Краевые задачи для уравнений смешанного типа в областях с треугольной эллиптической частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПКДЛГОГИЧГ.гкий УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.95

ШАКИРОВ Рафис Гильмегаинович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА В ОБЛАСТЯХ С ТРЕУГОЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ

01.U1.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 1990

С Л

Работа выполнена па кафедре математики п методики et1 преподавания Набережночелппнского государственного педагогического института.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Хайруллин P.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мухлпсов Ф.Г.

кандидат физико-математических наук, доцент Родионова И.Н.

Ведущая организация - Самарская государственная экономическая академия.

Защита состоится 2/ ^ЮИЛ. 199G г. в '—часов на заседании диссертационного Совета К 113-17.02 при Самарском государственном педагогическом университете.

(443043, г.Самара, Антонова-Овсеенко, 2G)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан Д¿L UyiJ&tPis' 199G г.

Ученый секретарь диссертационного Совет-

кандидат физико-математических наук, /

доцент уу В.А.Носов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся в настояшее время разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Первые основополагающие исследования в этой области были проведены в известных работах ф.Трикоми и С.Геллерстедта.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа стали работы Ф.И.Франкля, который нашел приложения этих уравнений в околозвуковой газовой динамике. Вскоре были обнаружены и другие применения, что способствовало более активному исследованию указанных задач. Результаты, полученные в работах М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко послужили отправными точками для исследований многих математиков как в нашей стране, так и за рубежом. Наиболее известными являются работы М. Чибрарио, П. Жермена, Р. Баде, JI. Берса, К. Моравец, М.М. Смирнова, Л.И. Чибриковой, С.П. Пулькина, В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, В.И. Жегалова, Ю.М. Крикунова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова и других авторов.

Достаточно полные обзоры проводившихся исследований и библиография содержатсяв монографиях A.B. Бицадзе, М.М. Смирнова, Ю.М. Крикунова.

В указанных выше монографиях, а также в книгах Ф. Трикоми, М.М. Смирноваи Е.И. Моисеева изложены методы исследования основных краевых задач для уравнений смешанного типа.

М.А.Лаврентьев с целью упрощения исследований предложил модельное уравнение

«и + sgnyuyy = 0, (1)

что позволило использовать методы комплексного анализа.

Естественно, при исследовании краевых задач большую ценность представляет их явное решение. Такие решения, как правило, были получены, когда эллиптический контур является частью окружности, в остальных случаях задачи сводились к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и на основании теоремы единственности этих задач утверждалось о существовании их решения.

Ю.М.Крикунову удалось построить явное решение задачи Трикоми

'первоначальное руководство

работой осуществлял кандидат физико-математических наук, доцент Ю.М. Крикунов

для уравнений (1) и

вдтг хихх + ¿дп у иуу = 0, (2)

в области, для эллиптической части которой известно конформное отображение ее на полукруг, четверть круга или полуплоскость. Особенно полные исследования были проведены для области, являющейся квадратом, диагональ которого совпадает с линией изменения типа уравнения (1).

Подобные области представляют также интерес при решении некоторых задач для уравнений смешанно-составного типа 4-го порядка.

Целью данной работы является изучение возможности распространения указанных результатов Ю.М.Крикунова на другие задачи. При этом в качестве модельной эллиптической подобласти взят прямоугольный равнобедренный треугольник с вершинами в точках 0(0,0), А(1,0) и £(0,1) . Дается решение задач типаТрикоми для уравнений (1),(2) и уравнения второго рода с двумя линиями вырождения, задач типа Франкля для уравнения (1), а также двух задач для уравнения смешанно-составного типа с двумя особыми линиями.

Методы исследования. Используется метод интегральных уравнений. Для вывода основных соотношений из эллиптической подобласти строятся решения задач N , Неймана и смешанной с помощью конформных отображений. Полученные интегральные уравнения решаются явно сведением их либо к известным уравнениям, либо к краевым задачам для аналитических функций. Задачи для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка решаются путем сведения их к решению двух задач для уравнений второго порядка. При исследовании задач для уравнения второго рода используется неинтегральное представление его решения в эллиптической подобласти через аналитические функции. Единственность решения всех рассматриваемых задач следует из однозначности определения некоторых функций и единственности решения вспомогательных задач. Широко используется аппарат специальных функций и функций комплексного переменного.

Научная новизва работы: решены в явном виде ряд задач для уравнений (1),(2) и соответствующего уравнения смешанно-составного типа в областях с треугольной эллиптической частью; решены две новые задачи для уравнения второго рода с двумя перпендикулярными линиями вырождения.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях краевых задач теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Они могут найти применение при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации в целом докладывались в Казанском государственном университете на семина-

ре кафедры дифференциальных уравнений (февраль 1996 г., руководитель - профессор В.И.Жегалов).

Отдельные результаты сообщались на пленарных заседаниях Волжского межвузовского семинара по дифференциальным уравнениям с частными производными (январь 19S3 г., май 1984 г., г. Куйбышев, руководитель - профессор В.Ф.Волкодавов), на Всесоюзной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными (апрель 1987 г., г. Куйбышев), на Международной конференции по алгебре и анализу, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (июнь 1994 г., г.Казань).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ.

Обьем и структура работы: Диссертация изложена на 119 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, списка библиографии, содержащей 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение включает в себя краткий исторический обзор и перечисление основных результатов диссертации.

В первой главе рассматриваются задачи, в которых на эллиптическом контуре АВ заданы значения самой искомой функции. Эти задачи решаются методом интегральных уравнений.

В §1 решаются задачи Ni и N2 с помощью конформных отооражений методом работы Ю.М.Крикунова.

Задача Ni . В области fli наити решение и(х,у) уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям

u\AB = ¥{X), «¡,1см = v\(x), их\ов = ЫУ),

где ¡p(x), fi(x), 1У2(у) - заданные функции.

Задача N2 отличается от задачи JVj тем, что на отрезке ОВ задается условие

и\ов = т2(у).

Эти задачи решаются методом функций Грина, которые строятся с использованием конформного отображения области f!j на четверти единичного круга Д] : |а| < 1,а = aj + ia2,ai > 0,«2 > 0. Здесь определяется явный вид этого отображения и изучаются его свойства. Решения задач Ni и N2 строятся в явном виде и используются при исследовании задач этой главы.

В §2 рассматриваются две задачи типа Трикоми для уравнения (1) в области П = П, и П2 и О А , где представляет собой треугольник ОАС,С( 1/2,-1/2) . Эти задачи, как и задачи N¡,N-2, различаются условиями на отрезке ОБ .

Задача Т\ . В области О найти решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

ди

и\лв = VII», дНоВ ■= 4>2{у), и\лс = 4'(х),

где п - внешняя нормаль.

Решение задачи 2\ сводится к решению интегрального уравнения 1

к*)-_/(?!*(*, (3)

о

где = иу(х,0), /(х)- известная функция, С?1(г,£)- функция Грина задачи N1 для области П1, г = х + гу, С = С + гт/ - точки области Л].

Пусть /3 = — функция, конформно отображающая область П] на четверькруга Д1, А(/3) = и>_1(/3),0 = Д+г/Зг- После взаимно-однозначной замены переменных

а; = А(а]), 2/ = -а(га2), £ = А(/?,), т, =-¿А(г7?2), (4)

) = 1/[А(а, )]А'(а,), ) = /[*(«! )]Л'("1)

уравнение (3) примет вид 1

"М- V/^ - т^У = (5)

о

которое обращается известным методом. При этом большое внимание уделяется исследованию свойств функции ^"(а 1). В результате доказывается

Теорема 1. ЗадачаТ\ имеет, единственное решение.

Аналогично исследуется задача Т2 •

§3 посвящен изучению задачи Франкля для уравнения (1). В эхом случае гиперболическая подобласть смешанной области Л представляет собой треугольник О АС, С( 0, —1).

Задача В области П найти решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

и\ав = <Р(Х), «гЫс =

и(0,у)-и(0,-у)=:9Ы. (0)

Пусть и(х,у) - решение задачи F¡. Вводятся обозначения

«(*.0) = т(г), 11(0,7,) = Т](у), иу(х,у) = i/(.r).

Рассматривал функцию и(х,у) в области Í2i как решение задачи N¡, получены два соотношения между T\,v и t,v соответственно.

В области ÍI2 функция и(х,у) представляется как решение двух задач Коши -для волнового уравнения с данными соответственно на отрезках О А и ОС. Приравнивая эти решения на характеристике 0D : х + у = 0, выводится соотношение между t,t~i,v. А затем с учетом условия (<3) из выше построенных соотношений получится интегральное уравнение относительно v(x), которое обращается по аналогии с предыдущим параграфом. Далее доказывается теорема, аналогичная теореме 1.

В §4 исследуется задача Трикоми для уравнения (2) в области Ü = ííi UÍÍ2UÍÍ3UOJ4.UOÍ?, где ÍI2 определенав §2, а Пз представляет собой треугольник OBD, £>(-1/2,1/2).

Задача Т3. В области ÍI найти решение и(х,у) уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям

U\AB = vM. АС = 4>i{x), u\BD = Ыу)-

Отметим, что ранее подобные задачи рассматривались в работах М.М.Зайнулабидова и Ю.М.Крикунова. В первой работе изучался случай, когда эллиптическал дуга совпадает с четвертью окружности, а во второй - решена задача для случая простой дуги Ляпунова. В отличии от этих работ здесь существенно ослаблены требования к заданным функциям и проведены более полные исследования. Здесь непосредственно в основных соотношениях производится замена переменных (4), а затем на основе этих соотношений по аналогии с выше указанными работами выводится система интегральных уравнений, которая обращается явно. Задача Тз также имеет единственное решение.

Во второй главе в отличии от первой главы, рассматриваются задачи, в которых на эллиптическом контуре АВ задаются значения нормальной производной искомой функции. Эти задачи также решаются методом интегральных уравнений. При этом в эллиптической подобласти Í2i рассматриваются задача Неймана и смешанная задача. В §5 строятся представления этих задач.

Задача Неймана. В области ííi найти решение и(х,у) уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям

дм

= VÍ1). Uy\oA = Ut\oB = V2(y),

un

гдеп - внешняя нормаль, íp(x),u1(x),u2(y) -заданные функции, удовлетво-

ряющие условию разрешимости

1 ■■ 1 У ip(z)dsz - J Vi(t)dt - J u2{t)dt = 0.

AB 0 0

Смешанная задача. В области fl] найти решение и(х,у) уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям

j^\AB = <p(x), "¡Лол = Щ(х)г и\ов = 0.

Решения этих задач строятся с помощью обобщенной функции Грина задачи Неймана, введенной Ю.М.Крикуновым.

В §6 рассматриваются две задачи для уравнения (1) в области П, определенной в§2,

Задача NTi . В области, il найти решение и{х,у) уравнения (Г), удовлетворяющее граничным условиям

-рг-\ав — 0, и,:|ов=0, и\ос = Ф(х). an

Задача NT\ является аналогом известной задачи Тз,изученной A.B. Бицадзе для уравнения (1). Им рассмотрен метод интегральных уравнений решения этой задачи для случая, когда эллиптическая часть границы смешанной области совпадает с полуокружностью (х —1/2)2 + у2 = 1/4,у > 0. Этот метод распространен Ю.М.Крикуновым на случай, когда полуокружность заменяется Простой дугой Ляпунова, окон-чивающейся сколь угодна малыми дужками полуокружности.

Решение задачи NT\ сводится к решению интегрального уравнения

1

+ Цг / (^hj + rrkß!^dß> = (7>

о

которое заменой переменных привести к известному уравнению не удается. Для решения этого уравнения применяется метод работы A.B. Бицадзе.

Рассматривается

Задача А. В четверти круга Д i определитt аналитическую функцию Ф(а ) = р(аьо?2) + ¿«(ои.аг),

удовлетворяющую условиям

= 0, pol(a1,0)-pa!(a1,0) = F(a1),

an

ра,(0,а2) = 0, 7 : |а| = 1, а, > 0, Ы2 > 0.

Задача А сводится к задаче нахождения аналитической функции в верхней полуплоскости с граничными условиями на вещественной оси. Решение последней задачи представляется интегралом Шварца. Затем с учетом формул Сохоцкого находится решение уравнения (7)

ЛТЫ = Ра,(«1,0) = -7т[Ф'(«1)]+ =

1 т/ \ 2а! } /а,(1 -а?), 1 ¿4 . . ,

о '

Ввиду того, что функция ^(я) должна удовлетворять равенству

1

1/(<)Л = о,

получено одно условие разрешимости, которое представляет собой условие на заданную функцию ф{х). Далее решение задачи строится стандартным образом.

Теорема 2. Задача NTl имеет, единственное решение при выполнении одного условия разрешимости.

В задаче ЛТг , в отличии от задачи МТх, задается условие и\ов = 0. Для этой задачи имеет место теорема, аналогичная теореме 1.

В §7 рассматривается задача типа Франкля для уравнения (1) в области П, определенной в §3.

Задача ^з. В области О, найти решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

ди

^-|лв = 0, их\вс = 0, и(0,у) + и(0,-у)~ д(у).

В этой случае интегральное уравнение запишется тал 1

о

После замены переменных а = а\,1 "= /3/, последнее уравнение примет вид (7). Далее используются результаты §§3, б. Таким образом, доказывается теорема, аналогичная теореме 2.

В §8 рассматривается задача для уравнения (2) в области Г2, определенной в §4.

Задача Л^Гз. В области О. найти решение и(х,у) уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям

= О, "I оо = и| ос = Фг{у)-

Здесь также получена система сингулярных интегральных уравнений, которую не удаётся обратить методом, предложенным М.М. Зайнула-бидовым. Она как и уравнение (7) решается посредством сведения к некоторой задаче Шварца для аналитической функции с краевыми условиями на вещественной оси. В результате доказывается теорема, аналогичная теореме 2.

В третьей главе рассматриваются задачи для уравнений смешанно-составного типа 4-го порядка с перпендикулярными линиями изменения типа в области П, определенной в §4. В §9 решается задача Трикоми.

Задача Т4 . В области $1 найти решение уравнения

ОЬи = О,

где

д2 д2 „ З2 д2

по заданным значениям функции и(х, у) на отрезках АВ,АО,ВС и ее нормальной производной на отрезках ВС,ОС,ОЛ.

Задача Т4 сводится к двум задачам для уравнений второго порядка. Обозначается Ьи = у. Тогда решение задачи Т4 распадается на решения задач:

Задача Д']. В области О, найти решение у(х,у) уравнения Оу = 0 по заданным значениям функции у(х,у) на отрезках ВС, ОС, ОИ.

Задача Т3. В области П найти решение и(х,у) уравнения Ьи — у по заданным значениям функции и(х,у) на отрезках АВ,АО,ВС.

Сначала находится решение задачи Д^ кал решение двух задач Гур-са. Затем с использованием результатов §4 строится решение задачи

гр,

*з•

В §10 рассматривается задача ЛТ4, которая отличается от задачи NTi тем, что на отрезке АВ задаются значения Эта задача также решается методом спуска.

Отметим, что подобные задачи ранее были рассмотрены М.М. Смирновым и Л.А. Бобылевой в случае, когда Ь совпадает с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

В четвертой главе исследуются две задачи типа Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения

хихх + уияу + (-п + \/2)их + (-п + 1/2 )иу = 0, (8)

в области û = (Il и tt-г и йз U О Л U OI?, где Q2 " ííj 'совпадают с характеристическими треугольниками ОЛС и OBD.

Аналогичные задачи для уравнения с одной линией вырождения изучались в работах Ю.М.Крикунова.

В §11 рассматривается

Задача Т". В области ÍÍ найти решение и(х,у) уравнения (S), удовлетворяющее граничным условиям

'Г«|лв = ?(*)> 'i 3(I + !')"1(¿ + ¿). (9)

"loo = ^i(i), «loe =

причем в интервалах О А и ОБ задаются некоторые условия склеивания.

Для определения функции и(х,у) в области í¡i рассматривается задача N".

Задача N". В области П1 найти решение и(х,у) уравнения (8), удовлетворяющее граничным условиям (9) и

V^yli+1n\OA = oui(x), ^Г+Чоа = av2(y). (10)

С учетом представления решения уравнения (8) через аналитическую функцию /(г) задача N" сводится к задаче N для гармонической функции

р(х ьй) = = (—1)п22п+1п!Де/'2п'(г), Х\ = X - у, уг = 2у/ху.

В областях и П3 рассматриваются видоизмененные задачи Копш. Используя решения выше рассмотренных задач, выводится основные соотношения между r,(i) и v¡(t),i = 1,2, а затем из них получается система интегральных уравнений, которая решается в явном виде.

Последний параграф посвящен исследованию задачи Г2П, которая отличается от задачи Т" тем, что на отрезке А В задаются значения

1?+1U\ab = *>(*). (П)

Для определения функции и(х,у) в области fii рассматривается задача £)п .

Задача D".B области ííi найти решение и(х,у) уравнения (8), удовлетворяющее граничным условиям (10),(11).

Эта задача решается сведением ее к задаче Шварца для аналитической функции в случае полукруга.

В результате доказывается

Теорема 3. Решение задачи Т2П существует при выполнении одного условия разрешимости и оно единственно.

Па защиту выносятся:

- построение решений задач типа Лг , задачи Неймана и смешанной задачи для прямоугольного равнобедренного треугольника;

- решение задач типа Трикоми, Неймана-Трикоми и Франкля для \ равнения Лаврентьева-Бицадзе в случае треугольной эллиптической подобласти;

- решение задач Трикоми и Неймана-Трикоми для уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа;

- исследование задач типа Трикоми для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка с двумя перпендикулярными особыми линиями;

- исследование аналогов задач Трикоми для уравнения второго рода с двумя перпендикулярными линиям вырождения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Шакиров Р.Г. Одна краевая задача для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка /Казан.гос.ун-т.- Казань, 1983.- 14 с. -Деп. в ВИНИТИ 5.04.83, № 1707.

2. Крикунов Ю.М., Щакиров Р.Г. Обобщенная функция Грина задачи Неймана и некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа.- Казан.гос.ун-т.- Казань, 1984.- 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.07.84, № 5568.

3. Шакиров Р.Г. Краевые задачи для уравнения смешанного типа второго рода 4-го порядка с негладкой линией вырождения /Казан.гос. ун-т.- Казань, 1984.-22 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.07.84, № 5569.

4. Шакиров Р.Г. К решению одной краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка с двумя линиями вырождения // Труды семинара по краевым задачам. — Казань, 1984.- Вып. 21.— С. 224 - 232

5. Шакиров Р.Г. К решению краевой задачи для уравнения 4-го порядка с негладкой линией вырождения // Дифференциальные уравнения (мат.физика): Тезисы докладов участников Куйбышев, областного межвузов, научного совещания-семинара, Куйбышев, 20 - 25 мая 1984 года.- Куйбышев, 1984.- С. 117 - 118.

6. Шакиров Р.Г. Краевая задача для одного уравнения 4-го порядка с двумя линиями вырождения // Дифференциальные уравнения и математическая физика.-Куйбышев, 1985. - С. 137-141.

7. Щакиров Р.Г. Краевая задача для уравнения 4-го порядка с негладкой линией вырождения // Труды семинара по краевым задачам.-Казань, 1985,- Вып. 22.-С. 204 - 208.

8. Шакиров Р.Г. Краевая задача для уравнения второго рода с негладкой линией изменения типа // Классич. и неклассич. краевые

задачи для дпф. уравн. с част, производ., спец. функции, интегр. уравн. и их прилож.: Тезисы докладов Всесоюз. наз'ч. конференции. Куйбышев, 25 - 29 апреля 19S7 г. - Куйбышев-, 1987.- С. 15G - 157.

9. Шакиров Р.Г. Краевая задача для уравнения второго рода 4-го порядка // Алгебра и анализ : Тезисы докладов Международной научи. конф. посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева, Казань, G - 11 июня 1994 г. - Казань, 1994. - С. 149 - 150.

10. Шакиров Р.Г. Об одной краевой задаче типа Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Набережночелнинский гос.пед.ин-т,- Набережные Челны, 199G. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 3.01.96, № 16-В96.

11. Шакиров Р.Г. О задаче типа Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Набережночелнинский гос.пед. ин-т.— Набережные Челны, 1996. - 5 с. -Деп. в ВИНИТИ 6.02.9G, № 400-В96.

12. Шакиров Р.Г. К задаче Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе /Набережночелнинский гос.пед.ин-т.- Набережные Челны, 1996.10 е.- Деп. в ВИНИТИ 28.03.96, № 1024 - В96.

Работа 3 выполнена в соавторстве с Ю.М.Крикуновым. В этой работе определение обобщенной функции Грина задачи Неймана, теоремы 1. 2 и пункт 3 принадлежат Ю.М.Крикунову, а теорема 3 и пункт 4 - Р.Г.Шакирову.