Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДШИЕ.

ГЛАВА I. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ СЛАБО СВЯЗАННЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ I. Исследование неоднородной задачи Дирихле для эллиптических систем (I) в классе разрывных функций.

§ 2. Исследование однородной задачи Дирихле для эллиптических систем (I) в классе разрывных функций .;.

§ 3. Задача Неймана для эллиптических систем (I) в классе разрывных функций.

§ 4. О существовании решения задачи Дирихле и Неймана для системы (I) в полуплоскости, когда граничная функция имеет произвольное поведение в конечном числе точек.

ГЛАВА П. ЗАДАЧА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

§ I. Некоторые вспомогательные предложения

§ 2. Исследование задачи

I. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению краевых задач Дирихле, Неймана и Пуанкаре для эллиптических систем it/^t 2Вих, + Си3, = о, ш где Л , В , С - постоянные, вещественные квадратйые матрицы П -го порядка, а вектор-функция и fry) = {и^у); искомое вещественное решение.

В работе эти задачи рассматриваются в том случае, когда граничная вектор-функция имеет особенность в конечном числе точек, причем особенность необязательно слабая.

Основополагающие результаты в теории эллиптических уравнении с двумя независимыми переменными принадлежат И.Н.Векуа. В монографии [i] И.Н.Векуа в односвязной области £ рассматривает линейные уравнения второго порядка эллиптического типа:

Ли + + УСхл)^ + Z&zju = о, (2) где А - оператор Лапласа, , У(Ц у) , 2) - целые действительные функции своих аргументов, гс(х,#) - искомое решение. Там же доказано, что всякое действительное решение этого уравнения можно представить в виде

ИСЪУ) = + (3)

2в где ©С , р - целые функции своих аргументов, ф (г) - аналитич-на в £ .

Используя представление (3), Б.В.Хведелидзе [2] изучил задачу Дирихле с разрывными граничными условиями для уравнения (2), когда граничная функция из класса Lp (fj j>) , p>i , j>(±) -неотрицательная весовая функция.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в классе функций, имеющих особенность на границе области, исследована в работе Н.Е. Товмасяна f 3].

Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений являются работы А.В. Бицадзе [4 - 8]. В работе [4J построено общее решение эллиптической системы с главной частью в виде оператора Лапласа и общая краевая задача для такой системы редуцирована к эквивалентной системе однородных сингулярных уравнений с ядрами Коши. Отсюда, в частности, следует фредголъмовость задачи Дирихле (с гельдеро-выми данными).

В работе А.В.Бицадзе [б] показано, что в отличие от одного уравнения, в случае систем требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нетеровости задачи Дирихле.

В работе Гб], а также в монографии [?] А.В.Бицадзе найдено общее решение эллиптической системы (I) в односвязных и многосвязных областях. На основе полученного представления введены условия слабой связанности системы (I), выполнение которых обеспечивает фредголъмовость задачи Дирихле в классах Гельдера. Этому же вопросу посвящены работы Е.В.Золотаревой [9 - Ю], в которых для некоторых классов эллиптических систем вида (I) доказано, что условие слабой связанности системы является необходимым и достаточным условием фредгольмовости задачи Дирихле.

В работе А.В.Бицадзе [в] на простых примерах разобраны принципиальные вопросы о правильности постановок краевых задач для эллиптических систем.

Задача Дирихле для системы (I), когда область Ъ ограничена и граничное условие принадлежит классу Гельдера, была объектом исследовании ряда авторов: Н.Е.Товмасяна [il - 13], А.И. Вольперта [14] , Б.В.Боярского (15' - I6j , М.И.Вишика fl7] , Б.P. Лаврука [l8], М.Шехтера [l9 - 20] , Жевре [2l].

При принадлежности граничной функции к классу Гельдера, вышеуказанным авторам удалось задачу Дирихле привести к сингулярному интегральному уравнению нормального типа в классах Гельдера. Существующие методы задачу Дирихле для эллиптических систем обычно редуцируют к решению сингулярных интегральных уравнений.

В работе Э.П.Меликсетяна [22] рассмотрена задача Дирихле для эллиптических систем (I) в верхней полуплоскости, когда граничная функция имеет слабую особенность на границе области.

Задача Неймана для эллиптических систем, когда граничная функция непрерывная, исследована авторами: Жиро [23], Миранда [24], А.В.Бицадзе [7/. В монографии ы А.В.Бицадзе доказал существование решения задачи Неймана, при выполнении некоторых условии, если в области соблюдено условие равномерной эллиптичности.

Задача Неймана для уравнения Лапласа с разрывными граничными условиями в п -мерной области £> исследована в работе Н.Е. Товмасяна [25].

Разрабатывая математическую теорию приливов А.Пуанкаре [2б] пришел к постановке задачи, которую называют задачей Пуанкаре, она состоит в следующем: найти гармоническую в некоторой области функцию по условию на границе L области:

Я+ Ъ®^ + Ccs;u = (4) где ЛС&) , B(s), Ccs) t -f(z) - заданные на L действительные функции, S - дуговая абсцисса, п - нормаль к L,.

Сам Пуанкаре дал (неполное)решение задачи в случае, когда

Л (s)=i, C(s)=0 , считая при этом, что контур L и функции B(s), - аналитические.

Не совсем полное решение задачи дал В.Погожельский [27] , предположив, что Jf(s)= i , £(s) , C(s) » -f(s) ~ аналитические функции, a L - аналитический контур.

Первое законченное решение задачи (4) было дано Б.В.Хведе-лидзе [28], [29] при следующих предположениях: область 3+ ограничена конечным числом замкнутых контуров Ляпунова, а функции Л(&), B(s), C(s) , удовлетворяют условию Гельдера.

Теория приливов непосредственно приводит к задаче нахождения регулярного в некоторой области 6 решения дифференциального уравнения эллиптического типа (2) с граничным условием вида (4). Задача (2), (4) была решена Хведелидзе [30], когда данные удовлетворяют условиям регулярности.

Впоследствии Б.В.Хведелидзе [2] существенно обобщил свои результаты в отношении условий, налагаемых на коэффициенты и свободный член соотношения (4), а также на искомую функцию, оставляя в силе прежние условия относительно коэффициентов уравнения (2).

Впервые общая граничная задача (задача Пуанкаре) для эллиптической системы

Jz/xx + Zbu^ + Сиjy + <XUx +iUj + cu 4 (5) была сформулирована и решена Я.Б.Лопатинским [зх]. Им было получено условие согласования коэффициентов Jf , В , С системы с коэффициентами об , jS граничного условия иг/х + puy + tfu = ^ (6) условие Лопа.тинского), достаточное для приведения указанной задачи к регулярной системе интегральных уравнений фредгольмовско-го типа, и одновременно, указан способ такого приведения.

Задача Пуанкаре, рассмотренная в работах А.В.Бицадзе [7], А.И.Вольперта [l4], М.И.Вишика [l7], А.Дгкураева [32J , удовлетворяет условию Лопатинского. При более общем условии, чем условие Лопатинского, Н.Е.Товмасян в работе [зз] изучил задачу (I), (6) и доказал ее нетеровость.

Во всех этих работах граничная вектор-функция на контуре области удовлетворяет условию Гельдера.

Задача Пуанкаре для эллиптических систем уравнений вида (2), где У(х/У) » Z (х; 2) - вещественные квадратные матрицы, элементы которых целые функции своих аргументов, когда граничная функция имеет разрыв первого порядка, исследована в монографии Н.П.Векуа [34]. Эта задача приводится к системе сингулярных уравнений с разрывными правыми частями.

Теперь перейдем к изложению задач, рассматриваемых в настоящей работе.

Пусть Ф - верхняя полуплоскость в евклидовом пространстве Я"2,, а Г - ее граница.

Пусть оси ccp - конечные точки границы Г* U, ^ ~ натуральные числа, } tp - нецелые положительные числа или нуль, a •

Обозначим через М^ (хи ^ ^ ^P+i) класс действительных вектор-функции VC^X) - у)}

• -, непрерывных всюду в £> , кроме, быть может, граничных точек ос^ , в окрестности которых функции удовлетворяют неравенствам а в окрестности бесконечности удовлетворяют неравенствам cenat l^iep+i-Ulil > (8) где г = х. ti^ t i - мнимая единица.

Обозначим через JVr 4 ^ ) действительных вектор-функций непрерывных всюду на Г , кроме, быть может, точек осл>.} эс^, в окрестности которых функции удовлетворяют неравенствам lf(x)l $ con*£/x-xkJ-b } (9) а в окрестности бесконечности удовлетворяют неравенству

Л»;/^ • (10)

Пусть (^fj Xir-'s ) класс действительных вектор-функций -fc^c) , непрерывных всюду в £ со своими частными производными первого порядка, кроме, быть может, граничных точек jc^ , в окрестности которых функции и их частные производные первого порядка удовлетворяют неравенствам ъы V

II)

12) а в окрестности бесконечности удовлетворяют неравенствам

Р + i д ivcvl s c**ust /гг»! • Сп./2/,

1^1 <; cw /а/^ • •

Обозначим через JVp (xi,^,--) 00р^) 4 4 >" >^4**)класо Действительных вектор-функций ^(зс), непрерывных всюду на Г , кроме, быть может, точек ,^ , в окрестности которых удовлетворяют неравенствам

Х~ХК,Л*> (*•*>*>-,Г) (13)

I CenJt /х./; в окрестности бесконечности.

Пусть G - односвязная, плоская, ограничешая область с достаточно гладкой границей у , содержащей интервал (-fijf) действительной оси и пусть эср точки из этого интервала. Обозначим через {xi,xZ)Ер) класс действительных вектор-функций первые производные которых непрерывны всюду в G » кроме, быть может, граничных точек осХ) оср, а в окрестности этих точек производные удовлетворяют условиям

J>• Ъи l + £

14) где £> О, (> = //£,•••; Л)•

Обозначим, далее, через J/ tb ip) класс действительных вектор-функций (зе у) , которые удовлетворяют условию Гельдера в ощзестности любой точки, отличной от точек xuoc:ir.) jCp , а в окрестности этих точек функции представляются в виде: г Л -1 * при jc/e-£<x<scK } " ы ш

I * при .

Здесь ^Oj ц ^fr) (к =1,2y-jp) удовлетворяют условию Гельдера с показателем ( 1) » где Д. - дробная

часть tb. .

В работе рассматриваются задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре в следующих постановках.

Задача А (Задача Дирихле). Найти в области i> (£> о) регулярное решение слабо связанной эллиптической системы

Ju^+Z&u*} + Сам =0, (I) принадлежащее классу М^ (ъ, удовлетворяющее граничному условию ft**) > х* > (16) где J- , 5 , С - постоянные, вещественные квадратные матрицы п -го порядка, f(x)~ (х)} - заданная вектор-функция из класса JVr(x,jXz).„jXf>>lutzr-,lp>lptL) > а г^,^ я faC^ty М* искомое вещественное решение. Понятие слабой связанности системы (I) дано в монографии А.В.Бицадзе (см. [7], стр.113).

Задача В (Задача Неймана). Найти в области tS (3> о) регулярное решение слабо связанной системы (I), принадлежащее классу оо; .^ ip4l ) и удовлетворяющее граничному условию

Ujfro) = /о; ,

17) где ^(эс) заданная вектор-функция из класса JV* (х1} эс^,—, 00; '"> ^р > ) '

Задача С (Задача Пуанкаре). Найти в области G регулярное решение системы (I), принадлежащее классу М& lp ) и удовлетворящее граничному условию f(u) = + S(z)Uj + ге^ г?^ (<-i>2rjp) (18) где tu с(а; заданные на у квадратные матрицы а -го порядка. Предполагается, что а(г), и с (г) удовлетворяют условию Гельдера на у , а в окрестности точек зс^зс^—, аналитичны по действительному аргументу ос .

Если f = о , то эти задачи будем называть однородными.

Отметим, что вектор-функция называется регулярным решением системы (I) в области >6 , если в этой области она имеет непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет системе (I).

2. Актуальность темы и цель работы.

Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является: I) Доказать существование решения задачи Дирихле и Неймана соответственно в классах Мд (*tJ xZJ •••, 4, i^) и

4,., ip, tp+t) Д^ эллиптической системы (I), когда граничные данные принадлежат классам (х1}лу—^а^оо. ilf "v ipj ) . 2) Найти число линейно-независимых решений однородных задач Дирихле и Неймана. 3) Доказать нетеровость и найти индекс задачи Пуанкаре. 4) Построить решение указанных задач.

3. О практической и теоретической ценности "результатов.

Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку: I) Получены формулы частного решения задачи Дирихле и Неймана в верхней полуплоскости. 2) Получены фундаментальные системы решений однородных задач Дирихле и Неймана. 3) Указан метод решения задач Дирихле и Неймана при любой граничной функции, непрерывной всюду, кроме конечного числа точек, в окрестности которых она имеет произвольное поведение.

4) Полученные результаты могут быть использованы при исследовании граничных задач, возникающих в математической физике, теории упругости и теории приливов.

4. Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Работа состоит из введения и двух глав. В первой главе исследуются задачи А и В. В этой главе доказывается

Теорема I. При любом -f(x) из класса JVp (xtjxj.y;

IlJz/-) 1рн ) неоднородная задача А, для слабо связанной системы (I), в классе И^ {*ьхз.г-)хр, *>*>; 4 A/'v^^J шеет ре~ шение.

Теорема 2. Однородная задача А имеет t- in-ш-нейно-независимых решений, где [С*] - целая часть , п -число уравнений системы (I).

Теорема 3. При любом из класса хр) задача В, для слабо связанной системы (I), в классе 1М) имеет решение, а соотр+1 N ветствующая однородная задача В имеет ь - п. (л + [Ы / линейно-независимых решений, где [t^ ] - целая часть ^ , число уравнений системы (I).

Пусть f (ос) - произвольная вектор-функция, непрерывная всюду, кроме, быть может, точек • оср , в окрестности которых и в окрестности бесконечности имеет произвольное поведение. Тогда имеет место следующая

Теорема 4. В верхней полуплоскости о существует решение системы (I), удовлетворяющее граничному условию

П(х,с) = f(x) , (xfi зе^у,., хр )

Аналогичная теорема имеет место и в случае задачи Неймана.

1. Векуа И.Н., Новые методы решения эллиптических уравнений. -Гостехиздат, 1948.

2. Хведелидзе Б.В., Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр.Тбилисск.Матем.ин-та, 23, 1956, с.3-158.

3. Товмасян Н.Е., 0 существовании и единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в классах функций, имеющих особенности на границе области. Академия Наук СССР, Сибирский Математический журнал, том П, № 2, 1961, с.290-312.

4. Бицадзе А.В., Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа. Сообщ. АН Груз.ССР, том. 5, № 8, 1944, с.761-770.

5. Бицадзе А.В., Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными. УМН, том 3, № 6 (28), 1948, с.211-212.

6. Бицадзе А.В., Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. ДАН СССР, том 112, J& 6, 1957, с.983-986.

7. Бицадзе А.В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М., Наука, 1966.

8. Бицадзе А.В., К теории систем уравнений с частными производными. Тр.Матем.ин-та АН СССР, том 142, 1976, с.67-77.

9. Золотарева Е.В., Необходимое и достаточное условие фредголь-мовости задачи Дирихле для некоторого класса эллиптических систем. ДАН СССР, том 145, JI& 4, 1962, с.724-726.

10. Золотарева Е.В., 0 задаче Дирихле для некоторого класса эллиптических систем. Сиб.мат.журн., том 8, № 3, 1967, с.565--572.

11. Товмасян Н.Е., Некоторые граничные задачи для систем уравнений эллиптического типа второго порядка, не удовлетворяющих условию Я.Б.Лопатинского. ДАН СССР, 160, 1965, с.1028--1031.

12. Товмасян Н.Е., Задача Дирихле для эллиптической системы дифференциальных уравнений второго порядка, не удовлетворяющих условию Я.Б.Лопатинского. Сиб.мат.журн., УП, Js 4, 1966,с.920-938.

13. Товмасян Н.Е., Задача Дирихле для эллиптической системы второго порядка. ДАН СССР, 159, 1964, с.995-997.

14. Вольперт А.И., Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. Тр.Моск.мат.об-ва, 10, 1961, с.41-87.

15. Боярский Б.В., 0 первой краевой задаче для систем уравнений эллиптического типа второго порядка на плоскости.

16. Боярский Б.В., Некоторые граничные задачи для систем 2 уравнений эллиптического типа на плоскости. ДАН СССР, 124,JS I, 1958

17. Вишик М.И., 0 сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. -Матем.сб., 29, № 3, 1951, с.615-676.

18. Лаврук Б.Р., Условие разрешимости одной граничной задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа. ДАН СССР, III, 1956, с.23-25.

19. Schechter М., Various types of boundary conditions of elliptic equations, Comm.Pure Appl.Math., 13» 1960, 407-42520. Schechter М», On the theory of differential boundary problems, Illinois J. Math., 7, 1963, 232-245.

20. Gevrey M., Les quas fonctons des Green et les systemes d'eq-uations aux derivees partieles du type elliptique, Ann.Ecole norm.super.,1935, 52, 39-108.

21. Меликсетян Э.П., Задала Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнении второго порядка в верхней полуплоскости. Изв.АН Арм.ССР, сер.матем., Х1У, й 5, 1979, с.391-402.

22. Giraud G., Generalisation des problemes sur les operations du type elliptique, Bull.sc. math., 1932, 56, 248-272, 281-312, 316-352.

23. Miranda с. , Уравнения с частными производными эллиптического типа. ИЛ, М., 1957.

24. Товмасян Н.Е., Некоторые краевые задачи для уравнения Лапласа с разрывными граничными данными. АН СССР, Сиб.матем.зкур., том У, № I, 1964, с.174-185.

25. Poincare Н., Lecons de Mecanique Celeste, t.III, Paris, 1910, Chap.X.

26. Pogorzelski W., Uber die Transformationen einiger iterierten uneigentlichen Integrale und ihre Anwendung zur Poincareschen Randwertaufgabe, Math.Z., Bd.44,H.3, 1939, 427-444.

27. Хведелидзе Б.В., 0 краевой задаче Пуанкаре теории логарифмического потенциала. Докл.АН СССР, том XXX, JS 3,1941,с.195-198.

28. Хведелидзе Б.В., 0 краевой задаче Пуанкаре теории логарифмического потенциала для многосвязной области. Сообщ.АН Груз. ССР, том II, Ии 10, 1941, с.571-578, с.865-872.

29. Хведелидзе Б.В., Задача Пуанкаре для линейного дифференциального уравнения второго порядка эллиптического типа. Тр. Тбилисск.матем.ин-та АН Груз.ССР, том ХП, 1943, с.47-77, (на груз.яз., с подробным русск. резюме).

30. Лопатинский Я.Б., Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. Укр.матем.журн., том 5, В 2, 1953, с.123-151.

31. Джураев А., К вопросу об индексе и нормальной разрешимости задач Дирихле и Пуанкаре для общей эллиптической системы второго порядка с двумя независимыми переменными. Докл. АН СССР, 7, 1964, с.3-6.

32. Товмасян Н.Е., Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения, том П, № I, № 2, 1966, с.3-23, с,164-171.

33. Бекуа Н.П., Системы сингулярных интегральных уравнений. -М., 1970.

34. Лаврентьев М.А. и Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного. Изд."Наука", 1973, с.224-225.

35. Фаддеев Д.К. и Фадцеева В.И., Вычислительные методы линейной алгебры. Физматгиз, I960.

36. Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., Мир, 1965.

37. Мусхелишвили Н.И., Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

38. Литвинчук Г.С., Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., Наука, 1977.

39. Оганян В.А., Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений с разрывными граничными условиями. -Изв.АН Арм.ССР, Математика, ХУ1, Jp 6, 1981, с.465-477.