Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырождения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В.И.РОМАНОВСКОГО

РГБ ОД

з ОПТ 1325

На правах рукописи

АКБАРОВА СУРАЙЁ ХАМИДОВНА

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО— ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ И РАЗЛИЧНЫМИ ПОРЯДКАМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

01. 01. 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1995

Работа выполнена в Институте математики имени В.И.Романовского Академии Наук Республики Узбекистан.

Научный руководитель—академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор М.С.Салахитдинов

Официальные оппоненты—доктор физико-математических

наук С. Абдииазаров

—кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник С.С.Исамухамедов

Ведущая организация —Самаркандский государственный

университет

Защита диссертации состоится « У » 1ВД5 г.

в .:/чяггт на заседании специализированного совета Д. 015.17.21 в Институте математики им. В.И.Романовского АН РУз по адресу: 700143, г. Ташкент-143, ул. Ф. Ход-жаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « <¿9 .» ¿Глг*/^^91995

г.

Ученый секретарь специализированного совета,/ лЛ доктор физ.-мат. наук, проф. ' /. Ш.А.ХАШИМОВ

ОБЩАЯ 2ДРШЕРИСТШ1 РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория уравнений шатанного типа в настоящее время, благодаря важны» приложениям при решении многих вопросов прикладного характера, является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Основы этой теории бнлз заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми, С.Геллерстадта, А.В.Бицадзэ, К.И.Бабенко и Л.Берса.

Имевтся многочисленные работы, в которых исследузотся локальные и нелокальные краевые задачи для-уравнений Трикоми, Лаврез-тьева-Бицадзе и более о.бщих уравнений смешанного типа. Отметим работы А.В.Бидадзе, Д.А.Саыарского, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джу-раева, А.Ы.Нахушева, М.Ы.Сыирнова, С.А.ТерсенсваДЖКальменова и их учеников.

Исследованиям краевых задач для уравнений смешанного парабо-ло-гиперболического и эллиптико-параболического типов с одной линией вырождения посвящены работа Т.Д.Джураева, А.Ы.Нахушева, ХДЧБашхатлова, В.А.Елеева, А.Сопуева и Ш.Ш.Ыарсагагова.

Как нам известно, краевые задачи для уравнений параболо-ги-перболического и эллиптико-параболическога типов с двумя линиями и различным порядком вырождения изучены сравнительно мало. Отметим работы БЛсломова.

Настоящая работа посвящена постановке иг исследованию краевых задач для уравнений смешанного параболо-гипербодического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками выроадения.

Цель работы. Постановка и исследование корректных краевых задач типа задачи Триксмл для уравнений смешанного парабола-гиперболического и эллиптико-параболического типов о двумя линиями и различными порядками вырождения.

Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач- доказывается с помощью принципа экстремума и методом интегралов энергии. Существование решения доказывается методом интегральных уравнений. При этом широко используются преобразование Меллина, свойства гипергеометрических функций Гаусса, Мейера и Фокса.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основ- • ше результаты:

- исследованы локальная и нелокальная краевые задачи для уравнения параболо-гиперболического типа в бесконечной и конечной областях;

- доказана однозначная разрешимость аналога задачи Трикоми для уравнения эллиптико-параболического типа с двумя■линиями я различными порядками вырождения;

- сформулированы и доказаны различные принципы экстремума для рсаония рассматриваемых уравнений;

- изучены и вычислены различные комбинации операторов Ршана-Лиувилля и обобщенного интегроди^ференцирования дробного порядка, которые широко используются при изучении краевых задач.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми ж имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения, а такар'п'ри решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертационного" исследования докладывались.на объединенном семинаре отдапов дифференциальных уравнении и нокласспческих уравнений математической физики Института математики иы.В.И.Роыановского АН Республики Узбекистан (руководители - академики АН РУз М.С.Салахитдинов и Т.Д. Джураев), на Всесоюзной научной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (г.Ашгабад, 1990 г.), на Ыеэднародных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные йункции" (г.Самара, 1932 г.), "Вировдающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г.), на конференциях молодых ученых, посвящавдюс памяти В.И.Романовского (г.Ташкент, 1990-1993 гг.).

П^Атщции. Основное содержание диссертации опубликовано в padoxax Ц - 6j .

Сгрунтурз и о^ьем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих V параграфов, и библиографии. Обдай объем

работы 120 страниц машинописного текста. Библиография включает 54 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследования и сформулированы основные результаты.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, изучаются краевые задачи типа заяачи Трикоми для уравнения параболо-гипербо-лического типа

О =

« (1) //и*.. / - Л

у * ц^ - (~х) Uyy, х<с, const (K-Jt2)

в конечной и бесконечной областях.

В §1 главы I приводятся некоторые вспомагательдае определения и формулы из теории специальных функций.

Во втором параграфе исследуется задача Чрикоми для уравнения (I) в области JV , ограниченной характеристиками

r2 fz и, "i

уравнения (I) при С , у у О и прямыми у-О , у- jj^ при

2 >0 X у ТО ! здесь 1ря = тг +Z, Z({z = Пг+2 , hz = p/fy причем mi}i>n2?o, mi -j, tiL у max {щ щ -z,

_ рациональное число.

fTljH

Введем обозначения: Zc^- n^jlUj+Z), Zp>L~fntl(inl*Z)> 80= ®П{(Х,у):£?0,!/>с} , 9П{Гх,У):Х<0/у>0}.

В пункте 2.1 дается постановка задачи Ту • о*о

ЗАДАЧА 7/ • Найти функцию Ц.(Х,у) со свойствами:

I) £ C'fJPJ Л Сг,1(2>е) П Cz(fy)

и непрерывна вплоть до границы области $ , причем Ци/^ j/)

может иметь особенность порядка меньпе при у~ъО ,

/ i-2B "

а при у-* пг ограничена;

2) удовлетворяет уравнении (I) в обдзсгах ¿^ , кроме того, и(Х,Ц) ограничена для всех 06X*. н

к2 ;

3) Ц{Х,у) удовлетворяет краевым условиям

р 1/р

и'<*'9}Ц>е = ^ (т) ' (2)

где , У) - заданные функции, причем У(Х) - ограни-

чена в ое-) , у (о) - У (О) и

га; £ с'[о,(Ь)Щп с3(о,

В пункте 2.2 доказана однозначная разрешимость задачи гр в случаях, когда

1)П11*тг+£ , 2) т1>т1+1 , з) т^^т^/

В этих случаях существование решения задачи эквивалент-

ным образом сведется к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Используя преобразование, Меллина, свойства гипергеокетрических функций Гаусса, Мей ера а Фокса, исследованы ядро и правая часть полученного интегрального уравнения.

. В § 3 изучается нелокальная краевая задача для уравнения (I) ■ в конечной односвазной области & плоскости переменных (X ), ограниченной отрезками ОВс , В0 А0 , Д^Ц прямых »

соответственно при х>0 » у>0 и характеристиками

ОС: ±./>-±1-т>9>=0, АС, ^-хДу

уревнения (I) црг , }/>С , где . *

■> Ч"^*2'

причем

*г£,тг>о, Прпъ , пл >шах/¿(п+г), (н^-г, плг : *

л--рациональное число.'

Обозначим через и Щ - параболическую и гиперболическую части смешанной области £) соответственно;

У1

точки пересечения характеристики уравнения (I), выходящей из точки (о, у) £ О А с характеристикой ОС ;

1*г^Пг1(Пг+-2), , причем

ЗАДАЧА 7) . Определить функцию- и (ос, у) , обладающею свойствами: I) ЩХ,у) £ С(§) П С^Ф) Л С^ЛУ Л С*^), ' причем Ц-х (О) может иметь особенность порядка меньше ПРН У"* & • ограничена при V-1? к. ;

/ХуУ-2 »

2) (¿(£,1/) удовлетворяет уравнению (I) в областях ¡90 и £)/ ;

3) и.(х,у) удовлетворяет краевым условиям

У(х) > 0ё к< ' (3)

, ¿ГА \Рг-*1 7 , ,

где Ц(х) , > • и(У) ~ заданные функции, причем

Щк^ %(0) , Ц>(х>£ С[0,6,7 п с2{о, к,),

%(*/) £ С Со, НА п Сг(0,к,), а{у), 6Ц>£ С'[с,кг1 П

' у^/ ~ опеРатоР обобщенного интегрирования

/

дробного порядка Се (С0>0} от функции ^ :

где

% £ С(р,1),-~*<р<ч* ~, и^оац*!"*)

при у->0, к0 > тая (О, а-с0 ) -у, 1^аспе1>о.

Отметим, что если О (у) — О , то задача 7/ сводится к задаче типа Трикоми с условиями (2)-(4), которую мы обозначили через 7} . Поэтому основное внимание уделяется исследованию более общей задачи .

Доказаны существование и единственность решения задачи Т\ .

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена исследованию краевых .задач для уравнения эллиптико-параболиче-ского типа с двумя1'даняяш и различными порядками выроздения.

В § I рассматривается уравнение

,, _

У 'и^-я1, х>0,

ь

0~] Р1 .пг (о)'

в бесконечной области & , ограниченной прямыми »

¡г^ при £уО , , гладкой кривой

tc.it 1 J

О • —^ (-£) +• у = / с концами в точках

П '2

М-^,0} В (о, к2) а отрезком % = {(Х,у):¡/=0),

где к, = ^ , кг = ,ЦГМ

I) Садзхитдииов М.С., Хасанов А. Яий^еренц.урзвн.,1983,-Т.19.-Л I. - С.П0-Ц8.

Обозначим через

\(Х,у): X >0, у>0}, О^ОП^Х^О^

П21(Я/2), = т^/Гт^Л) , причем о<р2 < *г< •

Основным результатом 51 является доказательство единственности решения следующей задачи:

ЗАДАЧА 7г> • Требуется найти функцию со сво-

йствами: 1)11(Х,у)£ С/(Л П и непре-

рывна еплоть до границы области , причем ¿4. может

иметь особенность порядка ниже ЛРК » »

2) И(х}у) удовлетворяет уравнению (5) в областях и ,

кроме того, и.(Х,у) ограничена для всех О £ х ^

и

3) удовлетворяет краевым условиям

где^/г,^/ , , У(X) - заданные функции, причем ^/.г^ -

ограничена в ГО, , ^ (х)£ С(^) и она имеет особенность

У-^г -У д,

порядка меньше . - на концах интервала X , а функция

1-гр2

Ц'(Х) у) представиыа в виде

= , $(Х, е С ( ё). \

Установлен аналог принципа экстремума А.В.Бицадзе: решение

И (X,у) задачи 7$ сеов?о положительного максимума и отрица-телного минимума в замкнутой области достигает лишь

на В и % и [о,

Из этого принципа сразу следует единственность решения задачи Т0 •

Во втором параграфе доказывается существование решения задачи 7о в случаях, когда

I + «у >/*/-/ , Пг> 2 (П^О,

2) иг1 < Щ.-И , ПгУГп2, >тах(^(п/Х), ¿З^у^у

где ~ рациональное числе;

Заметим, что в первом случае задача Т^ эквивалентно сведется к сингулярному интегральному уравнению нормального типа, индекс которого равен нулю в классе к(о) ^. Регуляри-зируя это уравнение известным методом Карлемана-Векуа^, получил интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи Т0 .

Во втором случае задача Т^ сведется к интегральному уравнению Фреагольма Еторого рода.

§ 3 посвящен постановке и исследованию краевой задачи типа задачи Трикоми для уравнения

>?»>■ (б," где т?,^ - (, причем >£>,

/г. > (па.* (т., ) - /.

Пусть $) - область, ограниченная отрезками А^В^ ,

&2&1 прямых Х=к( ,у=У ) соответственно при Ц >0

и гладкими кривыми ,

V

1) Хасанов А. Известия АН УзССР. 1982, № 2. - С.28-32.

2) Мусхелишвили Н.М. Сингулярные интегральные уравнения. -

И.: Наука, 195В. - 512 с.

Здесь и далее Х>0 при С-1 , Х&О при С-2 ;

Чг П**2> 2Ь* */£> = "У*' >0■

Введем обозначения :

ЪЧГХ'У?: -к^М), кг- (А 4

ЗАДАЧА т • Найти функцию со следующими

свойствами: I)

2) и(х,у/£ п Сг{Ц-и®£)

и удовлетворяет уравнению (б) в областях , @ »

3) удовлетворяет краевым условиям

4) на отрезках ^ К выполняется условие склеивания

у?£0 иу&уг иц (х>У>> х £ % и=/>% (9)

гае \р.(у) . У.(Х,у) ~ заданные функции, причем

а функции (Т!прадставимы в виде

Ус^'Р^яу (II,.)

Изучена следующая вспомогательная задача, которая представляет самостоятельный интерес.

ЗАДАЧА .. Найти решение ЩХ,у)£ С(£^)Л

О С,^* (и 2)?) ' пРичем У) может иметь осоЗен-

ность порядка меньше 75^72 ПРИ @ ' ограничена при

у—> к^ , уравнения (6) при У>0 , удовлетворяющее краевым условиям (7Х), (72) и и(Х,0)-=Гс(Х)г X £ Ус (С-Ы), гпе , Ъ^Х) - заданные функции, причем Х£(Х>)~1'-¿(О) .

ТЕОРЕМА. I. Если выполнены условия (10^), (К^) и

г,(х)е С (у п Г(^)

(С.-1,1), то существует единственное решение задачи Л0 .

Единственность решения задачи Т следует из теоремы.

ТЕОРЕМА (Принцип экстремума). Решение Ц.(Х,у) задачи 71 своего полоаительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области Ц) достигает лишь на

§ У бг УЩ у А[Вг .

Доказательство теоремы вытекает из следующих лемм.

ЛЕММА I. Решение и (%,%)£ С (&*(/&*) уравнения (6) при ¡/>О , непрерывное в , св_оего положительного максимума и отрицательного минимума в достигает на

II Ей и А 2. Решение (Л(^У) £ С Щ'С/£)г) уравнения (6) при у ¿.О , непрерывное в ^ , своего положительного максимума и отрицательного минимума в ¡¿^ достигает на

% и Ъ и АлАг-

§ 4 посвящен доказательству существования решения задачи I , В пункте 4.1 исследованы следующие вспомогательные задачи

Я с I '

ЗАДАЧА А £ I С=/,Л) . Найти функцию и(Х,Ц/ такую,

что: I) ЩХ,у)£ С(®£) П С*((&~ и и П

£ / Я* -

Л С ' П С и удовлетворяет уравнению (5) в областях , 0Г ;

2) И(Х}у) удовлетворяет условиям (7^). , (9) и

где , - заданные функции.

ТЕОРЕМА 2. Если выполнены условия (10.0, (И40 и Т0Ц)£ Сф ЛС'Ц) . ) причем

имеет особенность порядка ниже ^ ^ при^О и > т0

решение задачи Л^ ( С*2) существует и единствевно. В пункте 4.2 изучена задача А^ .

ЗАДАЧА ^ . Найти функцию ¿¿/яг^уу со свойствами: могут иметь особенность порядка меньше -——'* в точках

О(0,0), л/к,,о), Аг(-к,,о),В(огкг).

2) 11(- дважды непрерывно-дифференцируемое решение ураз-я (б) в областях и 2), ;

3) удовлетворяет краевым условиям (8^), (82) и

^ = г;, зг С ^

где ])~(х) > (X) - заданные функции.

ТЕОРЕМА 3, Если выполнены условия (11^), (П2) и -£. С*(Ус) причем имеет особенность

порядка меньше на концах интервала У, , то задача.^

однозначно разрешима.

На основании теорем Г-3 доказано существование решения задачи т .

Пользуясь случаем, выраааю глубокую благодарность моему научному руководители - академику Махмуду .Салахитднновичу Сала-хатдинов? за постановку задач и постоянное внимание, а тзкге с.н.с. Бозору Ислоыоничу Кслоиову за ценные советы, данные при выполнении настоящей работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следунцих работах:

1. Ислсмов Б..Акбарова С.Х. Краевые задачи для уравнения парабол о-гипер б олаческ от о типа с двумя линиями и различными порядками' Еырондения.В кн.:Тез.докл.Всес.научн.кон$."Диф|ер. ур-нпя и оптиматйное управление".Ашгабад:1Э90.-С.65-66.

2. Акбарова С.Х. Аналоги задачи Трлкоми для уравнения параболо-гиперболического типа с двумя линиями и различными порядками выроадения//Докд.АН ГЛ.1991, й II. - С.3-5.

3. Акбарова'С.Х. Об одной краевой задаче для уравнения эллипти-ко-дараболического типа с различными порядками вырсвдения.

В кн.:Тез.докл.Мездувар.научн.кон$."ДифЗ!ер.и интегр.ур-ния. Мат.физика и спец.функции". Самара: 1992. - С.П.

4. Салахитдизов М.С.,Акбарова С.Х. Краевые задачи для уравнения эллиптико-параболического типа с различными порядками вырождения // Докл.АН РУз, 1932, И 12. - С.3-5.

5. Акбарова С.Х. Об одной краевой задаче типа задачи Бицадзе- . Самарского для уравнения лзраболо-гиперболическсго типа. В кн.:Тез.докл.1.!е;дунар.научн.кон$."Вцро;главпшеся уравневпя и уравнения смешанного типа". Ташкент: 1993. - С.9.

6. Салахитдинов М.С.,Акбарова О.Х. Краевая задача для смешанного эллнпгико-парабЬяичеснаго уравнения с различными порядками вырождения внутри области //Узб'.матем.г{урн.,19Э4, Л' 4. - С.61-60.

БУЗИЛиш чизига иккита ва тартиби хил булган армаш параболщ-гигерболик ва шипгш-парабо-лик тищаги тенгламалар учун чегаравий масалалар

Ушбу ш икки бобдан иборат. Биринчи бобда бузилиш чизиги иккита ва тартиби ^ар хил булган параболик-гиперболик типдаги тенглама учун чексиз ва чекли соэсаларда~локал ва нолокал ма-салшар урганилган .^амда мах су с функциялар назариясидан баьзи ёрдамчи таьриф ва формулалар келтирилган.

Иккинчи бобда бузилиш чизиги иккита ва тартиби 5$ар хил булган аралаш эллиптик-параболик тиотаги тенглама уцун Трикоми ти-пидаги чегаравий масалалар урганилган.

йпда урганилган масалалар ечимининг ягоналиги экстремум принципи ёрдамида ва энергия интеграли усулида исботланган. Масалалар ечимининг мавяудлигини исботлалща эса сингуляр хаыда Фрецгольм, Вольтерр интеграл тенгламалар назарияси кенг кулла-нилган.

Дисоертацияда олинган натижалар иккита буз.илиш чизигига эга булган аралаш типдаги тенгламалар учун чегаравий масалалар назариясида ва шу тенглаыаларга олиб келувчи амалий масалаларни ечишда цулланилиши мумкин.

BOUNDARY' VALUE PROEIEMS PCS? P-'-RABOLIC-EYfERBOUC JUKD EILIPTIC-PARABOLIC EQUATION CF KIXED TYTE WITH TiVO HUES AND DIFPIREIiT CKDERS OP DESEIIERACY

The dissertation cor.sistB of introduction and two chapters. In the first chapter local and nonlocal 'boundary value problems for parabolic-hyperbolic equation in finite and infinite domains are considered.

The second chapter is devoted to the statement and investigation of boundary value problems of Tricorni type for elliptic-parabolic equation with two lines and different orders of degeneracy .

The solution uniqueness of the problems is proved by the ex-tremum principle and energy integrals method and the solution existence is proved by methods of integral equations. Fuather, the theory of singular integral equations, ^redgolm end Volterr equations of the second genue as viell as Itellin transforrnation, property of Gauss, l!eyer and Foon hypergeoaetric functions are widely used.

The obtained results.of the .dissertation are new and of theoretical nature. They can be U3cd in the theory of boundary value protlsias for the nixed type equations with two lines of de-Scr.erecy and for solving some applied problems resulting in such equations.