Крайние гиббсовские меры решетчатых моделей на дереве Кэли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В- И РОМАНОВСКОГО

Р Г Б ОД

. На правах рукописи

- will IJJJ

¿у1 V '

РОЗИКОВ Уткир Абдуллаевич

КРАЙНИЕ ГИББСОВСКИЕ МЕРЫ РЕШЕТЧАТЫХ МОДЕЛЕЙ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ

01.0101. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1995

Работа выполнена в Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук Н.Н.ГАНИХОДЖАЕВ

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук Б.М.ГУРЕВИЧ

кандидат физико-математических наук, доцент О.Х.ХАИТОВ

Ведущая организация — Институт проблем передачи информации РАН

Защита диссертации состоится _» 1995 г.

>псь * в_/у .__ часов на заседании специализированного совета

Д.015.17.21 в Институте математики имени В.И.Романовского

АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент-14'3,

ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан «__¿^/¿Я^ 'Ь.Ь^ 1995 г.

Учёный секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук, проф.

Ш.А.ХАШИМОВ

ОБДАЯ ХАРА1П?Ы:ИСТ:1^ РАБОТЫ .

■ Актуальность темы. Формулировка модельных задач статистической ыаханнки представляет собой зесьмз слоянув физическую л математическую проблему- Например, я снимание природа §азсви:: переходов остается одной аз главных нерешенных проблем математической физики; в резании зтол проблемы за последние года произошел эекоторнй фундаментальный сдвиг. В качества примера мозао привести решеточные модели, где'ЕЭШзуз роль сыграло решение Онзагерсм (1944 г.) двумерной модели Изиьта. Эта модель, которая з пятидесятых годах рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма, в шестидесятых годах, ппглл г«*-- « Л* г,;

^шолш» яо^тт"-"--- -^орыапии о разовых пере-

дгдсд. шпого интсрзсннх результатов встречается уха е основополагающих работах Ван £ова (1949 г.), Рюэля (1968 г.)Гри^итса (1964 г.), Шнлоса (1968 г.), Добрушнна (1973 г.), Синая (1980 г.) и других. Несмотря на продвижение, в изученаи теории'фазовых переходов и гиббсовских случайная-полей, до сих пор на существует ■ математического аппарата, который позволил бы эффективноа'ссле-.довать модельные задачи в статистической механике. В связи с этим представляется'актуальным детальное изучение моделей, возникавших 'из задач статистической механики классических решетчатых систем.

цель работа. I» Построение несчетного числа крайних распределений Габбса при низких температурах з модели Изинга с внешним полем я изучение сазанах переходов в антз^еррсмагнитясй иедэли Лоттса с внешним полем.

2. Построение периодических распределений Гзбоса модели Изинга и построение новых классов частых ^аз ацтп^ерроаагнитной модели Извита. . . .

3. Описание крайних гиббсовских игр модели Изинга о конкурирующими взаимодействиями.

Об'дал методика исследования.

.3 диссертации при изучении моделей Изинтэ используется г-*етод, основанный на теории марковских случайных■полей на деревьях, и рекуррентных уравнений этой теории, что позволяет точно выписи-

вать' тран.сляционно-инвариантные крайние гиббсовсяие распределения. ....

Научная новизна. В диссертации построена и изучены пера оде ческие и трансляционно-инвариантныв крайние гиббсовские распр деления моделей Изинга и Доттсз с ненулевым внеаним магнитным полем, модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дер ве Кэли. ..' •• .....

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теорет чесвай характер. Её результаты могут быть использованы в раз-дзчиих разделах математической разики, теории мер, теории вер ятнсстей:. .• ' ■■ . " '■ " " '

• Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах отдела алгебры и анализа Ш АН РУз под руководи вал членз-корр.АЫ РУз Аепонэ'Ш.А., кафедры функционального анализа ТэшГУ под руководством академика АН РУз Сарымсакова 1 на семинарах д.§.~м.н.Гзниходаавва H.H., а также нз меклунарс ной конференции "Математическое моделирование и вычислительна эксперимент" (28-30 ноября 1994 г.), на республиканской кон$е ренции "Новые теорет молодых математихоз-94" (IO-II июня I9S г.), на научной коллоквиуме колодах ученых и аспирантов Респз лики Узбекистан/посвященном 600-летпа Улугбека (1934 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы i работах \1 - 5] ;. В совместных работах [I, 2] постановка задг принадлеаит Н.Н.Ганиходжаеву, а доказательство получено диссс тантоа. - - .

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из вне; ния, трех главразбитых на 9 параграфов, и списка литератур! содеркацего 53 наименования. Обьем работы 95 страниц машанош ного текста.

■ . СОДЕЕШИЗ.ДИСШТАЩИ

Во введении дано списание основных результатов работы и ш связей с другими известными результата;®.

В первой глазе доказывается существование несчетного числ: краинях распределений Гиббса при низких температурах в модели Изинга . с внешним полем на дереве Кэли и приводится их оплсаш а для аатнферромагнвтной модели Поттса с внешним полем доказь ВЗется отсутствие разовых переходов.

— 4 —

3 í I.I приводятся определения моделей Изинга и Доттса с шепшкл пел ем. кэ peaei'Ke Бете (влз дерево Кали, в другой тер-згкодегаи) е необходимые сведения, связанные с описанием об^ей структуры крэйклг распределений Гиббсэ на резетке Бете.

решетка Бете 1*- порядка к^У есть'бесконечное дерево,т.е. без циклов, из кз.вдой в ерзшш которого выхода г ровно ребер. Эха решетка обладает тем свойством, что число вершин, лоевщаека: за а шагов, растет эксгснендаельно с росток а . ¿то более бистро рост, чем n5- , независимо от значены cí, где . и?- - о бьем яцгка с ребром, равным п. , в об- мернач

"esriW ¿етн и «»«те»!',

ней, ssttstcs исс1."сас.чй0мврвымй.

Пусть - (у,Li I) , где V есть мноаество вершин У, L- его множество ребер я ó - функция инцидентности, сспостав-лгиацая какдому ребру L его концевые точки . назы-

ваемые соседними и которые обозначаются "через • ,

- В модели Изинга.с ненулевым внеынпм полем на решетке Бете основные переменные вох.) , V принимают значения ¿I и гамильтониан имеет вид -

НО») =-32 6W5IÍ0 - elS (I)

xev

где сушшровааие ведется пс все:.! парам ближайших соседей и J,<¿s(R .

3 модели Псттса с ненулевым полем на реаетке Бете основные переменные , X&V принимают значения 1,2, ... , а

гзилльтевкап имеет вед . .

*

где b - символ Кронеякерз, и суммирование ведется по нсеья парам бгшяэйпшх соседей. Антиферр'омапштная модель Поттсз определяется гаиильзоняавои (2) при 3<0

Расстояние cít^c.,^> ^ $ е. V на решетке Бете вводится пс формуле с(а) = min. ^cL / 3 =с = , ,. •., такое, что парц <хс,аг^>1 • ■ « , ac^v- бликайшие соседи] .

- Последова тельность 5Г - { ^ , а:.,, .. м а:^, scd € V 3 реадязущая указаний шнпмум," называется пухом из х в # . Если из-решетки 3"л удалить произвольное ребро cc0,cc1>=e&L , то ока разобьется на две компоненты, две полубескснеч'гаё решетка Бете 5"о 2 СГ* . :

Задача описания крайних распределений Гкббсз на решетке Еете 5* стандартным образом сводится к полубесконечной решетке (см. [1°, 2°]).

Пусть V° есть мнокество верзхш решетки и X - её множество ребер. На решетке имеется звделенаая граничная вер-!иина зсо€. V0 » из которой выходит К ребер. Ынокество

V^. ={».€ У°/.ill sc;,sce)s п. ^ назовем - КГ™ эха&см дерева 7* . Пусть

I

есть' " К. - этаявый дом",

На дереве ыокно-ввести частичный порядок, сказав, что jj>zc. , если.существует дуть.' эс ..., .

из -ос в а вверх", т.е.-такой,-, что а") =

Мнокество вершв = } и соединяющие их ребра образуют полубес-

конечное дерево - , "растущее" из вершина осе у0. Исходя . из работ 2°, 3°] , описание-крайних гиббсовских. распределений на 5"* -сводится к-полубесковечной решетке Т* .

1°. Прастон К. Гиббсовсние состояния на счетных многествах. ГЛ.:

Мир, 1Э77. - 126 с. '. 2°. C-ecrgii'H.O. Glbba neasuxee ar.d pbaee tresitione/De Gruyter studies in mthenatlcc: Berlin; liew York :..de Gruyter, 1988. - 525 p.

3°. Spitzer P. Karkov random fields on en iofinete tree // Ann, £rob., 1975.- V.3.- P.3S7-39B.

- 6 -

В 5 1.2 дается" опасение чистых ^аз модели йзинга с ненулевым внешним полем на решетке Бете.

Пусть уи. - гиббсовская мерз и ^т хс V" } '—соот-

ветствующие у"- распределения Гиббса на , х£Ус }

дда модели Изинга. рассмотрим распределение (еоч) сдан^ 6^) -± 1 относительно /(^ и запишем его а виде

(6(сс)) - Ж1 е<гр (к^&<.*■)) (3)

где есть" "элективное" локальное внешнее поле в тсч-

Т(а у ^П1ТТСИ!1Л1Лй и м —- и . Л —и V алшт

' - - -- л г - --• г -- ¡' * ' л- / -

НОПМИ^Т^ХПН-Г ПТ-ТТ'Т'аТТ г. "ТО

——-— ^ е/хр (гЛ-Л (4>

Таким образом, с кагдым.распределением Гиббса- могно связать совокупность величин » ^ , определенных ■^ермулоЯ (4). При описании йззсвых пор ох слоя в ёеррсмзгнятгтс^ модели Изпнга с ненулевым внеиаим поле.! нз решетке Бете сукостзекную роль играет семейство одномерных отображений:

| ; ^ -* ± + К ОлЖ. С^^к) (5)

К

зецественноЯ прямой в себя, где М = ж ~ , Т - температура а К -- порядок решетки. Если удовлетворяет у опоены — (и-ОЗ < <А.<0с-1) 0 , то существует критическая температура ТС-ТСЫ.) такая, что при Т< Тс уравнение неасдвизпоЗ точки

К. у + К

.(О „ ,»)

имеет два устоичивнх решения п^ < п^ и одно неустойчивое решение , леаащеа меаду ^ а ^ . .

Пусть . тогда существует единственное крайнее распре-

деление Гиббса, а следовательно, распределение Гиббса едпнет- .

венно. Пусть';.Обозначим через' Гиба[са*,''сооязетс1вущев совокупности '• ''•.>:.. . ' • • ^Щг^ы^) .V . ; •

-■•'.г "Распределение/\зшятёя трансляционасниввэрв-. Уантндад крайними распределениями.'Гиббш '4°2 ). " ;••••

, .' Прив ед ёакон с тру кцаю в е сч етн от о числа .чистых $аз,. не являк>-щихся' трансляционно-иннариантнши. •••.•. .,•.•...•',

Пусть дан'бесконечней путь 5Гз:0-¿«1 <••*'$' . ' Сопоставим/цутз . Э*" совокупность -величин ■ £ ~ х6 ">

удовлетворяйся- уравнениям согласования. Совокупность КГ . одНозначноепределяется условием, ч?о . . " .

если . '

если. «е^л. ■'•-.

Дуоть ЗГ есть бесконечный путь ,:• изображаемый яослодовательно-: стыв." СДД..;« . ч . Сопоставим пути ЗГ' вещественное число'

1 * о»

±.-=ЫЯ) = 1 к . Совокупности к

'■•.■■ , • 2. - у: : • '

различна дри разных. -Ь и пусть распределение Гиббса,.

. соответствующее совокупности 'к.. ... • ..' ;•• •'• '

';: .'Основяым результатом."вадарафа 1.2 .является- •. ..• . ' . ■'ТЕОРЕМА Для--любого Ч: € -13 . распределение.' Гиббса •• является крайним..' • . •"-••'."

"'■ Нескольку распределения /Л ■ различны- при. 'разных : , ад

' . . • . • * • . » /а»'

получаем контигвдгы чистых $аз. Заметим,-ч%о М •

-- и) .....• ' : ..-..-. . . .'.

р. \ .

. В §■ 1.3 исслёдуется-модель Поттсз с.ненулевым внеашан; полам, т.о. <А4=0В данной работа ыа Ьгранйчиися сяучайд". ?<о ,'.'.

.'4°. СЬауеа ¿'.Т.» ОЬауеа: Ь», БеШш ¿.р» ¿iTbeu2.ee в вееа-

• £1а1<1 ¡5в1а-^Хавй вЬсгг-гаода ±^егво-И.одэ // Сошшцп.' "' . ТЯ0б.»' ?.41-89.:

' 1 ■ - : ' " - "'.' _ е _. '' •

. v Множество зв^чавй'ошйовЦх.пвремеа^;. б(х>, ie v представим как ынояес.гво векторов: {6|,-<Зл ,6"3] с:К-таких, что -|©.| =1, i, 2,3 и • í&t'ÍSt) (6t^S3 ) - •

ог^-кДЯГ/з • Так цая.ди/лвдйыг... ®víf eV • • - • _

I (6(3=) сну)+4") -

то гамильтониан (2) ивнешззм пел ем <¿-4о' сводится к следующему ; . ■ - '

Лусгь уч расаределэние. ГпсЗбса на и igv"}

• сбответсгауздее ><• рзссрсделение Габбеа иа « eV° } Существуе.г'едЕно5венши,вск$ор; Ji€IR:' такой, «о'Л;"".•..*_' $

У ^^ V "V-vä

. ч - р^щ) \ ; ;

. .¡Лдя изучения 'проблемы iasomi переходов будем искать неподвгк-пяе точки отображения '•

р : |v P(k,©nol) . Ck^i) (8)

К •

где. имеет вид:

íl - git. 1 g3

. 1 % ö3 ¿tf *Цч- ôof

Основным результатом ларагра$а 1.3 является - TEOP'JS М-А : 2.'При k-zZ , <£=3 , О<0 в <¿^0 в модели Поттса вет фазовых переходов, .'.-... ..Во второй главе рассматривается модель' Изинга с нулевым внешним полем. Целью этой главы является: изучить' периодическое распределение Гиббса для модели Йзинга на решетке Бете и построить несчетное -множество- крайних гиббсовсквх распределений, отличных от ранее известных. '

В § 2.1 приводится структура периодических-распределений Гибб-са на'решетке Бете.

Пусть QK - свободное произведение ■ к циклических групп второго порядка с образу щеми а( , at. ... » а* '; Определим на QK структуру графа.следующим образом: вершины, соответствующие словам 9, k е <?к , ,'назовем блиаайшими' соседями и соедини!,! ребром,-если либо либо k-S&j для некоторых I и / .

Нетрудно убедиться, что так определенный граф образует решетку Бете порядка k-1 . На С<' структуру гра^а mosho определить и другим образам: .вершны,. соответствующие'словам §7, -соединим ребром, если либо ,-либо k=ctj§ .для некоторого

L или I . Решетку Бете, построенную первым (вторым) способом, назовем правым-.('левым) представлением решетки Бете. '

Рассмотрим по группе GK+1' оледуюте преобразование: для

М ^ч-И ' ПолоаВМ '

Л\к= к80) Vk € G^ О)

Эти преобразования являются левыми (правыми) .сдвигами на

.Я Р В KS О KS Н 11 Е I. [5°] . Группа левых (првых) сдви-гоз нв правом (ловом) представлений решетки Бете является группой •граысляхщй резеткн Бете.

5°. Ганпходнаез H.H. Групповое представление и автоморфизма дерева Кэли // Доклады АН РУз, 1333.

-.10 -

Такт образам, до аналогии с решеткой группа трансляций нз реаетке Бете <5,,,, изоморфна группе . Для коыкутатив-

ной группы задача описания подгруппы конечного ин-

декса-решается просто. В случае группы при )с>< задача

оказалась достаточно сложной.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. [5°] . Подгруппа - группы Ск , состоящая из слов четной длины, является подгруппой индекса дез. Очевидно, что гамильтониан модели Иэивга с нулевым внешним полеа инЕаркавтен относительно действия группы , т.о. периоди-

чен. Поэтому мы построим периодические распределения Гиббса с периодом два.

« - г—Гши^оа п * , -г «= V- « -

йвтсгрутеи» ¿К РЗСДРСДОЛСПИЯ ГййОСЭ ЯЭ ^Х*, ЗЬС V' } ДЛ.З модели Изинга. Рассмотрим распределение спина

6(х) = ± 1 относительно а запишем его в виде

= ежр> если ® е\Х£а, п.=о, V«

^ (Сб(х)> , если ос. е , п 1,-

'где к^, ¡(¿е [р и 211 и Ж^ нррлир.-аэде константы. Из (10) ясно, что

.если

—--—^^(ак^) .если а*^,**«^,...

Тзйпи образок, с каздыи распределением Гпбосэ у*, мы г.;оЕе:.-. связать совокупность вал1;чпн , х:£ ^ и

{.К-э- , Х € и V - • Предположи, что 1

Ух € ^^ ц ^ Г И. , Ух, 6 ^^ . Окээывзотач, величины {¡г., 16 и удовлетворяя?

- II-

(10)

систему уравнений :

где '-•-© , М <е<,

' Лагко лронерить, чтосистдааЕмеет. единственное' растение (о,о) , есла ¿е ¿к '• и . три решениа (о,о) ,

" » ейгш - < Ч- - . И 5рИ 50Ш6ВИ2 '

(о, с(-^у Ь^):(-Ь*) ,.если •

Т Е 'О Р.Б М А 3. Для-феррдагт^Мой ыодели Дзанга :.' " (3 > о ) существует, периодических распраделваш Тиббса. .. . 2- Для антрферромЕГнитной модели Изинга (3< о) существует '.два периодачесЕих'раопредел'ения Гиббса. .■ ■' *•''..'•-. •-•;•

; •ЗаизтЕм.' Что з ^ерромагштноЭ модвли ЛзингаетЕ . део. порно-: . -даческах- распределения- Гий'бса авляйтая ^раасляционно-инвариант- . •щши'.и не существуем «тлиЛшвг от-них в^рисйгчЕсгах.. 'распределен ;.яийГвббса. ' ; ■': ■' '•■ '•.'."■ ••.';: "'-'."'• ' .'''■ 'V

• 243 мц построили Явный'$я6й?. .. св для* -ватайерромагаитной модели изинга *' и доказала, чтомвоке-.' : сггво'.таних распределений .несчетно. ; .' / • : • ' . ' • -£одсставим- путил!5Г 'созаяханост? 'чисел * леУ??»"

^удавлетаоряжшг -условиям ■ с^дасоватю; Садакиш&саь •

у=- {Лх ^ ас СУ* ) : ' • однозначна определяется следующими '

условиями ЗДЯЗ'". в'<--£..'• .'.. . . .... .■''.•■■

-Ь^ » ест , »««¿^ '.' у

ас- V ^ ^«.-гж. . .-' .

.Стандартным образом Ьопоставляетси кавдомг'пуи!. 5Г '.число' . Н'ё&ИЗ-': 0-'Щошу пуча - 'Ш-у ногшо сопоставить /. которые различными рйз'нах Х*Ч А 3 , - • Каждой оовакупяоегш' '■

4 ' - 12 - ■

мознй, с'оиоиаввдь • распределение. Гиббса ¿¡з' > .кбторов/Ш. будет.

•обо'зяачагь'^л + вЕо-»^ ^ '

'"'■ТЕ О Р 3 М А 4.- Дла любого,-Ь'е ШГЧЗ распределение хиоб-

-са■ ^ ■. •'яадаетса-. крайний.. .... -•.'.' -

:-!-В третьей главе рассматривается модель Изиага с ховаураруааг-

ма взаимодействиями на рееетне Бета. ■ . . ■ . • -. ..

Верзинц- х,^ е V 'Называется вторами соседями, если с((х,у)=:'2. , и в'этом случае их будзм обозначать . • .

Сзстеш,- в определении которых заданы'взаимодействуя тсль:гс блязайоих соседей,' во -тайге взашоданстзяа вторых соседей, нззы-зввтся модаляыз с .конкурнруяэдиш взаимодействиями

.В данной работе изучается модель Изивта' с,конкусзатюттап

Ц"(<о) =:-! 22- % 22"' СЁ)

где спиновые першенше эс. <гУ.-* ' .••пряниизнй-. значения

¿♦'-4. " взаимллейотвие маздг ботзвйшаи и \ ~ конкурзр^эдее •взашедввствив меаду'вторам».-соседями <•..: .':• '••:'•

Пусть-Ьб.у • верадна решетки' 9"*' ж К ', ¿4 блазайкиё 2-зго-.рне сосэдв Еерптш ■ Ь соответственно. '■ , .. ^ '

Обозначай: е1 - /т ) .©а

42 г -гх • -2Н г. -аСж+у) I-

в,+е1©а(г +г.

I

О " . . Г ]

6°. Кат12 Н., ГзаХНа С. апй А1Ъиг-деггие:2.1.7/ ¿оита!» в*

З'Ьв.'Ма-'&са! 5йр81сз^"?985.' -'7.40. - Ко.5:'3/4.- ?.578..

- 13 -

где 6=±1 .

Результатом § 3.1 является следующая

ТЕОРЕМА 5. Пусть Ji - гиббсовское распределение и

{¿^ , t С V } соответствует ju. . Тогда эта величины удовлетворяют 'следующему условию согласования

В § 3.2 изучайте? трансляционно-инвариантные гнббсовские распределения для модели Изияга с конкурирующими взаимодействиями -на решетке Бете (Г1 .

Основным результатом § 3.2 является следующая • ■

ТЕОРЕМА 6. Для модели Изинга существует \ , такое, что при Т< Тс существуй! два трансляционно-инвариантные крайние гиббсовекие распределения. ■

Б § 3.3 праводзтсй .конструкция несчетного числа крайних распределений Гиббса^дая рассматриваемой модели. Эта конструкция аналогична конструкции § 2.3.

. Основшш результатом 5 3.3 является ТЕОРЕМА 7. Для модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями 'на решетке Бете существует континуум крайних' распределений Гиббса, которые не являются трансляционно-инвэриантныш.

В заключение считав своим приятным долгом выразить глубокую' признательность моему научному руководителя» д.ф.-м.н.Ганиходаа-еву H.H. за. постановку задач, внимание и ценные советы при прове дении настоящих исследований.

Список публикаций по теме диссертации.

I. Ганиходяаев H.H.; Розиков 7.А. 0 периодических гиббсовских распределениях.модели Изинга на решетке Бете //Рук.Деп. з ГО KCl ГКНТ РУз. й 2385-Уз35 от 12.05.95 Г. - не 17 стр.

Ганиховгаев H.H., Розкков У.А. О крайних гпббсовскшс распределениях ггодели Иаанга на резетке Бете второго порядки с яонкурирундиш взаимодействиями // Узб.матем.куркал, 1Э35, й Z.-C: Зе-Ч'^,

f. Резаков У.А.' О предельнее гпйбсоэсж раецределекгях ыс~ дзлп ПзпЕга z Поттоа с непудевкми впеангма вшяка на решетке Бете // "Некоторые вопроси анализа и алгебра" (сб. статей молода:: евторов), ТааГУ, 1995. - C.I04-III.

Рогаксв У.А, О новых классах чистих ?зз модели Кзвнга на регэтке Беге // Тезисы докл. Респ.игуч.хонг. "Новые теер. молодых мзтоката2С5-94", Нгд-ангаа, 1уЭ4. - С.98.

i. Розлков У.А. О трзнсляцзонвгу-'.п.'дар""-——г.. часхм»

üa«HP«>- л "^"'i.^ü.yiiiiüwi« 532:г^в2игвйями кз peaei-ra I.vs // Ic-ззсы докл.коллоквиума .молода ученых л аспирантов F/з, посвященного 600-летию Улугбека, 1994,. - С.1'7.

КЭЛИ ДАРАВДДА АШ5ШНГАН ПДШАРАЛИ ШДШШШГ ЧЖКА ГИЕБС УЛЧОМДРИ

Резайе

ДгосертацнявиЕГ бвринчи б обида ДСэли дарахтида аниаданган ташда магнит шйдовди Изинг модели учун саноисиз чекка Гиббс такриыоти мавасудлиги Есботланган, уларнн вджш конструкциям берллган вз таи^и магнит майдошш снтиферрсшагниг Потто модели учун Кг 2 вз булгавда чекка Гиббс тадсикоти ягояа-лиги яьни дазо алмашинишлар йдаиги исбдтлашш.

Иккинчи бобда,Кэли дарагтида ани^анган берроыагнит Изинг модели учун даврий Гиббс. тацсимоет 2 талнги вз уларникг транс-дяциое инвариант тацсимстлардан <£арц вдлыаслиги шу б/н бирга анти^ерромагнит Изинг модели учун даврий Гиббс тах{симот 2 та-лиги ва даврий о'улмаганлари. сзнодсизталиги исботланган вз уларни здрлш конструкциям бервлган.

Учинчс* бобда, Кзлн дарахтида анивдангав ранобатлащувчи уазро таьсирли Изинг модели учун 2 та трансляцион-инвариант ва савокриз траасляцион-инвариант булмагаа чекка. Гиббс таз^симот-лари вдрилган.

2XTR2KE GIB3S MEASURES GP LATTICE MODELS OH IBS CAY1EY TREE

(3UH.ÍARY)

Is the iirst chapter the existence of uncountable numbers of the estrene Gibts measures for the I sing niodel with the extendi field on the Cayley tree is proved ana their ccwtruc-tive describtion ia given. It Í3 proved that the estrene Gibcc measure is unuque for the antiferronagnstic Potto oodel with ths external field cn the Cayley tree by k = 2 and q = 3.

In the uecond chapter the existence of two periodic ex~rc."? iiibba measures and uncountable numbers of nonperiodic Gibbs aeasvcroFi th* snti?-——-r — Z-L^ or» um úwim

tree In preval »nd №iir constructive description 1« given. It ia proved that there exists two teriodic distributions for ths ferronagnetic Ising model being translationally invariant.

In the third chapter the existence of thece two transitional . invariant and uncountable nurabem of the nontranslatio-nally invariant extreme Gibba measures for the Ising model with the coapete interactions ie proved and their constructive description is given.

-17 —