Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

ОД

На правах рукописи

ХАШИМОВ Абдукомил Рисбекович

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ—1993

Работа выполнена в Институте математики имени В. И. Романовского Академии Наук Республики Узбекистан

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук С. АБДИНАЗАРОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Р. Р. АШУРОВ, кандидат физико-математических наук А. С. БЕРДЫШЕВ.

Ведущая организация — Южно-Казахстанский Технический Университет.

Защита диссертации состоится <>..(№/ .» .1998 г.

в . . час. на заседании объединенного специализированного совета Д015Л7.01 в Институте математики имени В. И. Романовского АН РУ ло адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. И. Романовского АН РУ.

Автореферат разослан «. » . . 1998 г.

Ученый секретарь спец. совета кандидат физ.-мат. наук ____f^ Ж. О. TAX И РОВ

'V

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с расширением сферы приложений математических методов в настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в ,частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Сейчас еще недостаточно хорошо развита теория граничных задач для уравнений, обобщающих классические уравнения математической физики.

Одним из'важных классов неклассических уравнений в частных производных являются уравнения нечетного порядка с кратными характеристиками, основы хюторнх были заложены в работах S.Del Vechio, н.Block. В дальнейшем теория уравнений с. кратными характеристиками была значительно развита итальянским математиком L.Cattabriga.

Интерес к изучению краевых задач для тают уравнений особенно возрос после того, как обнаружилась их связь с задачам! • механики и физики. Например, уравнение Кортевега-де Фриза-Бвргерса

p^fu + Л + « ао. / U + ди а 0> дзг гзг дх 2 t dt

которое является'одам из представителей уравнений с кратными характеристиками, встречается в нелинейной акустике, магнитной гидродинамике и т.д. Продольные колебания составных стержней, состоящих из упругих и упруговяэкпх участков, описываются уравнением третьего порядка.

К исследованию уравнений с кратными характеристиками нечетного порядка привлечено внимание многих авторов как у нас, так и за рубежом. Отметим здесь работы ь.СаиаЬг^а, Т.Д.Джу-раева, Ю.Иргашева, С.Абдиназарова, Н.Н.Юополова, Т.Г.Тодорова, Е-Ь-йов^ап и др.

Исследование нелинейных задач для вышеназванных уравнений -это сравнительно новое направление.

Диссертация посвящена исследованию линейных и нелинейных краевых задач для уравнений с кратными характеристиками в криволинейных областях.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение вопросов существования и единственности решения линейных и нелинейных краевых задач для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в . криволинейных областях.

Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается методом интеграла энергии. При доказательстве существования решения краевых задач широко применяется теория интегральных уравнений.

Научная новизна. В работе впервые исследуются уравнения третьего порядка с . разрывными коэффициентами и нелинейными ' граничными условиями в криволинейных областях, а также построены и изучены некоторые свойства функции Грина для ряд задач. -Получены необходимые условия на лиши, определяйте боковые границы криволинейной об-

г

ласти.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит

теоретический характер и ее. результаты могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений с кратными характеристиками, а также служить основой' при решении ряда прикладных задач, связанных с уравнениями третьего порядка.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по., дифференциальным уравнениям "Современные проблемы теории дифференциальных уравнений в частных производных" Института математики им.В.И.Ромаяовс-• кого АН Республики Узбекистан (руководители - академики АН РУ~ Т.Д.Дкураев и М.С.Салахитдшов), на семинаре "Функциональные методы математической физики" (руководитель - член-корр. АН РУ Ш.А.Алимов), на кафедре теории оптимального управления механико-математического факультета ТашГУ (руководитель - члан.т-корр. АН РУ Н.Ю.Сатшов), на Международной научной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г., ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященных памяти В.И.Романовского (1992-1994 гг.).

Публикация . По теме диссертации опубликовано, •четыре научных статьи, в которых отражено основное содержание диссертации.

Структура и объеы диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих 4 параграфа, и библиографии. Общий объем работы 97 страниц машинописного текста. Библиография включает зб наименований. 1

СОДВВШШ РЛБОЩ Во введении дац краткий обзор работ, относящихся к тема диссертации и приведены ее основные результаты диссертации.

В первой главе исследуются некоторые краевые задачи для уравнений

<Ээи, ви. д^и.

а --* + \ а Ах,у)—тЦМг.у). а =coпst>о, {=1,2, (1)

1 дог оу 3 вх3 1 1

3=-О .

аг3 вуг

В § 1 главы I для уравнения (1) в области Р=Г(и ©2,

где = |(х,£/): Л{(у)<х<Л1+1 (у), ((=1,2),

рассматривается следующая краевая аадача.

Задача . Найти регулярное в области 2>{(1=1,2) решение и. [х,у) е С3-1 (V.) П С2,?(2>.) удовлвтворяхщее

I | у I 71 У I

уравнению (1) и краевым условия;,!

и,(Х-,о) = ?г{(0) « х « (0),

V'1(!/).!/) = <?((£/)» <=1,2,

и условиям сопряжения на лишш а: = /12(у) разрыва коэффициентов

1А<и

г- зйи.(М1/).!У) (и(.Ц2) = ик{(у) -- = гк(у), 0^1,

{-1

где

ф/}/) и=ТТЗ), у{(х) (1-1,2), г-Ь{(у), гк(у)(Ь=67ё, 1=1,2)

заданные функций, причем

Ф4(о)=Р4(Ттае_1 (о)). (р3(о)=г'(/г1 (о)),

г

гл(0) = £ уы(0)р<й)№2(0)), ыз^г. (-1,2, 1=1

л,(у) € о^Цсо.п)) ОТЛ). |Лз<у)-Лз(Г|)| <К|у-тЦ,

К=сопз£.

Творена I. Пусть выполнены условия

1) ахУаг(.у)Угг(у)-а^ох(и)г^(у) = о,

2) ^^[^(у)«!,,,^?/),*/)] » ^(^[^(у^^уЬу)], э> ^М^У) <

4) > а2г^(у),

5) а}1(х,у) е {=1,2, /=о,1. Тогда решение задачи единственно.

Теорема 2. Пусть наряду с условиями теоремы 1 выполнены следующие условия

^{х.ю е ( 5,), //1,0) = о) = о, /2(х,у) с ( 52], /2(х,о)=о,

?{(х) € С3([п{(0), ?1(+1(0)]), ф,(у), Ф3(у) € Сг{[0,1]], Г0(У). г/у). € С1([0,1]),

Фг(у). гг(у), vZi(y) е с([0,1]],

bjiy) € C3-J(l0.1)), jh3(y)-7i3(ri)j 4 Щу-Щ, К=conat, .

J=T73, ¿=1,2, Oiyci.

Тогда решение задачи существует.

Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии, а существование решения - сведением ее к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из доказанной единственности реиешя.

Второй параграф главы I посвящен решению краевых задач для уравнений

Задача . Требуется найти функцию и(х,у) е Ci}'* (®t> П

являвдвся регулярным решением уравнений (3) и (2) в областях Р1 и Z)g соответственно и удовлетворяющую следуквдм краевым условиям

U(X,~1 ) = О,

и(0,у) = Ul1,y) = их11,у) - о,

г

OCTil,

и(о,у) = ujo.y) = U(1,y) = о,

Отметим, что краевые условия взяты 'однородными ради простоты; задача с ненулевыми условиями исследуется аналогично.

Теорема 3. Если 1) а0(х,у), а1х(т,у) € с[ D,],

г) £ а1я(х,у) - а0(г,у) > о,

то решение задачи единственной Едшгственшсть решения задачи

доказывается методом интегралов энергии. При доказательстве

существования . решения задачи построена функция Грина для

вспомогательной задачи и использована теорема Фредгольма для

интегральных уравнений.

Во второй главе изучаются, нелинейные краевые задачи для 1 1

уравнения

В первом параграфе глаш II рассматриваются следующие задачи. .

Задача А. Найти регулярное в области

D = {(г,у): h1(y)<x<hz{y), о < у «

решение и(х,у) € п Ъ ] п cj};J[ Ъ Ч^Ъ^у)))

уравнения (4), удовлетворяющее краевым условия?«

ti(X.O) = F(X), 71,(0) < X < fl2(0),

(у) ,yj = <р, (у); u[ftg(у) ,у) = <рг (у),

u W-У] = <У> •»] -У] » 0 « У < Y

и условия;,1 согласования

Ф1 (О) = J• [71, (О)] , <р2 (О) = y(fl2 (О)],

. gfufi/oj.oJ.o] - Р"(л,(0)].

Задача В. Найти регулярное в области V = {(г,у): /ц(у) < х < К,(у), О < у < yj решение и(х,у) i С2,0Г Г ] И С3'1(Z>) уравнения (4),

®il/l J ® ■ V

удовлетворяющее краевым условиям

uix,o) = ?(£), ?г1 (О) о),

(У) .у) = Ф,(У). (у) ,у} = Ф2 (у),

ue»('1a<V)'l/)+P<i/)ue(?,a(l/i»f) а гг(и(Лг<1/).1/)»1/). о « у « Y

и условиям согласования

Ф1 (о) = (о)}, ф2(0) = F'[^(0)]f

g[u(n2(0).0),0) = P"[ftg(0)) + ß(o)p-(n2(o)).

Для них доказаны следующие теоремы единственности. Теороыа 4. Если h{(y) € С1 (О у ^ У) ((=1,2),

ß("[^(y).y).y) е c(lq.Yj)

и

jßitiity)-g(us,y) j С г (у) juru2j,

^[-¿(^(yb^iy),]] , (у)~К (У)

о < I (у) С- ik---—1-—, k-conat > о,

(У) > о.

то решение задачи .V единственно.

Теореиа 5. Пусть Гг{(у) е с' (о « у < У) ({=1,2),

б[и[пг(у),у],у] € с[[о,у]], |«(и1,у)-в(и2,у)| « Ку)!^-^!,

3 Р<У>

о < 1 у < ^ -т

2 [МуНг^у)]

Л,(у)-й

га > Р (у) >Р0 >0, Р0, fe-COnЗÍf Ь < Ну (у), n=C0nзt > О.

Тогда решение задачи В единственно.

Единственность решения задач А, В доказывается методом интегралов энергии, используя интегральные неравенства.

В 52 главы II для задач А,В доказываются теоремы существования.

? 6 о р е аа 6. Пусть наряду с предположениями теоремы 4 выполнены следующие условия

гцх) е С3([/11(0),?г?(0)]]. фЛ(У) <• с?([о,у]), <р2(у) € с1([од]), /(х,у) € Ъ ), /(я,о) = о, " ^(у) с С1 ([о,у]],

1в(и,у) | < И, 11 =сопз( > о, при V |и{ < к>, и при фиксированном

~ [в(и.у)] € 0[ю,У1).

Тогда решение и<:с.у V \(х=?1г(у)]] П V ) П

задач:? А существует.

Теореыа 7. Пусть <р{(у) € С3 {[[o,Yj], (1=1,2), ?(х) е C3[[hJ(0),h2(0)]]I

/(г,у) е Б ), = о, 15(и,у)| < и,

при V |U| < Ш, Р(у) € c[tO,Y]]

и выполнены условия теоремы 5. Тогда решение задачи В существует.

При доказательстве существования решений задач А, В построена функция Грина для вспомогательной задачи, использован метод потенциалов и, в конечном итоге, получен; нелинейное интегральное уравнение типа Гаммерштейна.

Существование и единственность . решения нелинейного интегрального уравнения доказаны применением метода последовательных приближений.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность научному руководителю - доктору физико-математических наук -С.АбдиназароЕу за постановку задач, постоянное внимание и ценные советы при выполнении настоящей работы.

Благодарю токке академика АН РУ Т.Д.Джураева за полезное обсуждение некоторых вопросов возникших в процессе работы над диссертацией.

Основные результаты работы опубликованы в следукцет научны! статьях:

1. А б д и н а з а р о в С.. X а в я м о в А.Р. Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными

.характеристиками л разрывными коэффициентами // Узб.Мат.Журнал. 1993, -- 1. - С.3-12.

X а и и м о в А.Р. Нелинейные краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Узб.Мат.Журнал. 1993, — 2.- С.97-102.

А б д и Назаров 'С., X а и и м о в А.Р. О единственности решения нелинейных краевых задач для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // ДАН Респ.УзО. 1993, — 9. - С.3-4.

X а ш и м о в А.Р. Об одной задаче для уравнения скевашого типа с кратными характеристика'® // Узб.Мат. Журнал. 1995, й 2. - 0.95-97.

. )

кдррш mmmíwimm¡ учиачи тартибли тенгламалар учун

ЭГРИ ЧЙЗШШ1 СОХАДА ЧЕГАРАЕШТ МАСАЛАЛАР

Ушбу кш икки бобдан иборат булиб, ушшг биринчи бобишнг биринчи параграфида коэффициентлари биринчи тур узилишга эга булган учинчи тартибли тенгламалар учун эгри чизикли сохада чизикли чегаравий масалалар куйилган ва текиирилган. Шунингдек сох,а учун масалзнинг ягона ечими мавжуд булипшни таъминловчи зарурий шартлар олингаи.

Иккинчи парагрвфвда эса аралаш типдаги учинчи тартибли тенгламалар учун чегаравий масалалар урганилган.

Иккинчи бобда каррали характеристикага эга учинчи тартибли тенгламалар учун чкзикли булмаган масалалар урганилган.

Ивда урганилган масалалар эчимининг ягоналиги энергия интеграллари ва интеграл тенгсизликлар ердамида исботланган. Масалалар ечишнинг мавкудлигини исботлашда эса Фредгольн интеграл тенгламалари, Вэльтерр штеграл тенгламалар системаси ва чизикли булмаган интеграл тенгламалар назариясвдан кенг фойдаланилгвн ва ердамчи масалалар учун Грин функциялари курилиб, уларнинг хоссалари урганилган.

Диссертациядз олинган натюкалар каррали характеристикали тенгламаларга олиб келувчи амалий масалаларни ечишда кулланилиши мумкин.

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE THIRD ORDER .

EQUATIONS WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS IN THE CURVED DOMAIN

The candidate dissertation consists of Introduotion and two chapters. •

In the § 1 o1 the Ilrst chapter the linear boundary value

problems tor the equation of tho third order with disoontinuouo coefficients of the first kind in the curved domain are studied and necessary conditions for the curve are given. The § 2 is devoted to the study of the boundary value problems for the third order equation of the mixed type.

In tho second chapter the nonlinear boundary value problems for the equation of the third order with multiple characteristics are studied.

Further'' the soluti on uniqueness of the problems have been proved by the energy integrals methods. The theory of Prodhola integral equations, Volterra system of linear integral equations and nonlinear integral equations are widely used to prove tha existence of the involved problems solution.

Tho results obtained in the dissertation are ne^j and are of theoretical nature. They oan be appied in the theory of boundary value problems for the equation with multiple eharaoteristioe and in solving problems resulting in such aquations aa well.