Краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р г Б Ой \ 7 ОЮ

На правах рукописи

ИСЯНГИЛЬДИН Амир Хызыровнч

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 1996

Работа выполнена на!кафедре математического анализа Стерлитамак ского государственного педагогического института

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится

доктор физико-математических наук, профессор К. Б. Сабитов

доктор физико-математических Наук, профессор С. В. Хабиров,

кандидат физико-математических наук, доцент, Р. С. Сакс.

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

К'/ 1996 г. в /Х~час. на заседании

специализированного совета К 003.59.01 при Институте Математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН (450000, Уфа, ул.Чернышевского, 112).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики с ВЦ УНЦ РАН

Автореферат разослан "/О" ГГ/СТЛ(/С\996г.

Ученый секретарь специализированного совета канд.физ.мат.наук

С.В.Попено!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В шестидесятые годы А.В.Бицадзе была выдвинута проблема поиска правильной постановки краевых задач для уравнений смешанного типа, когда все точки характеристической части границы области равноправны как носители краевых данных. С работы А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [1] началось изучение задач типа Бицадзе-Самарского или задач со смещением. Начиная с 1969 года в этом направлении появился ряд оригинальных работ, среди которых следует отметить работы Ф.И.Франкля, А.М.Нахушева, В.И.Жегалова, Н.И.Ионкина, В.Ф.Волкодавова и их учеников.

Однако краевые задачи со смещением в условиях сопряжения на линии изменения типа для дифференциальных уравнений смешанного типа недостаточно исследованы и недостаточно разработаны методы исследования этих задач. Развитие таких методов требуется еще в связи с тем, что в последние годы в газовой динамике появился ряд прикладных задач, в которых на линии изменения типа уравнения в силу свойств краевой задачи возникают некоторые соотношения со смещением, хотя граничные условия задаются, без смещений. Примерами таких краевых задач являются задачи для уравнений смешанного типа с характеристиками, дважды пересекающими линию изменения типа. Библиография работ, посвященных таким задачам и их приложениям, содержится в работе [2].

Указанные задачи сводятся к задачам для аналитических и других классов функций с краевыми условиями со смещениями на границе области и в конечном итоге - к сингулярным уравнениям или их системам со смещениями, вообще говоря, некарлемановского типа. Исследование условий разрешимости этих систем и вопросов их эквивалентности исследуемой задаче представляет большие трудности. Поэтому возникает необходимость развить методы исследования корректности таких задач.

Целью настоящей работы является исследование краевых задач для некоторых вырождающихся дифференциальных уравнений параболического, эллиптико-параболического и эллиптико-гиперболического типов с нелокальными (со смещением) условиями сопряжения на линии вырождения или изменения типа. В частности, получение достаточных условий единственности решений этих задач независимо от получаемых сингулярных интегральных уравнений со смещением.

Методы исследования. При выяснении условий единственности решений поставленных задач применяется метод интегральных тождеств. Доказатель-

сво существования решений сводится к исследованию систем сингулярных интегральных уравнений со смещением, которые затем регуляризуются к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

Научная новизна работы состоит в том, что для исследуемых уравнений автором впервые поставлены и исследованы краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения только на линии вырождения или измененгч типа. В ранее известных работах нелокальные условия сопряжения поточечно связывали значения функции и его производных (вообще говоря, дробных определенных порядков) на линии изменения типа со значениями в точках на характеристиках, на линиях внутри области и др.; смещения на линии изменения типа или вырождения, в основном, отсутствовали.

Практическая и теоретическая ценность работы заключается в том, что получены достаточные условия единственности решений, не связанные с исследованием получаемых интегральных уравнений, которые, в основном, являются также достаточными для существования решения. Полученные результаты могут быть использованы, например, при исследовании краевых задач для уравнений с характеристиками, дважды пересекающими линию изменения типа, имеющих в последние годы приложения в газовой динамике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:

- на областном семинаре по дифференциальным уравнениям смешанного типа при Куйбышевском государственном педагогическом институте (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Волкодавов В.Ф.; 1981-82г.);

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Чибри-кова Л.И.; март 1982г.);

- на семинаре по дифференциальным уравнениям с частными производными при ИМ им. Романовского АН УзССР (руководитель - академик АН УзССР М.С.Салахнтдинов; г.Ташкент, май 19Э2г.);

- на Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" (г.Уфа, февраль 1986г.);

- на семинаре отдела дифференциальных уравнений ИМ с ВЦ Уфимского научного центра (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Калякин Л.А., июнь 1993г, май 1996г.);

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (руководитель - доктор физ.-мат. наук. проф. Сул-танаев Я.Т.; г.Уфа, май 1994г.);

- на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"' (г.Самара, 27-30 июня 1995г.);

- на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г.Уфа, 28-30 мая 1996г.);

- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям смешанного типа при Стерлитамакском государственном педагогическом институте (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Сабитов К.Б.; 1992-1996г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [3-7], в которых отражено ее основное содержание.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 151 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и библиографии, содержащей 62 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВО ВВЕДЕНИИ раскрывается актуальность темы, указываются примыкающие исследования, излагается краткое содержание работы.

В ГЛАВЕ I, §1.1, 1.2, для вырождающегося параболического уравнения с меняющимся направлением времени

уип + аиу - Ьих = 0, (1)

0 < а < 1, 6 > 0 - постоянные, определяются в областях = {0 < х < 1, ±у > 0} классы Яг(0±), Я„(С±) классических решений первой и второй краевых задач с заданием искомой функции на полупрямых 1 = 0, у > 0; х = 1, у < 0 и значений искомой функции или ее нормальной производной соответственно на линии вырождения у = 0, 0<х<1. Исследованы свойства гладкости этих решений, доказана знакоопределенность интегралов

при ¡7(0,у) = 0, 0'(1,у) = 0, г±(х) = С/(х,±0), *±(х) = Дт \у\°и„(х,у).

В §1.3 ставится задача 1 с нелокальными условиями сопряжения на линии вырождения у = 0 уравнения (1).

Задача 1. Найти функцию 11(х,у), являющуюся решением уравнения (1) класса ЛТ(С±) или Д„(С±), удовлетворяющую граничным условиям

Щ0,У) = VI(у), у > 0; Щ1,У) = Ы-у), у < о,

и условиям сопряжения

А(х)т_(1 - г) = £»1(х)г+(х) + о0т_(1'. I 6 [0,1], /32(х)1/.(1 - х) = а2(хК(г) + Д)Мх), г е (0,1),

где ¡р,(у), а,(у), Р,(у), г = 1,2 - заданные функции; А> 6 {0>1} - постоянные.

Далее в §§1.4 - 1.8 задача 1 исследуется в каждом из 5 случаев:

£»о = 1, А> = 0; (2)

а о = А) = 1

оо = А> = 1

«*о = А) = 1 Qo = А) = 1

Qi(x) = const, /3,(x) = 0; (3)

Qi(x) = ar2(x), = const; (4)

c*i(x) = const, 02(1) = consi, /32(x) = const, 0i(x) = 0; (5) Ql(r) = const, »2(1) = const,

(if?) ~°Mx) = const, A(x)H0. (6)

Приведем, например, формулировки теорем единственности и существования решения задачи 1 в случае (2). Обозначим

РЛХ)

Ci(x) =

a,(l-x) 1 - ft(x)/?(l - х) fl(l-x) a^x) a3(l-x)'

Теорема 1.3. Если 0](х), а3(х) ф 0; а^х), А(х), о3(х) € С1 [0,1] и выполняется одно из условий (со знаками "+" или

±С\(1) > 0, ±С;(х) < О, ±С2(0) < 0, ±С'г(х) < 0, х € [0,1],

то задача 1 может иметь не более одного решения из класса Д„((3±).

Теорема 1.4. Если выполняются условия теоремы 1.3 и

<>',(*). 0[(х), о^(1)бял'[о,1], О<А,<1; 9НУ) = rrv:(y), 0 < г,- < 1,

¥>,*(у) € ЯА:[0,+оо), 0 < Л2 < 1, то задача 1 (в случае (2)) хилеет единственное решение из класса RU(G±).

Заметим, что в определении решений классов R„(G±) заложено еще условие \<Pi(y)I < Се-Г\ г > О, С - const.

Аналогичные теоремы доказаны и в случаях (3), (4).

В случаях (5), (6) задача 1 эквивалентно сводится к системам двух характеристических сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами соответственно относительно функций (l-i)1"V±(i)Hr1"Vi(r), единственные решения которых из класса R„(G±) выписываются в явном виде по известному алгоритму, причем в случае (6) - при двух условиях разрешимости на правые части системы уравнений. На коэффициенты a,-, ¿3; накладываются ограничения, обеспечивающие принадлежность решения классу

В ГЛАВЕ II для вырождающегося уравнения эллиптико-параболического типа

О - Liu) = I + у >

U-M«)- j \yr»Un-wx, 9<0,

где т < О, Ь > 0 - постоянные, в области в, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами .4(0,0), 5(1,0) и прямыми х = 0, х = 1 при у < 0, исследуется задача 2 типа Трикоми. Обозначим в± = в П {±1/ > 0}.

Задача 2. Найти функцию II(х, у), ограниченную на С и удовлетворяющую условиям:

1) и(х,у) € С(ёд Л С\0±) Л С"«?-),

С',(х,у)бС(С±)и{у = 0, 0<х<1});

2)1(и) = 0, (г,!/) 6 6+и <?_;

3) и{х,у)|г = ф{х,у); 1/(0, у) = у< 0;

4) а0т-(1 - х) = а,т+(т) + Дт_(х), х € [0,1]; /?оМ1 -х) = о2с+(х) + Д^-(х), х 6 (0,1),

где У>(х,у), <р(у) - заданные функции, т1<(0,0) = <¿(0) = 0; а;, /3, - заданные постоянные, а о, А € {0,1}.

Задача 2 исследуется в классе регулярных решений, определенном в §2.1, в трех случаях:

а0 = 0, А = 1; (7)

а0 = 1, А = 0; (8)

ао = А = 1- (9)

На функцию ф(х,у) = s 6 [0, /] (/-длина Г) и кривую Г накладываются те же условия, что и в классической задаче Трикоми.

В случае (7) доказаны следующие теоремы существования и единственности решения.

Теорема 2.1. Если t/|r = 0(s)€tff,[O,J], 0 < Í, < 1; №(s)| < C7is1+»C' — ^(0,-y) = v>(!/)eC[0,+oo), |v»(s)| < Ce-'", г > 0; ¥>'(?) 6 C[0,+oo); W{y)\<C2; v'(y) = yT,9'(y), y 6[M, V*(y)eC[0,/.];

ri, p > 0 - достаточно малые числа;

ai/Wa>0, $>l, (Ю)

то задача 2 в классе регулярных решений эквивалентна в смысле разрешимости интегральному уравнению Фредголъма второго рода

= /'[«(l + 0 < г < 1,

Jo

Л'(г, з) в С,,.[0,1] А Я'г-е1)/2(0,1); F(z) 6 С[0,1] Л Я^2(0,1); е, £1 > 0 - достаточно малые числа, et < е < 2íi, 0 < ¿j < min (jí^i о — о2) ;

о<в<^, el = <- + i + t><i-, =

Теорема 2.2. Если кривая Г симметрична относительно прямой х = 1/2, а,, /?, удовлетворяют условиям (10), то задача 2 в классе регулярных решений может иметь не более одного решения.

Следствие. Если выполняются условия теоремы 2.1 и кривая Г симметрична относительно прямой х = 1/2, то существует единственное регулярное решение задачи 2 (в случае а0 = 0, /?о = 1 )•

В случае (8) доказаны теоремы 2.3 и 2.4 существования и единственности решения задачи 2, с точностью до обозначений, совпадающие с теоремами 2.1 и 2.2, только условие > 1 в (10) заменяется иа /3J > 1. В случае (9) доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.5. Если ф{$), <р(у) удовлетворяют условиям теоремы 2.1 и

Q1O2

то задача 2 в смысле разрешимости в классе регулярных решений эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода

«*(*) = í\s{ 1 - 4)]-b0(=, s)vz(s) + ад, Jo

где Q(z,s) 6 Сг,.[0,1] Л Я<г""'/2(0,1), Г8(г) е С [О,1] Л Hs''2(0,1),

£, £i,¿2 - me лее, что и в теореме 2.1; 0 < вз < I + I + 0з = в2 < 1, 1/3(г) = г*(1 - .

Теорема 2.6. Если кривая Г симметрична относительно прямой х = | и

А

(А + Ä)OlÖ2

>0,

то задача 2 в классе регулярных решений может иметь не более одного решения.

Следствие. Если выполняются условия теоремы 2.1 и

fl"1-ftft>>„, FF-^->0, <1-/*)<*-*)> о.

0,02 (A + Ä)QI«2

кривая Г симметрична относительно прямой х = 1/2, то существует единственное регу.гярное решение задачи 2 (в случае ао = ?о — 1Л

В ГЛАВЕ III методы и результаты решения задачи 2 переносятся на задачу Трикоми для обобщенного уравнения Трикоми

*дпу\уГи1Х + иуу = 0, (11)

где т > 0 - постоянная, с такими же условиями сопряжения на линии изменения типа у = 0, как и в задаче 2.

В §3.1 ставится задача Т и определяется класс обобщенных решений ^(О). Поскольку соотношения между функциями £/(х,±0) = т±(х) и Гу(.г.±0) = = 1/±(х) из эллиптической и гиперболической частей области О имеют такой

же вид, как и в задаче 2 (только число а заменяется на 23 = почти

все исследование задачи 2 переносится на задачу Т. Решения ^±(х) системы сингулярных уравнений ищутся в классе Я^О, 1) Л Я", 3 < р < 1, Я" - известный класс Н.И.Мусхелишвили. Дополнительно в §3.1 доказывается лемма о принадлежности правых частей системы сингулярных уравнений классу Я"(0.1) Л Я".

Окончательные результаты сформулированы в виде теорем существования и единственности решения задачи Т.

Сформулируем, например, теоремы 3.1 и 3.2. Кривая Г, ограничивающая область эллиптичности уравнения (11), удовлетворяет тем же условиям гладкости, что и в классической задаче Трикоми.

Теорема 3.1. Если

О <-:{х,у)}г = Ф) € Я5'[0,/], 0 < ¿1 < 1; Кф)| <СзИ;-з)]1+«;

2) Щг,!/)ис = У(х/2) € С"[0,1], 4<'(х/2) е 0,1], 0 < 62 < 1; (АС -

характеристика уравнения (1) при у < 0);

3) аа = 0, /?0 = 1; а,Ао2А > 0, Щ > 1, (12)

то задача Т в классе обобщенных решений $¡(0) в слшсле разрешимости зк&и-6алентпа интегральному уравнению Фредголъма второго рода

«/,(г)= /'[*(1 -з)}-вЧ<(2,з)1'1(з)Нз + Е(=), 0 < г < 1, ¿0

где А'^еСиОЛ], ^(г) <Е С[0,1], 0, = * + | + £ > 0 - достаточно .малое число.

Теорема 3.2. Если кривая Г симметрична относительно прямой х = 1/2; а;, 3, удовлетворяют условиям (12), то задача Т в классе решений (В) может иметь не более одного решения.

Следствие. Если выполняются условия теоремы 3.1 и кривая Г симметрична относительно прямой х = 1/2, то существует единственное решение задачи Т из класса ¡¡¡¡(В).

Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю К.Б.Сабитову за постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач)/ДАН.-1969.-Т.185, -С.739-740.

[2] Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения сметанного типа и их приложения к газодинамике. -Л.:11з-во Ленинградского госунив-та..1990.-208С.

[3] Исянгильдин А.Х. Задача со смещением в условиях сопряжения д.1я ew-рождающегося параболического уравнения. I // Куйбышевсклос.нед.ин-т.-Куйбышев. 1988.-15С.-Деп.в ВИНИТИ 1.06.88, N435G-B88.

[■1] Исянгильдин А.Х. Задача со смещением в условиях сопряжения для вырождают^ гося параболического уравнения. II // Куйбышевск.гос.пед.ин-т.-Куйбышев, 1988.-]0С.-Деп.в ВИНИТИ 1.06.88, Js'4~355-BSS.

[5] Сабитов К.Б., Исянгильдин А.Х. Задача типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа // ДАН.-1992.-Т.236, N5.-C.787-791.

[6] Исянгильдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальными условием сопряжения дм обобщенного уравнения Трикоми // Междунар. семинар: Дифференциальные уравнения и их приложения. 27-30 июня 1995г. Тезисы докладов.-Самара, 1995.-С.55.

|7] Сабитов К.Б., Исянгильдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми // Дифференц. уравнения.-1996.-T.32,N3.-С. 1501-1504.

Работы [5] и [6] выполнены в соавторстве К.Б.Сабитовым, которому принадлежит постановка задачи.

/

#

Подписано в печать 6.06.96 г. Формат 60x84 1/16 Офсетная печать. Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 262.

Изд; гельство Стерлитамакского государственного педагогичен кого института: 453103, Стерлитамак, пр.Ленина, 49.