Краевые задачи для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

а

-а'кхДЁМИЯ наук РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ИНСТИТУТ ЛМТЕЛМТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

ФАЯЗОВ КУДРАТИЛЛО САДРИДИНОВИЧ

КРАЕ ВЫ I: задачи для дифференциальных уравнении с операторными КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02. — дифференциальные ;, мнения

1 Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Ташкент — 19!К>

Работа выполнена в 1¡оиисибмроьом и Ташкентском государственных ушшерешегах. Официальные оппоненты:

доктор физике»-математических паук,

А. Лсанов, доктор фнзпко-математпческнх наук,

профессор 10. {{. Салицкий, доктор физнко-матема пмеских паук,

профессор Б. Рихсиев.

Ведущая организации: Уральский тое>дарственный университет.

Защита диссертации состоится «3 .' сгил^^чг^к^ 1996 г.

с —- часов в заседании обьединенпого-спецнализпрован-ного совета Д.015.17.0! в институте математики ш.г. В. И. Романовского АН РУз по адресу: 7(101-13, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ-мат. наук, профессор

Ш. А. Хошнмов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Извесгно.что большинство задач для дифференциальных уравнения с частники производными могут быть представлены как краевые задачи для дифференциального уравнения с операторными коэффициентами.Примеры такого сведения можно наяти в монографии С.Г.Крейна". В большинстве работ рассматриваются корректные задачи, а некорректные задачи исследованы сравнительно мало,хотя к некорректным задачам могут быть сведены многие важные для приложения задачи математической физики1''!'Данная работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнения с операторными коэффициетами. Исследуемые нами задачи относятся к не' корректно поставленным задачам математической физики, основы теории которой были заложены в работах А.Н.Тихонова, Н.М.Лаврентьева, ВХИванова.

•Цель, работы состоит в' исследовании вопросов единственности и устойчивости, а также построения приближенного решения задачи Коши и граничных задач для дифференциальных уравнения с операторными коэффициентами.

Научная новизна работы выражается в нескольких новых классов краевых задач для дифференциальных уравнения с операторными коэффициентами и полученных результатах.

В работе получены следующие основные результаты, которые и выносятся на защиту:

Ю.Дрказаны теоремы о единственности и условной устойчивости решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядка с самосопряженными операторными коэффициентами и построены приближенные решения этих задач;

2).Доказаны теоремы о единственности и получены оценки условной устойчивости решения нелокальных граничных задач для дифференциального уравнения (полного и неполного) второго по-

»'.Крейн С.Г.Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространетве.М.:Наука,19б7. »'.Лаврентьев М.М..Романов В.Г.,Шишатскии С.П.Некоррект- " ные задачи математической физики и анализа.!!.:Наука, 1980. «>.Тихонов А.Н..Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач. И.:Наука,197 9.

рядка с самосопряженными операторными коэффициентами;

'ЗЗ.Получеиы оценки характеризируодие устойчивость на множестве корректности задачи Кови для уравнения в частных производных с самосопряженными и нормальными операторными коэффициентами для плоского и пространственного случая.Дока-заны теоремы о единственности решения этих задач;

О.Приведены примеры задач математической физиющоторые могут Сыт с, сведены к рассмотренным задачам. .

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной школе молодых ученых "Функциональные методы в прикладная математике и математической физике" (Ташкент, 1388), Всесоюзном школа-семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа "СТашкент,1989),Всесоюзном школа- семинаре "Теория и методы решения некорректно поставленных задач" ССа-марканд,1ЕШЗ,Советско-итальянском симпозиуме "Неклассические и некорректно поставленные задачи математической физики" №овосибирск-Самарканд,1990)Зсесоюзном школа-семинаре по теории некорректных задач и ее приложениям СНовосибирск.1992), Всесоюзной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" СТаакент,1993), на семинаре академика U.M. Лаврентьева СИМ СО РАЮ, семинаре кафедры теории функция НГУ. семинаре член.-корр.РАН В.Г.Романова СИМ СО РАЮ, семинаре академиков М.С.Салахитдинова.Т.Д.ДжураеваСИМ АН Узбекистана), семинаре член.-корр.АН Уз. Ш.А.АлимоваСТашПО, семинаре кафедры мат.анализа СУрГУ,г.Екатеринбург),а также на других . семинарах и конференциях.

По теме диссертации опубликовано 19 работ. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 85 наимований.Кавдая глава делится на параграфы.Об'ем текста 194 стр.

К РА Т К О Б С О Д ЕР Ж А НИ Е РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, вспомогательные сведения для дальнейшего изложения и краткое содержание работы.

В §1 главы I рассматривается следующая задача: ищется функция u(t) (Ostst) 'со значениями из прссгракства Гильберта Н

удовлетворяющая дифференциальному уравнению

Bu£(t) = Lu(t), (1)

где ь- самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в данном комплексном гильбертовом пространстве Н областью определения D(ID, В - самосопряженный оператор, осуществляющий изоморфизм Н на Н; и начальному условию

u| «f.- (2)

К уравнению Ши задаче Коши для Него приводят многие задачи^ частности задачи,связанные с описанием процессов, протекающих по времени.

Теория уравнения (1), опирающаяся на теорию' полугрупп и спектральную теорию линейных операторов, позволила рассмотреть с единой точки зрения широкий круг краевых задач для дифференциальных уравнений .Изложение этой теории содержится в работах Оосиды,Э.Хилле,Р.Филлипса, С.Г.Крейна и др.

• Задача Коши для уравнения (1) может быть как корректной так и некорректной в классическом смысле, условно-корректноя. Исследование условной корректности задачи Коши для уравнения С1Э (В = I, L -нормальный оператор Эбыло впервые проведено С.Г.Крейноы, а случай, когда в = г, Ь -оператор гиппонормаль-ный в главном было рассмотрено АЛ.Бухгейкон.Задача Копи для дифференциальных неравенств исследуется в работе H.A.Levlne.

Построению приближенных решений посвящены работы A.BJBa-кушинского,А.Л.Бухгеяна,П.Н.Вабыщевича, И.В.Мелышковой и др.

Под обобщенным решением задачи (1), (2) понимаем функцию u(t), удовлетворяющую следующим условиям

u(t) «S 0(ЕО,Т]; Н),

т

; (U(t), Bvt(t) + Lv(t)) = - (Г . Bv(Q))

о

дата любой функции « ьлга,*!; Н^. « ьг(ЮД]; Н ), т(Т) я о.

Пусть С ) - скалярное произведение в Н . Обозначим

< р. V > = С1В|р, р). «Я), соответственно 1р 1г=< р, р>,

<*,*> - эквивалентное скалярное произведение в Я. Предположим, что 0 ч рс, резольвентное кнохество оператора £ и ^

компактно вкладывается в Н [ Нг - гильбертово пространство с

норкой = ( Ни , £и)]. с помощью метода действительной

интерполяции построим пространство Н^ =

ОТхетин, что Н3 совпадает с областью определения оператора

Ь* . Обозначим через [•*, * -гильбертовы пространства]

пространство линейных непрерывных операторов, действующих из

в а .Пусть и= где Й*. Е- - спектральные проекторы, соответствущие положительной к отрицательной частям спектра

оператора В 0?+ 1Г=1). пусть р* . ?7 - собственные функции,

соответствущие положительным и отрицательных собственных значениях следующей спектральной задачи

ХЦ - ХВЦ.

Норкируек собственные функции

< »>= ( ~ скхвол Кронекера].

Теорема 1.1. Для любого обобщенного решения задачи (1Ы2) из пространства -с([0.1]; Н) на отрезке [0.71 имеет место неравенство:

г га-1УТэ г

|и(1)|0 5 |Р+и(0)1о |Р"и(5)|0 + |Р"и(0)|о , (3)

± . • ™ ± ± где Р U(t) = t Е < nuit). pt > Pi .

г л г г

|u(t)|0 = е. (i<m«t), Р*> | + « m(t>, ).

Отметим, что из неравенства (3) следует единственность ранения задачи (1). (2) я корректность по Тихонову этоя задача о классе ограниченных решения.

Пусть решение задачи (1)»(2) существует и

' u(t) « t и I |P+u(ï)|0 < И >. ЦТ-1610 s с,

тогда в пункте П данного параграфа доказано, что прибшшннноа решение построенное по ачвдуг^гз с^ориуле

где и* = ± <Uu,p± > = expiai*.

будет регулярязируЕщш секстан па отнесению к нагея задача Ксаи (1).(2), если ргсс2гатр:шать данные î и ретятшз как

элементы н. Получены оценка 5ф£е:жтксста данная регуляризации.

В пункте III §1 щеездшш нескатыш прднераз' задач иатз-натической физики, шгсрнз исгут быть сведены к задача Коаи для уравнения (1). Приведем один из них. Пусть L -сакосопрянснныя пошхитезьно определенный в и

оператор, лороадешшя дифференциальным вырагеннгя

и краевыми условиями

-1) = utî. 1 ) -О.

В - оператор домноженйя на функцию адо. Тогда в области Ц, = И < х < 1)х(о,т) рассмотрим параболическое уравнение

I) = ь и<1;, I). (4)

Задача. Найти решение уравнения (1) удовлетворяющего условию

и(0, I) . Г(х). (5)

Уравнение (1) является уравнением с меняющимся направлением вренени.Первыми работами, посвященными таким уравнениям являются по видимому, работы Хеврея. Много работ, посвященных -этим уравнениям, появились в последние годы. Интерес к такии уравнениям вызван их практически!; приложение)! в гидродинамике - изучением движения эдкости со знакопеременным коэффициентом вязкости.

В соответствии с результатом изложенный, б разделе 1, задача (4),(5) некорректна. Ре^иглз задачи здкиотеекко. Теорска 1.1 изложенная в пункте 1 дает оцси;:у условия» устспчгЕсети кекоррзктлай задачи (4), (5}.

Б пункте 17 дшшего параграфа задача СЮ, СЮ гдссиат-ривается для случая, когда оператор В - саиослпрш;:.тшнЯ,из

обязательно являющийся изоморфизмом п на и. Б 52 главк 1 рассматривается уравнение

Ви££ = Ьи, (6)

где и (^-функция скалярного аргумента г, о^т, ей значениями в пространстве Гильберта и, а операторы В и Ь определены как в §1.

Задача Коши.Найти решение уравнения Сб} такое, что

и| « I. и, I = е. (7)

Корректные задачи для уравнения С6) расскстривались нногики авторани.Задача С6ХС7) некорректна, в скисл? ллаиара. Исследование условной корректней задачи Кож уразнзкия С6)

С в « I , LL* = L*L) было впервые проведено С.Г.Крейном путем сведения к системе уравнений первого порядка. Нами доказана

Теорема 1.3.Для любого обобщенного решения уравнения (6) при t « (0,1) имеет место неравенство:

l-t/T t/T

||и(ОУо £ exp [2t(T-t)l j||P+U(0)||o +а | |||Рти(Т)йо J -

- а + 2 ЦР~11(0)|о + 2ß ЦР-U, Ш0 f

где- -а = 0.5 { ||P+U£ (ODBq + 1< Р+В *Ь U(0), Рч"и(0)>|2 } ,

ß = шах | . -<

Следствие 1.2. Пусть В LT, f, g в н0. Тогда обобщенное ■ решение задачи С6),С7} единственно.

В пункте II данного параграфа в предположении, что решение задачи С6Э.С7) существует и и в И ,

Ii = {ui | Р+и(Т)Я0 £ И } и |i- tc\0 s с, |g-gs|0i* С* > О,)

построено регуляризованное решение задачи СЧ,СО и получена оценка эффективности применения данного регуляризи-рующего семейства к решению задачи построения приближенного решения по приближенным данным.

В пункте III приведены несколько задач для дифференциальных уравнений с частными производными,которые могут быть представлены как задача Сб),(7). Приведем один из них. Пус1ь L и в определены как в примере из пункта III . В области Q= (-1<х <1)*(0,7) рассмотрим уравнение скеияшюг"' типа

Butt(t,l) = lU(t,I). (8)

Уравнениям смешанного типа в последние годы посвящено большое количество работ , в которых в основном рассматриваются корректные задачи.

Задача. Найти такое решение (0) в области Q , чтобы былы выполнены следующие условия

üjt,0 = f(i), Ut(x)jt.0 = g(l), I-Iäi su. (9)

Задача C8),(9) некорректна в классическом смысле, т. е. в ней отсутствует непрерывная зависимость решения от данных. Согласно результатам пункта I данного параграфа решение задачи СВХСЭ) единственно, а из оценки теоремы 1.3 следует оценка условной устойчивости задачи СВД.СЭ).

В §3 данной главы рассматривается задача C6D.C7D» когда В = I, ы/ = ь*ь. Доказана

Теорема 1.4.Пусть существует постоянная с такая, что

il£ui s ciui (здесь L = L, + ï l2).

Тогда любое решение уравнения (6) удовлетворяет неравенству

t т «со

г г г % î-uco

J Uu(T)B dr £ [ S ÏU(T)8 ÉtT + a] a C(t> - a,

О ' 0

где c(t) « eip {bfw(t)T - t}/a},

u(t) => {l-exp(-at)}/Cl-eip(-aI)î,

li , а - неотрицательные постоянные зависящее от с и т.

a = 0.5 IIm(U , L2u(0))l T + 0.5 I (U(0), 1,11(0))-

. г

' (U (0), U (0))| Т + 0.5|Re(u (0), u(0)i + ||u(0)||.

Следствие 1.4. Если выполнены услсвм теоремы 1-4, то

- tt

решение задачи (б),(7) единственно.

г

* Z

Следствие 1.5. Пусть Шн £ lglHs J luiH йт s H*.

о

Тогда, если В = I, Ы." = ъъ и иЬ^ив s ciui, то t

г _ i-ucti _ _ (ixrtJ

f |U(T)|| dT S C(t) (С{£г) )

О

с, -постоянная (положительная), зависящая от т. Из последней оценки следует непрерывная зависимость решения • задачи СЙ.С73 от данных на множестве И,

г

U = (u| X |U(T)|® dr < Ы2] .

о

В пункте и §з рассматривается задача (6),С7), когда в = I, ьг/ = ь*ь, ь = ь, чъг, причем у оператора L, предполагается.что существует полная ортоиормальная система собственных элементов : К =1,2,... .Соответствующую

этим элементам систему собственных значений операторов L, и Ъг обозначим соответственно через и и полагаем,

ЧТО \Yt\*\Y2\S...î\rh\s...> Yk=\+lvk, h = 1,2.....

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия, указанные выше в данном пункте для операторов В и Ь. Тогда для любого решения уравнения СБ) при t « [O.TJ имеет место неравенство:

t г

f ¡u| dr s + (1/lrNl)l(u), (10)

0

T 2 i-0*ro.T S S*1*

где 1(U) = ; flufl dT, 6 = a Г/ йасг)| dr ,

- ¡а -

см(1;) = ехр (Ь„{<1>и)!Г - t}/a}, -зависит от г», " = Е а ,

+ |Веи^(1?)ип(1)| + |ипи)|2)£„0, и^)* (и,

«(1;) = {1-ехр(^)}/{1-е1р(-аТ)}, а- положительная постоянная зависящая от т.

Заметим, что из оценки С10Э следует 1-корректностъ задачи СЮ.С7Э.

Теорема 1.6. Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда решение задачи Коши С6),С73 из пространства

с' <[0,1]; Н)Л'<^((0,1); Н)П.1г((0,Т); В(А)) единственно и

если, кроме того, 1(и) < ш , то имеет место оценка

* г

I Вий" йг £ ып(6) „ Ш <С£/1п(1/6)).

О

§4 главы I посЕЯщен задаче Коши для следующего уравнения:

и££Ш = а и£(г) + в ии), (И)

где А , в линеяные операторы с плотными в н областями определения, н-гильбертово пространство над полем вещественных чисел. Относительно и и) предполагается, что она удовлетворяет также и уравнению

■ "т^ = *ии(и + ви,<г)

и функции входящие в обе уравнения непрерывны.Операторы А и В удовлетворяют следующим условиям:

1) 1А1 2 с;

2) В = а", | (А*и, Ви) | < с£|(Ви, и)| + сл. ,и).

здесь с, с<, е.. -постоянные.

- 1.3 -

Теорема 1.7.Пусть операторы А, в удовлетворяют условиям 1), 2) и 3-2сТ> 0. Тогда с некоторыми постоянными

зависящими от т и с для любого решения уравнения СЮ имеет место неравенство:

t г /-шго Гг г ^

/ 1КОЯ йт £ а [; |цст)| йт «.] с<г) - а,

о о

о

где «(!;) * (1-ехр(-х^))/(1-е1р(->12Т)),

ССЪ) = етр<\/ (ы(г)Т - а = (¿+о|тг)|(и(0),ви(0))-

2

"(и' (0).и* (0))| +2Т|(и(0),и'(0))| +|и(0)| ,

Многие задачи математическая физики сводятся к граничным задачам- для линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве В :

я

I '

Е АЛГ-'-'Ц) = 0, 1«[0,11,

<шП 1 ,

о-> аз

^ ' С12)

ая_.Ц (0) + р^и (Т)[ = 1к , 05 К 2П-1,

где Ау-линейные операторы в В, №, 3= 0,п-1)

действительные числа. Исследованию задач (12) посвящены ряд работ. В работе А.А.Дезина Ау -предполагаются дифференциаль-цивяьными, а пространство в -гильбертовым, специального вида. При сделанных предположениях в Е -существует базис, состоящий из собственных элементов операторов А^ и уравнение, входящее в (12), сводится к счетной система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Указанный метод существенно использует специфику гильбер-тового пространства и дифференциальных операторов. В то же время А.А.Дезиным предложена идея, пригодная для построения решения граничной задачи в банаховом пространстве. Г'/ть ее в той, что сначала полагают а^с, о^ £ п, тогда реиенке (если

- id -

оно существует) есть функция от t и от чисел А,. Затеи, используя некоторое операционное исчисление, определяют указанную функцию и от других операторов не сводящихся к умножению на константу .При ряде предположения оказывается, что данная функция от операторов aj и параметра teto.T] является решением задачи С12) в к. Одна из наиболее полных реализация данной идеи приведена в работе ВХРоманко, где на основе операционного исчисления строится решение ряда граничных задач для полного уравнения n-го порядка в банаховом пространстве. Эта же идея использована С.Г.КреЯнох при построении решения задачи Кошм для уравнения первого порядка СА,=0, aq = А), И.В.Мельниковоя и А.Г.Кудрявцевым для построении решения двухточечной зада:чи для уравнения первого порядка:

U£(t) = Au(t), . t в[0,Т], и U(O) - u(T) = f,

В.И.Горбачук и Ю.Горбачуком при решении граничных задач для эллиптических уравнений в гильбертовом пространстве.

С.Г.Креяном и Г.Оаптевым рассмотрена задача вида С12)

Сп=г, ¿о = А, А, = о, Аг= I), где А -замкнутый линейный оператор со всюду плотной в комплексном банаховом пространстве В областью определения, "hJ , PhJ №.3= 1,2) комплексные числа; Г,, Г2«В; u(t) и i(t) (f(t) правая часть уравнения С12Л

функции со значениями в Е. Предполагается, что для любых ^¿0

существует резольвента КЛЭ оператора а и

|В(АЦ — <VC1+I4) (А £ 0).

Установлены необходимые и достаточные условия существования и единственности обобщенного решения задачи, когда оператор

является производящим оператором аналитической полугругаш.Аналогичные исследования проведены С.П.Шшатскю^

когда А-линеЯный неограниченный оператор. ¿А

- iff -

производящий оператор сильно непрерывной группы ограниченных операторов.

В §1 главы П исследуется корректность и .условная корректность задачи С12Э для уравнения второго' порядка при

¿0= в. а,= о, кг- L, где операторы в и L определены, как в

§1 главы 1. Предпологая, что if(u), lgCu) линейно независимы, рассматривается следующие случаи значения коэффициентов задачи С12):

Io. = PiZ =агг = ргг = о, но di3 Ю;

г°. лг4 * 0;

. й24 - О. но laiг' + IPt2l dí4 ~йгз "

4°. йг4 = 0, но \ai2\ + \ftÍS\ >0, й14 -йгз = 0,. <1,3*3; 5°. йг4 = 0, НО \aÍS\ + \pis\ >0, й{4 -й£3 = 0. d,3=0,

здесь &¿J -определители, образующиеся t-ын и ./-ыи стояб-• цаии матриц Граничного условия в С123.

Если a£j. ,piJ ct. j*' t удовлетворяют условию Io, то задача вида С12). вообще говоря, некорректна, т.к. нояно ' построит бесконечную цепочку точек, в которых решение задачи

C12D не ограничена.Доказана.

Теорема 2.1.Пусть a£j, píj. удовлетворяют условию ^.Тогда для единственности обобщенного решения задачи С12) необходимо и достаточно, чтобы уравнение

1S2

|Х-| Т - п п = о, (1с=1,2,3,..0

не имело решений в целом положительном п. Введем обозначение

И£ = {f: и Н0, Е E\ilf < » , здесь Г* —<Uf, >}.

Вопрос о существования репения задачи С12) при выполнении условия теоремы 2.1 связан с проблемой малых знлменггелея.

- to -

■i/г

Теорека 2.2.Пусть it« Kt С<= 1,2), 0(0=1^1 /nhs fj+sh

Су-постоянная,«^ -Ю при * •» ®), aiJt piJ удовлетворяют условию

О -

1и з1п(|\Л| D* О .Тогда для почти всех Св смысле меры

Лебега) чисел т> О существует единственное решение задачи

(12), которое принадлежит пространству С((0,Т); ВЦ.1'*)) и непрерывно зависит от функция ftCi=l,2), в том смысле, что справедлива оценка

, а> г г+с - г ' + г

m(t)i£ see и lft, l + lf£/ I ).

где с-постоянная, зависящая от I и от коэффициентов матрицы А.

' Подобные исследования проведены для случаев, когда a£j, PtJ (i,j'=l,2) удовлетворяют условиям 2°,3 ,4°,5°. В конце параграфа приведен пример граничной задачи математической

физики, которая кожет быть сведена к задаче (12).

Второй параграф данной главы посвящен нелокальным задачам

для полного уравнения второго порядка с операторными коэффици-

ентами(И), когда А= к*, В = В* и АВ = ВА . Предположим, что

у оператора В существует полная ортогональная нормирован-.

® 00 ная система собственных элементов: •

собственные элементы оператора В, отвечающие положительным

соответственно отрицательным собственным значениям а

через и обозначим соответствующие собственные

значения оператора А. Тогда имеем

u(t) = Е (u+ + u" f" ),

где uI = (u(t), p* ) , R = 1,2,... .

, Здесь также рассматриваются, аналогично как и в §1, значения коэффициентов граничного условия задачи (12). Приведем несколько типичных случаев:1°. Пусть <*и= но

Ц/з" 0.В данном случае, если u(t) явллу:,;: решением задачи

(12), то из вида u¿(t) можно сделать вывод, что задача (12) в этом случае,вообще говоря,некорректна,так как в выражении для t£(t) участвуют множители сколь угодно, большие для достаточно больших к , а также в знаменателе выражения для

_ г

i£(t) с при q4 = f (*£) + ^ < 0) участвуют функции

sin (|x;i Т), которые могут быть сколь угодно малыми для бесконечного множества к « N. Иначе говоря, в задаче (12) в дакном случае отсутствует непрерывная зависимость решения

от исходных данных. -

+ + +

Условие 1. Пусть qj = í х- * о(К= 1,2,...) и q* < О (ft = 1,2, ...) выполнено следующее:

С <5*, -» 0 при t «Ü и уравнение

t/Z

|q. I < пк+ 6

-> -г 0 при 1/2

| I - П П = о, л а N. не имеет решений в целых числах п.

Теорема 2.9. Пусть выполнено условие 1. Тогда если Г1 , тг « Щ , то для почти всех Св смысле меры Лебега) чисел т>0 и любого обобщенного решения задачи (12) имеет место неравенство:

. т з /-г/Т

2 г , 2+я ч

|u(t)|

CE 8* J

i-i 1

St/T '

(а fe,1

SCi-t/ТЭ

St/T

(1- t/T) Ifj } |ut(T)| (

если tZh = о (k = T.2,—);

t-t /Т

, _ CT-LS/Tn „ 2

г г ( ( s*c

■CE|ft| {ZJ lfÄ. }

г*/т:> гст-13/т

-st/T г ~ ч

* T t ( 1- t/T) ||f2g j lut(0)l

если r(> - о (K - 1.2,,..);

т 13 -

- -/

здесь 0 < * < 1, <* » «их цц I ,

*<к = < " Уц1/Л13' - < 4ЛГ ^я0«

Также рассмотрены остальные случаи значения коэффициентов краевого условия в задаче (12) подобно §1 данной главы.

В. главе Ш исследуется на условную корректность задача КошИ для линейного эллиптического уравнения второго порядка с операторными коэффициентами. В §1 исследуется следующая:

Пусть Кх,у) -функция точек (X У) « о СО- ограниченная односвязная область в В2 с кусочно гладкой границей «й ) со значениями из пространства Гильберта Н. Рассмотрим уравнение

Ди(Х.У) = В и(Х,у), (Х.у) е д, (13)

где В -линейный оператор с областью определения ЦВ), всюду плотной в Н и со значениями из н. Кроме того пусть

во = Г,и Г2 , Г,п Гг = 0 И «и |

и I « Г . — 1=4. (М)

1Г <га 1гу

1 '

где и с'сг^Н). Ч • С^гн).

Решением уравнения С13) называется сильно дважды непрерывно дифференцируемая функция, принадлежащая области определения оператора В для каждого Сх,й « б и удовлетворяющая уравнению С13).

Задачей Коши для уравнения (13) называется задача определения решения С13Э, удовлетворяющего условию (14), причем 4« В(В).Легко заметить, что данная задача вообще говоря некорректна,а именно отсутствует непрерывная зависимость решения от начальных данных.

Идея доказательства единственности решения задачи Коши с данными на нехарактеристической кривой на основе априорной

- гд -

оценки с весок восходит к Карлеману. В дальнейшем этот метод развивался и обобщался многими авторами.Из результатов общего характера отметим работа А.Кальдерона , Л.Хермандера, Л.Ниренберга,А.Л.Бухгейма и др.

В данном параграфе,используя известный метсд логарифмической выпуклости доказывается единственность и устойчивость решения задачи, Коши С13),(Ш.

Пусть относительно оператора в и области б выполнены следующие условия:

Шусть оператор в в задаче (13),(Ш нормальный, т.е. вв*= в*в (в = в,+ ¿вг, в^= в*. вг= в*, в,вг= в^в,). Пусть у

оператора Вг существует полная ортонормальная система собственных элементов : (рм>. к =1,2,... .Соответствующую |Этим элементам систему собственных значений операторов в, и В2 обозначим соответственно через и (м*), причем

1^1 < \гг\ 5 ... 5 1^1 5 .... г*г 1,2,... .

гэ.Пусть функция = з(х,у) + а(х,у) (0< сг< (г)| <сг) осуществляет конформное отображение области в . в область

[ с^ = {(ад): р, т < з < Р2Ш, р2(г0),

р. е С* {^Ъ0)(£=1.2), |Р'т|(1:-г0)/г < у (м -сопзИ.)}], а с^ = Г;и , г/п гг= 0, Г'г (О < з < ргШ },

г; =|(з^):з=р£ (г) (¿=1,2),г0<г<т|, причем часть границы о гг

переходит в г^, а гг в г;. Пусть при этом преобразовании С^(^), г0) * соответствует « гг,а б^.

Теорема З.З.Решение задачи Коши из пространства

- so -

с' (0; Hjrc^Q; Н)Л bg(Q; D(B)) единственно н если кроме того

а

и(з^,у0) =0 и l(u) = iuit <в.КВзз s т. то имеегг место оцен-

ка:

|u(x.y)i, CG ю s «л(6).

1/г

здесь ылС<5) - m{c^ln(l/<5)} , <5 ■» О,

i-mcn ( хыct) ( а а а л

(m + f3j » ^ г + iu3eiw +iuylrt )г ,

t/a

=((T-t0 )+5p (T-) )((T-t0)+2), с -положительная постоянная.

Пусть Qj. -ограниченная односвязная область в Н2 определенная как в «1 данной главы.В «2 ищется функция u<x,t), (x,t) « cij. , ■ со значениями из пространства Гильберта н, удовлетворяющая уравнению .

A Lu (x,t) W Bu(i.t), (x.tjeCij. , С15)

где A(x,t), B(x,t) - семейство линейных операторов с областью определения D CD не зависит от (x.t)), всюду плотной в Н и со значениями из Н; .

lu(x,t) - uu + а,,^ + a,ut +a2v

где a^d.t) « с*^) > 0), a^x.t), a2(i,t) « с* (П^.).

(16)

На части .границы г; области Oj- ставятся условия

-L - е. u<Xet,|r.= г- (17)

П 11 < '' t

где Г - с'сг,; Н), g - С (Г,; Н).

- 21 -

Решение уравнения (15) и задачи Коши определяются также

как в 51 данной главы.

В <?2 данной главы доказано следующее:

Теорема 3.5. Пусть в (15) А = I, в = а^хД:? , В -

нормальный оператор, удовлетворяющий условию 1) в §1 данной

а а..

главы. |а,,|- с,, _ г - сгап,(сг > 0) и выполнено уело-

о t

вне (16). Тогда, если u(p((t0), t0) = о (t =1,2), то при t ■s it0, Ti для любого решения задачи (15), (17) из пространства с'(С; Hjnc^tG: Н)П Ьг(0; D(B)) имеет место неравенство:

ии(1/ь)Г — с¿чб (\/\у л Щи), (16)

i5cо, ; ю .

1 I .•> ,

где £ =m(x.t)ir + • I t ; ю

1(U)= «иГ _ _ , cM(t)= exp(qN(!u(t)(T -t0)+(t0- t))/p),

L.l >r; H?

в > в | iiur-i- imtjr<>

io(t) - (exp(-pt0) -exp(-pt))/(exp(-pt0) -eip(-pT)),

s , qn, p -положительные константы зависящие от размен облает;; и г:озФ'fнигктов уравнения, N - целое положительное ч;гс-ло.Из сценки (18) следует 1 -корректность задачи.

- га -

Теорема 3.7. Пусть А - постоянный самосопряженный оператор, В(хД)- самосопряженный оператор при каждом (хД) « пг,

(1и, и) г о. пусть имеет место (16) и с постоянной с -СВ4и ,и) 5 с (Ви,и).Тогда, если и|г, = 0, то для

у

всех и е с'Фт-; ЮЛС2^; Н)П Ь^с^; В(В)) имеет место оценка: || Си, Аи) Охйт а а, ||| Си, Аи) бхйт + с^ I < 1;> - о^ ,

п

где

."г

at 2 в1 {сих. + Cut. Aut) }г,.

a ",Ct} , cfCt) оределяются как в предыдущей теореме с соответствующими положительными постоянными pi( q, и которые

зависят от области и от коэффициентов уравнения.

Пусть операторы А и В в задаче С15), С17) удовлетворяют одному из следующих условий:

1).В - постоянный положительный самосопряженный оператор, A(x,t) -самосопряженный оператор при каждом (x,t) в ог. кроме

того, А"1 плотно определен в Н и с постоянной с

-(A_i)[ s с А-';

2).А -постоянный самосопряженный оператор, B(x,t) = в, (x,t) +

+ iBs(x,t), Bx (x,t) и B2(x,t) при каждом (i,t) е Qj. самосопряженные операторы, кроме того .пусть существует постоянные и и такие, с постоянной с

(J и такие, что сач, и) * \(и,и)> 0, »b_,uii£ s КАи.и) и

-(ВДасВ,,

тогда в следующих пунктах этого параграфа доказано, что решение задачи (15),(17) в этих случаях единственно и задача

корректна по Тихонову,т.е. получены оценки условной устойчивости.

В конце параграфа приведен пример задачи математической физики, которую можно рассматривать как задачу (15),С17). Рассмотрим уравнение

Зеп у(ии + ихх) = - и^

в области О = С-1, 1)*яг С где ограниченная односвяз-ная область в В2 с кусочно гладкой границей а с^, определенная в §1). Данное уравнение уравнение смешанного типа. Будем рассматривать задачу нахождения решения уравнения в 0 Спри у * ОХ которое удовлетворяет следующим условиям:

О иа,1,у) ,

1) и^.х.уНг = Г, - г = 8.

1 / о п | /

где г< = г-жГ-1. 1 ] (£=1,2), в с^ = г;и , г;п п, = 0;

2) и(г,х.-1) = О, и(1,х,1) = о,' (г,х) « п^

в и . в и .

3) и(г,х,-о)= иц.х.+о), — = — , (г,!)«^.

0 у |у 0 У |У "+0

Данная задача некорректна в классическом смысле, т.е. в нем отсутствует непрерывная зависимость решения от начальных данных.' Характер некорректности данной задачи подобен некорректности задачи Коши для уравнения Лапласа.

Пусть в - самосопряженный положительно определенный в ЬрС-1,1) оператор, порожденный дифференциальным выражением

В и =--„

а у*

И краевым]', условиями

и|у=-' ■ и|у-' ■ Зператг-р а определим, как оператор домнсжения на функцию

ада у.Тогда операторы А, В удовлетворяют условиям 1) §2 и согласно теореме 3.8 решение рассматриваемой задачи

единственно и задача условно-корректна на множестве и|г =0

В §3 данной главы результаты по устойчивости и единственности задачи Коши, полученные в §2 главы III для плоского случая, обобщены на Сп+1)-мерную область, при меньших ограничениях на коэффициенты уравнения.

Пользуясь случаем , автор выражает глубокую благодарность академику М.М.Лаврентьеву за полезные советы и обсуждения полученных результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ОСНОВНЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ ДИССЕРТАЦИИ

I.Статьи опубликованные в научных журналах и сборниках научных трудов:

1.Фаязов К.С.Негиперболическая задача Коши для двумерного телеграфного уравнения /-/Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления. Таикент:Фан.1982. С. 140-148.

2.Фаязов К.С.Задача Коши для одного вырождающегося эллиптического уравнения./--Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения.Новосибирск: ВЦ СО АН СССР.1983.С .284-286.

3.Фаязов К.С.Приближенное решение одной некорректной задачи для уравнения Лапласа./ /Алгоритмы и численные методы решения задач вычислительной и прикладной математики. Ташкент:ТашГУ.1988.С.71-74.

¿.Фаязов К.С.Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами//Узб.мат. журкал.1932, Н 1.С.57-50.

и

- es -

б.Фаязов К.С.Некорректная задача Коши для дифференциального уравнения с операторными коэффициентами^/'Докл.РАН, 1992.T.324.N 4.С.751-753.

6.Фаязов К.С. О задаче Коши для линейного эллиптического уравнения второго порядка с операторными коэффициентами" Докл.РАН,1994.Т.336.Н 4.С.459-461.

7. Фаязов К.С.Некорректная задача Коши для дифференциального _ уравнения, первого и второго порядков с операторными коэф-фициентами//-Сибирский математический журнал.1994.T.35.N з. С.702-705.

О. 3?3jíisch K.S. .bárrente? И.".Cauchar ргсЫсз for tlal differential equations iTlth operator coefficients In space.// J.In7. Ill-Posed .Problem. 1994.Vol.2, lío. 4, pp.2G3-295.

9. Фаязов К.С.Кекоррзктная краевая задача для уравнения параболического типа с меняющимся направлением врекеня^Анализ ч дискретная натенати1:а.Нсвссибирск:НГУ,1Е35.С.125-130.

Ю.Фаязсв К.С.Задача Казн для эллиптического уравнения с операторными коэффициента!!! /.--Дскл. A!i Уз5з:сист2па.1535. ¡I 2.С.З-П

й.-Г-зяхоз Е.СЛ&ярряггяая краевая задача для одного уравнения ска-инкоп тина зторого поряд1са^У55.мйТ.^.т-налЛЗЭа.!? 2. С.83-93.

">2.-5аягов К.С.Задача Коси для эллиптического уравнения с операторными .ш>$фицнснтани''''сибирскип математический иур-1ШЛ.1323.Т.ЗС.П 2.С.<!59-455.

хЗ.Фаязов К.С.гв.дача Коши для уравнений в частных производных с операторными з:оэффициентами-'/Докл.РАН.1336.Т.348.И 5. С.532-594.

II.Тезисы докладов опубликованные в материалах международных конференций:

!.4.Фаязоз К.С.Об одной некорректной задаче для уравнения Лапласа. Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых "Функииенальные методы в прикладной математике и математн-•;ecK'i-í .j4[.'-mre", Ташкент.1588.С.115-116.

- г» -

15.Фаязов К.С.Приближенное решение одной некорректной задачи для параболического уравнения^/Гезисы докладов Всесоюзной школы семинара"Актуальные вопросы комплексного анализа". Ташкент.1989.

16.Фаязов (С.С.О задаче Коши для эволюционного уравнения второго порядка // Тезисы докладов советско-итальянского симпозиума "Неклассические и некорректно поставленные задачи математической физики и анализа".Самарканд,1990.С.41.

17.Фаязов К.С.Некорректная задача Кош для дифференциального уравнения второго порядка с нормальным оператором^Тезисы всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа",Новосибирск.1992.С.36-37.

18.Фаязов К.С.Граничные задачи для дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами ✓✓ Тезисы докладов конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа".Ташкент.1393.С.178.

19.Фаязов К.С.Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений с самосопряженными операторными коэффициента-ми^Тезисы докл.Всерос.науч.конф.:Алгоритмический и численный анализ некорректных задач.Екатеринабург:Изд-во Ургу, 1993.С.123-124

ОПЕРАТОР КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР УЧУН ЧЕГАРАВИИ МАСАЛАЛАР

Хулоса.

Оператор коэффициентам дифференциал тенгламалар учун классик" маънода коррект булмаган чегаравий масалалар ^ралган.

Уз -узига цушма оператор коэффициентли биринчи ва иккинчи гартибли дифференциал тенгламалар учун Коши масаласи рартли туррунликка текширилган. Каралаётган масалаларнинг рчнкини ягоналиги ва шартли турруюмги ^а^даги теореиалар цсботланган. Бу масалаларнинг такрибийСрегулярлаштирилган) 5чимлари цурилиб, уларнинг аниц ечимлар билан орасидаги фарр учун ба^о топилган.

; Норнал оператор коэффициентли иккинчи. тартибли цифференциал тенглама ва коэффициентлари уз -узига ^ушма ¡рператорлар булган иккинчи тартибли тула дифференциал [енгнлама учун Коши масаласинииг А.Н.Тихонов маъносида ррректлиги исботланган.

Иккинчи тартибли дифференциал-оператор тенгламалар учун умумий чегаравий масалалар царалган.Чегаравия шартда 1^тнашаётган коэффициентлар ёрдамида умумий масала бир неча ^асалаларга булиниб,уларни умуман олганда классик маънода корректмаслиги курсатилиб, шартли коррект лиги исботланади.

Нормал коэффициентли хусусий ^осилали дифференциал рнгламалар учун Коши масаласи .^аралади ва унинг |-корректлигини исботлаядиган ба>{0 олинган.Бундан масала ечикининг ягоналиги ^ардаги теорема ва масаланинг шартли тургунлиги келиб чи^ади .Коэффциентлари уз -узига кушма оператор булган хусусий ^осилали дифференциал тенгламалар учун эса тугридан тугри бу масала ечимининг ягоналиги ва ¡|артли тургунлиги курсатилган.

Диссертацияда ^аралган масалаларга келтирилиши мумкин 5улган математик физика чегаравий масалаларининг [амуналари иисоллар сифатида келтирилган.

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH OPERATOR COEFPICIBfTS

Abstract

Boundary value problems for differential equations with operator coefficients are considered. Thoerema of uniqueness and stability conditions are proved for a solution to Cauchy problei for differential equations of the first and second orders with selfadjant and normal operator coefficients. Re construct approximate solutions of these problems and obtain estimates for effectlvneas of applications of the regularizing family obtained of approximate solutions with the help to construction approximate data. He study conditional 1 correctness of boundary value problems for differential equations of second order with self conjugate operator coefficients. 1 -correctness of Cauchy problem for linear elliptic equation of second order with normal operator coefficients are also proved, uniqueness and conditional stability of solutions to Cauchy problem Is established for selfadjant operators and some other operators as well.

Boundary vaille problems for mathematlc physlk give an exampls they can recluse to the consider problems in the dissertation.