Краевые задачи со свободной границей для смешанных параболо-гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

2 П ПОП Ш

АКАДЕ31ИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

АСРАКУЛОВА ДОНО СУННАТУЛЛАЕВНА*^

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ СМЕШАННЫХ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

,01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1995

Работа выполнена в Институте математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан.

Научный руководитель — академик АН РУз, доктор фпзи-

Офпцпальные оппоненты: доктор физико-математнческнх

наук, профессор А. Б. БЕГМАТОВ

Ведущая организации — Институт теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан,

Д 015.17.21 в Институте математики нмепп В. И. Ромаповскога АН Республики Узбекистан по адресу; 700143, г. Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ипстш тута математики имени В. И. Ромаповского АН Республики Узбекистан.

ко-математическнх наук, профес. сор Т. Д. ДЖУРАЕВ

кандидат физико-математических паук, доцент С. ЯКУБОВ

специализированного совета,

Ученый секретарь доктор фнз.-мат.наук, проф.

Ш. А. ХАШИМОВ

ОЗШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность талы. Краеняе задача со свободной границзй для даэдереацзаланых уравнений о частншз прслззсдЕтщ характеризуется тем, что часть грэнихш сбластз, з которой дслгяз йкть решена задача, определяемся вместе с решением этой задача.

Задача во свободной гранил ей- описывает шгроял.1 класс процессов, асзЕИхакдих з механике твердого тела л зядностз, физике, биолсгая а т.д.

3 настоящее время исследование задач со свободней границей является однь-м из наиболее бурно развявакпйхся разделов теория уравнений с чаогвызга дрсазаоляшд. Этим задачам пссвязены работы известных мат&магякез как у нас в стране, так я за рубезссм. Например, А.Фраглана, А.Фазане, М.Примисерво, Д.Киндерлерзрэ, Д.И.Рубигяатейнз, И.Н.Дззелекз,•А.М.МеЗрмазоза, А.Б.Еегматова, Г.И.ЕпганозсЙ, С.Н.Круакова, В.А.Ссдоннакова, Е.В.Радхевачз, Г.Стампанкьа, В.Я.Монахсва и др.

В работах указавшее авторов исследования относились, э основном, к случав эллиптических з параболических уразненгй.

А теория краевых задач для уравнений смешанного типа на плоскости достаточно хорошо развита з случае, когда линия изменения типа представляет собой прямую, параллельную либо оса X. - оз, лай о оси -Ь . Суаестэунпай по этой проблематике литературный материал сгретел я содержатся з работах А.Б.Бападзэ, М.С.Салзхитдзгаозз, ТЛ.Дяурэеза, М.У.Смирнова, Е.Н.Мсисеевэ, А.М.Нахушеза, В.Н.Брзгсзз, З.З.Еолкодавсвэ, Т.Е.Кздьменовз, М.М.Месодовэ, А.П.Солдзгсза з др.

Тесрзя яраезых задач для смешанных параболо-гипэрооляческих уравнений в настоящее время превратилась а один из интенсивно развивавшихся разделов тесрзя ураЕнениЗ смеаанясго тяпз. Существенно тзкзе то, что постановка таких задач возникает в математическом моделировании болызого числа приредянх прспессоз: а теориях базовых дерегодов, гзяло-згзсссскЗибяа, ггдро- я згрсмегаяз-ке.

Отметим, что з сбзсрнсЗ статье С- ] И.И.Ландлте обратил внимание на задача типа Стегёзна для сменааянх уравнений а числа нерешенных проблем в тзеряи краевых задач со.сзобсдной граняцэй.

I Даниллк И.И. 0 задаче Стэйапа//Г!ДН,13Ёа.-Т.40.-Енп.5. -С.122-135.

Б дсследнае гсды ?.Д.Дг.урзззым з его ученлкзш солученьг з-г-котсрыэ результаты, которые iicsho осзраятзразсзать аак знача-зельниз саги S3 сути разработки тосрли краевых задач сс свободней границей для ларзбслс-гиаерболзчеезях уравнена^'. Оти результата показала, что переяежтагз развитая творив крзеазз задач со свободной границей для смеианнкг уразненгй ысяао сцйеявзтз более СЯТ2МДСТ2ЧЕС.

Б настоящей работе рассштрлБазкат зоше краевые залачз для сметанных пзраболо-гапзрболаческих уравнений ос сзсбслзсй границей, которые ссЗсбааят и развивает ранее гззестзые результата. Уровень всследсзаний приобрел Солее качественный сблзк.

Рель зайотк. Изучлтъ свойства асксшх гхунхцлй г ах зреяезед-шх и установить для еих апряорние сданкя, которые зеобхедаа» для корректнсста иостззлевннх задач з глобального существования резания. Доказать теоремы едлвстаеаностя и стаестзсваняя реяе-ния изучаемых задач.

Методзгз асслвдоаэаяя. Hps зоследозанаа сэсйств а доказательства едяЕстаезноста решения рассматриваемых задач, в ссасззсм, аезользуютоя метод ucaarosHat зазисамсстя решения от начальных а гранлчннх данных, аваяцвп экстремума, теореш сравнения для параболячеезах уравнений, свойства ресанай гязерболичвеннх ураэаенай; теория^нелзнейных интегральных ураэяенгй а прпнщзп Шаудера применяются яра дсказатзльстзе суц^стзозаззя релензй.

Еаучагя новизна. 2 работе изучается ряд новых задач сс свободной границей для саеазнЕых параболо-гзперболичеекзх уравнений. Во всех исследуешх задачах изучено дчаедеязе свободной гравицы з рассазтрззаеыса прс;.;егут.яз времени. Доказана теорема едккст-венасста. Установлены априорные сценки для решений уравнений а свободной грзнлцы, которые обеспечивает глобальную разреззмссть доставленных задач.

Теосетаческал и гсзактгчеезая ценность. Результата диссертанта носят тесретзчесаай хзрзктзр а аcryг быть лсзользоезнн дрз дзлъ-нейлей разработке теерза храеалс задач со езеоодней граната! дл?: смешанных уравнений.

Результата а ыетол» дзссертапзоняогс исследования могут быть таете испсльзсззнц прп рзгеяиг неклассичесгах задач математячь-сксй тдзлкл, мехзнихл твердого тела а «щдаости.

¿üsogsiíh.t работа. Резульгйж ДЕССС7?21з;г до»иэдгн2лис! на ебьехгнбНЕом csffissps сгдедсг. "Лгф^вренЕиальнае уравнения" г "Некд^соЕтезЕВв уравнения изтзыагвческой fzsnsz" Института ка~ темзтгкк ны.Б.К.Ромзноесксго АН Республики Узбекистан (рукозо-дгтзлл - академики АН РУз К.С.Сзлзггзкгноз г Т.Д.Дгурэег), на Иггдудгрод2о& научна: конференции ТироЕДагвгэся уразнения и уравнения смепаЕНсго тида" (г.Ташкевг, 19ЭЗ г., ноябрь), не кснгеракотях молодых ученых г.Ташкента, посняшоншх памяти 3. И. Рока а оз ск от о ЦЭЭЭ, IS32-I934 гг.).

Публидадзв. По -теме диссертации опубликовано пять Еаучгш. статей, а кстсдглс стрзгево основное содержание диссертации.

С-гэ'.тгу'.а у of'beM дсодцтапвд. Работа состоит из введения, двух глаз, которые разделены на 5 параграфов. Общай обьем диссертаций 100 страниц мзлзгнопиезего текста, список литературы содержит 56 названа^.

ОСНОВНОЕ CQZEFEAME РАБОТЫ

5о, введении сделан драткий обзор работ, связанных о темой диссертации, и сформулированы оснсвнне резудьтагы работы.

Всцду в диссертации сод решэаисм уравнения в некоторой области понимается функция, обладающая непрерывными производными, входящими в уравнение, к удозяетвердшзэн ему внутри рассматриваемой области в классическом сгансле. Краевые условия шдолаяются по непрерывности изнутри области.

В первой главе рассматривавшая задачи в случае, когда на сэо-оодьой границе прсстранстзенная дропззедвая от eceovejx функций равна нуле.

Задачи, взучаемыэ в первая дзух параграфах:, рассматривается в области <£)1 V

= s(l)<x<é+£t OtécT}.

3 дерном параграфе главк I изучаегея первач дрэезая задача для уравнений

М е (I) ^ ид) - (*, (ж, б . (2)

3 к I Л Ч Л. Требуется найге на отрезке 0 Т гвагто нгпрешайо ш^ерездируемУ» функцию •$ (¿) ,$(0)= С , ОССС С # и решения г£(¿с*£), ) уравнений (I), (2),

удсвдвгворяпцве начальным

и(х)с)^У1(х)) Окхьс, (3)

в гранична.; условиям

в тгкзх условии для неизвестной границы 5 О) = <¿(1) И№), )} Ос1 & Т, (6)

где сС Ш рШ, -Г - непрепывно дпй-депенцируеиие сувкции

И О С . а , 0 ¿/ф < 1; <7 * * 4 Г.

ФУНКЦИЙ (£) , ' авхв раз, а ¿(.г). (¿7,

^ Двавды Еелрерыизо дифференцируема. Выполнены условия согласования

рО)-^(О), у'(с)-- г^(с)-0.

Ббодш обозначения: /< = (П^^К, ||/1|},

г 6 -

{ЩИ, И, ¡¡| где Н^И = ШЬх. тах | | [ (5С»)+©) + ^ (3(5))] с/в + £ (с);

т

£>>)</«+¿(С)}. ^

ТЗОРЗМА гл. пуо

£(х)»0} Ц\х)>00

£(Ф<>,%'а)* о, у^сфо,

а та^'^^ДОи К < БгГГ^рт • Тогда 0 £»$({:)< 1 ,

Теорема доказывается с псмсщью принципа максимума для параболического урэвна.тая л используя представление сбаегз реиеяяя гиперболического уравнения.

Устанавливал мс.чотсннуа зависимость сзойсдисй границы ос начальных а граничных данных, дска?.ом единственность.неизвестней граниш. Предлологлм, что ^^ (х) ,¿-1,3, ^ (с) >

ф , у= С.^ - два множества данных.

^ТЕОРЕМА Г.2. Если * (&)

УсМ* > Щ1^) * УА ^ ¿1» ^ ' »

¿ели заданные ¿уаяют удозлетзерязт обратные нэрззенстзз, то можно доказать, что ^ {-¿) ~ (¿) . Следовательно, еслз

3= 5

далее доказывается одиестзс-ннсств У (■Х) ¿)} У~(Х}-Ь),

~7 *

Существование решения задачи доказывается: сведением задачи к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра и примени ниен к ней принципа Шаудера. - ■

Во втором параграфе первой главы изучена задзчз : На отрезка О Ь - Т требуется найти дважды непрерывно дифференцируемую функция 5 (I) , такую что В(0)=С) О <С< £, 0 ¿Ц) <. ± , и решения V £) , уравнений (I) , (2), удозлетвсркю-

щаэ начальным (3) - (5) и следующим граничным уел сваям:

а такяе условию для неизвестной границ

, - положительные постоянные, ¿У - непрерывно

дифференцируемая функция. Выполнены усло^я согласования. Введем обозначение

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть выполнены условия ' Ц (х) -С О , . я 111 О

Я'(х)сО} £(1)>0, % Сх)>0 . Тогда

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть (•£е выполняются ус-

ловия теореш 2.1. Тогда решение задачи единственно.

Доказательства теорем проводятся с пймоиьа принципа экстремума.

Существование решения доказывается методом Шаудера.

В тиетьем лаоаграбе главы Г изучается третья яоаезая задача , в области 0^2. - ^ ¡(Х} I):

ЗАДАЧА. Найти дважды непрерывно дифференцируемую 'Ёунк-

иавЗЦ) , 0*.ит ,0г.

а реаеши уравнений (1)-(2), удовлетворявшие начальным (3-5) я след'нщш граничным условиям

■ъГ*(о,1) + к г/(о^)= о,

и условию на лпней изчеавная тгпа

ггх «¿¿4 т,

а такге условию для неизвестной границы (б), где А , А. -действительные числа % ¿.0 , Ь^О ; (х) - дзагды,

- непрерывно дзйерзнцируе^е^гуккцнг. Выполнены условия согласования ^'(с) = ^ (с)-Ор

Изучается поведение неизвестной границы Х= Б С6) .

Обозначим 6 = (НЛ} Н^И, И/Ю , /»Юйс ^ ф ;

где У] - 2 ег/> с£ № + 0 = * < +1.

теорема з.1. Пусть ^(х)?/0? Ц^х.)*0?

у , а также ^ Г ^ ^ + О < 2

Тогда

Доказывается одвоззачнзя разрепиыогть задачи. В первом параграфе второй главы рассматривается задача Ксшв-Ст&|яна для уравнений (2), (I) в области У ^^

где .

- 9 -

{ад: - оо с X < к-ь) ? о с £ < оо] , ={(*,*): $(*) сх с оо } ос^^оо].

3 А Д А Ч А. Требуется на£тд дважды непрерывно дифференцируемую функцию 5 (-¿) , такую что 5(0)=О с решения уравнена (2), (I), удовлетворяйте началькьш

и краевым условиям

а также условию для неиззествой границы Выполнено условие согласования

= сС £(0)+^ г£(о)*0.

аде с» ^ (г) , ^ (¿с) - двееды непрерывно ддшсЬерекцируеш,

(х) - непрерывно дк^шеренцЕруема; оС , ^р * 0 - действительные числе. /

ТЕОРЕМА 1.1. Вол я (&))<-0/%р>07

При доказательстве получается.неравенство ( Э (ф1) (Б СО Всзмоены случаи

2) -Б

где !/($&) -¿г) = 9 (~Ь) . Доказывается, что возможен только первый вариант. Доказываются теоремы единственноста и существования решения.

Во второа параграфе главы- II рассматривается краевая задача для уравнений

(а ¿ = 0, (?)

= (Х,1)£ (8)

где осиТ],

ЗАДАЧА. Требуется найти дез еды непрерывно дифференцируемую функцию 5 (¿г) и непрерывно диф$еретшруемую функцию т! 1т.) » такие что

где

Н1 . н,

- некоторые постоянные, в решения' уравнений (7), (8) соответственно в областях и удовлетворяйте условиям

гГ(х,о)= $(х)7 (I ¿л ТЛ (х,о) = у (х), 0 <?х

и условиям сопртаения на линии изменения типа СС^. О

V (0,1)^1^(0,1),

а тзкхе условиям для неизвестных границ

II -

$ (£)*=-/я.

= И^ {[¡[ь).с)}

о ■

где РИ и & - полсЕИтелькке постоянные.

Относительно коэ1-;иаиентсз уравнений (7), (8) и начальных функций будем предполагать выполнение следутаях условий:

I. Функция й. ¿) непрерывна в Я^ в дифференцируема по ± , причем существуют пслскительные постоянные С[с в Ас, таке что ас ^ а(х,1) 4 де; (хд) е .

_ 2. функция $Ь) дззеды непрерывно диф4еренцЕруеыа в

к существуют полокптедьные поотоявнне ~£0 и ^ , та-»вето £ ,

3. ^ (X)? (¿С) - дзеуды непрерывно дассйеренцкруеше функции.

Изучается поведение неизвестных границ.

ТЕОРЕМ! 2.1. Пусть выполнены условия У (х)^О ,

%(х)Щ (х/.) * О, 4 (X,

Гсгда О ^ ¿(¿) в 04, П(1) ^ .

Единственность рззения доказывается методом монотонней зависимости. Преддслога;:;, что §с , ¿-12. - два ведения задачи, соответстгушие данным ^ г/

^м*.? - ,, I

ТЕОРЕМА £.2. Пусть

4 ; . Тогда £ ф.

Доказывается, что ^ (¿} == ^ ^ (¿С,*)-

- 12 -

Т 2 0 ? 2 М А 2.3. Пусть ^''(xj>0? ¿^ (Л,фО. Tcrza -ÜI Ц ¿) = г£ Gx, ¿) , SiСО = ^ (f).

Т Е G Р 3 М А 3.3. Если выполняется условия (1-й), тс решение задачи ¿участвует.

Прз доказательстве используются метод пстснпгалсз а принцип "Лаудгрз.

Пользуясь случаем, выразээ глуйонуи признательность асему научному руководителя зкзлемггг/ АН Рзссублакз Узбекистан, заслуженному деятеля наунд Узбекистана, профессору Тухтзмураду Дзурао-зячу Дзураеэу в кандидату фязихо-математачесяах наук Зсзалу Сстз-нсничу Тахврову за зсстзнсв:;у задач, денные ссваты з постояннее внимание при проведении настоящих исследований-

Основные результата диссэртзцзи сдублированы з слэдузгшх работах: . .

1. Тахирсв S.O., Бузрукходзаева Д.С. Граничная задача для пзгзос-ло-гипэрбодического уравнения в области с неизвестными боковыми границами // Узб. мат.журя.,. I5SI. - i» 5. - С.49-55.

2. Еузрукхегааеза Д.С. Задача с неизвестной границей для смешзв-ного параболо-гздербслячесггсго уравнения // Уз б. мат. дур л., Г992. - ü 3-4. - С.41-47.

3. Тахвроз 2.0., Бузрунходззева Д.С. Задача Коша-Стейана для параболо-гапэрбсличесаого уравнения.// Тзз.докл.iiesz.науч. кснй. "Еярсадакшеся уравнения а уравнения саесанзсго тада",-Гашяент: 23-25 ноября 1393 г. - С.154.

4. Асракулсза Д.С. Третья зраезая задача для парабслс-гзязрболз-ческого уравнения со сзсбодзсЗ границей раздела // Докл. АН РГз,. 1995. - Л 3. - С.4-Э.

5. Асракулсза Д.С. Задача тзпз Ксиа-Стейзнз для параболо-гип^р-бслического уравнения /7 Узб.ыаг.зура., 1ЭЭ5. - 2, - С.3-14.

- 13 -

THE'PH3I: BOUNDARY VALUE ?R03LSI«3 ?<F. 1HXED PARABOLIC-HUPER_EOLIC EQUATX OIIS

The dissertation consists of introduction ana two chapters. In the first chapter the proslera, when "^x. = 0 on unknown boundary, are studied.

In the second chapter the problem of Coshi-Stefan and tts problem in the dcaain with unknown lateral boundaries are considered.

The two-aided estimator for 'unknown (free) boundaries is established. Ihat is neoessary for correctness of the problems. The aprior estimates for tL and its derivatives are established. It is necessary for global solvability of the problecs.

The eolation uniqueness have been proved by methods of extre-nuc principle, comparison theorems, monotone dependence of the solution iron the data, and by property of the solution of bypcr-bolic eqtatiors.

The theory of nonlinear integral equations and theorems of Shauder are widely used to prove the existence of the problems solution.

The obtained results of the dissertation are new and of theoretical nature. They can be used for furter investigations of the theory of free boundary value problems of rnixed type and for solving of applied probleos resulting in such equations.

АРАЛАШ ТИПДАГИ ЯАРАВОЛО-ПШРЗСШЙК ГЕКГЛАМАЛАР УЧУН НОМАьШ ЧЕГАРАЛИ ИАСАЛАЛАР

Диссергад*:я пеки бсбдан ибораг булкб, унккг бкринчк бо~ бида номзьлум чегара уст ид а тенглаыалар ечкиларидан & буйи-ча олянгак з?осила нолга тенг булган з;олвда, «ш со^зда иа-селалар паралган. Кккннчи бобда некем «ээрда Кзсв-Сгефая ва ён чегаралари нома-илу» будган соседа ыасаяалар урганилган.

Цасаладарншг Еорреилкгкни таъытлаи учун чегаралар »¡уйк ва Ецоридан баэ;олакган. Изяанаёгган функция ва унянг

зсосвлзлари учун касалшишг глобал ечклетикк гагмкнлайдкган апркор ба^олар олмнган.

Каеалалар ечшкнинг ягокалдаи «аксиыгук пркнцкпи, га^зслаи теораыаларк ва еятодкг бернлган функпияларга коноток боглиц-лкги уеудлври ва гипербола тенгл&иа ечяхкпкнг хоссаларк ёр-дйкпда всботланган. Ечшнкнг иавяуддигини исботлвшда чкзичли булмагаи интеграл тенг^а^алар назаркксидзн ва Шаудор ирикци-пвдак кекг фойдаданкиган.

Дкссертшповда олннган наткжъяар немаълуы чотйрзли каса-явлар нааарияеида ва су масалаларга олиб ггелувчм аиалий ыуаи-»сларки ечишда цуллвнклиаи нушеин.