Краевые задачи типа Римана для неправильно эллиптических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЬРЬ4ЦЪЬ 'ЛЬЗЦЧЦЪ бирзипи^ьзимиъ яииишипиъ

РГб Ом

чиузиь ивьии исп$£ ' - ^ ДЕК ?пг 1

ПрйшОр ¿/?/7а/А bqpшJ^^й ¡уйфрйЬр п£ б2Цр[1М

ффЬрЬОд[1Ш[ ИшЦшишртййЬр/7 Ишйшр

и.01.02 - " 1[1фЬрЬйд[11Щ ЬшЦшишргиййЬр" йшийикфтги^шйр ф^^Цш-йшрЬйшт^ш^шй (фтги^гиОйЬр^ рЫ)йшдпф сф1пш1)шй шшгфбшО|1 Миудйшй Ш1лЬ0ш[г1пигир]шй

иьптьр

_ЬРЬЦЦЪ-2000_

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПАПЯН СТЕЛЛА АШОТОВНА

Краевые задачи типа Римана для неправильно эллиптических дифференциальных уравнении

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — "Дифференциальные уравнени

ЕРЕВАН-2000

UinbQujfuriunLpjujü pbtfiuü hiuumiuiriL|iuá t Rijujiuuiniuüli щЬиш^шй óiupLniupujqt-iiniuL|uuü 1шл5ш|ишршйпи5

QhtniuUiuü пЬЬшйшп- !}>|iq.-úiup. qhuim-pjnLüübpti pbljüiuön

r^nghüm U. Puupmjuj

гПщ7тпйш1|шй pGimhtiu-itxinuübn - фЬя^шр. qhiniupjnLüCibpli г^Цтпр,

щрпфЬипр Ъ. b. (ЭпфЗшщшй

q.(imnLpjnLQQbpfi pbLjümón ryigbüin U. ÖuiiLpjujQ Unuipiuuuun UtuqduiUbnmnipiniü- (1h*Ljp'xihüuujh QUU UujpbiiuiinfiLiiuj

|iüuin|iinnLin

^u2ini4iuünLpjru(]Q Ii^iujiliüuj 2000p. rjbljinbúpbpti 12-fiü diuúp 15.00-[iü, bpLuQfi ицЬтшЦшй huJútii[iiLupLuüfiü lf[~ig 050 йшийшсф^шЦшй hjnphprih ühuoihü, hbinLjuiL hiuugbnil. 375049, bpLujQ, Ul- UiuünLlijujü ф. 1:

UinbümfununLpjmCii] l|U]pb|Ji1 йшйпршйш^ bpluuüfi 1фтш1|шй huui5iu|uujpujüh ч.рш^шршйпиЗ:

иЬгцЗшфро 1 11.11.2000p

1Гшийшф|лш1|шй [unphprtfi q.fiin. .

рииритгцир, q|imnLpjniü6bfi|i

pbliüiuáriL, rjngbüin \ /м^л! S. Ъ. ^lupnLpjiuüjiuüfiC

Тема диссертации утверждена в Армянском государственно! инженерном университете

Научный руководитель- кандидат физико-математических наук

доцент Бабаян А. С Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор Н. Е. Товмасян Ведущая организация- Институт математики HAH Украины

Защита диссертации состоится 12-го декабря 2000г. в 15.00 ч. И< заседании специализированного Совета 050 при Ереванскор государственном университете по адресу: 375049, Ереван, ул. Ал Манукяна. 1.

С диссертацией можно ознокомиться в библиотеке Ереванской государственного университета.

Автореферат разослан 11 ноября 2000г Ученый секретарь специализированного . Совета, кандидат физико-математичеСкихУ^ наук,доцент Г7х7( V¡ Арутюнян Т. Н.

ßte/.eje./SfO*

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена изучению краевых задач тина Римана для неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений.

Актуальность темы.В настоящей работе рассматриваются краевые задачи тина Римана для неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений. Исвторически, для таких уравнений сначала рассматривались классические задачи Дирихле, Неймана. Однако как было показано такие задачи для неправильно эллиптических - уравнений не являются ни {¡редгольмовыми. В связи с этим основным направлением в теории краевых задач для неправильно — эллиптических /равнений в настоящее время являются краевые задачи типа 'имана. Бурное развитие теории этих задачь обусловлено также нюгочисленными применениями в задачах механики, газовой динамики и электродинамики.

Существенный вклад в развитие теории краевых задач •ипа Римана внесли работа известных математиком: И. Н. Векуа, I. И. Мусхелишвили, А. В. Бицадзе, М. Е. Товмасяпа, А. Д. ^жураева, А. П. Солдатова и др.

Хель работы. Цель диссертационной работы заключается в ледующем:

) исследовать краевую задачу типа Римана для неправильно - эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка произвольной односвй;шой области, получ"ить решение дпородной задачи.

2) исследовать более общую краевую задачу типа Римана для неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в произвольной односвязной области. Показать нетеревость этой задачи и вычислить индекс.

3) исследовать краевую задачу типа Римана для неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений п-ого порядка. Показать нетеревость этой задачи, вычислить индекс и построить решение однородной задачи.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории сингулярных уравнений, краевых задач для аналитических функций, а также методы классического комплексного анализа.

Научная новизна и практическая ценность.Все основные результаты работы являются новыми.

Работа носит теоритический характер и может найти применение в вопросах исследования краевых задач для дифференциальных уравмений в частных производных.

В работе исследуется влияние младших членов уравнения на характер разрешимости краевой задачи типа Римана. Показано, что наличие младших членов для уравнений рассмотренного типа не влияет не только на индекс этой задачи но и на дефектные числа. Получены в явном виде решения однородной задачи. Для уравнения второго порядка доказано, чтс эти решения чисто мнимые и не зависят от области.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

-на научной сессии Армянского Математического Союза (Ереван, 7-8 декабрь, 1997 г.)

-на международной конференции посвященной памяти М. М. Джрбашяна (Ереван, 10-12 сентябрь, 1998 г.)

-на годичной конференции Ереванского Государственного Инженерного Университета (Ереван, 1998 г.)

-на семинарах департамента Математики Ереванского Государственного Инженерного Университета и семинарах <афедры дифференциальных уравнений Ереванского Государственного Университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной )аботы опубликованы в шести работах, список которых фиводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.Ди ссерта цион н а я ра б ога :остоит и:', введения, трех глав и списка литературы из 53 ^именований. Полный объем работы составляет 60 стр.

Основное содержание работы

В введении изложены краткий обзор результатов, :вязапных с краевыми задачами для правил).по и неправильно-глиптических дифференциальных увавнений и коротко 1зложены основные результата ¡заботы.

В первой главе — состоящей из четырех параграфов, нследована краевая задача типа Римана для неправильно глиптического дифференциального уравнения второго порядка в фоизвольных односвязпых областях.

Пусть В произвольная односвязная область комплексной плоскости. По умаляя общности будем считан,, что ОеО . Г-граница этой области, которая удовлетворяет условию Ляпунова. В области I) рассматривается дифференциальное; уравнение:

д1 и ди

~2

+ 2а-= + Ьи = 0. (1)

Я* д!

Здесь а, Ь комплексные постоянные, и -искомая функция дважды дифференцируемая в I) и непрерывная по Гельдеру с производными первого порядка в О ^ Г. На границе Г и(х,у) должна удовлетворять краевым условиям типа Римана:

Ъви/г=/(х,у),(х,у)еГ (2)

ди /

= 8(х>у)>(х>у) 6 г (3)

где 1еС(,"'( Г), уеС'а"'( Г) заданные вещественпозначныс (функции на Г, ГМ- внутреняя нормаль к Г в точке (х, у).

Пусть X, и %2 корни характеристического уравнения X2 + 2аХ + Ь = О

В доказывается следующая основная лемма для решения задачи (1), (2).

Лемма 1. Решение задачи (1), (2) представляется в следующем виде:

и0:)=++< 3 2тс р ^ ** t

где

ф) =

/

Я'(-) = г

ло

1

ло

\

\a{t)\{t-z) Ът\ |о(/)|/ ^

аг§,--г

,. 1 г ко , 1 г 1

|//(г) = — Г-Ш-Л - — Г-агё

Л7 ^ / - г 2от г, /

1

с1(

а — неизвестная (функция.

13 задача (1), (2), (3) приводится к задаче; Дирихле для дифференциального увавнения четвертого порядка. И $3 показано, что эта задача Дирихле имеет единственное решение.

Н §4 доказывается теорема о решениях для однородной задачи типа Римана.

Теорема 1. Неоднородная задача (1), (2), (3) при любых а и 1) всегда разрешима и однородная задача имеет четыре линейно независимых решения и,, и,, и3, и4 (линейная независимость рассматривается над полем вещественных чисел). Если = Х2 , то

и,(х,у) = ¡ел'1+^,и2(х,у) = +

гф,у) = - = = х + /у

I? случае, если А, * \2

и1(х,у) = 1еи:+х'\и2(х,у) = ,е>^:,

и4(х,у) = е^' - = лг + />\

Общее решение однородной задачи (1), (2), (3) представляется в виде линейной комбинации этих функций с вещественными коэффициентами.

Во второй главе - состоящей из двух параграфов рассматривается уравнение:

¿у2 у ди

дz дъ с более общими краевыми условиями:и

К&а(=)и/г= Дх,у),(х,у) еГ

_3 (4)

Re

д N

где feC""!( Г), деС,а "'( Г) •— заданные вещественнозначные функции на Г, ос (z) е С(и,а| (Г), ß (z) е Сia а'(Г),у(г) еС№ "'(Г) заданные (функции на Г и ot(z)?t(), ß(z) =¿0.

В §1 доказывается следующая теорема о нетеровости и индексе

задачи (4), (5). (0).

Теорема 2. Задача (4), (5). (6) нетерова и индекс равен 4-2(Incl a(z) + lud ß(z)).

В §2 изучена задача (4), (5). (G) для произвольной односвязной области. Доказывается, что при помощи конформного отображения задача проводится к аналогичной задаче в круге. В третьей главе - состоящей из трех параграфов исследована краевая задача типа Римана для неправильно эллиптического дифференциального уравнения порядка п.

Пусть <1 -единичный круг комплексной плоскости.

Г = {z : = 1} -граница этой области. В области D рассматривается дифференциальное уравнение :

8

д"и д"-Хи д"~211 л ■ , л г,

-ТГ7 + «,—-^ + а2-^- + ... + аии = 0:: = х + 1у, (х,у)еП (7)

3г ¿>г

Здесь а„ /=/,..., л комплексные постоянные, такие, что если 1=1,...,п корни характеристического уравнения

А." + а,Гч +... + апА, = О

То , Щ,

и - искомая функция дифференцируемая и раз в О и непрерывная по Гельдеру с производными п-1 порядка в О ^ Г. На границе Г, и(х,у) должна удовлетворять краевым условиям чина Римана:

где

заданные вепдественнозначные функции на Г, М- внутренняя нормаль к Г в точке (х, у).

И §1 доказываются две предварительные леммы. В $2 доказывается следующая теорема о нетеровости и индексе задачи (7), (8).

Теорема 3. Задача (7), (8) нетерова и индекс задачи равен и2. М §2 доказывается следующая теорема о решениях для однородной задачи (7), (8).

Теорема 4. Однородная задача (7), (8) имеет кх = к0 +п2 линейно независимых решения (линейная независимость рассматривается над полем вещественных чисел) и общее решение однородной задачи (7), (8) представляется в следующем виде:

A-,, r¡ .

1=1 ;Л= 1.

J>k

где

wjk(x,y) = = 1,...,»; J > *,/2 = -1,

а вещественные части функции и. ;i = l,...k0

(Wf(x,y) = Яег/Дх,^);/ = предстпшляют собой линейно

независимые решения соответствующей однородной задачи

Дирихле.

Коэффициенты A¡; Bj-,Cjk; D]k; / = 1,...,/с0; j,k = 1,...,//; j > к -

произвольные вещественные постоянные.

Список публикаций по теме диссертации

1. О. Бабаян, С. А. Папян "О краевой задаче типа Римана для одного класса неправильно эллиптических дифферопциалпих уравнений". Научная Сесия Армянского Математического Союза, Тезисы докладов , 7-9 декабря, 1997, Yerevan, Armenia, с. 17-18.

2. А. О. Бабаян, С. А. Папян "О краевой задаче типа Римана для одного класса неправильно эллиптических дифферепциалных уравнений". Известия HAH. Армении, Математика, 1998, т. 33, No2. с.2-12.

3. С. А. Папян "О краевой задаче типа Римана для одного класса неправильно эллиптических дифферепциалных уравнений и произвольных односвязных областях". Известия НАМ. Армении, Математика, 1998, т.ЗЗ, No2.

4. С. А. Папян "О краевой задаче типа Римана для одного класса неправильно эллиптических дифференциальных уравнений г произвольных односвязных областях". Годочиая научная конференция Ереванского Государственого Ипжиперноп Универси тета. Ереван, Армения, 1998, Октябрь 2(>-30.

5. S. A. Papian "On a Riemaim type boundary value problem lor г class of non-elliptic differential equations in I he disk." Djrbasiiian

Метопа! Сои (степсе, йерк^тЬег 10-12, 1998, Уегеуап, Агтегпа, с.39.

Основные результаты работы

В работе рассмотрены краевые задачи типа Римана для одного класа неправильно — эллиптических дифференциальных уравнсний.

В случае уравнения второго порядка краевая задача сводится к сингулярному интегральному уравнению. Показана петеровость этой задачи и вычислен индекс, который зависит от коэффициентов краевого условия.

В случае более простых краевых условий показано, что однородная задача имеет четыре линейно независимых чисто мнимых решении. Доказано, что эти решения не зависит от области, где рассматривается это уравнение.

Длч уравнения п-ого порядка доказана петеровость краевой задачи типа Римана и вычислен индекс.

15 этом случае решения однородной задачи построены с помощью решений соответствующей однородной засдачи Дирихле для правильно эллиптического уравнения порядка 2п.

Цйфпфгш]

Ц^штшйр!] йфрфиб I; ГфйшСф ифиф Ьярифй [иОгфрйЬр^й б^сцфт ^Ьщи"^!-) г)|-|фЬрЬйд|1Ш[ ИшфиишрпнЗйЬр^ ф гцшф Ишйшр: Щ^штшйрпШ шпшйбЬО пшпиЗйилфрфН £ ЬрЦрпрг^ Циирсф ГфйшйЬ игфиф hqpшJ|^0 [ийфр, прр рЬрпЬ[ к 1фйфиишр Ьйи"|Ьс}.рш[ Иш^шишрбшй: Цщшдгид^ I; й]прьрпф]п1.й[! и ИшгЦшб Ь ЬСщЬриц, про Цш[иЦш6 Ь bqшJ^^й ьцш^шййЬрЬ о.прдш1фдйЬр[1д:

ZJ

itlûqoçnuçiul a|mhom oqtluçb iJilbijiJ gi|ímiTbq i|hii|m i|om[ii|u uqnmpmq rjq 1qJi6iuîjmh )iu6u3l|p i|ûqr)piuçiu1 i|Ubr)ri| i]íqln|i|Ui|L, uqnmpmq Ijfm jiq

:OÜL|lji]n_| iirqlnJiJULlij

Umprni) оггф11тпггфггщ lmij6oqdqct;i|b h|L|uihii|l:j mLjûbZç ijbUmli íiü- uz omriJnmLnmhnmpmL) } "lq]iliUmmi|b liquimpmq rnqq ijilbrjri] bin

iDnaqbriil ^ çmliZmq i

Doiufdiuüqéufo i|übgn| Qijímübq L|hni^tn L|r)mpi|y Umpmn tjmpümnm|irni| lmi)6r|qüq(tL)b iJbUmh| bil- u } Iq|i6iu6mhim piucJrjriinmn|Z]-|

idpiuilmnmliinq

üfm } çnu|^drruni|b bqirtüu '6L|dhuiii|in r)fm rjq? çm]iajmli Qüqrjpiupiul tiím q 'rjq çbqh irnub dQuüu 'ûqrjpiuçiul n|mhQm rjqiluçb nüu? i]qiu ndijbfjnl ciqnmpmq ilu '!] 1q]i6iu6mlnm Umprni) i]3triqb bilmhri ijlqjin