Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Мосхонсха" г>'-у.;а,>ств9нныя Университет имени М.З.Ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

.; . I

РГВ . од

( Гокт 2003,

Алероев Темирхан Султанович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертадик на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 2000

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета ЗМиК Московского госудн;л:т^к:'.ого ун/^цхмг.ггА им. М.В.Ломоносова

Научный консультант : член-корреспондент РАН Е.-И.МОИСЕЕВ Официальные оппоненты :

доктор фиэ.-мат. наук, профессор А.А.Д23ИН доктор фиэ.-мат. наук, профессор А.А.КИЛБАС доктор физ.-мат. наук, профессор А.П.СОДДАТОВ

Ведущая организации :

Московски* энергетичиокиЯ институт/технический университет/.

< г- ^«

Защита состоится "-»"—" ------тР 2000 года в Ц) часс

на заседании диссертационного совета Д 053.05.37 при Московском государственном университете по ацросу : 119899, Москва, Воробьевы горн, МГУ, 2-ой учебный корпус, аудитория 689..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ

Автореферат разослан"_" _2000

Ученый секретарь

3*6 /, £2<Г-3 03

диссертационного совета, профессор

•3-

ВВЕДЕНИЕ

Первые исследования по теории линейных уравнений, содержащих оператор дробного интегроджЭДюреншгрования, были выполнены 'Абелем, а затем Риманом, Лиувиллем, Летниковым A.B.

В последние десятилетия некоторые результаты в этом направлении получены U.M. Джрбащяном к A.M. Нахушевым.

Стимулом х активному изучение этих уравнений служат их приложения в теории вязкоупругого демпфирования в теории расчета тепловых и диффузионных потоков. Нужно отметить, что те модели физических процессов, которые удерживают дробные производные более адекватны им.

В теории уравнений смешанного типа задачи типа Штуриа--Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка о дробными производными в шадпих членах появились в 60-х годах в работах A.M. Нахушева. В частности к задаче

для уравнение

к

-f^c(x) «¿Я/' 0„(r)^f(r)

* 4

сводится аналор задачи Трикоми для гиперболо-параболического уравнения с оператором Геллере те д та в главно! част*

t/j - /Г*,*) г/xr ( РО, У * U,^ ^ у < о

f('.t)-

-ч-

Цель работы. Исследовать краевые задачи для уравнений вида а.

и *

в*

, о*с<% (2)

где - оператор дробного дифференцирования поряд-

ка : г .

О. * i_ M Jtiii^Jt.

Основной целью диссертационной работы является :

1. Построить функцию Грина задачи Дирихле для уравнения (Л • * показать что ядро &(*> t) • является осцилляпионным

2. Показать что оператор Л порожденный выражением

ее/ьу*®"*

и краевыми условиями

Jjtcrte О , J<0 «0

является диссипативным .

3. ГЬжазать, что все собственные числа згщачи

Ъ^+П**, (3)

/*Vu= с*)

прос.ые

4. Показать что все все собственные числа задачи комплексные.

/

5. Показать, что система собственных функций задачи (5) -(V ) полна в £¿(0,1)

научная новизна. 3 рассматриваемой диссертации, в частности, строится 1ункния Грина, исследование которой позволяет обнаружить глубоко скрытые свойства функций Миттаг-Ле$флера, которые на протя-

I

жении многих лет не удавалось установить специалистам по теории целых функций.

• Основные результаты диссертации состоят в'следуплем :

1. Для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

с дробными производными в младших членах, получены оценки для собственных функций и собственныхзначений, доказана полнота системы собственных функций.

2. Построена функция Грина.

3. Для дифференциальных уравнений дробного порядка строится оператор преобразования, переводящий ее решение в решение простейшего уравнения того же порядка.

4. Установлено, что собственные числа у одного класса дифференциальных уравнений дробного порядка простые и комплексные.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались , в частности, на научном семинаре в КБГУ , руководитель А.М.Нахушев, на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений института математики АН Армении, руководитель А.Б.Нерсесяя, на семинаре лаборатории функционального анализа Института математики им. С.Л. Соболева, руководитель проф. С.С.Кутателадзе, на яаучномсеминаре при кафедре функционального анализа и теории функций МГУ, руководитель А.А.Шкаликов» на научном семинаре кафедры общей математики МГУ, руководитель чл. корр. РАН, Е.И.Моисеев.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в II статьях автора, список которых приводится в конце реферата .

Содержание диссертапии. Сформулируем основные результаты диссертации. В главе I установлена, в частности,

Теорема 1.2.1 Решение U(*,i) задачи (П -U)

является целой функцией нулевого рода от параметра 3 .

В третьем параграфе 1-й главы развит один прием для оценки первых собственных значений поставленных задач.

В четвертом параграфе доказана

i i00

Теорема I.4.I Пусть { Лп]„.. ■ собственные значения задачи

- И! Ли,

И(О) s о, и (О - О

Тогда имеет место формула

(<. U4 < а, « S.Í6«

Следует отметить, что с помощью этого приема можно получить соответствующие оценки для достаточно широкого круга операторов.

Здесь оценки для первых собственных чисел получаются из совершенно других соображений, отметим что полученные результаты безмерно обобщают и усиливают результаты U.K. Гавурина, в частности, здесь же получим как следствие одну-известную формулу И.М.Лифшица. 'В частности, здесь доказана

Теорема 1.4.3. Пусть {/In ^ собственные значения

задачи

И" * с V + AU-0 0< ¿,<1 V(o). о. VfJhsO

при с * COrui

Тогда имеет место соотношение

„«ч-с 5£«#

Здесь *е получены опенки для собственных значений этой задали когда С не является константой.

В пятом параграфе получены оценки собственных значений и собственных функций задач вида

- яй м ас/.

Ц(О) : о , и(V о

Для изучения собственных функций и собственных значений этой задачи исследуем операторный пучок вида

Т(*.0 -- Т«*Т,-гТд

здесь Т - полный самосопряженный оператор все собственные числа которого изолированы и имеет кратность равную единице, Т<. и определены в том же пространстве ^ что и и Т ограничены. Еще Келлог установил, что неприрывные симметрические ядра К( з, ^ удовлетворяющие неравенствам

, х, и ...'и \ /х< *»■■•

К [ . . .----

, V ^ •

*<> КМ--1 •......\>о

1

для любых двух.скстем чисел эс, < х,. < • ■ • < х* к

5( < < , 4 взятых внутри интервала 3 обладают целым рядом осцклляционных свойств.

Отметим что эти операторы -образуют совершенно новый класс осцилляционных операторов.

- в -

В последнее время эта теория Келлога получила дальнейшее углубление и приложение к различным типам дифференциальных и разностных уравнений.

В пятом параграфе показано, что задача

-и"- " то) - о, исГ)

обладает осцилляционыым спектром.

Доказано, что функция £ (х, Ъ ) аналог функции Грина и является ядром Келлога.

Седьмой параграф посвящен изучение обратной задачи для уравнения

-и' + ^ОЪохЧ-ци. ' (*)

Для этого вводится открытая система определяя вход И'

выход V * и внутреннее состояние ) соответственно

равенствами

М'-.(щО) ,

я с*; Я

где решение уравнения (О , а

значения функции Л и ее производной V'соответственно при Х - 0\ ^ СО ~ передаточная матрица системы р

В данном параграфе доказаны следующие теоремы. Теорема 1.6.1. Пусть £ (зс) £ С СО; <~] # тогда

- J -

имеет место соотношение

Г--Г 5(л)

причем

5(Л-

lf.(l). vi«) гш Uli О

Теорема 1.6.2. Если определитель Зронского МН^и^к) составленный для решений Т/)(зс) и И* (х) уравнения ( * ) не равен нулю при каком нибудь значении 1' 1« на отрезку Го,<"] где ^(х^сСС^П . то юн-не обращается в нуль ни при каЛом * на этом отрезке.

В седьмом параграфе исследованы вопросы полноты собственных

и присоединенных функций следующих взаимосопряженных задач (ЛО п

V" * 2)0х -Ян 1

t«ö): ö, =0

СП)

я" ♦

.-I

Доказаны следующие теоремы.

Теорема I.7.I. Система собственных функций задачи (н) и (М ) полна в £40,1).

Далее, задача о распределении собственных значений ставится как исследование ассимптотических свойств при I 00 величины ^ : где точное число собственных значений задачи ^ лежащих в круге {Л* К.

Теорема 1.7.2. Имеет место соотношение

Вторая глава посвящена изучение задач типа Штуриа-Лиувилля

для дифференциальных уравнений дробного порядка.

Пусть дана совокупность У». ^ - трех чисел

0 < у. * { обозначим

0 к'

• л -

л* о

и положим, что

Рассмотрим дифференциальные операторы

Аю- •Ьтр*. /м,

вообще говоря дробных порядков.

Рассмотрим задачу, являпцуюед аналогом известной задачи Штурма-Лиувилля. Эта задача, которую мы как ив [31 назовем ( Д ^ заключается в следующем.

В классе ^ (О, I ^ или «£¿(0,0 ( отыскать нетр/.ьиальное решение уравнения

-а -

Ф^м - ¡3 *7,0)1/ г о , У С (о, I

улонлатворяшос условия?.»

Х19-и>и *Ъ(в,)ц1лтЯ

0 порном параграре доказшш слодушио тоорош :

Теорема 11.1.1.. Пусть О • тогда число Л

является собственным значением задачи ЛЛ 1 , тогда и только тогда,когда Л- является нулем следующей целой функции

иЯД) I , /;0* * , Цн* {,

А

\

]

где

<74

К

к* о

Лщ,

>0.

т

Теорема 11.1.2. Пусть , За, ... >; А . . собственные значения задачи (Й") при О . тогда совокупность '

функций

с Ь ■ л , *'Г«-Г» ' и,

■[¡>()яхГ; £ Г+

♦^».Л'И Лг^пг) г(гА

являются собственными функции« задача при

Теорема II.2.3. Пусть р(>) , тогда все собст-

венные значения задачи (Ц простив.

• Теорема 11.2.4. Пусть , тогда все достаточно

большие по модулю собственные значокия задач:! {$ ) лекат внутри угловых областей

где £ луХ/ое чмсло из промо.гутка

г ТГ-

(0, М1Ц I ; Л" Яр ] I

.У е о р о м а II.2.5. Если пос-о^озатс-льность собственных значений задачи (.А) пронумеровали:; в порядке неубывания их модулей с учетом их "краткости, то справедливы асскыптотические Формулы

СО

Приняв следующие обозначения к

.1 = 0

Определим операторы

(Г)

В этом же параграфе изучена следующая задача, в определенном смысле ассоциированная^ задачей Г./0 , состоящая в следующем. |

В классе (0,1)} или ( отыскать нетривиальное ре-

шение уравнения ,

удовлетворяющее условиям

(Се) I (С'«) I

a'^U-t -cosp+ $сс,!н|х.| -№¡>--0.

Эту задачу будеи называть задачей Ш .

Теорема II.1.6. Пусть (j,(z)-0 тогда число Л является собственным значением задачи (Л ) , тогда и только тогда, когда Л является нулем целой функции

• СОsp [¡(Уго - сои tf(V,№\]*

Т е о р е м а И.2.7. Пусть Jh.jL, - собствен-

ные значения задачи (jj ) при ^{х) - О » тогда совокупность функций

? С*;,*)"- COSflftfn* f (j,il-Jt)i;l)t ff-л) '-CCU. 1 j

tf .

являются собственными функциями задачи

(Л)

При исследовании задачи (Л ) при t)jO будем пользоваться методами теории возмущений.

rJ ■—~ с-

Пусть Я« ц фмй«!.1^ собственные значения и собственные Функции задачи

(А) при Ц'ОФО

Теорема 11.1.9. Имэют .'«сто следующие соотношения

Т е о р е м а 11.1.10. «Справедлива следуюшая формула

I }«-Ш1Н1

Теорема ПЛ.II. Все собственные значения задачи ("Л простые.

В прикладных задачах наибольший интерес представляет обычно определение первых собственных значений. Полученные асимптотические выражения для Ял больших номеров могут быть использованы и для вычисления первых собственных значений.

Во втором параграфе дается метод для оценки первых собственных чисел задачи вида ( В)

V" * Л ф», И =0. ** 0,1, У{0) --.О, К(П-0

Установлена следующая оценка для первого собственного числа 31 задачи (д й^

* * 'и.

»

В третьем параграфе изучаются обратные задачи для дифференциаль* ных уравнений дробного порядка.. В частности доказаны

Теорема 11.3.1. Пусть 1) решение уравнения

fi.il)

удовлетворяющее условиям

„I -

тогда функция

»

»№«' 4 '"ff(»*/>.) tßfift"/f0i^)J

удовлетворяет уравнению и условиям (2. 3 • 2. V

В четвертом параграф изучаются вопросы полноты систем собственных функций задачи (И)-'

Теорема II.4.1. Система собственных функций задачи (Р) полна в

Теорема II.4.3. Все нули функции (Л /у»)

простые.

В пятом параграф доказана следующая теорема.

Теорема II.5.1. Функция не имеет вещест-

венных нулей.

Отметим, что гипотезе Миттаг-Леффлера посвящено много работ, в частности работы М.М.Дкрбащяна, А.М.Нахудеиа, где указаны последние достижения в этом направлении. Но мне бы хотелось отметить, что эти теоремы достаточно убедительно показывают, что глубоко скрытые свойства функций

могут быть обнаружена посредством операций дробного кнтегро-д;:4»{лзре!Шрован:1я.

3 третьей главе получены рони:мльнке у:>а:шен:!я дробного

-»-

порядка для изучения потока нефти к скзэлпнам в ле-горми-

руемом пласте. На основе большого эмпзс.ического матвг.на.:?. з»оо;:т-ся новая методика, основанная на производных дробного порядка для выявления зависимости дебита от перелада давления

' 01 (а!г Р)1- 7Р -- Ох * Р.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Але рое в Т.С. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения 2-го порядка с дробными производными. - Дифференц. уравнения, т. 21. * 2. 1982, с. 341-342.

2. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. - Ди$ференц. уравнения, т. 22. * I, с.171-172. 1984.

3. Алероев Т.С. О собственных функциях одного не самосопряженного оператора. - Дифференц. уравнения, т. 25. Л II, 1989, с.

4. Алероев Т.С. О собственных гначениях одного класса несамосопряженных операторов. - Дифференц. уравнения, т. 30. * I. 1994, с. 169-171.

5. Алероев Т.С. Формула для вычисления собственных значений одного несамосопряженного оператора. - Труды института математики НАУ Киев. 1994 , с. 3-8.

6. Алероев Т.С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Доклады АН РФ. т. 341. * I, 1995, с. 9- И.

7. Алероев Т.С. Об одной краевой задаче для дифференциального оператора дробного порядка. - Дифференц. уравнения, т. 34. # I. 1998, с. 123.

8. Алероев Т.С. К проблеме о нулях функции Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка.-- Дифференц. уравнения, т. 36. * 9. 2000, с.

9. Алероев Т.С. О полноте системы собственных функций одного ди4Ференциального оператора дробного порядка." - Дифференц. уравнения, т. Зо. И&. 2000, с. 829-830.

10. Алероев Т.С. О собственных значениях одной краевой задачи-для дифференциального оператора дробного порядка.- Дифферент уравнения, т. 36. * 10. 2000, с.

11. Кехарсаева Э.Р., Алероев Т.С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлорсодержаяих полиарилатов на основе диана.- Материаловедение. Л 8.' 2000, с. 50-51.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-го ПОРЯДКА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ?

§ 1.1. Оценки для собственных значений и собственных функций

§ 1.2. Задача Коши для дифференциальных уравнений с дробными производными

§ 1.3. Об одном методе оценки первых собственных значений

§1.4. О некоторых новых приемах оценки собственных значений и формуле М.И.Лифшица из квантовой статистики .г,.г. .».*•••

§ 1.5. О функции Грина и некоторых осциддяционных свой ствах.

§ 1.6. Об обратных задачах для дифференциальных уравне ний с дробными производными

§ 1.7. Взаимно сопряженные задачи и вопросы полноты соб ственных функций.«.

ЛАВАН. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА.

§ 11,1. О собственных значениях и собственных функциях взаимно сопряженных задач.

§ 11.2. О первых собственных значениях задачи Штурма

-Лиувилля.

§ II.3. Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений дробного порядка.

§ II.4 Вопросы полноты системы собственных функций и простоты собственных значений.

§ II.5. К гипотезе Миттаг-Леффяера.

§ II.6. Об одной задаче Бродского из теории открытых систем.ИЗ

ГЛАВА III; НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

§ IIIЛ.Приток нефти к скважинам в трещинном деформируемом плпсте. .• • •

Первые исследования по теории линейных уравнений, содержащих оператор дробного интегродифференцирования, были выполнены Абелем, а затем Риманом, Лиувилием,ЛвтникоБым A.B.

В последние десятилетия некоторые результаты в этом направле нии получены А.М.Нахушевым, М.М. Лдрбащяном и А.Б. Прабхакаром |1 ] ~ [ Стимулом к активному изучению этих уравнений служат их приложения в теории вязкоупругого демпфирования [bOj в теории расчета тепловых и диффузионных потоков f2 . Нужно отметить, что те модели физических процессов, которые удерживают дробные производные более адекватны им.

В теории уравнений смешанного типа задачи типа^Штурма-Лиувш ля для дифференциальных уравнений. второго порядка с дробными производными в шгадших членах появились в 60-х годах в работах A.M. Нахушева. В частности к задаче f(0) *% W'lo, г, ,1(1)^1, t для уравнения к г1 сводится аналог задачи Трикоми для гиперболо-параболического ург нения с оператором Геллеретедта в главной части здесь я.

ГО-«О

Безусловно, исследование задач для уравнений с дробными производными имеет и значительное теоретическое значение, с точки зрения внутреннего развития самой математики.

Работа состоящая из трех глав, посвящена постановке и исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и их приложениям.

Сформулируем основные результаты диссертации.

В главе I, в первом параграфе рассматриваются задачи вида

V11 + {Л + и + ЪохЧ -0 1 (Я

ЯШ--0, Ш))~- 0 (г)

С Е*> П тогда все простые. тогда все соб

Доказаны :

Теорема 1.1. Пусть ^Г°0 6 собственные значения задачи С >- 6? ")

Теорема 1.2. Пусть ^ р(Ю = о ственные числа задачи (Я 'С2\ вещественны.

Второй параграф посвящен изучению задачи

-и" + = д и,

410) ~ (9 , 11(0 - о О

Здесь установлена

•Теорема 1.3. I. Решение задачи (О -(2) является целой функцией нулевого рода от параметра Л.

В третьем параграфе 1-й главы развит один прием для оценки первых собственных значений поставленных задач. В четвертом параграфе доказана

Теорема 1.4.1. Пусть { Лп^^ собственные значения задачи не о о > га О - 0.

Тогда имеет место формула

О, ¿¿О"1 ' л, < \ .

Следует отметить, что с помощью этого приема можно получить соответствующие оценки для достаточно широкого круга операторов.

Здесь оценки для первых собственных чисел получаются из совершенно других соображений, отметим что полученные результаты безмерно обобщают и усиливают результаты М.К. Гавурина в частиости; здесь же получим как следствие одну известную формулу И.М. Лифшща [4 5].

В частности здесь доказана

Те о р е м а 1.4.3. Пусть собственные числа самосопряжен

П л №) £ ного оператора Л о , с дискретным спектром суть ль -У\} > 1 [ н ~ 1 / з нормированные собственные функции оператора Лб суть ^ и пусть замкнутый оператор, причем

Тогда для собственных чисел оператора J~J0t g имеем fr. Лп *

J*-- rT+OCh^

В пятом параграфе получены оценки собственных значений и собственных функций задач вида

SW 1/ + Фох И = Я V , uto) - о , шо - 0.

Дяя изучения собственных функций и собственных значений этой задачи исследуем операторный пучок вида

Т(*,П- T'xTWTi здесь Т - полный самосопряженный оператор все собственные числа которого изолированы и имеют кратность равную единице, Ч\ Тг" определены в том же пространстве что и и ^ ограничены.

Еще Келлог установил, что непрерывные симметрические ядра К(.х, ¿> } удовлетворяющие неравенствам 3Cf at а. . лгч ч I 0С( «2. ОС,

0 КМ" • • ' - }>0

Sf Sa . Sh / ' \ ОС, • • ■ OCh для любых двух систем чисел ОС» * ЗСг ■ • ^ ь и взятых внутри интервата обладают целым рядом осцилляционных свойств.

В последнее время эта теория Келлога получила дальнейшее углубление и приложение к различным типам дифференциальных и разностных уравнений. В пятом параграфе показано, что задача

-и"- и ш о) с о ; и с О обладает осцилляционным спектром.

Доказано, что функция Сг(х> Ь ) аналог функции Грина.и является ядром Келлога.

Седьмой параграф посвящен изучению обратной задачи для уравнения

-и^ + р^ЯохЧ^ли. (*)

Для этого вводится открытая система ^ определяя вход И~ выход и* и внутреннее состояние ^(эг А ) соответственно равенствами мсо) } г/Чо))| к^ ( уо) , V'со)

- -г/сзгд где решение уравнения ( О , а Ц[0),1(0), УСО))цЬ]) значения функции у (ОС) Л и ее производной соответственно при Х-0\ Х - 1 ] ^ (Д ^ - передаточная матрица системы ¡Т

В данном параграфе доказаны следующие теоремы. Теорема 1.6.1. Пусть £ (&) £ С Г0; 1~] ; тогда имеет место соотношение причем

Г--Г $00

5(Л =

1(^(0 К2(0

Те о р е м а 1.6.2. Если определитель Вронского составленный для решений 11<(х) и ^(¿(х) уравнения ( * ) не равен нулю при каком- нибудь значении х - х0 на отрезке [о^] где ((/(х) € С С0) П , то он не обращается в нуль ни при каком эс на этом отрезке.

В седьмом параграфе исследованы вопросы полноты собственных и присоединенных функций следующих взаимосопряженных задач (^ и и" 4 Л ,

11(0Оъ 11(0 ' о и

Й)

2й

Г и)'(х) Шх/ к,

- (

Л(0) = О , 3(0 - о.

Доказаны следующие теоремы.

Те о р е м а 1.7.1. Система собственных функций задачи (м) И.(М ) полна в /).

Далее, задача о распределении собственных значений ставится как исследование ассимптотических свойств при Ъ 00 величины Д/(Х) ; где У точное число собственных значений задачи (^М ^ лежащих в круге М X.

Теорема 1,7,2. Имеет место соотношение

1Г7

ОО

Вторая глава посвящена изучению задач типа Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений дробного порядка.

Пусть дана совокупность Хз. 5 ~ тРех чисел

0 ^ /-Н (^ 0, иУ; обозначим

Гк :}КГ1 ,

-О и положим, что у -- ^--Г"--1 >0 ■

Рассмотрим дифференциальные операторы ах '

-Г'"^) //о ^ & £ вообще говоря дробных порядков.

Рассмотрим задачу, являющуюся аналогом известной задачи Штурма-Лиувилля. Эта задача, которую мы как из [31 назовем ^ Л") заключается в следующем.

В классе или $2.(0, 0 , отыскать нетривиальное решение уравнения

Ь г) -1 К г к о л,

2.

Г ^ I ^к >0

К.-о

Т е о р е м а 11.1,2. Пусть , . ■> 3 и, . . • собственные ачения задачи ($") при ~ О , тогда совокупность нкций

А, ^ / / Мл-Но

Ф„(Х'ЛУ= Яи Цл X г ? + и г р .

Г г К \ Цъ-рЛ+р-О"^ й'иб<И-)0- ^(Ду, X Г) 1) - с^]** + ЬЫ

-и ; /^-N/"0. ляются собственными функциями задачи Г .Я -91 при

Теорема 11.2.3. Пусть - О 9 тогда все собстнные значения задачи (/}простые. Т е о р е м а 11.2.4. Пусть 0 » тогда все достаточно лыние по модулю собственные значения задачи {лежат утри угловых областей г любое число из промежутка

I . т Л (

•г ' г 21 *

Гп ' .1 1 • т # ( Нч И | гр у ^ - 2 ;

Теорема II.2.5. Если последовательность собственных значений задачи (Л) пронумерованны в порядке неубывания их модулей с учетом их кратности, то справедливы ассимптотические формулы й-г (¿^ [ I* о( т)

Приняв следующие обозначения к

V / I »VI Г^

Ск ^г-Г1: Д = о = о

Определим операторы

С.),

11 (1-х) , , , 4— -й- . £(Х)

В этом же параграфе изучена следующая задача, в определенном смысле ассоциированная с задачей , состоящая в следующем.

В классе ^¡(АО^ или £¿(0/1) , отыскать нетривиальное решение уравнения

- - 0 у хе1о)!)> уд о вле творяюще е условиям с)

Ъ г х-о ^) сои + Й 2 Л а г • л

Эту задачу будем называть задачей ( 1 ) ,

Теорема 11.1.6. Пусть О тогда число Л является собственным значением задачи ( Л ) , тогда и только тогда, когда Л является нулем целой функции м^СЛ ) Или

Ш) [¡(ы-^-м^рО1

Т е о р е м а 11.2.7. Пусть ^ ^ " собственные значения задачи ) при = О ' » тогда совокупность функций К

ХЬ I 0-а) -деи. .1 являются собственными функциями задачи

При исследовании задачи ("«Л) при будем пользоваться методами теории возмущений.

- ' ¿V/

Пусть и собственные значения и собственные функции задачи ( $) при 40.

Теорема II.I.9. Имеют место следующие соотношения Ф п

Т е о р е м а IIЛ. 10. Справедлива следующая формула

Т е о р е м а 11.1.11. Все собственные значения задачи Сл) простые.

В прикладных задачах наибольший интерес представляет обычно определение первых собственных значений. Полученные асимптотические выражения для больших номеров могут быть использованы и для вычисления первых собственных значений.

Во втором параграфе дается метод для оценки первых собственных чисел задачи вида ( В)

V" + Л ?Ь* к = 0, = 0,1 > то) - .о, = о

Установлена следующая оценка для первого собственного числа Л 1 задачи ( &^

В третьем параграфе изучаются обратные задачи для дифференциадь ных уравнений дробного порядка. В частности доказаны

Теорема II. 3.1. Пусть tj(x,s)) решение уравнения удовлетворяющее условиям

-ГНГО х9

Я п, СЛ Л тогда функция

-О (2.1,1) ж-с > удовлетворяет уравнению

И УСЛОВИЯ®.!

2. 3.2.У

В четвертом параграфе изучаются вопросы полноты систем собственных функций задачи

Н к * ? О, ¿%

Т е о р е м а 11.4.I. Система собственных функций задачи полна в гМ

Те о рема II.4.3. Все нули функции . } / е ^ простые.

В пятом параграфе доказана следующая теорема.

Теорема 11.5.1. Функция не имеет вещественных нулей.

Отметим, что гипотезе Миттаг-Леффдера посвящено много работ, в частности работы М.М.Джрбащяна, А.М.Нахушева, где указаны последние достижения в этом направлении. Но мне бы хотелось отметить, что эти теоремы достаточно убедительно показывают, что глубоко скрытые свойства функций £^(2,/') могут быть обнаружены посредством операций дробного интегро-дифференцирования.

В третьей главе получены дифференциальные уравнения дробного порядка для изучения притока нефти к скважинам в трещином деформируемом пласте. На основе большого эмпирического материала вводится новая методика, основанная на производных дробного порядка для выявления зависимости дебита от перепада давления

Й1 (а£г Р)2- УР = агг + йз Р.

Г JI А В A I

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДШФЕРВНЩШЕЬШХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В МЛАДШХ ЧЛЕНАХ

§ 1.1. Оценки для собственных значений и собственных

Функций операторов порожденных дадреренциальными выражениями 2-го порядка с дробными производными в младших членах и краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля. В интервале J в { о ^ х * 3f\ рассмотрим уравнение

- ИС*) = Ли , СМ-Л где ¿ ^ i t Не*) - оператор дробного диохберенцирования порядка <к :

Э(

I ¿Ш ell

Изучим следующую задачу. 3 классе С С найти решение уравнения fl.1. 1) удовлетворяющее краевым условиям

11 СО) - (9 , 1ЛСГ1) - О

В данном параграфе покажем, что все собственные значения этой задачи простые и установим оценки для собственных значений и собственных функций. Для этого рассмотрим следующий линейный one шторный пучок где Т дифференциальный оператор ~Т К = - и , на интервале J - f О ^ х ^ >i ^ и ограниченный условиями

И.Со) - О , ИСЯ") ~ О

Каждое собственное значение оператора Т изоировано и имеет кратность равную единице, поэтому соответствующие обственные значения ^(¿О оператора ЧЧ полученные озмутцением оператора Т оператором Ж. голоморфны по райнеи мере для малых ^ . Действительно, выпишем резоль-енту оператора Т . Ясно, что Г ] является интеграль-ым оператором ядро которого совпадает с функцией ■ Яи (I а-х)

Ги • si'^fïtfx) а ■ yu fgi

У 4 X * У оэтому, ооозначая и иь hnfey ^fïGf'X)

Jx + b^-b^f^V) Jj, олучим l uti' T u)

В дальнейшем нагл часто понадобится оценка для 'aie как || )? )||не превосходит m и* J dx^

R(VT) то имеем Л

Упал

Я ^и VI дс ■ и>%\ГЪ СИ-У)

I аи

X f

Л свьИ у ■ «и от-л)

I. 1 ос

Я / Г* I

ОС 4

• I/1 @ а о Илах ||Д> I 1 I - № (ПОТ-3)1*1*

-+ 5

Так как

2 | < ( г), I см г( ^ сЦЗъ^) для любого комплексного ^ то полагая

1--кй, получим, что я

1п йх

Так как р г t-tib* J ICosfh ;|f 4 fFu5 f + Г ie Z. модуль 4 | Z ¥ - 4 у t • 1/г 1/ ь.4 + ^ t f

Отсюда на параболе ~-1г

11Ф.Х Ц(^Т>|| * С1-15") ассмотрим теперь замкнутую кривую Г», на отрезке парабол

4 --сС- Г7< отрезков горизонтальных прямых -- i (г*-*). сно, что для любого еоьбтвенного числа Я™ оператора Т уществует хотя бы одна замкнутая кривая С» охватывающая одно и олько одно собственное значение Д™

Из оценок (1.1.3.) и (I. £) следует, что на Г™ tw х ъ.

Теперь мы можем вычислить радиус сходимости Х0 ряда Тейлора функции • известной формуле имеем

То- мли (not ццт)цу'-ву

Ги

Отметим теперь, что по крайней мере в круге собственные значения ЯиС^О оператора Т(^) голоморфны.

Осталось оценить собственные значения Сио) оператора Т^) Известно [ Д £ ] , что Яи С*) - ^ | где ^Р С ^) мажорирующая функция для Ли - Я* I Ч'(Х-) ил) имеет следующий

Vi Льлл л р. + [ 1- (Р* * t«)*-] где ir» " ®0 ds X О к О с

О и

Vi

Sn

-{ Г i- Ч») ас]2"- и Л

Операторы ßi и ^ являются интегральными операторами с ядрами и соответственно, где

P-JU, X1) = их - fr*

2 5

•у

И h эс м <1

-f f'JC kl И Vi ^ Cßi VlX г ^Й^'цих

1ри ос < ^ в правых частях этих формул нужно поменять местами эс } . Ясно, что оператор преобразовывает взаимно однозначно ( -ортогональное дополнение фунщии 5пГм ^юэс) в себя и анулирует ь'п х . Поэтому $и где Я тора Т Поэтому

II (, (( = Пи И

О и есть ближайшее к и2- собственное число опера 1 1 Р

Предварительная оценка для оператора ' * Ню . очевидна г>

Поэтому формула (1- 1- 0> ) дает ( ) ~ 3 И 1

1 1

Таким образом доказана

Теорема 1.1.1. Пусть (-зОИ ^ , тогда все собственные значения задачи fj-i.lV СМ-Я простые. Здесь мы отметим следующее предложение :

Для собственных значений задачи (1.-1. ^ ~ (1- ^ ^ имеет место соотношение

Далее рассмотрим следующую задачу -и" + а(х) ($ох <и 1Л(0)^О) г((П~-0.

Тогда аналогичные оценки можно получить для собственных функш (х) и собственных значений этой задачи. В частности

II %(х) - Ь'и^хЦ 5 3,? ЦйС*ф.

Пусть теперь (2(х) является скаляром не превосходящий по мо-улю Уч . Тогда справедлива

Теорема 1Л.2. Пусть аах^^сотА =О , тогда се собственные числа задачи (/.М-)- ((-1-2-) вещественны.

Доказательство. Каждое собственное значение ператора Т изолировано и имеет кратность равную единице, оэтому гЫ^ и <КЛ ( соответствующие собственное число и обственная функция оператора Т (эО^ зависят от ^ ана-итически и разложения

Яп (XV- ди ходятся по крайней мере для 1 ж 1 * '\/Т. п (Л ,л и') оэсрфициенты \ м и у и вычисляются по формулам о А и и И) к - ( ' (и.?)

Де -дк - о5ох > при , а при других значениях Л к равен нулю. 5 о уже выше отмечалось, приведенная !езольвента оператора Т - соответствующая точке Я и . Как мыуже отмечали выше, приведенная резольвента оператора ^ является интегральным оператором с ядром

Поэтому из структуры оператора ^^ и формул (!./.<?") следует доказательство теоремы 1.1.2.

1. М а х у ш е в A.M. Новая краевая задача для одного вырождаю-щемся гиперболического уравнения // докл. АН СССР. 1969. т. 187. М. С. 736-739.

2. НахушевА.М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтера третьего рода //Дифференциальные уравнения. 1974. т. 10. М. С. I00-III.

3. Н а х у ш е в A.M. Об одной смешанной задаче для вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1975'. т. II. ё I. С. 192-195.

4. Я а х у ш е в A.M. О задаче Дабру для одного вырождающегосянагруженного интегор-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. т. 12. Ji I. С. 103-108.

5. НахушевА.М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Докл. АН СССР. 1977. т. 234. № 2. С. 308-311.

6. Н а х. у ш е в A.M. О неприрывных дифференциальных уравненияхи их разностных аналогах // Докл. АН СССР. 1988.

7. Джрбащян A.M. Интегральные преобразоваия и представления функций в комплексной области. // М.: Наука. 1966. 671 с.

8. Джрбащян A.M. Обобщенный оператор Римана-Лиувилля и некоторые его применения // Докл. АН СССР. 1967. т. 177. J& 4. С. 767-770.

9. Д ж р б а щ я н М.М. Интерполяционные и спектральные разложения ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка // Изв. АН АрмССР. Серия " Математика". 1984. т. 19. » 2. С. 81-181.

10. Джрбащян М.М., Нерсесян А.Б. Критерий разложимости функций в ряды Дирихле // Изв. АН Арм ССР. Серия "Физ.-мат. наук." 1958. т. II. № 5. С. 85-106.

11. Д ж р б а щ я н М.М., Не рее с я н А.Б. Некоторы интегро-дифференциальные операторы и связанные с ними квазианалитические классы функций // Изв. АН Арм ССР. Серия"Физ.--мат. наук." 1958. т. II. §5. С. 107-120.

12. Джрбащян М.М. .Нерсесян А.Б. Разложения по некоторым биортогональным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка // Труды Моск. мат. об-ва. 1961. т. 10. С7 89-179. *

13. Джрбащян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Арм ССР. Серия "Математика". 1968. т. 3. 3 I. С. 3-29.17,19,1920,21,22,23,24,25