Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

I Плотникова Юлия Александровна

Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ ^^

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Стерлитамак - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

заслуженный деятель науки РФ, профессор В. Ф. Волкодавов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор О. А. Репин, кандидат физико-математических наук, доцент А. X. Исянгильдин.

Ведущая организация: Казанский государственный

университет

Защита состоится г. часов ЗДлинут на засе-

дании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г.Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.- мат. наук, доцент Кризский В.Н.

¿03 W&P

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными в настоящее время является одним из важнейших разделов современного математического анализа и находит обширные приложения в различных разделах механики и физики, в частности, в аэро- и гидродинамике, теории упругости и акустики, в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, трансзвуковой газодинамике, теории пластичности.

Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Основополагающие результаты по уравнениям смешанного типа были получены в начале XX века в работах С.А. Чаплыгина, Ф. Трикоми, С. Геллерстедта. В 1945 году Ф.И. Франкль впервые показал приложения краевых задач для уравнений смешанного типа в трансзвуковой газовой динамике.

В дальнейшем существенный вклад в развитие теории смешанных уравнений внесли математики К.И. Бабенко, A.B. Бицад-зе, В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джураев, В.И. Жегалов, Г.Д. Каратопраклиев, А.И. Кожанов, Т.Ш. Кальменов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.А. Лаврентьев, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, P.C. Хайрул-лин, Л.И. Чибрикова, S. Moravetz, М. Protter и др.

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, а также поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века был опублико-

3

РОС. НЛЦКЧНА.ПЪНЛЯ

БИЬ 'f' - К. А C.iii-.spSjipf

ван ряд статей, среди которых следует отметить работы A.B. Би-цадзе, A.A. Самарского, В.И. Жегалова, Г.Д. Каратопраклиева, A.M. Нахушева, М.М. Смирнова.

Одну из задач под названием Дг для вырождающихся уравнений гиперболического типа поставил В.Ф. Волкодавов1 в 1973 году. Задача Дг состоит в отыскании решения гиперболического уравнения, когда искомое решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. В дальнейшем задача Дг изучалась в работах A.A. Андреева, В.З. Вагапова, JI.A. Лаза-ренко, Н.Я. Николаева, И.Н. Родионовой, P.C. Хайруллина и др.

В последние годы В.Ф. Волкодавовым2 рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа, линия изменения типа которых является их характеристикой. В постановках таких задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с дробной производной из области гиперболичности.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условия сопряжения содержат производные дробного порядка от искомой функции. Такие условия сопряжения позволяют обосновать корректную постановку краевых задач (в том числе Дг) в случае, когда склейка осуществ-

1 Андреев A.A., Волкодавов В.Ф. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения // Волжский математический сборник. - 1973. -Вып. 23. - С. 102-111.

2 Волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: издательство Инст. матем. - 2002. - С. 41-49.

ляется на характеристической линии уравнения.

Целью настоящей работы является доказательство существования и единственности решения краевых задач с условиями сопряжения, содержащими производные дробного порядка от искомой функции, для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием классических методов решения дифференциальных уравнений и аппарата специальных функций гипергеометрического типа. При доказательстве существования и единственности решения краевых задач использовав лись общие решения, методы Римана, Римана - Адамара и Грина, теория интегральных уравнений Фредгольма II рода.

Научная новизна. 1. Доказаны характеристические принципы локального экстремума для уравнений гиперболического типа.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике, содержащими производные дробного порядка от искомой функции.

3. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с условием сопряжения, содержащим производную дробного порядка от искомой функции, на характеристической линии изменения типа.

4. Для уравнения смешанного типа доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи, в постановке которой условие сопряжения, заданное на нехарактеристической линии изменения типа, содержит производную дробного порядка от искомой функции.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач с условиями сопряжения, содержащими дробные производные от искомой функции, для уравнений второго порядка.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались:

- на областном семинаре по дифференциальным уравнениям ( под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2000 - 2004 г.г.);

- на V международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 27 июня - 4 июля 2001 г.);

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, СамГАСА, 26 - 31 мая

2002 г.);

- на научных семинарах кафедры математического анализа, кафедры прикладной математики и механики и кафедры теоретической физики физико - математического факультета СГПА (г. Стерлитамак, 2004 - 2005 г.г.);

- на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (г. Уфа, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах [1], [3], [8] и [10] соавтору В.Ф. Волкодавову принадлежат постановки задач. В работе [4] соавторам O.K. Быстровой, В.Ф. Волкодавову принадлежит постановка задачи. В работе [12] автору диссертации принадлежат исследования по краевой задаче для гиперболического уравнения в нижней полуплоскости.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. Объем диссертации 113 страниц. Библиография 62 наименования.

Основное содержание работы

Во введении дается краткий исторический обзор, указана актуальность темы исследований, изложено краткое содержание ра" боты, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава посвящена решению краевой задачи для частных случаев уравнения

Lu = их у + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0 (1)

на множестве G = G- (J (7+, где

G- - {(х, у)\ - Л < х < 0, -х <у <h}, G+ = {(х,у)\0 < х < h, 0 < у < h - х}.

Рассматриваются следующие частные случаи уравнения (1):

Ь(х, у) = с(х, у) = 0, а(х, у) 0; (/)

Ь(х,у) = с(х,у) = 0, а(х,у) = 0 < £ < 1; (II)

х + у

а(х, у) = с(х, у) = 0, Ь(х, у) ф 0; (III)

а(х,у) = с{х,у) = 0, Ь(х,у) = , 0 < а < 1; (IV)

X + у

а(х, у) = Ъ(х, у) = 0, с(х, у) = с{у) ф 0. (V)

П. 1.2 содержит решение краевой задачи для случаев (I) и (II) уравнения (1) в следующей постановке.

Задача Дг- Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) и(х, у) £ C(G) f| C2(G);

2) Lu = 0 на множестве G;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:

u(x,h)=u;(x), xe[-h,0), (2)

U(i,0)=^(I),I6[0,/I]; (3)

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения:

lim v-(x,y) = q{y) ■ lim v+{x,y), у € (0,/i), (4)

X—^—О t-^+O

где

X

v-(x,y) = {x-t)~x'u-{t,y)dt, -v

h-y д f

v+(x,y) = — (t-x)~Mu+{t,y)dt,

X

ui(x), ф{х), q(y) - заданные достаточно гладкие функции, 0 < К < 1, г = 1,2.

Задача Д2 для случаев (I), (II) уравнения (3) исследована следующим образом. Используя решения и-{х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса в областях и G+ с данными (2),

«(0,У) = ¥>(»). У € [О, Л], (5)

и (3), (5) соответственно, найдены выражения для функций

lim i/-(x,y) и lim у). Принимая во внимание условие со-я—0 z-H-0

пряжения (4), получаем выражение для функции tp(y) вида:

^ = я(у)у^д1%-у)^ (6)

где функция д(у) € С[0, Л] и зависит только от краевых функций и>(х) и ф(х). Используя выражение (6) и решения и^(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса, получаем решение поставленной задачи в явном виде. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Если функции и>(х) € С1 [-/г, 0], ф(х) в С^О, h], а(х,у) G C(G), ах(х,у) € C(G), q(y) £ СМП^М, QÍy)yXl + (h — у)х* ф 0, то существует единственное решение задачи Д2 для случая (I) уравнения (1).

Теорема 2. Если функции ш{х) £ С^-^О] ПС^(-/г;0), и"{х) е L[-h,0], q(y) € C[0,h}C)C\0,h), q(y)yx>+(h-y)x*¿0, 4>(x) £ С1 [0, h]; то существует единственное решение задачи Дг для случая (II) уравнения (1).

В п.п. 1.3 - 1.5 решается краевая задача для случаев (III) -(V) уравнения (1) в следующей постановке.

Задача Д2. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1)и(х,у)еС(С)Г]С2(ОУ,

2) Lu = 0 на множестве G;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (2) и (3);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения:

lim и-(х,у) = т(у) ■ lim и+(х,у), у € (О, К),

х—►—О х—>+0

где

X

/*-(*,») = ^ J(x-t)-x4-tyiu-(t,y)dt, -у

h—y

fi+(x,y) = J^ У (t-xr^ftt+it.yJA,

z

У>(х), m(y) - заданные достаточно гладкие функции, О < Aj < 1, Ai < тч, г = 1,2.

Задача Аг для указанных случаев уравнения (1) исследована следующим образом. Используя решения и-(х, у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса в областях G- и G+ с данными (2), (5) и (3), (5) соответственно, найдены представления для функций lim ß-(x,y) и lim (х,у). Используя полученные выраже-

х~¥— О х-Н-0

ния, доказан характеристический принцип локального экстремума. Приведем формулировку принципа для случая (Ш) уравнения (!)•

Лемма 1. Пусть: 1) функция и{х,у) £ C(G_) ix является решением уравнения (III) е области G_; 2) u(x,h) = w(x) = 0; 3) b'y(x,у) < 0 в G-. Тогда, если и(0,у) = ip(y) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ : 0 < £ < h, то

lim <0(> 0).

х—*—0

Доказательство единственности решения задачи Дг для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (1) проведено на основании установленного характеристического принципа локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма II рода относительно функции <р'(у) с непрерывным в целом ядром, а именно, с ядром, имеющим одну линию конечного разрыва з = у. Разрешимость полученного уравнения следует из теоремы единственности решения задачи Дг- Для каждого из указанных случаев уравнения (1) сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дг. Приведем, например, теорему для случая (IV).

Теорема 3. Если функции ш(х) е С1[-Л,0], ф{х) € С1 [О, К\, ■ф(Н) = 0, т(у) € С1 [О, Л], тп(у) > 0 для любого у е [О, Л], г\ — Хх — а > 1, Г2 — Х2 ^ 1, то существует единственное решение задачи Дг для случая (IV) уравнения (1).

Во второй главе рассматривается краевая задача для уравнения

0 _ | ихх + иуу - Хи, если у > О,

I иху + Хи, если у < О, А > О,

на множестве И — £)„ у £>+, где £>+ - односвязная область, ограниченная простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках .4(0,0), В(1,0), и отрезком АВ\ £>_ = {(х,у)|0 < х < 1, -х < у < 0}.

В п. 2.1 приводятся постановка задачи V и вспомогательные утверждения.

Задача V. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) и(х>у) 6 C(D) (^(^(D- |JD+);

2) u(x,y) - решение уравнения (7) в областях и D+;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:

u | г = ¥>(«),«€ [ОД (8)

I - длина кривой Т, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В,

и(х,-х) = f(x), х £ [0,1];

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения:

Ътоиу(х,у) = Ь(х) • Н-(х), х е (0,1),

где

v

Н-(х) = lim f (у - t)-"(-t)su(x, t)dt, 0 < р < 1, р < S, У-+-о ду J

—X

b(x), ip(s), f(x) - заданные достаточно гладкие функции.

П. 2.2 содержит доказательство теоремы единственности решения задачи V. Доказательство проведено с применением рассмотренного в этом же пункте характеристического принципа локального экстремума.

В п. 2.3 рассмотрена задача Хольмгрена для уравнения (7) в области D+. В п. 2.4 доказывается существование решения задачи V в случае, когда D+ ограничена кривой Г = Го : у = \/х(1 — х). Вопрос существования решения задачи V эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода, имеющего вид

1

т'(х) = I -r'{s)K(x,s)ds + Q(x),

где т(х) = и(х, 0), ядро К(х, $) имеет слабую особенность на s = х и х = 1, свободный член Q(x) € С(0,1) Р)£[0,1]. В силу теоремы единственности решения задачи V и альтернативы Фредгольма полученное интегральное уравнение разрешимо и притом единственным образом. Доказано следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть: 1) функция (р(х) £ С[0,1] и удовлетворяет условию Гельдера с показателем а £ [1/2,1] в достаточно малой окрестности точек х = 0 и х = 1/ 2) функции f(x) €

С[0,1] ПС1 (0,1), /'(«) е ¿[0,1]; 3) Г = Го : у = у/х(\ - х), х е [0,1]; 4) Цх) = —1, 0 < А < 1п2, р < 8 <2 + р. Тогда существует единственное решение задачи V.

В третьей главе рассматривается аналог задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с вещественным параметром

ихх + sgny ■ иуу - Xu = 0, Л > 0, (9)

в области Е, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами .4(0,0), В(1,0), и отрезками характеристик АС и ВС уравнения (9) при у < 0. Части области Е, в которых у > 0 и у < 0, обозначим соответственно через Е+ и £L.

Задача Т. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1)и(х,у)€С(Ё)ПС2(Е-[)Е+У,

2) и{х,у) решение уравнения (9) в областях u Е+;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (8) и

и(х, -х) = в(х), х € [0,1/2];

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения:

lim uv(x,y) = a(x) • v~(x), x € (0,1),

у—H-0

где V- (x) в характеристических координатах £ = x + y,r¡ = x — y имеет вид

í

= lim ~ ¡{i - t)-pu{t,ri)dt, 0 < р < 1, t/-*Í+o aÇ J о

<p(s), в(х), а(х) - заданные достаточно гладкие функции.

Доказательство единственности решения задачи Т основывается на принципе локального экстремума. Указано достаточное условие на параметр Л уравнения (9), при котором справедлив принцип локального экстремума.

Вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е+ ограничена кривой Г = Г0 : у = у/х(1 — х), он эквивалентно сводится к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма П рода с ядром со слабой особенностью. В силу теоремы единственности решения задачи Т полученное интегральное уравнение разрешимо и притом единственным образом. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть 1) функция ip(x) € С[0,1] и удовлетворяет условию Гелъдера с показателем a G [1/2,1] в достаточно малой окрестности точек х = 0 и x = 1] 2) Т — То : у = у/х(1-х), x G [0,1]; 3) функции в(х) G С[0,1/2] f) С2(0,1/2), 9'(х) 6 L[0,1/2]; 4) а(х) = 1, 0 < А < -41пр, 0 < р < 1. Тогда существует единственное решение задачи Т.

Результаты, выносимые на защиту. 1. Решение краевой задачи с данными на параллельных характеристиках с условием сопряжения с дробными производными для случаев (I) - (V) уравнения (1).

2. Обоснование корректности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с условием сопряжения, содержащим производную дробного порядка на характеристической линии изменения типа.

3. Решение краевой задачи типа Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе, в постановке которой условие сопряжения содержит производную дробного порядка.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тему исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку, а также членам кафедры математического анализа СамГПУ за помощь.

Публикации по теме диссертации

1. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для частного вида уравнения Эйлера-Дарбу задача с заданием искомого решения на характеристических сторонах параллелограмма // 54-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. - Самара, 2000. - 4.1 - С. 21 - 26.

2. Илюшина Ю.А. Для одного уравнения гиперболического типа задача Д2 в параллелограмме / / 54-ая науч. конференция СамГПУ: Тез. докл. - Самара, 2000. - 4.1 - С. 57 - 61.

3. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Задача Дг для уравнения гиперболического типа с постоянным коэффициентом с сопряжением пределов дробного дифференцирования на ха-

рактеристике уравнения // Математика. Образование. Экономика. Экология: Междисциплинарный семинар "Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках". Тез. докл. IX междунар. конф. - Чебоксары: изд-во Чувашского ун-та, 2001. - С. 14.

4. Волкодавов В.Ф., Быстрова O.K., Илюшина Ю.А. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с постоянным коэффициентом в параллелограмме со специальными условиями сопряжения на характеристической диагонали параллелограмма // Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой: Труды межд. науч. конф. - Самара: Самарская гос. эконом, акад., 2001. - С. 187 - 189.

5. Илюшина Ю.А. Задача Д2 для одного уравнения гиперболического типа с непрерывным коэффициентом // Труды Ма-тем. центра имени Н.И.Лобачевского/Казань: изд-во ДАС, 2001. - С. 114 - 115.

6. Илюшина Ю.А. Задача Д2 для двух частных случаев уравнения гиперболического типа общего вида с постоянными коэффициентами // 55-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. -Самара, 2001. - С. 45 - 48.

7. Илюшина Ю.А. Задача Д2 со специальным условием сопряжения на характеристике уравнения гиперболического типа // Труды Матем. центра имени Н.И.Лобачевского/Казань: Унипресс. - 2001. - Т.11 - С. 142 - 145.

8. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гипербо-

лического типа и его применение // Изв. ВУЗов. Математика - 2002. - №■ 4. - С. 13 - 17.

9. Илюшина Ю.А. Единственность решения задачи Т" для одного уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды междунар. науч. конф. 26 -31 мая 2002 г. - Самара: СамГАСА, 2002. - С. 152 - 155.

10. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи Т с сопряжением производной по нормали с дробной производной // Изв. ВУЗов. Математика - 2003. - №- 9. - С. 6 - 9.

11. Илюшина Ю.А. Аналог задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с вещественным параметром // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды междунар. конф. (24-28 июня 2003 г., Стерлитамак). - Уфа: Гилем, 2003. -Т.2. - С. 66 - 71.

12. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B., Илюшина Ю.А. Для уравнения гиперболического типа задача с производными по нормалям на двух частях границы рассматриваемого множества и единственность ее решения // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды всероссийской науч. конф. 26 - 28 мая 2004 г. - Самара: СамГТУ, 2004. - Ч.З. -С. 43 - 48.

Подписано в печать Формат 60 х 84i/16. Гарнитура "Time". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

РЫБ Русский фонд

2005-4 41965

Введение

1. Краевая задача для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике

1.1. Вспомогательные утверждения

1.2. Задача Дг для уравнений (I) и (II), |1(,,

1.3. Задача для уравнения (III) i k

1.4. Задача Д2 для уравнения (IV).

1.5. Задача Д2 для уравнения (V).

2. Краевая задача для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа .,

2.1. Постановка задачи К. Вспомогательные утверждения , . i

2.2. Единственность решения задачи v j

2.3. Задача Хольмгрена . .а

2.4. Существование решения задачи V . ,.

3. Краевая задача для уравнения смешанного типа со специальным условием сопряжения.~

3.1. Постановка задачи Т. Вспомогательные утверждения в

3.2. Единственность решения задачи Т.~

3.3. Существование решения задачи Т

Теория дифференциальных уравнений с частными производными, берущая начало с работ Леонарда Эйлера [57], и в настоящее время является одним из важнейших разделов современного математического анализа и находит обширные приложения в различных разделах механики и физики, в частности, в аэро- и гидродинамике, теории упругости и акустики, в без-моментной теории оболочек с кривизной переменного знака, трансзвуковой газодинамике, теории пластичности. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [54], Ф.И. Франкля [59], [58], C.JL Соболева [51], [52], И.Г. Петровского [39], М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе [26], Л. Берса [5], К.И. Бабенко [3] и других.

Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Впервые внимание на практическую значимость уравнений смешанного типа обратил С.А. Чаплыгин в 1902 году в работе "О газовых струях". Дальнейшие теоретические основополагающие результаты были получены Ф. Трикоми [54], который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения уихх + иуу = 0, (1) и С. Геллерстедтом [61], [62], развившем результаты Ф. Трикоми для уравнения у2тп+1ихх + иуу = 0. В 1945 году Ф.И. Франкль [56] впервые показал приложения краевых задач для уравнений смешанного типа в трансзвуковой газовой динамике.

М.А. Лаврентьевым [26] была предложена более простая модель уравнения смешанного типа ихх + sgny • иуу = 0, (2) для которого технические затруднения, связанные с вычислениями, минимальны по сравнению с аналогичными задачами для уравнения (1).

А.В. Бицадзе [7] был исследован ряд краевых задач для уравнения (2), в том числе и задача Трикоми, при более общих предположениях для кривой ег, ограничивающей область в верхней полуплоскости. В дальнейшем существенный вклад в развитие теории смешанных уравнений внесли математики К.И. Бабенко, В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джура-ев, В.И. Жегалов, Г.Д. Каратопраклиев, А.И. Кожанов, Т.Ш. Кальменов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, О.А. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Сала-хитдинов, М.М. Смирнов, Р.С. Хайруллин, Л.И. Чибрикова, S. Moravetz, М. Protter и др. Отметим, что подробную библиографию работ по уравнениям смешанного типа можно найти в монографиях [7], [48].

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по з краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века был опубликован ряд статей, среди которых следует отметить работы А.В. Бицадзе, А.А. Самарского, В.И. Жегалова, Г.Д. Каратопраклиева, A.M. Нахушева, М.М. Смирнова.

Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа под названием Д2 поставил В.Ф. Волкодавов. Задача Д2 состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Постановка и решение задачи Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые были опубликованы в работе [1]. Решение задачи Д2 в случае различных параметров уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу приведено в работах В.Ф. Волко-давова, Н.Я. Николаева [16], [38], Р.С. Хайруллина [60], В.З. Вагапова [10], O.K. Быстровой [9], Г.Н. Зайнуллиной [20] и др. Задача Д2 изучалась в ряде работ в случае неограниченных областей и различных условий склейки. Сюда относятся работы J1.A. Лазаренко [27], И.Н. Родионовой [43] и других авторов.

В последние годы В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа, линия изменения типа которых является их характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка из области гиперболичности. Отметим, что первые результаты в данном направлении были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [15], где исследуется краевая задача для уравнения

Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условия сопряжения содержат производные дробного порядка от искомой функции. Такие условия сопряжения позволяют обосновать корректную постановку краевых задач (в том числе Д2) в случае, когда склейка осуществляется на характеристической линии уравнения.

Первая глава посвящена решению краевой задачи для частных случаев уравнения

0 =

Uxx + Uyyi если у > 0, иху, если у < 0.

Lu = Uxy + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0 на множестве G = G [J G+, где

G- = {(яг, у)\ — h < х < 0, — х < у < h}, 4

G+ = {(я, у)\0 < х < h, 0 < у < h - х}. Рассматриваются следующие частные случаи уравнения (3):

Ь{х, у) = с(х, у) ее 0, а(х, у) ф 0; (7)

Ь(х, у) = с(х, у) ее О, а(х, у) = О < р < 1; (//) х + у а(х, у) = с(х, у) = О, Ь(х, у) ф О; (III) а(х, tj) = с(х, ?/) = О, у) = —, О < а < 1; (/V) ж + у у) = Ь(х, у) = О, с{х, у) = с{у) ф О. {V)

П. 1.2 содержит решение краевой задачи для случаев (I) и (И) уравнения (3) в следующей постановке. Задача Д2. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) е С^ПСЧС), иху е C(G);

2) Lu = 0 па множестве G;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям: и(х, К) = uj(x), х е [—/г, 0], (4) и(х, 0) = ip{x), х е [О, Л]; (5)

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения: lim v-{x,y) = q(y) • lim v+(x,y), у <S (0, h), (6) х—0 х—>+0 где X д I х,у) = — I (x-t)-^u(t,y)dt,

-у h-y д С / ~ x)-X2u+(t, y)dt, cj(ж), ф{х), ~ заданные достаточно гладкие функции, 0 < Лг- < 1, г = 1,2.

Задача Дг для случаев (I), (II) уравнения (3) исследована следующим образом. Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса в областях G- и G+ с данными (4),

0,0) =¥>(у), У е [О, Л], (7) 5 и (5), (7) соответственно, найдены выражения для функций lim V-(x,y) х—*—0 и lim v+(x, у). Принимая во внимание условие сопряжения (6), получаем х—>+0 выражение для функции (р(у) следующего вида: где функция д(у) G С[0, h] и зависит только от краевых функций ш(х) и ф{х). Используя выражение (8) и решения и^(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса, получаем решение поставленной задачи в явном виде. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Если функции ш(х) Е Сг1[—Л-,0], ф{х) Е Сх[0,/г], а(х,у) € C(G), ах(х,у) е C{G), q(y) € С[0, h] + (h- y)x* ф 0, то существует едипствсппое решение задачи Д2 для случая (I) уравнения (3).

Теорема 2. Если функции и{х) € C1[—h, 0] f| С2(-/г; 0), ш"{х) в L[~h, 0], q(y) е С[0, h] П Сг{0, h), q{y)yА' + (h - у)х* ф 0, ф(х) е С1 [0, Л], то существует единственное решение задачи Д2 случая (II) уравнения (3).

В п. 1.3 - п. 1.5 решается краевая задача для случаев (III) - (V) уравнения (3) в следующей постановке. Задача Д2. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) € C{G)f\Cl(G), иху 6 C(G);

2) Lu = 0 на множестве G;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (4) и (5);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряоюения: где limji-(x,y) = т(у) • lim и+(х,у), у е (0,h), г—*—0 х—»+0 х

-у h-y д С fi+(x,y) = — J (t-x)-x4r*u+(t,y)dt, х uj{x), ф{х), m(y) - заданные достаточно гладкие функции, 0 < Xi < 1, Лг- < г if г — 1,2.

Задача Д2 для указанных случаев уравнения (3) исследована следующим образом. Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса в областях G- и G+ с данными (4), (7) и (5), (7) соответственно, найдены представления для функций lim /л^(х,у) и lim fi+(x, у). Используя х—»-0 х~<•+0 полученные выражения, доказан характеристический принцип локального б экстремума. Приведем формулировку принципа для случая (III) уравнения (3).

Лемма 1. Пусть: 1) функция и(х,у) G C{G-) и является решением уравнения (III) в области G-; 2) u(x,h) = ы{х) = 0; 3) Ь'у(х,у) < 0 в

G-. Тогда, если и(0,у) = <р(у) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ : 0 < £ < h, то lim < 0(> 0). х—►—0

Доказательство единственности решения задачи Д2 для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (3) проведено на основании установленных характеристических принципов локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма II рода относительно функции <р'{у) с непрерывным в целом ядром, а именно, с ядром, имеющим одну линию конечного разрывав = у. Разрешимость полученного уравнения следует из теоремы единственности решения задачи Д2. Для каждого из указанных случаев уравнения (3) сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2. Приведем, например, теорему для случая (IV).

Теорема 3. Если функции си(х) £ С1{— h, 0], ф(х) е О1 [0, /г], i}j{h) — 0, т(у) £ С1 [0, h], т(у) > 0 для любого у G [0, h], r\ — Ai — а > 1, 1*2 — А2 ^ 1, то существует единственное решение задачи Дг для случая (IV) уравнения (3). Во второй главе рассматривается краевая задача для уравнения

Q | Uxx + иуу - А и, если у > 0, . .

1 иху 4- А и, если у < 0, А > 0, на множестве D = D- \JD+, где D+ - односвязная область, ограниченная простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Л(0,0), £?(1,0), и отрезком АВ\ D = {(ж,у)|0 < х < 1,— х < у < о}.

В п. 2.1 приводятся постановка задачи V и вспомогательные утверждения.

Задача V. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) е C(D)f)C\D)r)C2(D+), иху Е C(£L);

2) и{х,у) - решение уравнения (9) в областях и D+;

3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям: и\Г = ф), *€[0Д (10)

I - длина кривой Г, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки

В, и(х, -х) = f{x), X е [0,1]; 7

4) и{х,у) подчиняется условию сопряжения: lim иу{х,у) = b{x) • Н-(х), х € (0,1), у->+о где у

Я(ге) = J {у- t)-p{-t)5u(x,t)dt, О < р < 1, р < 6, X b(x), <p(s), f(x) - заданные достаточно гладкие функции.

П. 2.2 содержит доказательство теоремы единственности решения задачи V. Доказательство проведено с применением рассмотренного в этом же пункте характеристического принципа локального экстремума.

В п. 2.3 рассмотрена задача Хольмгрена для уравнения (9) в области D+. В п. 2.4 доказывается существование решения задачи У в случае, когда D+ ограничена кривой Г = Го : у = — х). Вопрос существования решения задачи V эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода, имеющего вид 1 т'(х) = J r'(s)K(x, s)ds + Q(x), о где т(х) = и(х, 0), ядро К(х, s) имеет слабую особенность наs = х и х = 1, свободный член Q{x) € С(0,1) f^|Z/[0,1]. В силу теоремы единственности решения задачи V и альтернативы Фредгольма полученное интегральное уравнение разрешимо и притом единственным образом. Доказано следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть: 1) функция <р{х) G С[0,1] и удовлетворяет условию Гельдера с показателем a € [1/2,1] в достаточно малой окрестности точек х = 0 их = 1; 2) функции f{x) е С[0,1] П^Ч0* 1), f'(x) € L[ 0,1]; 3) Г = Г0 : у = у/х(\-х)у х € [0,1]; 4) Ь(х) = -1, 0 < А < In 2, р < 6 < 2 + р.

Тогда существует единственное решение задачи V. В третьей главе рассматривается аналог задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с вещественным параметром

Uxx + sgny • иуу — Aw = 0, Л > 0, (11) в области Е, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами ^4(0,0), В( 1,0), и отрезками характеристик АС и ВС уравнения (11) при у < 0. Части области Е, в которых у > 0 и у < 0, обозначим соответственно через Е+ и Е-.

С.П. Пулькиным в работе [42] в качестве частного случая уравнения Лаврентьева - Бицадзе общего вида было рассмотрено уравнение ихх + sgny • иуу + с(х, у)и = 0, (с(х, у) < 0 при у > 0), 8 для которого доказана однозначная разрешимость задачи Трикоми при малом с(х, у). В.И. Жегаловым [19] была получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения (11) при А > 0. Там же и была показана идея сведения этой задачи к задаче Трикоми для уравнения (2).

Ряд работ Е.И. Моисеева посвящен исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. В монографии Е.И. Моисеева [33] получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения (11), когда А - комплексный параметр. Существование решения доказано методом разделения переменных. В статье [34] приведено решение задачи Трикоми для уравнения (11) при А € С в специальных областях.

Ряд работ К.Б. Сабитова и его учеников посвящен исследованию краевых задач для уравнения (11) (в случае, когда А - произвольное комплексное число). В работе К.Б. Сабитова [44] для уравнения (11), когда А е С, получена теорема единственности решения задачи Трикоми. В работах [45], [46] для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с числовым параметром рассматриваются задачи в области гиперболичности, изучаются вопросы корректности постановок. В статье К.Б. Сабитова, Н.Г. Шмелевой [47] при более слабых граничных условиях, чем в [19], доказаны существование и единственность решения задачи Трикоми для уравнения (11) при А £ С. Там же доказана обратимость интегрального представления решений указанного уравнения.

В работе М.Е. Лернера и О.А. Репина [29] для уравнения (2) исследуется краевая задача в областях с бесконечными многосвязными подобластями гиперболичности. Далее в этой работе в указанных областях исследуется краевая задача для общего уравнения Лаврентьева - Бицадзе

Uxx + sgnxuyy + Л(х, у)их + В(х, у)иу + С(х, у)и = 0.

Отметим также интересные результаты по исследованию одного класса краевых задач для уравнения Лаврентьева - Бицадзе, опубликованные в работе М.Е. Лернера [28].

В данной главе рассматривается аналог задачи Трикоми для уравнения (11) с условием сопряжения, отличающимся от условий склейки в перечисленных работах, а именно, с условием сопряжения производной по нормали из области эллиптичности с дробной производной из области гиперболичности. Приведем постановку задачи.

Задача Т. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х, у) е С(Ё) П С2(Е- и Е+);

2) и(х,у) решение уравнения (11) в областях Е- и Е+;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (10) и и(х, -х) = в(х), х е [0,1/2];

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения: 9 lim uy(x,y) = a(x) • v~(x), x € (0,1), y-»+o где v-{x) в характеристических координатах £ = x + y,r) = x — у имеет вид

О л

1/-(0= lim — ^-t)^u(t,V)dt, 0< р<1, о s), а(:с) - заданные достаточно гладкие функции.

Доказательство единственности решения задачиТ основывается на принципе локального экстремума. Указано достаточное условие на параметр Л уравнения (11), при котором справедлив принцип локального экстремума.

Вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е+ ограничена кривой Г = Г0 : у = л/х( 1 — х), он эквивалентно сводится к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода с ядром со слабой особенностью. В силу теоремы единственности решения задачи Т полученное интегральное уравнение разрешимо и притом единственным образом. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть: 1) функция ср(х) Е С[0,1] и удовлетворяет условию Гельдера с показателем а 6 [1/2,1] в достаточно малой окрестности точек х = 0 и х = 1; 2) Г = Го : у = \/а;(1 — х), х € [0,1]; 3) функции в(х) € С[0,1/2] П С2{0,1/2), в\х) € L[0,1/2]; 4) а{х) = 1, 0 < Л < —4 In р, 0 < р < 1.

Тогда существует единственное решение задачи Т.

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты, которые являются новыми.

1. Решение краевой задачи с условием сопряжения с дробными производными для случаев (I), (II) уравнения (3).

2. Доказательство характеристических принципов локального экстремума для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (3).

2. Доказательство теорем существования и единственности решения краевой задачи со специальным условием сопряжения на характеристике для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (3).

3. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа.

4. Доказательство теоремы существования и единственности решения аналога задачи Трикоми со специальным условием сопряжения для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с вещественным параметром.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [63] - [74]. В работах [63], [65], [70], [72] соавтору В.Ф. Волкодавову принадлежат постановки задач. В работе [74] автору диссертации принадлежат исследования ю по краевой задаче для гиперболического уравнения в нижней полуплоскости. В работе [66] соавторам В.Ф. Волкодавову, O.K. Быстровой принадлежит постановка задачи.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

- на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волко-давова (г. Самара, СамГПУ, 2000 - 2004 гг.);

- на V международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 27 июня - 4 июля 2001 г.);

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Самара, СамГАСА, 26 - 31 мая 2002 г.);

- на научных семинарах кафедры математического анализа, кафедры прикладной математики и механики и кафедры теоретической физики физико-математического факультета СГПА (г. Стерлитамак, 2004 - 2005 гг.);

-на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (г. Уфа, 2005 год).

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тему, постоянную помощь и внимание к работе и доктору физико - математических наук, профессору Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания. и

1. Андреев А.А., Волкодавов В.Ф. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения j j Волжский математический сборник. -1973. - Вып. 23. - С. 102 - 111.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа. Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Москва: АН СССР, 1951.

3. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи математических наук. 1953. - Т.8, №■ 2 (54). - С. 160.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. - Т.1 -296 с.

5. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

6. Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа // Некоторые проблемы математики и механики. М.: Наука, 1970.С. 112 119.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. - 164 с.

8. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. - Т. 185, № 4. - С. 739 - 740.

9. Вагапов В.З. Задачи Ai, Д2 для уравнений Эйлера-Дарбу в прямоугольных ограниченных областях // Классические и неклассические задачи для дифференциальных уравнений. Куйбышев: КГПИ, 1989. - С. 118 - 126.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. - 512 с.

11. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. Самара: Самар. пед. ин-т, 1994. - 31 с.

12. Волкодавов В.Ф., Куликова Н.А. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, №■ 12. - С. 1704 - 1707.

13. Волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с пределами производной по нормали и дробной производной по линии параболичности // Тр. Матем. центра имениН.И.Лобачевского/Казань: "Унипресс". 2001. - Т.11 - С. 44 - 48.108

14. Волкодавов В.Ф., Наумов О. Ю. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: издательство Инст. матем. - 2002. -С. 41 - 49.

15. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: Учеб. пособие к спецкурсу "Уравнения математической физики". Куйбышев: КГПИ, 1984. - 80 с.

16. Волкодавов В. Ф., Николаев Н.Я. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения. Самара: Изд-во "Самарский университет", 1992. - 100 с.

17. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки. Казань, 1962. - Т. 122, N° 3.С. 3- 16.

18. Жегалов В.И. Об одном случае задачи Трикоми // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: изд-во Казанского У-та, 1966. - Вып. 3. -С. 28 - 36.

19. Зайиуллина Г.Н. Задача для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе неограниченных функций // Изв. ВУЗов. Матем. 2003.3. С. 15 - 19.

20. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

21. Каратопраклиев Г.Д. Об одном обобщении задачи Трикоми // ДАН СССР. 1964. -Т. 158, №■ 2. - С. 271 - 274.

22. Кошляков Н.С., Глинер Э.В., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФ-МЛ, 1962. - 768 с.

23. Крикунов Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Казань: Издательство Казанского Университета, 1986. -148 с.

24. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Физматлит, 2002. -Т.2 - 424 с.

25. Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, №■ 3. - С. 373 - 376.

26. Лазаренко Л.А. Задача с ее обобщениями // Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев: КГПИ, 1988. - С. 106 - 113.

27. Лернер М.Е. О постановке и разрешимости одного класса краевых задач для уравнения Лаврентьева Бицадзе // ДАН СССР. -1991. - Т. 317, № 3. - С. 361 - 365.

28. Лернер М.Е., Репин О.А. Краевая задача для уравнений смешанного типа в областях с многосвязными подобластями гиперболичности // Сибирский математический журнал. 2003. - Т. 44, N2 1. - С. 160 - 177.

29. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980. 608 с.

30. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1968. - 347 с.

31. Михлип С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.- М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

32. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М: изд-во Моск. У-та, 1988. - 150 с.

33. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, №-1. - С. 93 - 103.

34. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. СПб: Лань, 1999. - 560 с.

35. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. - Т. 187, №■ 4. - С. 736 - 739.

36. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5, N- 1. - С. 44 - 59.

37. Николаев Н.Я. Задача Д£ для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами разных знаков в рассматриваемой области // Дифференциальные уравнения с частными производными. Куйбышев: КГПИ, 1983. - С. 8 - 12.

38. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.-.Физматгиз, 1961. 400 с.

39. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1937. -248 с.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752 с.

41. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // ДАН СССР. 1958. - Т. 118, №■ 1. - С. 38 - 41.

42. Родионова И.Н. Дг-задача для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу в правой полуплоскости // Классические и неклассические задачи для дифференциальных уравнений Куйбышев: КГПИ, 1989. - С. 135 - 138.

43. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. - 1986. -Т.22, №■ 11. - С. 1977 - 1984.

44. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращений интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1990. - N° 6.С. 1023 1033.

45. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. ВУЗов. Математика -2001. -№-Ъ.- С. 59 63.

46. Сабитов К.Б., Шмелева Н.Г. Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Изв. ВУЗов. Математика 2003. -№-?>.- С. 49 - 58.

47. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

48. Смирнов М.М. Краевая задача со смещением для уравнения смешанно-составного типа 4-ого порядка // Дифференциальные уравнения. -1975. Т. 11, №■ 9. - С. 1678 - 1686.

49. Смирнов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа 2-ого рода со смещением // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, №■ 5. - С. 931 - 943.

50. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1956.

51. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. -431 с.

52. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.

53. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 132 с.

54. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб.: Лань, 1997. -Т. 2. - 800 с.

55. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. - 712 с.

56. Франкль Ф.И. Об исследованиях Леонарда Эйлера в области уравнений с частными производными // Историко-математические исследования. 1954. - Вып. 7. - С. 596 - 624.

57. Франкль Ф.И. Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Л аваля // Матем. сб. -1961. Т. 54 (96), N-2. - С. 225 - 236.

58. Франкль Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. 1945. - Т.9, №-2. - С. 121 - 142.

59. Хайруллин Р. С. Краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений с сильным вырождением внутри области. Дисс. . канд. физмат. наук. Казань, 1986.

60. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de mixte. These, Upsala, 1935.

61. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limits pour l'equation y2s • zxx -zyy = 0 // Arkiv f.M.A.O.F. 1936. - 25A.10.Работы автора по теме диссертации

62. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для частного вида уравнения Эйлера-Дарбу задача с заданием искомого решения на характеристических сторонах параллелограмма // 54-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. Самара, 2000. - 4.1 - С. 21 - 26.

63. Илюшина Ю.А. Для одного уравнения гиперболического типа задача Д2 в параллелограмме // 54-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. Самара, 2000. - 4.1 - С. 57 - 61.

64. Илюшина Ю.А. Задача А2 для одного уравнения гиперболического типа с непрерывным коэффициентом // Труды Матем. центра имени Н.И.Лобачевского/Казань: ДАС, 2001. С. 114 - 115.

65. Илюшина Ю.А. Задача А2 для двух частных случаев уравнения гиперболического типа общего вида с постоянными коэффициентами // 55-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. Самара, 2001. - С. 45 - 48.

66. Илюшина Ю.А. Задача А2 со специальным условием сопряжения на характеристике уравнения гиперболического типа // Труды Матем. центра им. Н.И.Лобачевского/Казань: Унипресс. 2001. - Т. 11 - С. 142 - 145.

67. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение // Изв. ВУЗов. Математика 2002. -№-4.- С. 13 - 17.

68. Илюшина Ю.А. Единственность решения задачи Т' для одного уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тр. междунар. науч. конф. 26 31 мая 2002 г. - Самара: СамГАСА, 2002. - С. 152 - 155.

69. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи Т с сопряжением производной по нормали с дробной производной // Изв. ВУЗов. Математика 2003. -N- 9. -С. 6 - 9.