Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический оператор тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

/ 3 ..........

АКАДЕМИЯ ШК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН Институт математики имени В. Н. Романовского

На правах рукописи

ТЛЛИПОВ Атаиет

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДНА, СОДЕРЖАЩЕГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИИ ОПЕРАТОР

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

УЧВТО РЕФ ЕРАТ

диссертации на соискания ученой степевд кандидата Физнко-матенатичеС1сих наук

Тащкепт- 1993

Работа выполнена в Институте математики инени в. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Научный руководитель - академик,

доктор Физико-математических наук, профессор Т. Д. Джураев

Официальные оппоненты - член-корреспондент АН Казахистана.

доктор Физико-математических наук, профессор X. Ш. Кальменов

- кандидат физико-математических наук, доцент дж. А. Аманов

Ведущая организация - Институт математики и механики Акадении

H^yjc Туркменистана

'¿J . , ■

Зашита диссерташш состоится *LjJ"__^llj-^SÍl-SJ— 1993 г.

в I у часов на заседании специализированного совета Д 015.17.21 в Институте, натенатики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент -143. ул. 'Ф. Хошсаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института

математики инени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан. .

, р ___

Автореферат разослан 1993 г.

$

Ученый секретарь специализированного совета доктор Физ. -мат. наук

ил-

Ш. А. Хашимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Теория уравнений смешанного типа за последние года, благодаря-своей практической значимости, превратилась в . один , яз интенсивно развиваквдхся разделов современной теория дифференциальных уравнений с частными производными. Первым фундаментальным исследованием по уравнениям смешанного типа второго порядка явилась работа Ф.Трькоми. ......

Уравнения параболо-гиперболпчеоних типов в теоретическом плане в сравнении с эллштико-парабодическими уравнениями еще мало исследованы, с.другой стороны, они могут-быть полонены за .основу математического моделирования ряда ваяс-ных прикладных задач естествознания- Например, .некоторые проблемы механики сплошных сред,.геофизики,.задачи совместно-раздельного течения вязко-упругой и вязкой шдкости,тепломассообмена, движение газа в канале, округленном пористой средой, и др. сводятся к изучению краевых задач для парабо-ло-гяперболических уравнений.

Большинство основных результатов, имевшихся к настоящему времени в теории уравнений смешанного типа, можно найти в монографиях и работах А.В.Бицадзе, Л.Берса, М.С.Салахитди-нова, Т.Д.Дздрае'ва, М.М.Смирнова, Е.И.Моисеева, А.М.Нехуие-ва, В.И.Врагова, В.ф.Волкодавова, М.М.Мередова, Т.Ш.Кальме-нова, С.Н.Пономарева, А.П.Солдатова, А.Г.Кузшна, А.А.Дези-на-и других.

Вслед за развитием теории уравнений второго порядка смешанного типа развевается быстрыми темпами теория уравне-.ний составного и смешанно-составного типов. Это работы А.В.Бицадзе, Ы.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова. М.М.Мередова и их учеников.

• В настоящей диссертации рассматриваются малоизученные уравнения третьего порядка

(A fc. э) £ + 6 (л, + С I», s))L и (к, у) - о (I)

' 0 ti.1V <7 4 у

и

заданные функции действительных аргументов, прячем

Отметиы, что в известных нам работах уравнение (I) исследовалось, главным образом, при

М*, & (:к> V) 535 °> С

ют

В=з/, А (х,у)нэ сэ С (х,у)~о

Когда коэффициенты оператора первого порядка постоянные -числа, т.е. А (я, у) а. " • , е> / , с. краевые задачи для уравнения (I) (при

^з/ , , ё.-о . ¿¿-О .. ¿«^г для урав-

нения (2)) в традиционной смешанной области изучались в работах Т.Д.Дкураева, М.Мамаяанова, О.С.Зжирова и Д.Халмура-това.

- б - .

Если коэффициенты оператора первого порядка загасят ' хотя бы от одной переменной, то исследование краевых задач для таких уравнений связано с существенными труднее?®,ш. Например, если -сьх. ™ , Ь -■ёу"' .

С (рс, ]}) =■ ; а., в, с- - постоянные числа, то получим вырождающиеся уравнения третьего порядка, теория которых ещё не разработана.

Цель работа. Постановка и исследование корректных. . краевых задач для выроэдаквдссся уравнений третьего порядка, содержащего параболо-гиперболическиЯ оператор в главной части (уравнения (I)), а также задачи Кош и видеоизменен-ной задачи - для уравнения (2> при постоянных

коэффициентах оператора первого порядка.

Методика исследований. Единственность рассматриваемой задачи Коши доказывается принципом максимума для параболических и гиперболических уравнений, существование решения сводится к разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Остальные краевые задачи сводятся к линейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, однозначней разрешимость которых устанавливаются на основе общей теории.

Научная новизна работы состоит в решении следующих вопросов, рассматриваемых впервые:

1. Изучение задачи Кош для сметанного уравнения третьего порядка, содержащего парабодо-гипербодический оператор вида (2) при постоянных коэффициентах оператора первого порядка в области •

ф = у - < зс. < О , У>0J и^ЖЖ «ХЭ, $ >oJ

2. Изучение видеоизменной задачи ^«ес. для уравнения (2) при постоянных коэффициентах оператора первого порядка в традиционной смешанной области.

3. Постановка п исследование корректных краевых задач для вырождающегося уравнения третьего порядка, содержащего оператор теплопроводности в квадрате и параболо-гаперболи-ческий оператор вида (I) в традиционной смешанной области

' - 6 -

когда у) , Е>(х,у) - заданные функции специаль-

ного вида, в С Слг у) <2- - заданное вещественное число.

Заметки, что постановка корректных краевых задач (задание краевых условий на тех или иных частях границы области) существенно зависит от расположения характеристик оператора первого порядка. Уравнение (I) охватывает широкий клаос ранее изученных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они йогу? быть использованы для дальнейшей разработки теории неклассических дифференциальных уравнений о частными производными третьего порядка, а такав как математическая модель ряда прикладных задач геофизики, механики и физики.

АпроС.шя работа. Основные результаты диссертации докладывались на Объединенном семинаре отделов дифференциальных ургвнений и неклассических уравнений математической физики Института математики АН Республики Узбекистан (руководители: академики М.С.Салвхигдинов, Т.Д.Дкураев); на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальные управления" (г.Ашхабад, 1990 г.).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [lr6] .

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 99 страницах машинописного текста. Состоит из введения и двух глав, разделенных на 5 параграфов. Библиография содержит 67 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш исследования» дан краткий обзор работ по исследуемый проблема», излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе изучается задача Коша (§1, 5 2) я видеоизменяая вадача <§ 3) для уравнения третьего

порядка, содержащего параболо-пшерболичеокий оператор вида (2), кота коэффициенты оператора первого порядка задан-

ныв постояшшо •числа, т.о. , I

Пусть

о-,

= /УЛ' < ^ < ^ о < а

=г ¿0 (У |уд. _ СО < ¿с < ГЮ/ — о |

Задача К. Найти регулярное решение ¿Л- ^ , £ ® 1,2 уравнений (2) в области ^ ^^ » непрерывное вместе с производными в и удовлетворящее следующим

начальным условия®,!.

I. Если о -с в/С1.< оо , то

л*, о; - сх), С*, о) - % (Х)/

(;<?:<«), (3)

о^ 5«. < (4)

-СО <; л- < О) (5)

- оо < ^ ^ СР; (6)

~оо<; О , (7)

П. Если — оо < < о , то выполняются условия (3)-(7);

Ш. Если £ — то выполняются условия (3),{5),(6); 1У. Если =Ог то выполняются условия (3)-(7) и условия сопряжения на линии изменения типа: в случае 1У

и

< оо

(8)

и)ж К2) = илзе Се <9>

а во всех остальных случаях наряду о условиями (8), (9) выполняется и условие

Х!Дв ^ (я?; • ¿« 1,6 - заданные гладкие функции, причем Введя новые неизвестные функции ^

+ (ОС, у) +

+ Iе, = 2 (И)

получим следу щуп задачу

I. у; = с,; ё'23-, с.' = /, (12)

~ Ф^х), (13)

о) = <#> = (Х)>

= о*з<оО. (15)

Функции ¿Т-Я ¿ — 1,3 выражаются через функции

У.&К с Учетом обозначений (II).

^ Скачало изучается задача (12)Щ5). Теооема» Пусть, выполнены следующие условия: I) параболический оператор с непрерывными и ограниченные коэффициентами, т.е.

2) , ^ - ограничены, непрерывно дифференцируемы, •

а в области но , . у^о выполнены нера-

венства

^ + §я * Ч сд - °

Тогда однородная задача (12)-(15) имеет только тривиальное решение в классе ограниченных функций.

Далее, для I - у) ¿ = получим одно-

родные уравнения (II), Используя представление общего ре- . шения уравнения (II), доказывается единственность решения задачи (2)-(Ю).

Теорема. Пусть выполнены условия:

1) о, , в, , - ограничены и непрерывны, - удовлетворяет условию Гельдера по- ^ и у , функции »

с1 - по дг. с показателем о < ос ^ 1 ;

2) %у с-*, - ограничены и непрерывны, СЬ (х)- двекды, с^>ъ - непрерывно дифференцируемы; • .-.-.■•

3) функция О^Ч'я;)- двавды непрерывно дифференцируемы,

причем I Ф, > - )'! = * ' I х - , | ^

1л-, I <Л1 , ^ сч'^г У .

. Тогда существует решение • ^¿^¡У) , задачи (12)—(15) из класса ограниченных функций.

При доказательстве этой теоремы в гиперболической части используются представления решения задачи Кош и гиперболические потенциалы, построенные в работе ГиСк) М-,

XX РьЪъта. 19&. ¿2/. Ъ05:Ж.

В области используется параболические потенциалы,

исследованше Камылшгш Л.И. После некоторых вычислений • задаче (12)—(15) сведется к системе интегральных уравнений

- -10 - . . -Вольтерра второго, рода относительно неизвестных плотностей. В третьем параграфе первой главы в области

30 иАВ У&2. •

-.-к * ?

Ау): у = о]

для уравнения (2) при У) — ' изучается следую-

щая видоизмененная задача .

Задача. Требуется определить функции и^ (ж, у) { 2 , которые:

1) илх,»еС1(-Юп Сг С^),

2) являются регулярными решениями уравнения (2) в области ) ¿=4,2з

3) удовлетворяют следующим краевым условиям:

а) если , то выполняются условия

и'/ллГЧ<У>, (16)

У / (19), (20)

И*/в<Г Та (Х ' Мс

Заметим, что условию (20) монно заменить условием

Э^я/ I ~ ф (за)

■ эГ/ас. _ <2«

-б) если , то выполняются все уоловия кроме

(IV);

.4) удовлетворяют на отрезке АВ непрерывным условием склеивания о о свошп первыми и вторыми производными..

-п.- _ _

Здесь ГЬ - внутренняя нормаль, (/! , ф. , г' = 4 -заданные гладкие функции. 1

Сначала доказывается следующая теорема, когда

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1)' £ , & ее", Ц , %

2) К ^ - $ Ч (?)

Тогда решение задачи существует и единственно. Вторая глава диссертации посвящена исследовании .краевых задач для вырождающегося уравнения третьего порядка.

В первом параграфе .в области г-£> ^ , описанной в третьем параграфе первой главы, при = 4 изучен краевые задачи для уравнения

''У'* Vя!

где О- , ё , <2 , /V , Язаданные вещественные постоянные.

Постановка корректных краевых задач для уравнения (24) существенно зависит от расположения характеристики уравнения

-<25).

в области . .

Уравне!ше (24) мы сведем к уравнению второго порядка с неизвестной правой частью, т.е. к виду

= со[$(1->1)х1~%- а(26) х ejr.fiГ-----(б^-^эс*'- а ' V

- 12 -

где СО - неизвестная непрерывно дифференцируемая функция.

Краевая задача для уравнения (24) (иге для (26)) должна бить поставлена- так,, что с помощью ее граничных условий моино было определить как функцию , так и функцию и(х,у) . Поэтому прежде всего' надо позаботиться о га, чтобы аргумент функции со , т.е* а (7-

бял определен для всех точек

При т<1 , и.</ характеристики, удовлетворяюще неравенствам

(27)

б су-я;л- а. у7 (гз)

полностью покрывают соответственно трапецию Щ ~ ^

1-п

и треугольник

в случае к>1 (см.рис.1); треугольник Аьв. и трапецию — й> 3д4£

в случае к-^1 (рис.2) (здесь указан только случай о<т<1 о< п. < I )•

Е

к

\а \ £>о

Рао.Х.

Рис.2

Как известно, для корректной постановки краевых задач для уравнения теплопроводности достаточными условиями является задания значений искомой функции на отрезках /|р, , А /10 и й &0 (первая краевая задача) „ а для определения функции си. необходимо задание дополнительных условий в зависимости от расположения характеристик

- 13 -

Таковыми условиями могут быть нормальные производные искомой функция на отрезках /1Р; и £оЪ0 . Возможны а другие задания дополнительных условий.

Задача ■ Требуется определить функция ч(х>,1) ,

обладающую свойствами: _

1) она непрерывна в замкнутой области ^ ;

2} является регулярным решением уравнения (24) в области М> ;

3) удовлетворяет краевым условиям:

ЧААГ^}> и!<ъ«7^Су)> (30)

и/(32) ¿/ц/-^^» £33) Мб ' 4 ' Ума

где </?(у) , К (у), (у)» 'С(у) , -¿(х) - заданные функции.

Теорема. Если выполнены следующие условия:

2) с < гп < у > _ со < >я,< ?

2) %, гес^-

3) = *'<*>=%«»

и. 2 у ч- %'ю) =г с? , ?0 решение задачи

существует и единственно.

Теорема доказывается сведением задачи к интегральному уравнению Вольтера второго рода.

Замечание I. Условие (33) моздо заменить на условие

££ / — . тогда при А- >У дополнительно за-

^/ЛАо ч ,

дается условие ¿¿^ ^ ^ — С^с) , а при п. < условие (31) заменяется на условие Ч-с. /рв ~ ^ ^ ■ При условие (33) мо;шо заменить на уело-

- 14 -

. Второй параграф этой главы посвящен изучении краевых задач дал уравнения.

(Ч*^ (35,

в области Х> , описанной в § 3 главы I, где о< 1

в ^ • а1>°. к.*** +

Перепишем уравнения (34) и (35) в виде

где и - неизвестные непрерывно дифференцируемые функции,.

Если < I .. и ^ , то характеристики операторов первого порядка имеют вид

в ^ (38)

и полностью покивают области ^ • и .

. Для иллштрации. приведены графики характеристик (38), (39), прохсдяадах через точки , Ыо) , &0(1,1)

и С- > ~ /&) в случаях — оо < <-4 при

^ и < <4 при о < у, с 4 на рисунках 3 и 4 соответственно.

Рис.3 Рис.4

Бели характеристика (39), проходящая через точку С пересекает отрезок Ае> , то для определения неизвестной~ функции необходимо задание дополнительных условий

в ^ - па отрезках и одновремен-

Э к- ■

но. Это следует из того, что характеристики при о

удовлетворяющие неравенствам (рис.3).

(айвЛ) 2р'к £л%о, <«) С < ^"'Л^^у/Л <4Г>

я при неравенствам

+ \ ) Ъ % (43)

полностьв покрывают Л/}С Р л лЗСГ соответственно.

'Если асе характеристика (39) проходящая через точку С переоекает прямую . АВ> за точкой 3 Лраа«.4) или вообще не пересекает, то дополнительное условие задается на отрезке АС- или на отрезке зс .

-16 -

Правде чей сформулировать рассматриваемые ниже задачи, выпишем краевые условия, которые используются в их постановке для различных случаев расположения характеристик (38), (39)

ш и,! (44)

(45), 7 (46)

(47), Л/Вс (48)

'д п 14 с (49), •¿>у. 1 е>с (50)

I /г - внутренняя нормель, || ) - за-

где

данные функции, причем выполняются следующие условия согласования:

= ^ ^~2 <Р/М, фх '(I) = + * % '<*).

Задача С^ . Требуется определить функции ¿Л (х^р,

С= /, 2 , которые: __

1) непрерывны в замкнутой области ;

2) являются регулярными решениями уравнений (34),(35) в областях Ф^ , I — 4 >Ц\

3) удовлетворяют краевым условиям:

(44), (45), (46) и-одной из следующих групп условий:

а) {(47), (49), (50)}, -{(48), (49) (50)} егли

¿¿¿(-оо^^иУ.00) при /<с?; ■ ал

и а Я / -

б) /(47), (50)} , /(48), (50)}

если -1 < — < с>.

в) ^(47), (49)} , /(48), (49)} если <?<*£<——

—■ ^

при ч О ; ° ! при О ^

г) -{(47), (49)} , /(48), (49)3, /(47), (50)} , /(48), (50)} если 4"61

4) во всех случаях удовлетворяют на отрезке АР-непрерывным условиям склеивания:

М, с*, = ^ ¿я, О) = К (Ж), (52)

(5з)

здесь ^ ^^ и ^ - следы искомого решения и его производных.

Теорема . Если ^ < , — <-_/

<4 е.сЛ V?, ^ 4 ее/?

и выполнены соответствующие условия согласования из (51), то решение задачи СЦ^ существует и единственно.

Доказательство теоремы проводится, например, для случая

_ ©о < ^ / следующим образом.

В Ч —' решение з^ Кош !

нения (37). Затем, удовлетворяя условиям (49), (50), находим функцию с*Л, в областях л-АС'Р и айся-

Подчинив решение задачи Кошй условию (47), затем диф* ференцпруя полученное выражение, находим первое соотношение • меаду функциями т Сгс; и -Осх) •

- 18 -

С учетом (45) и первого из условий (44), устремляя ж-к нулю, из (36) определим функцию СО/, в области Ф4, в , а при у а из (36) с учетом (52) и (53) получим второе соотношение между функциями и

•О(х) , Решая полученную систему, находим функции тгл ; • и -Лбе), тем самым определтм однозначно функции ил (я-, а в области ^ приходим к задаче, изученной в первом параграфе этой главы, которая имеет единственное решение. Для остальных случаев доказательство теории аналогично. Замечание 2. Если —-— «<• < / при й. <<

I

и 1< Т" -.г- при о-с. &< 1 , то задача

I ¿. —'

является неопределенной.

Замечание 3. Еоли у><о и » то первая

производная функции оо^ (?) в точках кривой

^ х терпит разрыв, а в случае а)

при ф функция в точках этой кри-

вой будет непрерывной, если выполняется условие.

■ НЬ+Ы УЮ-

Замечание 4. Задачу ^-оср ыояно исследовать и с

общими разрывнымиусловиями. склеивания.

Пользуясь случаен, выражаю глубокую благодарность моему ксучноиу руководителю академику АН Республики Узбекистан, заслуженному деятелю науки Узбекистана, профессору Туггамураду Дяураевичу. Дяураеву за постановку гадач, постоянное внишзкиог поддерзшу и ценные советы при выполнении настоящих исследований.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Мамам нов 5.1., Талипов А. О некоторых краевых .зада-» чах для уравнений третьего порядка с параболо-пшерболиче-ским оператором //Прямые и обратные краевые задачи математической физики. Ташкент:,Фан, 1986. С.53-63.

2. Дкураев Т.Д», Талипов А. Об одной, краевой ..задаче для шроздаящегося уравнения третьего порядка, содержащего параболический оператор. //1!зв. Ш УзССР. Сер. физ-мат. наук, 1990, .4 2. С. 9-15.. ... .. .... ■

3. Талипов А. Некоторые краевые задачи для вырождающегося уравнения третьего порядка, содержащих гиперболический оператор //Циф. уравнения и оптимальные управления. Тезисы докл. Всесоюз.' конф. г.Ашхабад, 1990. С.122-123. -

'4. Даураев Т.Д., ТадаповА. Некоторые краевые задачи для вырождающегося уравнения третьего порядка, содержащего оператор теплопроводности /Дзб.мат. яу риал Ташкент: Фан. 1992, Й 3-4. С.47-55. . ■ ....

5. Талипов А. Об одной задаче для вырождающегося уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гапербо-лический оператор. //Диф. и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции. Тезисы док. Международной научной конференции. г.Самара, 1992. С.240-241.

6. Талипов А. Краевые задачи для' внроадащегося уравнения третьего порядна о параболо-гиперболическгм оператором. /Дзб. мат.журнал. Ташкент: Фан. 1992. й 5-6.

С. 71-77.

ПАРАБОЛА-ШШРБШШК ОПЕРАТОРНИ УЗ ИЧИГА ОЛУВЧИ УЧИ1МИ ТАРТИБШ1 ТЕНГЛА.МАЛАР УЧУН ЧЕГАРАВ1Й МАСАЛАЛАР

Аннотация

Ушбу ишда

(А(х.ц)Э- + +

о'л . иа

L (AM)h + (2)

I - умушш ларабола-гиперболик оператор, А, d(x,y ~ •Xai5I,I5li;i узгарувчили функциялар, [/Kx.vf-t-lBix^-Q тенгламалар учун чегаравий иасалалар урганилган.

Ишнанг биринчи бобида биринчи тартибли операторнинг коэф-фициентлари узгармас булганда ярим текислик учун Коти масала-си (1,2 §) ва чекли со^ада шакли узгартилган ^aic маоала (3 - §) ^ара^ан.

Иккинчи бобнинг биринчи параграфида типи бузилувчи, ис-си!$лик утгазувчанлик операториня уз ичига олган

{ахГ t _ -tjf-3L + сх«^- «^о «е>о

тенглама учун чегаравий иасалалар царалган.

Иккинчи параграфда эса, типи бузилувчи, ларабола-гиперболик опораторш! уз ичига олувчи чуиидаги ■

'(v'k+ V< »<0

.тенглама учун коррект чегаравш* маоалалар урганилган.

1$йилган барча иасалалар ечшлларининг мавжудяиги ва ягоналиги ^а^даги теоремалар исботланган.

THE BOUNDARY VALUE PROBLEMS FCR THIRD CRDER EQUATIONS CONTAINING PARABOLICJrTiPERBOLXC OPERATOR. SUMMARY

In this work the correct boundary value problems for the equations

I. (Al^l - ' C(*4>)u* wo. <*>

are studied, here L is general parabolic-hyperbolic operator, A, ¿3, C are real arguments functions and 1?.

Ill first chapter for the equation (2), when coeffici ents oS first order.operator are constants , the Cauchy problem in semiplane ¡j>0 (§1,2) and modified ^adc problem in bounded region are studied.

The boundary value problems for third order degenerate equation of the form

__Pu^lL+cyvi ~uH)~o ai>o

(a* -S 3 ^ J 3 J

are studied in §1 of chapter 2. The §2 is devoted to the studying of the boundary value problems for the containing parabolic-hyperbolic operator third order degenerate equation of the forn

The existence and unjqueness theorems for these problems are proved.

_ / yZ-^