Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук

На правах рукописи

Нахушева Виктория Адамовна

Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса

01,01.02 - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. А.М. Нахушев

Нальчик - 1998 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение........................................................... 3

Глава 1. О некоторых дифференциальных уравнениях состояния и переноса дробного порядка ....................................... 8

§ 1.1 О дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в

сплошных средах с памятью ................................ 8

§ 1.2 Об одном интегральном представлении всех решений уравнения

Барретта............................................... 14

§1.3 О модельных уравнениях переноса в средах с памятью.......... 18

§ 1.4 Уравнение неразрывности в средах с фрактальной геометрией и

обобщенное уравнение переноса дробного порядка..................20

§ 1.5 Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка............................................... 23

Глава 2. Краевые задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, уравнений переноса дробного порядка и модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.............................. 27

- § 2.1 Об одной задаче А.В. Лыкова и конструктивной формуле ее решения ...................................................... 27

§ 2.2 Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения ...................................................... 35

§ 2.3 Принцип экстремума для нелокального уравнения эллиптического

типа..................................................... 38

§2.4 Видоизмененная задачи Коши и Дирихле для уравнения Барретта 41 § 2.5 Смешанная задача для однородного и неоднородного нелокального волнового уравнения.................................... 45

§ 2.6 Априорная оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка ............................................. 49

§ 2.7 Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения ................................................... 53

Литература........................................................ 56

Введение

Работа, состоящая из настоящего введения двух глав посвящена начальным и смешанным краевым задачам для основных типов дифференциальных уравнений состояния и переноса дробного порядка, их структурным и качественным свойствам.

Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной после того как выяснилось, что многие физические процессы (диффузия в средах с фрактальной геометрией и памятью, субдиффузия частиц) приводят к начальным краевым и смешанным задачам для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Более того, эти уравнения относятся к классу нагруженных дифференциальных уравнений, которые, как правило, не являются самосопряженными.

Тема дисссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по научному направлению "Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения", (№ГР 01.950004494 код 1.1.11.(1.1.11.1, 1.1.11.3)).

Основной целью настоящей работы является исследование структурных и качественных свойств модельных, но основных типов, нелокальных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Для достижения основной цели используются метод интегральных представлений, свойства функции Миттаг-Леффлера, принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования, метод Фурье и метод априорных оценок.

В диссертации впервые:

1. выделен качественно новый класс нелокальных дифференциальных уравнений состояния дробного порядка и на их основе получено нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени;

2. дано интегральное представление всех решений уравнения Барретта, позволяющего в явном виде выписать решение видоизмененной задачи Коши для этого уравнения;

3. доказана эквивалентность уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка;

4. дана конструктивная формула решения уточненной задачи А.В. Лыкова для уравнения Бицадзе-Лыкова;

5. доказан принцип экстремума для линейного нелокального уравнения параболического и эллиптического типов;

6. для уравнения Барретта решены видоизмененные задачи Коши и Дирихле;

7. доказаны теоремы единственности и существования решения смешанных задач для нелокального волнового уравнения и уравнения гиперболо-параболического типа"

Работа являетяся теоретической, ее результаты могут сыграть определенную роль в построении теории краевых задач для линейных уравнений в частных производных дробного порядка.

В отчете о деятельности Российской академии наук в 1996 г. (см. с. 25) как важнейший результат отмечено исследование качественно нового класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью.

Нет сомнений, что полученные теоретические результаты получат хорошую физическую интерпретацию.

Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (19941998 гг.), на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики", посвященной 60-летию академика АМАН Нахушева А.М., Нальчик, 1996.

В диссертацию вошли результаты, полученные мною как одной из исполнителей проекта №94-01-00605, получившего грант Российского фонда фундаментальных исследований. Эти результаты изложены в §§ 1.1 и 1.3.

Список работ, включающий и публикации в годовых отчетах НИИ ПМА КБНЦ РАН, содержит 8 названий: [25] - [32].

Из них работа [27] выполнена в соавторстве с А.М. Нахушевым, которому принадлежит постановка задачи и метод получения уравнения состояния для сплошных сред с памятью.

Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав и списка литературы, содержащего 32 наименований. В первой главе пять параграфов: 1.1 -1.5, а во второй - семь: 2.1 - 2.7.

Первая глава посвящена некоторым классам дифференциальных уравнений состояний и переноса дробного порядка.

Главный результат § 1.1 - вывод двух дифференциальных состояний в частных производных первого порядка с дробной производной по времени,

которые могут выступать как замыкающие уравнения системы, состоящей из одномерного уравнения Новье-Стокса и уравнения неразрывности.

В § 1.2 доказаны три теоремы, характеризующие структурные и качественные свойства всех решений уравнения Барретта следующего вида:

ЦнР-\р = ЕВ&р, 0 < а < 1,

(1)

где Дй " оператор дробного дифференцирования порядка а с началом в точке £ = 0, р = р(х, £), р — р(х, £), Ли Е - постоянные действительные величины. Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 1.2.3. Пусть: ПТ = {(ж, £) : а < х < 6, 0 < £ < Т}; р(х,Ь) е С(£1т), ЩгР ? ¿[О, Т] для любого х £ [а, Ь]. Тогда единственное решение видоизмененной задачи Коши:

Ит£1-ар(ж,£) = (р(х), а<х<Ь

определяется формулой р(х, t) = <p(x)Ba(t-, А, 1)Г(а) + Е

t

I

р(х, t) + А / Ba(t — rj; А, 1 )р(х, rj) dr]

где (р(х) - заданная непрерывная на сегменте [а, Ъ] функция,

00 \k-lfak~1

- функция Барретта.

В § 1.5. рассматриваются: уравнение стахостического переноса при субдиффузионном режиме

f

д Г u(x,rf) , 1 d2u(x,t)

diJ (t ~ V)7 77 ~ 2 öa;2

о

= u(x, 0), 0 < 7 < 1;

(2)

уравнения диффузии дробного порядка

^ = c2D^uxx{x,r}),

(3)

(4)

где 2с2 = 1/Г(1 — 7), - регулиризованная (по терминологии

А.Н. Кочубей) дробная производная. Здесь найдены необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения (2), (3) и (4). Основные результаты сформулированы леммами 1.5.1,1.5.2 и теоремой 1.5.1.

Вторая глава посвящена краевым (смешанным) задачам для основных типов уравнений переноса и модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В § 2.1 обоснована некорректность задачи А.В Лыкова для гиперболического уравнения тепло-массопереноса:

dq nd2q D2d2q

q(0,t) = qQ(t), <7(00, i) = 0, <?(£,()) = 0, gt(£,0) = 0.

Дана уточненная постановка задачи A.B. Лыкова и найдена конструктивная формула ее решения через гипергеометрические функции. В § 2.2 доказан принцип экстремума для уравнения

ихх + а(х, у)их + b(x, y)D%yu + с(х, у) = f(x, у),

который распространен и на многомерное уравнение

п ffi^u п Qu

? aij ^ у* д^Г- + S V У^уи + с(х> = 0

¿¿=i 1 Уз j=1 3

с непрерывными в цилиндрической области коэффициентами, которые удовлетворяют условиям

п

0, Ь(х,у)< 0, с{х,у)< 0

».7=1

для всех X <Е R", у > 0, £ G R".

Основной результат параграфа 2.3 - принцип экстремума для уравнения

д2и

D%yU + с2 =0, 1 < а < 2

в прямоугольной области О = {(ж, у) : 0 < х < I, 0 < у < Т}, с = const > 0.

В § 2.4 доказаны теоремы единственности и существования решения видоизмененной задачи Кохпи и видоизмененной задачи Дирихле для уравнения

D2cu(t) — Аад(ж) + v(x), а <х <b,

где 1 < а < 2. В случае видоизмененной задачи Кохпи получена явная формула ее решения.

В § 2.5 впервые сформулирована и методом Фурье решена смешанная задача для нелокального волнового уравнения

д2и(х t)

D%tu(x, t) = с2 qJ + v(x, t), 1 < a < 2, с = const > 0.

В § 2.6 получена априорная оценка для оператора диффузии Ьа = ~ А*Дх> дробного порядка а €]0,1[, где Ах - оператор Лапласа по ж= (х!,х2,... ,хп) еЕ".

Пусть В - цилиндрическая область в пространстве М™+1 точек (х, £), заключенная между двумя гиперплоскостями Ь = I = Т\ Во - нижнее основание, а Вт - верхнее основание этого цилиндра; 5 - боковая поверхность. Предполагается, что Во - односвязная область в пространстве К™.

Пусть далее Щ(В) - множество функции и = и(х, £) со следующими свойствами:

V. и - дважды непрерывно дифференцируема по пространственным переменным Х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп в В всюду за исключением, быть может, Во;

2. производная В^и - непрерывна для всех £>0ижеД)И суммируема по х £ В0 и £ € [0,Т];

3. существует

Иш£1-ам(ж, £) = 0, Ух € В0]

4. и(х, £) удовлетворяет граничному условию

и(х,1) = 0,

А

Основным результатом § 2.6 является

Теорема 2.6.1. Для любой функции и(х,£) £ Щ{В) имеет место неравенство

Ва J ^ (^х^ ^Х^ ~ / и^аи ^х

б г>

В последнем заключительном параграфе 2.7 доказаны единственность и существование решения трех краевых задач (задачи ¿1, ¿2 и 5з) для модельного уравнения смешанного типа

_ Г иу, у> 0,

хх~\иуу, У < 0

в области О. = {(ж, у) : —а < у < ¡3, 0,ж < а}, где а и /3 - положительные величины.

В задачах ¿х, ¿2 и 5з - на гиперболических частях границы ¿Ю смешанной области О задаются условия Дирихле, а на нехарактеристических частях параболической части границы - условие Дирихле - в случае задачи ¿х, условие Неймана - в случае задачи 52 и условие Самарского - в случае задачи 5з.

Глава 1

О некоторых дифференциальных уравнениях состояния и переноса дробного порядка

§1.1 О дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью.

Для анализа важных в естествознании и в технике явлений вводят понятие сплошной или непрерывной среды. В каждой точке х = {х\,х2,х$) сплошной среды, заполняющей некоторую область пространства Евклида К3, по определению существует вектор скорости д — (?1, <?25 <?з) и вектор ускорения dq[dt.

Состояние сплошной среды считается известным, если в каждой его точке жив каждый момент времени £ будут однозначно определены вектор скорости д = д(х, £), давление р = р(х, £) и плотность р = р(х, £) как функции точки х и времени I.

Характеристики сплошной среды, заполняющей область Пс13 связаны, как правило, уравнением Новье-Стокса:

+ V? = V- А д,

(1.1.1)

уравнением неразрывности:

+ <Иьрд = О,

уравнением состояния (замыкающим уравнением):

Р{р,р,д,х^) = 0.

(1.1.2)

(1.1.3)

Здесь:

(1.1.4)

- оператор Гамильтона;

йд дд

(1.1.5)

g • у - конвективное произведение, которое есть скалярное произведение на-бла оператора у = grad на направление q; divpq = у • pg, Л = div grad -оператор Лапласа; fj, - коэффициент вязкости сплошной среды; F - некоторый оператор, который задает состояние среды и может быть дифференциальным [1]. Известно, что скалярное произведение двух векторов у и / = (/ь /2, /з) является дивергенцией от вектора /:

з

¿=1 3

В случае упругой сплошной среды замыкающее уравнение (1.1.3) имеет вид

F(p,p) = 0 (1.1.7)

и оно взаимооднозначно связывает давление р и плотность р. Наиболее характерным примером такой связи является следующая формула

р = а + 6/Л (1.1.8)

где постоянные х, а и b таковы, что j-p > 0.

Равенство (1.1.7), означает, что если давление одинаково в любых двух точках, то плотность также одинакова в этих двух точках, независимо от того, имеет ли это место в один момент времени или в разные моменты (см. [1], с. 17). я

Для совершенного газа, который не обязательно является идеальным (т.е. лишенным вязкости) уравнение состояния Клайперона имеет вид

p = gRTp, (1.1.9)

где д - ускорение силы тяжести, R - газовая постоянная единицы массы, Т

- абсолютная температура. Ясно, что (1.1.9) следует из (1.1.8) при а = 0 Ь = дКГ.

Движение сплошной среды называется адиабатической, если

7 = const >1, (1.1.10)

Ро \Ро J

гдеро и ро - давление и плотность, соответствующие состоянию покоя q = 0, 7

- отношение удельных теплоемкостей, для сухого воздуха имеющее значение 1, 405.

Простейшая форма замыкающего уравнения получается из (1.1.8) при Ъ — 0. Это случай несжимаемой жидкости.

При адиабатическом движении сжимаемой жидкости предполагается, что в каждой частице не происходит ни притока, ни оттока тепла и исключается теплообмен между соседними частицами.

Одной из центральных проблем в теории сплошных сред с памятью является проблема корректного выбора замыкающего уравнения. Для его получения часто пользуются законами термодинамики, уравнениями энергии, которые справедливы всегда, независимо от того, принята ли гипотеза об адиабатическом течении или гипотеза упругой среды.

Пусть: ир = {р : р > 0}; Ур = {р : р > 0}; - собственное подмножество декартова произведения Ур х (7р. ^

Бинарное отношение из входного объекта Ур во входной объект 1/р является системой вход-выход (см. рис. 1.1.1)

р SP р р

Рис. 1.1.1

Примем замыкающее уравнение (1.1.3) (в частности (1.1.7) или (1.1.8)) за уравнение состояния системы и последнюю отождествим с понятием связи, которая означает взаимодействие (в том числе синергетическое [3]) входного Ур и выходного ир объектов.

Определение 1.1.1. Вектор ги = (и, у) с неотрицательными компанен-тами и и V назовем синергетическим, если существуют такие линейные дифференциальные операторы и с областями определения и

Б(Ь2) и также обратимые отображения и —> (р(и) 6 ^(¿1) и V —» что

Ьцр{и) = Ь2ф(ь).

Это определение принадлежит A.M. Нахушеву [2] (см. стр. 18). При фиксированной точке х € П систему Sg, будем считать состоящей из синергетических векторов w = (р, р). Другими словами, будем предполагать, что любой элемент (р, р) системы S? является синергетическим вектором. Определение 1.1.2. Пусть:

г(-а) J (t-r)«+l' а ^ U>

Ф(£), а = 0,

а > 0

- дробный интеграл порядка —а при а < 0 и дробная производная порядка а при а > 0 от функции Ф(т); Г(;г) - гамма-функция Эйлера; [а] - целая часть а;

Следуя A.M. Нахушвву уравнение

Ва(а, Ь, Ф) = ЩФ(т) - аФ(£) + 6=0,

где a G]0,1], а = a(t), b = b(t) - заданные непрерывные функции аргумента t > 0 назовем обобщенным уравнением Бернулли.

Пусть ip(p) и ф(р) как функции времени t имеют при t > 0 дробную производную порядка а €]0,1], а как функции р и р обратимы для почти всех р > 0 и р > 0.

Определение 1.1.3. Уравнение

Ва(а1,Ь1;(р)р = Ва(а2,Ь2]Ф)Р, (1.1.11)

где ai, bx, а2 и b2 - заданные величины, назовем уравнением состояния сплошной среды.

По определению система Sg с уравнением состояния (1.1.11) является квазилинейной, одномерной системой вход-выход, а упорядоченная пара w= (р,р) - синергетическим вектором, (см. [2]).

При а = 1 оператор = ^ и уравнение (1.1.11) записывается в виде

—(р{р) - aiv?(p) + Ьх = Qpl>{p) ~ а2ф(р) + Ъ2. (1.1.12)

Пусть Wo = (ро, ро) - равновесное состояние вектора w; т ип - неотрицательные числа"

Ф) = (рь/рГ, ф(р) = (ро/рТ- (1.1.13)

Тогда уравнение состояния (1.1.12) примет следующий вид /ро^Гт^р h f Р\т] i PoY \пдР,„ i f Ро \ n , 1/П

У Ьа+а1_б1У Г У bat (7] J (1114)

Справедливость равенства (1.1.14) проверяется непосредственным вычислением, подставляя (1.1.13) в (1.1.12).

Уравнения состояния (1.1.8) - (1.1.10) являются частными случаями (1.1.14). Например, пусть т — 1, аг = 0, Ь\ = 0, а2 = 0, Ь2 = 0, п — 7. Тогда из (1.1.14) имеем

Ро1ф = (PoVldp ppdt \р J 1о dt'

или

Следовательно,

д_ dt

Ро

L Р

(1.1.15)

т.е.

= и>(х).

(1.1.16)

Ро_(Ро р \р,

Из (1.1.16), в случае, когда ш(х) = 0, получаем (1.1.10). Последнее означает, что движение сплошной среды в соответствии с уравнением состояния (1.1.15) будет адиабатическим, если с этим уравнением связать начальное условие

(1.1.17)

Ро L Р

0.

t=o

Условие (1.1.16) обращает со(х) в нуль.

Пусть b = b(x, i) - функция, которая в любой момент времени t совпадает с правой (левой) частью равенства (1.1.14). Тогда из (1.1.14) заключаем, что функции и = v = удовлетворяют уравнению Бернулли

Qu

-^ = amu-pmum+1, (1.1.18)

Ul)

Q¿=env-\nvn+1, (1.1.19)

где mam = -au т/Зш = — b - bu nen - -a2, n\n = -b- b2.

В случае, когда m — 1, n = 1 уравнения (1.1.18) и (1.1.19) задают логистический закон изменения параметров и и v сплошной среды.

Итак, если плотность и = р/ро сплошной среды меняется по обобщенному логистическому закону (1.1.18), то и соответствующее ей давление v — р/ро подчиняется обобщенному логистическому закону (1.1.19).

Если в (1.1.11) а ф 0,1, то класс уравнений вида (1.1.11) является качественно новым классом дифференциальных уравнений состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью.

Пр�