Квантовые однородные пространства, их представления и гиперкомплексные системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

РГ6 од

_ - юо~

^ На прапах рукопису

ЧАПОВСЬКИЙ Юрій Аркадійович

КВАНТОВІ ОДНОРІДНІ

ПРОСТОРИ, ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ ТА ГІПЕРКОМПЛЕКСНІ СИСТЕМИ

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат дисертації на одобуття наукового ступенл кандидата фіоико-математнчних неук

Київ — 1995

Науковий керівник: доктор фіокко-матсматичних наук,

професор САМОЙЛЕВКО Юрій Стефанович

Офіційні опоненти: доктор фічніо математичних наук,

професор КЛІМИК Анатолій Уиноеим

кандидат фіаико-математнчнмх наук, ПОДКОЛЗШ Глеб Борисович

Провідна установі’. Київський університет імені Ікраса Шевченка.

Захист відбудеться (і 1995 р. о М годині на насіданні

спеці а-гіоованої ради Д 01.66.01 при Інституті математики ИАН України оа адресою: 252601 Київ - 4>МСИ, вуя. Терещенківська, 3.

0 дисертацією можна оонайомитиси в бібліотеці інституту.

Автореферат роокя&но /2

Вчений секретар -спеціалізованої ради,

дсітор. фюико-матеиатнчянх наук

. І • .

ГУСАК Д.В.

Актуальність теми.

Робота належить до одного іо актуальних і таких, що набувакт» швидкого роовитку напрямків функционального аналізу - аналізу на квантових групах і квантових однорідних просторах.

Квантові групи були запроваджені В.Г. Дрінфельдом (1986)

М. Длгімбо (1986) і С.Л. Вороновичем (1987) у ов’локу о квантовим мето дом зворотноїоадачі роосіюваннл. Швидкий роовитож цього напряму оу-ыовдено оастосуваннямн в точно роов’явуваннх моделях математичної фіоиїм (С.К. Скляній, Л.А. Тагт&джян, Л.Д. Фаддеев), теорії спеціальних Вивнкіи, Л.У. К^мв, Т. Курнвіидер таія.), теорії ву-

слів та струн (В. Джоне), моделях іаантогої теорії поля (А!С' Нлятмжи - - -та ін. ), теорії зображень груп над кінцевими полями (Н.Ю. Решетіхіи,

Ж. Лосодог).

Одним із напрямків роовитку теорії квантових груп стадо узагальнення поняття однорідного простору, приклади яких були рооіллнуті в роботах Л.Л. Вавсмана і Я.С. Сойбельмана(1988), М. Наумі, X. Ямадаі К. Мімачі (1989) та ін. Гіперкомплексні системи, впроваджені Ю.М. Береоансымм та О.Г. Крейном (1950), узагальнювалися дня квантових однорідних просторів компактних квантових груп в роботах Л.Й. Вайнермана і І. Вейс (1991), Т. Курнвіидера ( 1991 ) та ін

Вадливою у додатках е теорія оображень квантових груп, квантових однорідних просторів, квантових універсальних огортуочнх алгебр.

Ці питання вивчалися в роботах С.Л. Вороновича, Я.С. Сонбельмана С.О. Левендорсьюго, А.У. Кліммка, В.А. Гроон, І.І. Качурнка, Ю.С. Сл мойденка, В.Л. Остроэського, П.С.Т. Йоргенсон* та іи.

Мета робота.

Відомо, що при роогляд) алгебри функцій на групі множина функцій, що інваріантні відносно дії деякої підгрупи, породжує гіперкомплексну систему. В разі, тцо гіперкомплексна система комуіатнвна і падоволь-Яае додаткові умови, їй відповідає дуальна по Понтрлгіиу кстутаїивни

гіперкомплексна система. Зокрема, «що баоис гіперкомплексної системи е компактним, баоис дуальної гілсркоюіассної системи є дискретним.

У випадку компактних квантових груп гіперкомплексна система о компактним баомсом та дуальні до неї гшергруппа о дискретним базисом була обудована Л.Й. Вайяермамом і Г. Векс для 31/ч(2) та її діагональної підгрупи (1991). Пара Гедьф&нда, що виникне у цьому випадку, строга, тобто С*-алгебра, іцр порождена б ііи варіант нимн елементами, е комутативно», та кокноженнд, що ивд« оі-ортху функціоналів, г також кохомутативним. У випадку яестроюї пари Гельфаида, тобто кош С*-алгебра не е комутативною, конструкція дискретної гіперкомплексної системи (дискретної гілергрупн) була надана Т. Курчвіндером (1992).

Метою рооділу 1 дано* роботи с узагальнення конструкції гіперкомплексної системи на більш нагальні випадки, коки множення і комко-женіїя не е комутативним і кохомутативним відпохідно. Одержане узагальнення дооволмло ш рооделі 2 н «лести мові приклади, що виникають дія пари компактних квантових груп і «-епімерфюму, а також пари ком-піистксї квантової груші і коідеаяу у жванто«ш універсальній огортуючій алгебрі.

Для некомяахтнях квантових груп приклад гіперкомплексної системи побудовам Л.Й. ВгиЬіерманомдля £^(2) (1994)- Побудова теорії гіперкомплексних систем в а&галміому випадку е важкою. *й«, наприклад, Вороновичем (1991) показано, що квантова група 517,(1,1) не існує на рівні *7*-алгебри. ТЬму меток» роодоіу 3 була побудова С*~лягебри Хопфа, ідо не е компактною квантовою трупою, вивчення оображень та дослідження її властивостей. -

Методжха досліджених.

В робо'л аккоркстовуютьгя методи схінчеянови мірних сооображеяь компактних квантових груп, теорія гіперкомплексних систем, теорія д-спеціальних Функцій, теорія зображень *-алгебр та теорія операторів.

з

Наукова вовнова роботи.

• Запроваджено поняття компактної квантової гіперкомплексної си- -стеми. Доведено, їцо при дьяклх додаткових умовах комутативна квантова гіперкомплексна система породжує гіперкомплексну систему о компактним бмзисом, а кокомутатмвна -- о дискретним.

• У випадку компактної кваїпоної трупи і коідеалу визначено аналог інваріантного інтеграла на підгрупі і доведено його існування прн певних умовах на хоідеад.

' '“г^^. оп’яаАммх о квантовими аналогами кар (5У(г«), и(п)), (і/(п), 5С(п)) та їх

властивості.

• Побудована <7’-алгебра, зв'язана о 5Ї7,(1,1), обчислюються усі її неавідні *-зображення і доводиться, що вона б С*-алгеброю типу ї.

• Доводиться, що на впровадженій С7*-алгебрі існує структура С*-

алгебря Хопфа.

• Доводиться, що двопараметрнчна деформація алгебри функцій на одиничному диску є однорідним простором відносно кодії побудованої С’-алгебри Хопфа.

Практична цінність.

Одержані результати ыадоть теоретичний характер і можуть знайти застосування дія подальшого роовитку теорії компактних квантових гіпергруп, д-спеціадьних функцій, а також теорії некоші&ктних кваято-

внх груп, однорідних просторів та їх додатків у теорії точі;о регз’япу»*!™» модггеІ! иагенатнчноі фіпнян.

Апробація роботи. Основні результати доповідалися на

- міжнародній математичній шкота "Алгебраїчні і геометричні о а- ■ собн в математичній фізиці” (Україна, Крим, Кацівелі, вересень 1993 року)

- міжнародній конференції " Класична та квантова геометрія однорідних просторів ” (Росія, Москва, серпень 1994 року) .

- семінарі по теорії вображеиь в Інституті теоретичної фіонкм НАН України

- семінарах по теорії оображень *-аягебр в Інституті математики НАН України.

Публікації.

По темі дисертації опубліковано 4 роботи, дві о яких сумісні. Винесені на оахнст результати належать автору. Так, в работі (1] автору належить обчислення прикладу. Робота [3] написана сумісно о науковим керівником, якому належить постановка оадач а автору - їх вирішення. Роботи [2] та [4] написані самостійно.

Список опублікованих робіт одводаться нижче.

Структура і обсяг роботи.

Дисертація складається ю вступу, 6 параграфів (3 розділів), списку літератури, що містить 62 найменування. Обсяг роботи 106 сторінок машинописного тексту.

Основний вміст дисертації. .

У вступі дається стислий огляд досліджень бхиаьхих по темі дисертації, обгрунтовується актуальність роботи, формулюється мета досліджень та дасться перелік основних результатів.

Темою дослідження в роодигі 1 е побудова компактної квантової гіяер-групи.

В §1 наводяться попередні відомості о теорії коалгебр, алгебр Хопфа, теорії компактних квантових груп та їх коообр&жень.

В $2 вводиться вионачення компактної квантової гіпергрупн. Для цього роогляд&сться С9 - алгебра А о одиницею, що має хоінволютивну

структуру коакгебри, тобто існує гоасоціатнвне комноження 5 : А '

А ® А, «ошволюція * : А -* А та коодиннця г : А —* С,________

Визначення 2.7. (А, 1, *, 5, е, *) напивається квантовою гілергру-пою, якщо (А, -у 1, *) с ін волюти вною алгеброю, (А, 6, £, *) с іоінводаотні»-ною коадгеброю о додатним 5, додатно визначеним • (о • 6 е додатно визначений елемент якщо а, Ь додатно визначені), та виконуються такі умови:

(а • 6)* = а* ■■ 6*, 5 о * = (* ® *) о 5,

•- — - - . 5(1} - ?<йі. ^

Компактна квантова гілергрупа вкзпгчаеться талтш ттптом, Визначеная 2.8. Нехай (Л, •, 1,*,6,е,*) - квантова гілергрупа. Припустимо, що існує повна сім’я неовідних скінченновимірних кооображень (Уа, іа), де а пробігає дискретну множину <?, та лооначимо через 5і(А) С*-алгебру, у яхої /4 є щільною. Тоді А — (51(у4),*,і,*,5,є,*) називається компактною квантовою гіпергрупою.

Умова, щоб існувала повна сім’я скінченновишрпях кооображень еквівалентна роокдаду

а-£<3

де Q - множина неовідних унітарних кооображень разшрності <іа, і? -матричні елементи кооображень.

Частковий ияпадком компактної квантової гіпергрупн є компахтиа квантов* група. Доведено наступний результат.

Твердження 2.1. Нехай (5і(Л), •, 1,*, Д, е, 5) - гоїтаїтн» квантова група. Визначимо $ » Д, * = * о 5. Тоді (5і(Л),-,1, *,£,«,*) є компактною квантовою гіпергрупою.

Особливо роогляд&ються випадки коюііут&тнвної і комутативної кв&н-тових гілергруп, тобто таких, що 5(а) = П о 6(а) ( тут П : А —► А визначено як Ща ® 6) = 6 ® а ) і, відповідно, аі = Ьа , а, Ь 6 А.

Лема 2.Т. Цехам А - кохомутагивка квантова гіпергрупа. Тоді < 1 джж всіх а Є Q- ' .

Не»ай А - кохомутативна квантова гіпергрупа і Q - множина нееквівалентних неовідннх унітарних «ооображень. Нехай Q наділено дісжрет-иою топологією. Якщо існує інваріантний інтеграл на A v тшм, що

‘'(х» • Хп) Ф о -* Хт - Хн. (*)

т^д> Q « бадисом дискретної гілергрупн. (теорема 2.1).

Теорема 2.2. Венам А - комутативаакваатовагіпергрупа тлР -спектр комутативної С*-алгебри А. Припустимо, що існує інваріхатня і інтеграл такій,і що виконується (*). Тоді Р є баоисом нормальної гіперком-ШОДСЯОЇ системи L)(P, І’) о бооисвою одиницею с.

0 теорем 1.1 і 5.2 одержуємо наступну теорему

Теорема 4.3. Нсхаі А - комутативна і кохомутативна компактна квая-това гія^р* рупа. Нехай Р - спектр комутативної С*-аягебри А та Q

- множина всіх неовідннх унітарних нееквівалентних хоообр&жень А. Припустимо, що існує інваріантний інтеграл v, що о вдовольняє умов*

m .

Hfy • (*«)’) = b'tbikCjn (*»)

де і'; - матричні елементи, сц Є С. Тоді існують дві дуальні одна одні» структури: комутативна гіперхошізехиа система о компактним баоисом Р і дискретна гіпергрупа о баоисом Q. Харлктерн гіперкомплексної системи, роотхянуті як функції на Q, с характерами гілергрупн.

і

В роодіді 2 роогяад&ються випадки пар Гельфанда і ов’яоаних о ними прніладів гіперкомплексних систем.

В §3.1 роогдяд&ється пара компактних квантових груп Аі, Aj о епімор-фіамом х■ : Аі —* Аз та квантові однорідні простори A\fA% і і4з\і4і. Вс'і ипч.шк.^і і.са деякі властивості однорідних просторів (геми 3.3 та 3.4). 'Гмож доведена

Леиа 5.5, Наай Лі, Аг - коипвхтпі шелягові групи та ж ■. Ах Ац епіморфіом *-алгебр Хоафл. Нехай (У^, її) буде удіт&ршш жоообрахсв~ вам твантовоГ групи Аг. Тоді існує унітарне жоообрлжевшя іьіштової груп» А2 та ортопориовані баон В1 — тя &1 - {е?}?іі (<і\ > &і)

таю, що

// о

•\М

" Л< ~ -—і---

Я* Уг*знз*\ ”“и 4 —-—— -

гздгссго С~

>»*

г»ф»-

I - одггвігтаа матриця раошрпбсті сії — с/3. Г.%гоп мнемо, що

і\-Ц і\

ЕЕс.;,

*€9 »ші і*»

«€ф>» 1 >*1 Аі\Аі(Аг = £ ]£ £ С*?і>

■ «£ф ю1 у«и

де С] - це длгожігаь утіх яеовідлнх хояобр&х'їиь ,4і.

У §3.2 для пари жомлвжтннх хв&нтобнх груп Лі, А3 та ж . А і —» Ла яа алгебрі швйріанпілк «а>ементів ЛДЛі/Лз вводиться їошкшєння б та

ВОШВОЛЮЦіа

ік = * о 5.

(•**)

ТЬзрдіхстгя 8.1. Нехай 4і, Лі - соютггтгі ггггтогі груяя і * : Л1 —*■ Ла - гші/орфіш. Яехяя хошговетш і жоіпваяюцш ояд&иі (***) Тоді А = 5((Ла\Лі/Лз) - хошгаллга хваїгтоаа гіиергрул», прячому ісмус ія-яарштпт Ьтгрля ва Л тажяя, що умова (*) і (**) шяхоауягться.

Комлахтиь квантова гіяергрупа А наомв&сться тіпантоаои ппергру-пок>, асоційовано» о парою Еомпахтянх іпантоглх груп (Л], Л3). В разі,

о

ЯКЩО КОМЛаХТНа КВАНТОМ гілергрупа А хохомутатмвна, пара (л1( А%) на-онвасться парою Гецфмд» компактних квантових груп. Якщо А кожо-мутатнвна і комутативна, А навивається строгою парою Гехьфанда. У цьому випадку іо теореми 2.3 безпосередньо випливає

Теорема 3.1. Припустимо, що {АиАі) с строгою парою Гежьфяццл. Нетля ф пооначає множину усіх веовідиях хооображень компактної хваїг-тової гілертрупи А. Тоді <5 є дискретною гіпергрупою. Якщо (Аі, А2) -строга яара Гельф&нд* та Р - електрум 5<(у4), тоді також існус дуальна ломутагаияа гіперхомялежена система о компактним баоясом Р.

Як прикладу $3.3 рооглядається пара (5^в(п), ич{п— 1). Покаоуєтьсл, що ця пара е строгою парою Гельфацда (теорема 3.2). При Цьому, гіперкомплексна система має компактний баоис 5рес(Л) = {0} и {?2"‘}<.ех> а дуальна до неї дискретна гіяергрупа мас баоис 2+. Характери гіперкомплексної системи о компактним бааисом і дискретної гіпергруяи пропор-ціоіальні малим ц - многочленам Якюбі (теорема 3.3).

В (4.1 рооглядаетьел алгебра Хопфа А і коідеал Мо в дуальній алгебрі Хопфа А. Дається визначення множини лівші варіантних, правоін-варіантних та інваріантних елементів в А - Мо\А, А/Мо і Мо\А/Мо, що є щдалгебрами в А. ІЬкож рооглядається множина Аг, максимальна в Й, така, що М\А = Мо\А ( А/М « А/Мо і М\А/М в М0\А/Мо відповідно).

Лема 4.2. Якщо множина & С А максимальна відносно М<>\А ( А/Мо, М0\А/Йа ), тоді А - щцалгебра А о одиницею І Є АГ.

Далі роогллдаютьс* хівоін варіантні, правоін варіантні і інваріантні елементи £ Є відносно М.

Лема 4.5. Мяажина ліваінларіантннх елементів М\А ( яраааіяваріаяіг яях елементів Ч/АҐ ) « лівим (оравам) щеалом в Д. Мяажина інваріант лих елементів М\А/М е пщялгеброкз у А. Якщо у іі ісяукггь еЛВМевТА інші ніж>5іга І, &\А/]&.

Лема 4.7. Для М і М\А/Й и&сио

_________ АипМ П(М\А/М) < 1.

Па підставі леми 4.7 вводиться вионлчення іняпріантного інтеграла як елеїіепта Є &П(М\А/М). Далі харажтериоусться алгебра М\А/М

о припущенням, що інваріантний інтеграл існує.

Лема 4.8. Нехпіг іт-.%рі>итш>“ інтеграл іслут. Е,~М‘?«гг г> Р Л шигтевть до пщялгебри М\А/М то,пі і тільки годі, хол;; існус пі Є А тлх’Щ що

Па цін підставі доводиться теорема.

ІЬорсна 4.1. Нехай (Й\П/М)" аооипчає ииожтіу всіх лілій "мх фут-дію палів на М\А/М. Тоді дйшпгі простори; {М\П/]Ф П Н тл М\Й/М іооморфю.

Дала прнпусж&ється, що Л - ^-алгебра Хопфа. Нехай Мо с жоідел»

ком в А та. ІЙГ с ншзшгшіїш підносно Мо\А/Мо- То/-; &{0\А/&а * «•-гадалгйбраю .Д тоді і тільки тоді, коли 5~1(АІ'*) С М (лемо. '♦.б). Дяя компактної дшантової групи /і виконуєті^гя наступна

Лема *1.10. Нам А - компактна, хвазтова груяя, Мо - гой»'"»-® і -ядтебри, мажеямалыга відносно Мо\А/М0. Покладемо Мх — Л/ П А/* г* щз;;гг}хті'ію, що Мо\А/Мо — Мі\А/М]., Тоді для будь-якого унітарного іоообр»?т^!пгл (Каі і,) /1 ісд^г тага бааа у Уа, що

"\л = £££с;»,. ^/Л"£Е£сі^.

лг\/і/аг = ЕЕсс,-

Впкоряегояу»чн цю леїіу доводиться наступна

ЇЬердження 4.2. Нехай А - шомполтяв квантова групо, М - алгебра, максимальна відносно М<\А/Мй. Припустимо, що для М\ — М ІЛ М" маємо М\Н/М — Мі\Н/Мі. ТЬді і/#, о адалин

рй = е о *,

де іг : А—* М\А/ІЇІ - проекція, є інваріантним ште/рллои відносно М. Інваріантний інтеграл с станом.

У $4.2 будується компактна квантова гіпергрупа о& допомогою визначення на. алгебрі інваріантних елементів Аіа\А{Мо комноження 6 та коін-волюції *:

6 = (ісі ® ® іі) о (ісі & £) о і, * = * о 5.

Нехай Л = Мо\А/Мо і ЗЦА) - поповнення А відносно <7*-норми | • | = впрр ||р(-)Ц, де р - неовідне оображення А. Тоді (5і(Л), •, *, 1, б, *, е) є компактною квантовое гілергрупою (твердження 4.2).

Аналогічно випадку нари компактних квантових груп для пари (А, Мц), де А - компактна квантова група і ЛГо — юідєал, що задовольнить умовк леми 4.10, вводиться поняття пари Гельфанда та строгої паря Гельфаада. Має місце теорема, аналогічна теорема 3.1.

Теорема 4.2. Некая {А, Ао) - пара Гельфаада. компактзюї квантової групи та жоідеалу, що оадоаажьвяе умови леми 4.10, Нехай (? пооиаяае шюжжиу усіх неовідннх коооброжень компактноїквантової гіпергрупн А. Тоді <? с дискретною гіпергрупою. Якщо (А, А/0) -строга пара Гельфаада та Р поолачае спетр Д, тоді також існує дуельна комутативна нормальна гіперкомплексна система о компактним баоасом Р.

У $4.3 рооглядається приклад квантового аналогу пари (ич(п), 50,(п)). Показується, що кЫдеал АІЬ> відповідний 50,(п), овдовольняє умови леми 4.10, пара (ОДп)> ^о) « строго» парок» Гельфанда і може бути оа-стосомаа теорема 4.2. Характерами гіперкомплексної еястеми о компактним баонсом та дуальної дискретної гіпергрупн с симетричні мво- с гочяеня Макдональда.

У роодіяіЗ визначається і досліджується (7*-аягебра Хопфл, вв’язала п.9//,(1,1)---------------------------------------------------

В §5 вводиться ♦-алгебра Ач яса порождена гоїераторами т, у, і*, у*, ідо ов’яшші співвідношеннями:

(і - ущу) - -ГЧі - УУт) = 0 ~ ?3)0 - УУ*)(1 - у'у),

XX* 4- (1 - «Г^уу* = 1, а*г(1 + (д~3 - 1)у*у) = 1,

• _____\_______________________ *и»' := сРи. '

Вивчаються неовідні зображення Ач. Зсіреигц поїаоуєтьсз, ::;о існу-

ють серія одпопараметрпчшос одновииірннх зображень, серія двопара-цетрнчних одновішірннх зображень та серія двопараметрнчннх песхіп-ченновншрнмх зображень на (теорема 5.3). Усі зображення є зображеннями обмеженими операторами. В теоремі 5.2. показується, ідо С* норма на Ач породжується нориою, ідо визначається ссрігю несхін-ченновншрішх зображень. Позначившії черет? (7'*-лог70";;с::::л А,,

маємо

Твердження 5.1. С*-алгебра 5((Л?) с ОС Я — О'-алгеброю і, тому, С“-&лгеброю типу І.

Далі поіазуетьсл, що Л7 іооморфнадеяхін логаліоації алгебри 577,(1,1) (теорема 5.3).

Нехай відображеним Д : Зі(Ля) —* 5((/1,) ® ЛМ^) та е : 5<(ЛТ) —» С визначені

Д(г) = (г ® у + 1 ® 1)_1(г ® г + у « г).

Д(г*) = (з* ® а* + у* ® **)(«* ® у* + 1® І)"1 Д(у) = (г ® у + 1 ® 1)-1(г ® у + у ® 1),

Д(у*) = (х* ® у* + у* ® 1)(г* ® у* + 1 ® І)-1, ф) = 1, ф')= 1,

<у) = 0. Ф‘) = 0.

ТРеорома 5.4. Відображення 6 і і вистачають на 5t(j4g) структуру <7*-ллгкбря Хоафл.

У §6 poor.вдається 5<(С^1?), 0 < g < ], 0 < р < 1, (р,/* ?£ (1,0)) •

- двопараметрична деформація алгебри функцій на одиничному диску, па була вионачена С. Клімеком та А. Лісневським. Ця алгебра, мас генератори w та w*, що задовольняють співвідношення

9_1(1 — ш*ш) — д(1 — и>ш*) ss ^і(і — шш*)(і — w'w).

На 5і(Сул) вионпмено «одою

<5(ш) = (z ® ш + 1 ® 1)_1(х ® w + у ® 1), і 6(иі*) -- (х* ® w* + у* ® 1)(г* ® tu* + 1 ® І)”1.

Цент)>альмим результатом §6 є наступна

Теорема в.1. Відображення 5 втзн&чае ял St((7М(Ї) структуру лівого хомодуллг лад С*-елгеброю Хоафл St(A4).

Автор висловлює глибоку вдячність Юрію Стефановичу Самойденку і Леоніду Йосиповичу Ваинерману ол постійну підтримку, інтерес та увагу до роботи.

Основні реоультати дисертації опубліковані у наступних роботах:

1 Cbapovsky Y.A. and Vaineratan L.I. Hypergroup structures associated with a pair of quantum groups (SU4(n), U4{n — 1))// В Methods of Functional Analysis in Problems of Mathematical Physics. — 1992. —

P. 47-69.

f ■ ' ' •

2 Cbapovsky Yu.A. Gelfand pair associated with a Hopf algebra and a coidnal!/ Укр. мат. журн. -1994. - 46, N 8. - P. 1055-1067.

3 Samoilenko Yu.S., Chapovelcy Yu.A. Two parameter quantum disc and corresponding dynamical system// Abetracte of School Conference ”Dif-ferr.ntial equations: bifurcations and cbaoe”. - Київ, 1994. - С. 90

4 Chapovsky Yu.A. A Hopf C*-algebra associated with an action of _ Slfq(l,l) on a two parameter quantum disc// Nonlinear Mat hem, Physics. - 1995, - 2. - P. 27-45.

Чаповсзші Ю.А. "Квантовые однородные пространства, их предста-■“«“« м гмперкомпаексные системы”.

Д-ІСССр"'*”" учёной а - ««ммигг»-

ыатическнх науж по специальности 01.01.01 - матепатнческян аналмо. Институт математики НАН Украины, Киев, 1995.

Диссертация посвящена построению н изучению соплах тише квантовых гипергрупп, вооинкажпцих при рассмотрении квантового аналога пары компактных групп. При втом детально рассмотрены случая пары компактных квантовых групп и пары компактной квантовой группы и коидеала в квантовой универсальной обертывающей алгебре. Иоучен пример С*-аягебры Хопфа, не являющейся компактной квантовой группой.

Chapovsky Yu.A, "Quantum homogeneous spaces, their representation», and hypeicomptex systerna”.

A Doctor of Philosophy thesis, subject 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences, Kiev, 1995.

The thesis is devoted to a construction and study of compact quantum hypergroups, which appear for a quantum analogue of a pair of compact groups. The cases of a pair of compact quantum groups and a pair of a compact quantum group and a coideal in the universal enveloping algebra

are considered in detail. An example of a Hopf <7*-algebra, which is not a compact quantum group is studied.

Ключові слова:

алгебра Хопфа, коідеал, кооображеннл, кошіахтиа квантова група, квантовий одноіуідчяй простір, гілергрупа, гіперкошілехсна система, д-спеціальні функції

Підп. до друку 11.05.95. Формат 60 x 84/16. Папір друк. Офс. друк. . Уи. друк. арк. 0,93. Ум. фарбо-відб. 0,93. Обл.-вид. арк. 0,7.

/

ь

Тираж 100 пр. Зам. Безкоштовно.

Віддруктаио в Інституті математики НАН України 252Г'01 Київ 4, MCU, вуя. ТерОДшківська, З