Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков второго рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ii i .'i ; i. ,') Я ¡i i !.. я IÎ i. О К O ¡i 0 ■ Г

ПМ( ПГ"Г ¡•'•■ГГ 'Л;' . • В.И-РО'.'МЮБСКОГО

tía »papas

ЦАШДШШВ Назардмн Камильджанович

КРДЕШС шш ЯШ iTABIffiffilu Ш^ГЛБОЛО-Г'ГПЖРШППЕСКО!^ ТИПА ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ ВТОРОГО РОМ

01.03 .Сй - даЭДеретщпалыюо уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

дассертртдпи ни соискание ученой c^onejut

1<гнуп:дггга йвкнгонггатшатичегстх ш?ук

! г

Райота выполнена »Института математики им.В.И.Романовского АЯ УзССР.

Научный руководитель - академик АН УэССР, доктор физико-

математических наук, профессор м.с.шттдинов

Официальные ошшненты - член-корр. АН Тадк.ССР, доктор

Фмзико-Жатематичеокик ноу к, профессор Н*Р.РАДШОВ,

кандидат ^изико-мвтематйческт: наук, с.Н^с. С.С.ИСА1ШАМВДВ.

Ведущая организаций - Новосибирский государственный

университет им, Ленинского комсомола.

Защита диссертации состоится

1991 г. в «. часов на заседании специализированного

совета К 015*17.01 в Институте математики им.В.Й.Романовского АН УзССР по адресу: 700X43, Ташкеят-ИЗ, :ул. Ф; Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

I '

Института математики имени В.И.Романовского АН УзССР.

Автореферат разослан",. Я- - 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат.наук --" А.Н.СТАРЦЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем ы. Одной из основных проблем теории уравнений с частными производными является исследование уравнений смешанного типа, что представляет как теоретический так' и практический интерес. В 1959 г. И.Н.Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа в связи с задачами в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Задача истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками сводится к задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина (вырождающееся уравнение смешанного типа). Имеется'целый ряд работ Ф.Грикоми, С.Гелдерстедта, А,В»£ицадзе, М.С.Салахпгда-нова, Т.Д.Джураева, в которых исследуются основные смешанные' краевые задачи и ставятся новые корректные задача ДМ уравнений эллиптико-гипврбалйческого, параболо-гипарбодического типов первого рода, т.е. уравнений для которых лийия вырождения не яаглется характеристикой.

Уравнения смешанного типа, линия вырождения которых является огибающей семейства характеристик й, следовательно,сама также является характеристикой, в литературе принято называть уравнениями смешанного типа второго рЬда.

Результаты исследований краевых задач для уравнений зллип-тико-гаперболического типа второго рода в области, чвоть границы которой является ЛйкйёЙ ййроядеййй, содержатся в книгах М.М.Смирнова, О.А.ОлейШШ, ¡¡»ВьгадДООД С.АЛерсенова.

Райот, посвященных изучению краевых зкдач дай " уравнений параболо-гиперболячес^ого типа вюрого родй, сравнительно мала./

Цель работы. Постановка и исследование задачи Г&ллерстедта, аналогов задачи Трикоми, нелокальных задач для уравнения второго порядка, а также краевых задач для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического тина второго рода в зависимости от вырождения. \

Методика исследования. При получении представления обобщенных решений класса Ц уравнений гиперболического гипа второго рода использованы свойства гипер-'геометрических функций. Доказательство существования решения краевых задач основано на систематическом использовании полученного представления обобщенных решений класса 11 , теории линейных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма второго рода. Единственность решения задач доказывается-с помощью различных принципов экстремума и методами интегралов энергии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Доказаны ряд тождеств, позволяющих определенные ликей-ше комбинации пшергеометрических функций сводить к биномиальной функции и на их основе изучены структура обобщенных решений класса Я.

Доказана однозначная разрешимость задачи Геллерстедта, аналогов задачи Трикомд, нелокальных задач для уравнений второго порядка, а также для уравнений третьего порядка парабо-ло-пшерболического типов второго рода.

Првктическвя и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач

для уравнений смешанного и смешанно-составного типов,

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отделов дифференциальных уравнений я неклассических уравнений математической физики Института математики им.В.И.Романовского АН УзССР, на Всесоюзной школе молодых ученых^ "функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент, 1988), школе-сerraнаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989), на конференции молодых ученых, посвященной ПО летии со дня'рождения В.И.Романовского (Ташкент, 1989), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990); на конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алма-Ата, 1991). Публикации. Основные р&эультаты диссертации

л

опубликованы в работах [I - 7) . '

Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих.7 параграфов и библиографии. Общий обьем работы S6 страниц машинописного текста. Библиография включает 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении- показана актуальность работы, проводится обзор ранее полученных результатов по теме диссертации. Формулируются основные результаты диссертации. ' В § I главы I рассматривается уравнение

, «tf-ч Фи. л "' "•":• ^ , .

^<0. (i)

Известно, что представления решений различных классов уравнений служат одним из инструментов исследования начальных- и

граничных задач. Решение краевых задач и задач Коши для уравнения (I) зависят от значений параметра .

При оС. ^ (-4,5 \ - 1)и(~1; - 0,5) непрерывное решение видоизмененной задачи Кош. в области ^ , ограниченной характеристиками АС : -О , : XV= ^ б: ^ - О

уравнения (I) с начальными данными

илх,-о^ссо, (2)

в характеристических переменных (^, ^) ;имеет вид

. * ' ;

I

• + ^ *> <3)

■ г.

где

- ? -

На протяжении всей работы в области гиперболичности будем рассматривать обобщенные решения класса . Приведем определение.

Определение. Функция определенная форму-

лой (3) называется обобщенным решением уравнения (I) класса Я в области ^ , если ^(Х) £ С.С0,1\и фунюдя Т(ЭС) представит в виде г

" гг'1- (4)

Т(эо - \ (ж-^)" Т(1) сН

причем ТЦ) - некоторая непрерывная на {[0,функция. Установлено, что обобщенные решения уравнения (I) класса Л в области представимы в виде „

Щ^ - ) ~ ^ ^)- ^ )" ^ ^() ^ + ^ с'^Г (5)

о ' ?

где

При получении (5) доказаны тождества

1 -p I H

§ 2 посвящен исследованию задачи Гелдврстедта для уравнения

/1)гЦ Фи

'-«Dec1 '

гдо - заданная функция, причем Ci, (ас, el (V),

0< ll < i; oL - известное действительное число такое,что

Иусгь

о, причем область ограничено

игл; ^>0 отрезками В В0 , Ас 8>0 , АА0 прямых

2ч. - 1, Ч ~ i , ое ii 0 соотвотствошю, а область % ^ ~ up;i

Я Л ^

0 характериотикаш уравнения (В) Л С t • 2 ,j ~ ^ *

где - (};икс!!1риЕГ!Нз^я хичка шггорвкли \'Vi) .Обозначим

"euwy ч чистя области с гран-ниш Л С { Е А

и соответственно.

Задача Геллерстедта. Требуется определить в области функции со следующими свойствами :

а) иеэс,^) £ С с*);

б) Ц(Х является регулярным решением уравнения (8) в области 1*1 £ и обобщенны!.! решением класса Л в области

в) на линии вырождения выполняется условие склеивания

г) удовлетворяет граничным условиям

где Ц^ (X), ^(Я) - заданные функции,причем

Основным результатом этого параграфа является доказательство существования и единственности реаения задачи Геллерстедта.

В § 3 рассматривается уравнение

О -

1)га <04

^ + , ос< О,

(9)

в области Ф* и А$, причем область ограни-

чена при Эс<0 характеристиками уравнения (9) АС : у-2 =

&С : <3+ = ■ АЬ : 0^0, а при область

п •

ограничена отрезками А 6. & 0 , Ас &0 , А А о

прямых ОС. - 0 ? ГС-А. ^ = 0 соответственно; функ-

ция СНзс.,^) определена в { 2.

3 а да ч а I. Требуется определить функцию ЦД-Х,^) обладающую следующими свойствами:

а) идэс,^) ;

б) Щос,^) является обобщенным решением уравнения (9) класса в области и регулярным решением - в области ^ ,

в) на линии вырождения выполняется условие склеивания

Х->-0 Я- .ТС-мо ^У".

г) удовлетворяет граничным условиям

(ю)

где Чо^Ь ^М^)' заданные достаточно

гладкие функции, - оЗДикс точки пересечения харак-

теристики, шходздей из точки Е (.0, с характеристикой

АС •

Задача 2, Функция Щх,^) обладает всилн свойствами задачи 1'кршо (Ю). кшето условия (10) рассмотрим

\це t¡. ilp , t (.Ij), ^ - заданные достаточно гладки о функ-ши.

Результаты данного параграфа сформулированы в виде трех :есрем и следствия. '

Теорема I. Если V|Q (Л) , Ч А е С{г) { 0, i 1,

[0,1], то правая часть

сравнения

юпрерывна, где , Fi^j) - известные функции.

Теорема 2. При выполнении условий теоремы I п

ОДсх,^) £ <¿ уравнение (II) является

интегральным уравнением Больтерра второго рода с ядром, имою-дпм слабую особенность при р в i ; - lj и непрерывным при

ft (£ {-1,5 - 7) непрерывной nppocíi частью.

J ° í о V"\ ч _

Т о о р о м о 3. Если СЦсс,^)еС ' (Т)^, 0 <И.< i,

щ0 do, ^ ti, e*Ltt> - ^[0,1], i ziM * o

ХПЯ любого!- [0,11; причем

? (i.), Q'' ( Ю,Ц. то правая часть п ядро инт^граль-

' (j ■ '

ног о у реви t'Mi'i Еольгеррп з епдачо 2 нспрортзш.

С л е д с i в и е. Из теорем 1,2.3 следует, что решение

задач 1,2 существует и единственно.

§ 4 посвящен исследованию краевых задач с нелокальными граничными условиями для уравнения

( игЦ Ш о

j^u T>4i .0)11 (12)

в области Oi U Ti-j. U А Ь (% - определена в § 2, а П^ - в § I), где ОДосзаданные функции, причем а(Х,^) е С.10', Ь U, Vj ) £ С'h)(<\), 0 < h. < 4 i c¿ - известное действительное число такое, что o¿ €.(-i,Sj-2)U

и^г',-1,5).

.Задача 3. Требуется определить функции Ц. ^эс,^) обладающую свойствами:

а) и. е е (Дь

б) Щэе,^) является регулярным решением уравнения (12) в области Qj^ , и обобщенным решением класса f^ " в области ty j

в) на линии вырождения выполняется условие склеивания

ПК ÁA<t)Í>

^-о э 2 »Jf

г) удовлетворяет граничным условиям

U

ÁA0

< л

- - 5

Ц[90 (X)"]^ С (х)Ц(эс,о) + щя, о) f

+ ~ (13)

гда "MV'^i^b i(X),ff (X) - заданные до-

статочно гладкие функции; 0О (ос.) - аффикс точки пересечения характеристики выходящей из точки Е (х, О) с характеристикой АС •

Задача 4. Функция ЩЭС,^) обладает всеми свойствами задачи 3 кроме (13). Вместо условия (13) задано условие

J iri dxL <u)j ^J -o 1

где ?ЛХ)||Лэс)- заданные достаточно гладкие функции.

По итогам исследования задач 3,4 заюшчоем Теорем я 4. Если СЦх,^) €. С11'^^), fe (\h

0<Ь.< 1; кроме того, СЦСс,0) , С1*1'[ О» U

Ц- Л д If

л имеют место представления (х), ^ (л),

I^Coc) e С1*°[0,1],то Уравнение

т(X) -\~ycp{0Zt~ о

акоиволеитнсе задача 3, является интегралтлшм уравнение;/! Волг,-т'зрра второго рода с иепрсрипиам ядром п чеяроршгаП

пиовой чясгьв F-(x) .

I * Ь) 0to,(о -

I «. о р э n е 5, Если еГ {%),

О < к < I; Ч?Г!<3 гого, иэд.сца.), t--С5.

и имеют место представления Е(эс)=:х£ (Л), ^(Х) —

причем £ > ^ *(Х) <£ х'о задача 4 эквииидент-

на интегральному уравнению Вольтерра второго роди с непрерывным ядром и непрерывной правой частью.

Вторая глава посвящена уравнениям третьего порядка параболо-гилерболического типа. § 1 главы П является вспомогательным для главы И, а такие служит обоснованием представления обобщенных решений класса К для уравнения (9) в области , введенных в § 3 гл. I, при е (-2,5) -2)1

Основным результатом данного параграфа является доказательство

Лемма 2.1. Справедливы тождества для 2-,5)

4-Гм+Ч,Д(и-10;г)-|- ^ г /чг -;

-в Ь-*

л

¿тэт *

(i-pm-fi) y r r u~pH*-p)(3-fi)

В § 2 главы П изучены аналоги задачи Трикоми дуй уравнений

О а

^ + «y + * 9 х 0'

(14)

^ >0,

в области UU АБ определенной в § 3 гл.Г.

Задача Т • Требуется определить функцию U(x,i|), обладающую следующими свойствами:

а) ЦДос,^) е С (%*) ;

б) Ц(ЗС,^) является обобщенным решением уравнения (14) класса в области и регулярным - в области ^

в) на линии выроадения.выполняется условие склеивания

И* {-xfW-Гл^ «ti

г) удовлетворяет граничным условиям

И1

tJx

■А о DU

вв

где \£0(ас), ЧМ^Ь ~ заданша доата-

точно гладкие функции.

,, Обобщенное решение класса Я^ для уравнения (14)'определяется аналогично, введенному в рабств ^Х^ .

Доказана однозначная разрешимость решения поставленной задачи и исследован ряд краевых задач для других значений параметра о£ .

■ Последний параграф главы П посвящен исследованию задачи Дирихле для уравнения

^ 1Ци.)-О, ■ (15)

где

V ^

ос >0 ,

т € (-1, 0)

б области о ив^и ОБ , причем область и0 огра-

ничена при ОС. < 0 характеристиками

п ^ ' ты

уравнения ЦгЦ=.() " , а область при Ос>0 ограни-

чена отрезками В»^, 0& дряшх^О . ЭС&1 ,

I,. Салахигдинов М.С., Йсамухвмедов С.С. Краевые задачи для урав-. нения сметанного типа второго рода // Сердика. Бьлгарско 1магематическо списааае. 1977. Т.З. С.181-188.

- 17 -

^ ~ 1 , "X - 0 соответственно.

Задача Дирихле. Требуется определить функцию ЦДх,^) , обладающую следующими свойствами:

а) и е С (5) ;

б) функция Ц(Эс,^) является обобщенным решением уравнения (15) класса в области 0о , а в области (9-1 -регулярным решением уравнения (15);

в) на линии вырождения выполняется условие склеивания

г) Ц^ непрерывна вплоть до линия перехода как слева, так и справа}

д) удовлетворяет граничным условиям

\де. , ^ ? ■» Уг » Ц^ ~ э0ДанШ1е достаточно гладкие ¡ункция , причем ^ (0)(1)-^(0), УШ^Ц):

1^(0)(0)/ а функция 1л)(рс.У- но представления обойщен-юго решения класса

3

Доказательство однозначной розрогаимости решения задачи дртшш является основным результатом данного параграфа.

Пользуясь случаем, выракаю горячую признательность моему аучному руководитата академику АН УзССР Махмуду Салахлтдино-овнчу Салахитдинову за постановку задач и ценные советы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Г, Мамадалиев Н.К. Об одной краевой задаче для

1

уравнения третьего порядка парабола-гиперболического типа второго рода. Тез. докл. Всесоюзной школы молодых ученых "Функциональные метода в прикладной математике и математической физике". Ташкент. 1988. Ч.П. С.35.

2. Салахитдинов M.G. .Нагорный A.M., Мамадаляев Н.К. Задача Дирихле для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа второго рода. В сб. Дифференциальные уравнения математической физики и их приложения. Ташкент; Фан. 'Г989. G.3-II.

3. Мамадалиев Н.К. Об одной задаче для смешанного уравнения трех типов. Тез. докл. школы-семинара "Актуальные вопросы комплексного анализа". Ташкент: 1989. С.71.

4. Маыадалиев Н.К, Краевые задачи для уравнения третьего яорвдка параболо-гипераолического типа второго рода// Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат.наук. 1990, № .4. С,21-27.

• 5. Мамадалиев Н.К. Аналог задачи Трикоми для стльновыровдающегося уравнения параболо-гипербодического типа // Докл.АН УзССР. 1991, № 4. С.4-6. .

б, Салахитдинов М.С..М а м а д а л и е в Н.К. Зздачй Геллерстедта доя уравнения параболо-гилерболического типа о характеристической линией выроадения // Докл. АН УэССР. 199ЬЯ6. С.З-б.

7. Мамадалиев H.K., Н а г о р н ый A.M. Задачи Трикоми для уравнения перайоло-гиперйоличеокого типа о характеристической линией изменэпмя типа. Тезисы докладов Всесоюзной конференций "Краевые задачи'и их спектральные вопрос« для дифференциальных уравнений". Алма-Ата, 1991. С.59.

Т ираж /СС экз. Объем 12. п. л. Формат <5умж м Ii» '«4 1/1(1.

Опн-чатапо па ротапринте п тип or риф и и ТашГУ мм. Ii. И. Jlciu(ii;i.

Д;||Н'с: 7i)(I0!)-j, г. Ташкент, ГСП, Нузюролак, ТашГУ.

Подписано к печати