Линейные нестационарные системы определенного класса и их приложения в механике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

СОБОЛЕВСКИЙ ПЕТР МИХАЙЛОВИЧ

ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003456165

МОСКВА 2008

003456165

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Защита состоится 19 декабря 2008 года в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 19 ноября 2008 года.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Морозов доктор физико-математических наук, профессор А.И. Матасов кандидат физико-математических наук

В.В. Чугаев

Вычислительный центр имени А.А. Дородницына Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22

У 11

доцент В.А. Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи механики приводят к необходимости исследования нелинейных нестационарных систем и их линеаризованных моделей. Для успешного решения этих задач необходимы эффективные, удобные в применении методы исследования процессов, протекающих в линейных нестационарных системах (ЛНС). Поэтому актуальным является разрабатываемое в диссертационной работе направление исследования ЛНС, состоящее в выделении таких классов ЛНС, которые, во-первых, допускают более глубокое исследование, во-вторых, имеют практическое применение в задачах механики. Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов интегрируемости в замкнутой форме, приводимости и устойчивости линейных нестационарных систем первого и второго порядков определенных классов и рассмотрению их приложений к ряду задач механики.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Предложен новый подход к анализу устойчивости ЛНС. Сформулировано и доказано утверждение о конечном числе областей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров линейной системы с периодическими коэффициентами, относящейся к специальному или коммутативному классу. При исследовании устойчивости в рассмотренных механических задачах получены новые аналитические результаты. Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы являются строго обоснованными.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении вопросов устойчивости программных движений различных механических объектов, линеаризованные модели которых описываются линейными нестационарными системами.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: - Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их применения». Санкт-Петербург. СПбГТУ. 2000 г.

- The Third International Conference «Tools for mathematical modeling». Санкт-Петербург. 2001 г.

- XXVI академические Чтения по Космонавтике. Москва. ИИЕТ РАН. 2002 г.

- Четвертый международный аэрокосмический конгресс IAC2003. Москва.

- Международная конференция по механике и баллистике «Пятые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. 2006 г.

- Пятый международный аэрокосмический конгресс IAC2006. Москва.

- Dynamical system modeling and stability investigation. (DSMSI-2007). Киев.2007 г.

- Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ-2007», посвященный 150-летию со дня рождения академика А.МЛяпунова. Санкт-Петербург. 2007 г.

- IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск.2007 г

- Sixth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics. Великие Луки. 2007 г.

- Международный семинар имени Е.С. Пятницкого. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Москва. ИПУ. 2008 г.

- XII Международная научная конференция имени акад. М.Кравчука. Киев. Национальный технический университет Украины «КПИ». 2008 г

- X Международная научная конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк. 2008 г

- Международная конференция по механике и баллистике «Шестые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. Балт. гос. техн. ун-т. 2008 г

- Семинар кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ, октябрь 2001 г., октябрь 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в семи

печатных работах, одна из которых опубликована в журнале, входящем в

перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 114 наименований. Общий объем диссертации - 116 страниц Содержание работы.

Во введении описана предметная область и цель диссертационной работы; дан краткий обзор публикаций, связанных с исследованием линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений; приведено краткое содержание работы.

В первой главе рассматриваются линейные нестационарные системы вида:

^ = i>i0>0; (1)

Здесь х(/) = (xt(t).....х„0)У ~ действительный вектор состояний системы; А(/) -

квадратная матрица с действительными непрерывными элементами на интервале времени I = [/0,°о), обладающая определенными свойствами.

В разделе 1.1 описаны основные классы JIHC, интегрируемых в замкнутой форме, среди которых ряд классов, интересных с точки зрения механики, -системы коммутативного и специального классов. Такие системы имеют существенное значение для приложений, так как могут быть использованы в качестве базовых моделей при построении приближенных решений систем более сложного вида.

Система (1) относится к коммутативному классу если ее матрица А(/) удовлетворяет следующему условию: существует непрерывно дифференцируемая на интервале / = [i0,oo) матрица B(i) , такая, что для всех <е/ имеет место

= А(/) и АВ = ВА . Фундаментальная матрица систем коммутативного класса представляется в виде Ф(/,/0) = expB(/)exp(-B(f0)).

'Lukes D.L. Differential Equations: Classical to Controlled Mathematics in Science and Engineering. V.162. AP New York. 1982.

Функционально-коммутативные системы, являющиеся подклассом коммутативных, определяются как системы, матрицы коэффициентов которых для любых /,, t2el удовлетворяют условию А(7,) А(/2) = А(Г2) А(/,) . Матрица А(/) в этом случае представима в виде2

A(0 = f>,.(0A, (2)

1=1

где а, (/) - линейно независимые скалярные функции, А, - постоянные попарно коммутативные матрицы: А,Ау =АуА(; i,j = \,...,m. Фундаментальная матрица системы (1) в этом случае имеет вид

т '

Ф(М0) = Пехр(Д(/,/0)А,), Д (/,/„) = ja,(T)di.

'о

Система (1) относится к специальному классу3, если существует такая постоянная матрица D, что матрица коэффициентов А(/) системы удовлетворяет уравнению

~ DA(/) - A(/)D (3)

Преобразование системы (1) к стационарной системе, сама стационарная система и фундаментальная матрица системы (1) имеют вид:

x = L(Oy,L(i) = exp(D(/-/0)) (4)

у = Ry, R = А(/0) - D = const (5)

Ф(/, /0) = exp (D(/ -10)) exp (R(t-10)) (6)

В п.п. 1.1.3-1.1.5 работы исследуются J1HC (1), матрицы которых удовлетворяют условиям, более общим, чем условие (3). Пусть скалярная функция <p(t) непрерывна при /><0 = 0 , а матрица G(/) такова, что

2 Морозов В В. О коммутативных матрицах И Уч. Зап. КГУ. 1952. Т. 112. Кн.9. С. 17-20.

3 Wu M.-Y. Some New Results in Linear Time-Varying Systems// IEEE Trans. On Automat. Control. 1975. V. AC-20. № l.P. 159-161.

G(') = <p(t)(DG-GD), D = const. Тогда, если матрица A(/) допускает одно из

представлений, указанных в Таблице 1, то система (1) при помощи замены t

времени r(0= \<p(ß)d0 и соответствующей замены переменных может быть

о

преобразована к стационарной системе ^ = Ry.

Таблица 1.

Матрица коэффициентов JIHC Замена Стационарная система y[ = Ry Фундаментальная матрица Ф(/,0)

A(t) = <p(t)G(t) x = exp(Dr)y R = G(0) - D exp(Dr)exp(Rr)

A(/) = ^(/)G(0 + D x = exp(D/)y R = G(0) exp(D/)exp(Rr)

A(0 = G(/) + D(^(0 + c) x = exp(Dr)y R = G(0)-D^(0) exp(Dr)exp(R/)

В качестве примера рассматривается двухгироскопный компас, установленный на корабле, совершающем последовательные циркуляции4 . » Уравнения свободных колебаний компаса представляют собой систему специального класса с матрицей коэффициентов

+ j//) — j/ucoslcot -\iism2cjt )

которая представляется в виде А(/) = G(/) + D(<p(/) + с), где

. ч ( О I4) , f -sin2<u/ cos2юЛ

p(t) = a>,c = -(v+ifi + at), D= , G(/) = -|/i . .

V^-l OJ ^ cos 2<и/ sin2ftrfy

В п. 1.1.7 обсуждается вопрос о принадлежности системы (1) одновременно к специальному и коммутативному классам, приведены примеры таких систем размерности больше двух. Для одного вида коммутативных матриц A(t), где

А(/) = ||а„(/)||, а,(/М-!)'"'С,Г"*', /,7 = 1,...,«,

4 Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука. 1972. -718с.

, I I

С, = —г——т— биномиальные коэффициенты, ' к\(1-к)\ *

показана принадлежность к специальному классу. Постоянная матрица Ж> = Ц^^г |[ при этом определяется соотношениями: с1ц = -/' ¿>/+1 ., где 8к1 - символ Кронекера,

В разделе 1.2 исследуются ЛНС с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов. Указан явный вид преобразований переменных, приводящих ЛНС специального и функционально-коммутативного классов к стационарным системам, и показано, что эти преобразования являются преобразованиями Ляпунова. Это дает возможность делать эффективные заключения об устойчивости ЛНС этих классов, основываясь на выводах для стационарных систем.

В п. 1.2.3 сформулированы и доказаны принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров систем с периодическими коэффициентами функционально-коммутативного и специального классов число • областей устойчивости и неустойчивости конечно. Рассмотрены методические примеры.

Традиционно при исследовании устойчивости системы х = А(/)х матрица коэффициентов представляется в виде двух слагаемых А(/) = А0+А,(/) , ||А,(0||<^, одно из которых постоянное, а другое - малое. Из свойств устойчивости невозмущенной системы х = А0х при выполнении определенных условий ммм делаются выводы об устойчивости исходной ЛНС. В разделе 1.3 главы 1 предлагается модификация этого метода, состоящая в следующем: предположим, что матрица А(г) допускает представление

А(О = А0(О + А,(О, (7)

причем ЛНС ^ = является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица

Х,(/) по-прежнему мала. В таком случае при помощи конструктивного преобразования х = Ц?)у можно перейти к другой ЛНС у = (В0+В1(/))у. При

8

этом если матрицы Ц/) и Гг'(/) ограничены, то и матрица В,(/) мала. При исследовании устойчивости ЛНС с матрицей А(/), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.

Например, исследуя устойчивость ЛНС х = А(/)х с матрицей

коэффициентов

А(/) =

а П -П а

+ М

со эсо/ -вта/ -БШй»/ -соб со/

(8)

/

различными способами (с помощью теоремы Беллмана, неравенства Важевского или построив функцию Ляпунова в виде квадратичной формы от координат) как устойчивость системы с «почти постоянной» матрицей коэффициентов, можно получить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости системы (область I на Рис. 1)

а<0,Н<|в| (9)

Рис. 1

Ц*) =

СОБ а>( БШ со! ^ -зт(И/ соэ ай)

Необходимые и достаточные стационарной системы имеют вид а<0, цг

С другой стороны, эта система принадлежит к специальному классу и приводима при помощи преобразования Ляпунова х= ЦОу к стационарной системе у = Ку, где

а + ц 0-<»/2 -П + а/2 а-ц

условия асимптотической устойчивости

11 =

Область устойчивости, определяемая неравенствами (10) (области I и II на Рис.1), существенно больше, чем область I, определяемая условиями (9). Отметим, что при а = О ЛНС (8) не является асимптотически устойчивой, и на основании известных теорем никаких суждений о характере ее устойчивости сделать нельзя. Однако, из условий (10) следует, что система (8) устойчива, если амплитуда параметрического воздействия /л удовлетворяет условию

Во второй главе рассматриваются нестационарные системы второго порядка

N1(Oi + N2(/)i + N3(Ox = 0 (11)

Здесь x(t) = (x1(t),...,x„(())Т - действительный вектор состояний системы; Nf(/) -квадратные матрицы с действительными непрерывными элементами на интервале времени / = [/0,оо).

В виде (11) можно представить уравнения движения голономной механической системы, линеаризованные в окрестности некоторого программного движения. Дополнительно предполагается принадлежность матриц коэффициентов к специальному классу:

N, = DN, - N,D, D = const, i = 1, 2, 3. (12)

Показано, что в этом случае ЛНС при помощи замены x = exp(Df)y преобразуется к стационарной системе

My + Gy + Ky = 0, (13)

M = N10,G = 2N10D + N20, K = N10D2 + N20D + N30, Ni0 = N,(/0).

Этот класс ЛНС имеет прикладное значение (см. главу 3).

В п. 2.1.1 определены условия, при которых замена x = exp(D/)y будет преобразованием Ляпунова. В этом случае исследование устойчивости ЛНС (11) можно проводить на основании характеристического уравнения стационарной системы (13) или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений.

ю

В п. 2.1.2 рассматривается случай N,(0 = 2 , М2(/) = ^0 ,

= и N3(1) = N3 (0 , для которого определены достаточные условия устойчивости.

Далее рассмотрен пример ЛНС (11)

Ц(/) = Е, ГЧ2 =

О я

О

а + цс об/ о О а + /1С оэ/

который демонстрирует существенное отличие нестационарных систем от стационарных: в стационарных консервативных системах введение гироскопических сил не нарушает устойчивости, а при четной степени неустойчивости в некоторых случаях может быть обеспечена гироскопическая стабилизация. В системе с потенциальными нестационарными силами введение стационарных гироскопических сил может привести как к сохранению свойств устойчивости и неустойчивости, так и к гироскопической стабилизации или к гироскопической дестабилизации.

В п. 2.1.3 рассмотрены «почти приводимые» системы 2-го порядка (11), в которых

НХ<) = П°(0 + £*,(<,г), (14)

где е - мало, !*,(/,£•)-ограничены, а матрицы N"(0 удовлетворяют условию (12). Для таких «почти приводимых» систем сформулированы и доказаны утверждения, аналогичные теоремам Беллмана, определяющим достаточные условия устойчивости для ЛНС с почти постоянной матрицей. А именно, ЛНС (11) будет устойчива, если устойчива стационарная система (13) и сходятся

<х>

интегралы ||Н,(г,г)||Л- <оо; ЛНС (11) будет асимптотически устойчива, если о

асимптотически устойчива стационарная система (13) и —> 0 при

В третьей главе рассматриваются механические задачи, математическими моделями которых являются линейные нестационарные системы, интегрируемые в замкнутой форме или близкие к интегрируемым.

и

В разделе 3.1 рассматривается задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала). Электроверетено представляет собой неуравновешенный вал, вращающийся на двух подшипниках внутри корпуса опоры. Опора стоит на трех упругих амортизаторах, закрепленных на неподвижном основании. При вращении вала с большой угловой скоростью корпус опоры колеблется.

Малые колебания корпуса опоры описываются ЛНС 2-го порядка с периодическими коэффициентами

1Ч,(0* + 1Ч2(0х + N3(01 = 0, (15)

\esm2cot

1 + £5П1 (У/

^ \ssin2cot 1 + £-соз2й>/

N2 = еш

/ 5ш2М -2зт2 со! 2со$гШ -5т2сМ ^

,N3 = угЕ.

Здесь х = (а, /?)г, а и уЗ - углы отклонения от вертикали оси симметрии корпуса опоры, со- угловая скорость вращения вала, V - собственная частота колебаний корпуса опоры, е - безразмерный положительный малый параметр.

Задача ранее исследовалась в работе5 на основе теории параметрического резонанса. В предположении малости некоторых параметров там была построена область неустойчивости в пространстве параметров задачи:

у(\-%£) + 0(£2)<со<у(1-$£) + 0(£2) (1

область (3.3 на Рис. 2).

Рис.2

5 Якубович В. А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. - 328 с.

В работе показано, что система (15) принадлежит к специальному классу, и для нее указано преобразование Ляпунова, приводящее систему к стационарной Му + ву + Ку = 0,

М =

г\ о

О 1 + с

\

0 2 со -2(0 0

, к =

V-«2 о

о .2

у2-о/(1-е)]

Из анализа необходимых и достаточных условий устойчивости стационарной системы получена точная область неустойчивости (область (3.6) на Рис.2) v <со< v которая не совпадает с указанной выше областью. Численное

моделирование подтвердило корректность полученных в работе результатов: неограниченный рост решений имеет место только в области (3.$).

В разделе 3.2 исследуется устойчивость стационарного движения космического аппарата с двойным вращением. Космический аппарат с двойным вращением представляет собой свободную систему, состоящую из двух несимметричных тел, вращающихся вокруг общей оси. При этом одно из тел вращается относительно другого с постоянной относительной скоростью. Составлены уравнения движения системы, которые допускают частное решение, представляющее собой вращение обоих тел вокруг общей оси с разными постоянными угловыми скоростями. В линеаризованных в окрестности этого решения уравнениях возмущенного движения выделяется подсистема относительно возмущений проекций угловой скорости на оси, ортогональные оси совместного вращения. Эта система представляет собой «почти приводимую» ЛНС с периодическими коэффициентами:

'1 + е + е'со52ат е'Б'т2ат 4 е' бш 2аг 1 - е - е' соб 2ат;

М1(г)^ = М2(г)х,

М,=

е'(2г'-г)51п2аг

М =1

2 ^1-г(£ + 1)-е'(2/-'-г) соб 2аг

-1 + г(е -1) - е' (2г' - г) соб 2ат -е'(2г'-г)&\п2ат

Малым параметром е является мера несимметричности одного из тел, характеризуемая приведенной разностью моментов инерции относительно осей,

ортогональных оси вращения. Декомпозиция типа (7) коэффициентов ЛНС на интегрируемую и малую составляющие такова:

М, (г) = М„ (г) + еМ12 (г), М2 (т) = М21 (г) + еШ22 (г)

Невозмущенная ( е = 0 ) система принадлежит к специальному классу (3), следовательно, интегрируема; для нее получены необходимые условия устойчивости. При е > 0 в окрестности некоторых значений частоты а относительного вращения двух тел возможен параметрический резонанс. Для этого случая найдены поправки Х\ к характеристическим показателям х(Е) системы с точностью до членов первого порядка малости по е:

г(\ + г-2г')

x(e) = Zo+EXi+-, Х1 =±

2(Г'-Г){\-£'>)

и определены области неустойчивости в пространстве параметров а , в (см. Рис. 3).

Рис.3

-3v

-2v

2v

а

Зу

В разделе 3.3 рассмотрена двухканальная гироскопическая следящая система с модуляцией и одним безынерционным каналом переменного тока. Уравнения движения такой системы при отсутствии случайных воздействий получены в работе Ю.Г. Бондарос:

а+ fc0<ay?=-«(i)sin<w/, Р - к0аа = u(t) cos <at

Здесь а и р - углы, определяющие положение оси гироскопа; со - угловая скорость вращения ротора гироскопа; к0со - относительный кинетический

момент, к0 = const > 0; u(t) - управляющий момент, выражение для которого принято в виде

u(t) = 2кг{[} eos cot-á sin cot} + 2k¡(a cos cot + ¡3 sin cot),

где постоянные коэффициенты k¡ и к2 подлежат выбору.

Такую J1HC можно записать в виде системы 2-го порядка специального класса (11) N1(Oi + N2(/)¿ + N3(/)x = 0, где х = (а,Р)т, N,(0 = E,

n2 =

-¿,(l-cos2itf) k^cú+kt sin2ar sin2¿uf -¿¡(l+cos2ía)

N3=¿,íí

sin2&>í 1-cos2íüA -l-cos2 at -sin2 cot]

Для этой системы приведено преобразование Ляпунова, приводящее ее к стационарной системе. Получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости: к2< 0 , 0 < кх < -к0к2 при к0 ф ) и к0 2 ; при к0 = 1 или к0 = 2 система будет устойчива.

В разделе 3.4. рассматривается задача о пространственном гирогоризонткомпасе, уравнения малых колебаний которого в рамках прецессионной теории гироскопов, представляют собой ЛНС вида

О й)0 0 аи^

-соа 0 £2(0 О

i = А(Ох, А(0 =

О -£2(0 0 -<и0 -£2(0 0 соа О

(16)

где переменными х = [х1,х2,х3,х4)т обозначены следующие величины: х2=82, х3 =¿3, х4={2в5'те0/т1у[^я^34 ; 8, - углы,

определяющие ориентацию осей чувствительности элемента в некоторой неподвижной системе координат; К(0 - величина абсолютной скорости точки подвеса гирогоризонткомпаса; £2(0 -проекция абсолютной угловой скорости чувствительного элемента гироскопа на вертикаль; сои = Я — частота Шулера; т, 1, е0, В - величины, связанные с параметрами конструкции гирокомпаса.

Эти уравнения были получены в работе А.Ю. Ишлинского и решены при помощи метода «комплексной компрессии», а их приводимость была исследована в работе В.Н. Кошлякова. Такая ЛНС является функционально-коммутативной системой (2), которая преобразуется к стационарной. При наличии диссипативных сил система (16) уже не является функционально-коммутативной, но может быть рассмотрена как «почти приводимая». Устойчивость этой ЛНС исследована в разделе 3.4. методами, изложенными во второй главе, а также при помощи функции Ляпунова, построенной для нестационарной системы.

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы:

1. Сформулированы и доказаны принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров ЛНС с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов число областей устойчивости и неустойчивости конечно.

2. Предложен новый подход к анализу устойчивости ЛНС, основанный на декомпозиции матрицы коэффициентов на две части, одна их которых соответствует ЛНС, интегрируемой в замкнутой форме, а другая является малой. Применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах исходной матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.

3. Рассмотрен класс систем второго порядка, приводимых к стационарным системам при помощи конструктивного преобразования. Для таких систем исследование устойчивости проводится на основании анализа характеристического уравнения стационарной системы или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений. Для систем, близких к приводимым, сформулированы и доказаны утверждения аналогичные известным теоремам для систем с почти постоянной матрицей коэффициентов.

4. В рассмотренных механических задачах применение предложенных методов позволило получить новые результаты:

1) в задаче о колебаниях опоры вала получены точные области устойчивости и неустойчивости;

2) в задаче о движении космического аппарата с двойным вращением получены аналитические выражения для границ областей устойчивости и неустойчивости;

3) в задаче о движении гирогоризонткомпаса исследовано влияние диссипативных сил и получены достаточные условия устойчивости.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. В.М.Морозов, В.И.Каленова, П.М.Соболевский. Об устойчивости нестационарных механических систем специального класса// Труды IX Междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск. Т.2. С. 101-107.

2. В.И.Каленова, В.М.Морозов, П.М.Соболевский. Об устойчивости механических систем определенного класса. ПММ. Т.72. Вып.8. 2008.С. 251259.

3. В.И.Каленова, В.М.Морозов, П.М.Соболевский. К вопросу об исследовании линейных нестационарных систем. Вестник МГУ. 2009. №1 С. 51-61. (в печати).

4. В.М.Морозов, П.М.Соболевский. К задаче об устойчивости стационарного движения спутника с двойным вращением. Сборник трудов «Пятый международный аэрокосмический конгресс 1АС'06». Информ №0320702706. 2007. С.242-244.

5. В.И.Каленова, В.М.Морозов, П.М.Соболевский. Об устойчивости многомерных нестационарных линейных систем второго порядка. Международная конф. по механике и баллистике «Шестые Окуневские чтения». Материалы докл. Т.1. Санкт-Петербург: Балт. гос. техн. ун-т. 2008. С. 124-126.

6. В.М.Морозов, В.И.Каленова, П.М.Соболевский. Устойчивость нестационарных динамических систем определенного класса. // Тез.докл.

международн. конгресса «Нелинейный Динамический Анализ-2007» Санкт-Петербург. 2007. С. 155. 7. В.М.Морозов, В.И.Каленова, П.М.Соболевский. Многомерные нестационарные системы второго порядка и их приложения в механике. Тез. докл. Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Донецк. 2008. С. 69-70.

Подписано в печать 17.11.2008 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 793 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Содержание.

Введение.

Глава 1. Линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений

1.1. Интегрируемые в замкнутой форме системы.

1.1.1. Интегрируемость в замкнутой форме.

1.1.2. Системы специального класса, тип 1 (основной).

1.1.3. Системы специального класса, тип 2.

1.1.4. Системы специального класса, тип 3.

1.1.5. Системы специального класса, тип 4.

1.1.6. Системы коммутативного класса.

1.1.7. Системы, одновременно относящиеся к специальному и коммутативному классам.

1.1.8. Приводимость и интегрируемость в замкнутой форме.

1.2. Системы с периодическими коэффициентами.

1.2.1. Основные свойства систем с периодическими коэффициентами.

1.2.2. Конструктивная приводимость систем специального и функционально-коммутативного классов.

1.2.3. Области устойчивости в пространстве параметров системы.

1.3. Метод исследования устойчивости ЛНС.

Глава 2. Нестационарные механические системы (системы 2-го порядка).

2.1. Системы специального класса 2-го порядка.

2.1.1. Приводимость систем специального класса 2-го порядка.

2.1.2. Устойчивость систем специального класса 2-го порядка.

2.1.3. Почти приводимые системы специального класса 2-го порядка.

2.2. Системы коммутативного класса 2-го порядка.

Глава 3. Механические задачи.

3.1. Задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала).

3.2. Задача об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением.

3.2.1. Расчет поправок к характеристическим показателям.

3.3. Задача о гироскопической следящей системе.

3.4. Задача о пространственном гирогоризонткомпасе.

Многие задачи механики приводят к необходимости исследования линеаризованных моделей нестационарных нелинейных систем. Для успешного решения этих задач необходимы эффективные, удобные в применении методы исследования процессов, протекающих в линейных нестационарных системах (далее - ЛНС).

В диссертационной работе объектом исследования являются динамические системы, поведение которых описывается ЛНС вида: = ¡>^>0; (0.1) а также многомерные ЛНС второго порядка: + = ¿>¿„>0, (0.2)

В (0.1), (0.2) х(/) = (х,(/),.,х„(0)Г — действительный вектор состояний системы; А(£), N¿(7) - квадратные матрицы с действительными непрерывными элементами на интервале времени I = [?0,со), обладающие определенными свойствами.

Целью работы является разработка новых методов исследования ЛНС, позволяющих продвинуться в решении этого вопроса; а также применение этих методов к решению механических задач.

В случае, если матрицы А(/), N¿(0 постоянны, системы (0.1) и (0.2) являются стационарными, что дает возможность полного их исследования.

Разработанная теория стационарных линейных систем, изложена в обширной литературе (см., например, [3, 7, 16, 17, 36, 37, 50, 53, 55, 56, 68, 80, 85]), и удобна в применении. Обзор журнальных публикаций по различным аспектам исследования стационарных линейных систем и соответствующую библиографию можно найти в [18, 19, 70, 71, 102].

Если рассматривается нестационарный линейный объект, то зависимость коэффициентов системы от времени обуславливает принципиальные трудности при поиске решения ЛНС и исследовании его устойчивости. В общем случае такая задача на текущий момент не решена.

Для построения стационарных моделей нестационарных систем используются различные приближенные приемы приведения, к которым относятся методы осреднения, методы «замораживания», метод гармонической стационаризации и т.д. [9, 14, 22, 55, 56, 59, 65, 93, 94]. Эти приемы отличаются по степени строгости и областям применимости.

Разрабатываемым в диссертационной работе направлением в анализе ЛНС является выделение таких их классов, которые, во-первых, допускают более глубокое исследование, во-вторых, имеют практическое значение, то есть встречаются в механических задачах, моделирующих реальные динамические объекты. Существенное развитие это направление получило в работах В.М. Морозова и В.И. Каленовой [59, 96], в том числе распространяющих идею приводимости на нестационарные системы с управлением и наблюдением.

Термин «приводимость» был введен впервые А.М.Ляпуновым в связи с задачей об устойчивости линейных однородных систем с периодическими коэффициентами [47]. Свойство приводимости нестационарных линейных систем позволяет применять для их исследования простые и хорошо разработанные методы систем с постоянными параметрами, в том числе классические частотные и временные методы теории устойчивости.

С проблемой приводимости тесно связана задача нахождения решения линейной нестационарной системы в замкнутой форме [2, 10, 20, 26, 27, 44, 58, 59, 93, 98, 107, 108, 109, 111, 112, 113]. Эта задача давно привлекала внимание исследователей и до сих пор является актуальной, очень трудной и далеко еще не решенной.

Методы анализа ЛНС можно условно разделить на две группы: временные методы (методы пространства состояний) и методы функциональных преобразований. К первой группе относятся первый и второй методы Ляпунова, качественные и асимптотические методы исследования дифференциальных уравнений. Этим методам посвящена обширная литература, например [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, 20, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 39, 40, 43, 45, 47, 50, 52, 53, 57, 67, 72, 73, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 88]. В настоящей работе исследование устойчивости ЛНС проводится методами первой группы.

Работа состоит из 3-х глав. В первой из них излагаются теоретические результаты, связанные с вопросами интегрируемости, приводимости и устойчивости JIHC (0.1) определенных видов. Во второй Главе такие же вопросы рассмотрены применительно к некоторым типам ЛНС 2-го порядка (0.2). На примерах механических задач, рассмотренных в 3-й Главе, демонстрируется эффективность применения изложенных в первых двух главах теоретических результатов. Среди представленных задач как новые, так и ранее известные задачи в расширенной постановке. Для задачи о колебаниях опоры вала (раздел 1 Главы 3), для которой ранее была приближенными методами построена зона неустойчивости [83], получены необходимые и достаточные условия устойчивости. При этом новый подход к исследованию позволил показать, что точная область неустойчивости не совпадает с полученной ранее [83]; численное моделирование подтвердило корректность полученных в работе результатов.

Ниже предлагается подробное описание диссертационной работы.

В разделе 1.1 Главы 1 описаны основные классы систем, интегрируемых в замкнутой форме. Определяются основные виды исследуемых в диссертационной работе ЛНС (0.1) x(t) = A(t)x(t): специальный и коммутативный (а также функционально-коммутативный) классы. Системы специального класса обладают свойством: DA(i) - A(i)D, D = const (0.3)

Матрица коэффициентов системы коммутативного класса перестановочна со своим интегралом:

A(0B(0 = В(/)А(0, ^ = А(0 (0.4)

Для функционально-коммутативных матриц дополнительно требуется В(/0) = 0.

Эти классы характерны тем, что допускают решение в замкнутой форме, то есть его можно представить в виде элементарных функций и/или квадратур от коэффициентов.

Проблеме интегрирования JIHC посвящено большое количество работ. Случай интегрируемости систем с матрицей, коммутирующей со своим интегралом впервые рассмотрел И.А. Лаппо-Данилевский [44]. Критерий принадлежности матриц к функционально-коммутативным матрицам установлен В.В. Морозовым [58], исследование структуры таких матриц проведено Ю.С. Богдановым и Г.Н. Чеботаревым [10]. Интегрируемые в замкнутой форме системы специального класса впервые были рассмотрены WuM.-Y. [106, 107, 108, 109, 110, 111].

В связи с интегрируемостью такие виды систем имеют существенное значение для приложений, а также могут быть использованы в качестве базовых моделей при построении приближенных решений ЛНС более сложного вида. В работе (см. п.п. 1.1.3-1.1.5) приведены обобщения специального класса; рассмотрены примеры и механические задачи (п. 1.2.3).

Обсуждается (п 1.1.7) вопрос принадлежности системы одновременно к специальному и коммутативному классам, приведены примеры таких систем размерности больше 2-х. Для одного известного типа коммутативных матриц доказана его принадлежность к специальному классу.

В разделе 1.2 Главы 1 исследуются JIHC с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов. Факт принципиальной приводимости для систем с периодическими коэффициентами общего вида установлен A.M. Ляпуновым [47]. Основы общей теории приводимых систем изложены в работах Н.П. Еругина [26]. Разнообразные вопросы исследования систем с периодическими коэффициентами изложены в монографии В.А. Якубовича и Е.М. Старжинского [82].

Показано (п. 1.2.2), что замены координат, приводящие JIHC специального и функционально-коммутативного классов к стационарным системам, являются преобразованиями Ляпунова. Это дает возможность делать заключения об устойчивости этих ЛНС, основываясь на выводах для стационарных систем. Сформулированы и доказаны (п. 1.2.3) принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров таких ЛНС число областей устойчивости и неустойчивости конечно; рассмотрены методические примеры. dx

Традиционно при исследовании устойчивости ЛНС = A (t)x матрица коэффициентов представляется в виде двух слагаемых:

А(/) = А0+А1(0,||А1(/)|<^, (0.5) одно из которых постоянное, а другое - малое. Из свойств устойчивости dx невозмущенной системы = А0х при выполнении определенных условии можно сделать выводы об устойчивости исходной ЛНС, воспользовавшись рядом теорем об устойчивости линейных систем с постоянной и почти постоянной матрицей см. [2, 8, 23, 59, 79, 93, 94]. В разделе 1.3 Главы 1 предлагается модификация этого метода, состоящая в следующем: предположим, что матрица A(J) допускает представление

А(0 = Ао(0 + А,(0, (0.6) dx ~ причем ЛНС = А0(7)х является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица А,(7) по-прежнему мала. В таком случае при помощи известного преобразования х = L(/)y можно перейти к другой

При этом если матрицы L(/) и 171 (7) ограничены (что верно для систем с периодическими коэффициентами), то и матрица Bt(i) мала. Матрицу A(t) при этом можно считать «почти приводимой» [13]. При исследовании устойчивости ЛНС с матрицей А(/), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным. Это демонстрируется на примерах и при решении механических задач в Главе 3.

В Главе 2 рассматриваются нестационарные системы второго порядка (0.2): N1(i)x + N2(/)x + N3(/)x = 0. Исследованию таких систем посвящен ряд современных работ [84, 90, 99, 100, 101, 103, 104]. В виде (0.2) можно представить уравнения движения голономной механической системы, линеаризованные в окрестности некоторого программного движения. Дополнительно предполагается принадлежность матриц коэффициентов к б/N. специальному классу: —L = [D,Ni], D = const, / = 1,2,3. Показано, что в dt этом случае JIHC при помощи замены х = ехр(Ш)у преобразуется к стационарной системе

My+Gy+Ky=0 (0.7)

Этот класс JIHC (0.2) имеет прикладное значение (см. задачи о колебаниях опоры вала и о гироскопической следящей системе в Главе 3).

В п. 2.1.1 определены условия, при которых замена x = exp(D/)y будет преобразованием Ляпунова. В этом случае исследование устойчивости JIHC (0.2) можно проводить на основании характеристического уравнения стационарной системы (0.7) или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений [38, 46, 49, 54, 80, 89]. Эти теоремы позволяют исследовать влияние сил различной структуры (гироскопических, диссипативных, консервативных, циркуляционных) на устойчивость положения равновесия системы (0.7).

В п. 2.1.2 рассматривается случай Г^ (/) = Е, ]Ч2 (/) = ГЧ20 = , [Б, N30] = 0 и N3(0 = N3(0 для которого определены достаточные условия устойчивости. Также в п. 2.1.2 показано, что для линейных нестационарных систем утверждения теорем Кельвина-Четаева, установленные для стационарных систем, в общем случае места не имеют.

В п. 2.1.3 рассмотрены «почти приводимые» системы 2-го порядка (0.2) + ГЧ2(/)х + = 0, в которых

N,(0 = N,40+ (0.8) где £ — мало, - ограничены, а система

N¡40* + N2 (Ох + N5 (0х = 0 приводима к системе (0.7). Для таких «почти приводимых» систем сформулированы и доказаны утверждения в духе известных теорем [8], определяющих достаточные условия устойчивости для ЛНС с почти 1 постоянной матрицей — = (А0 + А,(0)х. А именно, ЛНС (0.2) будет устойчива, если устойчива стационарная система (0.7) и сходятся интегралы со

К((г,£)||£/г <оо. ЛНС (0.2) будет асимптотически устойчива, если о асимптотически устойчива стационарная система (0.7) и КД/,^) —> 0 при / —> СО .

В 3-ей Главе рассматриваются механические задачи, математическими моделями которых являются линейные нестационарные однородные системы, интегрируемые в замкнутой форме или близкие к интегрируемым. При решении этих задач применяется методика исследования ЛНС, изложенная в двух первых главах.

В разделе 3.1 рассматривается задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала). Электроверетено представляет собой неуравновешенный вал, вращающийся на 2-х подшипниках внутри корпуса опоры. Опора стоит на 3-х упругих амортизаторах, закрепленных на неподвижном основании. При вращении вала с большой угловой скоростью корпус опоры колеблется и принимает наклонное положение. При некоторых частотах вращения имеет место неустойчивость колебаний корпуса.

Этот объект моделируется нестационарной линейной системой относительно углов отклонения от вертикали оси симметрии корпуса опоры. ЛНС представляет собой систему с периодическими коэффициентами 2-го порядка вида (0.2). Задача ранее исследовалась в работах [76, 83] на основе теории параметрического резонанса. В предположении малости некоторых параметров были построены области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров задачи.

В то же время исходная ЛНС принадлежит к специальному классу (0.3) и для нее установлено преобразование Ляпунова, приводящее систему к стационарной, в связи с этим исследование ее устойчивости существенно упрощается.

Во втором разделе 3-ей Главы исследуется устойчивость стационарного движения космического аппарата с двойным вращением. Задачи такого типа актуальны в настоящее время, так как стабилизация вращением характерна для многих типов сложных космических систем. При этом, как правило, считают, что влияние внешних сил пренебрежимо мало. Библиографии работ в этом направлении можно найти в [4, 64, 91, 92].

Космический аппарат с двойным вращением представляет собой свободную систему, состоящую из двух несимметричных тел, вращающихся вокруг общей оси с постоянной относительной скоростью. Составлены уравнения движения относительно компонент угловой скорости одного из тел, считающегося основным. Эти уравнения допускают частное решение, представляющее собой вращение обоих тел вокруг общей оси с разными угловыми скоростями. В линеаризованных в окрестности этого решения уравнениях возмущенного движения выделяется система уравнений относительно возмущений по компонентам угловой скорости, перпендикулярным оси совместного вращения. Эта система представляет собой «почти приводимую» ЛНС с периодическими коэффициентами. Малым параметром б будет мера несимметричности одного из тел, характеризуемая приведенной разностью моментов инерции относительно осей, перпендикулярных оси вращения. Невозмущенная (£• = ()) система принадлежит к специальному классу (0.3), следовательно, интегрируема и допускает строгое исследование ее устойчивости. При е > 0 в окрестности некоторых значений частоты относительного вращения двух тел возможен параметрический резонанс. В этом случае найдены поправки к характеристическим показателям ЛНС (п. 3.2.1) с точностью до членов первого порядка малости по £ и определены области неустойчивости в пространстве параметров системы. Полученные результаты соответствуют ранее известным результатам, полученным при помощи численного моделирования для некоторых фиксированных значений параметров задачи [92].

В третьем разделе Главы 3 рассмотрена двухканальная гироскопическая следящая система с модуляцией и одним безынерционным каналом переменного тока. Уравнения движения такой системы, полученные в работе [11, 12], при отсутствии случайных воздействий представляют собой ЛНС 2-го порядка специального класса (0.3) вида (0.2) ^(^х + 1Ч2(Х)х + К3(/)х = 0. Для этих уравнений установлено преобразование Ляпунова, приводящее их к стационарной системе; исследована устойчивость этой системы.

В четвертом разделе Главы 3 рассматривается задача о пространственном гирогоризонткомпасе, уравнения малых колебаний которого в рамках прецессионной теории гироскопов представляют собой ЛНС размерности 4. Эти уравнения были получены в работе А.Ю. Ишлинского [33] и решены при помощи метода «комплексной компрессии», а их приводимость была исследована в работе

В.Н. Котлякова [41]. Такая ЛНС является функционально-коммутативной системой (0.4), которая преобразуется к постоянной и может быть таким образом проинтегрирована. Рассмотрено влияние на ЛНС диссипативных сил, которые всегда присутствуют в реальной системе. В этом случае система не является функционально-коммутативной, но может быть рассмотрена как «почти приводимая». Устойчивость этой ЛНС исследована методами, изложенными во 2-й Главе, а также при помощи функции Ляпунова, построенной для нестационарной системы.

В настоящей работе приняты следующие сокращения и обозначения: ЛНС - линейные нестационарные системы; ■ — окончание формулировки, доказательства.

Скалярные величины обозначаются строчными или прописными буквами курсивом, например: х(/), р, со, . ; векторные величины -строчными буквами полужирным шрифтом: х(7), а, е,, . ; матрицы -прописными буквами полужирным шрифтом: А, В0, М(7), . ; множества-прописными буквами полужирным курсивом: I, Я3, Ак, . ; квадратными скобками обозначается коммутатор матриц: [Р,0] = Р() - С>Р.

Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, сформулированы в виде Утверждений.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Сформулированы и доказаны принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров ЛНС с периодическими коэффициентами, специального и коммутативного классов число областей устойчивости и неустойчивости конечно.

2. Предложен подход к исследованию устойчивости ЛНС, допускающих декомпозицию исходной матрицы коэффициентов системы на интегрируемую в замкнутой форме и малую части. Применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.

3. Рассмотрен класс систем второго порядка, приводимых к стационарным системам при помощи конструктивного преобразования. Для таких систем исследование устойчивости проводится на основании анализа характеристического уравнения стационарной системы или на основании теорем Кельвина-Четаева и их обобщений. Для систем, близких к приводимым, сформулированы и доказаны утверждения аналогичные известным теоремам для систем с почти постоянной матрицей коэффициентов.

4. В рассмотренных механических задачах применение предложенных методов позволило получить новые результаты.

1) В задаче о колебаниях опоры вала получены точные области устойчивости и неустойчивости;

2) В задаче о движении космического аппарата с двойным вращением получены аналитические выражения для границ областей устойчивости и неустойчивости;

3) В задаче о движении гирогоризонткомпаса исследовано влияние диссипативных сил и получены достаточные условия устойчивости.

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. Уч. пособие. М.: Физматлит. 1994. -544с.

2. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. Уч. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 1992.-240с.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука. 1976. -424с.

4. Асланов B.C., Дорошин A.B. Стабилизация спускаемого аппарата частичной закруткой при осуществлении неуправляемого спуска // Космические исследования. 2002. Е40. №2. С. 193-200.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1989. -447с.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967. -223с.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970. -240с.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1954. -280с.

9. Беркович Л.М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Куйбышев. 1978. -92с.

10. Богданов Ю.С., Чеботарев Т.Н. О матрицах, коммутирующих со своей производной // Изв. Вузов. Математика. 1959. №4 (11). С.27-37.

11. Бондарос Ю.Г., Зайнулина Л.П. Задача линейной фильтрации для двухканального объекта// Техническая кибернетика. 1974. №4. С.180-187.

12. Бондарос Ю.Г. Двухканальные системы. М.: Машиностроение. 1985. -151 с.

13. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука. 1966. -576с

14. Вавилова Н.Б., Каленова В.И., Морозов В.М. О преобразовании линейных наблюдаемых систем и управляемых систем к стационарным системам // ПММ. 1985. Т.49. Вып.4. С. 548-555.

15. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка. 1981. -412с.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука. 1984.-320с.

17. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука. 1979.-336с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.Н., Асмыкович И.К. Математические проблемы управления линейными конечномерными системами. Минск. Препринт Ин-та математики АН БССР. 1983. -36с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.Н., Асмыкович И.К. Теория управления движением. Ч. 1. Линейные конечномерные системы. Минск. Препринт Ин-та математики АН БССР. 1983. -130с.

20. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. М.: Едиториал УРСС. 2004. 408с.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988. -552с.

22. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. М.: Машиностроение. 1974. -288с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. -472с.

24. Динамика нестационарных линейных систем. / Под ред. Михайлова Ф.А. М.: Наука. 1967. -472с.

25. Дубошин Г.Н. Основы теории устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ. 1952.-319с.

26. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр. Ин-та им. Стеклова. Т. 13. М.: Изд-во АН СССР. 1946.-96с.

27. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР. 1963. -272с.

28. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. 1968. Т.1.С.67-80.

29. Зубов В.И. Методы А.М.Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957.-240с.

30. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа. 1973. -272с.

31. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ. Т. 12. М.: 1974. С.71-146.

32. Ишлинский А.Ю. К теории гирогоризонткомпаса // ПММ. 1956. Т.20. Вып. 4. С. 487-499.

33. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука. 1976. 672с.

34. Каленова В.И., Морозов В.М., Соболевский П.М. Об устойчивости механических систем определенного класса// ПММ. 2008. Т.72. Вып.2. С. 251-259.

35. Каленова В.И., Морозов В.М., Соболевский П.М. К вопросу об исследовании линейных нестационарных систем// Вестник Моск. ун-та. 2009. №1.

36. Калман P.E. Об общей теории систем управления. // Тр. Конгресса ИФАК. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР.1961. С.521-547.

37. Калман P.E., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир. 1971. -400с.

38. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Общая механика. 1983. Т.6. -130с.

39. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магнитном поле. ПММ. 1987. т. 51. Вып. З.С. 375-381.

40. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа. Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №10. С.1427-1429.

41. Кошляков В.Н. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпаса. // ПММ. 1961. Т.21. Вып. 5.

42. Кошляков В.Н. Теория гироскопических компасов. М.: Наука. 1972. -344с.

43. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. -211с.

44. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матрицы к теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ.1957.

45. Ла-Салль Ж. Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир. 1964. -168с.

46. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 2. С. 246-253.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1950.-472с.

48. Ляшенко В.Ф. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпаса и двухгироскопной вертикали // ПММ. 1962. Т.26. Вып.2. С.372-396.

49. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение: Пер. с нем. М.: Мир, 1974.-528с.

50. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука.-522с.

51. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука. 1979. -400с.

52. Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка. 1975.-352с.

53. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1976. -320с.

54. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука. 1974. -344с.

55. Методы классической и современной теории автоматического управления. В трех томах. Под ред. Н.Д.Егупова. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2000.

56. Методы классической и современной теории автоматического управления. В пяти томах. Под ред. Н.Д.Егупова. Изд. второе, переработанное и дополненное. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2004.

57. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. М.: Наука. 1986. -320с.

58. Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Уч. Зап. КГУ. 1952. Т.112. Кн.9. С. 17-20.

59. Морозов B.M., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. Изд-во Моск. Ун-та. 1988. -144с.

60. Морозов В.М., Каленова В.И. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №1. С.8-14.

61. В.М.Морозов, В.И. Каленова. О некоторых линейных нестационарных системах в задачах общей механики. В сб. «Проблемы современной механики». М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во «Омега-JI». 2008. С.332-346.

62. Морозов В.М., Соболевский П.М. К задаче об устойчивости стационарного движения спутника с двойным вращением// Труды Пятого международного аэрокосмического конгресса IAC-2006. М.: МАТИ. 2006.

63. Морозов В.М., Каленова В.И., Соболевский П.М. Об устойчивости нестационарных механических систем специального класса// Труды IX Междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск. 2007. Т.2. С. 101-107.

64. Новое в зарубежной науке.Ч. 1. Задачи стабилизации составных спутников; Под ред. В.В.Белецкого. — М.:Мир, 1975.

65. Островский М.Я., Чечурин СЛ. Стационарные модели систем автоматического управления с периодическими параметрами. Л.: Энергоатомиздат. Ленигр. отд. 1989. -208с.

66. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1970. -391с.

67. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971.-288с.

68. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука. 1978. -552с.

69. Рубановский В.Н. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Итоги науки. Общая механика. М.: ВИНИТИ. 1971. Т.1. С.85-157.

70. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения//Механика в СССР за 50 лет. T.l. М.: Наука. 1968. С.7-56.

71. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №5. С.739-776.

72. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных М.: Наука. 1987.

73. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. -302с.

74. Сейранян А. П., Кириллов О.Н. О влиянии малых диссипативных и гироскопических сил на устойчивость неконсервативных систем// Доклады Российской академии наук. 2003. Т. 393, N 4. С. 483-488

75. Солодов A.B., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука. 1971. -620с.

76. Старжинский В.М., Квартин JI.M. Параметрические колебания корпуса опоры и вала// Изв. ВУЗов Машиностроение. 1983. №1. С.37-40.

77. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука. 1977. -272с.

78. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. 1966. -230с.

79. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964. -477с.

80. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР. 1962. -535с.

81. Чечурин C.JI. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. JL: Изд-во ЛГУ. 1983. -220с.

82. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука. 1972. -718с.

83. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

84. Ahmadian М. On the Stability Multiple Parameter Time-Varying Dynamic Systems// Int. J. Non-Linear Mechanics. 1986. V.21. №6. P.483-488.

85. Casti J.L. Dynamical systems and their applications. Linear theory. London AP. 1977. 240p.

86. Coppel W.A. Stability and asymptotic behavior of differential equations. Boston, 1965. 166p.

87. Hahn W. Theorie und Anwendungen der directen Methoden von Liapunov. Berlin: Springer. 1959. -142p.

88. Harris C J., Miles J.F. Stability of Linear Systems. AP London. 1980. -236p.

89. Huseyin K. Hagedorn P. Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems// ZAMP. 1983. Bd. 34. H.6. S. 807-815.

90. Hsu P., Wu J. Stability of Second-Order Multidimensional Linear Time-Varying Systems// Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1991. Vol. 14. №5. P. 1040-1045.

91. Likins P.W. Attitude Stability Criteria for Dual Spin Spacecraft// Journal Spacecraft. 1967. Vol. 4. № 12. 1985. P. 1638-1643.

92. Lukich M.S., Mingori D.L. Attitude Stability of Dual-Spin Spacecraft with Unsymmetrical Bodies // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1985. Vol. 8. № l.P. 110-117.t

93. Lukes D.L. Differential Equations: Classical to Controlled Mathematics in Science and Engineering. V.162. AP New York. 1982.

94. Markus L. Continuous matrices and the stability of differential systems // Math. Zeitschrift. 1955. V. 62. Z. 310-319.

95. Martin J.F.P. Some results on matrices which commute with their derivatives// SIAM J. Appl. Math. V. 15. 1967. P.l 171-1183.

96. Morozov V.M., Kalenova V.l. Reducibility of linear time-varying control systems // Dynamic Systems and Appl. V.5. № 3. 1996. P.433-452.

97. Morozov V.M., Kalenova V.I., Sobolevskiy P.M. Stability of a special class of linear time-varying mechanical systems// Book of abstracts. «Sixth Intern. Symposium on Classical and Celestial Mechanics». Moscow-Velikie Luki. 2007. P. 99-100.

98. Morozov V.M., Kalenova V.I. Reducibility of Linear Time-Varying Control systems and its applications // Proc. of 34-th IEEE Conf. on Decision and Control. USA. 1995. P.2511-2514.

99. Muller P.C. Comment on "Stability of Multidimensional Linear Time-Varying Systems"// J.Guidance, Control and Dynamics. 1987. V.10. №1. P.127.

100. Okano R., Kida T., Nagashio T. Asymptotic Stability of Second-Order Linear Time-Varying Systems// J.Guidance, Control and Dynamics. 2006. V.29. №6. P. 1472-1476.

101. Pradeep S., Shrivastava S.K. Asymptotic Behaviour and Boundedness of Linear Systems with Time Varying Coefficients// Acta Astonautica.1989. V.19. №10. P.787-795.

102. Pradeep S., Shrivastava S.K. Stability of Dynamical Systems: an Overview// J.Guidance, Control and Dynamics. 1990. V.13. №3. P.385-393.

103. Shrivastava S.K., Pradeep S. Stability of Multidimensional Time Varying Linear Systems// J.Guidance, Control and Dynamics. 1985. V.8. №5. P.579-583.

104. Tadi M. On the Stability of Second Order Linear Time-Varying Systems// Trans. ASME J. of Vibration and Acoustics. 2006. V.128. P.408-410.116c

105. Wazewski T. Sur la limitation des integrals des systèmes d'equations différentielles lineares ordinires// Stud. Math. 1948. V. 10. P.48-59.

106. Wu M.-Y. A Note on Stability of Linear Time-Varying Systems// IEEE Trans. On Automat. Control. 1974. V. AC-19. № 2. P. 164-167.

107. Wu M.-Y. Some New Results in Linear Time-Varying Systems// IEEE Trans. On Automat. Control. 1975. V. AC-20. № 1. P. 159-161.

108. Wu M.-Y. Transformation of linear time-varying systems into a linear timeinvariant system// Int. J. Control. 1978. V. 27. № 4. P.589-602.

109. Wu M.-Y. A successive decomposition method for the solution of time-varying systems// Int. J. Control. 1981. V. 33. № 1. P. 181-186.

110. Wu M.-Y. On stability of linear time-varying systems// Int. J. of Systems Science 1984. V. 15. № 2. P. 137-150.

111. Wu M.-Y., Sherif A. On the commutative class of linear time-varying systems // Int. J. Control. 1976. V. 23. № 3. P. 433-444.

112. Zhu J., Johnson C.D. New results in reduction of linear time-varying dynamical systems //SIAM J. on Control and Optimization. 1989. V.27. № 3. P.474-484.

113. Zhu J., Morales C.H. On Linear Ordinary Differential Equations with Functionally Commutative Coefficient Matrices// Lin. Algebra and its Appl. 1992. V.170. P.81-195.

114. Zhu J. A note on Extension of the Eigenvalue Concept // IEEE Control System Magazine. V.13. № 6. 1993. P. 68-70.