Квазилинейные эллиптические уравнения и нелинейные полугруппы сжатий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г г 5 О Д НАЦ1ОПАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ

" 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

КУХАРЧУК Микола Макарович

К В А 3 И Л I II I Й Н I Е Л1ПТИЧН1 Р I В Н Я II II Я ТА II Е Л I II I Й II I П1ВГРУПИ СТИСКУ

01.01.02 - диференц!альн1 р!вняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертацП на здобуття наукового ступеня доктора ф!зико-математичних наук

Ки1в 1996

Дисертац1ею е рукопис

Робота виконана в НТУУ " КШ"

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф!з.-мат. наук, професор.

академ1к ДАЛЕЦЬКИЙ Ю.Л.

доктор ф1з.-мат. наук, професор СЙДЕЛЬМАН С. Д.

доктор ф!з.-мат. наук, професор ШИШКОВ А.е.

Пров1дна установа: Льв1вський державний ун1верситет

Захист в1дбудетться УМрй&М'А 19д6р.

о 15 годин! на зас!данн1 спец1ал1зовано! ради Д. 01. 66.02 при 1нститут1 математики НАН Укра1ни за адресою: 252601 Ки!в 4, МСП, вул. Терещенк1вська, 3.

3 дисертац!ею можна ознайомитися в б!бл1отец! 1нституту. Автореферат роз!сланий ^" ^Н1'^ 1996р.

Вчений секретар спец!ал1зовано1 ради доктор ф1з. -мат. наук

Лучко Н.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬШСТЬ ТЕМИ. Десертац1йна робота приев'ячена досл!дженню слабко! розв'язоност! кваз1л!н!йних ел1птичних р!внянь з пов1льно зростаючими вим!рними коеф!ц!ентами в шкал! соболевих простор!в Wjр (R1, d1 х). р>2, 1>3. виду

Xu - Е Vj a, (x.u.Du) + b(x, и, Du) = f . Х>0, де (0,1)

У 1

|а(х, у, z) I < ji,а (х) Izl + а (х) I у I + н3а(х) . О U <—

1-2 '

if 1 lb(x, у, z) I < Mib Сх) Izl + ц2Ь(х)1у1 1+ . О < —

гладкост! розв'зк!в в залежност! в1д диференц!альних властиввостей функц!й а(х,у,z), b(x.y.z), f(x), побудови нел!н!йно! п!вгрупи стиску. генераторами яко! яляються оператори , породжен! л!вою частиною р!вняння (0,1), а також розгляду аналог1чних питань для р1вняння

Xu + Е (-1)Vac( (x.u.Du.....Dura) = f

й

за тих же обмежень.

Досл1дження такого роду стимулюються, з одного боку, внут-р1шньою лог1кою розвитку теорП кваз1л1н1йних р1нянь, функц!ональ-ного анап1зу. з другого боку, - можливими практичними застосування-ми в математичн1й ф!зиц! .

Наш1 досл1дженя стосуються класу р1нянь недосить вивчених в л1тератур1 нав1ть для випадку л!н1йних р1внянь. Спроба побудувати нел1н1йну п1вгрупу стиску в Lp, р>2 для конкретних диференц1альних оператор1в A: D(A) Lp. породжених л!вою частиною вищезгаданих диференц!альних р1внянь, зроблена нами вперше 1 являеться аналогом побудови нел1н1йно! п!вгрупи для випадку р=2 Ю. Комурою.

Таким чином, актуальн1сть виконаного нами досл1дження визнача-еться як можливими важливими практичними застосуваннями, так 1 внутр!шн1ми потребами розвитку теорП.

МЕТОЮ РОБОТИ було встановлення умов слабко! розв'язност! р1в-нянь в шкал! соболевих простор!в. досл!дження гладкост! розв'язк!в в залежност! в!д диференц!альних властивостей структури р!внянь, побудова нел!н!йно1 п!Вгрупи в Lp, р>2, генератором яко! являлись би оператори. породжен! л!вою частиною р!внянь.

МЕТОДИКА Д0СЛ1ДЖЕННЯ. В робот! використовуеться новий метод

нел1н1йного функЩонального анал1зу, створений автором для р>2 I сп1впадаючий з ран1ше в1домими традиц1йними методами при р = 2 -деякий аналог методу монотонних, слабко-компактних оператор!в. метод апр1орних оц!нок, що в подалыпому стають апостер!орними. як! дозволили в1дпов1сти , на питания ров'язност1 р!вняння, единост! розв'язку, регулярност! самих розв'зк1в за обмежень на коеф1ц1бнти р1вняння по проеторов!й зм1нн1й х. ран1ше не розглядуваних нав1ть для л!н1йних р1внянь. виняток тут складають т1льки роботи Ки1всь-кого математика Ю.Семенова та його учн1в для деякого класу л!н1й-них р!внянь.

НАУКОВА НОВИЗНА ТА ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕНИЯ РОБОТИ.

Головним моментом досл!джнення являеться в1дмови автора в1д традиц1йних обмежень на коеф!ц1енти р!вняяння, при яких справедлива сильна нер!вн1сть коерцитивност1:

11L (х, u 11 р > С Hull р

Lp W2P '

тобто , в1дмова в1д умов. за яких а(х,0,0). Ь(х.О.О), д2а(х). И!Ь(х). д2Ь(х) 6 Lq, q>l.

За допомогою форми

h р(ц.V) = X<u.V> + <a(x,u.Du). W > + < b(x.u.Du).V >

v E W1>0P • u Б D <np*J =:{ u Б wiP| I hpX(u,V) I < » }

введено аналог вищезгадано! нер1вност1 коерцитивност1, а саме, слабку нер!вн1сть коерцитивност1 за м!н1мальних обмекень на коеф1-ц!енти р!вняння. Вищезгадана форма . hpX(u. v) за цих обмежень по-роджуе обмежений, коерцитивний (некоерцитивний) хем1неперервний оператор АРХ:Wtр -» W-j", Х>Ао (if,tflfp.E,р)>0. аккретивний (псевдо-акретивний) в Lp, р>2. При р=2 цей оператор мае властивост! коер-цитивност! (некоерцитивност!) хем!неперервност!. як оператор, що д1е !з Wj2(R1,d1х) в W-j2(R1.d'x). властивост! mohotohhoctI (псев-домонотонностi) в L2.тобто автором створено аналог теор!й коерци-тивних хем!неперервних, монотонних оператор1в в Lp. р>2, д1ючих !з Wjр (R1.d1 х) -» W. !Р (R1 .^х). до реч1, вони тут не являються i опук-лими.

Отже, додаючи до вищесказаного Лему 1.5 - аналог Леми "об ост-

ром угле" при р=2, приходимо до нового методу нел1н1йного анап!зу досл1дження розв'язност! ел!птичних р1внянь в просторах Соболева.

Для випадку 2 <р< 1/2 результати одержан1 вперше 1, як це доведено в робот1, вони не можуть бути встановлен1 в рамках тради-ц1йних обмежень на структуру р!вняння ран1ше принятими методами досл1дження.

В дисертацП одержано наступн1 нов! науков1 результати:

- досл!джена розв'язн1сть р1вняння (0,1) з гладкими коеф1ц1ен-тами в Щр Ш'.^х) Г Б И./ Ш'.^х);

- встановлено апр1орн1 оц!нки пох1дних першого та другого порядку узагальнених розв'язк1в р1вняння (0,1) з гладкими коеф1ц1ен-тами;

- досл1джена розв'язн1сть р1вняння (0,1) з вим1рними коеф1ц1-ентами при умов1. що функцП дга(х). д^Ы. д2ь(х) належать класу форм-обмежених потенц1ал1в

Пкр(-Д) = { и /\Ш\г2 < вМУП122 + С(р)|1гМ2 г. Г Б С™ (Я1) }, р>0 , С(р)>0;

- доведен1: теорема-аналог теореми М1нт1-Браудера для р>2, теорема-аналог теореми 1.2, С. 30 1з [2] для псевдоакретивних оператор^ АРХ: И/ -» «Г./. Х>Хо (Р.^.^.р, 1)>0 в Ьр;

- одержан1 нов1 апр!орн1 оц1нки пох1дних узагальнених розв'яз-к!в р!вняння (0,1) при умов1, що д2а(х), Д!Ь(х), |х2ь (х) Б Пкр (-Д);

- доведена слабка зб!жн1сть розв'язк1в "зглажених" р!внянь до розв'язк1в р!вняння (0,1);

- для випадку

5а1 (х. u.Dii)

1аг (х, и, 0и) I =

1аи (х, и, Би) I =

6хг

ба1 (х, и. Би)

< 1ИГ (х) №1.

< ^"(х). щЧх). щи(х) Б

би

Пкр(-Д) доведена належн1сть розв'язк1в р1вняння (0,1) Г Б Ьч,

ц>1/2; щг(х). Л2и(х) Б Ь2 (Н1.а1 х) п Ьр (Н1.а1 х). або Б ^т'.^х) п Ьр Ш'.а'х) простору

со

Ь (Н1.а1 х) п Ш2р/2 (Вц.а'х) п«,р шЧй'х), Я>0, 2<р<3;

со

ь сн1.а1 х) п *|2р/2 си1.а1 х) п|,р ш'.а'х). з<р<4;

00

Ь . а1 х) П122 (II1. а1 х) пк,р (II1. а1 х). р)4;

- побудована нел1н1йна п!вгруппа стиску в Ьр. р>2, генератора-

ми яко! являться оператори - Apxpf Lp(R1. d1 х);

- досл!джена розв'язн1сть. однозначна розв'язн1сть р!вняння

и ш к „ о , ,

Xu + Е (-1) D Ad (x.u.Du.....D u) = f в Wmz (R1. d1 х) f Б

а

6 W-m2 (R1,d1х) за тих же обмежень на структуру р!вняння, що i для р!вняння (0.1).

Розроблен1 в робот1 методи можуть знайти застосування в дос-л1дженн1 конкретних систем математично! ф!зики, а одержан1 резуль-тати можуть бути використан1 в теорП р1вняннь в частинних пох!д-них.

ПУБЛ1КАЦН Основн! результати роботи опубл1кован1 в роботах [1-16].

АПР0БАЦ1Я РОБОТИ. Основн! результати роботи допов!дались на 5-й, 6-й, 7-й, 8-й Республ!канських конференц!ях по нел!н!йних задачах математично! ф1зики (Льв!в. 1985; Донецьк. 1987; Черн!вц1, 1989; Донецьк. 1991), об'еднаному сем!нар! !м.Петровського та Мос-ковського математичного товариства (МДУ. 1989-1991) сем!нар! член-корреспондента АНСРСР С. 1.Похожаева в Московському енергетич-ному 1нститут1 в 1991 роц!. сем!нар! академ!ка АН Укра1ни I.B. Скрипника в Донецьку в 1991 роц!. сем!нар! в!дд!лу диференц!-альних р!внянь в частинних пох!дних (кер. професор М.Л. Горбачук) 1н-ту математики АН Укра1ни (1991 р.. 1996 р.). М!жнародних конфе-ренц!ях, присвячених пам'ят! академ!ка М.П.Кравчука (Кихв, 1992. 1995).

СТРУКТУРА ТА ОБ'ЕМ РОБОТИ. Дисертац!я складаеться !з вступу. чотирьох роздШв та доповнення-"Выводы", списку л!тератури. цо складае 81 назву.

ЗМ1СТ РОБОТИ.

Вступ складаеться з трьох пункт!в: 1° - Принят! позначення. допом!жн! твердження; 2° - Наукова новизна та практичне значения роботи; де ставиться мета роботи. практичне значения. анал!з ос-новних результат!в та зв'язок м!ж ними.

Р03Д1Л I присвячений досл!дженню розв'язност! кваз!л!н!йних ел!птичних р!внянь (0,1) з пов!льно зростаючими гладкими коеф!ц!-ентами в Соболевих просторах Я^^.с^х). р>2. 1)3. Розд!л мае два параграфи.

Результата одержан1 в $1 мають, взагал! кажучи, методичне значения.

Одначе, Лема 1.5, та методи встановлення розв'язност1 р1вняння (0,1) лежать в основ1 доведения розв'язност1 р1внянь (0,1) з ви-м!рними коеф1ц1ентами 1 належать автору.

$2 присвячений досл1дженню розв'язност! частинного випадку р!вняння (0,1) з неперервними операторними коеф!ц1ентами. Розв'яз-н1сть цього р1вняння встановлюеться за допомогою метод1в досл1д-ження, запропонованих в $1. гладл1сть розв'язк1в - як наел!док робота Ю.О.Семенова [19].

Коротко викладемо результата $1. Нехай функцП ^хИхИ1 Б (х.у.г) -»а(х.у.г), Мх,у,г) задоволь-няють умовам:

1) а, (х,у.г), 1=1,.... 1, Ь(х,у,г) - неперервн1 на я'хНх!?1 ска-лярн1 функцП. неперервно диференц1йован1 по (у.г);

2)|а(х,у.г)| < Д}3(х)|ъ| + ига(х)|у|*+ д3а(х) . 0<У<1/(1-2). |Ь(х.у.г)| <д1ь(х)и| + ц2ь(х)|у|Г' + ц3ь(х) . 0<^<1/(1-2),

|у1 ,1<Ш/(1-2)

|а(х,у.2)-а(х. у^й)) | < щ (х)\z-zi |+д2 (х) |у-у4К

II .Ост,

v

- к ~ к [ 1 .0<М1

|Ь(х.у.2)-Ь(х.у1.г]) | < ц1ь(х)|г-г1|+д2ь(х)|у-у1| '

I у . К!^ <1/(1-2)

де 1у1 = 1у1 + IУ]I ; д1а(х)1 д1а(х). ц, (х), м, (х) - обмежен1

функцП. причому м3а(х)> д3ь(х) Б Ьр (И1. «а1 х); д2а(х). щ>а(х),

Мгь(х), цгь(х) БЬр1/1' (1"2) шЧй'х) для 1<*. ^<1/(1-2).

0, ба( (х.у.г)

3) е.0а (х, у. = Е---^ > К 4 Б Н1.

и б21

а (х.у.г) = (- I. 0<В<1,

ба, (х. u.Dli) 00 , , , ,

- БЬШЧсГх) и=11 (х) Б V/ % _ о (Й . (1 х).

и

Розглянуто три р1зн1 випадки : 1) ^=^=1; 2) 0<5\ ¡^<1. 3) Ш. ^<1/(1-2).

Теорема 1.1. Якщо структура р1вняння (0.1) задовольняе умовам 1) - 3), то воно мае единий узагальнений розв'язок в W12(И1.¿^х)

1 е И-Д

Доведения теореми безпосередньо сл!дуе 1з анал1зу форми йрХ (и.V), яка в наших умовах породжуе оператор А2Х: }Цгг ■* W-12.який задовольняе умовам абстрактно! в1домо! теореми М1н-т1-Браудера.

2. Нехай К. р>2. Умови 1) - 3) не гарантують розв'язнос-

т1 р1вняння (0.1) в простор! И/Ш'.й'х) 1 6 Ш./. Тому, припус-каючи додатково. що

ба) (х. и. Ри)

4) 1аг (х. и, Ои) 1 = 1аи (х, и. Ои) I = |ЬГ (х, и, Би) 1 =

бхг 1 6а) (х. и. Ри) би

бЬ(х.и. Ри) > бхг >

< М1аг(х)|7и|+ц2аг(х)|и|+д3аг(х)1 < Иги(х).

< ц1Ьг(х)|Уи|+м2ог(х)|и|+мз1,г(х),

Ьг ,

Ьг ,

ц2аг(х). |ХгЬг (х),

дем3аг(х). ДзЬг(х) еь^я'.а'х) П Ь« Ш1.^); »4"(х). М1Ьг(х) Б ^(И1. й1 х). доводимо, що справедливий аналог теореми М!нт1-Браудера для р>2.

Теорема 1.2. Якщо структура р!вняння (0.1) задовольняе умовам 1) - 5). то воно однозначно розв'язне в р(И1.а1х) I 6 W-1p. Доведению теореми передують наступи! леми. Лема 1.1. Якщо структура р!вняння (0.1) задовольняе умовам 1)--5), то форма ЬРХ (и, у) породжуе обмежений оператор АРХ: -»

1

Лема 1.2. Якщо структура р!вняння (0.1) задовольняе умовам 1)- 3). то оператор АРХ: W1p -* *1_1р породжений формою 11РХ (и. V), -коерцитивне в!дображення е 6 ] 0.4/р [. X > (р.е11а 1 Iю) > 0. Означения. Оператор АРХ: -+ W.1p називаеться коерцитивним.

якщо . 1!т„ ,

1|и|и|р"2|| - у "1

1)РХ(и.и|ц|Р~2) 11и|и|р-2||

Лема 1.3. Якщо структура р!вняння (0.1) задовольняе умовам 1)-3), то оператор АРХ: У^" -» И./ - хем1неперервне в!дображення для Х>Хо(р.Е.||д!а|I»). 0<е<4/р, р>2.

Означения. Оператор АРХ: ним, якщо

V.1 називаеться хем!неперерв-

lim ApX(u+tv) —- ApX(u), u, v 6 W,p. t-*0 VL,P

Лема 1.4. Якщо структура р1вняння (0,1) задовольняе умовам 1)-3), то оператор АРХ: Wjp -» W_iP аккретивне в Lp воображения е Е j0.4/p[, р>2, Х>Хо(p.c.||nja|h), тобто

<ApX(u) - ApX(v).(u-v)|u-v|p-8> >0

Нехай {V(}, iVj*> - гладк1 базиси простор!в Wj_0Р та W1>0P'

п

в1дпов1дно. Нехай Un = Е C,V,, Un* - дуальний по в1дношенню до Un

i-i

елемент в1дносно норми в Lp (R1 .t^x). чи Via р (Rl. ä1 х) Складемо систему р1внянь:

<ApX(Un) - f,V,*)=0, 1=1.....п. що. зг1дно умов 1)-3) задав

неперевне в!дображення В: Rn Rn. Справедлива наступна

Лема 1.5. Нехай на сфер1 SR=(C;|C|=R) (R>0 - деяке число) ви-конуеться умова "гострого кута" <В(С),С*> >0 Тод1 1снуе принайми!, одна точка С. |С| < R, така, що В(С)=0.

Доведения теореми 1.2 проводиться з допомогою методу Гальорк!-на, леми 1.5, властивост1 аккретивност1 в Lp та хем1неперервност1 оператора Арх: W/ -» W-Д Х>Х<, (р, с. | |jxiа 1100) >0. 0<с<4/р. р>2, на ochobI апр1орних оц1нок ||Un|| <С, як1 одержан! в Лем! 1.6.

W,p

3. Нехай р>2, 1<*. ¡^ <1/1-2. Нехай структура р!вняння задовольняе умовам 1)-3). Тод! справедлива

Лема 1.7. Якщо сттруктура р1вняння (0,1) задовольняе умовам 1)-3), то оператор АРХ: Щр - W-Д X>Xq (p.c. | |ща 1И >0, 0<с<4/р. р>2 обмежене, хем!неперервне в1дображення. Одначе оператор АРХ: Wjp -» W_ 1р в цьому випадку не являеться коерцетивним, аккретивним в Lp в!дображенням.

Справедлива

Лема 1.8. Якщо структура р!вняння (0,1) задовольняе умовам 1)-3). то оператор АРХ: - W.,p. Х>Хо (р, е, | | h. 1| lLx xpl/(l-tf(l-2))||) ¡C G ]1, 1/(1-2)] - псевдоаккретивне в!дображення

в Lp: < ApX(u) - ApX(v),(u-v)|u-v|p"2> >-c(r.||W|| 2).

W = (u-v)lu-vl(p_2)/2, де C(R.pt) - неперервна додатня функц!я,

причому lim C(R,pt) t1_p =0. t-4)

Якщо при цьому галерк1нськ1 наближення задовольняють равном1р-н1й оц!нц! ||UJIW(P < С, де С функц1я в1д структури р1вняння, то справедлива наступна теорема.

Теорема 1.3. Якщо структура р1вняння (0.1) задовольняе умовам лем 1.7. 1.8, то р1вняння (0,1) розв'язне в V f 6 1/ хоча 1 неоднозначно.

Справедлива теорема 1.4. Якщо для р1вняння (0,1) виконан1 умо-ви 1) - 5) 1 воно розв'язне в причому f 6 Lz n Lq, q>l/2, то

цей роэв'язок р!вном1рно обмежений.

В умовах справедливое! теореми 1.4 мае м1сце теорема, якою 1 зак!нчуеться $1.

Теорема 1.5. Якщо структура р1вняння задовольняе умовам 1) -5) i воно розв'язне б К/, то його узагальнений розв'язок належить

L п W2p/2(BR,dlx) п W/, 2<р<3,

L п W2p/Z п Wjр, 3<р<4, 00

L П w22 п Wjp. p>4 f e L2 П L4. q>l/2.

Зауваження. Випадок b(x,u,Du) a 0 при виконанн1 умов 1) -5).

як це сл!дуе 1з досл1дження форми hp (u,v), н1чим суттевим не в1д-

р1зняёться в1д попереднього, оск1лбки форма hpx(u. v) в цьому ви-

падку породжуб оператор АРХ: W}p -» W.!Р, який мае т1ж властивост1,

що й для випадку b(x.u, Du) s 0.

В $2 досл1джуеться розв'язн1сть р1вняння

Хц - d0a°(x.u,Du)0 du = f. f>0 (0,1')

в шкал1 простор1в W^. p>2 за припущень . що функц1я

a°(x.u.Du) =а°(х.<р( î , (|u(t) |p + |Vu(t) |p)dt) |t|<|x|

Задовольняе умовам:

1) a°(x,y) 6 C(RlxRxR1) - р1вном1рно не перервна матрична функц1я,

2) (.о a0 (x.u. Du)о £ > е? (. Б R1

1. Нехай u: R'-»R. Визначимо форму

hpX(u,v) = X(u.v) + <dUoa° (x,u,Du)0dv>,

v Б Wlf0p'; 1/p+l/pM. u Б D(hpX)=lu 6 W/ |hpX(u, v) К™}.

Форма hpX(u, v) породжуе обмежений оператор APX: W^ -* W.1p. для якого справедлив1 леми 1.1 - 1.3, 1.8. Справедлива наступна теорема.

Теорема 1.6. Якщо для р1вняння (0,1') виконан1 умови 1). 2), то воно розв'язне в ИД хоча 1 неоднозначно.

Для р=2 при додаткових умовах ¡ч, a°(x.u,Du)0 О fl + I luí I \) е.2

v ¿j

i 1 II a° (x, ¡j.DÜ)0 • (a° (x. u,Du))"111 < -

Hull iivii A к VI,2 Wi ;

u = u + 8(v-u), 0<B<1,

справедлива наступна теорема.

Теорема 1.7. Якщо для р1вняння (0,1') виконан1 умови лем 1.10 - 1.12 та вищевказан1 умови, то оператор АРХ: W/ W./. Х>0 -61ективнс в1добрал!Сння.

Як насл1док теореми 1.7 одержуемо теорему 1.9. Теорема 1.9. Нехай для р1вняння (0,Г) виконан1 умови теореми 1.7. Нехай f е L1 п L°°. Тод1 р1вняння (0.Г) мав единий узагальне-ний розв'язок

u = u(x) eni»,p 1<р<™.

Зак1нчуеться $2 доведениям р1вном1рно! обмеженност1 розв'язк1в р!вняння (0.1') при виконанн! умов теореми 1.9 методом Мозера.

Р03Д1Л II присвячений встановленню апр1орних оц!нок пох1дних першого та другого порядку узагальнених розв'язк1в л1н1йних ел1п-тичних р1внянь, 1х систем та квазил1н1йних ел1птичних р1внянь другого порядку з гладкими коеф1ц1енташ. 3 допомогою цих оц!нок в розд1л1 III встановлюеться гладк1сть узагальнених розв'язк!в р!в-няннь в залежност! в1д диференц!альних властивостей структури цих р1внянь. Вперше ц! оц!нки були опубл1кован1 в роботах [4.9].

Розд1л II складаеться 1з двох параграф1в. В першому 1з них доведена така теорема.

Теорема 2.1. Нехай самоспряжена 1*1 матриця з д1йсними коеф1-

ц1ентами ак] 6 С°° п Ь«>, к.Д = 1_____ 1. Нехай I = ЯеГ Б Ь1 п Ь»п

п О, Х>0. В простор! Ьр, р>1 розглянемо р!вняння

00

( X - а0аос1) и = 1, и 6 Ь2 П Ь (2.1)

Нехай ак1г = -— , 11 а 11д = шах I 1а|^г 11д

к.) . г

Тод! справедлив! апр1орн! оц!нки:

1. Е (| IV, VI + ПУ.иМ^) < с(1,р, МиМт ) (Ма5||^ +

+ 11 Vf 112 p / 3 + llfllp + Mullí);

E MV.ull^ < C(l.p. I lui ) (llaÔM^ + llVflllp/3 + + llfllp + Nulla). P e ] 3/2. 2 t;

g

2. E II ÜVrUllgaj.v < c(l.p. I lui I ) (llfllj + IIa I Igp) +

i. г 00

+ c(x.p.llullM )(|1П1г + I lui il), p > 2;

ft

E IlVrUllgp < c(p. 1.1 lui le )(l lili; + lia 11^) +

г

+ c(x.p. Ilull^ )(llfll2 + Nul il), p > 2;

g

3. E 11 V, Vrul lPp J < C(l.p.R.e) + Cjiljllfllg.lla ll2.

I , г ^ , d x)

K.llulle ) + c(p.k. ||ulle )(llíllf + I lui il +||fli; +

♦ iiaeni;'):

3. E II V,VrullPn , < C(l.p.R.e) + Ci il llfllg. Ila6| l2. 1>r 1 Lp (Br, d x)

k. lluM ) + c(p.k. Ilullœ )(llfll2 + I lui il +llfli; +

♦ llaeil#):

fi

E 11 Vi u 11J p < cil If 112.1 la llg.k.llullj + c(x. p.e. I lull J*

♦ (l If 111 + Mullí + Na'llsü'). £ = . 1< P <3/2.

Доведения теореми 2.1, встановлення кожно! 1з оц1нок 1.2,3 проводиться з допомогою диференц1ювання р!вняння, вибору встановлення кожно! 1з оц1нок в1дпов1дно! "пробно!" функц11 з використан-ням п1д час доведения самого р1вняння (2.1).

В теорем1 2.2. за аналог1чних обмежень на коеф!ц1енти р!вняння

( X - с10аос1) и = и. й Б Ьр П Ь™ п С» .

еи

II = - встановлен1 аналог1чн1 оц1нки та тими ж методами, що

бхг

1 в теорем1 2.1.

$2 присвячений встановленню апр1орних оц1нок пох!дних первого та другого порядк1в для узагальнених розв'язк1в р1вняння (0.1) розд1лу I для випадку р>2, а саме, доведена наступна тео-

рема.

Теорема 2.3. Нехай додатньо визначена 1x1- матриця а°=(ак]) бак (х.и, V) , ,

Эк, = —1- . (Х.и.у) е И1*^1,

з д1йсними коеф1ц1ентами задовольняе умовам:

г.о а°0 £. > И2 £ Б Я1. а^} 6 С1«1*!?*!?1) п Ь™ т1*!?*!?1).

Нехай Г = Ре 1 6 Ь1 п л О , х>0. В простор1 Ьр. р>1, розг-лянемо р!вняння

Хи - с10а(х. и, Би) =1

со

п п! а .. р ¡2 п i г»

а, (х,и.V) Б С1 (Н1 хИ*!*1), и Б Ь2 п I п 1К2Р.

би 8{

Нехай И= (и,.....Иг = - . Гг= -

5хг бхг

г ба) (х. и. йи) ба1 (х. и, Би)

а1 =- , а, -- ,

6хг би

а0 (х, u.Dii) =

ба, (х.и.Би)

и

причому

I а,г I < ц,г I а," I < цД 0 < ц,г. ц,и 6 I2 п Ьр або

I2 п ьр'. Тод1 справедлив1 апр1орн1 оц1нки:

1. Е (ИУ^иИр + 11Уги11р| < с(р.1.11и11га,са.х) (ИдИгр +

1 , г 00

+ Ици1Й + HVfl laS/з + Hfllp + ! lui il) :

E I ivrul lp < c(p.i.llull с\л) (ll/l \Ц + I Uu I lip +

r 00

+ ПУПЙ/з + llfll' + llullg) p e ] 3/2. 2 t;

2. IfV"111p < c(p.i.llulln|.ce.x) (И/1Й + HVfllfp/3 +

+ WîWl + I lu! il). p > 2 ; E llvfrullp < C(p.l) (IIm'II" + 11 ji" 11 г ) +

r

+ c(p(i.iiuiim.ca.x)(iiMrii^ + и^иЦ + \m\lVA + + WîWl * llullgj. p ) 2 ;

3. E II ViVrUll n , < C(R,p.E) + cillullg. И jxr 112. i.r Lp (BR>d x) v

ИдМг.С.к) + C(p. 1. llul lœ.ca.e)(nMrlli + 11диИ|р +

+ llfllg + I lut +llfll|!) + C(p.l.E)(llnu||g + ll/lft +

+ llfllg + llfllp) ♦ C(p. 1. I lu! 1то ) (l ljxr I l|p + Ид Игр +

♦ II/Il+ Им" 11$) :

11Vu111^ < C(p.e)(lluil| + llfllg + II/\\t ) + + c(p. 1.1 lui lœ.Ca.e) (l ljxr 11| + ll/lg + I lui l| + llfllj + + llfllp + 11*11^' + 111гр') + C(llull2.llfll2.ll/ll2.

11ц" I l2.Ca,k.x) . 1 <P< 3/2.

Анал1з доведения теореми показуе. що аналог!чн! оц1нки справедлив! для випадку OU. ^<1. р>2.

Метод доведения застосований в данн!й робот! не дозволяв одер-

жати аналог1чн1 оц1нки для випадку Ш. ¡fj <1/(1-2).

Р03Д1Л III присвячений розв'язност1 квазил1н!йних ел1птичних р1внянь з пов1льно зростаючимиим1рними коеф1ц1ентами в шкал1 собо-левих простор1в W/ CR1.d1х). p>2. 1)3.

За достатньо загальних припущень на структуру р1вняння (0.1) встановлено ochobhI результати роботи:

- а) доведена розв'язн1сть таких р1внянь в шкал1 простор1в Wtp (^.d'x). р>2;

- б) досл1джена гладк1сть розв'язк1в в залежност! в1д диференц!-альних властивостей структури р1вняння (0.1);

- в) введено гладку апрокс!мац1ю р1вняння (0.1). доведено теоре-ми про слабку. сильну зб!жн!сть наблинсних розв'язк1в р1вняння (0.1) в Wjp (R1.d1х) до роз'язк1в даного р1вняння;

- г) введено оператори А : D (А) -» Lp ( А = - Архр h Lp. D(A) = ={ u 6 W„p (R'.d'x) / ApXß (u)6 Lp>) . як1. як показано в робот1, яввляються генераторами нел1н1йних nlßrpyn в Lp.

OchobhI обмеження на структуру р!вняння за яких одержан1 вище-вказан1 результати.

Функц11 a(x.y.z), b(x,y.z) «- (x.y.z) <-R11xRxR1 задовольняють умовам:

1) а, (x.y.z), 1=1.....1. b(x.y.z) - вим1рн1 на R1 XRXR1 скаляр-н1 в1дображення, неперервн! по (у,z) для майже вс1х х 6 R1;

t

2) la(x.y.z) I < Mja(x)|z| + м2а(х)|у| + ц3а(х)

li(x.y.z) - ä(X! . у, ,Z, ) I < М,а (х) |z - Zj I + М2а (х) |у - У! | х

( 1. О < i < 1 , *-1 ,

х { . lyl = lyl - lyl :

[lyl ,1 < t < 1/(1-2)

lb(x. у, z) I < ji,b(x)|z| + М2Ь(х)|у| * + ДзЬ(х). О < *,< 1/(1-2)

Ib(x.y.z) - b(Xi. У!. z,) I < ¡4b(x)|z - zt | + д2ь(х) |у - У1 I х f 1, 0 < < 1 [ lyl .1 < < 1/(1-2).

2') la(x.y.z) - aiXj.yj.Zi) I < ща (x) |z-zt | + д2а(x) |y-yt |

Ib(x.y.z) -b (xj.yj.Zj)! < itjb(x) Iz-zj | + ¿2b (x) ly-yj | , де

Яза(х). Из" 00 Б Lp; ща(х). Д!а(х) 6 L«; д2а(х). щь(х). ц2ь(х). ii1b(x).ii2a(x) 6 Пкр(-А) для 0 < i, 1. або в умовах 2') при i < i, <1 <, 1/С1-2);

3) (.о ä°o > £.2 R1. a° (x, u. Du) EL» uE Wj 10P (R1 .^x).

Умови 1). 2). 2'), 3) дозволяють визначити форму

hpX(u, v) = X<u. v> + <ä(x,u.Du).Vv> + <b(x. u.Du). v>

v 6 Wt Qp'(R1.d1x). u 6 D(hpX)=: (u 6 W^/I^Ku. v) |<«•>. нас-л1дками ЯК011 являються вище вказан! результати.

Будемо розр1знять випадки: 1) t = 1; 2) 0 < i, < 1; 3) 1 < Jf. Jf, < 1/(1-2).

Не обмежуючи загальност1 та уникаючи гром1здких викладок, вва-жаемо в подальшому b(x.u.Du) = 0.

Розд1л III складаеться 1з трьох параграф1в.

В $ 1 розлянуто випадки: 1) 1, 2) 0 < i, <1 для р=2, Иза00 ■ 0.

Форма hX2(u. V) при виконанн1 умов 1)-3) породжуе оператор A2Xß:Wj2 -» W-j2. X > Xq(P). 0<р<1, обмеженно д1ючий 1з Щг в W-!2, хем1неперервний. коерцитивний та монотонний в L2. тому, в цьому випадку, виконан1 вс1 умови абстрактно! теореми М1нт1-Браудера, тобто мае м1сце аналог ц!е! теореми в нашому конкретному випадку -це теореми 3.1 та 3.2.

Розглянута гладка апроксимац1я р!вняняння (0.1) 1 доведена зб!жн1сть (слабка, сильна) наближених розв'язк1в до розв'язк1в р1вняння (0.1). Це теореми 3.3, 3.4.

При зам1н1 умови 2) на 2') доведена теорема про розв'язн1сть р1вняння (0.1) f Б W-!2. Новим фактором тут являеться умова "псев-домонотонност! оператора А2Xß:Wj2 -» W-J2 ця теорема являеться аналогом в1домо! теореми 1.2 1з роботи Ю. А.Дубинського "Нелинейные параболические, элиптические уравнения". М.:ВИНИТИ. 1976. - С.5-130.

Випадок 0 < i.ix < 1/(1-2), р=2 нами тут не розглядаеться. ос-к1льки оператор А2Xß:Wt2 -» W. j2 не являеться коерцитивним.

В $2 виконана програма досл1джень $1 для р>2. При виконанн1 умов 1)-3) показано, що форма hxp(u.v) породжуе оператори АрХр:Wjр -» W_1р, х>0, що мають властивост1 коерцитивност1, хем1неперервнос-т1. аккретивност!,"псевдоаккретивност!" в Lp. тобто введен! аналоги монотонних, "псевдомонотонних" оператор!в для р>2.

Для випадку р>2, 0 < t, <1 доведено теорему - аналог теоре-

ми М1нт1-Браудера - це теореми 3.7, 3.9. В ochobI доведения лежить метод слабкокомпактних граничних переход1в - його забезпечують властивост1 коерцитивнист1,хем1неперервност1 оператора АрXp: Wjр ■* W. }р X > Xq (P. Pi. *"). О < р < 4/р2, аккретивност1 в Lp та метод ап-р1орних оц1нок, одержаних в теорем! 3.8 за додаткових умов 4). 5). оск1льки сама властив!сть коерцитивност1 оператора APXB:W1P W-iP не гарантуе апр!орних оц!нок

IIUn11 р< С де С залежить в!д структури р!вняння.

Для частинного випадку р!вняння (0,1) f 6 Lq, q>l/2. доведена теорема.

Теорема 3.5. Нехай функцП а, (х.у. z). 1=1.....1. поряд з умо-

вами 1)—3) задовольняють додатковим умовам:

л г / . ( 6а1 (х- у-z) ^ г/ л ( sa><x-y-z> ^

4) а (х, y.z) = I - I . а (х.у,z) = -

^ 8xr > v 8у >

неперервн1 по (у,z) для майже вс!х х Б R1;

5) 1аг (x.u.Du) I < nr(x)lVul. lau(x,u,Du)l < ди(х), де 0 < цг(х).

ixu(х): 1) обмежен!, 2) належать L4. 3) представлен! у вигляд1 суми

цг(х) = д,г(х) +■ ц2г(х). ди(х) = щи(х) + M2u(x), де д, г(х), щи(х) 6 L°° ; jigr(x), дги(х) Б L4. Тод1 розв'язок належить L00 n w,4 П W22.

В ochobI доведения лежить метод слабкокомпактних граничних переход^, апр1орних оц!нок, нер1вност! Гальярдо-Шренберга

IIVuII24 < EIIVxx2UII2 + C(e)Null2 . L 00

Для випадку 0 < i < 1. р>2, де умова 2) зам!нена умовою 2') форма hxp(u,V), визначена р!вн1стю (3.1), як це випливае 1з лем 3.5' , 3.6', породжуе обмежений оператор АРХ : W/ W.!Р. X>Xq tt.p, 1,е), реап1зуючий коерцитивне, хем!неперервне воображения. Але, як це випливае !з леми 3,7', цей оператор являеться "псевдоаккретивним" в Lp. Отже, справедлива теорема-аналог теореми 1.2 D.А.Дубинського !з вказано! вище роботи.

Теорема 3.10. Якщо функцП а,(х,у,z), 1=1.....1 задовольняють

умовам 1), 2'), 3)-5). то р1вняння (0.1) розвязне в К/, хоча 1 неоднозначно f Б W- р. Доведения ц!лком аналог!чне доведению теорем 3.6. 3.7, 3.9.

Випадок 1 < t < 1/(1-2), р>2 аналог!чний до випадку р=2 1 тут

не досл1джуеться. Нехай 0 < 1С < 1. р>2. Нехай виконан1 умови 1)-5). тод1 оператор Архр:*11р -» W.1P. Х>Хо(р.р. 1.е) > 0. 0<р<4/р2. обмежене, хем1неперервне в Ьр в!дображення. Як насл1док теорем 3.3, 3.7-3.9 маемо, - оператор АрХр: р / - биективне воображения. Розглянемо звуження оператора Архр:И*1р -» W-1p на Ьр:

Архр = Архр^ Ьр,0(Архр)) =:( и И1р1Архр(и) е Ьр). 0ск1льки вкладання W1р Ьр И-1р -неперервне та щ1льне, а оператор Архр: W1p - б!ективне в1дображення, то. отже, оператор

Архр: Б(АРХР) -» Ьр - теж б1ективне воображения.

$3 присвячений досл!дженню гладкост1 розв'язк1в р1вняння (0,1) в запежност1 в1д диференц1альних властивостей структури цього р1в-няння.

Теорема 3.11. Якщо функцП а, (х.у.г).1=1..... 1. эадовольняють умовам 1),2),2').3)-5), причому Ига(х). ^"(х). Д2аг (*) 6 Ь2 л Ьр або 1г п Ьр/, то р!вняння (0.1) розв'язне в У/Д його розв'язки обмежен1 для Г Б Ьч . я>1/2 1 належать

Ь П «!р/2 (Вв.^х) П*!р. Н>0. 2<р<3.

00

Ь П *1р/2 п »!р. 3<р<4.

00

I п 2 п w1p . р>4

Доведения ц1лком аналог1чне доведению теорем 3.3, 3.5-3.9 1 осно-ване на апр1орних оц1нках наближених розв'язк1в одержаних для р1в-няння (3.6) методами доведения теореми 3.2 1з розд1лу II.

Випадок Ь(х.у.г) ■ 0 аналог1чний розглянутому вище, оск1льки умови 1),2),2')-5) гарантують основн1 властивост! оператора Архр: Х>Хо(р,У.р.1.е). тобто властивост1 коерцитивност!, хе-м1неперервност1. аккретивност! або "псевдоаккретивност!" в Ьр. умови 4). 5) забезпечують р1виом1рн1 апр1орн1 оц1нки наближених розв'язк1в р1вняння (3.6). як1 в силу попередн1х м1ркувань слабко зб1гаються до розв'язк1в р1вняння (0.1).

$4 присвячений розв'язност! р!внянНя (0,1')

Хи + Е(-1)ЙЛс((х.и.1)и.....СГи) = I. Х>0 в VI«,2 (И1 .й'х).

а

За обмежень на структуру р1вняння. аналог1чних, що 1 для р1в-няння (0,1), за допомогою форми

Ь(и. v) = Х<и,у> + Е<Ай(х,и, Би,.., О"1 и) о" у>. у 6 (Н1. Д1 х) (к

доведен1 теореми 1.. 2.- аналоги теорем М!нт!-Браудера та Дубинсь-кого.

Р03Д1Л IV присвячений побудов1 нел1н1йно! п1вгрупи стиску в Lp, р>2.

В цьому розд1л1 вивчаються нел1н!йн1 оператори породжен1 формою hxp(u, V). введеною в розд1л1 III для кваз1л1н1йних р1внянь (0,1) для випадку, коли виконуються умови теорем 3.3, 3.7-3.9.

Показано, що оператори ApXß:W1p -» W./, р>2, X >Xq (р, tf.p. 1.е). О <р< 4/р2 або 0<ß<l, 0<jr,i1<l, точн1ше Ix звуження на Lp, явля-ються, генераторами нел1н1йних п1вгруп в Lp.

А саме, справедлива наступна

Теорема 4.1. Якщо структура р!вняння (0.1) задовольняе умовам теорем 3.3, 3.7-3.9 розд1лу III, то оператор

A: DCA) -» Lp(A=-ApXß, ApXß=ApXß I Lp. D(A)=D(ApXß) - генератор п!вгрупи стиску, тобто U0 б D(A) 1снуе единий розв'зок задач!

Доведению теореми 4.1 передують леми 4.1-4.4, аналоги лем 4.1-4.4, наведен! у вищезгадан!й робот! Ю.А. Дубинського.

Доведения ц!е1 теореми, лем 4.1-4.3 побудовано на застосуванн! властивостей оператора ApXg:W1p -» W.jp. X >Xq (p.i.p. l.c), p>2 1 схематично близьке доведению лем 4.1-4.3.

При доведет! леми 4.4 автору необх!дно було подолати дек1лька перепон1в, що не мали м!сце для р=2.

Доведена теорема, на в!дм!ну в1д л!н!йного випадку. не допус-кае безпосереднього обернення. Проте, це все ж мае м!сце для бага-тозначного оператора А(и).

Теорема 4.2. Нехай A: D(A) Lp - дисипативний багатозначний оператор, причому R(I-A) = Lp. Тод! U0 6 D(A) !снуе единий розв'-язок задач!

dU(t)

= A (U(t)) , t>0

dt

U(0) = U(

'о

dU(t)

e a (u(t)) , t>o

dt

U CO) = u0

Доведения аналог!чне доведению теореми 4.1 ! встановлюеться за т!-

ею ж схемою, що i в випадку однозначного оператора A: D(A) -» Lp. Таким чином, в розд1л1 IV наведено нел1н1йний аналог теореми XIл-ле-1осида-Ф1л1пса для конкретних диференц1альних оператор1в для банахового простору Lp, р>2.

В Доповнен! "Выводи" в пунктi Io автор звертае увагу на те, що кваз1л1н1йн1 ел!птичн! р1вняння високого порядку при умов1 1х на-лежност! до класу р1внянь з пов1льно зростаючими коеф1ц1ентами, звичайно, при виконанн! умов типу 1)-5) розд!лу III. досл1джуються тими ж методами, що i р!вняння (0.1). Для р=2 вони повн1стю сп1в-падають з результатами $1 розд1лу III.

Для р>2 форма hXp(u.V) породжуе оператори Apxp:W1p -» W./, X>Afl >0, обмежено д1юч1, хем1неперервн1, псевдоаккретивн1 в Lp.

В пункт1 2° наведено клас р1внянь

Xu - а(х.и)0 d2u + b(x.u.Du) = f. Х>0.

Р03в'яэн1сть якого в npoctopi *!Р зводиться до розв'язност1 р1в-няння (0.1). якщо функц11 а(х, u). Ь(х, и, Du)задовольняють умовам 1)- 5).

В пункт1 3° при виконанн1 умов теореми 3.11 для р!вняння (0.1) пом1чено. що локально його розв'язки належать

03 о Б

L п щ (BR,dJх) п WfP. р>4. Цей результат випливае 1з теореми 3.2 розд1лу II.

В пункт1 4° пом1чено, що для випадку 1 <1, í^ < 1/(1-2) anpiopHl оц1нки узагальнених розв'язк1в р1вняння (3.6) не сл1дують 1з мето-д1в досл1дження р1внянь (0.1). розглянутих в робот1.

OchobhI положения дисертацП опубл1кован1 в наступних роботах:

1. Кухарчук Н.М. Гладкость обобщеных решений квазилинейных эллиптических уравнений с непрырывными коэффициентами// Тр. 5-й Рес-публ. конф. по нелинейн. задачам мат. физики, Донецк. 9-16 сент.

1985 г. : Тез. докл. - Донецк, 1985.

2. Кухарчук Н.М. 0 принадлежности обобщеных решений квазилинейных эллиптических уравнений в дивергентной форме с разрывными коэффициентами пространству L00 (R1) п w/ (R1) n W2Z (R1). - Киев,

1986 г. -48 с. (Препр. / АН УССР. Ин-и математики; (36.13).

3. Кухарчук Н.М. 0 гладкости обобщенных решений нелинейных равномерных эллиптических уравнений. Киев, 1986.- 12 с. Деп. в УкрНИИНТИ 03.01.86. N 156.

4. Кухарчук Н.М. Априорные оценки обобщенных производных реше-

ний квазилинейных элиптических уравнений второго порядка. -Киев, 1987. - 60 с. - (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 88.61)

5. Кухарчук Н. М. Разрешимость квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми медленно растущими коэффициентами в пространствах Щр(R1. d1 х). р>2. -Киев, 1988. - 52 с. -(Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 88.61).

6. Кухарчук Н.М.. Коваленко В.Ф.. Семенов Ю.А. К теории диффузионных процессов, порождаемых оператором -1/2 Д + ао V. - Киев. 1985. - 21 с. -Дел. в УкрНИИНТИ. N 2380.

7. Кухарчук Н.М. 0 разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в пространствах Lp(R1.d1 х) // 6-ая Республ. конф. по нелинейн. задачам мат. физики. Донецк, 10-15 сент. 1987г.: Тез. докл. -Донецк, 1987. - с. 80.

8. Кухарчук Н.М. Априорные оценки обобщенных производных решений линейных эллиптических уравнений и их систем второго порядка// Вычисл. и прикл. математика. -1988. -Вып. 66. -с. 27-33.

9. Кухарчук Н.М. Априорные оценки обобщенных производных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Там же. -1989. - Вып. 68. - с. 37-48.

10. Кухарчук Н.М. Квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка и нелинейные полугруппы сжатий в Lp. р>2 //. Применение методов функционального анализа в математической физике. - Киев: Ин-т математики АН УССР. 1989. -с. 35- 43.

И. Кухарчук Н.М. О разрешимости, гладкости решений квазилинейных эллипических уравнений с измеримыми медленно растущими ко-еффициентами// Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. - N2 - с. 12-14.

12. Кухарчук Н.М. Нелинейные полугруппы сжатий в Lp // Там же -N 3. -с. 9-12.

13. Кухарчук Н.М. О разрешимоси квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Тези м1жнародно! конференцП. присвячано! пам'ят1 академ1ка М.П. Кравчука. Ки1в. -1992. - с.61.

14. Кухарчук Н.М. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Доклады АН Украины. -Сер. А. 1993 N 6. -с. 17-22.

15. Кухарчук М.М. Про розв'язан1сть р1вняння

Ли - dlv á (x.u.Du) = 0 в (R'.d'x). р)2. 1)3 // Тези м1жна-

родно! конференцП. присвячено! пам'ят! М.П. Кравчука. Ки1в.-1995.

16. Kuharchuk N.M. NON-LINEAR SEMI-GROUPS ASSOCI-TED WITH ONE

ELIPTICEQUATION // Тези м1жнародно! конференцП по нел1н1йним диф. р1внянням, Ки1в. - 1995. - с. 63.

Кухарчук М.М. Кваз1лен1йн1 ел1птичн1 р1вняння та нел1н1йн! п1вгрупи стиску. Дисертац1ею являеться рукопис, що становить 207 ст. машинописного тексту.

Дисертац1я на здобуття вченого ступеня доктора ф1зико-матема-тичних наук за спец1альн1стю 01.01.02 - диференц1апьн1 р1вняння. 1нститут математики Нац1онально1 АкадемП Наук Укра!ни. - Ки-1в:1996.

Захищаеться рукопис, котрий приев'ячений досл1дженню слабко! розв'язанност! кваз1л1н1йних ел1птичних р1внянь, недостатньо вив-чених в л1тератур1, за м1н1мальних обмежень на функц11, що утворю-ють ц1 р1вняння в просторах Соболева WP! (R1 .^х), р>2. 1>3. глад-koctI розв'язк1в в залежност! в1д диференц!альних властивостей структури цих р!внянь, а також побудови нел1н1йно! п1вгрупи стиску в Lp. р>2. генераторами яких являються оператори. побудован1 за л!вою частиною цих р!внянь.

Koukharchiouk N.M. Quasilinear ellyptic equations and non-linear semigroups of compreslons. The thesis Is represented by handwriting of 20?pages of printed text. The thesis for a doctor's degree In physics and mathematics vas made for a profession 01.01.02 - differential equations. The Institute of Mathematics of Ukrainian National Academy of Science.- Kiev: 1996.

The thesis, which is depended, concerns the investigation of weak solvability, unambiguos solvability of quasilinear ellyptic equations of divergent form. This problem had been never studied completely under the minimal limitations on functions, which form the equations in Sobolev spaces W"j (R1. d1x), p>2. 1>3, solution smoothness depending on differential properties of functions which form the equations, and also the construction of non-linear semigroups of compressions in Lp. p>2. The generators of these compressions are the operators, which were constructed utilizing the left part of equations.

Клдчов! слова: Кваз1л1н1йн1, диференц1альн1, хем1неперервн1, монотонн1, аккрективн1. коерцитивн1. anpiopHi оц1нки, узагальнен1 функцП.

ГИдписано до друку 02.04.1996. Формат 60*84/16. Пап1р друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,63. Ум. фарбо-в!дб. 1,G3. Обл.-вид. арк. 1,2. Тираж 100 пр. Зам. 16. Безкоштовно.

В1ддруковано в 1нститут1 математики HAH Укра"1ни 252601 Khïb 4, МСП, вул. Терещеик1вська, 3.