Крайние точки множества квадратичных операторов, сюръективные квадратичные операторы и меры, порожденные квадратичными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК. РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИЬ^^ТУТ^АТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

_ О л

На пpaвяv ---¡.„¡.иг«

■МУХИТДИНОВ Рамазон Тухтаевич

КРАЙНИЕ ТОНКИ МНОЖЕСТВА КВАДРАТИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ, СЮРЪЕКТИВНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МЕРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

01.0101. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1995

Работа ¡выполнена в Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан и на кафедре высшей математики Бухарского технологического института.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук Н.Н.ГАНИХОДЖАЕВ

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук Б.М.ГУРЕВИЧ

— кандидат физико-математическик наук, доцент Н.П.ЗИМАКОВ

Ведущая организация — Институт проблем передачи информации РАН

Защита диссертации состоится « Н. » 1995 г.

в__ часов на заседании специализированного совета

Д.015.17.21 в Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г, Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.ИРомановского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук, проф.

Ш.А.ХАШИМ08

ОБЩАЯ ХАРД КТБРНСТЯКА РАБОТЫ

А к ? у з льность т е и ы. Фундамента льнеэ законы

'.Менделя, сформулированные на язю», весьма близком к-тематическому, привлекли внимание математиков к изучена® задач юзкикаодизс в ' биологии и, в частности, популяционноЛ генетике З.Вольтеррз, С.Н.Евряштейак А.Н.Колмогоров, В.Фелляг- г ^о. «. .лгебраическому и вероятносто^-у з пспуляцконнса

шьягтеюдонная литература. Б некоторых моделях математической генетики естественно юзникавт динамические системы, определяем® ■ квадратичными тображениями стандартного in-1)-мерного симплекса

S"~1= | х - {х±, x2,...,xn)t xi » 0, 2 х^'к 1 |

s себя, шевдими вид ■

п

7 : х: = У"' Р. . х. х

? . >0 , У Р , =1 Р. . «Р. . для всех i.j.ic. k>l

3 связи с этим представляется актуальным' детальнее изучение

различных моделей наследования, возникающее в биология. В

. * • *

прикладных задачах важны вопросы изучения крайних точек множества кЕадратичншс операторов к объективных квадратичных операторов.

Одной из ззаших топологических задач . является задача Еняснения, при. каких условиях на преобразование одного множества в другое, оно . переводит- границу в.границу, крайние точки з крайние точки и т.д. 4*1.

[«З.Хуратовскии К. Топология- - Тем I. - М.: Мир, 1S66. -595с.

- Э -

Описание условий, при' которых преобразование множества в себя является сюръектшнш, относясь к этому классу задач, важно также при изучении биологических моделей. Так,,объективность квадратичного оператора, гарантирует, что какая-либо траектория квадратичного оператора проходит через любу» наперед заданную точку симплекса, или на языке моделей, выбрав какое-либо начальное ■ распределение на множества разновидностей, _ через. некоторое число шагов можем получить произвольное распределение.

Цель работы.- В диссертации рассматриваются следущке три задачи:

1} Списание сирьектинных квадратичных операторов, определённых на симплексах малых размерностей.

2) Описание крайних точек-множества квадратичных операторов^ определенных на симплексах малых размерностей.

3) Исследованиемер, построенных по, одному классу квадратичны!' операторов.

Методика в.с след о в а н и я. . В работе применяются методы математического анализа, теории групп, а, также конструкции прямых . произведет® . мер.

Я а у ч н а я новизна. в работе даются полное описание множества сюръективных квадратичных операторов, а также полное описание всех крайних точек множества квадратичных операторов, определении на симплексах, малых размерностей.

Для одного класса нвадратичшгх операторов изучены зргодаческие сеойствз • мер, построенных по этим операторам.

Теоретическая а практическая ценность. Результаты могут быть применены при изучении ■ некоторих моделей наследования. Результаты и метода, развитые в

работе могу?, быть полезными в дальнейших— иеследоваетяг квадретячннх—оперетбровТ теории меры, в математической генетике

Апробация работы. Основные результате работы дзклйДОЕались на семинарах кзфэдрк функционального анализа ТааГУ под руководством академика ДК ТУз. проф. Т.А.Саркмсакова, отдела глгебри и анализа . Ш Ш ?Уз под руководством чл.-корр. АН РУз. проф. Ш.А.Дюпона и 15» л.'" Г-^лл-илжяо^ 1:..

м колодах уч§нгх посвяценной памяти В.К.

Романовского {1992 г.), на республиканской конференции "Новые теореш молодых математикоз-Э4п (10-11 июня "994 г., Наманган), на 'международной конференции "Математическое моделирование и еычкслитэльенй эксперимент" (28 ноября 1994 г., Ташкент).-

Публикации. Основной содержание диссертации одублгковано в 5 работах, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 75 маякнописннх страниц состоит из введения и тр5х глав, разделенных на 5 параграфов.

содерпсг £"■ НЭИМОКОВЙПИП.

СОДЕРЖАНКЕ Р А Б О 1 Ы

т; : зрлТЙГПШ Р^ТОЯ^вЛ ДИССбОТС'С'ЗСТ 7"";'

г-яультатов г. пр;зодк7'«я неооядешв понятия и сгредвлегаш.

3 5 1.1. дано полное описание множества всех сюрьекткашг кввдоатшши опвсаторов, отгоедв ленных нэ одномерном сГ''. Д'жрз-эк: , что г то мнозгестсо состоит из даух класссг кггдратичвы операторов, определеннЕХ ■ следующим ссразом:

, > 1, ? = Ь, Р » О, 1,1 ' «.,» '

и

г(Ь) :

1, ? .« 1-Ь, Р * о:

(2)

где Ъ любое число из отрезка £0.1 ].

... , Теории 1.1.1. Для того, чтобы квадратичный оператор 7 определенный на -тйткее-З1, бь^п сшьвктшнам, необходимо : достаточно, чтобы - он принадлежал либо ' классу »(Ъ), лис -классу ';.'..

' ' Так как все квадратичные операторы (1) или (2)., являйте биективными, то в качестве ' .следствия • имеем следуодую теорем . Теорема 1.1.2. Для того,. чтобы квадратичный оператор 7 определенный на симплексе- 51, Сил • биективным,■ необходимо : достаточно, чтобы он был сюрьективным.

В 5 1.2. изучаются" объективные квадратичные операторы определенные на двумерном симплексе. Так как двумерный симшш 5* является правильным треугольником,- для изучения , объективны квздрвтичЕги операторов применяется теория групп самосовмещени правильных многоугольников.

Группа самосовмещений превильного треугольника (см.рис.1) состоит из шести элементов.

______Три элемента этой группн являются поворотами з плоскости

треугольника на 0°, 120° и 240° соответственно вокруг центра симметрии О (см.рис.1). Остальные три элемента являются пространственными поворотами на 180° вокруг медиан-кгк'г А0А; соответственно. Группа семосовметегшй

G = ,%з ,г4 ,%а определяется группой перестановок

вершин этого треугольника:

1 U A, A,] * К A, Aj I Ал А, А2 j

[ К A AJ i AJ [ К К К ]

Будем говорить, что квадратичный' оператор 7, определенный на с^шплексе 3*, соответствует семосовмещэзив х^, если 7 перевода? ■ вершит асплекса 3* э вераины и ребра симплекса в ребра , таким

- 7 -

же образом, как • самосовмещение х1, ■ {=1,2,... ,6.

Теорема 1.2.1. Любой сюръективный квадратичный оператор определенный на симплексе в*, соответствует- некотором; самосовмещениЮ' к, I = 1,2,-.-, ,6.

Доказано, что объективные квадратичные • оператор (а,¡3,7), соответствующие самосовмещению имеют следулща вид {=1,2,. - '. ,6:

^(а.0,7):

7.<а,Р,7):

11,1 ' 33,1 13,1 " - 2Э,<

Р.. ,=0 =1 Р.. =0 Р.. ,=1-а Р.. ,=0 Р,„ ,=7

1 р =0 р =0 р =1 Р • =0 Р =1-6 Р =1-7 и,а 22,а ээ,э 12,3 1а ,а Г 29,а . '

* . ■ " . ' -

ГР =0 Р =0 Р ■ =1 Р =0 Р =в Р =7

11.1 22,1 зз,1 1,2,1 г»а,1 к 23,1 <

Р' ¿4) Р' =0 Р ' =0 Р ■ =а Р =1 -3 Р =0

11.2 ' 21,2 за,» 12,2 19.2 ^

р.. ,=0 ,=' р„ =0 р., =1-а Р, *=0 р,« ,=1-7

и,а 22,э- за,а 12,3 . . 1з,а .29,а »

ГР =0 Р =1 Р =0 Р =а Р =0 Р =7

-«,» у »2,1 1 аз,1 и ^12,1^* 1а ,1 и аа,1 '

Р - =0 Р„ =0 Р =1 Р =0 Р =8 Р »1-7

11,2 «,2 эа,2 12,2 ■ . 13,2 " 23,2 ' '

Р =1 Р„ =0р . =0? «1 -а • Р' =1 -в Р =0

и,» 22,9 за,а " 12,а 13,3 г 2а,а "

Р =1р =0 Р =0 Р Р

и,1 ''г*,! ■■'аэ,!. ^12,1^* 13,1

23, г

7 (а,?,7>: г1>г=0 ?м>1=0 Р„>г=1 Р1г>г=0 Р13>2=1-р Р„>2=7 I р.1,з=2

- а -

? =0 ? =0 ? =1 р =3 Р =9 Р

11,1 22,1 33,1 "12,1 13,1 23,1 '

Р11,2=0 Р22,2='' ?3Э>2=0 Р, 3,2=0 Р«,^-? Р ' =1 В =0? =0? =\-а Р =1-вР =0

11,3 22,3 33,3 12 ,3 13 ,3 ■ 23,3

Р =0 Р =1 Р =П V V =г> т>

. --э» »л,» г*.* •

?„ .=1 .=0 Р., =0 Р., =!-а Р,.

12,2 13,2 '

1»,г гг,г зз,

? =0 23,2

I- ?зз.з=1 ?12,з=0 р23,9=1-т

Теорема 1.2.3. Квадратичный оператор, определенней на симплексе З2, сюръективен ■ тогда и '• только тогда, когда он биективен.

Во второй главе исследуются крайние точки множества квадратичных операторов. В §-2.1. дается полное описание всех крайних точек множества квадратичных операторов, определенных на й1.

Рассмотрим квадратичные операторы.

7 :

?12,1=0.

Р ■ = О, Р =0, т 11,2 ' 12,2 ' 22,2

î3«,^0' ч»,,-1'

Р = 1. Р = 1, Р = 0:

И,» ' ÍZ,2 '» 2«,2 *

7 :

= 0. Р в i.V. ? « 1, i,» и* * . »,» "

Р = 1, Р =0,

u:i * . «.i '

Р =0;

гг.г v'

Л*,**1;

V

••Л,.."0' .'. Л,,."*

7:

Л,.--1' . ■Р»,1= ''

Y.Ï

Р = 0. Р =0, Р = о,

р - 1,

г«,«-rv

_____Теорема-2.1.1. Квадратичные операторы, У. , ¡=1,2.... ,5,

образуют совокупность всех крайних точек множества всех квадратичных операторов, определенных на симплексе 5*.

Более того, доказано, что из этих восьми крайних точек четыре крайние точки ,?2,7 ,У4) являются сюргвкшенымк квадратичными операторами, дзе крайние точки (7Я ,У7) является преобразованиями, .переводили"" ^ ^¿ну ■ izz~.zz~.i-..

иииатнмя к являйся двузначными отображениями к две крайние точкиУв является квадратичными операторами, переводящими, весь симплекс в одну из его вершин.

В § 2.2. дается полное описание всех крайних точек множества квадратичных операторов, определенных на симплексе

. Теорема 2.2.1. Совокупность крайних точек множества всех квадратичных операторов, определенных на б2, состоит из ?2Э элементов, причем 48 из них являются объективными.

Не являщиеся сюръективными 681 крайние точки описыввются следующим образом. Выделены 135 крайних точек п доказано, что остальные крайние точки получается из них самосовмвщениеми. Из этих 135 крайних точек одел крайная точка переводит симплекс 3* в одну из его вершен; 38 крайних точек переводят симплекс в одно из его ребер; б крайних точек переводят симплекс в подмножество = и',.1,,2,} е • хх $ «/2; 4 1/2 57

крайних точек переводя? .симплекс й1' в подмножество

>тХ'хя) е Зг: х_ < 1/2 | к остальные 25 крайних

точквк переводят симплекс з криволинейный четырехугольник, три вершины которого совпадают с вершинами симплекса и четвертая вершина является внутренней точкой симплекса-.

В третьей глава определяется класс квадратичных операторов, для которые изучены зргодические свойстве соотввтетвувдкк:' квадратичных мер.

Пусть (Е,т)'произвольное пространство с мерой. Рассмотрим

<ю .

пространство О « .П1Е1где » Е для всех натуральных I. Одной из вашк проблем, как в теории меры, так и в теории вероятностей, является задача построения меры Р на - .О, согласованной с мерой т на Е [**]. В [***] была предлогена конструкция меры ¡Р при помощи квадратичных операторов, .названной квадратичными трат. Эта мера' отлична . от хорошо изученных Сернудлиевских, и • марковских мер. Сложность ' изучения свойств квадратичных мер такого же порядка, каковы сложность и громоздкость рекурренцкй при изучении траекторий.

Квадратичные операторы, для которых правила наследования согласуются с законами . Менделя,, назовем ■ мекделввекиш квадратичными ■операторами.

При п = 2 •' единственный менделевский , оператор. определяется следующим образом:

• . . . • (3) ■

и при П = 3 .

**. 'Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.-1936.1 ***. Сарымсаков' Т.&.,Ганиходжаев Н.Н. - Центральная предельная . теорема для квадратичных цепей.. Уз.М.Ж., 1991.-1.-0.57-64.

Р . =1 ? = 1/4 Р =0 Р------=? =1 /2

11,1___ 22,1.___--- -ЗЭ,1 12,1 11,1

? =0 Р „ = 1/2 Р ? О Р ,=Р„ =1/2

11 у? 22 ,2 Э3,2 13|2 21

Р, =0?

п.» гг.а

1/4 Р

?„ -=0

12,3 21,3

Р =Р =0 Р.. .= ?„_ . = 0

' 13 ,1 31.1

Р =Р =1

1»,2 31 ,2

I Г -У С 11 51 >э

23,1 аг,1

3 , О ■ = 1 •2а,а -32,3 -ул

Меры, построенные ш . менделевским квадратичным операторам, назовем менделевскиш.

Пусть 1<е"=Сг,1-х) начальное распределение на Е={1,2} к (Рх вероятностная мера на О. , соответствующая менделевскрму квадратичному оператору (3) и начальному распределению (1,1-г).

Теорема 3.1.1. Для мендэлзвских мер ЕРя при любом л; е [0.1 ] я любых й и. ! имеет место следущее рзБенстзо.

' (-1 х (1-х)

где !„' е Е.

Теорема 3.1.2. Для уенделёвеких мер ¡Р , построенных п:

квадратичному с-паратору (4), при любом г{0) = (х € ^

и любых & я 1 имеет • место следующее равенство:

.{ 1* " ' ч -Лс г. • ^

+ .1___, 1 „(О) ^П?>,.(а> • I „ГС? ■*13

ээ.з

где п( ,п2,п3 неотрицательные целые .числа, дапцие в суше 4,

т.е. я, + п2 + пд = 4.

Из этих теорем . в качестве следствия имеем.' •

Теорема 3.1.3 Менделэзские меры Р и- Р_ сингулярны

1 а

при хг ? хх *

Теорема 3.1.4. ■ Преобразование сдвига 2 на О является перемещиващим относительно менделевской меры 8>а как. и в случае (3) так и (4)^

Пользуясь случаем, выражай глубокую признательность моему научному руководителю доктору физико - математических наук Насыру Набиевичу Ганюсодхаеву за постановку задач, внимание и ценные советы при проведении, настоящие исследований.

Основные результаты . диссертации опубликованы в следующих, работах: 1 .Ганиходхаев Н.Н^/Мухитдинов Р.Т. Об одном классе мер. соответствующем квадратичным операторам // МН РУз ■ 1995 АЗ с.3-6 ' ¿.Мухитдинов Р.Т.,Мейлиев Х.Ж. Об одном классе мер. соответст-'•'_'. вупцем • квадратичным операторам на Э1. Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Новые теоремы молодых математиков - 94". (Наманган, 1994 г.) С. 52. 3.Мухитдинов Р.Т. Об одном .классе квадратичных операторов.

определенных ■ на двумерном' симплексе. . // Математическое моделирование и вычислительны! эксперимент. Тезисы докладов международно! конференции (28-30 ноября, Ташкект 1994 г.) С.15

Мухитдинов Р.Т.____05 одном классе квадратичных операторов,

определенных на двумерном симплексе к крайних точках множества квадратичных операторов, определенных на одномерном симплексе. "Некоторые - вопросы анализа' и алгебры" (сборник статей молодых автороЕ.), 1995. - С.;во-193. /а**1 5. Мухитдинов Р.Т. Описание класса сгоъекпгосг»

от^желет^х на „¿номерном симплексе. Двп. в ГОНГИ ГКНТ РУз. .И£384-УзЭ5. 10 с.

ешадраткк операторяар туплашнинг чеесеса нукталарй, стршотв квйдрш5к операторлар ва квадратик

огвратор,ш» щцмда. ашдонгак тоаир

Диссоргашида кичик. удчовли сшалвкслзрда анидакггн квадратик ошраторлар т?глаки'ва улар ердамияа гнивдантан улчовлат Ургашитан.

Диссертация учта " бобдан иборзт.

Бирикчи б об да сюръвктив квадратик одаратсрлар синфини токи масадаеи. з^зрадган.

5гда анвдлангзн ' сюрьекткз квадратик ошраторлар т№аю иккита сипфдзн ийорат экаалиги исботлашш ва бу сшфларниш бзйяи бврилда.

З^а атвдакган сюръектив квадратик ошраторлар тУплами ур-ганивдя. удар олтнта сипфларга ажралш кулсатиляи ва бу сипф лзраи анид кУриниши келтиригган.

Иккшчи квадратик'опзратошзр тупламннинг барча чекк нугггзлари урганилгаи.

£1да аницлаягак квадратик опарагорлар тупгамининг.чвкка ну талари 3 тадан ийорат •зкэнлига исйстланди вз уладашг бавли бе -раддк.

Б2 да ааиклангав квадратик одарзторлар тупдамищяг чекка ну талари 729 тадан ийорат зкаилига каЗотлащщ ез ¿У едкгапар ту; тахлил килинда,

/чкачи б'ос/дз квщз'тцп опэрзторларзинг ¿ир синфи ва улзргг мое нелувчи улчовлэрпинг эрпдак хоссалэри ^ргздалди»

16 - I

5XTR3i3 POINTS OP QUADRATIC OPERATORS SET SE3JEC2I7E QUADRATIC OPERATORS Aim IZEASUH2S GENERATED BY IHEH

(5UJ31A3Y)

The thesis consists of 3 chapters.

Ia the first chapter the task is to describe the class of the surjective quadratic operators. It ia proved that the set

"f ""ar^aitl.- OwcXtiOOiti ueiinen OTV M

of two operator classes and the full description of them ia given.

It ia proved that the set of the surjective quadratic ope-ratora defined on S consists of 6 operator classes and their full description ia given as well.

In the second chapter the main task ia to describe the extrese points of the set of the quadratic operators. It is proved that the sun total of the extreme points of the set of the quadratic operators defined on S^ consists of 8 points and their description is given ao well.

It is proved that the eum total of the extreme point of tlss set cf the quadratic operators defined cn S^conaiots of 723 points and the full analysis of these points ia riwn.'

In tv-° third chaptcr tho class of the quadratic operators is defined for which tha ergodic properties of the appopriate quadratic measures are studied. ■