Квантовые теории поля в многомерном пространстве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2009-49

На правах рукописи УДК 530.145; 539.12.01

ВАРТАНОВ Григорий Сергеевич

КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2009

003468033

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Д.И. Казаков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор И.Я. Арефьева

доктор физико-математических наук профессор Ю.М. Письмак

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова

Защита состоится "1Х> " Мер! 2009 г. в ч. ÖO мин

на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московская область, ул. Жолио-Кюри, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛТФ ОИЯИ. Автореферат разослан -Ii "O-U^gAft 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук А.Б. Арбузов

га - л У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы.

Основу современных представлений о физике микромира составляет так называемая Стандартная Модель (СМ). Стандартная Модель описывает три типа взаимодействия: электромагнитное, слабое и сильное, а также описывает поля материи: кварки и лептоны. Однако, существует четвертый тип взаимодействия- гравитация, которая не входит в Стандартную Модель, что говорит о том, что СМ не является фундаментальной теорией. Помимо этой проблемы существует расхождение некоторых результатов на уровне двух стандартных отклонений, получаемых из теоретических расчетов в СМ, и экспериментальных результатов. На данный момент существует несколько теорий, содержащих Стандартную Модель в качестве низкоэнергетической эффективной теории, включающих гравитацию и приводящих к теоретическим расчетам, которые лучше согласуются с экспериментом.

Одна из таких теорий- суперсимметричная теория, объединяющая все четыре типа взаимодействия, появилась около сорока лет назад. В данной теории имеется дополнительная симметрия между бозонами и фермионами. Именно эта симметрия помогает объединить гравитацию с другими типами взаимодействия. Наиболее популярной феноменологической моделью в суперсимметричных теориях является Минимальное Суперсимметричное расширение Стандартной Модели (МССМ), теоретические расчеты в которой согласуются с экспериментальными данными лучше чем в СМ.

Можно пойти и другим путем: пытаться добавлять не дополнительные симметрии, а дополнительные пространственные измерения. Однако, тут же возникает следующий вопрос: мы знаем, что пространство, в котором мы живем, геометрически трехмерное, а координата времени представляет собой еще одно измерение. То есть наше - макроскопическое - пространство четырехмерно, и, следовательно,

мы должны ограничиться четырьмя измерениями. Однако, если представить, что четырехмерное пространство есть всего лишь некоторая гиперповерхность в многомерном пространстве, которая называется браной, а все частицы и переносчики взаимодействия кроме гравитонов локализованы на этой бране, то такая модель может быть реализована. К тому же если только гравитация является единственным взаимодействием, которое может распространяться в многомерном пространстве, то это является объяснением малой четырехмерной константы связи для гравитации по сравнению с другими константами взаимодействий, так как константа связи обратно пропорциональна сфере в многомерном пространстве с характерным размером дополнительных измерений. Можно попытаться представить и другое объяснение того, что мы не наблюдаем многомерного пространства. Представим, что частица находится в потенциальной яме, тогда при малых энергиях она будет двигаться внутри ямы. Но как только мы придадим частице большую энергию, она может покинуть потенциальную яму, и нужно рассматривать движение частицы уже в многомерном пространстве. Аргументом в пользу многомерного пространства может служить теория струн, которая претендует на роль фундаментальной "теории всего", и в которой пространство имеет 26 размерностей в случае бозонных струн или 10 в случае суперструн. Таким образом, теории в дополнительных измерениях являются также хорошим кандидатом на роль Новой Физики за пределами Стандартной Модели.

В последние годы такие теории привлекают большое внимание многих ученых. Различные модели, основанные на понятии локализации на бране, представляют широкие возможности для феноменологических приложений. Однако, отсутствие непротиворечивой теории поля в дополнительных измерениях вынуждает придерживаться подхода Калуцы-Клейна (КК) на древесном уровне и предполагать, что некоторая фундаментальная теория, например, выше упомянутая теория струн, решает все проблемы с расходимостями при высоких энергиях. Ниже обсуждаются основные идеи подхода КК, которые заключаются в представлении многомерной теории в виде эффективной четырехмерной

теории за счет разложения поля, распространяющегося в многомерном пространстве, на бесконечное число эффективных четырехмерных полей, которые называются КК модами, распространяющиеся уже только в четырехмерном пространстве. Однако, при правильной перенормировке эффективная четырехмерная теория никогда не забывает о своей многомерной природе.

Одной из главной проблем теорий в пространстве с дополнительными измерениями является неперенормируемость теории по константе связи, которая в многомерном пространстве является размерной. Принято, что вне древесного приближения нельзя использовать неперенормируемые взаимодействия из-за неконтролируемых ультрафиолетовых расходимостей. Можно, конечно, придерживаться идеологии эффективных теорий, предполагая, что все проблемы с ультрафиолетовыми расходимостями решаются в более фундаментальной теорий. В этом случае различают так называемые "существенные", "граничные", и "несущественные" операторы, следуя подходу Вильсона к ренормализационной группе, так что при низких энергиях можно избавиться от вкладов, получаемых от несущественных операторов, которые степенным образом подавлены по отношению к существенным и граничным операторам, которые являются перенормируемыми. Однако, это не подходит для многомерных теорий, так как в этих теориях нет существенных и граничных операторов. Все операторы являются несущественными или неперенормируемыми, и от них нельзя избавиться. Следовательно, нужно найти способ для того, чтобы можно было работать с такими теориями и получать физически осмысленные результаты.

Очевидно, что на древесном уровне нет никаких проблем, потому что можно не учитывать вклад от неперенормируемых операторов, которые имеют отрицательную массовую размерность, и, следовательно, при больших энергиях они степенным образом подавлены. Однако, при пертурбативном разложении сталкиваемся с проблемой, характерной для всех неперенормируемых взаимодействий, а именно появление бесконечного числа операторов нового типа, которые не повторяют изначальные члены лагранжиана.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является построение самосогласованной квантовой теории поля в многомерном пространстве, а также изучение феноменологических следствий построенной теории. Научная новизна и практическая ценность.

Полученное перенормируемое 1 /Ы/ разложение для многомерных моделей может служить основой для дальнейшего более детального изучения многомерных теорий, а также для получения феноменологических следствий, которые можно будет сравнивать с экспериментальными данными с предстоящего эксперимента по физике высоких энергий в ЦЕРНе.

Полученные результаты позволяют дальнейшее исследование теорий с высшими производными, для которых существует мнение, что такие теории являются нефизическими вследствие нарушения унитарности из-за наличия состояний с отрицательной нормой. Было показано, что даже при наличии комплексно сопряженных дополнительных полюсов теория может оставаться унитарной.

Полученное выражение для однопетлевого контрчлена в произвольной скалярной теории с взаимодействием без производных и вычисления ведущих асимптотик для контрчленов в младших порядках теории возмущения показали, во-первых, что даже в непернормируемой теории ведущие асимптотики все же определяются однопетлевым контрчленом. Во-вторых, используя выражение для однопетлевого контрчлена, можно суммировать ведущие асимптотики. На защиту выдвигаются следующие результаты:

• В калибровочной теории с инфракрасно-стабильной точкой получено дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния через один глюон, которое убывает с ростом энергии в соответствии с требованием об унитарности теории и в разногласии с предсказаниями в Калуца-Клейновском подходе.

• Получено выражение для однопетлевого контрчлена в произвольной скалярной теории с взаимодействием без производных. Используя

найденный однопетлевой контрчлен, просуммированы ведущие асимптотики, не зависящие от произвола в вычитании операторов более высокой размерности, в младших порядках теории возмущения. Только в одном случае скалярной теории ц>4 в пространстве Б = 6 суммирование ведущих асимптотик привело к простой функции.

• Построено перенормируемое 1 /разложение для теорий в многомерном пространстве. Эффективная константа связи в этой теории является безразмерной и эволюционирует логарифмически, и все расходимости поглощаются переопределением волновых функций и константы связи. Исходная константа связи играет роль массы.

Показано, что в размерностях £) = 7,11,... теория остается унитарной несмотря на наличие состояний с отрицательной нормой (госты), что происходит за счет взаимного сокращения вклада в мнимые части амплитуд между комплексно-сопряженными гостами.

• Построено дифференциальное сечение упругого рассеяния кварка на электроне и показана аналогия с результатом из низкоэнергетической теории вблизи ИК стабильной точки. Получено раннее объединение констант связи для Стандартной Модели (СМ) и для Минимального Суперсимметричного расширения СМ (МССМ) на масштабах 1012 ГэВ для СМ и Ю10 ГэВ для МССМ.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на:

• Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, 2005, Москва-Долгопрудный.

• International School of Subnuclear Physics, 2006, Erice, Italy.

• Секция ядерной физики Отделения физических наук Российской Академии Наук 2007, ИТЭФ, Москва.

• SUSY'07, Karlsruhe, Germany.

• XII конференция молодых ученых и специалистов 2007, 2008, ОИЯИ, Дубна.

• Секция ядерной физики Отделения физических наук Российской Академии Наук 2008, ИФВЭ, Протвино.

• Семинаре отдела "Квантовая теория поля" Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Дубна.

Публикации.

Диссертация написана на основании содержания 8 работ. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 129 страниц машинописного текста, включая 32 рисунка и список литературы из 89 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор основных работ и результатов по теме квантовые теории поля в многомерном пространстве. Там же кратко описаны основные результаты, составляющие данную диссертацию.

В первой главе "Низкоэнергетическая теория вблизи инфракрасной (ИК) стабильной точки" анализируются теории с дополнительными измерениями, следуя концепции низкоэнергетической теории, основанной на подходе Вильсона к ренормализационной группе. Хотя это и не позволяет получить непротиворечивую теорию, такой подход имеет преимущество в том, что эффективная низкоэнергетическая теория не содержит параметра обрезания как в теории Калуца-Клейна, а также имеет замечательные свойства в фиксированной точке (ФТ), которая получается из условия равенства нулю бета-функции. В отличие от скалярной теории, которая имеет нетривиальную ультрафиолетовую (УФ) фиксированную точку Вильсона-Фишера в размерности пространства меньшим 4, калибровочная теория, наоборот, имеет нетривиальную инфракрасную (ИК) фиксированную точку Вильсона-Фишера в размерности пространства большим 4.

Как известно в фиксированной точке теория не имеет масштаба, а единственным характерным масштабом является энергия, и, следовательно, поведение дифференциального сечения в фиксированной точке в пространстве с дополнительными измерениями похоже на четырехмерное поведение дифференциального сечения. Вблизи же фиксированной точки учет радиационных поправок в теориях с дополнительными измерениями ведет к изменению поведения дифференциального сечения и приводит к падающей зависимости от энергии, в разногласии с Калуца-Клейновским подходом, в котором дифференциальное сечение растет с ростом энергии, что сразу же нарушает унитарность теории, но, однако, является привлекательным с точки зрения экспериментаторов. Однако, эта теория также справедлива до некоторого масштаба энергий, как и Калуца-Клейновская теория, вследствие того, что фиксированная точка калибровочной теории является инфракрасной.

Дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния, рассмотренное в первой главе в подходе низкоэнергетической теории и в подходе Калуца-Клейновской теории, иллюстрирует основные свойства для обоих подходов и демонстрирует основные различия в результатах.

Во второй главе "Ренорм-групповой подход для пеперенормируемых теорий" анализируются структуры ультрафиолетовых расходимостей в пеперенормируемых теориях на примере скалярных теорий с взаимодействием без производных в многомерном пространстве. Структура ультрафиолетовых расходимостей не зависит от явной реализации пространства с дополнительными измерениями, так как ультрафиолетовые расходимости связаны с локальным поведением теории, таким образом, выводы, сделанные в этой главе, верны для многомерных теорий с произвольной структурой дополнительных измерений.

Опираясь на процедуру перенормировок и теорию ренормализационной группы показано, что даже в случае неперенормируемых теорий лидирующие расходимости (асимптотики) контролируются однопетлевыми диаграммами, число которых, однако, бесконечно. Приведена гипотеза для однопетлевого контрчлена в произвольной скалярной теории с взаимодействием без производных в многомерном пространстве с Б измерениями, который принимает вид

1 Г(£>/2 -1) 62£ (Э2)Д/2-2 82С 111 ) ~ (4тг)Я/2 4Г(£> - 2) ^2(1 + 5-2^)2^2-

На основе найденного выражения для однопетлевого контрчлена можно суммировать ведущие асимптотики, которые не зависят от произвола в вычитании операторов с более высокой размерностью. Для демонстрации были проделаны пертурбативные вычисления в скалярных теориях на примере нескольких теорий, и проделанные вычисления согласуются с выше приведенными утверждениями.

Полученные результаты не подтверждают популярную идеею наивного степенного бега констант связи в многомерных теориях. Используя найденный однопетлевой контрчлен, просуммированы ведущие асимптотики, не зависящие от произвола в вычитании операторов более высокой размерности, в младших порядках теории возмущения. Только в одном случае скалярной теории в пространстве Б = 6 суммирование ведущих асимптотик привело к простой функции.

В третьей главе 'tí/Nf разложение в многомерных теориях" показано, что даже несмотря на формальную неперенормируемость многомерных теорий можно построить перенормируемое разложение в многомерных теориях, которое подчиняется обычным правилам перенормируемой пертурбативной теории. Параметр разложения в такой теории является безразмерным, а также эволюционирует с энергией логарифмическим образом, также показано, что все расходимости поглощаются в перенормировки волновых функций полей и констант связи. Начальная размерная констанста связи играет роль массы и логарифмически перенормируется.

Свойства 1 /Д^/ разложения не зависят от размерности пространства

если число измерений нечетно. В четном числе измерений в формулах появляется логарифм квадрата импульса, что приводит к техническим трудностям в вычислении интегралов, но никак не влияет на основные выводы построенного l/Nf разложения в многомерном пространстве.

Так как параметр разложения является безразмерным, то все функции Грина приобретают логарифмические радиационные поправки, и дифференциальные сечения рассеяния частиц падают с ростом энергии, как в обычной перенормируемой теории, без нарушения унитарности. Эволюция констант связи зависит от числа измерений пространства и не зависит от абелевой или неабелевой природы калибровочной теории. В этом смысле хотелось бы построить 1/Ыс разложение, однако, оно не может быть построено подобным образом.

1 /Nf разложение основано на пересуммировании диаграмм по 1/^/, что ведет к новому эффективному пропагатору для калибровочных полей, представление Челенна-Лемана для которых содержит помимо дополнительных полюсов также непрерывный спектр с положительной спектральной плотностью. Наличие дополнительных полюсов с отрицательными вычетами может привести к неунитарности теории, однако, показано, что в пространстве с числом измерений равному 5,9,... один из полюсов находится на действительной оси в плоскости квадрата импульса, и является настоящим состоянием с отрицательной нормой, от которого можно избавиться путем соответствующего выбора

безразмерного параметра £ который будет отвечать

правильному выбору фазы теории без состояния с отрицательной нормой на действительной оси квадрата импульса. В пространстве с числом измерений равному 7,11,... полюса в эффективном пропагаторе комплексно сопряжены друг другу. Благодаря комплексной сопряженности этих полюсов вклад от нефизических состояний во все физические амплитуды сокращается, тем самым нет переходов из физических состояний с положительной нормой в нефизические состояния с отрицательной нормой, что оставляет теорию унитарной.

В четвертой главе "Феноменология 1 |Nf разложения" приведены некоторые феноменологические следствия 1 разложения для многомерных теорий с числом измерений £> = 7,11,... на примере упругого электрон-кваркового рассеяния в многомерном пространстве, в котором частицы СМ локализованы на четырехмерной бране, а также на примере объединения констант связи.

Показано, что поведение дифференциального сечения при 1 /Nf разложении сходно поведению дифференциального сечения в подходе низкоэнергетической теории, основанной на подходе Вильсона к ренормализационной группе, а именно вблизи масштаба компактификации дополнительных измерений поведение имеет небольшое изменение, а при росте энергии дифференциальное сечение выходит на тоже поведение в зависимости от энергии, что и в четырехмерном пространстве

Для многомерного пространства с числом измерений £> = 7,11,... при 1 /Nf разложении помимо сохранения унитарности калибровочные теории являются асимптотически свободными, а значит можно посмотреть объединение констант связи. Известно, что в СМ в четырехмерном пространстве объединения констант связи нет в пределах трех стандартных отклонений, а при данном подходе в многомерном пространстве получается объединение констант при энергиях значительно меньших масштаба энергии Планка. Так в для СМ имеется объединение на масштабе энергий 1012 ГэВ, а для МССМ при энергиях Ю10 ГэВ.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые и выносятся на защиту.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Д.И. Казаков и Г.С. Вартанов, ТМФ, 147, 103-112 (2006).

2. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, Journal of Physics A39, 8051-8060 (2006).

3. Д. И. Казаков и Г. С. Вартанов, Труды XLVIII научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (25-26 ноября 2005 года, Долгопрудный-Москва), 144-146.

4. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, arXiv:hep-th/0607177v2.

5. G. S. Vartanov, Scalar Higher Dimensional Theories in 1/N-expansion, "The Logic Of Nature, Complexity And New Physics: From Quark-Gluon Plasma to Superstrings, Quantum Gravity and Beyond"- Proceedings of the International School of Subnuclear Physics Erice, Sicily, Italy 29 August - 7 September 2006, World Scientific Publishing Company (September 2008) 673 pages, 615-624.

6. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, arXiv:hep-th/0702004vl.

7. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, JHEP, 06 081 (2007).

8. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, EPJC, 55, 101-105 (2008).

Получено 6 апреля 2009 г.

w

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 07.04.2009. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,87. Уч.-изд. л. 0,83. Тираж 100 экз. Заказ № 56555.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru w ww.j i nr. ru/pu Ы i sh/

Введение

1 Низкоэнергетическая теория вблизи инфракрасной (ИК) стабильной точки

1.1 Многомерная теория в подходе Калуцы-Клейна.

1.2 Кварк-антикварковое рассеяние на бране.

1.3 Низкоэнергетическая эффективная теория в дополнительных измерениях.

1.4 Кварк-антикварковое рассеяние в низкоэнергетической эффективной теории.

1.5 Выводы.

2 Ренорм-групповой подход для неперенормируемых теорий

2.1 Перенормировка в локальной квантовой теории поля

2.2 Примеры вычислений для непернормируемых теорий

2.2.1 D=6,

2.2.2 ф\щ, Ьф\в).

2.3 Выводы.

3 l/Nf разложение в многомерных теориях

3.1 1/N разложение. Скалярная теория.

3.2 Свойства 1/N разложения.

3.3 1 /Nf разложение. КЭД.

3.4 1 /Nf разложение. КХД.

3.5 Ренормализационная группа в 1 /Nf разложении.

3.6 Аналитические свойства и унитарность.

3.7 Выводы.

4 Феноменология 1 /Nf разложения Ю

4.1 Дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния.

4.2 Объединение констант связи.

4.3 Выводы.

Основу современных представлений о физике микромира составляет так называемая Стандартная модель (СМ). Стандартная модель описывает три типа взаимодействия- электромагнитное, слабое и сильное- полей материи- кварков и лептонов. Однако, существует четвертый тип взаимодействия- гравитация, которая не входит в Стандартную модель, что говорит о том, что СМ нуждается в обобщении. Помимо этой проблемы существует расхождение некоторых результатов на уровне двух стандартных отклонений, получаемых из теоретических расчетов в СМ, и экспериментальных результатов. На данный момент существует несколько теорий, содержащих Стандартную модель в качестве низкоэнергетической эффективной теории, включающих гравитацию и приводящих к теоретическим расчетам, которые лучше согласуются с экспериментом.

Одна из таких теорий- суперсимметричная теория, позволяющая получить гравитацию, появилась около сорока лет назад. В данной теории имеется дополнительная симметрия между бозонами и фермионами. Именно эта симметрия помогает объединить гравитацию с другими типами взаимодействия. Наиболее популярной феноменологической моделью в суперсимметричных теориях является Минимальное Суперсимметричное расширение Стандартной модели (МССМ), теоретические расчеты в которой согласуются с экспериментальными данными лучше чем в СМ.

Можно пойти и другим путем: пытаться добавлять не дополнительные симметрии, а дополнительные пространственные измерения. Однако, тут же возникает следующий вопрос: мы знаем, что пространство, в котором мы живем, геометрически трехмерное, а координата времени представляет собой еще одно измерение. То есть наше - макроскопическое - пространство четырехмерно, и, следовательно, мы должны ограничиться четырьмя измерениями. Однако, если представить, что четырехмерное пространство есть всего лишь некоторая гиперповерхность в многомерном пространстве, которая называется браной, а все частицы и переносчики взаимодействия кроме гравитонов локализованы на этой бране, то такая модель может быть реализована. К тому же если только гравитация является единственным взаимодействием, которое может распространяться в многомерном пространстве, то это является объяснением малой четырехмерной константы связи для гравитации по сравнению с другими константами взаимодействий, так как константа связи обратно пропорциональна сфере в многомерном пространстве с характерным размером дополнительных измерений. Можно попытаться представить и другое объяснение того, что мы не наблюдаем многомерного пространства. Представим, что частица находится в потенциальной яме, тогда при малых энергиях она будет двигаться внутри ямы. Но как только мы придадим частице большую энергию, она может покинуть потенциальную яму, и нужно 6 рассматривать движение частицы уже в многомерном пространстве. Аргументом в пользу многомерного пространства может служить теория струн [1], которая претендует на роль фундаментальной "теории всего", и в которой пространство имеет 26 размерностей в случае бозонных струн или 10 в случае суперструи. Таким образом, теории в дополнительных измерениях являются также хорошим кандидатом на роль новой физики за пределами Стандартной модели.

В последние годы такие теории привлекают большое внимание многих ученых [2, 3, 4, 5]. В работах [2, 3] предполагается наличие произвольного числа дополнительных компактифицированных измерений, в которых могут распространяться гравитоны, в то время как частицы СМ локализованы иа четырехмерной браие в многомерном пространстве. Данная модель дает объяснение для проблемы иерархии, связанной с большим значением для четырехмерной Планковской энергии, которая не является фундаментальной с точки зрения многомерного пространства, а также приводит к измененному закону Ньютона на малых расстояниях. В работах [4, 5], наоборот, предполагается наличие единственного дополнительного измерения, что приводит к пятимерному пространству, которое имеет метрику анти-де-Ситтера. В данной модели существует две браны, одна из которых называется "Планковской", а другая называется "тэвной". Поля СМ локализованы на "тэвной"бране, в то время как гравитоны распространяются во всем пятимерном пространстве. За счет экспоненциального фактора в метрика пространства анти-де-Ситтера четырехмерное Планковское значение для энергии, которое более не является фундаментальным для пятимерного пространства, дает 7 фундаментальную пятимерную шкалу порядка энергии в несколько ТэВ.

Различные модели, основанные на понятии локализации на бране, представляют широкие возможности для феноменологических приложений (см., например, [6, 7, 8]). Однако, отсутствие непротиворечивой теории поля в дополнительных измерениях вынуждает придерживаться подхода Калуцы-Клейна (КК) на древесном уровне и предполагать, что некоторая фундаментальная теория, например, выше упомянутая теория струн, решает все проблемы с расходимостями при высоких энергиях. Ниже обсуждаются основные идеи подхода КК, которые заключаются в представлении многомерной теории в виде эффективной четырехмерной теории за счет разложения поля, распространяющегося в многомерном пространстве, на бесконечное число эффективных четырехмерных полей, которые называются КК модами, распространяющиеся уже только в четырехмерном пространстве. Однако, при правильной перенормировке эффективная четырехмерная теория никогда не забывает о своей многомерной природе [9, 10, 11].

Одним из наиболее ярких следствий КК подхода является рост дифференциального сечения с энергией за счет обмена бесконечным числом КК мод [12]. Для того, чтобы получить конечный результат, нужно ввести некоторое обрезание, что делает амплитуду, зависящей от параметра обрезания. Этот параметр может иметь физическое происхождение, например, он может представлять толщину браны, но это однако не уменьшает степени произвола. Предполагая, что в полной теории эта зависимость исчезает, можно попытаться посмотреть 8 на качественную картину. Так, в первой главе рассматривается пример дифференциального рассеяния кварка на антикварке при высоких энергиях через одноглюоныый обмен в пространстве с дополнительными измерениями. Дифференциальное сечение рассеяния этого процесса растет с увеличением энергии, что является привлекательным с точки зрения наблюдений. Однако, этот рост не может длиться до бесконечности из-за нарушения унитарности, так что на некотором масштабе энергий это поведение должно изменяться. Желательно получить такую низкоэнергетическую теорию, в которой сечение убывает с энергией.

В первой главе анализируются теории с дополнительными измерениями, следуя концепции низкоэнергетической теории, основанной на подходе Вильсона к ренормализациоиной группе [13, 14, 15]. Хотя это и не позволяет получить непротиворечивую теорию, такой подход имеет преимущество в том, что эффективная низкоэнергетическая теория не содержит параметра обрезания, а также имеет замечательные свойства в фиксированной точке (ФТ) [16, 17], которая получается из условия равенства нулю бета-функции. В отличие от скалярной теории, которая имеет нетривиальную ультрафиолетовую (УФ) фиксированную точку Вильсона-Фишера в размерности пространства меньшим 4, калибровочная теория, наоборот, имеет нетривиальную инфракрасную (ИК) фиксированную точку Вильсона-Фишера в размерности пространства большим 4. Как известно в фиксированной точке теория не имеет масштаба, а единственным характерным масштабом является энергия, и, следовательно, поведение дифференциального сечения в 9 фиксированной точке в пространстве с дополнительными измерениями похоже на четырехмерное поведение дифференциального сечения. Вблизи же фиксированной точки учет радиационных поправок в теориях с дополнительными измерениями ведет к изменению поведения дифференциального сечения и приводит к падающей зависимости от энергии. Однако, эта теория также справедлива до некоторого масштаба энергий вследствие того, что фиксированная точка калибровочной теории является инфракрасной.

Таким образом, дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния, рассмотренное в первой главе, иллюстрирует основные свойства эффективной теории и показывает основные различия с результатами в подходе КК [18].

Одной из главной проблем теорий в пространстве с дополнительными измерениями является неперенормируемость теории по константе связи, которая в многомерном пространстве является размерной. Принято, что вне древесного приближения нельзя использовать неперенормируемые взаимодействия из-за неконтролируемых ультрафиолетовых расходимостей. Можно, конечно, придерживаться идеологии эффективных теорий [19, 20], предполагая, что все проблемы с ультрафиолетовыми расходимостями решаются в более фундаментальной теории. В этом случае различают так называемые "существенные", "граничные", и "несущественные"операторы, следуя подходу Вильсона к ренормализационной группе [13, 14, 15], так что при низких энергиях можно избавиться от вкладов, получаемых от несущественных операторов, которые степенным образом подавлены по отношению к существенным и граничным операторам, которые являются перенормируемыми. Однако, это не подходит для многомерных теорий, так как в этих теориях нет существенных и граничных операторов. Все операторы являются несущественными или неперенормируемыми, и от них нельзя избавиться. Следовательно, нужно найти способ для того, чтобы можно было работать с такими теориями и получать физически осмысленные результаты.

Очевидно, что на древесном уровне нет никаких проблем, потому что можно не учитывать вклад от неперенормируемых операторов, которые имеют отрицательную массовую размерность, и, следовательно, при больших энергиях они степенным образом подавлены. Однако, при пертурбативном разложении сталкиваемся с проблемой, характерной для всех неперенормируемых взаимодействий, а именно появление бесконечного числа операторов нового типа, которые не повторяют изначальные члены лагранжиана.

Иногда говорят о "переиормируемости при низких энергиях"для неперенормируемых теорий, предполагая, что можно пренебречь вкладами от несущественных операторов. Используя эту точку зрения, можно получить степенной бег констант связи [21, 22], который приводит к раннему объединению констант связи в многомерных теориях. В работах [21, 22] было также предложено решение для проблемы, связанной с иерархией масс для частиц СМ, которое связано со степенным поведением для констант перенормировок юкавских констант.

Здесь естественным образом приходим к понятию эволюции констант связи с энергией, а, следовательно, и к понятию ренормализационной группы.

Буквально эволюция констант связи означает суммирование ведущих асимптотик, то есть суммирование ведущих логарифмов или ведущих степеней. Следовательно, если эти соображения верны, то можно просуммировать ведущие вклады бесконечного числа диаграмм в эволюционирующие величины. Если эта идеология справедлива, хотя бы при низких энергиях, то можно явным образом проверить суммирование ведущих асимптотик путем явного вычисления диаграмм в пертурбативном разложении. Это также означает, что ведущие асимптотики в старших порядках по теории возмущения можно предсказать еще до явного вычисления диаграмм, используя методы ренормализационной группы.

Во второй главе показывается, что для квантовой теории поля даже в неперенормируемом случае ведущие асимптотики могут быть вычислены из однопетлевых диаграмм, несмотря на то, что не получается простой замкнутой формулы для ведущих асимптотик как в перенормируемом случае. Вычисления, приведенные во второй главе, в некоторых неперенормируемых теориях не согласуются с идеей наивного степенного бега констант связи и ведет к сложным выражениям. Во второй главе приведены явные вычисления для скалярных теорий с взаимодействием без производных.

В третьей главе построено перенормируемое разложение для формально нерепенормируемых теорий, используя известную технику 1/N разложения [23, 24, 25, 26, 27], где для случая скалярной теории N является числом компонент скалярного поля, а в случае калибровочных теорий является числом фермионных полей Nf. Число

12 же калибровочных полей Nc фиксировано. Этот подход был успешно применен к нелинейной сигма-модели в трех измерениях [28, 29, 30], где показано, что неперенормируемая по размерной константе связи нелинейная сигма-модель в размерности пространства равной трем, оказывается перенормируемой в рамках 1JN разложения, где N является числом компонент данной сигма-модели. В случае квантовой гравитации в четырех измерениях в работах [31, 32, 33, 34] показано, что 1/Nf разложение приводит к перенормируемой квантовой гравитации. Обе эти теории являются неперенормируемыми по наивному подсчету степеней, и, следовательно, при пертурбативном разложении возникает бесконечное число новых размерных операторов. При 1/N разложении в данных теориях меняется пропагатор, а получаемый эффективный пропагатор, убывающий быстрее в области больших квадратов импульса, приводит к логарифмическим расходимостям вместо степеннных расходимостей. Эффективно, этот подход сводится к теориям с высшими производными, что приводит к проблемам унитарности, причинности и локальности, характерным для теорий с высшими производными. Эти проблемы все же могут быть преодолены, хотя данный анализ был проведен только в лидирующем порядке по 1/N разложению для нелинейной сигма-модели в работе [28, 29, 30] в случае сильной связи и для квантовой гравитации в работе [31, 32, 33, 34].

Помимо упомянутых работ [31, 32, 33, 34], существует также несколько других попыток для построения перенормируемой квантовой гравитации при использовании аналога 1/iV разложения [35, 36, 37, 38], где роль параметра разложения 1/N играет число пространственно

13 временных измерений. Предел большого D похож на планарный предел, рассмотренный в работе [39]. Техника схожая с 1 /Nf разложением была применена в работах [40], где автор просуммировал все вклады от мягких гравитонов в пропагатор скалярного поля, а улучшаются ульрафиолетовые свойства эффективного пропагатора. Хотя и данное разложение немного напоминает 1 /Nf разложение, но в данном случае при отсутствии параметра разложения, отсутствует стратегия для частичного пересуммирования.

В работах [41, 42, 43, 44] была рассмотрена перенормировка безмассовой нелинейной сигма-модели для произвольного числа измерений 2 < D < 4 при помощи аналога размерной регуляризации в подходе 1/N разложения. Введение аналитической регуляризации позволило посчитать константы перенормировки и аномальные размерности в трех первых порядках 1/N разложения. Схожие вычисления, но для случая калибровочной теории были проделаны в работах [45, 46, 47, 48], в которых были посчитаны лидирующие коэффициенты бета-функции в КЭД и в КХД в пределе большого числа фермионов Nf. Данные вычисления в КХД находятся в согласии с трехпетлевыми вычислениями [49] при использовании минимальной схемы вычитаний в размерной регуляризации.

В работах [50, 51, 52, 53] были рассмотрены трехмерная четырехфермионная теория и пятимерная КЭД, которые являются неперенормируемыми по начальной константе связи, и было показано, что при 1/N разложении данные модели являются перенормируемыми. Для пятимерной КЭД было показано, что при физических ограничениях на константу связи в теории имеется

14 полюс Ландау, что делает теорию нефизической, а при комплексных значениях константы связи, в теории появляются госты, то есть состояния с отрицательной нормой, и только при бесконечном значении константы связи теория остается унитарной.

Следуя подходу [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34], в третьей главе этот метод применяется к многомерным теориям для построения перенормируемого и унитарного 1/N разложения, которое можно использовать для пертурбативных вычислений. Вначале в качестве примера и демонстрации основных идей 1/N разложения для многомерных теорий рассматривается многомерная скалярная теория с взаимодействием без производных [54, 55], а затем показывается как можно построить перенормируемое 1 /Nj разложение для калибровочных теорий, взаимодействующих с Nj фермионами [56, 57]. В результате полученная теория для любого числа измерений пространства D перенормируема и имеет только логарифмические расходимости, и в этом случае появляется безразмерная константа связи. Результирующая бета-функция неполиномиальна по эффективной константе связи, но полиномиальна по 1/N. Полученная теория может быть ультрафиолетово (УФ) свободной или инфракрасно (ИК) свободной в зависимости от числа измерений многомерного пространства D. Начальная размерная костанста больше не является параметром разложения, а играет роль массы, который также логарифмически перенормируется.

Используя размерную регуляризацию [58] в третьей главе также проведена перенормировка в скалярной и калибровочной теориях в произвольном пространстве с нечетным число измерений и посчитаны

15' первые члены 1/N разложения для аномальных размерностей полей материи, а также первые члены для бета-функции эффективной безразмерной константы связи. Для четного числа измерений, в принципе,работает точно такая же схема, но с единственным различием, проявляющееся в технической сложности, связанной с появлением логарифмических членов.

Эффективно 1/N разложение для многомерных теорий с нечетным числом измерений приводит к пропагатору с полуцелой зависимостью от квадрата импульса, что похоже на идею так называемой "un-particle physics", предложенной в работах [59, 60]. В этих моделях пропагаторы с нецелой зависимостью от импульса появляются при низкоэнергетическом рассмотрении теории, в которой имеется ИК точка Банкса-Закса.

Широко известно, что основной проблемой при использовании 1/N разложения является проблема унитарности полученной теории, вследствие того, что эффективный пропагатор меняется, и как следствие меняются его аналитические свойства. При суммировании вакуумных поляризационных диаграмм, дающееся геометрической прогрессией, вакуумная поляризационная диаграмма появится в знаменателе, при этом появляется дополнительная мнимая часть и, в частности, возникаут дополнительные комплексные полюса в комплексной плоскости квадрата импульса. Эти полюса отвечают за появление в теории состояний с отрицательной нормой и отрицательными или комплексными массами. Эта общая проблема, с которой сталкиваются при использовании 1/N разложения [31, 32, 33, 34, 50, 51, 52, 53, 62]. Эффективно 1/N разложение ведет

16 к теориям с высшими производными и, как следствие, может привести к динамической нестабильности [63]. Заметим, однако, что существуют так называемые "смирные"(в англоязычной литературе "benign") квантово-механические системы с высшими производными со стабильным вакуумом на классическом уровне по отношению к малым возмущениям, и все проблемы возникают на непертурбативном уровне; пример таких систем был рассмотрен в работах [64, 65]. Вопрос унитарности для гравитации в членами, содержащие высшие производные, которые получаются при 1/N разложении, был рассмотрен в работах [31, 32, 33, 34], в которых роль полюсных членов была явно выделена. Однако, как было показано в работах [66] не всегда операторы с высшими производными приводят к улучшенному ультрафиолетовому поведению из-за неоднозначности в аналитическом продолжении из пространства Миньковского в пространства Евклида.

В третьей главе вопрос унитарности для 1/N разложения в многомерных теорий рассмотрен более подробно, а также продемонстрировано возможное решение проблемы унитарности для теорий с высшими производными. Показано [57], что в пространстве с числом измерений D = 7,11,. дополнительные полюса, которые появляются в эффективном пропагаторе после пересуммирования диаграмм поляризации вакуума, комплексно сопряженными и нет полюсов лежащих на действительной оси квадрата импульса. Ключевую роль в сохранении унитарности в теориях с высшими производными играют дополнительные комплексно сопряженные полюса, вклады от которых в физические амплитуды компенсируются. В теориях с числом измерений D = 5,9,. появляется полюса на

17 действительной оси, что приводит к нарушению унитарности.

В четвертой главе разобраны несколько примеров применения построенного перенормируемого 1/N разложения для многомерных теориях [67]. Рассматривается модель многомерного пространства с бесконечными дополнительными измерениями. В этой модели считается дифференциальное сечения упругого рассеяния электрона на кварке и проводится аналогия между получаемыми результатами в подходе 1/N разложения и подходе низкоэнергетической теории, которая получается из Вильсоновского подхода к ренормализационной группе, приведенной в первой главе. Также анализируется объединение констант связи для электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий при высоких энергиях. Показано, что в отличие от Стандартной модели, в которой объединение не происходит в пределах трех стандартных отклонений, в подходе 1/N разложения для многомерных теорий объединение констант связи существует, и масштаб объединения на несколько порядков ниже масштаба энергии Плапка. В случае МССМ 1/N разложение в многомерном пространстве приводит к более раннему объединению констант связи, нежели чем в четырехмерном пространстве [68].

4.3 Выводы

Построенное в третьей главе 1 /Nf разложение для многомерных теорий приводит к некоторым новым феноменологическим следствиям. А именно дифференциальные сечения для рассеяния частиц материи отличается от обычного поведения в Стандартной Модели для четырехмерного пространства, но асимптотически имеет такое же масштабное поведение, и, следовательно, не нарушает унитарность.

Эволюция констант связи в таких теориях остается логарифмической с ростом энергии и позволяет получить приближенное объединение для констант связи как в Стандартной Модели, так и в Минимальном Суперсимметричном расширении Стандартной Модели. Масштаб энергии объединения хотя и получается довольно большим, но все же ниже чем в обычном четырехмерном случае для Минимального Суперсимметричного расширения Стандартной Модели.

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты, опубликованные в работах [18, 54, 55, 56, 57, 67, 78, 79]

• В калибровочной теории с инфракрасно-стабильной точкой получено дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния через один глюон, которое убывает с ростом энергии в соответствии с требованием об унитарности теории и в разногласии с предсказаниями в Калуца-Клейновском подходе.

• Получено выражение для однопетлевого коитрчлена в произвольной скалярной теории с взаимодействием без производных. Используя найденный однопетлевой контрчлен, просуммированы ведущие асимптотики, не зависящие от произвола в вычитании операторов более высокой размерности, в младших порядках теории возмущения. Только в одном случае скалярной теории </?4 в пространстве D — 6 суммирование ведущих асимптотик привело к простой функции.

• Построено перенормируемое 1 /Nf разложение для теорий в многомерном пространстве. Эффективная константа связи в этой теории является безразмерной и эволюционирует

119 логарифмически, и все расходимости поглощаются переопределением волновых функций и константы связи. Исходная константа связи играет роль массы.

Показано, что в размерностях D = 7,11,. теория остается унитарной несмотря на наличие состояний с отрицательной нормой (госты), что происходит за счет взаимного сокращения вклада в мнимые части амплитуд между комплексно-сопряженными гостами.

• Построено дифференциальное сечение упругого рассеяния кварка на электроне и показана аналогия с результатом из низкоэнергетической теории вблизи ИК стабильной точки. Получено раннее объединение констант связи для Стандартной Модели (СМ) и для Минимального Суперсимметричного расширения СМ (МССМ) на масштабах 1012 ГэВ для СМ и Ю10 ГэВ для МССМ.

Благодарности

В первую очередь выражаю свою огромную признательность своей супруге Вартановой Татьяне Алексеевне за ту огромную моральную поддержку, которую она оказывала мне не только в период написания кандидатской диссертации, но и на протяжении нашей совместной жизни, создавая уют и комфорт. Спасибо моим родителям за советы без которых было бы трудно, а также родителям моей супруги.

Большую роль в моем научном развитии сыграл мой научный руководитель Дмитрий Игоревич Казаков, за что ему огромное спасибо. Я очень многому научился за годы моего обучения у Дмитрия Игоревича.

Выражаю свою признательность Спиридонову Вячеславу Павловичу за научные обсуждения и за совместную работу в последнее время, что позволило изучить много современных теоретических вопросов в области суперсимметричных теорий.

Хотелось бы выразить свою благодарность Пакуляку Станиславу Здиславовичу за создание и ведение аспирантских семинаров, которые помогли мне значительно образоваться в математическом плане. Спасибо Белавину Александру Абрамовичу за курсы лекций и семинаров по конформной теории поля, на которых я также изучил много важных вопросов в области современной теоретической физики.

Огромную благодарность выражаю Жибоедову Александру за плодотворные научные диспуты и за здоровую научную конкуренцию. А также огромное спасибо Григорьеву Сергею за помощь в решении некоторых вопросов. Отдельно выражаю благодарность Оськину Андрею за прояснение многих математических вопросов.

Выражаю благодарность Гладышеву Алексею Валерьевичу, Владимирову Алексею Александровичу, Ефимову Гарри Владимировичу, Тюрину Николаю Андреевичу, Котикову Анатолию Васильевичу за многочисленные обсуждения.

Спасибо Беднякову Александру и Шеплякову Алексею за терпение и объяснение вопросов, с которыми я обращался к ним, появившись в ЛТФ еще студентом.

Выражаю благодарность руководству ЛТФ за создание благоприятных условий для работы.

1. R. J. Szabo, BUSSTEPP Lectures on String Theory, hep-th/0207142.

2. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, and G. Dvali, Phys.Lett. B429 (1998) 263 hep-ph/9803315].

3. I. Antoniadis, N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, and G. Dvali, Phys.Lett. B436 (1998) 257 hep-ph/9804398]

4. L. Randall and R. Sundrum, Phys.Rev.Let. 83 (1999) 4690 hep-th/9906064].

5. L. Randall and R. Sundrum, Phys.Rev.Let. 83 (1999) 3370 hep-ph/9905221].

6. Yu. A. Kubyshin, Models with Extra Dimensions and Their Phenomenology, hep-ph 0111027.

7. J. Hewett and M. Spiropulu, Particle Physics Probes of Extra Space-time Dimensions, hep-ph 0205106.

8. D. I. Kazakov, Beyond the standard model, CERN-2006-003 hep-ph/0411064].

9. E.Alvarez, A.F.Faedo, JHEP 0605 (2006) 046 hep-th/0602150].

10. E.Alvarez, A.F.Faedo, Phys. Rev. D 74 (2006) 124029 hep-th/0606267].

11. E.Alvarez, A.F.Faedo, J.Phys., A40 (207) 6641-6646.

12. G. F. Giudice, R. Rattazzi and J. D. Wells, Nucl.Phys., 1999, B544, 3.

13. K. G. Wilson, Phys.Rev., 1971 B4, 3174, 3184.

14. K. G. Wilson and J. B. Kogut, Phys.Rep., 1973, 12C, 75.

15. K. G. Wilson ans M. E. Fisher, Phys.Rev.Lett., 1972, 28, 240.

16. D. I. Kazakov, JHEP, 2003, 0303, 020.

17. D. I. Kazakov, Field theory in extra dimensions, hep-th/0311211, 2003.

18. Д. И. Казаков и Г. С. Вартанов, Рассеяние при высоких энергиях в теориях с дополнительными измерениями, ТМФ, 147 (2006) 1, 103-112.

19. R.Rattazzi, Cargese Lectures on Extra-Dimensions, Cargese 2003, "Particle physics and cosmology", p. 461.

20. I. Z. Rothstein, TASI Lectures on Effective Field Theories, hep-ph/0308266.

21. K. Dienes, E. Dudas, and T. Gherghetta, Phys.Lett. B436 (1998) 55 arXiv: hep-ph/9803466]

22. К. Dienes, Е. Dudas,. and Т. Gherghetta, Nucl.Phys.B537 (1998) 47 arXiv:hep-ph/9806292],

23. К. G. Wilson, Phys.Rev.D7 (1973) 2911.

24. G.Parisi, Nucl.Phys. BlOO (1975) 368.

25. M. Moshe, J. Zinn-Justin, Phys.Rept. 385 (2003) 69-228 hep-th/0306133].

26. J. Zinn-Justin, Vector models in the large N limit: A Few applications, SACLAY-SPH-T-97-018 hep-th/9810198],

27. A. H. Васильев, Квантополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике, издательство ПИЯФ, Санкт-Петербург, 1998.

28. И. Я. Арефьева, ТМФ 29 (1976) 147.

29. И. Я. Арефьева, ТМФ 31 (1977) 3.

30. I.Ya.Aref'eva, Ann. of Phys. 117, 1979, 393

31. E. Tomboulis, Phys.Lett. B70 (1977) 361.

32. E. Tomboulis, Phys.Lett. B97 (1980) 77.

33. E. Tomboulis, Phys.Rev.Lett. 52 (1984) 1173

34. I. Antoniadis, E. Tomboulis, Phys.Rev.D 33 (1986) 2756.

35. F. Canfora, Phys.Rev. D74 (2006) 064020 hep-th/0608203].

36. F. Canfora, Nucl.Phys. B731 (2005) 389 hep-th/0511017].

37. N. E. Bjerrum-Bohr, Nucl.Phys. B684 (2004) 209 hep-th/0310263].

38. A. Strominger, Phys.Rev. D24 (1981) 3082;

39. G.t'Hooft, Nucl. Phys. B72 (1974) 461.

40. B.F.L.Ward, Mod.Phys.Lett. A17 (2002) 2371 hep-ph/0204102].

41. A. H. Васильев, M. Ю. Налимов, ТМФ, 55 (1983) 2, 423-431.

42. A. H. Васильев, M. Ю. Налимов, ТМФ, 56 (1983) 1, 643-653.

43. A. H. Васильев, Ю. M. Письмак, Ю. P. Хонконен, ТМФ, 47 (1981) 291-306.

44. A. H. Васильев, Ю. M. Письмак, Ю. P. Хонконен, ТМФ, 50 (1982) 195-206.

45. J. A. Gracey, Int. J. Mod. Phys. A8 (1993) 2465 hep-th/9301123].

46. J. A. Gracey, Phys. Lett. B317 (1993) 415 hep-th/9309092].

47. J. A. Gracey, Phys. Lett. B318 (1993) 177 hep-th/9310063],

48. J. A. Gracey, Phys. Lett., B373 (1996) 178 hep-ph/9602214].

49. О. V. Tarasov, A. A. Vladimirov and A. Yu. Zharkov, Phys. Lett. 93B (1980), 429-434.

50. N. V. Krasnikov, Phys.Lett. B273 (1991) 246.

51. N. V. Krasnikov and A. B. Kyatkin, Mod.Phys.Let.A 6 (1991) 1315.126

52. Н. В. Красников, письма ЖЭТФ, 51 (1990) 4.

53. Н. В. Красников, ЯФ, 52 (1990) 1516.

54. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, Renormalizable Expansion for Non-renormalizable Theories. I. Scalar Higher Dimensional Theories, hep-th/0607177.

55. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, Renormalizable Expansion for Non-renormalizable Theories. II. Gauge Higher Dimensional Theories, hep-th/0702004.

56. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, Renormalizable 1/Nf Expansion for Field Theories in Extra Dimensions, JHEP 06, (2007) 081.

57. G. t'Hooft and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B44 (1972) 189.

58. H. Georgi, Phys.Rev.Lett. 98, (2007) 221601.

59. H. Georgi, Phys.Lett. B650, (2007) 275.

60. T. Banks and A. Zaks, Nucl.Phys. B196 (1982) 189-204.

61. J.Schnitzer, Nucl. Phys. B109 (1976) 297;

62. V.V.Nesterenko, Phys.Rev. D75 (2007) 087703 hep-th/0612265].

63. A.V.Smilga, Phys.Lett. B632 (2006) 433 hep-th/0503213].

64. A.V.Smilga, Nucl.Phys. B706 (2005) 598 hep-th/0407231].

65. I.Antoniadis, E.Dudas, D.M.Ghilencca, Nucl.Phys. B767 (2007) 29 hep-th/0608094].

66. D. I. Kazakov and G. S. Vartanov, Phenomenology of the 1/Nf Expansion for Field Theories in Extra Dimensions, EPJC, 55, 101-105 (2008)

67. U. Amaldi, W. de Boer, H. Furstenau, Phys.Lett. B260 (1991) 447-455.

68. T. Kaluza, Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) 1921, 966Ц972.

69. O. Klein, Zeitschrift fu"r Physik a Hadrons and Nuclei 37 (12): 895.

70. C. Csaki, C. Grojean, H. Murayama, L. Pilo, and J. Terning, Phys. Rev. D 69 055006 (2004) hep-ph/0305237].

71. С. Вайнберг, Квантовая теория поля, Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2003.

72. М. Peskin, Phys.Lett. 94В (1980) 161.

73. Т. Morris, JHEP 0501 (2005) 002 arXiv:hep-ph/0410142].

74. G. t'Hooft, Nucl.Phys.B61 (1973) 455.

75. Д. И. Казаков, ТМФ, 75 (1988) 440.

76. G.t'Hooft, Nucl.Phys. В62 (1973) 444.

77. D.I.Kazakov and G.S.Vartanov, Renormalization group treatment of nonrenormalizable interactions, J.Phys.A:Math.Gen. 39 (2006) 8051 hep-th/0509208].

78. Д. И. Казаков и Г. С. Вартанов, Труды XLVIII научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", 2005 г., Долгопрудный, 144-146.

79. G. t'Hooft, Nucl. Phys. В61 (1973) 455.

80. М. Beneke, Phys.Rep. 317 (1999) 1 hep-ph/9807443],

81. M. Beneke and V. Braun, Renormalons and power corrections in B.Ioffe Festschift, World Scientific, Singapore, 2001, v.3, p. 1719.

82. D. Anselmi, JHEP 0006 (2000) 042 hep-th/0005261].

83. G.Kallen, Helv.Phys.Acta, 25 (1952) 417.

84. H.Lehmann, Nuovo Cimento, 11 (1954) 342.

85. R.E.Cutkosky, J.Math.Phys. 1 (1960) 429.

86. I.Ya.Aref'eva, Ann. of Phys. 117 (1979) 393.

87. Y. Makeenko, Large N gauge theories, Lectures given at NATO Advanced Study Institute on Quantum Geometry, 1999. e-Print: hep-th/0001047.

88. M. Пескин и Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Ижевск, 2001.