Локальная динамика цепочек и решеток нелинейных осцилляторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бобок Алексей Станиславович

Локальная динамика цепочек и решеток нелинейных осцилляторов

Специальность: 01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013 005543597

Ярославль - 2013

005543597

Работа выполнена на кафедре компьютерных сетей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова»

Научный руководитель- доктор физ.-мат. паук, профессор,

Глызин Сергей Дмитриевич

Официальные оппоненты: Кубышкин Евгений Павлович,

доктор физ.-мат. наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова», кафедра математического моделирования

Старков Сергей Олегович, доктор физ.-мат. наук, профессор, Обнинский ИАТЭ НИЯУ «МИФИ», заведующий кафедрой КССТ

Ведущая организация МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 27 декабря 2013 года в 17.00 на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 при федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова» по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14., к. 304

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова» по адресу: г. Ярославль, ул. Полушкина роща, д.1.

Автореферат разослан 26 ноября 2013 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В диссертационной работе рассматриваются математические модели на основе нелинейных взаимодействующих осцилляторов, возникающие в ходе решения многих задач механики, радиофизики, нопуляционной биологии, экологии, нейродинамики, нелинейной оптики и ряда других областей естествознания. Проводится исследование локальной динамики соответствующих систем, в ходе которого особое внимание уделяется феномену буферно-сти, о котором принято говорить, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и проч.). Особый интерес изучению физических систем, демонстрирующих динамику, подходящую под описание явления буферности, придает тот факт, что одной из актуальных на настоящий момент задач является развитие и совершенствование техники анализа и проектирования «сложных» систем, то есть нелинейных систем, обладающих большим числом степеней свободы. При попытке решения этой проблемы зачастую приходится сталкиваться с двумя противостоящими друг другу принципами: выбранная система должна быть достаточно простой с тем, чтобы была возможность её сконструировать и построить, но одновременно она должна быть достаточно сложной, чтобы представлять определенный интерес. Такого рода экспериментальные системы, основанные на использовании цепочек и решеток автогенераторов Скотта1, и будут рассматриваться в ходе данной работы.

Кроме того в работе исследуется система дифференциальных уравнений с двумя запаздываниями, относящаяся к широкому классу динамических систем со сложным поведением решений. Нетривиалыюсть свойств подобных уравнений обусловлена в первую очередь бесконечномерностыо их фазового пространства. В задаче об устойчивости решений этих уравнений может наблюдаться бесконечномерное вырождение и в качестве их нормальных форм, также приходится рассматривать бесконечномерные системы специального вида. Для рассматриваемой в диссертации задачи в сингулярном случае удается построить квазинормальную форму.

Заметим, что для уравнений указанного типа большое значение имеет объединение их в какую-либо ассоциацию. В радиофизических и нейробио-логических приложениях такие ассоциации зачастую представляют собой однонаправленно связанные в кольцо системы. Простейшим нетривиальным кольцом из однонаправленно связанных автогенераторов следует считать систему, включающую три элемента, рассматриваемую в этой работе. В целом ряде случаев рассмотрение такой системы позволяет обнаружить некоторые новые эффекты, возникающие как результат взаимодействия осцил-

1 Scott С.A., Distributed Multimode Oscillators of One and Two Spatial Dimensions / C.A. Scott //, IEEE Trans, on circuit theory, CT-17:1 (1970)- P. 55 - 80.

ляторов2, в том числе явление буферности, которое наблюдается в исследуемой задаче.

Обращаясь к практической значимости проводимых исследований, хочется отметить возможность приложения и внедрения полученных результатов в промышленные, информационные и иные области производства. В частности, открываются новые возможности в сфере хранения информации. Описанные выше системы цепочек и решеток автогенераторов используют для этого способ, включающий локализацию информации в двух пространствах: реалыюм(самом массиве автогенераторов) и двойственном (комбинации режимов решетки), что интересно в свете исследований методов хранения информации живыми организмами. Ещё одной областью приложения могут стать системы распознавания образов, где среди целевых проблем стоит выделение определений гештальт-характеристик или шаблонных особенностей объекта, как некоторых функций геометрии образа, не зависящих от сдвига и поворота. И, наконец, особенно стоит отметить возможности исследуемых систем при анализе так называемых «мыслительных» процессов биологического мозга в терминах характеристических отражений или состояний нелинейных колебательных систем. Таким образом, полученные в данной работе результаты, обладают как высокой теоретической значимостью, так и широкими возможностями для их практического применения.

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование при помощи универсальных асимптотических и численных методов анализа динамических систем условий возникновения феномена буферности в ряде простейших физических задач, представлющих собой цепочки и решетки нелинейных осцилляторов.

Методы исследования

В работе используются качественные асимптотические методы исследования динамических систем, в частности, метод нормальных форм для случая конечномерного вырождения и метод квазинормальных форм в случае бесконечномерного вырождения. Кроме того использовались методы оценки инвариантных характеристик аттраторов динамических систем и численный анализ.

Научная новизна

1. Построена и проанализирована нормальная форма для различных модификаций цепочек и решеток Скотта. Определены сценарии фазовых перестроек, возникающих в этих задачах. Доказана реализуемость феномена буферности в исследуемых системах.

2Глизин С. Д., О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов/С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1809 - 1821.

2. Исследована модель трех связанных в кольцо нейронов с двумя запаздываниями, построена и исследована нормальная форма, определена асимптотика решений. Обосновано наличие явления буферности в данной задаче.

Положения, выносимые на защиту

1. Для цепочки связанных нелинейных осцилляторов размерности N сформулированы условия сосуществования в исходной системе при надлежащем выборе параметров максимального количества(равного ЛГ) устойчивых однокомпонентных режимов, позволяющие утверждать о реализации в задаче феномена буферности. Также показано, что все режимы с числом компонент большим единицы неустойчивы.

2. Для решетки связанных нелинейных осцилляторов размерности 4x4 для двух различных вариантов граничных условий в случае отсутствия внутренних резонансов сформулированы условия сосуществования в исходной системе при надлежащем выборе параметров максимального количества устойчивых однокомпонентных режимов (равного 16), двухкомпонентных режимов (равного 120) и четырехком-понентных режимов (равного 24). Для той же системы в случае наличия внутренних резонансов сформулированы условия сосуществования при надлежащем выборе параметров исходной системы максимального количества устойчивых однокомпонентных(равного 16) и двухкомпонентных режимов(равного 120). Показано, что все режимы с числом компонент, отличающимся от всех вышеуказанных, неустойчивы.

3. Для цепочки из трех связанных в кольцо сингулярно возмущенных осцилляторов с двумя запаздываниями доказана возможность сосуществования сколь угодно большого числа различных устойчивых режимов.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях динамики решений нелинейных краевых задач и систем дифференциально-разностных уравнений, а также вопросов, касающихся мультистабилыюсти и буферности в такого сорта системах.

Материал диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, нелинейной динамики и хаоса. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями и их приложениями.

Апробация результатов

Основные результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре, проводимом научно-образовательным центром ЯрГУ «Нелинейная динамика», а также представлялись на следующих научных конференциях:

1. Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 2008.

2. XVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010», Москва, 2010.

3. Research group "Dynamics and synchronization of complex systems Research Seminar, Humboldt-Universität zu Berlin, Berlin, 2010.

4. Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи НТТМ-2011, Москва,2011.

5. Foundations & Advances in Nonlinear Science: 16th International Conference-School, Minsk, 2012.

6. Межрегиональная выставка работ молодых исследователей «Шаг в будущее», Ярославль, 2012.

7. Mathematical Modeling and Computational Physics, Dubna, Russia, 2013.

8. Международная конференция, посвященная 150-летию со дня рождения Поля Пенлеве, Ярославль, 2013.

Также исследования по теме диссертационной работы были отмечены дипломом министерства образования и науки РФ по итогам открытого конкурса на лучшую работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах РФ, 2008, дипломом мэрии города Ярославля за победу в городском конкурсе на лучшую студенческую научную работу «Ярославль на пороге тысячелетия», 2009, медалью «За успехи в научно-техническом творчестве» НТТМ-2011, дипломом победителя 3 внутривузовского конкурса инновационных проектов молодых ученых «Молодежь и наука», 2011, дипломом II степени межрегиональной выставки работ молодых исследователей «Шаг в будущее», 2012.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 4 в тезисах докладов международных конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации 80 страниц текста с 3 рисунками. Список литературы содержит 70 наименований.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цели исследования и постановки задач, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена исследованию цепочки связанных нелинейных автогенераторов с туннельным диодом. В работе приводится процедура получения математической модели задачи на основе физического описания эксперимента Скотта с цепочкой нелинейных автогенераторов с туннельными диодами(см. рис. 1 )

А i,

Е^Г

1'

)2 ^ ^ в

L/2

Рис. 1: Схема ячейки цепочки Скотта.

сРщ ¿щ d oduk

lip-£ltt- £VdtLUk + Uk = Ык ~ £Ukltt> (1) u0 = 0, uN+i = 0, k = l,...,N,

где Luk- разностный оператор вида buk = 62(щ+х — 2щ + i), е— малый параметр.

В пункте 1.2 описан способ выбора собственных решений задачи

Tllij

Щп) =exp(±iüjnt)en(j), en(j) = sin ^ , n = l,...,N. (2)

Здесь j- пространственная переменная, а собственные частоты и)п имеют вид

/7Г72

шп= Jl+ 2^(1-cos-^у), n=l,...,N. (3)

Далее приводится описание алгоритмической части получения нормальной формы исходной задачи, решения которой при условии 0<e<<l,u = const > 0 будут отыскиваться в виде

uj = u0(t,r, j) +eui(t,T, j) + ..., T = et, j = l,...,N, (4)

где

N

u0 = exp(zw„£) + zn(r) exp{-iunt)]en(j), (5)

71= 1

a zn- неизвестные подлежащие определению амплитуды.Затем дается определение понятия резонанса в системе: под ним понимается одновременное выполнение равенств следующего вида между собственными частотами ш„: = т\и)П1 + т,2и>П2 + тп2ШПз, п0 = ±щ ± П2 ± щ для любого набора индексов щ, к = О,..., 3, для любого целочисленного вектора (mi, m^, шз): |mi| + |rrz21 + |m3| = 3 и при любой расстановке знаков во втором соотношении. Далее осуществляется переход к рассмотрению нерезонансного случая, для которого в следующем пункте и строится нормальная форма:

И? ч N

= (1 - К^п - 1))*в - 1*пЫ2 ~ Е n=l,...,N. (6)

Исследованию ее состояний равновесия посвящен пункт 1.4, в котором формулируется и доказывается основной результат этой главы, опирающийся на теорему о соответствии3 и касающийся максимального числа устойчивых сосуществующих режимов в исходной задаче

Теорема 1. Пусть для краевой нерезонапсной задачи (1) выполнены условия

(7)

is о

gdewi,wjv задаются равенством (3), тогда существует такое ео > 0, что для всех 0 < е < £о задача (1) имеет ровно N сосуществующих орбиталь-но асимптотически устойчивых циклов, асимптотика которых задается следующей формулой

4\/3 / о'

Ui{t,j) = — V1 - - !)cos + Vi) sin Jj—- + 0(e), ^

г = 1,..., N.

3Колесов, Л.Ю. Аттракторы типа жесткой турбулентности в релаксационных системах / А. Ю. Ко-лесов, Н.Х. Розов //Дифференц. уравнения.-2002.-Т. 38, № 12-С. 1596-1605.

Также в данном пункте приводится доказательство следующей теоремы

Теорема 2. Все состояния исходной нерезонансной системы с числом ненулевых компонент большим либо равным 2 неустойчивы.

Пункт 1.5 посвящен классификации резонансных систем - здесь приводятся всевозможные их типы, после чего в пунктах 1.6-1.7 проводится полное исследование каждого из них, в ходе которого были получены результаты полностью согласующиеся с ранее доказанными для нерезонансных систем.

Вторая глава посвящена исследованию конечномерной решетки нелинейных автогенераторов с туннельным диодом размером 4x4. Первый пункт посвящен построению соответствующей математической модели на основании схемы узла решетки, представленной на рис. 2.

Рис. 2: Схема ячейки решетки Скотта.

В итоге сформулированы и предложены для исследования 2 задачи с различными граничными условиями

d ^п,т dunm d __2 dUfi^fn

~ £~ИГ ~ £VJt п'т Un'm ~ п'т ~ (9)

Щ,т = о, и5,т = О, unfi = 0, и„,5 = 0, п,т = 0,..., 3, d ип,т _ dun,m d __2 йищт

~ ~ euJtLUn>m + Un'm - LUn'm - (10)

,т = ,т> ,т = ^п, 0 = ^п, 1?

ип,4 = ип,5, п,т = 1,..., 4,

где Lun,m- разностный оператор вида

Lun^m = <5i(ttn+l,m — 2Un<m + Un-iiTn) + ¿2(^1,т+1 ~ 2ип<т + и,i:m-l),

е— малый параметр. Здесь, как и в предыдущей главе, производится выбор собственных решений приведенных краевых задач: в частности, (10) допускает тригонометрические решения вида

Щп,т) = exp (±iwn<mt) enim(k,j),

1 1 тт(к - -) im{j - -)

en,m{k, j) = 2 cos-cos---,

n = 0,... ,3, m = 0,... ,3, к = 1,..., 4, j = l,...,4, a (9) соответственно решения вида

Щп,т) = exp(±KJ„,roi)e„,m(A, j), e„,m(fc,j) = 2sm-^-sm—, ^ n = 1,... ,4, m=l,..., 4, fc=l,...,4, j = 1, • • ■, 4,

здесь A, j выполняют роль пространственных переменных. При этом значения собственных частот для задачи (10) имеют вид

1 + 2(61(1 - cos + ¿22(1 - cos ™)),п, т = 0,..., 3, (13)

а для (9):

I ТТТ1 7Г77Т

с^,га= ^1+2(^(1-соз—)+<522(1 -соз—)), п,т= 1,...,4. (14)

Схема исследования приведенных задач аналогична приведенной в описании первой главы, поэтому приведем лишь основные результаты. Так в пункте 2.3 описано построение нормальных форм исследуемых задач в нерезонансном случае: для (10) соответствующая система будет иметь вид

¿г 9 3

2—т2— = (1 — — 1))^п,т — ~~:2п,т\гп,т\ ~ 3 ^ ] гп,т\2к,т\

йТ ' к=0,к^п

3 3 (15)

— 3 У ] — 2 ^ ] 1\ !

5=0, з^т к,з=0,к^п,з^тп

п = 0,..., 3, т = 0,... ,3.

Для задачи (9)

(1гП:т _/-,_ / 2 _ -1 \\ _ 9 , |2 _ о I |2

^ ^ V-1- £п,т|| о / у ^п.ггм^Уч

к=1,к^п

4 4 (16)

п = 1,..., 4, т = 1,... ,4.

В результате исследования приведенных систем в пункте 2.4 сформулированы следующие теоремы, касающиеся сосуществования большого числа устойчивых циклов, а также двух- и четырехмерных торов в исходной задаче:

Теорема 3. Пусть для задач (10), (9) выполнено условие

(17)

2 1 + г^

Imaxijmax <i '

1 - K<,„,jm¡„ - 1) < g(l - - 1)).

(hnin = jmin = 0, Ímax = jmax = 3 для (10), imin = jmin = lj 2max

/■■ . = 4 для (9)), где w¿minJmin, WjmaiJmox задаются равенством (13), тогда существует такое ео > 0, что для всех 0 < е < £о задачи (10), (9) имеют ровно 16 сосуществующих орбитально асимптотически устойчивых циклов, асимптотика которых задается следующей формулой

8 /-

«(í, k,j) = - ï/(fc>2? - 1)) COS (üJMt + <Pp,q)x

7TP(k - \) 7Tq(j - 1) (18)

x cos--—cos--—+ 0(e),

4 4

P = îmini ■ - - ) tmaxi Q = Jmini • • • > Зтахч imin — jmin = imax ' jmax = 3 ДЛЯ (10), i mm = jmin = lj ^max = jmax =

4 для (9).

Теорема 4. Пусть для задач (10), (9) выполнено условие

(1 - "К..,*.« -1)) < - - !))• (19)

(Í min — jmin — i max — jmax — 3 для (10), imin — jmin — lj ¿max —

jmax = 4 для (9)), где 0Jimin,jmi„,0Jimaj.,jmal задаются равенством (13), тогда

существует такое £о > О, что для всех 0 < е < £о каждая задача (10), (9) имеет ровно 120 орбиталъно асимптотически устойчивых торов, асимптотика которых задается следующей формулой

u(t,k,j) = 2(

4С(М)(М)(1 - v(u>ls - 1)) - 9(1 - v{uilq - 1)),

irp{k - i) тrq{j -

X COS (ojp^qt + ipPtq) COS---COS----h

\

4^)^(1 - " 1)) ~ 9(1 " - 1)).

(20)

16Cl,s)M ~ 81

X COS {uJrzSt + tpr,s) COS -

7Гr{k - Ь 7TS{j - i)

■ COS -

4 4

где р = q = г = 5 = 0,..., 3, для (10), р = д = г = в= 1,..., 4 для (9). Теорема 5. Пусть для задачи (10), (9) выполнено условие

QO

(1 - -1)) < !з((1 - K^JU

1)))

(21)

imin — jmin — 0, imax — jmax — 3 для (10), imin — jmin — lj imax —

jmax = 4 для (9)), где задаются равенством (13), тогда

существует такое ео > 0, что для всех 0 < е < £о задача (10), (9) имеет ровно 24 орбиталъно асимптотически устойчивых тора, асимптотика которых задается следующей формулой

nqi(j-h

u{t, k,j) = pPl,qi cos (wPb9li + (pPuqi) cos---cos---+

npi{k - h 7rq2(j - h

Pp 2,92cos {Upim1 + cos--cos-A-+

Pp3,93 cos (шрзmt + ^p3i?3) cos dfracKp3(k - -)4 cos -

Щъ{j ~ o)

(22)

-+

KPi(k - h nqiij - Ь pViAi cos (wP4,?4i + <pPim) cos---cos----Ь 0{e),

где ps = qs = 0, ...,3, для (10), ps = qs = 1,..., 4 для (9), s=l,...,4.

12

Теорема 6. Все состояния равновесия исходной перезонаисной системы с числом ненулевых компонент равным 3, а также большим либо равным 5 неустойчивы.

Для резонансного случая были проведены аналогичные исследования. Под резонансом в исследуемой в этой главе системе будет пониматься одновременное выполнение равенств вида = + +

^З^пз,7713,710 = ± П2 ± П3,Ш0 = ±7711 ± ТТ12 ± ГПз ДЛЯ Любых Наборов ИНдексов пи, ти к = 0,..., 3, для любого целочисленного вектора (зь 52, $з): 1511 +1 «21 +15з | = 3 и при любой расстановке знаков во втором и третьем соотношениях. Проделанный анализ позволил сформулировать сходные с нерезонансным случаем результаты, но со следующими поправками: в случае наличия в системе резонанса четырехкомпонентные режимы теряют устойчивость, таким образом, справедлива следующая теорема

Теорема 7. Все состояния исходной системы с числом ненулевых компонент большим либо равным 3 неустойчивы.

В Третьей главе рассматривается модельная система, применяемая в нейродинамике и популяционной биологии, состоящая из трех связанных в кольцо сингулярно возмущенных осцилляторов с двумя запаздываниями

щ = А[ - 1 + ¡1 - /11)) 4- /2(и,(г - /г2)) + (23)

где 3 = 1,2,3, А > 0, , Н2 > 0 - параметры, ^ (и), = 1,2, д(и) - достаточно гладкие функции, V — коэффициент связи между осцилляторами.

При отсутствии связи {у = 0) каждое из уравнений системы (23) в случае линейных функций /¿(м) представляет собой обобщенное уравнение Хатчинсона в котором учтены две возрастные группы. Кроме того, данное уравнение может служить феноменологической моделью импульсного нейрона с учетом двух запаздываний.

Предполагалось, что (23) имеет единственное ненулевое состояние равновесия и* так, что /1 (ы„) + /г(«*) = 1- Пусть, кроме того, функции правой части (23) раскладываются в точке ы* в ряд /¿(и) = ащ + аци*(и — 1) + щ2и1(и — 1)2+ааи1(и — 1)3 + С((и— I)4), здесь и = {и\,и2,щ),1 = 1,2. Также предполагалось, что параметр 7 фиксирован и удовлетворяет неравенству 7 <1. В данной главе задача (23) изучалась в сингулярно возмущенном случае, когда

/12 = £7^1, ап = -1/2 - /х, <221 = -1/2 + Ц, , .

7 = соггвЬ > 0, е = 1/А, 0 < е,/х << 1.

Порядок малости параметра V будет согласован с порядками малости величин е и ¡1. Тем самым, объектом исследований нашей работы будет служить система

щ = - [(1/2 + /*)«,-(< -1) - а12у]{г -1) - а13^3(г -1) + (1/2 - - е7)-- а22ь]{1 - е7) - а23у](1 - е7) + 0(у*) + 1/(^-1)] (1 + = 1,2,3, (25)

получающееся из (23) при условиях (24) и соответствующем выборе функции д(и) = и*(и — 1) после замен —» £ и = и*(щ — 1) ,7 = 1,2,3. Отметим, что как и выше выполнено условие г>о(£) = 1>з(£) кольцевой связи между осцилляторами.

Поставим вопрос о существовании и устойчивости автоколебаний системы (25), бифурцирующих из нуля при увеличении Первым этапом в решении этой задачи является анализ устойчивости нулевого состояния равновесия парциального уравнения системы (25) при отсутствии взаимодействия. Для этого необходимо выяснить расположение корней соответствующего этому состоянию равновесия характеристического уравнения

Результаты этого анализа позволяют согласовать порядки малости параметров е, ц и и, а также уточнить выбор параметра 7.

Для получения информации о поведении корней (26) близких к мнимой оси используются асимптотические равенства

Xn(£,ß)=iwn(l+e(j-2)+£2(1~2)2)-2eWn(l-j)+4ß+0(e3+£fi), (27)

где п = 1,2,..., и>п = 7г(2тг — 1), и доказывается следующее утверждение.

Лемма 1. Предположим, что параметр 7 фиксирован и удовлетворяет условию 7 < 1. Тогда по любому натуральному N можно указать такое £0 = £о(-у, И) > 0, что при е е [0,е0], во-первых, каждое из уравнений ЕеАп(е, ц) — 0, п = 1,..., N допускает единственное решение

во-вторых, при 0 < ß < ß\{£) все корни уравнения (26) имеют отрицательные действительные части, а в случае /^(е) < ß < ßk+i{£) при некотором 1 < к < N — 1 выполняются неравенства ReA„(e, ß) > 0, 1 < п < к\ ReA„(е,/х) < 0 Уп > к.

Выполненный линейный анализ показывает, что поставленная бифуркационная проблема близка к бесконечномерной: при е, ß, —> 0 к мнимой оси стремится счетное число корней (27) характеристического уравнения (26). Это означает, что в данной ситуации невозможно напрямую использовать известные конечномерные методы исследования динамики, базирующиеся на аппарате интегральных многообразий и нормальных форм, в связи с чем используется специальный асимптотический метод, введенный Ю. С. Колесовым и называемый методом квазинормальных форм4. Для его применения необходимо согласовать порядки малости параметров е, ß и ь>\ в соответствии с предположением о величине параметра 7 и асимптотическими

* Васильева А. В., Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / A.B. Васильева, С. А. Кащенко, Ю. С. Колесов, Н.Х. Розов // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488-499.

2еА + (1 + 2ß) ехр(-А) + (1 - 2ß) ехр(-Ае7) = 0.

(26)

ß = ßn{£), »n{e) = s2co2n(l - 7)/2 + 0(е3)

(28)

формулами (28) для критических значений ß уместно положить

H = ße2, V = VQ£3. (29)

Будем считать, что

ß = const > тг2(1 - 7)/2. (30)

Условие (29) обеспечивает неустойчивость пулевого решения системы (25). В этой ситуации в соответствии с алгоритмами построения квазинормальных форм5 решение (25) будем искать в виде

vj = etj{s,T)+£2ulj(s,T)+£3u2j{s,T) + ... j = 1,2,3. (31)

Здесь

г = (1 + £<7i + £2a2)t, tri = 7 - 2, 0-2 = (7 - 2)2, s = е2т,

£(я,т+1) = -£(а,т), ukj(s,T+2)=ukj{s,r), к = 1, 2,..., j = 1,2,3. (32)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, из условий разрешимости системы, получающейся для U2j(s,r), j = 1,2,3, получаем квазинормальную форму исследуемой системы (23), представляющую собой следующую параболическую краевую задачу

^=2(1 -7)0 + 4/3& + ^ + 2^-1, £(S,T + 1) = -£(S,T), (33) i = 1,2,3,

где s играет роль времени, т является пространственной переменной, d = 2(а23 - а13) + 4(а22 - ¿несоответствие между автоколебательными режимами квазииормалыюй формы (33) и исходного уравнения (25) устанавливается в формулируемом ниже основном утверждении главы. В качестве фазовых пространств краевой задач (33) возьмем соответственно пространство Е2 х Е2 х Ei-, состоящее из антипериодических функций (fiOr^&Or^&C7"))) гДе каждая из функций ^■(т) принадлежит классу 1У2[0, 1]. Фазовым пространством самого уравнения (25) будем считать С[—1,0] х С[—1,0] х С[-1,0].

Теорема 8. Пусть ß = ße2, ß > 7Г2(1 — 7)/2, 7 < 1, а квазинормальная форма (33) допускает периодическое решение типа бегущей волны

= €oj{y) : y = a0s + T, £0j(y + 1) = -€oj{y),j = 1,2,3, a0 = const, (34)

5Колесов А. Ю., Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических реше-

ний в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием/ А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищепко,Н. X. Розов

// Анализ и особенности. Часть 2, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН. Т. 259. М.: Наука, 2007. С. 106-133.

экспоненциально орбитально устойчивое или дихотомичное. Тогда найдется такое ео > О, что при всех О < е < ео решению (34) отвечает цикл системы (25) с теми оке свойствами устойчивости. Главная асимптотика этого цикла задается равенством (31), в котором учтено соотношение (43).

Для изучения состояний равновесия системы (33) выполним в ней следующую замену

+оо

О = ехр + ехр (-гш„т), шп = (2к + 1)тт, (35)

71=1

в результате чего получим бесконечномерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ^ = 1,2,3, п = 1,2,... Найдем условия существования одномодовых решений данной системы, т. е. таких для которых обращаются в ноль все кроме одного слагаемые разложения (35). Считаем, что для некоторого г

ф 0, и = 0, для т ф г (.7 = 1, 2,3). (36)

Для ненулевых амплитуд получаем следующую систему:

= (4/3 - 2(7 - + Зс%-г|2^г + 2г/0^_1г, ] = 1,2,3, (37)

Будем предполагать, что

7г = 4/3 - 2(7 - 1К2 > 0, (38)

тогда выполним в (37) полярную замену переменных

Ъг = (39)

и нормирующую замену времени 5 —> тгз, кроме того, обозначим (р = щ—^г,

'Ф = *Рг — фз и аг = В этой ситуации из (37) получаем следующую 7к

пятимерную систему:

т?1 = + соэ^ + V) - »71. Ь = т]2 + агт сов (р-Т]2,

Т]3 = Т)3 + агТ]2С05'ф-Т}1,

(Ъ . , , п , 41 . \ (40)

ф = —аг — бш + ^) Н--бш </з

1 (ъ ■ ш ■ Л

"ф = а,. — эти--этю .

Сразу отметим, что в силу замены (39) имеем 771,772, % > 0, кроме того система (40) 27г-периодична по </? и 1р. Учитывая это, рассмотрим условия существования и устойчивости простейших состояний равновесия системы (40), для которых т]1 = г/2 = щ. Выделим следующие два случая. В первом из них

1 __27Г

Щ = г]2 = т= 2%/4 - 2 аг, 1р = 1р = —. (41)

Для исследования устойчивости данного состояния равновесия линеаризуем на нем систему (40). Нетрудно убедиться, что получившаяся матрица устойчивости имеет собственное число Лх = —2 + аг, причем остальные собственные числа являются корнями следующего многочлена:

Л4 + агХ3 + а2Л2 + а3Л + а4, (42)

где

ах = (47г — Ъаг)/-к,

«2 = 4 + -^-а? - 13аг + - 2аг,

4 167Г

9 ,, ч ,- 9 21 о 45 4 (43)

а3 = — а3г(2аг - 1)\/4 - 2аг + 3а; - —а; + -~а4г, о7Г 2 4

9 57 33

а4 = - Заг)\/4 - 2аг - 6аг — —а^. + ^<4-

Условием гурвицевости многочлена (42) с коэффициентами (43) оказывается неравенство

аг < 0. (44)

Учитывая, что первое из собственных чисел А1 = —2 + аг в этом случае также оказывается отрицательным, заключаем, что при выполнении (44) состояние равновесия (41) устойчиво.

Второе состояние равновесия, имеющее равные друг другу амплитудные составляющие, имеет вид

»71 = »72 = % = \/1 + аг, р = гр = 0. (45)

Матрица устойчивости этого состояния равновесия распадается на два блока:

—2 — 2>аг 0 аг \

Ах = [ ат -2 - 3аг 0 (46)

0 аг — 2 — Заг /

= ( ~1агт -I ) • (47)

Собственные числа матриц (46), (47) имеют вид

Т у/Ъ ( 3 у/з \

Ах = -2аг - 2, Л2,з = —-аг — 2 ± —1аг, А^ = I —- ± —г I аг,

откуда следует, что условием устойчивости состояния равновесия (45), является неравенство

аг > 0. (48)

Отметим, что для существования у квазинормальной формы (33) одномо-довых режимов необходимо выполнение условия (38), которое выполняется для сколь угодно большого конечного числа номеров г при подходящем выборе входящих параметров /3 и 7, тем самым, реализуется хорошо известное явление буферности. С другой стороны, выбор знака параметра аг определяет распределение колебаний по однонаправленно связанным осцилляторам. В первом случае (условие (44)) колебания происходят с разностью фаз рав-2п

ной —, а во втором (условие (48)) разность фаз равна ж. Приведенные вы-о

воды в силу теоремы 8 о соответствии могут быть перенесены на исходную систему (25).

В Заключении приведены основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Выполнен бифуркационный анализ динамических систем, моделирующих цепочки и решетки взаимодействующих осцилляторов в опыте Скотта.

2. Найдены условия сосуществования большого числа устойчивых одно-и многокомпонентных режимов в системах Скотта.

3. Для системы однонаправленно связанных сингулярно возмущенных скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями показано, что при подходящем выборе параметров в фазовом пространстве этой системы может сосуществовать любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических движений.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации из перечня ведущих рецензируемых научных журналов, рекомендуемых ВАК

1. Бобок, A.C. Локальный анализ цепочки автогенераторов в опыте Скотта ¡A.C. Бобок // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012,—Т.19,№ 3. - С.145-146.

2. Бобок, А.С. Автоколебания решеток нелинейных элементов в опыте Скотта/Л. С. Бобок, С Д. Глызии // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012,—Т.19,№ 5. - С.56-68.

3. Бобок, А.С. Экстремальная динамика системы трех однонаправлен-но связанных сингулярно возмущенных уравнений из иейродинами-кп/А.С. Бобок, С.Д. Глызии, А.Ю. Колесов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2013—Т.20,№ 5. — С.157-166.

Прочие публикации

4. Бобок, А.С. Простейшие бифуркации уравнепий Гинзбурга-Ландау и Кортевега-де Фриза с кубической нелинейностью/А. С. Бобок // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. — Ярославль, 2008,— Вып. 9. - С.4-12.

5. Бобок, А.С. Простейшие бифуркации уравнений Гинзбурга-Ландау и Кортевега-де Фриза с кубической нелинейностью/А. С. Бобок //Современные методы теории функций и смежные проблемы: Сборник материалов математической зимней школы. — Воронеж, 2009. — С.27-28.

6. Бобок, А. С. Локальный анализ простейших цепочек и решеток автогенераторов в опыте Скотта/ А. С. Бобок //Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса «Ярославль на пороге тысячелетия». — Ярославль, 2009. — С.17-21.

7. Бобок, А. С. Локальный анализ простейших цепочек и решеток автогенераторов в опыте Скотта/Л. С. Бобок //Материалы XVI Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010». — Москва, 2010.

8. Bobok, A. Local dynamics of the oscillators array in Scott experiment/^!. Bobok //Foundations & Advances in Nonlinear Science: 16th International Conference-School. — Minsk, 2012. — 56 p.

9. Bobok, A. Extremal dynamics of the system of three coupled singularly perturbed equations with two delays /A. Bobok// Mathematical Modeling and Computational Physics —JINR, 2013. — 53 p.

10. Бобок, А. С. Динамика трех однонаправленно связанных сингулярно возмущенных уравнений с двумя запаздываниями /А. С. Бобок, С.Д. Глызии, А.Ю. Колесов)/ Нелинейная динамика и ее приложения: Международная конференция, посвященная 150-летию со дня рождения Поля Пенлеве (15-18 октября 2013): Тезисы докладов. — Ярославль: ЯрГУ, 2013. - С.8-10.

Подписано в печать 25.11.13. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 16/13. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская , 14.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова»

На правах рукописи

04201455079

Бобок Алексей Станиславович

Локальная динамика цепочек и решеток нелинейных осцилляторов

Специальность: 01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Глызин Сергей Дмитриевич

Ярославль, 2013

Оглавление

Введение 3

1 Локальный анализ цепочки автогенераторов с туннельным диодом 8

1. Постановка задачи..............................................8

2. Выбор собственных решений..................................10

3. Построение нормальной формы нерезонансной системы . . 13

4. Состояния равновесия нерезонансной системы, их устойчивость ..............................................................13

5. Классификация резонансных систем..........................18

6. Построение нормальной формы однорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость......................19

7. Построение нормальной формы многорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость..................27

2 Нормальная форма и асимптотики устойчивых режимов решеток автогенераторов Скотта 34

1. Постановка задачи..............................................34

2. Выбор собственных решений..................................40

3. Построение нормальной формы нерезонансной системы . . 42

4. Состояния равновесия нерезонансной системы..............44

5. Построение нормальной формы однорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость......................52

6. Построение нормальной формы многорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость..................54

3 Буферность в системе трех связанных в кольцо сингулярно возмущенных осцилляторов с двумя запаздываниями 63

1. Постановка задачи и линейный анализ............ 63

2. Метод квазинормальных форм и результаты его применения 65

3. Простейшие устойчивые режимы квазинормальной формы 68

Заключение 72

ОГЛАВЛЕНИЕ Литература

Введение

Решение многих задач механики, радиофизики, биологии, экологии, нелинейной оптики и ряда других областей естествознания зачастую приводит к построению математических моделей на основе нелинейных взаимодействующих осцилляторов [1]-[57]. Отсюда проистекает и интерес к исследованию динамики такого сорта систем [46]-[48], и изучению некоторых из них будет посвящена данная работа.

Среди полученных в ходе нее результатов хочется выделить те, что связаны с явлением мультистабильности, суть которого в сосущестова-нии в фазовом пространстве динамической системы устойчивых режимов с узкими областями притяжения, и ее частным проявлением - феноменом буферности. О последнем принято говорить, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и проч.). Соответствующее понятие было введено А.А.Виттом [5], а так же упоминалось в ходе значительно более поздних работ [30]-[54].

Буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных естественнонаучных областей, поэтому весьма актуальна проблема изучения типовых сценариев накапливания аттракторов, которых на данный момент известно три: тьюрингский и гамильтонов механизмы, а также сценарий Витта. Исследованию каждого из них посвящено довольно большое количество публикаций [8]-[44]. Наиболее распостраненным из вышеприведенных является механизм Витта. Данный сценарий заключается в следующем: представим, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия некоторой динамической системы имеет место критический случай счетного числа чисто мнимых собственных значений, а при изменении каких-либо входящих в эту систему параметров происходит последовательное смещение точек спектра в правую комплексную полуплоскость. Тогда, как установлено в уже упоминавшихся работах [5]-[54], чаще всего в такой системе наблюдается феномен буферности в простейшем его варианте: происходит неограниченный рост числа устойчивых циклов, причем каждый отдельно взятый цикл рождается из нулевого

состояния равновесия неустойчивым, а затем обретает устойчивость, вырастая по амплитуде.

В данной работе под буферностью будет пониматься феномен, возникающий в динамических системах с бесконечномерным фазовым пространством, который характеризуется ростом количества сосуществующих устойчивых инвариантных торов и размерностей аттраторов на этих торах при изменении управляющих параметров. Этот феномен очевидным образом связан со сценарием перехода к турбулентности по Ландау [36, 7] и наблюдается, например, когда при уменьшении вязкости или какого-либо другого параметра возникают все новые и новые цепочки бифуркаций инвариантных торов

Тг Т2 ----у Тм+1 -> ... (1)

на каждом из которых имеется хаотический аттрактор возрастающей с ростом N размерности. Простейшей физической системой, в которой возможна турбулентная буферность, является двумерный прямоугольный массив идентичных осцилляторов, каждый из которых взаимодействует со своими соседями, и в рамках этой работы нами будет рассмотрен пример такого сорта системы, введенный в рассмотрение английским физиком и математиком Элвином Скоттом [60, 61, 62].

Для получения результатов, представленных в рамках данной работы, использовались как аналитические [6], так и численные методы исследования. Среди примененных аналитических методов особо выделим метод нормальных форм для случая конечномерного вырождения и метод квазинормальных форм в случае бесконечномерного вырождения, которые восходят к работам Пуанкаре [58] и методу усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского [3]-[56]. Но применимы же они лишь в случае, когда при критическом значении параметра в спектре устойчивости исследуемой системы оказывается конечное число точек, лежащих на мнимой оси. При исследовании же распределенных систем и уравнений с запаздыванием зачастую приходится сталкиваться с ситуацией, когда спектральная задача имеет счетное число значений на мнимой оси. Для решения данной проблемы Колесовым Ю.С. [4, 33] был предложен специальный асимптотический метод, названый впоследствии методом квазинормальных форм. К настоящему времени данный метод обоснован в ряде модельных ситуаций для параболических [54, 18, 55, 21, 49, 25], гиперболических [30, 34], краевых задач, а также для случая дифференциально-разностных уравнений второго порядка с большим запаздыванием [19, 20, 35, 26, 27, 29].

Обращаясь к практической составляющей исследуемых в данной работе математических моделей, заметим, что одной из актуальных на настоящий момент задач в кибернетике является развитие и совершенство-

вание техники анализа и проектирования «сложных» систем, то есть нелинейных систем, обладающих большим числом степеней свободы.. При попытке решения этой проблемы зачастую приходится сталкиваться с двумя противостоящими друг другу принципами: выбранная система должна быть достаточно простой с тем, чтобы была возможность её сконструировать и построить, но одновременно она должна быть достаточно сложной, чтобы представлять определенный интерес. Такого рода экспериментальная система, основанная на использовании решетки автогенераторов с полупроводниковыми туннельными диодами, и была разработана Скоттом, и частично исследована Колесовым А.Ю [36]. В ходе проводимого Скоттом опыта предполагалось, что сформированная решетка будет допускать колебания лишь на достаточно высоких частотах, которые удовлетворяли бы квазигармоническим условиям, иными словами, существенным допущением был тот факт, что смещенный поток через узловое емкостное сопротивление будет велик в сравнении с потоком проводимости через тот же узел. Опираясь на это предположение, система могла быть проанализирована в первом приближении как линейная сеть без потерь. Нелинейный поток проводимости через туннельный диод в этом случае вкючается во вторую аппроксимацию как возмущение, используя технику, введенную ван дер Полем [70] и широко развитую впоследствии Крыловым и Боголюбовым [52, 3]. Таким образом, система в первом приближении имела число колебательных режимов, равное числу узлов решетки, и её сложность заключалась в нелинейном взаимодействии между данными режимами.

Дополнительный интерес дальнейшему исследованию и разработке результатов эксперимента Скотта придает возможность их последующего практического приложения и внедрения в разнообразные промышленные, информационные и иные области производства. В частности, широкие перспективы открываются в сфере хранения информации. Данные системы используют для этого способ, включающий локализацию информации в двух пространствах: реальном (самом массиве автогенераторов) и двойственном (комбинации режимов решетки), что интересно в свете исследований методов хранения информации живыми организмами. Ещё одной областью приложения могут стать системы распознавания образов, где среди целевых проблем стоит выделить определение гештальт-характеристик или шаблонных особенностей объекта, как некоторых функций геометрии образа, не зависящих от сдвига и поворота. И, наконец, особенно стоит отметить возможности исследуемой системы при анализе так называемых «мыслительных» процессов биологического мозга в терминах характеристических отражений или состояний нелинейных колебательных систем. Режимы «поведения» и «мышления» предполагают наличие определенных отраженных состоя-

ний, и при проектирования подобных систем несомненное преимущество имели бы квазигармонические решетки в силу их идейной простоты и легкости построения.

Еще один широкий класс динамических систем со сложным поведением решений представляют собой дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Нетривиальность свойств таких уравнений обусловлена в первую очередь бесконечномерностью их фазового пространства. В задаче об устойчивости этих уравнений может наблюдаться бесконечномерное вырождение и в качестве их нормальных форм, также приходится рассматривать бесконечномерные системы специального вида. В некоторых случаях такие системы могут быть представлены в виде краевых задач (см., например, [4, 33, 20]). В настоящей работе рассматривается класс дифференциальных уравнений с двумя запаздываниями, применяемых в популяционной биологии и нейродинамике.

Исторически первой из подобных работ для моделирования активности отдельного нейрона является ставшая впоследствии классической модель Ходжкина и Хаксли [63], довольно сложная для аналититиче-ских исследований из-за большого числа входящих в неё параметров, вследствии чего были предприняты попытки ее упростить, уменьшая как количество параметров, так и число уравнений системы. Среди подобных упрощений отметим модель Морриса-Лекара [64],а также феноменологические модели ФитцХью-Нагумо [65, 66] и Хиндмарш-Роуз [67], учитывающие лишь внешнее проявление активности нейрона - изменение мембранного потенциала и генерацию спайка, и не рассматривающие внутриклеточные причины этих изменений. Все введенные выше модели были довольно хорошо изучены, и в ходе их изучения была развита универсальная техника методов исследования такого сорта задач [28].

Для рассматриваемой в диссертационной работе задачи в сингулярном случае можно построить квазинормальную форму. Для полученной квазинормальной формы доказываются утверждения о соответствии, а затем она изучается аналитическими и численными методами.

Для уравнений подобного типа большое значение имеет объединение их в какую либо ассоциацию. Отметим, что модели с минимальным количеством взаимодействующих нейронов - двумя - изучались, например, в работах [68, 69]. В радиофизических и нейробиологических приложениях такие ассоциации зачастую представляют собой однонаправленно связанные в кольцо системы. Простейшим нетривиальным кольцом из одно-направленно связанных автогенераторов следует считать систему, включающую три элемента. В целом ряде случаев рассмотрение такой системы позволяет обнаружить некоторые новые эффекты, возникающие как результат взаимодействия осцилляторов (см., например, [10, 11, 12, 22]). Среди эффектов, обнаруженных в настоящей работе, отметим наличие

у системы при подходящим образом выбранных параметрах любого наперед заданного количества сосуществующих периодических режимов, т. е. наблюдается явление буферности.

Глава 1

Локальный анализ цепочки автогенераторов с туннельным диодом

1. Постановка задачи

Прежде, чем переходить к непосредственному исследованию цепочки связанных нелинейных автогенераторов с туннельным диодом, обратимся к схеме получения ее математической модели. Алгоритмическая часть процедуры приведена в уже упоминавшейся статье [36] для бесконечномерного случая. Мы же перенесем ее на конечномерный случай описания одномерного массива длины N естественным образом предполагаем натуральным числом большим 2) с использованием разностных аппроксимаций. Узлы исследуемой цепочки имеют представленный в работах Скотта вид (см. рис. 1.1 )

Рис. 1.1: Схема ячейки цепочки Скотта.

Считаем, что центр О каждой такой ячейки связан с землей посредством параллельно подключенных конденсатора Со, индуктивности Ьо и туннельного диода с вольт-амперной характеристикой г = /(и). Сами же ячейки взаимодействуют между собой через параллельно подсоединен-

ные индуктивности L и активные сопротивления R. Все операции будем выполнять в предположении, что граничные ячейки в цепочке заземлены.

Для начала фиксируем узел с номером n, 1 < n < N и обозначим через un(t)~ напряжение в ее узле О. Первый закон Кирхгофа для этого узла приводит к равенству

Ч - г2 -¿з = 0, (1.1)

где ik,k = 1,... ,3 - соответствующие токи( см. рис. 1.1), заметим, что токи ik, k = 1,... ,2 в зависимости от расположения узла решетки могут принимать нулевые значения, ток представляет собой сумму токов, текущих через конденсатор Со, индуктивность Lq и туннельный диод и вследствии этого записывается в виде

Ч = C0un(t) + f(un(t)) + j- J undt. (1.2)

Что же касается остальных токов, то они в силу рванества Ома для участков цепи задаются равенствами

If 1

Ч = —г / (u„ - un-\)dt - —{un - Un-i),

\J ? (1-3)

¿2 = / {Un+l - Un)dt - - Un),

Приведенные соотношения (1.1)-(1.3) позволяют выписать систему, связывающую напряжения un(t), n = 1,... ,N в узлах цепочки. Действительно, подставляя формулы(1.1), (1.2), (1.3) и дифференцируя результат по t, приходим к уравнениям

j[un - 2un + un_i) + 2un + un)+

+^{un+i - 2iin + йп-i) + ¿(M„ - 2un + un) =

^ •• d ?/ \ 1 = C0un + —f{un) + —Un,

n = l,...,N.

И, наконец, дополнив эту систему соответствующими граничными условиями и проведя для удобства ряд нормировок ¿/a/Lo,*/Co,* —>■ t,x/ai —x,y/a,2 получим следующую систе-

му обыкновенных дифференцильных уравнений, исследованию которой и будет посвящена в дальнейшем эта глава

(Рщ (1щ й Т

1*-£^Г-£Рл1ик + ик = 1ик-£ик1Г' (1.5)

щ = 0, г¿JV4-1 = 0, к = 1,..., ТУ,

где Ьщ- разностный оператор вида Ьщ = 52(щ+\ — 2щ + 1^-1), малый параметр.

Обратимся к задаче (1.5). Для её исследования будем применять стандартные методы локального анализа, техническая сторона которых описана ниже.

2. Выбор собственных решений

Для выбора собственных решений рассмотрим данную краевую задачу при е = 0. Нетрудно показать, что при данном значении малого параметра задача (1.5) допускает тригонометрические решения вида

7Í7T7

Щп) = exp(±«dnt)en(j), en(j) = sin n = 1,..., N. (1.6)

Здесь j- пространственная переменная.

При этом справедливо следующее утверждение

Лемма 1. Набор векторов приведенный в (1.6), представляет

собой линейно независимую систему и образует базис в рассматриваемом нами пространстве решений.

Найдем соответствующие этим решениям частоты для чего подставим (1.6) в следующую систему

ерщ

~ + uk = Luk, u0 = 0,uN+i = 0, k = l,...,N (1.7)

и получим

/ 7Г 71

ип = + 2<52(1 - cos ^-j-j), п = 1,..., N. (1.8)

Введем понятие резонанса для исходной системы:

Определение 1. Назовем значение параметра 5 системы (1.5) резонансным (а отвечающую этому значению систему резонан-соной), если для него реализуется одновременное выполнение равенств следующего вида между собственными частотами ип:

= miwni + m2Un2 + m3wn3, n0 = ±щ ± n2 ± n3 для любого набора индексов щ, к = 0,..., 3, для любого целочисленного вектора (7711,7712,7723); |mi| + |т2| + |шз| = 3 и при любой расстановке знаков во втором соотношении. Соответствующий набор частот иПк, к = О, ...,3 будем называть резонансным набором собственных частот. В случае же, если для заданного значения параметра 5 описанные выше равенства не выполнены ни для одного набора собственных частот, то будем называть такое значение 5 и соответствующую систему нерезонансными.

Возможность выбора параметра 6 таким образом, что реализуются обе возможности, подтверждена �