](хД) = Г(хД,и(хД),и,(хД),у[и](хД)),

Ь(х,0 '

у[и](хД) = |(р(хДАи(х,5),и,(х,5))сІ5.

Задані оператори ■Р[и,и1,у[и]], у[и], взагалі кажучи, нелінійні, переводять гладку (иєС‘(Я2)) функцію и(хД) в неперервні скалярні функції Р[и,и„у[и]](х,1), у[и](х,1), визначені на К2.

По аналогії з лінійним випадком розв’язок квазілінійної задачі (10)-(12) будується на основі відповідної системи нелінійних інтегральних рівнянь

' , Ь3 х+а(і-т)

и(хД) = — {СК^ск |р[и,и(,у[и]](2,^г,

0 х-а(і-т)

и‘(хД) = 7 І 2Ди>иі>у[и]](х + (-1)ка(і - т),т)«1т,

4 п

к=0

ь,

ММ) = ^ І 0(т:) Х(-1)кFlu.il,,у[и]](х + (—1)ка(1 -'і),т)сіт)

0 к=0

(13)

0(Т) =

0 < т < I,

-1, Кт<Ь3.

(14)

Для цього дано означення гладкого розв’язку крайової періодичної задачі (10)-(12) як неперервного розв’язку (и,и4,их)єС(Я2),и(хД)єВа+ пС відповідної системи інтегральних рівнянь (13).

Доведено справедливість твердження.

Теорема (Ш.3.1. Нехай скалярні функції ф(хД,5,и(х,8),и,(х,з)), Р[и,и1,у[и]](х,і) = г(хд,и(хд),и,(хд),у[и](х,і)) задовольняють такі умови:

]) Дх,і,и(х,0,и,(х,0,у[и](х.0) є С(И2 X |и]]с < ООХ Ци,||с < |Н|С < °°);

2) ф(х,і,5,и(х,5),и((х,5))єС(К3 х||и||с <овх||и,||с <°°);

3) 0 < ||Р[0,0,у[0]](х,1)|с < Г < оо;

-11-

4) |р[и",и,>[и”]](хД)- Р[и',и',Ми’]](хД)|<N||u”(x,t)-и'(хД)] +

+ К2|и','(хД) - и’,(хД)| + К3|у[и"](хД) - у[и'](хД)|;

5) Р[0,0,у[0]](хД) є В3+;

6) для всіх и(хД) є В3+ пС'(' 2),Р[и,и,,у[и]](хД) єВ3+пС(І12);

7) |ф(хд,5>и"(х,з),иї(х,5))-ф(хд,5,и'(х,5),иі(х,5))|<

< К.]и"(х.я) - Іі'(х.■+. К2|1і!,(х,5) — и',(х,з)|;

8) Ь(хД) є С(І12),т(хД) є С(І12),|іі(хД) - ш(хД)| < Ь.

Тоді при виконанні умови

^(н1+ьвд)3(н2+ис2к3Ц

задача (10) - (12) має єдиний гладкий розв'язок и(хд) є В3+ пС‘(Я2).

У наступному , §4, продовжено дослідження умов існування гладкого (и(хд) є В’+ ПСЧЯ2)) періодичного розв’язку для більш загального нелінійного рівняння

ин -а2ихх =Р[и,и(,их,у[и]], (хД)єІІ2, де Р[и,и„их,у[и]](хд) = Г(хД,и(хД),и,(хД),их(х,1),у[и](хД)),

Мх,о

у[и](ХД) = |ф(хД,5,и(Х,5),и,(Х,5),их(Х,5))сЬ.

0

У § 5 наведено приклад рівняння, для якого виконуються умови теорем 3.1(11), 4.2(11).

На початку III глави , в §1 , вводяться оператори Вейводи-Штедри

(5|д)(х,0 = -і}<і^ ^,т)с!т,

70 і-х+$

(82§)(хД) = -~^ /е(4,і)с1х

х и-х-4

1 у лемах 1.1 (III)-1.4(111) формулюються їх властивості.

На основі цих результатів у §2 доводяться теореми розв’язності 7і-періодичної задачі , а у § 3 - теореми розв’язності

2 ті-періодичної задачі для таких лінійних випадків :

и(1 _ и« ~8(х>0> 0 < X < 7С, ієК,

и(0,1) = и(тгД) = 0, І є II,

Іі(хД + Т) = Іі(хД), 0<Х<7Г, І є І*,

де Т = —, яєІЧ,

Ч

ик “ихх-В(хА), 0<х<л, ІєИ,

и(0Д) = и(тгД) = 0, І є Іі.

и(хД + 2к) = и(хД), 0 < х < к, І є И.

Результати §§1-3 допомагають сформулювати і довести у § 4 і § 5 теореми про існування єдиного гладкого розв’язку для л-періодичної і 2п-періодичної задач для нелінійних випадків інте-гро-диференціальних рівнянь . Зокрема , у § 4, вивчається така нелінійна л-періодична задача:

и(І -ихх =Р[и>иІ>их>у[иІІ> 0 < х < ТС, і є її, (15)

и(0д) = и(лд) = 0, і є її, (16)

и(хД + 7с/я) = и(хД), (хД)є[0,7ї]хії, я є ЇМ, (17)

де Р[и, и,, их,у[и]](хД) = Г(хД,и(хД),и,(хД),их(хД),у[и](хД)),

Ь(хД)

у[и](хД) = | ф(х Д, Б, и(Х, 5), 11, (X, 8), 11 х (X, 5))СІ5.

о

Задані оператори Р[и,и,,их,у[и]], у[и], взагалі кажучи, нелінійні, переводять гладку (и є (^([О.ті] х II)) функцію и(хД) в неперервні скалярні функції Р][и,и„их,у[и]1(х,0, V[и](х,0, визначені на [0,л]х К .

По аналогії з лінійним випадком розв’язок задачі (15)-(17) шукається у вигляді системи інтегральних рівнянь

и(*. 0 = і } ) Пи. и,и.. У[и]]($, Т)гІТ +

Д}аіф[и.и,.и„у[и]к^л)ат,

4 о .-4

«,(*,0 = 7 } (-1)* /Чиц, *«]]«.» - (-1)” х + (-1)* 0^, (18)

4 о

4 О *=0

де функція (2(£) визначена формулою (14).

Гладким розв’язком л-періодичної задачі (15)-(17) означаєть-ся такий неперервний розв’язок (и,и,,их) еС^ді еСк пЛ", де

А" = {и:и(хД)==и(л-х,1) = и(хД + Т},Т = —,яєМ- простір функцій

неперервно-диференційованих і обмежених на [0,я]хіі, який задовольняє систему інтегральних рівнянь (18).

Доведено справедливість твердження.

Теорема (ІШ.4.1. Нехай скалярні функції Р[и, и,, и,, у[и]](х, і) =

= ((х.1,и(х.і),и,(х.і),их(х,і), у[и](х, і)), <р(хдли(х,з),и1(х,5),и,,(х,5)) ,

задовольняють такі умови:

((х, 1,и(х, і).и,(х, 0,и.(х, 0,у[и](х, і)) Є С([0,л] хИх 14 <“Х |и,|с < X

1} ХІКІІС <ООХІНІС <00);

2) (р(х,1,5,и(х,5),и,(х,5),их(х,0)єс([0,л]хл2х||и||с <°ох|(и,|с <оох[|их||с);

3) 0 < ||Р[0,0,0,V[0]](хД)||с 5 Г < «;

-14-

4) |р[и ,иі',и^у[и"]](х,1)-Р[и',и'(,и^у[и']](х,о|<Н)|и"(хД)-и'(хД)| +

+ К2|и'і(хД) - и',(хД)| + К3|их(хД) - и'х(хД)| + N4|у[и' ](хД) - у[и' ](хД)|;

5) Р[0.0,0,у[0ЖхД) є А,*;

6) ДЛЯ всіх и(хД)єА" пС!І,Р[и,и„их,у[и]](хД) єА^пС*;

7) )ф(х,иє,и"(х,Б),и','(х,5),и'х(хд)) - ф(хД,з,и'(х,в),и,(х,Б),и'х (х,Г»! <

< К-і|и"(х,5) - и'(х,з)| + К2|и,(х,5) - и'((х,5)| + К3|их(х,5) - и’х(х,8)|;

8) Ь(хД) є С(К2),]Ь(хД)] < N.

Тоді при виконанні умови 2

у(к, + + N3 + КК4(К2 + К3) < ~

задача (15) - (17) має єдиний гладкий розв'язок и(хд) є А" п С*. У §5 глави III доведена теорема існування і єдиності гладкого розв’язку и(хд) є а22” пс|, для такої нелінійної 2и-періодичної задачі;

її,( -ііхх = Р[и,и,, ,у[и]], 0<х<я, і є II,

и(0д) = и(гсд) = 0, І є II,

и(хД + 2л) = и(хД), (хД)є[0,7г]х И,

де Р[и,и,,у[и]] = Г(хД,и,и,,у[и]),

Ь(х,0

у[и](хД) = | ф(х, 5, и(х, Б), и, (X, 5),)ск 0

Висповки

В дисертаційній роботі досліджені мішана та крайова періодична задача для інтегро-диференціальних гіперболічних рівнянь другого порядку. Знайдено мінімальні умови існування класичного розв’язку мішаної задачі. Побудовано конкретний простір функцій для якого доведено теорему існування та єдиності класичного розв’язку лінійної крайової періодичної задачі. Отримано умови існування гладкого розв’язку нелінійної крайової періодичної задачі для інтегро-диференціального рівняння.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах :

1. Петрівський Я.Б. Сумісність крайової періодичної задачі для інтегро-диференціального рівняння другого порядку гіперболічного типу // Волинський математичний вісник.- 1995, вип. 2,- С. 125-126.

2. Петрівський Я.Б. Гладкі розв'язки квазілінійних інтегро- диференціальних рівнянь другого порядку гіперболічного типу // Волинський математичний вісник.- 1995, вип. 2,- С. 127-128.

3. Хома Л. Г., Хома Н.Г., Петрівський Я.Б. Тривіальні розв'язки однорідної крайової періодичної задачі II Волинський математичний вісник,- 1995, вип. 2,- С. 179-180.

4. Петрівський Я.Б. Періодичні розв'язки квазілінійних гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку // Укр. мат. журн.-1996.-48, №11,- С. 1570-1571.

5. Петрівський Я.Б. Розв'язність мішаних задач для квазілінійних рівнянь із запізненням // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения,- Киев: Ин-т математики НАН Украини, 1994,-С. 156-157.

6. Хома Н. Г., Петрівський Я.Б. Про періодичні розв'язки квазілінійних рівнянь гіперболічного типу // Четверта міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука ( Київ. 11-13 травня 1995 р. ): Тез. Доп.-: Ін-т математики НАН України, 1995.-

С. 241.

7. Ботюк А., Петрівський Я.Б. Математичні методи дослідження розв'язків мішаної задачі дифузії // Міжнародна наукова конференція, присвячена 150-річчю від дня народження видатного українського фізика і електротехніка Івана Пулюя (Тернопіль, 2428 травня 1995 р.): Тез. Доп.-Тернопіль, 1995.- С. 17.

8. Хома Григорій, Петрівський Ярослав. Крайова періодична задача для інтегро-дифєренціальних рівнянь другого порядку 11 Всеукраїнська наукова конференція “ Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях присвячена 70-річчю від дня народження професора П.С. Казімірськ ого (Львів, 5-7 жовтня 1995 р.): Тез. Доп.- Львів, 1995.-С. 59-60.

Петривский Я. Б. Краевые периодические задачи для гиперболических интегро-дифференциальных уравнений второго порядка .

В диссертации установлены минимальные необходимые и достаточные условия существования единственного классического решения смешаной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Определено конкретное пространство функций в котором установлена теорема существования и единственности классического решения линейной краевой периодической задачи. Получены условия существования гладкого решения краевой периодической задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа.

Petrivskiy Y. В. The boundary-value periodical problems for a hyperbolic integral and differential equations of second order.

Manuscript. The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.02.-differential equations. Lviv State University, Lviv, 1996.

The minimal necessery and sufficient conditions are found for the existence of a unique classic solution of the mixed problem for a hyperbolic integral and differential equations of second order. Theorem of existence and uniqueness of linear boundary-value periodical problem solution is fixed for a determined specific functional space. Conditions of existence of smooth solution of nonlinear boundary-value periodical problems for a hyperbolic integral and differential equations of second order are obtained.

Ключові слова: інтегро-диференціальне рівняння, крайова періодична задача, простори функцій, оператори.