Квантовополевые методы в космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 ВВЕДЕНИЕ.

2 АЛГЕБРА СВЯЗЕЙ ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ВСЕЛЕННОЙ В ДИСКРЕТНОМ БАЗИСЕ.

3 ВЫБОР ВИКОВСКОГО БАЗИСА И АЛГЕБРА СВЯЗЕЙ ДЛЯ КОСМОЛОГИИ БИАНКИ - I.

4 КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИ К АЛГЕБРЕ ВИРАСОРО - ПОДОБНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ

5 БРСТ ОПЕРАТОР И КРИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ТЕОРИИ.

6 УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ КОММУТАТОРОВ В ТЕОРИЯХ С РЕПАРАМЕТРИЗАЦИ0НН0Й ИНВАРИАНТНОСТЬЮ

II ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ВСЕЛЕННОЙ В ОДНОПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

1 НОРМИРУЕМОСТЬ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ВСЕЛЕННОЙ.

2 КРИТЕРИЙ НОРМИРУЕМОСТИ И ОТБОР МОДЕЛЕЙ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МАСШТАБ ИНФЛЯЦИИ В МОДЕЛИ С СИЛЬНОЙ НЕМИНИМАЛЬНОЙ СВЯЗЬЮ.

4 НЕОДНОРОДНЫЕ МОДЫ: ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ БЕЗ ГРАНИЦ И ТУН-НЕЛИРУЮЩАЯ ФУНКЦИЯ.

5 ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ИНФЛЯЦИИ: ДАЛЬНЕЙШИЕ ПОПРАВКИ.

6 ЭФФЕКТИВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ИНФЛЯЦИИ

7 ОДНОПЕТЛЕВЫЕ РАСХОДИМОСТИ В МОДЕЛИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МЕЖДУ СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ И ГРАВИТАЦИЕЙ

8 РЕН0РМАЛИЗАЦИ0ННАЯ ГРУППА ДЛЯ НЕПЕРЕНОРМИРУЕМЫХ ТЕОРИЙ: ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ГРАВИТАЦИЯ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ

IIIОДНОПЕТЛЕВОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ГРАНИЦАМИ

1 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ОБОБЩЕННОЙ ВЕРСИИ С - РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

2 ВКЛАДЫ ГРАВИТАЦИИ И ПОЛЕЙ МАТЕРИИ В ОДНОПЕТЛЕВУЮ ВОЛНОВУЮ ФУНКЦИЮ ВСЕЛЕННОЙ.

3 ПРОБЛЕМА СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ КОВАРИАНТНЫМ И НЕКОВА-РИАНТНЫМ ФОРМАЛИЗМАМИ: ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ.

4 ПРОБЛЕМА СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ КОВАРИАНТНЫМ И НЕКОВА-РИАНТНЫМ ФОРМАЛИЗМАМИ: ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ.

5 ТЕХНИКА С - ФУНКЦИИ: ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

IV КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ

1 КОМПЛЕКСНОЕ ИНФЛАТОННОЕ ПОЛЕ В КВАНТОВОЙ КОСМОЛОГИИ

2 ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

3 ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШЕЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ: ФРАКТАЛЬНОСТЬ МНОЖЕСТВА БЕСКОНЕЧНО ОТСКАКИВАЮЩИХ ТРАЕКТОРИЙ

4 ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ

И КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ.

5 ХАОС И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ В ИЗОТРОПНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ.

V КЛАССИКАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВОЙ ВСЕЛЕННОЙ: ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И ПРОБЛЕМА ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО БАЗИСА

1 ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И МНОГОМИРОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

2 ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ В КВАНТОВОЙ КОСМОЛОГИИ.

3 КОНФОРМНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ Б030ННЫХ ПОЛЕЙ.

4 ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И ФЕРМИОНЫ.

5 ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЙ БАЗИС В МНОГОМИРОВОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ.

6 ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЙ БАЗИС: КЛАССИЧНОСТЬ И СИММЕТРИИ СИСТЕМЫ

Настоящая диссертация содержит результаты исследований автора, целью которых являлось развитие и применение методов квантовой теории поля ко Вселенной как целому. Такой подход традиционно называется квантовой космологией, подразумевая, что Вселенная в его рамках рассматривается как единая квантовая система, подчиняющаяся тем же общим принципам квантовой механики и квантовой теории поля, что и более привычные объекты. Хотя иногда и высказываются сомнения в том, что такое расширение сферы применимости квантовой теории является вполне законным, мы будем принимать его как постулат.

По нашему мнению, квантовая космология занимает уникальное место в современной теоретической физике, что связано с тремя группами причин. Во-первых, построение квантовой космологии тесно связано с попытками создания последовательной теории квантовой гравитации, которая, в свою очередь, необходима для разработки единой теории элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий и требует синтеза двух основных направлений теоретической физики нашего столетия-общей теории относительности [1, 2, 3] и квантовой теории [4, 5, 6].

Во-вторых, квантовая космология тесно связана с так называемой инфляционной космологией [7], которая приобрела в последние годы статус наблюдательной науки, благодаря открытию анизотропии микроволнового фонового космического излучения [8], предсказанной в начале 80-х годов [9].

Наконец, математическая структура теории гравитации в значительной степени аналогична структуре таких бурно развивающихся областей теоретической физики как теории струн и мембран [10, 11, 12], и, поэтому, изучение взаимоотношений между ними представляет значительный интерес.

Прежде чем перейти к перечислению проблем, рассмотренных в данной диссертации, и предварительному изложению результатов, необходимо дать краткое введение в историю современной классической и квантовой космологии.

Эта история началась с работ A.A. Фридмана, который показал, что зависящая от времени метрика, описывающая расширяющуюся или сжимаюшуюся изотропную и однородную Вселенную, удовлетворяет уравнениям Эйнштейна [13, 14]. Эта метрика может быть представлена в виде:

0.1) где t - время в так называемой синхронной системе отсчета, г, # и ф - пространственные координаты, а{1) - космологический радиус, описывающий эволюцию пространственных сечений четырехмерного пространства-времени. Число к может принимать три значения: 1,0, —1, причем значение 1 соответствует закрытой модели, чьими пространственными сечениями являются трехмерные сферы, 0 соответствует плоской модели, (пространственные сечения - трехмерные евклидовы пространства) и —1 описывает открытую модель, чьими пространственными сечениями являются трехмерные гиперболоиды.

Иногда более удобным является использование конформного времени г), задаваемого соотношением

При переходе к конформному времени метрика (0.1) приобретает вид ds2 = a\ri) (V - + r2{d92 + sin2 вйф2)) . (0.3)

Для простейшей модели Вселенной, заполненной пылью, то есть материей с уравнением состояния где р - давление, фридмановский закон эволюции имеет следующий вид: для закрытой Вселенной a(r))dr¡ — dt.

0.2) р = 0

0.4) a(r¡) = а0( 1 - cosí?),

0.5) для плоской Вселенной а{г}) = а0г]2

0.6) или а t) = «oí2'3,

0.7) и для открытой Вселенной а(г]) = а0(созЪ.т] — 1). (0.8) Аналогично, для Вселенной, наполненной излучением с уравнением состояния

0-9) где е - плотность энергии, закон эволюции будет иметь такую форму: для закрытой Вселенной а{г]) = а0 втч], (0.10) для плоской Вселенной а(г}) = а0г/ (0.11) или а(*) = а0г1/2, (0.12) и для открытой Вселенной а(г}) = ао эшЬ г/. (0.13)

В конце 20-х годов Хаббл наблюдал эффект разбегания галактик, после чего представление о расширяющейся по фридмановскому закону Вселенной стало общепринятым. Так была завершена первая, по определению Я.Б.Зельдовича [15], космологическая революция. Тогда же была введена так называемая константа Хаббла, описывающая скорость расширения Вселенной

Н =-. (0.14) а

Определение значения этой величины в настоящее время является одной из важнейших задач наблюдательной астрономии, тогда как величина постоянной Хаббла в начале эволюции Вселенной должна быть определена в результате теоретического анализа квантово-космологических моделей.

Вторая космологическая революция была связана с развитием теории Большого Взрыва или теорией горячей Вселенной, которая была выдвинута в работах Г. Гамова в конце сороковых годов [16]. Открытие реликтового излучения Пензиасом и Вильсоном в середине 60-х годов стало блестящим подтверждением этой теории.

Тем не менее, теория горячей Вселенной обладала рядом недостатков, исправить которые была призвана третья космологическая революция - создание инфляционной космологии, предложенной в работах A.A. Старобинского [17], А.Д. Линде [18], А. Гуса [19] и ряда других авторов. Суть инфляционной космологии заключается в предположении, что в начале космологической эволюции Вселенная расширялась по (квази) -экспоненциальному закону, a(t) ~ exp(Ht), (0.15) где постоянная Хаббла Я связана с эффективной космологической постоянной

3#2 = Ае//. (0.16)

Эта постоянная, в свою очередь, генерируется скалярным полем - инфлатоном ф, имеющим ненулевое классическое среднее значение. В начале космологической эволюции это скалярное поле меняется очень медленно и космологический член определяется потенциалом скалярного поля

Ле// « (0.17) затем скалярное поле начинает осциллировать, значение космологической постоянной уменьшается и происходит "изящный" выход из инфляции, Вселенная начинает эволюционировать по степенному закону.

Разрешая ряд известных проблем стандартной модели горячей Вселенной, инфляционная модель не может предсказать начальных условий инфляции, то есть ответить на вопрос какими были начальное значение космологического радиуса и постоянной Хаббла. Ответ на этот вопрос является одной из основных задач квантовой космологии. Однако, прежде чем мы сформулируем основные задачи и результаты, представленные в настоящей диссертации, имеет смысл ввести основные элементы аппарата квантовой космологии.

Мы будем рассматривать гравитационное действие в N + 1 - мерном пространстве - времени:

S=j^JdN+1xJ^gN+lR, (0.18) где N+1g и n+1R -пространственновременная метрика и скалярная кривизна, а 1Р- план-ковская длина, введенная в (0.18) таким образом, чтобы действие было безразмерным. Затем, переходя к гамильтонову формализму, [20, 21] мы получаем lp~lGih- -^gR + Нх таШг, (0.19)

1р

Hi = -2gijTTjk,k ~{gik,m + gim,k - gkm,i)^mk + Hi matter, (0.20) где gij - метрика на пространственноподобных сечениях пространства- времени, тт^ -импульс, сопряженный метрике и представляющий внешнюю кривизну пространствен-ноподобной гиперповерхности. Суперметрика ДеВитта имеет следующий вид:

GHM = ^ [gik9ji + 9u9jk ~ l9tJ9ki^ , (0.21) тогда как обратная к ней

QiiM = 1 ^jkjl + gilgjk 2 gijgklj (0.22)

Н.l matter и Hi matter - вклады полей материи в супергамильтониан и суперимпульс, соответственно. Супергамильтониан и суперимпульсы представляют собой связи первого рода [22]. Их явный вид зависит от конкретных полей материи и взаимодействий, хотя соотношения инволюции между связями являются универсальными, поскольку имеют чисто геометрическое происхождение [23]. Эти соотношения инволюции имеют следующий вид:

Н±(х), Н±(х')} = д(х)д^(х)Нг(х)—5(х, х')

-д{х')д^{х')Щ{х')^5{х,х'\ ' (0.23)

Щ(х),Нх(х')} = H±(x)~S(x,x')

-Н±(х')-^8(х,хг (0-24)

Щ(х),Н3(х')} = Щ(х)-£-5(х,х')

-Щ{х')-^-5(Х,Х'). (0.25)

Здесь {,} обозначают скобки Пуассона, которые для канонических переменных имеют следующий вид: ' (0.26)

При переходе к квантовой теории поля канонические переменные становятся операторами, скобки Пуассона заменяются на их коммутаторы. Для системы связей первого рода правило квантования, восходящее к Дираку [24] требует уничтожения квантового состояния изучаемой системы операторами связей. В применении к квантовой космологии это дает следующую систему уравнений:

Ях|Ф) = 0, (0.27)

Я,-|Ф) = 0, (0.28) где |Ф) - это волновая функция или квантовое состояние Вселенной. Уравнение (0.27) называется уравнением Уилера - ДеВитта и является основным уравнением квантовой космологии, тогда как уравнения (0.28) отражают инвариантность волновой функции Вселенной по отношению к пространственным диффеоморфизмам.

Исследование уравнения Уилера - ДеВитта, сформулированного в середине 60-х годов получило новый импульс в начале 80-х, когда были предложены два новых рецепта построения волновой функции Вселенной: так называемая волновая функция "без границ" Хартла и Хокинга [25, 26] и туннелирующая волновая функция, предложенная в работах Виленкина [27, 28] и других авторов [29, 30, 31]. В основе обоих рецептов лежит аналогия между туннелированием в нерелятивистской квантовой механике и "рождением Вселенной из ничего". Математическим выражением этой аналогии является использование аналитического продолжения, связывающего пространство-время с естественной лоренцовой сигнатурой с евклидовым многообразием, которое описывает состояние, в некотором смысле предшествующее рождению Вселенной. Построение этого аналитического продолжения, последовательное описание неоднородных степеней свободы, а также выход за рамки древесного приближения теории возмущений являются весьма нетривиальными проблемами квантовой космологии. Эти проблемы тесно связаны с исследованием поведения Вселенной при приближении к космологической сингулярности, которое является традиционной задачей классической космологии.

Однако даже построение волновой функции Вселенной, обладающей требуемыми свойствами, не объясняет тот факт, что мир, рожденный в результате акта квантового туннелирования, обладает сегодня классическими свойствами. Таким образом, проблема классикализации квантовой Вселенной также является важной проблемой квантовой космологии. Основным подходом к решению этой задачи является исследование эффекта декогерентности, который изначально изучался для объяснения феномена редукции волнового пакета в квантовой.механике [32, 33, 34].

Упомянутые выше вопросы обсуждаются уже достаточно долго. Однако есть еще один важный аспект квантовой космологии, который, по нашему мнению, не получил достаточного внимания. Это - вопрос о самосогласованности дираковского квантования систем со связями в применении к космологии. Действительно, обычно, требуют одновременного удовлетворения уравнений (0.27) и (0.28). Такой подход восходит к дира-ковскому квантованию систем со связями [24]. Действительно, на классическом уровне эти связи принадлежат к первому роду и находятся в инволюции относительно скобок Пуассона [22]. Однако, когда мы рассматриваем операторы и их коммутаторы, алгебра может оказаться разомкнутой и дираковское квантование - невозможным. Подобная ситуация хорошо изучена в теории струн [10, 11], где, например в квантовой теории бозонной струны вместо замкнутой алгебры связей первого рода имеется центрально расширенная алгебра Вирасоро. Соответственно, только половина связей уничтожает физические состояния и квантовая теория является самосогласованной только в том случае когда размерность объемлющего пространства равна = 26. (0.29)

Представляется очень важным исследование проблемы самосогласованности квантования системы со связями первого рода в квантовой космологии.

В свете всего выше сказанного становится понятным, почему исследования, представленные в настоящей диссертации сконцентрированны вокруг попыток ответить на следующие вопросы:

1. Как обеспечить самосогласованное квантование алгебры гравитационных связей и к каким последствиям приводит требование такой самосогласованности?

2. Как построить волновую фуункцию Вселенной в однопетлевом приближении с включением неоднородных степеней свободы? Как предсказать начальные условия для инфляционной Вселенной?

3. При каких условиях можно избежать космологической сингулярности?

4. Каким образом квантовое рождение Вселенной приводит к появлению классического мира, который мы наблюдаем в настоящее время?

Диссертация состоит из настоящего Введения, пяти глав и Заключения. В первой главе рассматривается гамильтонова БФВ-БРСТ теория замкнутых космологических моделей [202]. Первый параграф посвящен формулировке задачи. Во втором параграфе выписаны скобки Пуассона для системы гравитационных связей в дискретном базисе. В третьем параграфе выписаны структурные константы алгебры гравитационных связей для обобщенной модели Бианки - I. В четвертом параграфе вычислены вклады гравитонов и полей материи в первую квантовую поправку к коммутаторам между связями. В пятом параграфе построен БРСТ оператор для рассматриваемой космологической модели, проверено условие его нильпотентности и проанализированы полученные критические соотношения, связывающие размерность пространства и спектр набора материальных полей, населяющих это пространство. В шестом параграфе рассмотрена ультрафиолетовая регуляризация основных коммутаторов струнных теорий с точки зрения ее возможного применения к исследованию ультрафиолетовых расходимостей в квантовой гравитации [203].

Вторая глава диссертации посвящена исследованию волновой функции Вселенной в однопетлевом приближении [204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212]. В первом параграфе анализируется проблема нормируемости волновой функции Вселенной в однопетлевом приближении и выведен критерий, определяющий эту нормируемость [204]. Во втором параграфе этот критерий применяется к исследованию различных моделей физики элементарных частиц [205, 206, 211]. В третьем параграфе исследована модель с сильной неминимальной связью и, в рамках этой модели, получен энергетический масштаб инфляции [207, 208]. В четвертом параграфе проанализирована проблема описания неоднородных степеней свободы с помощью волновой функции Вселенной в прескрипции Хартла - Хокинга и туннелирующей волновой функции и показано, что строгий анализ ситуации подтверждает выводы предыдущих работ [209]. В пятом параграфе исследована проблема аналитического продолжения лоренцева многообразия в евклидово в случае когда невозможно избежать комплексификации полевых переменных [208, 210].

В шестом параграфе выписаны эффективные уравнения движения для инфлатонного скалярного поля в однопетлевом приближении. Последние два параграфа второй главы посвящены применению реномгрупповых методов к исследованию структуры эффективного лагранжиана скалярного поля, взаимодействующего с гравитацией [213, 214]. В седьмом параграфе получено выражение для однопетлевых расходимостей в теории с произвольным взаимодействием между скалярным полем и гравитацией, а в восьмом параграфе выписаны и проанализированы соответствующие уравнения ренормализаци-онной группы.

В третьей главе представлена техника однопетлевых вычислений в квантовой теории поля на многообразиях с границами, основанная на модифицированной версии ( - регуляризации и продемонстрированы ее приложения к квантовокосмологическим задачам [215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233]. Первый параграф третьей главы посвящен формулировке нашей версии С - регуляризации и выводу формул для однопетлевого эффективного действия в случае, когда явный вид спектра соответствующего оператора неизвестен [215, 216, 217]. Во втором параграфе вычислен гравитонный вклад в волновую функцию Вселенной на части де-ситтерового евклидова многообразия с границей [215] и значения аномального скей-линга для различных полей на этом многообразии [216, 217, 218]. В третьем параграфе мы исследуем проблему соответствия между ковариантным и нековариантным формализмами при вычислениях на многообразиях с границами для электромагнитного поля [219, 220, 221, 222, 226]. В четвертом параграфе та же проблема исследуется на примере гравитационного поля [223, 224, 225]. В пятом параграфе рассмотрены различные типы граничных условий и различные применения разработанной техники [227, 228, 229, 230, 231, 232, 233].

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию классической и квантовой динамики космологических моделей со скалярным полем. [234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242]. Первый параграф четвертой главы посвящен исследованию космологической модели с комплексным неминимально связанным скалярным полем [234, 235, 236, 237, 239, 241]. Показано, что в рамках этой модели существует возможность предсказания начальных условий инфляции уже в древесном приближении для обеих прескрипций для волновой функции Вселенной. Во втором параграфе выписаны уравнения движения для обобщенной космологической модели со скалярным полем. В третьем параграфе исследована классическая динамика космологической модели с действительным скалярным полем и дана классификация множества траекторий, избегающих сингулярности [237, 238, 239, 241]. В четвертом параграфе исследовано влияние космологической постоянной на структуру множества траекторий, рассмотренных в предыдущем параграфе. В пятом параграфе исследован вопрос о хаосе в изотропных космологических моделях и разработан метод вычисления топологической энтропии для широкого класса таких моделей [242].

В пятой главе рассмотрена проблема классикализации квантовой Вселенной [243, 244, 245, 246, 247, 248]. В первом параграфе дано краткое объяснение того, что такое квантовая декогерентность и что собой представляет многомировая интерпретация квантовой механики. Во втором параграфе пронализирована проблема ультрафиолетовых расходи-мостей при вычисления фактора декогерентности в квантовой космологии и показано, что наивное применение размерной регуляризации не позволяет построить непротиворечивую редуцированную матрицу плотности [243]. В третьем параграфе показано, что можно получить непротиворечивый вклад бозонных полей в редуцированную матрицу плотности в квантовой космологии, используя конформную репараметризацию этих полей. В четвертом параграфе показано, что методы, использованные при исследовании бозонных вкладов в редуцированную матрицу плотности, неприменимы при вычислении фермионных вкладов, и, что можно получить матрицу плотности, обладающую разумными свойствами, осуществляя нелокальное боголюбовское преобразование [244]. В пятом параграфе предложено обобщение базиса Шредингера- Цея в многомировой интерпретации квантовой механики [246, 247], а в шестом параграфе этот базис используется для анализа ряда квантовомеханических моделей [247, 248].

В Заключении сформулированы основные результата диссертации.

I ГАМИЛЬТОНОВА БФВ - БРСТ ТЕОРИЯ ЗАМКНУТЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

1 ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время мы наблюдаем бурное развитие в квантовой гравитации и теории струн, которые имеют много общего [10, 11, 12]. С точки зрения теории систем со связями [22] эти теории обладают определенным сходством, проистекающим из репа-раметризационной инвариантности, которая является калибровочной симметрией для обеих. Однако, обычно эти теории рассматриваются весьма различным образом с точки зрения пертурбативных разложений. Различные модели теории струн рассматриваются сегодня как разложения относительно различных предельных значений константы связи некоторой неизвестной фундаментальной суперструнной теории ("М - теория") [35]. С другой стороны, для гравитации общепризнанным кандидатом на роль фундаментальной теории является эйнштейновское действие, или, возможно, некоторое его обобщение, но ее пертурбативная трактовка является многолетней нерешенной проблемой общей теории относительности.

Главным содержанием работы [202], представленной в этой главе, является попытка гамильтонова БФВ - БРСТ квантования замкнутых космологических моделей посредством использования сходства между калибровочными теориями струн и гравитации.

Обычно, имеются существенные отличия в подходах к квантованию струн и гравитации. Квантуя струны, работают с дискретным набором мод, описывающим струнные возбуждения и дискретным набором связей, образующих алгебру Вирасоро. При этом квантовые коммутаторы связей приобретают центральное расширение и квантовая самосогласованность теории .может быть обеспечена лишь для критических значений размерности и интерсепта. Одним из наиболее эффективных методов наблюдения этого явления являетя БФВ - БРСТ квантование систем со связями [36, 37, 38, 39, 40]. В рамках этого метода можно показать как условие нильпотетности для оператора БРСТ определяет значения критических параметров для струн [41, 42] и мембран [43].

Каноническое квантование гравитации и космологии обычно связано с использованием непрерывного базиса динамических переменных и связей, который может удовлетворительно описывать локальную динамику, но не является глобально хорошо определенным на компактных пространтсвенно- подобных сечениях пространства-времени. Между тем, рассмотрение космологических возмущений на языке глобально определенных гармоник использовалось при исследовании различных проблем в классической [44, 45] и квантовой [46] космологии. Однако, глобально определенный дискретный базис связей для квантовой космологии замкнутых вселенных ранее не рассматривался. Между тем, последовательное квантование требует глобального определения как динамических мод так и связей, поскольку это необходимо для согласованного выбора упорядочения для мод и для связей. Например, в случае виковского упорядочения мод бозонных струн, квантовые поправки для коммутаторов связей приводят к центральному расширению представления алгебры Вирасоро в фоковском пространстве. Затем, алгебра квантовых связей может быть сделана самосогласованной при условии, что выбран подходящий базис связей {ЬиЬ вместо традиционных для космологов генераторов хода и сдвига Ях, Яц и, более того, лишь часть генераторов должна уничтожать физические состояния). В то же время, прямолинейное следование дираковской схеме с Ях и Яц, действующими на физическом подпространстве степеней свободы приводит к противоречию.

В статье [202], была предложена новая схема канонического квантования замкнутых космологических моделей. Отличительными чертами этой схемы являются разложение как динамических переменных так и связей по гармоникам, которые являются собственными функциями оператора Лапласа для максимально симметричного пространства данной топологии; выделение подалгебры диффеоморфизмов, сохраняющих объем, из общего набора гравитационных связей, в то время как оставшиеся связи образуют Вирасоро-подобные генераторы; квантование этой системы со связями производится на языке БФВ - БРСТ формализма; исследуя условие квантовой нильпотентности для оператора БРСТ, мы применяем некоторое пертурбативное разложение связей и структурных функций по малому параметру ¡р/У1^, где V - пространственный объем Вселенной, N - размерность пространства. Мы применяем эту схему к стационарной обобщенной модели Бианки - I под которой мы подразумеваем космологическую модель, чьи пространственные сечения имеют топологию N - мерного тора. Мы считаем фоновую метрику этого тора плоской и независимой от времени. Специфика топологии определяется формой структурных функций, которые могут быть выражены через коэффициенты Клебша-Гордана соответствующего представления группы симметрии. В случае модели Бианки - I, эти коэффициенты очень просты ввиду того что группой симметрии является группа 11(1)м. Хотя мы и выбрали эту модель для упрощения вычислений, она представляет и определенный физический интерес [47, 48, 49]. С другой стороны, N - мерный тор позволяет использовать прямую аналогию с замкнутой бозонной струнной сигма - моделью при проверке нильпотентности БРСТ заряда. Интересно то, что процедура БРСТ - квантования, будучи примененной к эйнштейновской гравитации, связанной с полями материи приводит к появлению связи между числом материальных степеней свободы и размерностью пространства N. Например, когда имеется лишь <1 безмассовых скалярных полей, уже первая квантовая поправка приводит к следующему соотношению между ¿к Ы\

4 = 30 + + 1)(ЛГ - 2), (1.1) которое является условием нильпотентности квантового БРСТ заряда. Интересно, что при N = 1 (когда тор сводится к окружности и связи образуют алгебру Вирасоро) соотношение 1.1 дает (I = 25. Этот результат легко объясняется с точки зрения струнной сигма-модели, не обладающей вейлевской инвариантностью [50]. Действительно, тею-рия бозонной струны не может рассматриваться в качестве одномерного предела эйнштейновской гравитации, связанной с набором из <1 скалярных полей, посколько струна обладает дополнительной калибровочной симметрией, а именно - вейлевской инвариантностью, тогда как вышеупомянутая сигма-модель не обладает вейлевской инвариантностью. Как известно [50], критическая размерность сигма-модели равна 25, в отличие от 26 для струн. Это легко понять, вспомнив что вейлевская инвариантность откали-бровывает конформную моду 1+1 метрики, тогда как в неконформной а - модели эта мода дает вклад в генераторы Вирасоро на тех же основаниях, что и струнные моды. Таким образом, в обоих случаях критическая размерность равна 26, но для а - модели это число состоит из 25 струнных координат и одной гравитационной конформной моды.

VI ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод квантования замкнутых космологических моделей, в основе которого лежит гамильтоново БФВ-БРСТ квантование систем со связями. Предложенная версия квантования включает использование гармонического разложения не только гравитационного и материальных полей, но и связей, выделение из полного набора связей подалгебры диффеоморфизмов, сохраняющих объем, построения генераторов типа Ви-расоро и использование для вычисления квантовых поправок к скобкам Пуассона между связями теории возмущений по малому безразмерному параметру, представляющему собой отношение планковской длины к размеру Вселенной.

2. Метод БФВ квантования замкнутых космологических моделей применен к исследованию стационарной космологической модели с тороидальной топологией. Получены критические соотношения между числом материальных полей, населяющих Вселенную и ее пространственно-временной размерностью.

3. Волновая функция Вселенной без границ и туннелирующая волновая функция построены в однопетлевом приближении. Показано, что учет однопетлевых поправок может сделать эти волновые функции нормированными. Получен критерий нормируемости волновой функции Вселенной. Этот критерий представляет собой неравенство, наклы-дываемое на величину аномального скейлинга теории, который, в свою очередь, зависит как от набора элементарных частиц, населяющих Вселенную так и от констант взаимодействия между ними. С точки зрения нормируемости волновой функции проделано сравнение различных моделей физики элементарных частиц. Показано, что лучшими свойствами обладают супесимметричные модели или достаточно сложные модели Великого Объединения.

4. Для модели с сильной отрицательной неминимальной связью между инфлатонным скалярным полем и гравитацией построено вероятностное распределение для начальных параметров инфляции. Показано, что для туннелирующей волновой функции Вселенной в этом распределении есть явно выраженный пик на масштабе Великого Объединения. Для этой же модели построены эффективные уравнения движения для инфлатонного поля в однопетлевом приближении. Анализ этих уравнений, а также детальный анализ процесса перехода от евклидовой Вселенной к лоренцевой подтверждают заключение о предпочтительности туннелирующей волновой функции Вселенной.

5. Вычислены однопетлевые расходимости для взаимодействующих скалярного поля и гравитации для произвольных потенциалов взаимодействия. Аппарат ренормгруп-пы использован для получения уравнений ренормгруппы для обобщенных потенциалов. Полученные функциональные уравнения ренормгруппы проанализированы в пределе больших значений скалярного поля. Показано, что с точки зрения самосогласованности ренормгрупповых уравнений естественным является возникновение неминимальной связи между скалярным полем и гравитацией.

6. Разработана новая версия вычисления однопетлевых функциональных детерминантов посредством техники £ - функции. Эта техника позволяет вычислять значения £

- функции и ее производной в нуле в тех случаях, когда спектр исследуемого оператора неизвестен, но известны его базисные функции. С помощью предложенного метода вычислены значения аномального скейлинга и производной ( - функции на части четырехмерной сферы, имеющей в качестве границы трехмерную сферу, для различных полей.

7. Исследован вопрос о соответствии результатов вычислений аномального скейлинга посредством техники ( - функции и результатов ковариантных вычислений посредством обобщенной техники Швингера-ДеВитта. Показано, что известные в литературе противоречия между результатами таких вычислений могут быть устранены посредством учета вклада полей-духов и так называемых калибровочных степеней свободы.

8. Исследована космологическая модель с неминимально связанным комплексным скалярным полем. Показано, что меняя параметры этой модели, можно получать весьма разнообразные геометрические конфигурации евклидовой области на минисуперпро-странственной координатной плоскости двух переменных - космологического радиуса и модуля величины скалярного поля. Наличие компактных евклидовых областей приводит к существованию инстантонных решений, обеспечивающих существование пиков вероятности для начальных данных инфляционной стадии для обеих волновой функций

- без границ и туннелирующей.

9. Построена классификация для траекторий, избегающих сингулярности, в простейшей замкнутой космологической модели с массивным скалярным полем. Полученные результаты подтверждают гипотезу о фрактальности множества траекторий, избегающих сингулярности. Рассмотрена также космологическая модель со скалярным полем и космологической постоянной. Показано, что для небольших по сравнению с массой скалярного поля значений космологический постоянной, фрактальность множества несингулярных траекторий сохраняется.

10. Для широкого класса изотропных космологических моделей со скалярным полем и гидродинамической материей разработан метод вычисления топологической энтропии, позволяющий количественно оценить меру хаотичности системы. Для некоторых конкретных моделей выписаны алгебраические уравнения, численное решение которых, позволяет вычислить топологическую энтропию.

11. Исследована проблема ультрафиолетовых расходимостей, возникающих при вычислении фактора декогерентности в космологической модели, где роль окружающей среды играют неоднородные моды бозонных полей. Показано, что применение размерной регуляризации к вычислению ультрафиолетово-конечной части фактора декогерентности, приводит к противоречивым результатам, поскольку редуцированная матрица плотности теряет положительную определенность и ограниченность. Показано также, что конформная репараметризация полей приводит к подавлению ультрафиолетовых расходимостей и построению редуцированной матрицы плотности, обладающей желаемыми свойствами.

12. Исследована проблема ультрафиолетовых расходимостей фактора декогерентности в космологической модели с фермионами. Показано, что ни размерная регуляризация, ни конформная параметризация не могут разрешить эту проблему. Построение непротиворечивой редуцированной матрицы плотности достигается посредством применения нелокального боголюбовского преобразования фермионных степеней свободы.

13. Проблема классикализации квантовой Вселенной рассмотрена с точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики. Проделано обобщение процедуры построения биортогонального предпочтительного базиса Цея на случай матриц плотности с вырожденным спектром. Полученный алгоритм построения предпочтительного базиса применен к исследованию квантовой динамики некоторых простых квантовомехани-ческих систем, а также систем, обладающих неабелевой симметрией.

В заключение я хотел бы выразить признательность И.М. Халатникову, совместная работа с которым чрезвычайно обогатило не только мое понимание космологии, но и физики в целом. Я благодарен A.A. Старобинскому за постоянную поддержку моей работы. Я благодарен А.О. Барвинскому, совместно с которым мы работаем в течение многих лет и в соавторстве с которым была получена немалая часть представленных здесь результатов. Я благодарен C.JI. Ляховичу, И.В. Мишакову, A.B. Топоренскому, Дж. Эспозито и другим моим соавторам. Я хотел бы также выразить мою благодарность коллективу Институту теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, где была выполнена эта диссертационная работа.

1. J1.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Теория поля, Москва, "Наука", 1973.

2. С. Вейнберг, Гравитация и космология, Москва, "Мир", 1975.

3. Ч. Мизнер, К. Торн и Дж. Уилер, Гравитация, тт.1-3, Москва, "Мир", 1977.

4. H.H. Боголюбов и Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Москва, "Наука", 1976.

5. К. Ициксон и Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля, тт.1-2, Москва, "Мир", 1984.

6. П. Рамон, Теория поля. Современный вводный курс, Москва, "Мир", 1984.

7. А.Д. Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология, Москва, "Наука", 1990.

8. J. Smoot et al., Structure in the СОВЕ DMR first-year maps, Astrophys. J. Lett. 396 (1992) L1-L5.

9. A.A. Starobinsky, Dynamics of phase transition in the new inflationary Universe, scenario and generation of perturbations, Phys. Lett. В 117 (1982) 175.

10. M. Грин, Дж. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн, тт.1-2, Москва, "Мир", 1990.

11. Л. Бринк и М. Энно, Принципы теории струн, Москва, "Мир", 1991.

12. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Москва, ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1995.

13. A.A. Friedmann, Über die Krümung des Raumes, Zs. Phys. 10 (1922) 377-387.

14. A.A. Friedmann, Uber die Möglichkeit einer Welt mit konstanter Krümung des Raumes, Zs. Phys. 21 (1924) 326-333.

15. Доклад на VI Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации", Москва, 3 июня 1984 г.

16. G. Gamow, Phys. Rev. 70 (1946) 572.

17. A.A. Starobinsky, A new type of isotropic cosmological models without singularity, Phys. Lett. В 91 (1980) 99-102.

18. A.D. Linde, A new inflationary Universe scenario: a possible solution of the horizon, flatness, homogeneity, isotropy and primordial monopole problem, Phys. Lett. В 108 (1982) 389-393.

19. A.H. Guth, The inflationary universe: a possible solution to the horizon and flatness problems, Phys. Rev. D 23 (1981) 347-356.

20. P. A.M. Dirac, The theory of gravitation in Hamiltonian form, Proc. Roy. Soc. London A 246 (1958) 333-343.

21. B.S. DeWitt, Quantum theory of Gravity. I. The canonical theory, Phys. Rev. 160 (1967) 1113-1148.

22. K. Sundermeyer, Constrained Dynamics, Berlin, Springer Verlag, 1982.

23. S.A. Hojman, K. Kuchar and C. Teitelboim, Geometrodynamics regained, Ann. Phys. 96 (1976) 88-135.

24. P. A.M. Dirac, Lectures on quantum mechanics, Belfer graduate school of science (New York: Yeshiva University, 1964).

25. J.B. Hartle and S.W. Hawking, Wave function of the Universe, Phys. Rev. D 28 (1983) 2960-2975.

26. S.W. Hawking, The quantum state of the Universe, Nucl Phys. В 239 (1984) 257-276.

27. A. Vilenkin, Creation of the universes from nothing, Phys. Lett. 117 В (1982) 25-28.

28. A. Vilenkin, Quantum creation of universes, Phys. Rev. D 30 (1984) 509-511.

29. Я.В. Зельдович и A.A. Старобинский, Вселенная с нетривиальной топологией и возможность ее квантового рождения, Письма в АЖ 10 (1984) 323-325.

30. V.A. Rubakov, Quantum mechanics in the tunnelling universe, Phys. Lett. 148 В (1984) 280-286.

31. A.D. Linde, Quantum creation of the inflationary Universe, Nuovo Cim. Lett. 39 (1984) 401-405.

32. H.D. Zeh, On the interpretation of measurement in quantum theory, Found. Phys. 1 (1970) 69-76.

33. W. Zurek, The pointer-basis of the quantum apparatus: into what mixture does the wave-packet collapse?, Phys. Rev. D 24 (1981) 1516-1525.

34. W. Zurek, Environment induced superselection rules, Phys. Rev. D 26 (1982) 18621880.

35. J. Polchinsky, String theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

36. E.S. Fradkin and G.A. Vilkovisky, Quantization of Relativistic systems with constraints, Phys. Lett. 55 B (1975) 224-226.

37. I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Relativistic S-Matrix of Dynamical systems with boson and fermion constraints, Phys. Lett. 69 B (1977) 309-312.

38. I.A. Batalin and E.S. Fradkin, Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints, Phys. Lett. B 128 (1983) 303-308.

39. I.A. Batalin and E.S. Fradkin, Operator quantization and abelization of dynamical systems subject to first class constraints, Riv. Nuovo Cim. 9 (1986) No 10, 1-48.

40. I.A. Batalin and E.S. Fradkin, Operatorial quantization of dynamical systems subject to constraints. A further study of the construction, Ann. Inst. Henri Poincare 49 (1988) 145-214.

41. S. Hwang, Covariant quantization of the string in dimensions D < 26 using a BRS formulation, Phys. Rev. D 28 (1983) 2614.

42. N. Ohta, Covariant quantization of superstrings based on BRS invariance, Phys. Rev. D 33 (1986) 1681.

43. U. Marquard, M. Scholl, Lorentz algebra and critical dimension for the bosonic membranes, Phys. Lett. B 227 (1989) 227.

44. Е.М. Лифшиц, О гравитационной устойчивости расширяющегося мира, ЖЭТФ 16 (1946) 587-602.

45. Е.М. Lifshitz and I.M. Khalatnikov, Investigations in relativistic cosmology, Adv. Phys. 12 (1963) 185-249.

46. J.J. Halliwell and S.W. Hawking, The origin of the structure in the Universe, Phys.

47. Rev. D 31 (1985) 1777-1791.

48. M. Lachiese-Rey and J.-P. Luminet, Cosmic topology, Phys. Rep. 254 (1995) 135-214.

49. A.A. Starobinsky, New restrictions on spatial topology of the Universe, Письма в ЖЭТФ 57 (1993) 606-609.

50. И.Ю. Соколов, Топологическая нетривиальность Вселенной и анизотропия реликтового излучения, Письма в ЖЭТФ 57 (1993) 601-605.

51. I.L. Buchbinder, E.S. Fradkin, S.L. Lyakhovich and V.D. Pershin, Generalized canonical quantization of bosonic strings in background fields, Int. J. Mod. Phys. A 6 (1991) 1211-1231.

52. V. Arnold, Ann. Inst. Fourier XVI (1966) 319.

53. T.A. Arakelian and G.K. Savvidy, Cocycles of area preserving diffeomorphisms and anomalies in theory of relativistic surfaces, Phys. Lett. В 214 (1988) 350-356.

54. I. Bars, C.N. Pope and E. Sezgin, Central extensions of area preserving membrane algebras, Phys. Lett. В 210 (1988) 85-91.

55. T.A. Arakelian and G.K. Savvidy, Geometry of a group of area preserving diffeomorphisms, Phys. Lett. В 223 (1989) 41-46.

56. В. de Wit, U. Marquard and H. Nicolai, Area preserving diffeomorphisms and supermembrane Lorentz invariance, Commun. Math. Phys. 128 (1990) 39-62.

57. Дж. Эллиот и П. Добер, Симметрия в физике, тт.1-2, Москва, "Мир", 1983.

58. F. Figuerido and Е. Ramos, Fock space representations of the algebra of diffeomorphisms of the N torus, Int. J. Mod. Phys. A 6 (1991) 771-806.

59. P. Goddard and D. Olive, Kac-Moody and Virasoro algebras in relation to quantum physics, Int. J. Mod. Phys. A 1 91986) 303-414.

60. E.S. Fradkin and M.A. Vasiliev, Hamiltonian formalism, quantization and S matrix for supergravity, Phys. Lett. 72 B (1977) 70-74.

61. S. Hwang, R. Marnellius and P. Saltsidis, A general BRST approach to string theories with zeta regularization, hep-th/9804003.

62. S.W. Hawking, Zeta-function regularization of path integrals in curved space-time, Commun. Math. Phys. 55 (1977) 133-148.

63. J.S. Dowker and R. Critchley, Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space, Phys. Rev. D 13 (1976) 3224-3232.

64. B.S. DeWitt, Quantum field theory in curved space-time, Phys. Rep. 19 (1975) 295357.

65. T. Vachaspati and A. Vilenkin, On the uniqueness of the tunneling wave function of the Universe, Phys. Rev. D 37 (1988) 898.

66. A. Vilenkin, The wave function discord, Phys. Rev. D 58 (1998) 067301.

67. S.W. Hawking abd D.N. Page, Operator ordering and the flatness of the Universe, Nucl. Phys. B 264 (1986) 185-196.

68. A. Vilenkin, Quantum cosmology and the initial state of the Universe, Phys. Rev. D 37 (1988) 888-897.

69. R. Laflamme, The Euclidean vacuum, justification from quantum cosmology, Phys. Lett. B 198 (1987) 156-160.

70. R. Arnowitt, S. Deser and C.W. Misner, The dynamics of general relativity, in Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L.Witten, New York, Wiley, 1962, 227-265.

71. A.O. Barvinsky, Unitarity approach to quantum cosmology, Phys. Rep. 230 (1993) 237-367.

72. B.C. ДеВитт, Динамическая теория групп и полей, Москва, "Наука", 1987.

73. А.О. Barvinsky and G.A. Vilkovisky, The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity, Phys. Rep. 119 (1985) 1-74.

74. S.M. Christensen and M.J. Duff, Quantizing gravity with a cosmological constant, Nucl. Phys. В 170 (1980) 480-506.

75. В. Allen, Phase transitions in DeSitter space, Nucl. Phys. В 226 (1983) 228-252.

76. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, One-loop effective potential in gauged 0(4) supergravity and the problem of the A term , Nucl. Phys. В 234 (1984) 472-508.

77. W. Rarita and J. Schwinger, On a theory of particles with half-integral spin, Phys. Rev. 60 (1941) 61.

78. H. Georgi and S.L. Glashow, Unity of all the elementary particle forces, Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 438-441.

79. P. Fayet, Spersymmetry and weak, electromagnetic and strong interactions, Phys. Lett. В 64 (1976) 159.

80. R. Jeannerot, A supersymmetric S'O(IO) model with inflation and cosmic strings, Phys. Rev. D 53 (1996) 5426-5436.

81. J.L. Hewett, T.G. Rizzo, Low-energy phenomenology of superstring inspired e(q) models, Phys. Rep. 183 (1989) 193.

82. B.L. Spokoiny, Inflation and generation of perturbations in broken-symmetric theory of gravity, Phys. Lett. В 147 (1984) 39-43.

83. R. Fakir and W.G. Unruh, Improvement on cosmological chaotic inflation through nonminimal coupling, Phys. Rev. D 41 (1990) 1783-1791.

84. D.S. Salopek, J.R. Bond and J.M. Bardeen, Designing density spectra fluctuations, Phys. Rev. D 40 (1989) 1753-1788.

85. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Квантовая механика, Москва, "Наука", 1974.

86. J.J. Halliwell and j.B. Hartle, Integration contours for the no boundary wave function of the Universe, Phys. Rev. D 41 (1990) 1815-1834.

87. A.O.Barvinsky, Reduction methods for functional determinants in quantum gravity and cosmology, Phys. Rev. D 50 (1994) 5115-5124.

88. B. Allen, Vacuum states in DeSitter space, Phys. Rev. D 32 (1985) 3136.

89. G. t'Hooft and M. Veltman, One-loop divergences in the theory of gravitation, Ann.Inst. Henri Poincare XX (1974) 69-94.

90. B.C. ДеВитт, Динамическая теория групп и полей, Москва, "Наука", 1987.

91. G. 't Hooft and М. Veltman, Regularization and renormalization of gauge fields, Nucl Phys. В 44 (1972) 189-213.

92. G. 't Hooft and M. Veltman, Combinatorics of gauge fields, Nucl. Phys. В 50 (1972) 318-353.

93. С. Вейнберг, Ультрафиолетовые расходимости в квантовых теориях гравитации, в книге "Общая теория относительности", Москва, "Мир", 1983, 407-455.

94. А.А. Владимиров и Д.В. Ширков, Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики, УФН 129 (1979) 407.

95. Д.И. Блохинцев, А.В. Ефремов и Д.В. Ширков, Ренормализационная группа в не-ренормируемой теории поля, Изв. ВУЗов, Физ. 1974, No 12, 23-29.

96. Д.И. Казаков, Об одном обобщении уравнений ренормгруппы для квантово-полевых теорий произвольного вида, ТМФ 75 (1988) 157-160.

97. G. 't Hooft, Dimensional regularization and the renormalization group, Nucl. Phys. В 61 (1973) 453-468.

98. G. 't Hooft, An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional regularization procedure, Nucl. Phys. В 62 (1973) 444-460.

99. Дж. Коллинз, Перенормировка, Москва, "Мир", 1988.

100. И.Ф. Гинзбург и Д.В. Ширков, Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики рассеяния, ЖЭТФ 49 (1965) 335-344.

101. S. Coleman and Е. Weinberg, Radiation corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking, Phys. Rev. D 7 (1993) 1888-1910.

102. K. Schleich, Semiclassical wave function of the Universe at small three geometries, Phys. Rev. D 32 (1985) 1889-1898.

103. J. Louko, Quantum cosmology with electromagnetism, Phys. Rev. D 38 (1988) 478-484.

104. J. Louko, Semiclassical path measure and factor ordering in quantum cosmology, Ann. Phys. 181 (1988) 318-373.

105. P.D. D'Eath and G. Esposito, Local boundary conditions for the Dirac operator and one-loop quantum cosmology, Phys. Rev. D 43 (1991) 3234-3248.

106. P.D. D'Eath and G. Esposito, Spectral boundary conditions in one-loop quantum cosmology, Phys. Rev. D 44 (1991) 1713-1721.

107. I.G. Moss and S. Poletti, Boundary conditions for quantum cosmology, Nucl. Phys. В 341 (1990) 155-161.

108. S. Poletti, Does the boundary contribution to the one-loop ¡3 function vanish for gauged supergravity?, Phys. Lett. В 249 (1990) 249-254.

109. К. Stewartson and R.T. Wachter, On hearing the shape of the drum: further results, Proc. Camb. Phil. Soc. 69 (1971) 353-363.

110. B.A. Фок, Собственное время в классической и квантовой механике, Известия Академии Наук СССР, Физ. 4-5 (1937) 551-568.

111. J. Schwinger, On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev. 82 (1951) 664-679.

112. B.S. DeWitt, Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory, Phys. Rev. 162 (1967) 1195-1239.

113. T.P. Branson and P.B. Gilkey, The asymptotics of the Laplacian on the manifold with boundary, Commun. Part. Diff. Eq. 15 (1990) 245-272.

114. D.V. Vassilevich, Vector fields on a disk with mixed boundary conditions, J. Math. Phys. 36 (1995) 3174-3182.

115. F.W.J. Olver, Intoduction to asymptotics and special functions, Academic Press, New York London, 1974.

116. P.B. Gilkey, Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem, Boca-Raton: Chemical Rubber Company, 1995.

117. R.S. Thorne, The asymptotic expansion of Legendre functions of large degree and order, Phil. Trans. Roy. Soc. London 249 (1957) 597-620.

118. A. Erdelyi, Asymptotic expansions, Dover, New York, 1956.

119. G. Kennedy, Boundary terms in the Schwinger-DeWitt expansion: flat-space results, J. Phus. A 11 (1978) L173-L178.

120. P. A. Griffin and D.A. Kosower, Curved space-time one-loop gravity in a physical gauge, Phys. Lett. B 233 (1989) 295-300.

121. D.V. Vassilevich, On the Hamiltonian QED in curved space-time, Nuovo Cim. A 104 (1991) 743-754.

122. QED on a curved background and on manifolds with boundary: unitarity versus covariance, Phys. Rev. D 52 (1995) 999-1010.

123. I.G. Moss and S. Poletti, Conformal anomalies on Einstein spaces with boundary, Phys. Lett. B 333 (1994) 326-330.

124. J. Maldacena, The Large N limit of superconformal field theory and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231.

125. L. Susskind, The world as a hologram, J. Math. Phys. 36 (1995) 6377-6396.

126. G 'tHooft, Dimensional reduction in quantum gravity, gr-qc/9310026.

127. S. Carlip, Entropy from conformal field theory at Killing horizons, Class. Quantum Grav. 16 (1999) 3327-3348.

128. U.H. Gerlach and U.K. Sengupta, Homogeneous collapsing star: tensor and vector harmonics for matter and field assymmetries, Phys. Rev. D 18 (1978) 1773-1784.

129. H.G. Luckock, Mixed boundary conditions in quantum field theory, J. Math. Phys. 32 (1991) 1755-1766.

130. A.O. Barvinsky, The wave function and the effective action in quantum cosmology: covariant loop expansion, Phys. Lett. В 195 (1987) 344-348.

131. M. Bordag, B. Geyer, K. Kirsten and E. Elizalde, Zeta-function determinant of the Laplace operator on the D-dimensional ball, Commun. Math. Phys. 179 (1996) 215-234.

132. H.B.G. Casimir, On the attraction between two perfectly conducting plates, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetenschap. В (1948) 793-795.

133. M.J. Sparnay, Measurement of attractive forces between flat plates, Physica 24 (1958) 751-764.

134. E.M. Лифшиц, Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами, ЖЭТФ 29 (1955) 94-110.

135. Т.Н. Boyer, Quantum electromagnetic zero-point energy of a conducting spherical shell and the Casimir model for a charged particle, Phys. Rev. 174 (1968) 1764-1776.

136. C. Peterson, Т.Н. Hansson and K. Johnson, Loop diagrams in boxes, Phys. Rev. D 26 (1982) 415.

137. I.M. Khalatnikov and A. Mezhlumian, The classical and quantum cosmology with a complex scalar field, Phys. Lett. A 169 (1992) 308-312.

138. I.M. Khalatnikov and P. Schiller, From instanton to inflationary Universe, Phys. Lett. В 302 (1993) 176-182.

139. L. Amendola, I.M. Khalatnikov, M. Litterio and F. Occhionero, Quantum cosmology with a complex field, Phys. Rev. D 49 (1994) 1881-1885.

140. G.V. Lavrelashvili, V.A. Rubakov, M.S. Serebryakov and P.G. Tinyakov, Negative Euclidean action: instantons and pair creation in strong background fields, Nucl. Phys. В 329 (1990) 98-116.

141. V.A. Rubakov and P.G. Tinyakov, Creation of universes in superspace and the problem of a negative cosmological constant, Nucl. Phys. В 342 (1990) 430-448.

142. D.N. Page, A fractal set of infinitely bouncing universes ?, Class. Quantum Grav. 1 (1984) 417-428.

143. B.A. Белинский, JI.П. Грищук, Я.Б. Зельдович и И.М. Халатников, Инфляционные стадии в космологических моделях со скалярным полем, ЖЭТФ 89 (1985) 346-360.

144. R. Bousso and S.W. Hawking, The probability for primordial black holes, Phys. Rev. D 52 (1995) 5659-5664.

145. L. Parker and S.A. Fulling, Quantized matter fields and the avoidance of singularities in general relativity, Phys. Rev. D 7 (1973) 2357-2374.

146. А.А. Старобинский, Об одной нелинейной изотропной космологической модели, Письма в АЖ 4 (1978) 155-159.

147. S.W. Hawking, Quantum cosmology, in Relativity, Groups and Topology II, Amsterdam, North-Holland Physics Publ.,1984, 333-380.

148. G.A. Burnett, Lifetimes of spherically symmetric closed universes, Phys. Rev. D 51 (1995) 1621-1631.

149. B.B. Mandelbrot, Fractal geometry of Nature, San Francisco, W.H. Freeman, 1992.

150. S. Giddings and A. Strominger, Axion-induced topology change in quantum gravity and string theory, Nucl. Phys. В 306 (1988) 890-907.

151. M. Абрамовиц и И. Стиган, Справочник по специальным функциям, Москва, "Наука", 1979.

152. V. Sahni and A. A. Starobinsky, The case for a positive lambda term, astro-ph/9904398.

153. Е.С. Никомаров и И.М. Халатников, Качественная изотропная космология с космологической постоянной при учете диссипации, ЖЭТФ 75 (1987) 1176-1180.

154. Deterministic chaos in general relativity, ed. by D. Hobill, A. Burd and A. Coley, Plenum, New York, 1994.

155. N.J. Cornish and J.L. Levin, Mixmaster universe: A chaotic Farey tale, Phys. Rev. D 55 (1997) 7489-7510.

156. I.M. Khalatnikov and E.M. Lifshitz, General cosmological solution of the gravitational equations with a singularity in time, Phys. Rev. Lett. 24 (1970) 76-79.

157. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц и И.М. Халатников, Осцилляторная мода приближения к сингулярности в однородных космологических моделях с вращающимися осями, ЖЭТФ 59 (1971) 1969-1979.

158. V.A. Belinsky, I.M. Khalatnikov and E.M. Lifshitz, Oscillatory approach to a singular point in the relativistic cosmology, Adv. Phys. 19 (1970) 525-573.

159. E.M. Лифшиц, И.М. Лифшиц и И.М. Халатников, Асимптотический анализ колебательного режима приближения к особой точке в однородных космологических моделях, ЖЭТФ 59 (1970) 322-336.

160. V.A. Belinsky, I.M. Khalatnikov and E.M. Lifshitz, A general solution of the Einstein equations with a time singularity, Adv. Phys. 31 (1982) 639-667.

161. I.M. Khalatnikov, E.M. Lifshitz, K.M. Khanin, L.N. Shchur and Ya.G. Sinai, On the stochasticity in relativistic cosmology, J. Stat. Phys. 38 (1985) 97-114.

162. C.W. Misner, Mixmaster Universe, Phys. Rev. Lett. 22 (1969) 1071-1074.

163. N.J. Cornish and E.P.S. Shellard, Chaos in quantum cosmology, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3571-3574.

164. E. Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

165. A. Einstein, Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein, Ver. Deut. Phys. Ges. 19 (1917) 82-92.

166. И. Фон Нейман, Математические основы квантовой механики, Москва, "Наука", 1964.

167. D. Giulini, E.Joos, С. Kiefer, J. Kupsch, I.-O. Stamatesku and H.D. Zeh, Decoherence and the appearence of the classical world in quantum theory, Springer, Berlin, 1996.

168. H.D. Zeh, Emergence of classical time from a universal wavefunction, Phys. Lett. A 116 (1986) 9-12.

169. C. Kiefer, Continuous measurement of minisuperspace variables by higher multipoles, Class. Quantum Grav. 4 (1987) 1369.

170. C. Kiefer, D. Polarski and A.A. Starobinsky, Quantum to classical transition for fluctuations in the early Universe, Int. J. Mod. Phys. D 7 (1998) 455-462.

171. C. Kiefer, J. Lesgourgues, D. Polarski and A.A. Starobinsky, The coherence of primordial fluctuations produced during inflation, Class. Quantum Grav. 15 (1998) L67-L72.

172. H. Бор, Квантовая физика и философия, Избранные научные труды,т.2, Москва, "Наука", 1971, 526-635.

173. Н. Everett, Relative state formulation of quantum mechanics, Rev. Mod. Phys. 29 (1957) 454-462.

174. J.A. Wheeler, Assessment of Everett's "Relative state" formulation of quantum mechanics, Rev. Mod. Phys. 29 (1957) 463-465.

175. The many-worlds interpretation of quantum mechanics, Eds. B.S. DeWitt and R.N. Graham, Princeton University Press, Princeton, 1973.

176. B.S. DeWitt, Quantum mechanics and reality, Physics Today 23 (1970) 30-35.

177. V.F. Mukhanov, On the many-worlds interpretation of quantum theory, in Proceedings of the third seminar on Quantum Gravity (Oct. 23-25, 1984, Moscow), Filadelphia 1985, 16-38.

178. А.О. Барвинский, А.Ю. Каменщик и В.Н. Пономарев, Фундаментальные проблемы интерпретации квантовой механики. Современный подход, Москва, Издательство МГПИ, 1988.

179. Е. Schrödinger, Die gegenwärtige Situation in der Quantummechanik, Naturwissenschaften 23 (1935) 807-812; 823-822; 844-849.

180. A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Phys. Rev. 47 (1935) 777-780.

181. H.D. Zeh, Toward a quantum theory of observation, Found. Phys. 3 (1973) 109-116.

182. E. Schrödinger, Discussion of probability relations between separated systems, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31 (1935) 555-563.

183. E. Schrödinger, Probability relations between separated systems, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32 (1936) 446-452.

184. E. Schmidt, Theorie der linearen und nichtlinearen Integraleichungen.I. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener, Math. Annalen 63 (1907) 433-476.

185. J.P. Paz and S. Sinha, Decoherence and back reaction in quantum cosmology: Multidimensional minisuperspace examples, Phys. Rev. D 2823-2842.

186. С. Kiefer, Decoherence in quantum electrodynamics and quantum cosmology, Phys. Rev. D 46 (1992) 1658-1670.

187. T. Okamura, On divergence of decoherence factor in quantum cosmology, Progr. Theor. Phys. 95 (1996) 565-576.

188. G. Leibbrandt, Introduction to the technique of dimensional regularization, Rev. Mod. Phys. 47 ( 1975) 849-876.

189. R. Laflamme and J. Louko, Reduced density matrices and decoherence in quantum cosmology, Phys. Rev. D 43 (1991) 3332-3344.

190. И.С. Градштейн и И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, "Наука", 1971.

191. P.D. D'Eath and J.J. Halliwell, Fermions in quantum cosmology, Phys. Rev. D 35 (1987) 1100-1123.

192. G. Esposito, Dirac operator and spectral geometry, Cambridge Lecture Notes in Physics, V. 12, Cambrodge University Press, Cambridge, 1998.

193. Ю. Весс и Дж. Бергер, Суперсимметрия и супергравитация, Москва, "Мир", 1986.

194. Ф.А. Березин, Метод вторичного квантования, Москва, "Наука", 1986.

195. A.A. Славнов и Л.Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Москва, "Наука", 1978.

196. С. Kiefer, Continuous measurement of intrinsic time by fermions, Class. Quantum Grav. 6 (1989) 561-566.

197. P. Глаубер, Когерентность и детектирование квантов, в "Когерентные состояния в квантовой теории", Москва, "Мир", 1972, 26-70.

198. Е. Schrödinger, Der stetige Ubergang von der Mikro- zur Makromechanik, Naturwissenschaften 14 (1926) 664-666.

199. У. Гибсон и Б. Поллард, Принципы симметрии в физике элементарных частиц, Москва, Атомиздат, 1979.

200. W. Marciano and Н. Pageis, Quantum chromodynamics, Phys. Rep. 36 (1978) 137.

201. M. Bander, Theories of quark confinement, Phys. Rep. 75 (1981) 205.

202. L. Lyons, Quark search experiments at accelerators and in cosmic rays, Phys. Rep. 129 (1985) 225.

203. A.Yu. Kamenshchik and S.L. Lyakhovich, Hamiltonian BFV BRST theory of closed quantum cosmological models, Nucl. Phys. В 495 (1997) 309-328.

204. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov and M. Martellini, Remarks about UV regularizations of basic commutators in string theories, Phys. Rev. D 59 (1999) 046005.

205. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, One-loop quantum cosmology: the normalizability of the Hartle-Hawking wave fucntion and the probability of inflation, Class. Quantum Grav. 7 (1990) L181-L186.

206. A.Yu. Kamenshchik, Normalizability of the wave function of the Universe, particle physics and supersymmetry, Phys. Lett. В 316 (1993) 45-50.

207. A.Yu. Kamenshchik, Wave function of the Universe and particle physics, Proceedings of the International Workshop "Birth of the Universe and Fundamental Physics", ed. F. Occhionero, Rome, Italy, 18-21 May 1994, (Springer, Berlin, 1995) 3-8.

208. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Quantum scale of inflation and particle physics of the early Universe, Phys. Lett. В 332 (1994) 270-276.

209. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Tunneling geometries: analiticity, unitarity and instantons in quantum cosmology, Phys. Rev. D 50 (1994) 5093-5114.

210. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Quantum origin of the energy scale of inflation: no-boundary vs tunnelling wavefunctions, Int. J. Mod. Phys. D 5 (1996) 825-843.

211. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik and I.V. Mishakov, Quantum origin of the early inflationary universe, NucL Phys. В 491 (1997) 387-426.

212. G. Esposito, A.Yu. Kamenshchik and G. Miele, Unified gauge models and one-loop quantum cosmology, Phys. Rev. D 56 (1997) 1328-1331.

213. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Effective equations of motion and initial conditions for inflation in quantum cosmology, Nucl. Phys. В 532 (1998) 339-360.

214. Ю.В. Грызов, А.Ю. Каменщик и И.П. Кармазин, Однопетлевые расходимости в эйнштейновской гравитации с неминимально связанным скалярным полем, Изв. ВУЗов, Физика 35 (1992) 121-126.

215. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik and LP. Karmazin, Renormalization group for nonrenormalizable theories: Einstein gravity with a scalar field, Phys. Rev. D 48 (1993) 3677-3694.

216. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik and I.P. Karmazin, One-loop quantum cosmology: ( function technique for the Hartle-Hawking wave function of the Universe, Ann. Phys. (N.Y.) 219 (1992) 201-242.

217. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik, LP. Karmazin and I.V. Mishakov, One-loop quantum cosmology: the contributions of matter fields to the wave function of the Universe, Class. Quantum Grav. 9 (1992) L27-L32.

218. A.Yu. Kamenshchik and I.V. Mishakov, (-function technique for quantum cosmology: the contribution of matter fields to the Hartle-Hawking wave function of the Universe, Int. J. Mod. Phys. A 7 (1992) 3713-3746.

219. A.Yu. Kamenshchik and I.V. Mishakov, Fermions in one-loop quantum cosmology, Phys. Rev. D 47 (1993) 1380-1390.

220. A.Yu. Kamenshchik and I.V. Mishakov, Fermions in one-loop quantum cosmology II. The problem of correspondence between covariant and non-covariant formalisms, Phys. Rev. D 49 (1994) 816-824.

221. G.Esposito, A.Yu. Kamenshchik, I.V. Mishakov and G. Pollifrone, Euclidean Maxwell theory in the presence ofboundaries.il, Class. Quantum Grav. 11 (1994) 2939-2950.

222. G.Esposito and A.Yu. Kamenshchik, Coulomb gauge in one-loop quantum cosmology, Phys. Lett. B 336 (1994) 324-329.

223. G.Esposito, A.Yu. Kamenshchik, I.V. Mishakov and G. Pollifrone, Relativistic gauge conditions in quantum cosmology, Phys. Rev. D 52 (1995) 2183-2191.

224. G.Esposito, A.Yu. Kamenshchik, I.V. Mishakov and G. Pollifrone, Gravitons in one-loop quantum cosmology: correspondence betwèen covariant and non-covariant formalisms, Phys. Rev. D 50 (1994) 6329-6337.

225. G.Esposito, A.Yu. Kamenshchik, I.V. Mishakov and G. Pollifrone, One-loop amplitudes in Euclidean quantum gravity, Phys. Rev. D 50 (1994) 3457-3465.

226. G.Esposito and A.Yu. Kamenshchik, Mixed boundary conditions in Euclidean quantum gravity, Class. Quantum Grav. 12 (1995) 2715-2722.

227. G.Esposito, A.Yu. Kamenshchik and G. Pollifrone, One-loop effective action on the four-ball, Class. Quantum Grav. 13 (1996) 943-956.

228. I.G. Avramidi, G. Esposito and A.Yu. Kamenshchik, Boundary operators in Euclidean quantum gravity, Class. Quantum Grav. 13 (1996) 2361-2373.

229. G. Esposito, A.Yu. Kamenshchik and K. Kirsten, One-loop effective action for Euclidean Maxwell theory on manifolds with a boundary, Phys. Rev. D 54 (1996) 7328-7337.

230. G.Esposito and A.Yu. Kamenshchik, One-loop divergences in simple supergravity: boundary effects, Phys. Rev. D 54 (1996) 3869-3881.

231. G. Esposito, A.Yu. Kamenshchik and G. Pollifrone, Euclidean Quantum Gravity on Manifolds with Boundary, Kluwer, Dordrecht, 1997, Fundamental Theories of Physics, v. 85.

232. G. Esposito and A.Yu. Kamenshchik, Fourth-order operators on manifolds with a boundary, Class. Quantum Grav. 16 (1999) 1097-1111.

233. G. Esposito, A.Yu. Kamenshchik and K. Kirsten, Zero-point energy of a conducting spherical shell, Int. J. Mod. Phys. A 14 (1999) 281-300.

234. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov and A.V. Toporensky, Non-minimally coupled complex scalar field in classical and quantum cosmology, Phys. Lett. B 357 (1995) 36-42.

235. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov and A.V. Toporensky, Complex inflaton field in quantum cosmology, Int. J. Mod. Phys. D 6 (1997) 649-671.

236. I.M. Khalatnikov, A.Yu. Kamenshchik and A.V. Toporensky, Classical and quantum dynamics of scalar field in cosmology, 5 course in Current topics in astrofundamental physics, Erici, Italy, 7-15 Sept. 1996, World Scientific, Singapore, 1997, 271-305.

237. I.M. Khalatnikov and A.Yu. Kamenshchik, Singularity, initial conditions, quantum tunneling and scalar field in modern cosmology, Phys. Rep. 288 (1997) 513-543.

238. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov and A.V. Toporensky, Simplest cosmological model with the scalar field, Int. J. Mod. Phys. D 6 (1997) 673-691.

239. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov and A.V. Toporensky, Cosmological dynamics in the case of positive spatial curvature, Gravitation and Cosmology 3 (1997) 275-284.

240. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov and A.V. Toporensky, Simplest cosmological model with the scalar field II. Influence of cosmological constant, Int. J. Mod. Phys. D 7 (1998) 129-138.

241. И.М. Халатников и А.Ю. Каменщик, Сингулярность, начальные условия и квантовое туннелирование в современной космологии, УФН 168 (1998) 593-611.

242. A.Yu. Kamenshchik, I.M. Khalatnikov, S.V. Savchenko and A.V. Toporensky, Topological entropy in some isotropic cosmological models, Phys. Rev. D 59 (1999) 123516.

243. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik, C. Kiefer and I.V. Mishakov, Decoherence in quantum cosmology at the onset of inflation, Nucl. Phys. В 551 (1999) 374-396.

244. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik and C. Kiefer, Effective action and decoherence by fermions in quantum cosmology, Nucl. Phys. В 552 (1999) 420-444.

245. A.O. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik and C. Kiefer, Origin of the inflationary Universe, Mod. Phys. Lett. A 14 (1999) 1083-1088.

246. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Preferred basis in the many-worlds interpretation of quantum mechanics and quantum cosmology, Class. Quantum Grav. 7 (1990) 2285-2293.

247. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Preferred basis in quantum theory and the problem of classicalization of the quantum Universe, Phys. Rev. D 52 (1995) 743-757.

248. A.O. Barvinsky and A.Yu. Kamenshchik, Preferred basis in the many-worlds interpretation in quantum theory and the symmetries of the system, Gravitation and Cosmology 1 (1995) 261-265.