Линейная трансформация и резонансное поглощение МГД волн в атмосферах звезд тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Введение

1 Резонансное поглощение волн

1.1 Электродинамическая теория нагрева короны.

1.2 Альфвеновский и касповый резонансы.

1.2.1 Основное уравнение.

1.2.2 Касповый резонанс.

1.2.3 Некоторые точные решения.

1.3 Метод нормальных мод.

1.4 Резонансное поглощение акустических волн. Численный счёт

1.5 Влияние лучистого теплообмена на резонансное поглощение магни-тогравитационных волн.

1.6 Распространение магнитогравитационных волн в изотермической атмосфере конечной проводимости

2 Линейная трансформация волн в среде с почти горизонтальным магнитным полем

2.1 Линейное взаимодействие волн.

2.1.1 Теория Хёдинга.

2.1.2 Уравнение Орра-Зоммерфельда.

СОДЕРЖАНИЕ

2.2 Трансформация волн в окрестности каспового резонанса. Несжимаемая среда.

2.2.1 Горизонтальное магнитное поле.

2.2.2 Почти горизонтальное магнитное поле.

2.3 Критический угол наклона магнитного поля.

2.4 Резонансное поглощение магнитогравитационных волн в среде конечной проводимости. Несжимаемая среда.

2.5 Сжимаемая среда. Метод анализа.

2.6 Взаимодействие волн на касповом резонансном уровне в идеальной изотермической атмосфере.

2.6.1 Точное решение.

2.6.2 Атмосфера с почти горизонтальным магнитным полем

2.7 Резонансное поглощение магнитогравитационных волн в изотермической атмосфере с лучистым теплообменом.

2.8 Резонансное поглощение магнитогравитационных волн в изотермической атмосфере конечной проводимости.

2.9 Альфвеновский резонанс в плоскослоистой среде с почти горизонтальным магнитным полем.

2.10 Поглощение волн на альфвеновском резонансе в среде конечной проводимости

2.11 Солнечные р-моды осцилляции и нагрев факелов и короны.

2.12 Джоулева диссипация альфвеновских р -волн.

3 5-мин. колебания и нагрев хромосферы

3.1 Резонансное поглощение 5-мин. колебаний и нагрев хромосферы . 116 3.1.1 Туннельное просачивание акустических волн.

СОДЕРЖАНИЕ

3.1.2 Резонансное поглощение акустических волн в области "canopy" магнитного поля.

3.2 Резонансное поглощение и спектр 5-мин. колебаний.

4 Колебания и волны в пятнах

4.1 Колебательная неустойчивость. Колебания в пятнах.

4.1.1 Волновая теория охлаждения пятен.

4.1.2 Трёхминутные колебания в пятнах.

4.1.3 Пятиминутные колебания в пятнах.

4.2 О линейной трансформации альфвеновских р-волн в солнечных пятнах

4.3 Об охлаждении пятен альфвеновскими волнами.

4.4 О пятиминутных колебаниях в тени солнечных пятен.

4.5 О трёхминутных колебаниях в тени солнечных пятен.

4.5.1 Спектр собственных колебаний в приближении слабого поля

4.5.2 Результаты численных расчётов.

4.6 О волноводных свойствах магнитных силовых трубок.

4.6.1 Рассеяние плоской монохроматической звуковой волны на цилиндрической струе с однородным магнитным полем

4.6.2 Возбуждение плоского волновода флуктуациями давления на его боковых границах.

Актуальность темы. Высокая температура короны — одна из наиболее загадочных особенностей Солнца, поскольку в соответствии со вторым законом термодинамики температура должна убывать наружу. Резкий рост температуры во внешних слоях атмосферы Солнца и других звезд указывает на наличие некоторых механизмов нелучистого нагрева вещества атмосферы.

Долгое время считалось, что нагрев внешних слоев атмосферы Солнца связан с акустическим шумом, генерируемым подфотосферной конвективной зоной. В настоящее время разрабатываются теории нагрева короны переменными (АС) и постоянными (ВС) токами.

В основе электродинамической теории нагрева короны переменными токами, то есть, по существу, магнитогидродинамическими волнами, лежит явление резонансного поглощения волн, что выгодно отличает эту теорию от теории нагрева короны постоянными токами, поскольку при резонансном поглощении волн происходит прямое превращение механической энергии в тепло, тогда как при развитии тиринг неустойчивости (в теории нагрева ВС токами) энергия магнитного поля в основном переходит в кинетическую энергию вещества.

Однако недавно, в ряде работ были приведены некоторые соображения, согласно которым резонансное поглощение волн возможно только в случае, когда магнитное поле перпендикулярно градиенту неоднородности среды и, следовательно, не имеет никакого практического значения, поскольку условие перпендикулярности магнитного поля градиенту неоднородности среды может реально иметь место лишь в отдельных точках. Именно поэтому разработка теории резонансного поглош;ения волн в среде с магнитным полем, имеющим составляющую параллельную градиенту неоднородности среды, в настоящее время является весьма актуальной задачей.

Не менее актуальной, хотя и не такой масштабной как теория нагрева короны, является разработка теории колебаний в солнечных пятнах. Как и теория 5-мин. колебаний Солнца, теория колебаний в пятнах позволит не только уточнить наши представления о строении солнечных пятен, но и, возможно, решить вопрос о механизме их охлаждения.

Поскольку и резонансное поглощение и колебания в пятнах обусловлены распространяющимися или захваченными волнами в неоднородной среде и, учитывая ограниченные возможности аналитических методов, первостепенное значение имеет разработка численных методов решения этих задач.

Целью диссертации является

• Разработка теории линейной трансформации волн в окрестности альфве-новского и каспового резонансных уровней в среде с магнитным полем, имеющим малую составляющую вдоль неоднородности среды.

• Расчёт эффективности нагрева хромосферы 5-мин. колебаниями.

• Развитие теории колебаний в солнечных пятнах. Изучение вопроса о возможности охлаждения пятен волнами.

Новизна результатов

• Впервые рассмотрена линейная трансформация волн в окрестности альфве-новского и каспового резонансных уровней в среде с почти горизонтальным

ВВЕДЕНИЕ 7 магнитным полем как в идеальной среде, так и в среде с лучистым теплообменом и конечной проводимостью. Показано, что при наличии диссипации существует критический угол наклона магнитного поля вс, такой, что при угле наклона магнитного поля меньше критического, на резонансных уровнях происходит поглощение крупномасштабной волновой моды также как и в среде с горизонтальным магнитным полем; в том случае, когда угол наклона магнитного поля больше критического, в окрестности резонансного уровня происходит линейная трансформация крупномасштабной волновой моды в мелкомасштабную (на альфвеновском резонансном уровне — в альфвеновскую волну, а на касповом — в медленную магнИтозвуковую) волновую моду. В этом случае достаточно хорошим является приближение идеальной среды.

• Впервые выполнены расчёты спектра 5-мин. колебаний с учетом их резонансного поглощения в хромосфере Солнца в области "canopy" магнитного поля.

• Рассчитана эффективность трансформации альфвеновских р-волн, генерируемых колебательной неустойчивостью в пятне, в магнитогравитационные волны, которые могут выносить энергию из пятен.

• Установлено наличие в тени солнечного пятна резонатора для магнитогра-витационных волн, собственные периоды которого лежат в диапазоне наблюдаемых 5-мин. колебаний в пятне.

• Показано, что в тени пятна имеются два резонатора: один — для медленных магнитозвуковых волн, а другой — для быстрых магнитозвуковых волн и

ВВЕДЕНИЕ 8 что наблюдаемые 3-мин. колебания в спектре мощности для поля скоростей в хромосфере тени пятна достаточно близки к собственным периодам резонатора для медленных магнитозвуковых волн.

Научное и практическое значение работы

Теория линейного взаимодействия волн в среде с почти горизонтальным магнитным полем (с малой составляющей вдоль неоднородности среды) завершает разработку теории резонансного поглощения волн и служит надежным фундаментом как для электродинамической теории нагрева короны, так и для дальнейших экспериментов По дополнительному нагреву плазмы в установках по высокотемпературному синтезу.

Вычисление спектра 5-мин. колебаний с учётом их резонансного поглощения в области "canopy" магнитного поля показало, что причиной, по которой до сих пор теоретически рассчитанные частоты 5-мин. колебаний с большими £ на несколько /U Hz отличались от наблюдаемых частот, является их поглощение на альфвеновских резонансах в хромосфере Солнца, причём количество выделяемой при этом энергии достаточно для компенсации лучистых потерь хромосферы.

Анализ волн в тени солнечных пятен показал наличие в пятне трех резонаторов: для медленных и быстрых магнитозвуковых волн, а также для магнитогра-витационных волн, расположенных на разных глубинах в пятне, что позволяет по наблюдаемым спектрам колебаний восстановить структуру пятна на разных глубинах.

Предложенный численный метод расчёта волновых движений в одномерно-неоднородной среде, при использовании достаточно мощных ЭВМ, позволяет рассчитать практически любую задачу о распространении и линейной трансформации волн.

Содержание работы

Работа состоит из введения, четырёх глав и приложения. По главам материал расположен в зависимости от ориентации магнитного поля по отношению к градиенту неоднородности среды (перпендикулярно, под углом или вдоль неоднородности).

В первой Главе в п 1.1 дан очень сжатый обзор теории нагрева короны, в п 1.2 довольно подробно рассмотрено поглош:ение магнитогравитационных волн в идеальной изотермической атмосфере. Это сделано по той причине, что модель изотермической атмосферы оказалась удобной для аналитического изучения линейной трансформации волн на касповом резонансном уровне и в атмосфере конечной проводимости как с горизонтальным, так и наклонным магнитным полем. В п 1.3 кратко изложен метод нормальных мод с тем, чтобы, с одной стороны, подчеркнуть его отличие от метода решения задачи с начальными данными, который используется в диссертации, а с другой стороны, показать, как полученные в диссертации результаты можно было бы применить для решения граничных задач. В п 1.4 приведены результаты численных расчетов резонансного поглощения акустических волн в сжимаемом идеальном газе с линейным профилем квадрата альфвеновской скорости. В п 1.5 рассмотрено резонансное поглощение низкочастотных магнитогравитационных волн в изотермической излучающей (с ньютоновским законом теплообмена), а в п 1.6 — в изотермической атмосфере конечной проводимости. Результаты, полученные в п 1.5, п 1.6 представляют самостоятельный интерес и, кроме того необходимы для разработки теории резонансного поглощения волн в среде с почти горизонтальным магнитным полем.

В Главе 2, за исключением п 2.12, излагается теория линейной трансформации волн в окрестности альфвеновского и каспового резонансных уровней в среде с почти горизонтальным магнитным полем. В п 2.1 дан краткий обзор теории линейного взаимодействия волн и отмечено, что разработанная в диссертации теория основана на эталонном дифференциальном уравнении третьего порядка (асимптотики решений которого получены в Приложении 3), которое раньше в теории взаимодействия волн не встречалось. Б п 2.2, п 2.3 изучена линейная трансформация волн в окрестности каспового резонанса в приближении несжимаемой среды. В этом приближении задача о линейной трансформации волн свелась к решению одного дифференциального уравнения четвертого порядка, что позволило без особых трудностей показать наличие критического угла наклона магнитного поля вс. то есть, что явление резонансного поглощения волн имеет место и в наклонном поле, если только угол наклона не очень велик. Оценка величины критического угла вс из простых физических соображений дана в п 2.4. При обобщении полученных в п 2.2, п 2.3 результатов на сжимаемую среду, что особенно важно для рассмотрения трансформации высокочастотных волн на альфвенов-ском резонансе, систему уравнений магнитной гидродинамики свести к одному дифференциальному уравнению шестого порядка не удается и поэтому в п 2.5 изложен метод решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных первого порядка, использованный при последующем анализе. В п 2.6 особенности применения этого метода иллюстрируются на примере трансформации волн в идеальной изотермической атмосфере, а в п 2.7, п 2.8 рассмотрена трансформация волн в изотермической атмосфере с лучистым теплообменом и конечной проводимостью соответственно. В п 2.9 анализ проведен для случая, когда угол наклона магнитного поля близок к критическому. При исследовании трансформации на альфвеновском резонансе в идеальной среде (п 2.9) и в среде конечной проводимости (п 2.10) для решения волнового уравнения, описывающего распространение крупномасштабной волновой моды, использовалось приближение слабонеоднородной среды. В п 2.11 дано обобщение результатов, полученных в п 2.9 и п 2.10 на случай, когда БМЗ волны имеют две точки поворота, что позволило с несколько неожиданной точки зрения посмотреть на возможную роль 5-мин. колебаний Солнца в нагреве хромосферы. В п 2.12 рассмотрена джоулева диссипация альфвеновских р-волн в среде с магнитным полем параллельным градиенту неоднородности среды.

В Главе 3 исследуется резонансное поглощение 5-мин. колебаний в области "canopy" магнитного поля (в балдахине). В п 3.1.1 рассмотрено влияние частично прозрачной границы волновода на спектр собственных колебаний волновода. В п 3.1.2 дана оценка эффективности нагрева хромосферы Солнца 5-мин. колебаниями. В п 3.2 для достаточно реалистичной модели оболочки Солнца рассчитан спектр 5-мин. колебаний.

Глава 4 посвящена проблеме охлаждения пятен и колебаниям в тени солнечных пятен. В п 4.1 дан краткий обзор проблемы. В п 4.2, п 4.3 приведены результаты аналитического и численного исследования распространения и линейной трансформации альфвеновских р-волн в атмосфере тени пятна, а в п 4.4 рассчитаны собственные периоды резонатора в тени пятна для магнитогравитационных волн. Изучение спектра колебаний захваченных в тени пятна быстрых и медленных магнитозвуковых волн проведено в п 4.5. Завершает эту главу рассмотрение полноводных свойств толстых силовых трубок (п 4.6), что позволяет ещё раз с несколько иной точки зрения обосновать наличие в тени пятна резонатора для магнитогравитационных волн.

Положения выносимые на защиту

• Разработана теория резонансного поглощения волн в среде с магнитным полем имеющим малую составляющую вдоль неоднородности среды.

- показано, что существует критический угол наклона магнитного поля вс такой, что при угле наклона магнитного поля меньше критического на альфвеновском и касповом резонансных уровнях происходит поглощение крупномасштабных волновых мод, как и в среде с магнит

ВВЕДЕНИЕ

12 ным полем перпендикулярным градиенту неоднородности. При угле наклона поля больше критического на резонансных уровнях происходит линейная трансформация крупномасштабной волновой моды в мелкомасштабную (в альфвеновскую волну на альфвеновском резонансном уровне и в медленную магнитозвуковую волну на касповом резонансном уровне).

- для величины критического угла наклона магнитного поля 0Л получено следующее выражение здесь ш — частота крупномасштабной волновой моды, а г — характерное время её диссипации.

- показано, что эффективность трансформации волн на касповом резонансе значительно выше, чем на альфвеновском, поскольку альфвенов-ский резонанс расположен в области непрозрачности для крупномасштабной волновой моды и, следовательно, возбуждение альфвеновской волны возможно только в результате туннельного просачивания крупномасштабной волновой моды, которое практически отсутствует, если расстояние между точкой поворота для крупномасштабной волновой моды и точкой альфвеновского резонанса достаточно велико.

• Рассчитан спектр 5-мин. колебаний с учётом их резонансного поглощения в области "canopy" магнитного поля. Показано, что резонансное поглощение 5-мин. колебаний может обеспечить нелучистый нагрев верхней хромосферы и объяснить существующее расхождение между теоретически рассчитанными и наблюдаемыми частотами 5-мин. колебаний.

ВВЕДЕНИЕ

13

• Рассчитана эффективность трансформации в тени пятна альфвеновских р-волн в магнитогравитационные волны. Установлено существование в тени пятна резонатора для магнитогравитационных волн, собственные периоды которого лежат в области наблюдаемых в тени пятна 5-мин. колебаний.

• Показано, что 3-мин. колебания в тени пятна, являются собственными колебаниями резонатора для медленных магнитозвуковых волн. Отмечено, что в пятне должны существовать высокочастотные колебания (с периодом ~ 80сек), обусловленные захватом быстрых магнитозвуковых волн.

• Предложен новый метод численного расчёта распространения волн в одномерно-неоднородной среде.

В совместных работах диссертанту принадлежит постановка задачи, аналитические результаты, выбор численного метода рещения, анализ и формулировка результатов, а соавторам — составление программы, численный счет и анализ результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

195

• Многочисленные попытки добиться согласия между теоретически рассчитанными и наблюдаемыми частотами 5-мин. колебаний Солнца, предпринятые в последнее десятилетие, привели, наконец, к пониманию того, что основная причина, по которой рассчитанные собственные частоты 5-мин. колебаний Солнца с большими £ несколько отличаются от наблюдаемых частот — это нечто, что находится в атмосфере Солнца, а вовсе не неопределённости в химическом составе и т. п. в теории внутреннего строения Солнца. Более того, обнаруженное недавно изменение спектра 5-мин. колебаний в зависимости от фазы солнечного цикла указывает на то, что, вероятнее всего, именно глобальное фоновое магнитное поле Солнца является тем фактором, который необходимо учитывать для того, чтобы устранить расхождение между наблюдаемыми и рассчитанными частотами.

В диссертации впервые выполнены расчёты спектра 5-мин. колебаний Солнца с большими £ с учётом их резонансного поглощения в области "canopy" магнитного поля (в "балдахине"). Показано, что учёт резонансного поглощения приводит к изменению собственных частот на несколько ц Hz и что резонансное поглощение 5-мин. колебаний может компенсировать лучистые потери хромосферы.

• Впервые выполнены расчёты спектра собственных колебаний резонатора в тени пятна для низкочастотных магнитогравитационных волн с учётом их линейного взаимодействия с альфвеновскими р-волнами. Показано, что 5-мин. колебания в тени пятна — это собственные колебания тени пятна, а не пассивный отклик на возбуждение 5-мин. глобальными колебаниями Солнца.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987, С.479.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. — М.: Наука, 1965.

3. Бренгауз В.Д. Распространение магнитозвуновых волн в неоднородной изотермической атмосфере. — Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1970, Т.1, с.3-9.

4. Бренгауз В.Д. Взаимодействие магнитогравитационных волн и некоторые приложения к физике солнечной атмосферы. — Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1974, Т.17, с.192-203.

5. Бреховских A.M. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973, с.343.

6. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений — М.: Мир, 1968, с.464.

7. Векштейн Г.Е. Релаксационная диссипация энергии магнитного поля в разреженной плазме — Препринт ИЯФ 86-87. Новосибирск, 1986.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966, с.57б.1. ЛИТЕРАТУРА

9. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.: Наука, 1967, С. 684.

10. Голлант В.Е., пилия А.д. Линейная трансформация и поглонение волн в плазме. УФН, 1971, т.ЮЗ, вып.З, с.413-456.

11. Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. — М.: Мир, 1975, с.532.

12. Гребинский A.C. Взаимодействие магнитозвуковых волн в слабонеоднородной плазме. — ЖТФ, 1969, т.39, с.1166-1174.

13. Давыдова Т. А. К теории линейной трансформации волн в неоднородной плазме. — ЖЭТФ, 1971, Т.60, с. 1001-1011.

14. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. — М.: Наука, 1971, сЛ

15. Щ Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. — М.: Мир, 1970, C.344.

16. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. — М.: Высшая школа, 1975, С.407.

17. Додд Р. Эйлбек Дж., Гиббон Дж. Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988, с.694.

18. Доильницина Э.Г. Распространение крупномасштабных возмущений в атмосфере с анизотропной проводимостью. — Изв. Вузов Радиофизика, 1981, т.24, с.267-275.

19. Ерохин Н.С., Моисеев С.С, Волновые процессы в неоднородной плазме. — В кн.: Вопросы теории плазмы, М., Атомиздат, 1973, т. 7, с. 146-204.1. ЛИТЕРАТУРА222

20. Железняков В.В. Электромагнитные волны в космической плазме. — М.: Наука, 1977, с.432.

21. Железняков В.В., Качаровский В.В., Качаровский Вл.В. Линейное взаимодействие электромагнитных волн в неоднородных слабоанизотропных средах.1. УФН, 1983, т. 142, вып.2.

22. Жугжда Ю.Д. Магнитогравитационные волны в проводящей изотермической атмосфере. — АЖ, 1979, т.56, БЫП.1, С.74-83.

23. Жугжда Ю.Д., Джалилов Н.С. Линейная трансформация магнитогравитаци-онных волн в экспоненциальной атмосфере. — Физика плазмы, 1982, т. 8, с.990-998.

24. Жугжда Ю.Д., Джалилов Н.С. Линейная трансформация магнито- акустико-гравитационных волн в наклонном магнитном поле. — Физика плазмы, 1983, Т.9, с. 1006-1014.

25. Ж5/КоВ В.И. Распространение магнитозвуковых волн в неоднородных магнитных полях. 1. — Солнечные данные, 1978, N8, с.81-86.

26. Жуков В.И. Поглощение в непрерывном спектре магнитозвуковых волн как возможный механизм нелучистого нагрева солнечных фотосферных факелов.

27. Солнечные данные 1979, N3, с. 80-88.

28. Жуков В.И. Резонансный нагрев изотермической атмосферы с однородным горизонта,11ъным магнитным полем. — Солнечные данные, 1979, N7, с.75-79.

29. Жуков В.И. О возможности охдаждения солнечных пятен альфвеновскими волнами. — Солнечные данные, 1979, N9, с. 83-86.1. ЛИТЕРАТУРА223

30. Жуков В.И. Распространение магнитозвуковых волн в неоднродных магнитных полях. — Солнечные данные, 1979, N10, с. 87-94.

31. Жуков В.И. О волноводных свойствах магнитных силовых трубок. — Солнечные данные, 1985, N10, с.83-88.

32. Жуков В.И, Об особенностях распространения магнитогравитационных волн в плоскослоистой среде с почти горизонтальным магнитным полем. — Физика плазмы, 1986, т. 12, с. 101-105.

33. Жуков В.И. Трансформация волн на касповом резонансе в изотермической атмосфере конечной проводимости с почти горизонтальным магнитным полем. — Тезисы докладов "Колебания и волны на Солнце", Тбилиси, Мецниереба, 1988, С.16.

34. Жуков В.И. Влияние лучистого теплообмена на резонансное поглощение магнитогравитационных волн. — Изв. Вузов Радиофизика, 1988, т.31, с.420.

35. Жуков В.И. Альфвеновский резонанс в плоскослоистой среде с почти горизонтальным магнитным полем. —Физика плазмы, 1988, т. 14, с.872-876.

36. Заславский Г,М. Лекции по применению метода ВКБ в физике. — НГУ, Новосибирск, 1965, C.52.

37. Заславский Г.М., Мейтлис B.1L, Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в пе-однородных средах. — М.: Наука, 1982, с. 175.

38. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976, с.240.

39. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальныА/j уравнениям. — М.: Наука, 1965.

40. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972, С.274.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986, с.736.

42. Лепендин Л.Ф. Акустика. — М.: Высшая школа, 1978, с.448.

43. Линь С. Теория гидродинамической устойчивости. — М.: ИЛ, 1958.

44. Маслоу CA . Неустойчивость и переход в сдвиговых течениях — В кн.: Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984, с. 19-27.

45. Моисеев С.С, Смилянский В.Р. К вопросу о трансформации волн в магнитной гидродинамике. — Магнитная гидродинамика, 1965, т.2, с.23-30.

46. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981, С.400.

47. Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977, с.320.

48. Никифоров А.Ф., Уваров В.В., Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1984, с.304.

49. Нуралиев Б.Т. Расчёт собственных функций для однослойной модели тени пятна Шойера-Томаса. — Солнечные данные, 1989, N5, с.115-117.

50. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989, с.326.

51. Обридко В.Н., Теплицкая Р.Б. физические условия в солнечных пятнах. — ВИНИТИ. Астрономия, 1978, т. 14, с.7-147.

52. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978, с.376.1. ЛИТЕРАТУРА225

53. Островский Л.А., Петрухин Н.С. О нелинейных волнах в атмосфере Солнца В кн.: Исслед. по геомагн., аэрон, и физ.Солцна. — М.: Наука, 1979, вып.48, с.104-117.

54. Пилия А.Д., Федоров В.И. Линейная трансформация волн в неоднородной магнитоактивной плазме. — ЖЭТФ, 1969, т.57, с. 1198-1209.

55. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. — М.: Мир, 1985, с.592.

56. Рютов Д.Д., Рютова М.П. Звуковые колебания в плазме с "магнитными нитями". — ЖЭТФ, 1976, Т.70, с.943-954.

57. Рютов Д.Д., Рютова М.П. Роль "магнитных нитей" в динамике солнечной хромосферы. — в кн.: Исслед. по геомагн., аэрон, и физ. Солнца, 1979, вып.48, с. 118-122.

58. Тимофеев А.В. Колебания неоднородных течений плазмы и жидкости. — УФН, 1970, T.102, вып.2, с. 185-210.

59. Тимофеев А.В. К теории альфвеновских колебаний неоднородной плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы. М., Атомиздат, 1979, вып.9, с.205-231.

60. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. — ГТТИ, 1933, т.1, С.342.

61. Федорюк М.В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977, с.368.

62. Хёдинг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). — М.: Мир, 1965, С.238.

63. Abdelatif Т.Е. and Thomas J.H. The interaction of solar p-modes with a sunspot. П. Simple tlieoretical models. — Astrophys. J., 1987. v.320, N2, p.884-892.1. ЛИТЕРАТУРА226

64. Ando H., Osaki Y. Nonadiabatic nonradial oscillations: An application to the five-minute oscillation of the Sun. — Publ. Astron. Soc .Japan, 1975, v.27, p.581-603.

65. Ando H. and Osaki 1. The influence of the chromosphere and corona on the solar atmospheric oscillations — Publ. Soc. of Japan, 1977, v.29, p.221-233.

66. Antia H.M. and Chitre S.M. Waves in the sun spot umbra. — Solar Phys., 1979, V.63, N1, p.67-78.

67. Banos A. Magneto-hydrodynamic waves in incompressible fluids. — Proc. Roy. Soc. London, 1955, A.233. p.350-366.

68. Beckers J.M., Schaltz R.B. Oscillatory motions in sun-spots. — Solar Phys., 1972, V.27, N1, p.61-70.

69. Beckers J.M. The flux of Alfven waves in sunspots. — Astrophys. J., 1976, v.203, N3, p.73 9-752.

70. Beckers J.M. and Sneeberger T.J. Alfven waves in the corona above sunspots. — Astrophys. J., 1977, v.215, N2, p.356-363.

71. Betchov R. and Crimínale W.O. Stability of parallel Flows. — New York, Academic Press, 1967, p.278.

72. Bha.tnagar A„ Tanaka K. Intensity oscillation in H-line structure. — Solar Phys., 1972, V.24, N1, p.87-97.

73. Boris J.P. Ph.D. dissertation. — Prirceton University, 1968.

74. Budden K.G. Radio waves in the ionosphere. — Cambridge Univ. Press, 1961.1. ЛИТЕРАТУРА227

75. Campos L.M.B.C., Leitao J.C.G.C. On wave reflection or absorption at hydromagnetic critical levels. — Seismology of the Sun and the distant stars, ed. D.O. Gough, 1986, p.281-292.

76. Chandraseckhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — Oxford, Clarendon Press, 1966, p. 622.

77. Christinsen-Dalsgaard J. Oscilla,tions of Sun. — Theoretical problems in stella stability and oscillations, 1984.

78. Clark P.A. and Clark A.Jr. Radiative damping of trapped gravity waves in the solar atmosphere. ~ Solar Phys., 1973, v.30, N2, p.319-325.

79. Clemmow P.C. and Heading J. Coupled form of the differential equations govering radio propagation in the ionosphere. — Proc. Camb. Phil. Soc, 1954, v.50, p.319-333.

80. Cram L.E. Wilson P.R. Hydromagnetic waves in structured magnetic field. — Solar Phys., 1975, v.41, N2, p.313-327.

81. Danielson R.E. The structure of sunsport pernumbras. II. Theoretical. — Astrophys. J., 1961, V.135, N2, p.289-322.

82. Defow R.J. Wave propagation along a magnetic tube. — Astrophys. J., 1976, V.209, N2, p.266-269.

83. Deubner F.L. Pulsations and oscillations — The Sun as a Star.- NASA/CNRS, 1981, p.65-84.

84. Dewar R.L. and Davis B. Bifurcation of the resistive Alfven wave spectrum. — J. Plasma Phys., 1984, v.32, p.443-461.

85. Einaudi G. and Mok Y. Resistive Alfven normal modes in a non-uniform plasma. — J. Plasma Phys., 1985, v.34, p.259-270.

86. Einaudi G. and Mok Y. Alfven wave dissipation in the solar atmosphere. — Astrophys. .1., 1987, V.319, N1, p.520-530.

87. Espagenet O., MuUer R., Roudler Th., et ah. Spatial relation between the 5-minute oscillations and granulation patterns — Astron. Astrophys., 1996, v.313, p.297-305.

88. Evans D.J., Roberts B. The influence of a chromospheric magnetic field on the solar p- and /- modes. II. Uniform chromospheric field. — Astrophys. J., 1990, V.356, p.704-719.

89. Ferraro V.C. and Plumton. C. Hydromagnetic waves in a horizontally stratified atmosphere. Astrophys. J., 1958, v.l27, N2, p.459-476.

90. Furth H.P.,Killeen J. and Rosenbluth N.N. Finite-Resistivity instability of a sheet pinch. — Fhys. Fluids, 1963, v.6. p.459-484.

91. Geronicolas E.A. Alfven waves propagation in a density gradient in sunspots. — Astrophys. J., 1977, v.211, N3, p.966-971.

92. Giovanelli R.G. Oscillations and waves in a Snnspot. — Solar Phys., 1972, v.27, N1, p.71-79.

93. Giovanelli J.B. and Harvey J.W. and Livingston W.C. Motions in solar magnetic tubes. ~ Solar Phys., 1978, v.58, N2, p.347-362.

94. Giovanelli R.G. An exploratory two-dimensial study of the coarse structure of network magnetic fields. — Solar Phys., 1980, v.68, p.49-69.f

95. Gurman J.B. and House L.L. Vector magnetic fields in sunspots. — Solar Phys., 1981, V.71, N2, p.5-20.

96. Gurman J.B., Leibacher J.W. Linear models of acoustic waves in sunspot umbrae. ~ Astropfiys, J., 1984, V.283, N2, p.859-869.

97. Hasegawa A. and Chen L. Plasma heating by Alfven-wave phase mixing. — Phys. Rev. Let., 1974, v.32, p.454-456.

98. Hazel P.J. The effect of viscosity and heat conduction on internal gravity waves at a critical level. — J. Fluid mech., 1967, v.30, part 4, p.775-783.

99. Heading J. The noUsingular embedding of transition processes within a more general framwork of coupled variables. — J. of Research of the Nat. Bureau of Standarts, 1961, 65D, p.595-616.

100. Heyvarts J. and Prist E.R. Coronal heating by phase-mixed Alfven waves. — Astron. Astrophys., 1983, v.ll7, p.220-234.

101. Heyvarts J. and Prist E.R. Coronal heating by reconnection in DC current systems. A theory based on Taylor's hypothesis — Astron. Astrophys., 1984, v. 137, N1, p.63-78.

102. Heyvaerts J. Energy dissipation mechanism in the Solar corona Unstable current systems and pla»sma instabilities in astrophysics, ed. M.R. Kundu and G.D.Holman, 1985, p.95-ffl.

103. Kahn F.D. Sound waves trapped in solar atmosphere. — Asrophys. J., 1961, V.134, p.343-346.

104. Kappraff J.M. and Tataronis J.A. Resistive effects on Alfven wave heating. — J. Plasma Phys., 1977. v. 18, p.209-226.

105. Karney C.F.F., Perkins F.W. and Sun Y.C. Alfven resonance effects on magnetosonic modes in large Tokomaks. — Phys. Rev. Lett., 1979, v.42, p.1621-1624.

106. Kopecky V. and Preinhalter J. Transformation and absorption of waves in an inhomogeneous beam-plasma system. — J. Plasma Phys., 1969, v . 11, p.333-343.1110. Kupenis M. The heating ofthe Solar corona — Space Sci.Rev. 1969, v.9, p.713-739.

107. Kuperus M., lonson J.A., Spicer D.S. On the theory of corona heating mechanisms. — Ann. Rev. Astron. Astrophys, 1982, v.19, p.7-40.

108. Langer R.E. On the construction of related differetial equations. — Trans. Amer. J. Ma,th., 1956, V. 8 1, p.394-410,

109. Lee M.A. Comments on the dissipation of hydromagnetic surface waves. — Astropbys. J., 1980, V.240, N2, p.693-695.1114. Lee M.A., R,oberts B. On the behavior of hydromagnetic surface waves. — Astrophys. J., 1986, V.301, N1, p.430-439.

110. Leroy B. and Schwartz St. J. Propagation of waves in an atmosphere in the presence of a magnetic field. — Astron. Astrophys., 1982, v.112, N1, p.84-92.

111. Libbrecht K.J. Solar p-mode phenomenology — Astrophys. J., 1988, v.334, p.510-516.

112. Lighthill M.J. On sound generated aerodynamicalA. I. General theory. — Proc. Roy. Soc.of London, 1952, A 211, p.564-587.

113. Lites B.W. Photoelectric observations of chromospheric sunspot oscillations, II. Propagation characteristics. — Astrophys. J., 1984, v.277, N2, p.874-A

114. Lites B.W. and Thomas J.H. SunSpot umbrae oscillations in the photosphere and low chromosphere. — Astrophys. J., 1985, v.294, N2, p.682-€

115. Mein P., Mein N., Schmlder B. Observa,tional proof of the inefficiently of the coronal heating by acoustic waves. — Proc. of the Japan-France seminar on Solar Physics. Tokyo, 1981, p.70-76.

116. Mekki O.El. Eltayeb LA., McKenzie J.F. Hydromagnetic gravity wave critical levels in the solar atmosphere. — Solax Phys., 1978, v.57, N2, p.261-266.

117. Melrose D.B. Mode coupling in. the soiax corona. J. Coupling near the plasma level. a Austr. J. Phys., 1974, v.27, p.31-42.

118. Mok Y. and. Einaudi G. Resistive decay of Alfven waves in non-imiform plasma. a J.Plasma Phys., 1985, v.33, p.199-208.

119. Mok Y. Viscous dam.ping of Alfven. B.orTa1 modes in non-uniform pla,sm.as, — Astron. Astrophys., 1987, V.172 , N1/2, p.327-33L

120. Miisman S. Alfven waves in sunspots. — Astrophys. J., 1967, v.l49, N1, p.201-209.

121. Nye A.H. and Thomas J.H. Solar magneto-atmospheric waves. 1. An exact solution for a horizontal magnetic field. — Astrophys. J., 1976, v.204, N2, p.573-581.

122. Nye A.H. and Thomas J.H. Solar magneto-atmospheric waves. II. A model for running pernumbral waves.— Astrophys. J., 1976, v.204, p.582-588.

123. Osterbrock D.E. The heating of the Solar chromosphere. Plages and Corona by magneto-hydrodynamic waves. — Astrophys. J., 1961, v.134, N 2, p.347-388.

124. Ott E. Wersinger J.M., Bonoli P.T. Theory of plasma heating by magnetosonic cavity mode absorption. — Phys. Fluids, 1978, v.21, p.2306-2315.

125. Parker E.N. Sunspots and the physics of magnetic flux tubes VIII. Overstability in a magnetic field in a downdraft. — Astrophys. J., 1979, v.233, N3, p.1005-1015.

126. Pinter B., Goossens M. Oscillations in a magnetic solar model I. Parallel propagation in a chromospheric and coronal magnetic field with constant Alfven speed — Asron. and Asrophys., v.347, p.321-334.

127. Rae I.C. and Roberts B. On MHD wave propagation in inhomogeneous plasmas and the mechanism of resonant absorption. — Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 1982, V.201, p. 1171-1182.

128. Rabenstein A. L. Asymptotic solutions of uAAA + \ ^{zu 4- au 4- /3n = 0 for large A|. — Archive for Rational Mech., 1958, v.l, p.418-435.

129. Raghvendra Singh, Sudhaushu and Krishna M., Srivastava Sunspots and physics of magnetic flux tubes overstability and Kelvin-Helmholtz instability in a magnetic field. — Astrophys. and Space Sci., 1983, v.89, p.201-220.

130. Roberts B. Waves in inhomogeneous medium. — Proc. of the Fourth European Mealing on Solar Phys. "The Hydromagnetic of the Sun", 1984.

131. Roberts B., Webb A.K. Vertical motions in an intensive magnetic flux tube. — Solar Phys., 1979, v.64, N1, p.77-92.

132. Savage B.D. Thermal generation of hydromagnetic waves in sunspots. — Astrophys, J., 1969, v,156, N2, p.707-729.

133. Scheuer M. A., Thomas J.H. Umbral oscillations as resonant modes of magneto-atmospheric waves. — Solar Phys., 1981, v.71, N1, p.21-38.

134. Schultz R.B. and White O.R. Themporal variations of the magnetic field in sunspots. — Solar Phys., 1972, v.35, N2, p.309-316.

135. Schwartz S.I. and Bel N. On the absence of critical levels in the solar atmosphere. — Solar Phys., 1984, v.92, N1/2, p.133-144.

136. Sedlacek Z. Electrostatic oscillations in cold inhomogeneous plasma. I. Differential equation approach. — J. Plasma Phys., 1971, v.5, p.239-263.

137. Spruit H.C. Magnetic flux tubes. — The Sun as a Star, NASA/CNRS, 1981, p.385-412.

138. Stein R.F. Generation of acoustic and gravity waves by turbulence in an isothermal stratified atmosphere. — Solar Phys., 1967,v.2, N4, p.385-432.

139. Steinolofson R.S. Resonant absorption of phasemixed Alfven surface waves in ideal and resistive magnetohydrodynamics: initial-value problem. — Phys. Fluids, 1984, V.27, p.781-783 (L).

140. Steinolofson R.S. Resistive wave dissipation on magnetic inhomogeneities: normal modes and phase mixing. — Astrophys. J., 1985, v.295, N1, p.213-219.

141. Stix M. On radiative relaxation of chromospheric oscillations. — Astron. Astrophys., 1970, V. 4, N2, p.189-201.

142. Tataronis J.A. Energy absorption in the continuous spectrum of ideal MHD . — J. Plasma Phys., 1975, v.l3, p.87-105.

143. Thomas J.H. The reflection of alfven waves and the cooling of sunspots. — Astrophys. J., 197S, V.225, N1, p.275-285.

144. Thomas J.H., Scheuer M. A. Umbral oscillations in a detailed model umbra. — Solar Phys., 1982, v.79, N2, p.19-29.

145. Thomas J. H., Cram L. E. and Nye A. H. Five-minute oscillations as a subsurface probe of sunspot structure. — Nature, 1982, v.297, p.485-487.

146. Thomas J.H., Cram L.E. and Nye A.H. Dynamical phenomena in sunspots. I. Observing procedures and oscillatopy phenomena. — Astrophys.J., 1984, v.285, N2, p.368-380.

147. Thomas J.H. Oscillations in sunspots. — Aust. J., Phys., 1985, v.38, p.811-824.

148. Thoomre J. — Seismology of the Sun and Distant Stars, ed. Cough, 1986, p.l.

149. Tirry W. J., Goossens M., Pinter B., et ah. Resonant damping of solar p-modes by the chromospheric magnetic field — Astophys. J., 1998, v.503, p.422-428.

150. Turrittin H.L. Asymptotic solutions of certain ordinary differential equations associated with multiple roots of the characteristic equation. — Amer. J. Math., 1936, V.58, p.364-376.

151. Uchida Y. and Sakurai T. Oscillatios in sunspots umbral due to trapped alfven waves exited by over stability. — Publ. Astron. Soc. Japan, 1975, v.27, p.259-274.

152. UexkuU M., Kneer F. and Matting W. The chromosphere above sunspot umbrae. — Astron. Astrophys., 1965, v.l23, N2, p.263-270.

153. Ulrich R.K. The five-minute oscillations on the solar surface. — Astrophys. J., 1970, V. 162, N3, p.993-1002.

154. Unno W. Generation of acoustic noise in convective zones. — Trans, of the international astronomical Union, 1964, v.XII B.

155. VanlommelP., Goossens M. Influence of a chromospheric magnetic field on solar acoustic modes — Solar Phys., 1999, v. 187, p.357

156. Wasow W. A study of the solutions of the differential equation y+ X^{xy" + y) = 0 for large values of A. — Annals of Math., 1950, v.52, p.350-361.

157. Whittaker W.A, Heating of the solar corona by gravity waves. — Astrophys. J., 1963, V. 137, N3, p.914-930.

158. Wilson P.R. Hydromagnetic wave modes in magnetic flux tube. — Astron. Asrtophys., 1979, v.72, N1, p.9-13.

159. Wolff C.L. The five-minute oscillations as nonradial pulsations of the entire Sun.

160. Astrophys. J., 1972, vl77, L87-L92.

161. Young-ping Pao and Kerner W. Analitic theory of stable resistive magneto-hydrodynamic modes. — Phys. Fluids, 1985, v.28, p.287-293.

162. Zhughda Y.D. Tunnel-effect and propagation of 5-min oscillations in the solar atmosphere — Solar Phys., 1972, v.25, p.329-338.

163. Zhugzhda Y.D., Locans V. and Staude J. Seismology of sunspot atmospheres.

164. Solar Phys., 1983, v.82, N1/2, p.369-378.

165. Zhugzhda Y.D., Staude J., Locans V. A model of the oscillations in the chromosphere and transition region above sunspot umbrae. — Solar Phys., 1984, V.91, N2, p.219-234.

166. Zhugzhda Y.D., Dzhalilov N.S. Propagation and transformation of the MHD waves in region of a horizontal magnetic field. — Труды XIII Консультативного совещания по физике Солнца. — Новосибирск: Наука, 1989, т.2, с.46-50.

167. Zugzda Y.D., Locans V., Staude J. The interpretation of oscillations in sunspot umbrae. — Astron. Nachr., 1987, v.308, p.257-269.

168. Zhukov V.I. On the linear transformation and resonant absorption of alfven p-modes in sunspots. — Solar Phys., 1985, v.98, N1, p.39-50.

169. Zhukov V. I., Efremov V.I. and Nuraliev B.T. The spectrum umbral oscillations of the Scheuer-Thomas sunspot model. — Solar Phys., 1987, v. 109, p.403-404.

170. Zhukov V.I. and Efremov V.I. Propagation of magnetohydrodynamic waves in the solar atmosphere. Alfven p-waves in sunspots — Bull. Astr. See. India, 1988, V.16, p. 145-158.

171. Zhukov V.I. Resonant absorption of internal gravity waves in stellar atmosphere. — Astrophys. and Space Sci., 1988 v.141, p.65-74.

172. Zhukov V.I. Resonant absorption of magnetogravity waves in a an isothermal atmosphere permeated by a nearly horizontal magnetic field in the presence of radiative exchange. — Astron. Astrophys., 1989, v.222, p.293-296.

173. Zhukov V.I. Wave transformation at the cusp resonance in a finite conductivity isothermal atmosphere permeated by a nearly horizontal magnetic field. — Astrophys. and Space Sci., 1989, v. 154, p.242-254.1. ЛИТЕРАТУРА237

174. Zhukov V.I. Wave absorption at the alfven resonance in a medium of finite conductivity. — Astrophys. and Space Sci., 1990, v.l74, p.173-179.

175. Zhukov V.I. Solar 5 minute oscillations and heating of corona. — Solar Phys., 1992, V. 139, p.201-203.

176. Zhukov V.I. Resonant absorption and spectrum of 5-min. oscillations of the Sun. — Astron. Astrophys., 1997, v.322, p.302-306.

177. Zhukov V.I. The resonant absorption of 5-min. oscillations in the solar atmosphere. — Solar Phys., 1997, v.l73, p.15-24.

178. Zhukov V.I. Resonant absorption and spectrum of 5-min oscillations of the Sun II. Fine structure of the spectrum of 5-min oscillations — Astron. Astrophys., 2000, v.354, p.277-279.

179. Zhukov V.I. Resonant absorption and the spectrum of 5-min oscillations of the Sun III. Influence of inhomogeneity of the canopy magnetic field on fine structure — Astron. Astrophys., 2001, v.369, p.672-676.