Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В.И.РОШШОВСКСГО

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОБЛАСТЯХ

0I.QI.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ '

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГ6 од

На правах рукописи

Ташкент - 1935

Работе выполнена в Институте математики имени В.И.Рома-новского Академии наук Республики Узбекистан.

Научный руководитель доктор физико-математических наук

С.АВДШАЙАРОВ

Официальные оппоненты : доктор физико-матамотических наук

■ А.УРИНОВ ......-

кандида? физико-математических наук С.ЯКУБОВ

Ведущая организация - 'Институт ыатачатики и механики АН

Туркменистана.

_ ," .Защита диссертации состоится •ей*."- 1995 г.

в ■ /.7 час. на заседании специализированного совета- -Д 015.17.21 в Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент, ул.Ф.Ходжаева/, 29. .

"С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан " " ЛЦА- Я 1995 г.

• Ученый секретарь специализированного оовета доктор щиз.-мат.наук,проф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи о расширением сферы прилоаений математических методов в настоящее время часто возникаю* задачи, связанные с исследованием уравнений в частных производных, не принадлежащих ни одному из классических типов. Сейчас еще недостаточно хорошо развита теория граничных задач для уравнений, обобщающих классические уравнения математической физики.

- Одним из важных классов неклассичеоких уравнений'в частных производных являются уравнения нечетного порядка с кратными характеристиками, основы которых были залонены в работах B.Del. Vecchlo., Н.Block •. В дальнейшем•теория уравнений с кратными" характеристиками была значительно развита итальянским математиком I.Cattabriga, - ..................

Интерес к изучению краевых задач для-таких уравнений особенно возрос после того, как обнаружилась их связь о задачами механики и физики. Например, уравнение Кортевега-де Вриза -Бвргорса

J?и, DZU t j и _0

Г/Dx* ' <1)2.* фХ. г t <bt~

которое является одним йэ представителей уравнений с кратными характеристиками, встречается в нелинейной акустике, магнитной гидродинамике и т.д. Продольные колебания составных стераней, состоящих из упругих и упруговязких участков, описываются уравнением третьего порядка.

К исследованию, уравнений о кратными характеристиками нечетного дорядка привлечено внимание многих авторов как у нас, так и за рубежом. Отметим здесь работы L.Cattobriga, Т.Д.Джу-раева, Ю.Иргашева, С.Абдиназарова, Н.Н.Шополова, Т.Г.Тодорова, E.Ii.Roetman и др.

Исследование нелинейных задач для вышеназванных уравнений - это сравнительно новое направление.

Диссертация посвящена исследованию линейных и нелинейных краевых задач для уравнений с кратными характеристиками в криволинейных областях.

Цель работа. Целью диссертационной работы является изучение вопросов существования и единственности решения линейных и нелинейных краевых задач для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областях.

Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается методом интегралов энергии и априорных оценок. При доказательстве существования ревюния краевых задэч широко применяется теория ингегральих уравнений.

Научная новизна. В работе впервые исследуются уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами и нелинейными граничными условиями в криволинейных областях, а также, построены и изучены некоторые свойства функции Грина для некоторых задач. Получены необходимые условия на линии, определяющие боковые границы криволинейной области.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер и её результаты могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений с кратными характеристиками, а также служить основой при решении ряда прикладных задач, связанных о уравнениями третьего порядка.

Апробация работы. Реэультпты диссертации докладывались на объединенной семинаре, отделов "Дифференциальные уравнения" и "Иеилзссическив уравнения математической едзпки" Института математики шл.В.И.Ромуновского АН Республики Узбекистан (руководители - академики АН РУэ М.С.СалахиЯдиноз и Т.Д.Дкураев), на семинаре "Функциональные методы математической физики" (руководитель - член-корр.АН РУз Ш.А.Алимов), на Л. 1е жду народной нзучно'З конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993- г., ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященных паглтл В .И.Романовского (1592-1594 гг.).

П.Убликацив. По теме дгсоартодо опубликовано пять п»у;лих отател, в которых отр-.^ено ооновкоэ солврудояе диссертации.

Структура и обьем диссертации. Работа-состоит из введения, двух глав, содержащих 4 параграфа, и библиографии. Общий обьем работы 94 страниц машинописного текста. Библиография включает 34 наименования.

-СОДЕЕШШБ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся: к теме, диссертации и приведены основные результаты диссертации.

В первой главе исследуются некоторые краевые задачи для уравнений

,i

■ ' t2>

В § I главы I для уравнения в области .

рассматривается-следующая краевая задача.

Задача. Найти регулярное в области (L-i,&)

решение уравнения (3), непрерывное шеста с производными U. ,

_ че

U. в замкнутой области ^ и удовлетворяющее краевым -¡■X ж С , '

условиям

' и. fr,o)-FJ*),

, и условиям сопряжения на линии разршэа коэффициентов X - (у)

. ф

«е ^(У), =

1*1,Я.) -- заданные функции, причем

¿-'А

'< Заметам, что, не ограничивая обцностл, уравнение С1) мокно яривеоти к уравнению (3).

ТЕОРЕМА .1. Пусть выполнены условия

з)

- У -

4) а1РЫ

Тогда роиенио задача единственно.•

ТЕОРЕМА 2. Если параду с условием теореш I выполнены условия:

Е[*)€С'1\(о), 1,(0)), ^ (Ц), У

Ш Ш Ш' уук'м,

то решение задачи существует.

Едзяствеиносхь решения задача доказывается методов пнтегра~ лов энергии, а суцестзоЕаяив решения - сведением ее к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода,' разреял-ность которого следует :*з доказанной едкнстпонностп рвшояяя»

г < «* 4 4

о

/--'А

- 8 - •

.§ 2 главы 1 посвящен решению, краевых задач для смешанных уравнений (I), (2) в областях ^^ |(ху): 0< ас/. 1>

= у): С)<0?■¿.if -Ку-сО^ соответственно.

Задача. Требуется найти решение

Е^'^ПС^^ПС0'1^^ 0£Я4 о), (>=<*)

/являющееся регулярным решением уравнений (I) и (2) в областях и- %г соответственно и удовлетво-

ряющее следувдми краевым условиям

Отметим, что краевые условия взяты однородными ради просто-.ты; задача с ненулевыми условиями исследуется аналогично.

Т Е О Р Е М-А 3. Если

то решение задачи единсгвевно. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии. При доказательстве существования решения задача построена функция Гринв для вспомогательной задачи и использована теорема Фредгольма для интегральных уравнений.

Во второй главе изучаются нелинейные краевые задачи для уравнения

V <«

• В 5 I главы П рассматриваются следующие задачи.

Задача А. Найти регулярное в области

решение

- 9 - .

М^У)6^ '■ ' {$) уравнения (4) в удовлет-

воряющее краевым условиям

ФМуММ

и условиям согласования

Задача В. Найти регулярное в области

О*¡¿¿Уу. решение

уравнения (4) и удовлетворяющее краевым условиям

и условиям согласования

д (ФМ О.о) = (о)ЬР(О) г'1 (Л,

И для них доказана тео.рема единственности.

ТЕОРЕМА 4. Если % (у) е С~ (о * I/* У) (С-1,ё)

К - аап^>о

ю реаенае задача А единственно.

ТЕОРЕМА 5. Дуста" ^ (у)€С. (о^У,) (1-1Л)

р(¥)

Тогда решение задачи В единсгвенно.

Единственность решения задач А, В доказывается методом интегралов энергии, используя интегральные неравенства.

- В £ 2 глаш П для задач А, В доказывается теореиа судест-вовашш.

ТЕОРЕМА ?. Пусть «арвду о условиям теореш 4 шдод-яеги усзозш

■тогда существует решение 11 (Я] задача А, непрерывнее шесте о производными и^ , Кв замкнутой области ^ .

ТЕОРЕМА .10. Пусть

У С^-М)"

с

и выполнены условия теоремы 5; тогда существует решение задачи В, непрерывное вместе с производными и , I/__в замкнутой

ГГ" ^ СР «Г1

области »

При доказательстве существования решения задач А, В построена функция Грина для вспомогательной задача в использован метод потенциала и, в конечном итоге, получено нелинейное интегральное уравнение типа Гашеритейнэ.

Сущесгвсаанле и единственность решения нелинейного интегрального уравнения доказаны принципе?.? скатах отображений.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю признательность научному руководителю - доктору физико-математических наук С.Абдипа-ззрову и академику АН Республики Узбекистан Т.Д.Джураеву за постановку задач, постоянное внимание и ценные советы при выполнения настоящей работы.

Основные результаты работы опубликованы в следующих науч-нчх статьях:

1. Абдиназаров С., Хашимов А.Р. Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками и разрывными коэффициентами■//■Узб.Мат.Журнал. 1993, й I, - С.3-12.

2. Хашимов А.Р. Нелинейные краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Узб.Цат.Журнал. 1993, 2. - С .97-102.

3. Абдкьг.зпров С., Хашимов Л.Р. Об одной задаче с нелинейными

начальными условиями. В кн.: Тезисц докладов Международной научной конференции "Вырокдавдвеся уравнения и уравнения смешанного типа". Ташкент: 1993. - С.З.

4. Абдиназаров С., Хашимов А.Р. О единственности решения нелинейных краевых задач дда уравнений третьего порядка о кратными характеристиками // ДАН Респ.Узб. 1993, & 9,-С.3-4. .

5. Абдиназаров С., Хащшов А.Р. Нелинейные раевие задачи для неклассического уравнения третьего порядка // Узб. Материал. 1994, Л 2. - С.3-7.

, КАРРМИ ХАРАКТЕРИСТИКАШ ШЩ ТАРТИБЛИ ТЕНГЛАМАЛАР УЧУН ЗГШ ЧИЗЩШ СОХАДА ЧЕГАРАВйЛ МАСАЛАДАР

Уыбу ищ икки бобдан иборат булиб, унинг биринчи бобпнвпг биринчи ларагрвфида ноэ($фициентлври биринчи тур узилишга ага булган учинчи тартиблм тенгламалар учун эгри чязшуш ссвдда ча-зи«ли чегвравий ыасалелар ад'ййлгав ва текалрилган. Шунингдек сохвнннг чегэрэсигз мвсалвнинг ягснв ечими мэвтсуд булашини таьмпнловчи зарурий шартлар олпкган.

Иккинчя. парагра(|ида эса аралэш типдаги учинчи тартибли тенгламалар учун чегвравий масалвлар урганилган.

"Лккинчи бобда кзррали характеристикам эга учинчн тартибли тенгламалар учун чизивди булмаган масалвлар ургэнилгвн. .

Издв урганилган масалалвр ечимининг ягоналиги энергия интеграллара ва интеграл, тенгсизликлар ёрдемадэ исботлэнган. Масалвлар ечимининг.мввжудлигини исботлашда эоа фредгольм интеграл тенглвмвлври, Вольтерр интеграл тенгламалар систвмаси.ва

Чизика иулмаген интеграл теягламвлвр нвзариясидан кенг фоЗдв-лвнилган во ёрдомчи. масалвлар учун Грив функциялари чурилвб,

улврнинг хоссалари ургаиилгои. ...

А1'ссертвцияда олингвн пата хал ар каррали характеристииали тэнглл: :!:.'1прг0 олиб келувчи вмплий масвлаларни ечишдв иулланилаши мумкин.

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE THIRD ORDER EQUATIONS WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS IN THE CURVED DOMAIN

The candidate dissertation consists of introduction and two chapters.

In the § 1 of the first Chapter.the linear boundary value problems for the equation of the third order with . discontinuous coefficients of the first kind in the curved domain are studied and necessary conditions for the curve are given. The 5 2 is devoted to the study of the boundary value problems for the third order equation of the mixed type. _ _

In the second chapter the nonlinear boundary value problems for the equation of the third order with Multiple characteristics are studied.

Further the solution uniqueness of the problems have been proved by the energy integrals methods. The theory of Fredholn integral equations, Volterra system of linear ■ integral equations and nonlinear integral equations are widely used to prove the existence of the involved problems solution.

The results obtained in the dissertation are new and are of theoretical nature. They can be a {¡pled in the theoiy of boundary value problems for the equation with multiple characteristics and in solving problems resulting in euoh equations aa well.