Краевые задачи для модельного уравнения Трикоми смешанного типа в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГБ ОД

; CAVAFCIGfi! ГОС'ДіІРСТВЕННЬЙ ІЩЩГОПШСШ УШЩЕРСИТЕТ . ИМЕНИ В.В.КУЙЕНШШ

На правах рукописи МАКЕЕВ Васішгй Иванович ' УДС 517.946

краше задачи дал гадального уравнения тч«о**я смешанного

1ЇЖ В НШ1ТАШЧЕЩЫХ отсш

01.01.02 - дифференцкалышо уравнения и «атєиатичсокая физика•

А в то р в ф ор а т дассортаціга на оококанио ученой ctonот кандидата физико-математических наук

Сигара - 1991

Работа выполнена на кафедре высшей иатеиатшш Селіарског технического университета ордена Трудового Красного Знамени имени В.В.Куйбшева

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор ВОЛКОДАВОВ В.

О$иціігільішо оппоненты: доктор физико-математических тук,

■ профессор ЇЕГАЛ0В В.И.5

кандидат физшсо-тїеііатшесніїх наук, доцент РЕГОІН б.А.

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита диссертации состоится " 9 " 'Эе.к.&б'р.а 1994 гг в К час. на заседании специализированного Совета К ИЗ. 17.С по присуждению ученой степени кандидата тук в Самарском государственной педагогическом университете ш. В.В.Куйбдаава по адресу: 443050, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией ыожно ознакомиться в библиотеке Ссшрског гоеудерстзенного педагогического .университета казни В.В.Куй-

•0ШШ1 ХАРШЕРЕСША РАБОТЫ

Для рассматриваемого ■ в данной работо уравнения

II) П ^ » ГЛС П1 > ° 1 /I/

?дуо?ся ряд гагзкк задет з областях, з. отлгаш от исследований пх’.гл /Трязегп! <5. О лптПшхх урагпсншЕ в чгасхтк проязводаак >го по15л,то с-’гсгпагого ппта. Гозтохизда?, 1947/, Ц.Ц.Сггпрнозз :пол И,И. Ургггклия спсгшшого типа. !!. Шаупа, 1410/, гппербо-:пггз часттг г:о~ср:п: сз?:> изограгпгтсшкгя пр:еол£пеПкзя сретоцгяг ■еогра?плс:тнт;з 1ф”пол:шсП*гго угли

Актуальность 'тс-;;’. Изпостао, что урагазжэ ^пзоми /I/ спкси-дггна'пяу раса на до п сггрхпзуковтг:. спсрсетягг. В связи о отпн ушюсть тс:пт из гкигоаоя ос;згокаЙ. •

Нгпь впботтт, Сбосногашм супзстговгл'лл л еданетазшоога рссо-граояпг СОД21 для пододы?ого провисши Тртас'.п! слеетшого юта г бос::сие'ппгз: сбласгяя а ялгсеах пласскчсскпх кяи обобщ-зшшз: кй,

ГТдтодтд кссло.г!огат;п«, Прп кссясдогыш упазшпшх попрссоз по-г/втся сзоПстса рссопзй уропгстй! эллиптического ила, прящига 1Ы!ого аистр^ут, пзтода рс~стшя а областям плерболтностп 'ст2т^ут:”2гэ уравнения, сотарати спсцэзлышх (ТунлциП и шта-лглл уразнсшй.' .

Наущал новизна, Изпзстноэ урашштэ Трпнсгл нг.:ш рассмотрено яяпялтгня областях п*пср.бсл1гл!ссги, потер:,-э лвляптся лпбо.гра-гс’щзгтг? адетст, либо псоградаипзт углами. И в соответстяу»-зблаотях для уравнения скованного гта /I/ обоснованы едннст-зз?ь и существование рсйетЗ'ряда краовнх задач, которно по

своим краевым данный являзтся новыми по сравнениа с известными краевыми задачами для этого'травнешщ.

Практическая и теоретическая ценность полученных в работе зудьтатов определяется теоретической значимость» выполненных и ней исследований, являвшихся определенным вкладом в разработку проблем ди$ферепщ!альншс уравнений с частными производными» Ре таты и метода исследований, иапоизшшо в работа, могут быть кс зовааа при доказательствах едкнзтвешюсти и сусраавовакил роге

1фаеЕПХ ЗаДМ ДЛЯ ураВНеИИЙ ГШербОЛПЧССКОГр И СМСИШИОГО Т1Ш0

неохрашкешшх областях, а таазз при решети прикладных задач, водящих н таким уравнениям.

Апробаций работы. Результата исследований догадывались и Всесоюзной казной конференции “Классические и иекяасс;;ческпа вне задачи для диф^еренцпалыщх уравнений с чаояааы производи специальные функции, гаиегральные уравнения и их прлчсг.епня" / бызев, апрель 1937 г./, на конференции "Герценовскиз чтения" в нгепрадсном-педагогическом институте км. А.И.Герцена /руковод;; - профессор Н.ЦД1атвэез, апрель 1937 г./, ка семинаре по д:ф$е циальным уравнениям в Ленинградском государственном уннворсите 125.■ А.А.Еданова /руководитель - профессор Ы.Ц.Сипрноз, апрель 1933 г./, ка Минском городском семинаре по краевым задачам га:, демика АН БССР Ф.Д.Гахова в Белорусско:! государственном уиазор те ш. В.И.Ленина /руководитель - профессор Э.И.Зверовнч, колб 1980 г./, на областном семинаре по дифференциальным уравнениям Куйбышевском государственном педагогическом институте им. В.В.: бшзова /руководитель - профессор В.Ф.Волкодавов, апрель 1985 г апрель и ноябрь 1986 г., апраль 1988 г./.

Публикации. Основные результат:! диссертации опубликована

4 работах, список которых приводится в конце автореферата. *

. 3

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из зн;тя^ трех глаз и списка литературы, вюотагчего 44 накмепопа-Работа изложена на 120 страшщах машинописного .текста. • •

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Вводите вялгтазт в себя пратяиЯ исторический обзор литература зелэдуегям в работе вопросам, драткоо изложение основного со-УП!Я работы п з заклтзчешш авторов перечислен результата, ко-3 втосятся к защите.

В первой главе получены ряд создестз и $ср:г/л диффсрипсхосз.-цяя ггзтергеокатротеекпх фушсциА кад одного пораженного: фунпгрЛ за п а«^ , таи к двух переменних: функция’Аппеля Тс к

нкцип Я, , вЕедешюй В.в.Волкодавопщ /Волкодавов В.О.. Нз-я И.В., Николаев Н.Я. О тождествах и штзгрзлах, получс:ппг: при т.тт! яраенше задач для дифференциальных уравнений с частнп.п! ЗЕ0ДН1Л.ЯТ //КуПбпгсв, 1984. 59 с. Рукопись представлена КуПб. ии-том. Дсп. в ЕИПГП1 21.11.84, Р 7455-84./, где

От..;в% п!п!-* 8 •

Е^мер, полученное тожество

I? (М-п_Л /пАЬ _А1

£*0

&^1,а,о9... , п<т , П=<,а,Ь,... , т* 2,3,4,...

при П = 1 содержится в справочнике /Прудников А.П., Ерычко} Маричев О.И. Интегралы и ряДы. Дополнительные главы. Ы.:Наука,

8 стой же главе вычислены некоторые сингулярные интогращ. торыо понимаются в сьшсло глазного значения по Коаи /Гохов &.Д Краевые гадая». П.{Наука, 1977/, и опредолешкдэ'интегралы, по;; сегральтш функциями которых являют с к произведения бнКОЫОЕ I’. мое на гклергеоштрнческуй йушодиз Гаусса. В часанооод, вычкел сингулаэшй штеграл , '

где оС>0,уз>0, оИф?М, *4 к, к.» с<а<к</

при о - О совпадает с интегралом, праьедоншгл г справочнике /Градштейн Н.П,; Рыкапс И.Ц, Таблицы интегралов, суш, рядов и изаедений» Ь'. :Наука, 1571/, я, естественно, является сто обойд

Полученные автором в этой глава результаты используются б следующих главах.

втачках А (О-, О) и 6(1; О) , отрезками оси ' Ох. г А

1986/.

а

Во второй главе устанавливается единственность и существо решений задач ( 1« 1,2,5') для модельного уравнения ’

коми смстиного типа /I/ на множестве X) > ограниченное г. кой кривой Г , лежащей в полуплоскости ^ > О , с кош;

уравнения rtoropiK соотвзтственко: ’ <

~ ?.

И +

т+2

n-yg ' V

• P S p. * C* U , _ . . Пусті) і/

ССЭ

^ V? * ЇЇГГГ/ rrp^T’.*' I»v*— ■ О < й <

зсїи D в случ: ?п 'Їуі:::ї7ю H(cc,tf)

*■* * *■»? в

Г/ U(a,«> <= С(5)П С*<^>П С2(Х>+ UP-*) ;

2/ 2 О из ісїояесгзз X)^UD ;

3/ U.(cJ,y) удоплотсаряз'г красвин условлпи . u|r я {ЯЗ) . /,?/

~л S дугопай ппргл-етр c отсчитстасай о? точки В ,

S € ГО ; ЕЛ / £ - докпа дуря Г /, •

IJLU,“ 5 5 1А|^ав9вС«) r aeU8»n {

И| «= *р(я) „

із т) , iz&} , їк~'\ (';ю - ояданшэ функции.

Постановка задачи. Ту^ отлкчеюгоя от постановки задачи Т у{ -геи, ЧТО о. “ <? » G * і •

Задача TyJ . Дія уравнения /V в области D в случае»

G < О. < ь / naivni ifyintmt» tt(x,y)

CDOftOTEaWtt ’

I/ € СС5)ПС,(Р)ПС2(І)+'иі)“) і

Zt LО m пюг.встпа D* UD s

3/ U (”.*/) удовлетворяет KpaoBivt уело mint /2/, /3/ п

Ъи(ж.^

*5»

г — ^аС2») і СС Є О»С-1] } ,

АА, .

где. 'О,-,(ссГ) заданная функция.

Единственность ресвшй яоставлшпшх агдаз установлена йі осново цршщияа внутреннего э;:сгре!уыа Д'ш уравиотж ошз&чхгеаогс ї:і-ла. лєісш К.И.Бабзгшо. прящипа локального шгсэрсуука, до::ааа:шого •авїорсц, однозначной разреиг-ооїн зедачк Дирихле /а елуїіаз оборювання едшотвонностгі рзпбннГі задач ЇУГ ( і ** 4 » 2.") / і: вадшеї •*/ /п случае обоснования одгаствсшосги ре^оніх задачі: £ ^ / дл.

уравнешш /І/ а обяаеги І)' к оданогвоинооги р*;;гскнг: задачі: Дарбу дяк уравнения /ї/ в области X? »

«и<5

, Доказательство существования рыгг:здя глдачи і у, випол:^:-! в случае, когда область Т) * огракяибка иориельпо;-, кривой і с уравнение которой

(к4)

2 4 ,іГіЬ~ _5_

” />

(тч£.)

г И

при краевых услоыигс:

ЦІ 5 0 „ ІЛ! “• О

»Г0 ' 1г,

Эти обстоятельства обусловлена те:,*, что б случаях ¥($} п У(іс не тогдеотсешшо нули, проведано подробное исследование £>.Тршсо:,пі

/Тржоии <5, 0 линейішх урашеншк в чмутгх прокаиэдешх второго и

рдцка смоианного типа. И.:11аука, 19$// и К.И.Бабе:зко /Оабенко КД' К теории уравнений сметанного типа. Д,чсс. ... док?. фиэ.-мат.лтз Ц., 1952/. '

В отоії главе показано, если функции (г(3) =: О , 'Р(х) — С

%(х) € С*[О, О.] , %(х) 6 С*[£і П при атом ■

%(о) * %(а) - » <ш ~ О , то поставленная задача реду

Ц5грустся и Г111тегрально:г/ уравташ'в йредгольлл П рода. Автсрои обе с повзно, что ядро этого уравнения и его правая часть являэтся т- ; р!'.в"г-я; ^ушщияш! л рассматриваема областях. Одноаначгел раэрс. . •'ОС"') с;ого урь::!юн\:я следуе? гпз теорем единственности решения з.---

~Г си '

'^111 !у; ■

ггрк:.'епе1;:кн штод доказательстБа цуцссгаоис-нил решения

СО

нздагя! » но удалось распространить на случа/:, когда 0.-0 ,

& 55 I , гак пал: слагаемое в правой части ксслсдусиого уравнения таково, чу о подпитегральная су;п(ц::я, содерзай'хч 1=ю: тигель

пг +•;

{р-'- ~ В'СО' ^ г , где Во,

1>5обошюо?ь нзгштегрзгруемого порядка в точках (О} о) ■< ( /; О } .

Т“ С-О

/;ок&за?едьс’г.уо су^ес'гаоуьши* рс-пх-и^х иадаш! I сиэднтся к

ОДНООНаЧПОЙ раЗрСС!Г’00'Л1 сингулярного НН'ГСГраЛЪНОГО уравнения-

■огю + - тх) '

А = -?*?(# " тр) • •

Рспсш50 этого уравнения хорошо изучено /Снирнов М.М. Ураькеш:я смо-::мпиого йота. М. гНаука, 1970/, поэтому в диссертация деть дсот.гудпру-С'1'СЯ тосрет существования решения задачи Г ^ :

Если (Р(3) йз О , СО(ге) » # (X) € С'[0> 1] такова,

что шее* место ггродстаиление Ш(ге) « X. ,(1-£с) 2 ю^(х) , гдо

^ при о том а)0(х) е С2 [0; О , ^0

Т‘ СО

............. - У£

ТОО

^_____________ , , . . уд проведиио

'".учяв, когда область Г>+ огршшчсна нормальной кривой !~о

; л краевой условии Ц{_еО . Показано, осли ”0

с

; устоя к инти гра;гьному уравнгшш Сродголигг а рода, Устаноз--,’то ядро пгого уравнения їсгєот слабуо особенность, а правая ті .тпл/гс-гсп к<>(грерш,но& -{уїсосгсй с раса.:о.тр:шасж;с областях. Од~ чоу плзреягаость л то го урасиения следует ка теорс-’лл одіег тзел

ТС52

*

•і тг>'.*п.сЛ гл-мпс* усталопле;ш єдїсістьоїшость к суцосгаосаипс ре-подачі: Т00 дая уравнения /I/ на циотаство 1) е огра-

гладкой ет/лвоП Г , лскщей в полуплоскости . ^ >0 ' к-.--л;х.* і! точках А (-а, О) - 5{а„0) » лучами, псходсф'дп: из

■ -.к;- А п<-*гивополо*но направления оси и иэ точки В

-. ггїлплєиип оси Ох , и дугами характеристик раенкл семеСсті*, начала координат, в полуплоскости ^ < О , уравн? аил кчторкх •

..уть Во = 1) П{(ж,у)1-а«с<а, у >о} ,

Ъ,-Х)0 х>о, ^<о} , Т>авВП{(х^)1а<о,^<о} .

'"здача

Тсо

. Найт/ функцію Ц(х,и) , непреривную с В ,

!Ві£

дал.■■■'цуося решением уравнения /I/ ка иног.ост-

758 4.-о * удовлетворякцуо краесш условиям:

^Чг ”а г где 3 дуговой параметр, отсчитир*»»^..

сочни ©> • „ О € 11.0» £."3 ! £ - длина дуги Г /;

и1ч«о 85 ^ • кеЛа.+соС } и| ^^(сс) } К€3-«.-ч.

- * , г

•,&« Ч^гфрП) * «/) 3 0>,(у) , ;/ € 1-0».ОЦ 5

> Л.£* и‘* ' »■* '-’ '■»

я+2

I*’ ’ ' " ' ■ ■ ■ -

(1,1

^УЩ+-%(-?) у) = г^(>) , уе><».о] ,

где ^с(з) г Л(ж) , ^(к), а),ф . о5г(;|) задашшо функции, причем Ш "$»<$ } &(0»й(-«0, вго ЗС^,(я>- и),(о) » &т (-*/&(*:)» Ю^о),

;£-?+сЛ д.^._со

удотзле?2оряЕГ5у» условию сопряжения .

Вхгга И„(к,1А « £йп ичСад') , • ж 6 l-a.0CU3o.at . /л/

11->-го ч ь' 1|-9-а 4 0 . '

■ Ъ::л: г.1? прнсна’ЕИ,, что и ири дойас&тельстве единственности ре-,т/лшп спдге: Т,Г С"1' Ьй.*, а") > наш обосновывается единствен-кость регзкгю задачи Т09 .

-г- СО

Суцесссозкикс решения задачи I нам удалось показать в двух случаях: о кусочио-значккд к непрерывном парелетром Ш

уравн ения /1У„

Доказательство существования реввгия задачи Т°® с кусоч-ас-зпашпг-: параметром П1 , где т-пч^ , ГОу^О'-.+й) ь

I);, (_ I“ С•, ■:; £*) . соответственно, вшоянвно, когда облает*. Во

ограничена нормальной кривой П, , уравнение которой

кг +-^ и”-*1 = о2 (т.»2)г 3

с краевые условием Ц{ э О

'V>ко, если /„ (5) 55 О , функции /і (яг; и ;; 'члотворявт условиям:

7.<рй) ЗъСас)

+.(Х, = --------------— , Л,>£о ; Ъ(Х) гг ---------—

(и-їжі)''

ш

Чі(х) =

Ф.Ч*>

(м-і«Г)А*

- £>(х> '0+1*0*

1+% '» Н>"(х) -

с= /; 2

Ф"(х)

(Ых|)

Л*

/В/

где функции То (я). 7і,'(х), ¥"іх), Ф.(х), ф/(х) „ <$>„”(£:) пр»: 32 — £ оо ограниченные, > Т (і~ 1 і & ) , то оздзетз.

Т редуцируется к системе двух интегральная уравнений Срод-

г'чпчма. Авторои обосновало, что в полученной системо ядра Срсдголь-ыови со слабой особенность», а правые части - непрерывнее функции с ; ас^могриваемвс областях. Однозначная разрептаость этой скстеци -теду^т кз теоремы единственности реаенил задачи Т 00 «

-г* СО

Доказательство су^остяовалия реаенил задачи I с иепро-

!гвн!л.( паргме'грои пг выполнено в классе обобщенных регоний 0 *г.я гс"о же уравнения /I/ на инокестве V .

Определенно I. Функция Н (ж,у) назовси обобцон-!>п го-зеяием класса в уравнения /I/ в области 1) задачи

, осяй: I/ Ц(Ж,^ £ С(5) ; 2/ и(я,}р является

■іьогдн нєпрєрі.'вно-дя^'срсш .фуеши рспсиие» уравнения /I/ в области Ц> ; з/ 1Л(х,^ являет'я обобщотим росониом класса тЯ урои-

коник /I/ з областях В; ( I ~ I ■, 2) ; 4/ И(х,Ц) удоь.."-

горяе? краевым условиям задачи Т 00 ; о/ Ц (се.у) удов.^.* пы-

ряет условию сопряжения /4/.

Определение 2, Функцнп и(сс.у) , цредставю.туг в характеристических координатах а виде

Аналогично опроде. ениэ 2 формуліфуется определение обобщенного

.Доказательство существования решения этой задачи проведено дл;>

параметром 5! теми кз краевыми условиями. 15 этом случае задача Т°° рвдуцнруется к системе двух сингулярных интегральных уравпе: :’й. Используя цетод решения сингулярных интегральных уравнений и метод

через вторуя, а для второй функции - к интеграл ыю>1у уравнению Фредгольма. Автором установлено, что дпро уравнения имеет слаб'' особенность, а его правая часть - непрерывная функция в рассма-._ ваеинх областях. В этом случае однозначная разрешимость этого урап-

роїенкя класса {]• уравнения /I/ в области Т>2

той ле области I) , что и задачи

-7- СО

с кусочно-значим.

подстановки, приходим к соотноиешш для определения ОДНОЙ функцій!

мо'ф'ет из тоореии единственности решения задачи X00 .

ЧСЛИ ^о(5)"0, $1(х) £ С [а; + со[ представима в виде

'"(х) » (х-а)Л’(к) , где А,>2-2^, /1(0(*> € С [а„+оэ [ ,

и;.; |*?(х)) < С , ,/,Дс2)еСг[0»^Ь

5С-о+о& . .

• V:-?-/. %<*)€. С [о ,♦«>[, /ДаО-Л(С-Л), у#*)« 9ф'&нх),

1; 2. , тс существует единственное обоб::;ошгоо рсззияс класса

г«

Л"*" уравнения /I/ в области В • .

{у:повн-:о результат;; дгссертацци опубяккосаш в сдодувари: рабо-

I. Еолкодавоа В.З., “лкеов В.К, Задача Тр.пгспт.! в случай тралз-;...:";'.д'*;:мгоЯ облас?!: п:порбодичностй // Аналитические котоди ро^гапЭ

• /4.'^ре|щ:ц2ЛЫ(!К ураияекий. Куйбызов, 1936, С. 14-42..

Л. Волкодавов Максо:: В.И. 2:дгасле»тс напотерж•«пп’сгра--с.т* 1: опгзле главного значения П Дналкт'.^сзике когоди 2-?гор:т д;:>4'чу'--нг^'.^и)Ж п китегральньк ураьненаП. Куй&азв, 1€37. С. 19-24.

3. Иакеов Б.И. Задача для обобфююго уравнения Тржо^! // То-з;:сн д^аладов Всесоюзной каучк. конф. "Класса, и коггласекч. х*рааа. .'ед-‘ч!1 дал дгфЬэренц;альних уравнений с часта, производи.» еясц. ^■уакц., ттегр. уравя. и-их прияож.". 1{уЯ<й=оз, 26-29 апреля 1937,

С. 25. . .

4. *!акеев В,Н. Задача Т4^ для обобщенного уравнения- '5>;асо-••: // >4£-ерондеальнца и шгегралыко ураьшгея. • Куйб^ас» 1637.