Квантовые группы и некоммутативные аналоги моделей пространства-времени тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи УДК 530.1:512.54; 531

КУРАТОВ Василий Васильевич

КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ И НЕКОММУТАТИВНЫЕ АНАЛОГИ МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2005

Работа выполнена в Отделе математики (филиал, г Сыктывкар) Института математики и механики УрО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Н А ГРОМОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, П П КУЛИШ (СПОМИ РАН) кандидат физико-математических наук, Е Н Толстой (НИИЯФ МГУ) Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт физики Санкт-Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится " 2. " марта. 2005 г в 15— на заседании диссертационного совета К 720 001 01 при Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г Дубна, Московской области

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований

Автореферат разослан "_"_2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета

С И ФЕДОТОВ

Общая характеристика работы

Актуальность темы и постановка задачи

Пространство-время является фундаментальным понятием, лежащим в основе наиболее значимых физических теорий Поэтому изучение возможных моделей пространства-времени (или кинематик) имеет принципиальное значение для физики В нерелятивистской физике пространство и время рассматривались независимо друг от друга, что математически связано с расслоенностью кинематики Галилея В специальной теории относительности время и пространство представляют неразрывную сущность и рассматриваются как единый объект кинематика Минковского с псевдо-евклидовой геометрией и нулевой кривизной Общая теория относительности привнесла в физику понятие кривизны Кинематики (анти) де Ситтера с постоянной (положительной) отрицательной кривизной представляют простейшие модели релятивистского пространства-времени с кривизной

Развитие физики периодически приводит к такому положению, когда необходимо изменить некоторые из фундаментальных принципов, лежащих в основе наших представлений о строении вещества Эта неудовлетворенность современным состоянием физики связана, в частности, с расходимостями, появляющимися в теории поля Применяя известную процедуру перенормировки, расходимости во многих случаях удается устранить, однако искусственность этого приема и наличие неперенормируемых взаимодействий не позволяют считать проблему закрытой

В качестве исходного пункта преодоления указанных трудностей, по мнению И Е Тамма, может служить понятие координаты частицы Возможность сколь угодно точного измерения координаты частицы в классической физике вступает в противоречие с основными фактами физики высоких энергий Действительно, координаты частицы можно измерить путем рассеяния на ней пробных частиц, например, фотонов или мезонов Увеличение точности измерения требует перехода к более высоким энергиям, но в этих условиях процесс рассеяния будет сопровождаться рождением новых частиц Невозможность различать частицы, участвовавшие в первичном акте рассеяния, и многочисленные вторичные частицы, находящиеся на некотором конечном расстоянии от исходной, ограничивают точность измерения координат

В квантовой физике неопределенность в измерении физических величин выражается в том, что операторы, соответствующие этим величинам, не коммутируют Естественно поэтому считать координаты частицы некоммутирующими друг с другом операторами Такое

предположение было выдвинуто Снайдером и показано, что некоммутирующим координатам отвечают импульсы, которые по-прежнему можно считать обычными числами, но которые теперь образуют не псевдоевклидово, а риманово простанство с ненулевой кривизной Координаты определяются как операторы бесконечно малого сдвига в импульсном пространстве Таким образом, построение теории поля, учитывающей принципиальную неточность определения координат, можно проводить руководствуясь чисто геометрическим принципом - выбором той или иной геометрии пространства импульсов Квантованные пространственно-временные координаты, приводящие к искривленному пространству импульсов, представляют первый пример применения некоммутативной геометрии в квантовой физике Простейшая геометрия искривленного пространства -геометрия пространства де Ситтера с постоянной кривизной -использовалась, вместо плоского пространства Минковского, в качестве модели импульсного пространства в различных вариантах обобщения квантовой теории поля (И Е Тамм, В Г Кадышевский, Ю А Гольфанд)

Универсальные константы, такие как фундаментальная длина 1Г фундаментальная масса М, связанные соотношением I = , где Ь

постоянная Планка, с - скорость света, с необходимостью появляются в таких теориях

Естественно в качестве обобщения псевдоевклидового пространства импульсов выбрать пространство де Ситтера dS(1,3), имеющее постоянную отрицательную кривизну (В Г Кадышевский), которое

задается как сфера в пятимерном псев-

доевклидовом пространстве Ц1,4) Переходя к внутренним бельтрамиевым (или геодезическим) координатам =

0,1,2,3 и учитывая, что псевдовращения в плоскостях {уа , у4 } порождают сдвиги в направлении , нетрудно найти оператор сдвига

на вектор к в импульсном пространстве Наиболее характерной особенностью сдвига является его некоммутативность

Поскольку в каждом акте элементарного взаимодействия (то есть поглощения или испускания фотона или мезона) происходит сложение импульсов взаимодействующих частиц, то изменение закона сложения больших импульсов приводит к изменению закона взаимодействия частиц в области малых пространственно-временных интервалов

Операторы координат хп определяются как инфинитезимальные операторы сдвига в пространстве импульсов Для операторов

скалярных волновых функций ср(р) в бельтрамиевых координатах получены выражения, совпадающие с постулированными X С Снайдером, относительно которых было установлено, что оператор ? имеет непрерывный спектр, простирающийся от минус до плюс бесконечности, а каждый из операторов х" - дискретный спектр вида т1, где т = 0,±1.....а / некоторое положительное число - квант

пространства

В обычной теории поля известно, что уравнения теории можно записать в четырехмерном евклидовом пространстве координат или импульсов, проделать в том же пространстве все промежуточные выкладки, а в конечных выражениях провести аналитическое продолжение от евклидовых величин к псевдоевклидовым Имея в виду такой путь обобщения теории, в работах ЮА Гольфанда, Р М Мир-Касимова построена теория поля с использованием эллиптического пространства постоянной кривизны S4 в качестве импульсного пространства

В упомянутых обобщениях теории поля обычный закон сохранения 4-импульса выполняется только в случае упругого рассеяния В общем случае стандартный закон сохранения энергии-импульса отсутствует В работах В Г Кадышевского, исходя из трансляционно-инвариантной (то есть явно учитывающей сохранение 4-импульса) формулировки квантовой теории поля строится обобщенная теория поля При этом трансляционная инвариантность сохраняется (то есть в обобщенной теории закон сохранения 4-импульса является стандартным), а относительные импульсы модифицируются так, чтобы имела место симметрия относительно сдвигов р-пространства постоянной кривизны, в качестве которого используется пространство анти де Ситтера D(2,3) Такой способ обобщения теории поля приводит к модификации понятия относительных пространственно-временных координат в области малых масштабов

Более широко подошел к проблеме использования в теории поля неплоского пространства импульсов И Е Тамм Заметив, что импульсы физических частиц не инвариантны относительно трансляций в пространстве импульсов, так как в противном случае масса частицы изменялась бы весьма сложным образом, зависящим от направления и величины скорости движения, он предложил рассматривать импульсные пространства инвариантные только относительно лоренцевых преобразований (но не сдвигов) Ясно, что такие пространства уже не будут пространствами постоянной кривизны Метрический тензор дар такого пространства он предложил выбрать в

виде (в некоторой системе координат) = gi)u|S Цр1) +

+ pu Pjh( рг), где = (1.-1.-1.-1), а произвольные функции f и h

являются функциями лоренцевского инварианта р' = g0 рирр , на

которые накладывается ряд условий, вытекающих из требований, чтобы метрика не имела особенностей, интегралы, встречающиеся в теории поля, были конечны, чтобы выполнялся принцип соответствия Операция сложения векторов q = р, Ф р2 определяется геометрически с помощью геодезических и параллельного переноса в римановом пространстве

Упомянутые выше обобщения квантовой теории поля имеют общую черту - они предполагают отказ от пространства-времени с коммутативными координатами и переход тем или иным (геометрическим) способом к некоммутативным моделям пространства-времени

В последние годы появился новый подход к изучению некоммутативных объектов - квантовые группы и алгебры, представляющие собой, с точки зрения алгебраических структур, некоммутативные и некокоммутативные алгебры Хопфа Этот подход является активно развивающейся областью исследований как в математике, так и в теоретической физике

Квантовые группы и алгебры Ли возникли при изучении поведения двумерных интегрируемых систем в квантовой теории поля и статистической механике в рамках квантового метода обратной задачи В работах Л Д Фаддеева Л А Тахтаджяна, Е К Склянина, П П Кулиша, Н Ю Решетихина, возникли новые алгебраические структуры, обобщения которых позднее получили название "квантовые группы", "квантовые алгебры" Похожие структуры появились и при решении некоторых моделей статистической физики (Р Бэкстер) и при изучении факторизованного рассеяния солитонов и струн (А Б Замолодчиков) Объединяющим началом всех этих исследований стали уравнения Янга-Бакстера В Г Дринфельдом было замечено, что квантовые группы есть ни что иное, как алгебры Хопфа , которые во многих случаях являются деформациями универсальных обертывающих алгебр Ли М Джимбо получил те же соотношения исходя из других соображений

Отметим несколько существующих направлений, связанных с реализацией идей о квантовании симметрии в физике (см обзор А П Исаева) Обнаружились возможности применения квантовых групп Ли для классификации элементарных частиц и в исследованиях по ядерной спектроскопии, генетического кода Другое направление, связанное с некоммутативной геометрией предложено в работах А Конна где исследуются стандартные теоретико-полевых модели

(Салама-Вайнберга и др ) на некоммутативном пространстве-времени Многочисленны попытки деформации групп Лоренца и Пуанкаре и соответствующих этим деформациям построений квантовых версий пространства-времени

В последнее время в работах П П Кулиша, Л Д Ляховского и др разработан метод квантовых деформаций универсальных обертывающих алгебр для алгебр Ли преобразованием подобия

копроизведения

помощью

твиста

^ = ®/<2) При этом умножение и коединица сохраняются, а

антипод и универсальная R-матрица преобразуются За счет выбора подходящего твиста Г тривиальную R-матрицу можно преобразовать в нетривиальное решение квантового уравнения Янга-Бакстера и таким образом получить нетривиальную деформацию универсальной обертывающей как для алгебр Ли, так и для супералгебр

Релятивистские квантовые кинематики изучались преимущественно с точки зрения деформации алгебр Ли их групп движений Так коммутационные соотношения временной и пространственных образующих кинематики к-Минковского (Ю Лукирский, Л Д Ляховский, П Масланка и др) находятся из деформации алгебры Ли группы Пуанкаре в виде

к

(1)

где аесть 4-вектор в пространстве Минковского, определяющий

х , причем произвольный выбор аи

направление деформации эквивалентен описанию к-деформации в пространстве-времени в произвольном базисе В системе единиц, в которой параметр

деформации имеет размерность длины и может

рассматриваться как фундаментальная длина а к можно интерпретировать как фундаментальную массу, так как [к] = [ масса]

Для наших целей особый интерес представляют квантовые векторные пространства, отвечающие квантовым ортогональным группам Характерной особенностью этих пространств является некоммутативность их образующих — аналогов декартовых координат обычных векторных пространств Это открывает новые возможности для изучения некоммутативных аналогов кинематик -- моделей пространства-времени, а следовательно и возможных обобщений поведения и законов взаимодействия частиц в области малых

пространственно-временных интервалов Данная проблема является актуальной в настоящее время о чем свидетельствуют современные физические теории и модели, такие как квантовая теория поля с фундаментальной массой и электромагнитной длиной, космология и квантовая гравитация, уравнения Янга-Милса-Хиггса в (1+2)-мерном пространствах де Ситтера и анти де Ситтера, квантовый эффект Холла, исследования суперинтегрируемых систем на пространствах постоянной кривизны в подходе А Н Сисакяна, Г С Погосяна и др Цель работы

Целью настоящей работы является построение некоммутативных аналогов кинематик, то есть релятивистских (кинематики Минковского, де Ситтера, анти де Ситтера) и нерелятивистских моделей пространства-времени с нулевой (кинематика Галилея) и постоянной ненулевой кривизной (кинематика Ньютона), а также экзотических кинематик Кэрролла, на основе изучения квантовых деформаций контрактированных ортогональных групп и соответствующих им квантовых пространств

Объекты и методы исследования

Теоретически возможные кинематики, удовлетворяющие естественным физическим постулатам пространство изотропно, а бусты (вращения в пространственно-временных плоскостях) образуют некомпактную подгруппу, описаны X Бакри и Ж -М Леви-Леблондом Все они представляют собой пространства с постоянной кривизной, реализующиеся на связной компоненте сферы

/р т

ш-1 ы

в пространстве на единицу большей размерности где параметры /,=1,/,,/. Здесь I/ есть нильпотентные образующие //=0, 1,1 = г /, Ф 0 Внутренние геодезические (бельтрамиевы) координаты

' = ) \Уа1 * гк = Л+1-Уо' > 1,2,3 на сфере имеют очевидную физическую

интерпретацию и описывают кинематики анти де Ситтера Ас18(1,3) и де Ситтера с18(1,3) при _/,=1,/, у2-',/з -/4=1, соответственно, кинематику Минковского М(1,3) при_/,=/, ]2=1 Уз=/4-1 нерелятивистские кинематики Ньютона N(1,3) при_/-, =1, у2= 'г, Уз=/4-1, и Галилея 0(1,3) при¡2- /2 Уз=/4=1 Если интерпретировать внутренние координаты по другому

1 = 1\=Ук)'о . 1,2,3, то при /,=1,г,,/, /, = /,= 1,

/,=/4 имеем экзотические кинематики Кэрролла, в которых по сравнению с кинематикой Галилея пространство и время как бы

Рис 1 Классические (1+3) кинематики Пунктиром указан световой конус Жирные линии изображают собственно пространство в нерелятивистских кинематиках

поменялись свойствами -- здесь абсолютно пространство а время относительно

Эти кинематики (кроме де Ситтера и анти де Ситтера) получаются из сфер (Н А Громов) предельными переходами а их группы движений — контракциями введенными Е Вигнером и Э Иненю и аналитическими продолжениями ортогональных групп БО(п+1) Мы вместо предельных переходов по параметрам используем эквивалентный подход связанный с нильпотентными значеними соответствующих параметров

Существует несколько подходов к построению квантовых групп Я-матричный подход Фаддеева-Решетихина-Тахтаджяна (ФРТ) через определяющие соотношения и генераторы (В Г Дринфельд М Джимбо) деформационное квантование или звездное произведение (М Флато Д Стернхеймер) ФРТ подход хорошо работает для квантовых аналогов простых и полупростых групп и алгебр Ли В физике и геометрии однако важную роль играют группы не являющиеся простыми и полупростыми например такие как неоднородные группы включающие группы Пуанкаре Евклида Галилея Гейзенберга разных размерностей В данной работе на основе Я-матричного подхода

Фаддеева-Решетихина-Тахтаджяна предложен способ получения некоммутативных (квантовых) аналогов моделей пространства-времени и отвечающих им неполупростых квантовых групп с использованием нильпотентных образующих

Научная новизна и практическая ценность работы Построение квантовых деформаций неполупростых групп и алгебр Ли с помощью контракций известно в настоящее время в основном для алгебр В диссертации разработан способ получения квантовых деформаций неполупростых групп произвольной размерности из квантовых ортогональных групп методом контракций с помощью нильпотентных образующих Для квантовых ортогональных групп, по сравнению с классическим случаем, преобразование образующих дополняется, вообще говоря, преобразованием параметра деформации Вместе с тем, известны контракции квантовых групп, при которых параметр деформации остается неизменным В нашем подходе оба типа контракций рассматриваются в рамках единой процедуры и появляются при разных перестановках а из группы перестановок ^го порядка

Квантовые деформации ортогональных групп обычно описываются в математическом (или так называемом "симплектическом") базисе, в котором инвариантная квадратичная форма в недеформированном случае задается матрицей с единицами на побочной диагонали В таком базисе R-матрица, задающая коммутационные соотношения, является нижнетреугольной и коммутаторы квантовых образующих имеют особенно простой вид Однако в физических приложениях более распространенным является декартов базис, в котором инвариантная квадратичная форма в недеформированном случае задается матрицей с единицами на главной диагонали В диссертации дана формулировка ФРТ теории квантовых ортогональных групп и квантовых векторных пространств в декартовом базисе, соответственно, контракции этих объектов рассматриваются в декартовом базисе, что облегчает сравнение с классическим (не квантовым) случаем

В диссертации построены некоммутативные аналоги (1+к) моделей пространства-времени при к=1 2,3, таких как релятивистские кинематики Минковского, де Ситтера, анти де Ситтера, нерелятивистские кинематики Галилея и Ньютона экзотические кинематики Кэрролла При этом последовательно рассмотрены и обобщены все этапы получения кинематик, которые имеются в коммутативном случае

Апробация работы Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах Отдела математики (филиал, г Сыктывкар) Института математики и механики УрО РАН, на Февральских чтениях в Сыктывкарском государственном университете, на семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского

отделения Математического института РАН, на международном совещании по классическим и квантовым интегрируемым системам (Дубна 1996), на международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике (Гослар 1996), на международном Вигнеровском симпозиуме (Вена 1997, Колледж Парк 2001), на международной конференции по квантовым группам деформациям и контракциям (Стамбул 1997), на международной конференции по методам симметрии в физике (Ереван 2002, 2003, Прага 2004), на международной конференции по некоммутативной геометрии и теории представлений в математической физике (Карлстад 2004)

Публикации По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 10 работ

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения и списка литературы Она содержит 124 страницы текста и список литературы из 153 наименований На защиту выдвигаются следующие результаты

1 Формулировка стандартной теории квантовых ортогональных групп и квантовых векторных пространств в декартовом базисе

2 Теория контракций квантовых ортогональных групп произвольной размерности

3 Теория расслоенных квантовых векторных пространств в декартовом базисе и некоммутативных аналогов пространств с постоянной кривизной

4 Построение некоммутативных (квантовых) аналогов (1+к), к=1,2,3 кинематик (анти) де Ситтера, Минковского, Ньютона, Галилея и экзотических кинематик Кэрролла

Содержание работы

Во введении дан обзор обобщений квантовой теории поля использованием пространств с постоянной кривизной, теории квантовых деформаций групп и алгебр Ли, их возможных применений в различных областях физики, в том числе для построения квантовой кинематики к-Минковского

В первой главе рассмотрена теория контракций квантовых ортогональных групп произвольной размерности в декартовом базисе

В первом параграфе стандартная теория квантовых групп и пространств, записанная в математическом (или "симплектическом") базисе, с помощью преобразования подобия матриц с некоммутативными элементами и линейного преобразования некоммутативных образующих квантового векторного пространства переформулируется в произвольный базис

Во втором параграфе определяющие соотношения квантовых ортогональных групп произвольной размерности N записываются в декартовом базисе

В третьем параграфе ортогональные группы Кэли-Клейна, изоморфные группам движений пространств с постоянной кривизной, описываются в декартовом базисе как матричные группы над алгеброй с нильпотентными образующими Группа Кэли-Клейна БО(^,С) состоит из матриц вида удовлетворяющих до-

полнительным соотношениям \ - ортогональности АЦ)А' (у) = 1, где

и каждый из параметров принимает

три значения Показано, что переход к

стандартному в теории квантовых групп "симплектическому" ба-зису осуществляется неоднозначно и зависит от перестановок N-1-0 порядка В четвертом параграфе дается формальное определение квантовых ортогональных групп Кэли-Клейна, матрица образующих которых содержит те же нильпотентные множители, что и матрица АО) в коммутативном случае При контракциях, отвечающих нильпотент-

ным значениям параметров \ параметр деформации (/ = е~ подвергается преобразованию вида где J есть некоторое произведение контракционных параметров]

В пятом параграфе исследуется вопрос о том, когда формальное определение квантовой группы становится действи-

тельным определением контрактованной квантовой группы т е при каких условиях описанная в предыдущем параграфе конструкция является непротиворечивой и дает алгебру Хопфа при нильпотентных значениях всех или некоторых параметров \ Результат дается следующей теоремой

Теорема. Если коммутационные соотношения для образующих

определены, то квантовые группы /;сг), допускают конт-

ракции по всем параметрам '] при всех перестановках (7£ если параметр деформации преобразуется по правилу 1=^, где

А-1

Здесь под объединением (сгА. гг/5 (<тш, гг,) множителей понимается произведение первых степеней всех параметров /А, входящих хотя бы в один из множителей (стк,ар) или (сгт,<т,), например,

А)[_](А А) =/| А А Следует подчеркнуть, что множитель и,

фигурирующий в теореме, есть минимальный множитель, гарантирующий существование структуры алгебры Хопфа у контрактованной квантовой группы Если все параметры )к = 1, то преобразование и1к ->

{стп(тк )иасг является взаимно-однозначным и все квантовые группы

(Л^; /;сг) при любом (тe.S's очевидно изоморфны (как алгебры

Хопфа) Неизоморфные квантовые группы могут возникать при контракциях, когда все или некоторые параметры принимают нильпотентные значения Ясно, что контракции по разному числу параметров приводят к неизоморфным квантовым группам Поскольку параметр деформации преобразуется домножением на и, то контракции по одинаковому числу параметров, но с разным числом множителей в J естественно приводят к неизоморфным квантовым группам Изоморфные квантовые группы могут появляться при

контракциях ортогональных квантовых групп $0 (N: ¡:ст) с разными

о по одинаковому числу параметров (при этом не обязательно по одним и тем же), когда множитель и содержит одинаковое количество контракционных параметров или В нашем подходе контракции квантовых групп (даже по одинаковому числу параметров) различаются распределением параметров j в матрице образующих 1!(]:ст) Изоморфизм контрактированных квантовых групп исследуется в шестом параграфе и описывается следующей теоремой

Теорема. Квантовые группы (Л';/;<7,) и (/V: /;сг:) изоморфны, если их образующие связаны соотношениями 1](}\ах) = У„Ь'( /;(Т2 )Уагде для матрицы Уа е выполнено

(У„ ® УГ)Д„ (¡)(У„ <8> УгУ1 при 11- = ±1' и ./, = ./, с возможной

заменой контракционных параметров /А на у _к, к- 1.....

В седьмом параграфе подробно рассмотрены квантовые группы $0 (3: /: (т)и их контракции при разных перестановках Установлено, что только три из шести перестановок приводят к неизоморфным конт-

рактированным группам Для каждой из них получены коммутационные соотношения образующих квантовой группы ЯО (3; /: сг), антипод, копроизведение и коединица, а также все возможные контракции в рамках схемы Кэли-Клейна Выяснено, что квантовая группа SO (3) имеет четыре неизоморфные контрактованные группы две группы Евклида (или Минковского) £,°(2) = 50, (3;/,,1;<т0), J = li,

(2) = 50.(3^,1;сг), >1, где <т0 = (1.2,3), ст =(2,1,3), и две группы Галилея С,°(2) = 50, (3;г,,/2;сг0),./= г,г2 и О, (2) = 50, (3;/|,;2;<т ), 3 -12 Для сравнения, недеформированная комплексная группа вращений Б0(3) имеет в рамках схемы Кэли-Клейна две неизоморфные контрактированные группы группу Евклида Е(2) и группу Галилея в(2)

В восьмом и девятом параграфах перечислены неизоморфные контракции квантовых групп 50(/(4) и 50(5) Показано, что число неизоморфных квантовых аналогов обычных групп Кэли-Клейна возрастает с увеличением размерности контракции, тес увеличением количества нильпотентных параметров Так при максимальной контракции )к = 1к получаем пять квантовых аналогов флаговой группы

Р(5)=80(5,|), а именно У7, (5) = 50, (5;/;сг0), =

^ (5) = 5(9,1(5;/:сг|), У = /,/,/,. (5) = 50,,(5;/;<т2), J = l^l2l^,

/< (5) = 50, (5;/;^), ¿ = ^ (5) = 50,4(5;/;<т4), .1 = 1^

Эти квантовые группы порождаются матрицами образующих с неэквивалентными распределениями нильпотентных параметров по элементам матриц

Во второй главе строится теория квантовых евклидовых векторных пространств Кэли-Клейна произвольной размерности в декартовом базисе

В первом параграфе напоминается стандартная конструкция квантового евклидового векторного пространства , ассоциированного с

квантовой ортогональной группой 50 х4 (Ы)

Во втором параграфе квантовое векторное пространство О^

описывается в декартовом базисе Переход от "симплектических" образующих к декартовым формулируется с точностью до

перестановки Ы-го порядка Получены коммутационные соотношения декартовых образующих квантового пространства . Определена

квантовая сфера ■!>(С) как алгебра, задаваемая декартовыми образующими .....у^ , связанными условием у'С~п]у = \, где инвариантная форма равна

у'с;1У =

2 (сИг)" , 7

)Ш)кА \ichzp, )

В недеформированном случае (ч=1) этот инвариант равен сумме квадратов декартовых координат

В третьем параграфе рассматриваются квантовые пространства

Кэли-Клейна О ' '(/;ег:С) Переход от евклидова к расслоенному пространству осуществляется как и в коммутативном случае с помощью преобразования декартовых координат вида г( /) = у/1;,

(// = с11ад(1,(1,2), ,(1,Ы))6 М^ Получены коммутационные соотношения для образующих пространства О^" '(/;сг;С), а инвариантная форма равна

(ch.lv)"

СЙ(

■IV/

+ +(1 )(с1М]\

В третьей главе некоммутативные аналоги моделей пространства-времени (которые принято называть пространствами кинематического типа или просто кинематиками) реализуются как некоммутативные аналоги некоторых сфер в квантовых векторных пространствах Кэли-Клейна При этом помимо собственно математической структуры, возникающей при определенных значениях контракционных параметров, учитывается интерпретация образующих соответствующей алгебры как некоммутативных аналогов временных и пространственных координат кинематики, что приводит к физической интерпретации контракционных параметров и придает деформационному параметру физическую размерность

В первом параграфе анализируются квантовые векторные пространства О^сг) и строятся квантовые (1+1) кинематики. Разным перестановкам а0 = (1,2,3), сг' = (2,1,3), а = (1,3,2), соответствуют разные множители и, соответственно, разные размерности параметра квантовой деформации, поэтому получаем три некоммутативных аналога кинематик де Ситтера и анти де Ситтера

где / = 1, х = и х = есть правые и левые

образующие времени и пространства в кинематиках. Физический параметр Т имеет смысл радиуса кривизны в этих кинематиках и имеет размерность времени [Т]=[время], а параметр с есть скорость света. В системе единиц, в которой постоянная Планка равна единице Ь = 1 имеем [время]=[энергия]"1, [длина]=[импульс]"1. Тогда деформационный параметр V имеет физическую размерность длины при перестановке <ти, т.е. [у]=[сТ]=[длина] и может рассматриваться как фундаментальная длина, имеет размерность [у]=[скорость] при перестановке сг' и может рассматриваться как фундаментальная скорость, имеет размерность М=[время] при перестановке <т и может рассматриваться как фундаментальное время.

В пределе нулевой кривизны Т —> со получены две квантовые кинематики Минковского

Поскольку коммутационные соотношения образующих не зависят от с они не меняют свой вид при с-» оо, следовательно образующие

кинематик Галилея (',(<?«) и С, (а) удовлетворяют тем же

коммутационным соотношениям. Отличие между ними состоит в том, что в кинематиках Галилея имеется два инварианта ¡пу^2, ¡пу2=х2, относительно кодействия соответствующей квантовой группы, в то время как у кинематик Минковского только один инвариант ¡пу^2-х2.

Для нерелятивистской кинематики Ньютона с ненулевой кривизной получаем три некоммутативных (квантовых) аналога

М1(<т') = \г,х\[х,1] = п>(12 + 12Т1)\

причем в последнем случае параметр деформации не преобразуется

при контракции Множитель Т~х он получает в результате физической интерпретации образующих квантового пространства

Во втором параграфе рассматриваются квантовые векторные

пространства О* 0, <т) и порождаемые ими некоммутативные аналоги (1+2) кинематик с двумя пространственными образующими и одной образующей времени Только две перестановки аи = (1,2,3,4) и <т'= (1,3,4,2) из 24 приводят к физически различным квантовым кинематикам При тождественной перестановке <т„ квантовые

кинематики (анти) де Ситтера Минковского, Галилея, Ньютона характеризуются фундаментальной длиной [у]=[длина], а при перестановке <т' — фундаментальным временем [у]=[время] Для экзотических кинематик Кэрролла имеем по два квантовых аналога, причем во всех случаях параметр деформации имеет физическую размерность времени [у]=[время]

В третьем параграфе анализ множителя ,/ = (¿г,, сг,) и (ег, ,сг4),

входящего в преобразование параметра деформации г-^м и коммутационных соотношений образующих квантовых векторных

пространств С^О.сг) выявил три перестановки ег0 = (1,2,3,4,5), а' =(1,4,3,5,2) и <т = (2,3,1.4,5), приводящие к разным и и физически неэквивалентным квантовым кинематикам При тождественной перестановке гт(| квантовые кинематики (анти) де Ситтера характеризуются фундаментальной длиной [у]=[длина], при перестановке а' фундаментальным временем [у]=[время], а при перестановке а фундаментальной скоростью [у]=[скорость] и задаются коммутационными соотношениями правых и левых образующих вида

S!{±)(a0) = /,г I /г, = f/cos^ + zV, -sin^.

[ с/ с el

1 • 7iv - - /iv • • /iv tr2 -r2t = ~2ll]l)-sin-, ti\-rJ eos——//— sin-

c 2сГ J ' cT j\ 2 cT

j\v ■ J\v - - 7iv • cT . j,v r.r, = eos-1—г, с sin ——, rr, = rrn eos—1—irn — sin—1—

.2 2 1 cT I j' Fi P cT P ^ cT

[ T J\ T

f2r, -r,r2 = 2/rIr1.vA^r ,

S, " = 1I' r = f„t eos - + ir r, - sin -,

с с с

сГ-

fr3-F,t = 2i ,, К

í \ V J) t- ' л V

eos---^TT^'I + /y2)cos —

с с~Г" 2c

v

sin — 2c

v - . v „ - c2T2 . v\ r>\ = rr, eos— itr, с sin r.r, - i\r. = 2—sin — > ' ' с 1 с /'," 2c j

В последнем случае пределы Т —»со, с -> со не определены,

поэтому квантовые кинематики (анти) де Ситтера ^'^(¿г) не имеют

кинематик Минковского, Ньютона, Галилея в качестве своих предельных случаев

В пределе нулевой кривизны Т со получены две квантовые кинематики Минковского

KV(j) = ¡M 11■ г,,] = 0. [/',,/] = /v/. [г2,Г]] = 0, fr„rp] = irrn, Р=1,2},

A/,V) = {t.r| [f.rt ] = ivrk. [r,./-A ] = 0. /,А= 1,2,3}

Первая из них изоморфна тахионной к-деформации, а вторая - стандартной к-деформации Для к-Минковских кинематик (1) в системе

единиц Л = с = 1 параметр деформации Л = к'1 имеет размерность длины и интерпретируется как фундаментальная длина. Однако в другой системе единиц Л = 1 размерности деформационных параметров отличаются: v есть фундаментальная длина в случае кинематики

М,4 (сг0) и V есть фундаментальное время в случае М* (ст').

Для нерелятивистских кинематик Ньютона с ненулевой кривизной получаем два некоммутативных аналога

М?±)(<т0) = {1,1\[1,гр] = 0, М = /у/( 1 + 7,2 [г2,г,] = 0,

~7 /2

[г3>гр] = пгр0 + Х—), р= 1,2},

^ 7, Т

Г 1 Т 2 / . , ./>' • , /И'

Г'2-Л] = 2»1 'VI = --

I V' ■ / ^ 1

причем в последнем случае параметр деформации не преобразуется

при контракции. Множитель Г"1 он получает в результате физической интерпретации образующих квантового пространства.

Для экзотических кинематик Кэрролла имеем по три квантовых аналога для кинематик с ненулевой кривизной

С,4,±>(<х()) = М [/,,•] = /,■/•,(1-фг), ] = 0},

С,4(±)(о-' ) = {М [/,Г2] = /гаг2^, [/;.] = 0,

= ■[',/",] = О,} К

С^(д) = {1,г] [/,/' ] = 0, [/',.';] = О, [/-,./] = /г(4т +

./Г

и по два некоммутативных аналога для кинематик с нулевой кривизной

C,4,0V0) = {/,r| [t.rk] = ivrk, [r,.rj = 0}, ) = {t,r\ [t,rk] = 0, [r,rj = 0>, Параметр деформации имеет физическую размерность времени [у]=[время] в случае перестановок cr0,cr' и размерность обратной скорости [у]=[скорость]1 в случае перестановки 5 Хотя коммутационные соотношения образующих у кинематик С,4(0)(<т0) и М*{&) идентичны, они имеют разный физический смысл

В приложении приведены явные выражения для R-матрицы квантовой группы SO (N), а также антипода и соотношений (v,^-ортогональности квантовой группы SO^(N;cr;j) в декартовом базисе

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Н А Громов, И В Костяков, В В Куратов Квантовые группы и пространства Кэли-Клейна В сб Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей Сыктывкар, 1997, стр 3-29 (Труды Коми НЦУрО РАН, №151)

2 N A Gromov, I V Kostyakov VVKuratov Quantum orthogonal Cayley-Klein groups in Cartesian basis Int J Mod Phys A, 1997, v 12, №1, pp 33-41 Preprint math QA/9610011

3 N A Gromov, I V Kostyakov, VVKuratov Quantum fiber spaces—In book "Quantum Group Symposium at Group21" (Proseedings of the Quantum Group Symposium at the XXI International Colloguium on Group Theoretical Methods in Physics, Goslar, 1996), eds H-D Doebner and V К Dobrev, Heron Press, Sofia, 1997, pp 202-208

4 N A Gromov, I V Kostyakov, V V Kuratov FRT quantization theory for the nonsemisimple Cayley-Klein groups (Proceedings of International Conference "Quantum Groups, Deformations and Contractions", Istanbul, Turkey, 17-24 September 1997) Preprint q-alg/9711024

5 N A Gromov, I V Kostyakov, V V Kuratov Quantum orthogonal Cayley-Klein groups and algebras - In book Proceedings of the 5th Wigner Symposium, Vienna, Austria, 25-29 August 1997, eds P Kasperkovitz and

DGrau, World Scientific,Singapore, 1998, pp 19--21 Preprint q-alg/9710009

6 H А Громов, И В Костяков В В Куратов Возможные контракции квантовых ортогональных групп В сб Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей Сыктывкар, 2000, с 3--28 (Труды Коми НЦ УрО РАН, №163)

7 N A Gromov, IV Kostyakov, V V Kuratov Possible contractions of quantum orthogonal groups Ядерная физика, 2001, т 64 №12, с 22112215 Physics of Atomic Nuclei, 2001, v64, № 12, pp 1963-1967 Preprint math QA/0102071

8 N A Gromov, I V Kostyakov, V V Kuratov On contractions of quantum orthogonal groups Preprint math QA/0209158

9 H А Громов, В В Куратов Некоммутативные аналоги моделей пространства-времени Сыктывкар, 2004 28 с (Научные доклады Коми науч центр УрО РАН Вып 468)

10 N A Gromov, VV Kuratov Quantum kinematics Preprint hep-th/0410086 Journal of Physics A Math Gen , 2005 (в печати)

Тираж 100 экз Заказ №1

Издательство Коми научного центра УрО РАН 167982. г.Сыктывкар, ул.Первомайская 48

oí. оч

818

7 f"^

0.1. Введение.1

0.1.1. Актуальность темы и постановка задачи . 1

0.1.2. Цель работы.9

0.1.3. Объекты и методы исследования.9

0.1.4. Научная новизна и практическая ценность работы .11

0.1.5. Апробация работы .12

0.1.6. Публикации .12

0.1.7. Структура и объем диссертации .12

1 Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна 13

1.1. Преобразования подобия квантовых групп.17

1.2. Ортогональные квантовые группы в декартовых образующих.21

1.3. Дуальные алгебры и ортогональные группы Кэли Клейна .24

1.4. Ортогональные квантовые группы Кэли Клейна . . 30

1.5. Основная теорема.31

1.6. Неизоморфные контрактированные квантовые группы 34

1.7. Квантовые группы SOv(3-,j;a).37

1.7.1. Квантовые группы 50^(3; j; сто) .37

1.7.2. Квантовые группы SOv(3; j; а').43

1.7.3. Квантовые группы SOv(3;j; а) .47

1.8. Квантовые группы SOv(4; j; <т).51

1.9. Квантовые группы SOv(5\ j; а).52

2 Квантовые векторные пространства Кэли-Клейна 55

2.1. Квантовое евклидово пространство в симплектическом базисе.55

2.2. Квантовое евклидово пространство в декартовом базисе .58

2.3. Расслоенные квантовые пространства О^ (j: <т; С). . 61

3 Квантовые кинематики 68

3.1. Квантовые векторные пространства а) . 68

3.1.1. Квантовое векторное пространство oq) . . 70

3.1.2. Квантовое векторное пространство а') . . 73

3.1.3. Квантовое векторное пространство Ojj(j; а) . . 74

3.1.4. Квантовые (1 + 1) кинематики.75

3.2. Квантовые векторные пространства а) . 76

3.2.1. Квантовое векторное пространство 04(j; erg) . . 78

3.2.2. Квантовое векторное пространство 04(j; а') . . 81

3.2.3. Квантовые (1 + 2) кинематики.84

3.3. Квантовые векторные пространства а) . 86

3.3.1. Квантовое векторное пространство . . 87

3.3.2. Квантовое векторное пространство а') . . 92

3.3.3. Квантовое векторное пространство сг) . . 95

3.3.4. Квантовые (1 + 3) кинематики.98

1. А.А.Белавин, В.Г.Дринфельд. Функ. анал и прил. 16 159 (1982).

2. Р.Бэкстер. Точно решаемые модели в статистической физике. Москва.: "Мир", 1985. 488 с.

3. Л.Л.Ваксман, Л.И.Корогодский. Алгебра ограниченных функций на квантовой группе движений плоскости и q-аналоги функций Бесселя, Докл. АН СССР, 1989, с.1036-1040.

4. В.Б.Вологодский. В сб."Проблемы теоретической физики'" памяти И.Е.Тамма, с.25-33, "Наука", 1972.о. Ю.Д.Гольфанд. ЖЭТФ, т.37, вып.2, 1959.

5. Ю.А.Гольфанд. ЖЭТФ, т.43, с.256, 1962.

6. Ю.А.Гольфанд. ЖЭТФ, т.44, с.1248, 1963.

7. Н.А.Громов, Л.В.Якушевич. Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука, 1986. - т.2. - с.191-198.

8. Н.А.Громов. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. — Сыктывкар: Коми НП. 1990.

9. Н.А.Громов, И.В.Костяков, В.В.Куратов. Квантовые группы и пространства Кэли-Клейна. В сб.: "Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей", (Труды Коми НЦ УрО РАН, Ко 151). Сыктывкар, 1997, с.3-29.

10. Н.А.Громов, И.В.Костяков, В.В.Куратов. Возможные контракции квантовых ортогональных групп. В сб.: Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар. 2000, с.3-28. (Труды Коми НЦ УрО РАН, №163).

11. Н.А.Громов, В.В.Куратов. Некоммутативные аналоги моделей пространства-времени. Сыктывкар, 2004. 28 с. (Научные доклады / Коми науч. центр УрО РАН. Вып.468).

12. В.Г.Дринфельд. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера. ДАН СССР. 1985. т.282. с. 1060-1064

13. С.А.Дуплий. Нильпотентная механика и суперсимметрия Пробл. ядерной физики и косм, лучей, 1988. Вып. 30. с.41-48.

14. Г.А.Зайцев. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М.: Наука, 1974. - 192 с.

15. А.Б.Замолодчиков. ЖЭТФ, 1980, т.79, с. 641;

16. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Квантовый метод обратной задачи. Физика ЭЧАЯ. 1982, т.13, с.501-541.

17. А.П.Исаев. Квантовые группы и уравнения Янга-Бакстера. Физика элементарных частиц и атомного ядра, т.26, в.5, 1995. с.1204-1263.

18. В.Г.Кадышевский. Докл. АН СССР, т.136, №1, с.70-73, 1961.

19. В.Г.Кадышевский. ЖЭТФ, т.41, вып.6(12), с.1885-1894, 1961.

20. В.Г.Кадышевский. Докл. АН СССР, т.147, №3, с.588-591, 1962.

21. В.Г.Кадышевский. Докл. АН СССР,т.147, №6, с.1336-1339, 1962.

22. В.Г.Кадышевский. Препринт ОИЯИ, Р2-5717, Дубна, 1971.

23. В.Г.Кадышевский. В сб."Проблемы теоретической физики" памяти И.Е.Тамма, с.52-73, "Наука", 1972.

24. Д.А.Киржниц. ЖЭТФ, т.41, с.551,1961; т.45, с.143. с.2024. 1963; 1.49, с.1544, 1965.

25. И.В.Костяков. Об одной контракции квантовой ортогональной группы. (Сер.препринтов "Научные доклады" УрО РАН, Коми научный центр; Вып.348).

26. А.П.Котельников. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1985.

27. П.П.Кулиш, Е.К.Склянин. Записки науч. семинаров Ломи. 1980. т.95. с.129-160.

28. П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления. Записки науч. семинаров Ломи. 1981. т.101. с.101-110.

29. Я.Х.Лыхмус. Предельные (сжатые) группы Ли. (II летняя школа по проблемам теории элементарных частиц) Тарту. 1969. - 132 с.

30. P.M.Мир-Касимов. ЖЭТФ, т.49, вып.3(9), с.905-913. 1965.

31. P.M.Мир-Касимов. ЖЭТФ, т.49, вып.4( 10), с.1161-1168, 1965.

32. P.M.Мир-Касимов. ЖЭТФ, т.52, вып.2, с.533-535, 1967.

33. Р.И.Пименов. Аксиоматическое исследование пространственно-временных структур. Тр. III го Всесоюзного математического съезда, 1956. - т.4. - М., 1959. - с.78-79.

34. Р.И.Пименов. Применение полуримановой геометрии к единой теории поля. ДАН СССР. 1964. - т.157. - №4. - с. 795-797.

35. Р.И.Пименов. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений. Литовский мат. сб. 1965. - т.5 - ЛаЗ.с. 457-486.

36. Р.И.Пименов. Пространства кинематического типа. (Математическая теория пространства-времени), Ленинград, 1968.

37. Н.Ю.Решетихин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Квантование групп и алгебр Ли. Алгебра и анализ. 1989, т.1, вып.1, с.178-206.

38. Б.А.Розенфельд. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. - 742 с.

39. Б.А.Розенфельд, Л.М.Карпова. Флаговые группы и сжатие групп Ли. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1966. - Вып. 13 - с 168-202.

40. Е.К.Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи. I, ТМФ, 1979, т.40, 2, с.194-220;

41. Е.К.Склянин. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. Записки науч. семин. ЛОМИ, 1980, т.95, с.55-128.

42. Е.К.Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Функцион. анализ и его приложения. 1982, т.16, №4. с.27-34.

43. Е.К.Склянин. Об одной алгебре, порождённой квадратичными соотношениями. Успехи мат. наук. 1985, т.40, №2. с.214.

44. И.Е. Тамм. О кривом импульсном пространстве. Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1975, с.218-225.

45. И.Е.Тамм. Труды XII Международной конференции по физике высоких энергий. Атомиздат, т.2, с.229-231, 1964.

46. И.Е.Тамм, В.Б.Вологодский. Труды ФИАН, т.57, с.5-28, 1972.

47. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга. Успехи Мат. наук, 1979, т.34, 5, с. 13-63.

48. А.С.Феденко. Предельные пространства. УМН 1957. т. 12. с.235-240.

49. Л.Фраппат, П.Сорба, А.Сциаррино. Квантовые группы и генетический код, Теор. и матем. физика, т.128, №1, июль, 2001. с.27-42., physics/9801027, physics/0003037, physics/0007034.

50. P.Aschieri, L.Castellani. R-matrix formulation of the quantum inhomogeneous groups ISOq>r(N) and ISpqtr(N), Lett. Math. Phys. 1996. - pp. 197-211.

51. J.A. de Azcarraga, M.A. del Olmo, J.C.Perez Bueno. M.Santander. Graded contractions and bicrossproduct structure of deformed inhomogeneoys algebras, J. Phys. A, 30, (1997). 3069, (q-alg/9612022).

52. D.N.Ananikyan, P.P.Kulish and V.D.Lyakhovksy. St.Petersburg Math.J. 14, 385, 2003.

53. A.Ballesteros, E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace, M.Tarlini. An i?-matrix approach to the quantization of the Euclidean group E{2). J. Phys. A: Math. Gen. 1993. - V.26. - pp.7495-7501.

54. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M.Santander. Quantum structure of the motion groups of the two-dimensional Cayley-Klein geometries, J.Phys. A: Math. Gen., 26, 5801-5823 (1993); hep-th/9404052.

55. A.Ballesteros, N.A.Gromov, F.J.Herranz, M.A. del Olmo. M.Santander. Lie bialgebra contractions and quantum deformations of quasi-orthogonal algebras. J.Math.Phvs. 1995. v.36, pp.5916-5936. hep-th/9412083.

56. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M.Santander. Poisson Lie contractions and quantum (1+1) groups, hep-th/9403182.

57. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M.Santander. Quantum algebras for maximal motion groups of N-dimensional flat spaces. Lett. Math. Phys., 1995, pp.273 281.

58. A.Ballesteros, E.Celeghini, F.J.Herranz. Quantum extended (1+1) Galilei algebras: from Lie bialgebras to quantum R-matrices and integrable system. J.Phys. A: Math. Gen., 33. pp.3431-3444, (2000).

59. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M. Santander. Phys. Lett. 1996, B351, 215.

60. H.Bacry, J.-M.Levy-Leblond. Possible Kinematics, J.Math.Phys. v.9, №10 1968, pp.1605-1614.

61. F.Bonechi, E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace and M.Tarlini. J. Phys. A: Math. Gen.25, L939 (1992); Phys. Rev. Lett. 68, 3178. (1992);

62. T.Brzezinski. Crossed product structure of quantum Euclidean groups. In book: Quantum group simposium at group 21. Heron Press, Sofia, 1997, pp.283-288.

63. T.Brzezinski, S.Majid. Quantum group gauge theory on quantum spaces. Commun.Math.Phys. 157, (1993), p.591.

64. X.Calmet. B.Jurco, P.Schupp, J.Wess, M.Wohlgenannt. The Standard Model on Non-Commutative Space-Time, Eur.Phys.J. C23 (2002), pp.363-376; hep-ph/0111115.

65. E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace, M.Tarlini. The quantum Heisenberg qroup H(l)q. J.Math.Phys., 1991, v.32, №5, pp.1155 1158.

66. E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace, M.Tarlini. The three dimensional Euclidean quantum group E(3)q and its R-matrix. J.Math.Phys., 1991, v.32, №5, pp.1159-1165.

67. E.Celeghini, P.P.Kulish. Deformation of orthosymplectic Lie superalgebra osp( 1|4). J.Phys.A: Math.Gen., 2004, v.37, n.20. pp.L211 L216.

68. B.L.Cerchiai, J.Wess. q-Deformed Minkowski Space based on a q-Lorentz Algebra, Eur.Phys.J. C5 (1998) 553-566, LMU-TPW 98-02, MPI-PhT/98-09; math.QA/9801104.

69. B.L.Cerchiani, J.Madore, S.Schaml, J.Wess. Structure of the Three-dimensional Quantum Euclidean Space, Eur.Phys.J. C16 (2000), pp.169-180; math.QA/0004011.

70. B.L.Cerchiai, G.Fiore, J.Madore. Geometrical tools for Quantum Euclidean Spaces, Commun.Math.Phys. 217, (2001), pp.521-554: math.Q A/0002007.

71. The Chang, Quantum Anti-de Sitter Space, Eur.Phys.J. C17 (2000) 527-534, hep-th/9904091, MPI-PhT 99-15.

72. A.Connes, M.R.Douglas, A.Schwarz. Noncommutative geometry and matrix theory: Compactification on tori. JHEP 02. 003: hep-th/9711162.

73. S.Doplicher, K.Fredenhagen, J.E.Roberts. The quantum structure of spacetime at the Planck scale and quantum fields. Commun.Math.Phys. 172, (1995), pp.187-220, hep-th/0303037.

74. B.-D. Dorfel. Non-commutative Euclidean structures in compact spaces, J.Phys.A:Math.Gen., 34, №12, pp.2583-2594. hep-th/9907136. A Lie-algebra model for noncommutative space time geometry; hep-th/0204161.

75. D.Ellinas, J.Sobczyk. Quantum Heisenberg Group and Algebra: Contraction, Left and Right Regular Representations J.Math.Phys. 36, (1995), pp.1404-1412, FTUV 94-30.

76. L.D.Faddeev. Quantum completely integrable models in field theory // Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math. Phys. Rev. 1980. v. 1. pp.107-155.

77. L.D.Faddeev. Integrable Models in 1+1-Dimensional Quantum Field Theory. Les Houshes Lectures 1982. Amsterdam: Elsevier. 1984. 300p.

78. L.D.Faddeev, L.A.Takhtajan. Liuville model on the lattice. Lect. Notes Physics. 1986. v.246. pp.166-179.

79. M.Flato and D.Sternheimer. On a possible origin of quantum groups, Lett, Math. Phys. 22 (1991), pp.155 160.

80. R.Gilmor. Lie groups, Lie algebras and some of their applications. New York: Wiley, 1974. - 588p.

81. N.A.Gromov. Contractions of the quantum matrix unitary groups. Proc. XIX Int. Coll. Group Theor. Meth. in Phys. Salamanca, Spain, June 29 July 4, 1992.

82. N.A.Gromov. The matrix quantum unitary Cayley-Klein groups. J.Phys.A: Math.Gen., v.26, 1993, pp.L5-L8.

83. N.A.Gromov, I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. On contractions of quantum orthogonal groups, math.QA/0209158.

84. N.A.Gromov. I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups in Cartesian basis. Int. J.Mod.Phys.A, 1997. v.12. №1, p.33-41. (math.QA/9610011).

85. N.A.Gromov. Contractions of algebraic structures and different couplings of Cayley-Klein and Hopf structures // Turkish J. Phys. 1997. v.21. - №3. - pp.377-383. q-alg/9602003.

86. N.A.Gromov, I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups and algebras. 3p. ( Proceedings of WigSym5, Vienna, Austria, 25-29 August 1997).

87. N.A.Gromov, I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. FRT quantization theory for the nonsemisimple Cayley-Klein groups. (Proceedings of International Conference "Quantum Groups, Deformations and Contractions", Istanbul, Turkey, 17-24 September 1997).

88. C.Grosche, Kh.G.Karayan, G.S. Pogosyan and A.N.Sissakian. Free Motion on the Three-Dimensional Sphere: The Ellipso-Cylindrical Bases. J.Phys., bf A30, pp.1629-1657, 1997.

89. V.Hussin, A.Lauzon. Д-matrix method for Heisenberg quantum qroups, Lett. Math. Phys. 1994. - pp.159-166.

90. E.Inonii and E.P.Wigner. On the contraction of groups and their representations. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S. 39, pp.510-524. (1953).100.A.P.Isaev. Quantum group covariant noncommutative geometry. J.Math.Phys. 35 (1994) pp.6784-6801; hep-th/9402060.

91. A.P.Isaev, Z.Popowicz. Quantum group gauge theories and covariant quantum algebras, Phys.Lett. B307 (1993) p.353: hep-th/9302090.

92. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. J.Phys 29, 5940, 1996.

93. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosian, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. N-dimensional sphere. J.Math.Phys. 40, pp.1549-1573, 1999.

94. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosian, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of interbasis expansions for subgroup coordinates on N-dimensional sphere. J.Phys. A34, 521-554, 2001.

95. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Coulomb-oscillator duality in space of constant curvature. J.Math.Phys. 41, pp.2629-2657, 2000.

96. E.G.Kalnins, J.M.Kress, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of superintegrability in two dimensional constant curvature space. J.Phys. A34, 4705-4720, 2001.

97. P. Kosinski, P. Maslanka. The к-Weyl group and its algebra. In: From field theory to quantum groups, eds B. Jancewicz and J. Sobczyk, World Scientific, 1996, p.41; q-alg/9512018.

98. E.Kowalczyk. Lie Bialgebra Structures on Twodimensional Galilei Algebra and their Lie-Poisson Counterparts, Acta Phys. Pol. В 28, p.1893 (1998); math.QA/9704009.

99. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin. Quantum spectral transform method. Recent development. Lect. Notes Physics. 1984. v.151. pp.61-119.

100. P.P.Ivulish, L.D.Lyakhovsky and A.I.Mudrov. J.Math.Phys. 40. 4569, 1999.

101. P.P.Kulish, L.D.Lyakhovsky and M.A. del Olmo. J.Phys.A: Math.Gen. 32, 8671, 1999.

102. P.P.Kulish, V.D.Lyakhovksy and A.A.Stolin. J.Math.Phys. 42. 5006, 2001.

103. J.-M.Levy-Leblond. Une nouvelle limite non-relativiste du groupe de Poincare. Ann. Inst. H.Poincare, 1965. v.A3. JV>1. pp.1 12.

104. Li Yun, Sicong Jing. Realization of the N(odd)-dimensional Quantum Euclidean Space by Differential Operators. Commun.Theor.Phys. v.41, 2004, pp.175-178, hep-th/0311007.

105. A.Lorek, W4.Weich and J.Wess. Non-commutative Euclidean and Minkowski Structures, Z.Phys.С 76, p.375-386. q-alg/9702025.

106. V.D.Lyakhovsky and A.M.Mirolyubov. Contractions in deformed Lie-Poisson structures, Intern. Journ. Modern Phys. A, 12 №1, pp'.225-230, 1997.

107. V.Lyakhovsky and A.Mudrov. Generalized quantization scheme for Lie algebras, J. Phys. A: Math. Gen. 25, (7 October 1992). L1139-L1143.

108. J. Lukierski, V. Lyakhovsky, M. Mozrzymas. «-deformations of D = 4 Weyl and conformal symmetries; hep-th/0203182.

109. J.Madore, S.Schrame, P.Schupp, J.Wess. Gauge theory on noncommutative space, Eur.Phy.J. C, 16, pp.161-167, (2000). hep-th/0001203

110. S.Majid and H.Ruegg. Bicrossproduct structure of к- Poincare group and noncommutative geometry, Phys. Lett, В 334 (1994) 348 (hep-th/9405107).

111. R.L.Mallet, G.N.Fleming. J.Math.Phys., v.14, №1, pp.45-51. 1973.

112. P.Maslanka. The Eq(2) group via direct quantization of the Lie-Poisson structure and its Lie algebra. J. Math. Phys. 1994. v.35. .No 4. pp.1976 1983.

113. F.Meyer, H.Steinacker. Gauge field theory on the Eq(2)-covariant plane; hep-th/0309053.

114. D.Parashar, R.J.McDermott. Contraction of the G>,6 Quantum Group to its Nonstandard analogue and corresponding Coloured Quantum Groups. J. Math. Phys. 41, (2000), pp.2403-2416: math.QA/9911194.

115. M. de Montigny, J.Patera. Discrete and continuous graded contractions of Lie algebras and superalgebras. J.Phys.A: Math.Gen., 1991, v.24, pp.525-547.

116. M. de Montigny, J.Patera, J.Tolar. Graded contractions and kinematical groups of space-time, J.Math.Phys. 35(1), 405 (1994).

117. R.V.Moody, J.Patera. Discrete and continuous graded contractions of representations of Lie algebras. J.Phys.A: Math.Gen., 1991, v.24, pp.2227-2258.

118. R.M. Mir-Kasimov. The Snyder space-time quantization, q-deformations and ultraviolet divergences. Phys. Lett, B. 1996. v. 378, pp.181-186.

119. A.Opanowicz. Lie bialgebra structures for centrally extended two-dimensional Galilei algebra and Lie-Poisson counterparts: hep-th/9710028

120. P.Podles, S.L.Woronowicz. Comm.Math.Phys., 1990, v.130. p.381.

121. C.Quesne. Nonstandard GLh(n) quantum groups and contraction of covariant q-bosonic algebras. Czech. J. Phys. 48 (1998), pp.1471-1476.

122. E.J.Saletan. J. Math. Phys. 2, 1 (1961).

123. M.Santander, F.J.Herranz and M.A. del Olmo. Kinematics and homogeneous spaces for symmetrical contractions of orthogonal groups, in Proceedings of the XIX ICGTMP, Anales de Fisica. Monografias I, Vol. 1, p. 455, (CIEMAT RSEF, Madrid 1993).

124. P.Schupp, P.Watts, B.Zumino. The two-dimensional quantum Euclidean algebra. Lett.Math.Phys., 1992, v.24, №2, pp.141-145.

125. M.Schlieker, W.Weich, R.Weixler. Inhomogeneous quantum groups and their quantized universal enveloping algebras. Lett, Math. Phys. -27, 1993. pp.217-222.

126. N.Seiberg, E.Witten. String theory and Noncommutative geometry, JHEP 9909 1999 032; hep-th/9908142.

127. H.S.Snyder. Quantized space-time. Phys. Rev., Vol. 71. №1. pp.38-41, 1947.

128. J.Sobczyk. Quantum E(2) groups and Lie bialgebra structures. J.Phys. A 29 (1996), p.2887; math.QA/9603009.

129. J.Sobczyk. Kappa-contraction from SUq(2) to EK(2), Czech. J. Phys. 1996. - v.46. - pp.265-270; math.QA/9603008.

130. Stolin. Math. Scand. 69 57, 81. (1991).

131. E.Witten. Noncommutative geometry and string field theory, Nucl. Phys. В 268, p.253 (1986).

132. S.L.Woronowicz. Quantum SU(2) and E(2) Groups. Contraction Procedure. Commun. Math. Phys. 149. pp.637-652. (1992).

133. S.Zakrzewski. J. Phys. A: Math. Gen., 1994, v. 27, p. 2075.

134. S.Zakrzewski. Poisson Poincare groups, hep-th/9412099.

135. A.B.Zamolodchikov, Al.B.Zamolodchikov. Ann. Phys. 1979. vol.120, p.253. A.B.Zamolodchikov, Al.B.Zamolodchikov. - Nucl. Phvs., 1978, vol.B133, p.525. A.B.Zamolodchikov. - Comm. Math. Phys., 1981, vol.79, p.489.

136. P.Zaugg. The quantum two dimensional Poincare group from quantum group contraction, J. Math. Phys. 36, 1547-1553 (1995). hep-th/9404007.

137. P.Zaugg. The 7-Poincare quantum group from quantum group contraction, J. Phys. A: Math. Gen. 1995. - pp.2589 2604.