Релаксационные колебания и волны в решеточных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1 Релаксационные колебания в системе взаимосвязанных элементов ФитцХью—Нагумо

1.1 Модель.

1.2 Фазовое пространство и аттракторы системы (1.1)

1.2.1 Быстрые движения системы.

1.2.2 Медленные движения системы.

1.3 Отображение Пуанкаре.

1.3.1 Отображение Si.

1.3.2 Отображение S2.

1.3.3 Отображение S.

1.4 Динамика разрывного отображения S и аттракторы системы (1.5).

1.5 Выводы.

2 Импульсы в взаимосвязанных цепочках элементов Фитц-Хью-Нагумо

2.1 Модель

2.2 Импульсы в отдельном волокне.

2.3 Синхронизация волокон.

2.3.1 Идентичные волокна.

2.3.2 Неидентичные волокна.

2.4 Однородное взаимодействие.

2.5 "Локальные" контакты между волокнами.

2.5.1 Точечный контакт.

2.5.2 Двухточечный контакт.

2.6 Выводы.

Структуры и волны в взаимосвязанных цепочках элементов Чуа

3.1 Элемент Чуа и система взаимосвязанных цепочек из элементов Чуа.

3.2 Взаимная синхронизация цепочек-волокон.

3.2.1 Синхронизация идентичных цепочек.

3.2.2 Синхронизация неидентичных цепочек.

3.3 Режимы отдельной цепочки.

3.4 Эффекты межволоконного взаимодействия цепочек, составленных из элементов Чуа

3.4.1 Синхронизация структур различного профиля

3.4.2 Синхронизация волновых фронтов.

3.4.3 Преодоление "провала" распространения.

3.4.4 Эффекты взаимодействия волновых фронтов и структур

3.5 Синхронизация в связанных цепочках, обладающих возбудимыми свойствами.

3.5.1 Динамика одиночного импульса.

3.5.2 Возникновение пакета импульсов.

3.6 Неоднородное взаимодействие волокон.

3.7 Выводы.

4 Динамика спиральных волн в двумерных решетках

4.1 Модель.

4.2 "Локальная модель" передачи возбуждения внутри слоя

4.3 Спиральные волны в двухслойной решётке.

4.3.1 Глобальная синхронизация.

4.3.2 Взаимодействие между слоями и синхронизация

4.3.3 "Локальная модель" проникновения возбуждения между слоями.

4.4 Разреженные связи.

4.5 Выводы.

Системы, демонстрирующие релаксационные колебания и волны широко распространены в самых различных областях науки и техники. Например, в радиофизике такие движения типичны для широкого класса автогенераторов [1], для многих неравновесных сред [2-5], для некоторых нелинейных линий передачи [6] и др. Пионерские результаты по исследованию систем с релаксационными колебаниями были получены в работах Б. Ван-дер-Поля, А.А. Андронова, Дж. Стокера, Н.А. Железцова и др. Последние годы характеризуются увеличивающимся интересом к релаксационным системам, состоящим из большого числа идентичных или почти идентичных элементов. Особенно интенсивно релаксационные системы изучаются в связи с разработкой информационных систем нейродинамического типа - нового поколения систем хранения и обработки информации. Такие системы строятся в виде активных распределенных сетей из элементов, обладающих в той или иной степени свойствами "живых" нейронов. Важнейшей характеристикой нейронов, присущей самым разнообразным типам, является изменение их состояния во времени. Типично чередование режимов относительного покоя и кратковременной активности, т.е. релаксационное поведение. Пространственная организация нейронных сетей, т.е. организация связей между элементами, может быть достаточно разнообразной. Здесь можно упомянуть глобальный тип связи [7-9], при котором каждый элемент системы взаимодействует со всеми остальными, нелинейный тип связи [10], системы в виде активных решеточных систем с локальным типом связи [11-18] (взаимодействие осуществляется только с соседними элементами) и др. Решеточные системы могут иметь как двумерную пространственную архитектуру (одиночные решетки) так и трехмерную (взаимосвязанные решетки- "слои"). С одной стороны, решеточные системы это пространственно-распределенные системы, а с другой - многомерные динамические системы. Поэтому для них важны проблемы как теории нелинейных волн и структур, так и классические проблемы теории колебаний [1-6].

В качестве примеров решеточных систем можно привести системы, состоящие из джозефсоновских контактов и связанных лазеров [1925], взаимодействующих химических реакторов, нейронных ансамблей [8, 10, 13, 14, 26], синхронизованных генераторов, систем автоматического управления [15, 27-30] и т.д. Прикладной интерес к решеточным системам также вызван тем, что в последнее время появилась возможность реализовать системы, состоящие из большого числа активных взаимосвязанных ячеек-элементов, на базе современной микроэлектроники. В связи с этим широкое развитие получило направление, связанное с построением так называемых CNN (Cellular Neural Networks

- клеточных нейронных сетей) - электронных схем решеточного типа. Такие системы могут быть использованы для решения задач распознавания образов, кодировании и обработки информации [31, 32].

Таким образом, исследование релаксационных колебаний и волн в активных решеточных системах является актуальной и важной задачей радиофизики и имеет как фундаментальный, так и прикладной интерес.

Решеточные системы обладают разнообразной пространственно-временной динамикой. При этом в них могут реализовываться режимы и эффекты как подобные существующим в непрерывных неравновесных средах [2-5, 33-39], так и принципиально новые, вызванные дискретностью пространственных координат. Наиболее хорошо пространственно-временная динамика решеточных систем исследована в случае одиночных сетей-решеток из элементов с относительно простой собственной динамикой. Для систем такого типа получен ряд важных результатов. Например, достаточно подробно исследованы процессы структурообра-зования и возникновения пространственного хаоса [12, 40-47], явления синхронизации колебаний в цепочечных системах различной природы [28, 48-51]. Изучены вопросы существования и устойчивости волновых движений [15, 29, 30, 41, 52-55], показана возможность формирования фазовых и частотных кластеров [50, 56], спиральных волн [57], динамического копирования [58-60].

В то же время, динамика многослойных решеточных систем, состоящих из элементов с релаксационным поведением, изучена мало.

В данной работе проводится исследование пространственно-временной динамики двухслойных решеточных систем из релаксационных элементов. Исследование включает в себя разработку "элементной" базы решеточных нейро-динамических систем; изучение релаксационных колебаний и волн; исследование эффектов межслойной синхронизации движений, циркуляции и взаимопроникновения возбуждений между слоями; исследование динамики спиральных волн и влияния на неё межслойной анизотропии связи.

Отметим, что некоторые из эффектов взаимопроникновения и циркуляции возбуждения, наблюдаются также в континнуальном приближении, когда взаимодействующие системы описываются одномерными уравнениями в частных производных [61-65].

Работа состоит из четырех глав.

В главе 1 рассмотрена система, состоящая из двух релаксационных элементов, обладающих различными динамическими свойствами. Такую систему можно представить как простейшую "ячейку" нейро-подобной среды. Модель представляет собой систему двух взаимосвязанных различных элементов ФитХью-Нагумо (ФХН). В отсутствии связи между подсистемами один из элементов находится в возбудимом режиме (при превышении некоторого порога в системе наблюдается переходный процесс в виде импульса возбуждения), а второй - в режиме периодических релаксационных колебаний. Такую систему можно рассматривать как модель нейрона нижних олив (inferior olive neuron). Установлено, что в зависимости от управляющего параметра динамика системы может быть как регулярной, так и хаотической. В результате проведенного исследования, было показано, что ряд режимов, реализующихся в исходной модели, имеют хорошее качественное совпадение с данными исследований "живых" нейронов нижних олив полученных с помощью реальных нейрофизиологических экспериментов.

Глава 2,3 посвящена исследованию динамики в системе из двух связанных одномерных решеточных систем - цепочек- "волокон", состоящих из возбудимых элементов ФХН (глава 2) и осцилляторов Чуа (глава 3). Получены достаточные условия синхронизации движений в системе, рассмотрены различные эффекты взаимодействия бегущих импульсов, изучены случаи как однородного взаимодействия между системами, так и локализованного в определенных точках пространства. В случае однородного взаимодействия показана возможность синхронизации импульсов в цепочках. Для локализованных взаимодействий изучена динамика точечного и двухточечного контактов, позволяющих эффективно управлять распространением возбуждения по связанным цепочкам-волокнам.

В главе 4 изучается динамика системы, состоящей из взаимодействующих квадратных решеток-слоев, доказана взаимная синхронизация движений между слоями. Рассмотрен процесс образования и синхронизации спиральных волн. В плоскости параметров системы выделены области существования и различного поведения спиральных волн. Установлено, что в зависимости от значений параметров такая синхронизация может вести к эффектам проникновения и циркуляции возбуждения между слоями. Изучены процессы распространения возбуждения внутри слоя и между слоями. Исследовано влияние анизотропии связей на коллективную динамику системы.

Теоретическая и практическая значимость результатов

В работе исследованы процессы формирования структур активности в достаточно широком классе релаксационных систем нейро-динамического типа - от систем из двух взаимосвязанных элементов (модель нейрона нижних олив) до двухслойных решеток. Проведенные исследования позволяют дать конкретные практические рекомендации по выбору параметров сетей-решеток из релаксационных элементов, обеспечивающих желаемые режимы работы и эффективно управлять свойствами таких систем. Результаты диссертации могут быть полезны при формировании структур активности в системах хранения и обработки информации нейро-динамического типа, при построении искусственных активных линий передачи и систем управления и координации движений автономных машин и др.

Полученные результаты использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, научных конференциях ННГУ (1997-2001 гг.), научной конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 1999), сессиях молодых ученых (Нижний Новгород 1997-2001 гг.); международных симпозиумах: 1-st Int. Conference Control of Oscillations and Chaos (Санкт-Петербург, 1997); The 20th IUPAP Int. Conference on statistical physics (Paris, 1998); International Workshop on Synchronization, Pattern Formation, and Spatio-Temporal Chaos in Coupled Chaotic Oscillators (Santiago de Compostela, 1998); Int. Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod DDNN98 (Nizhny Novgorod, 1998); Conference on Chaos Oscillation and Pattern Formation CHAOS 98 (Saratov, 1998); International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Delft, Netherlands, 2001); International Conference "Progress in nonlinear science" dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov (Nizhny Novgorod, Russia, 2001).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [86]-[108].

4.5 Выводы

В результате исследования пространственно-временной динамики двухслойной решеточной системы из элементов ФХН получены следующие основные результаты.

• Для одиночной решетки-слоя построена область параметров, соответствующая существованию спиральных волн. Исследовано влияние параметров системы на форму спиральных волн. Построена "локальная модель", которая позволила получить аналитические оценки границы области существования спиральных волн.

• Для системы, состоящей из двух взаимодействующих слоев, доказана взаимная синхронизация движений между слоями. Рассмотрен процесс синхронизации спиральных волн. В плоскости параметров выделены области существования и различного поведения спиральных волн. Установлено, что в зависимости от значений параметров такая синхронизация может вести к эффектам проникновения и циркуляции возбуждения между слоями. Изучены процессы распространения возбуждения внутри и между слоями. Построена "локальная модель" проникновения возбуждения между слоями, позволившая дать теоретическое объяснение наблюдаемых эффектов.

• В случае неоднородных связей установлено, что в зависимости от пространственного масштаба межслойных связей возможны следующие эффекты: распространение спиральной волны без изменения своего профиля, образование в изначально покояшемся слое концентрических волн, уничтожение исходной спиральной волны в первом слое.

Заключение

В настоящей диссертационной работе проведено исследование процессов формирования структур активности в достаточно широком классе релаксационных систем нейро-динамического типа. В качестве таких систем были рассмотрены - два связанных элемента ФХН, две взаимодействующих цепочки, состоящие из возбудимых элементов ФХН и осцилляторов Чуа, двухслойная решеточная система из возбудимых элементов ФХН. Основное внимание при изучении этих систем было уделено исследованию процессов взаимной синхронизации и взаимодействия различных волновых режимов. Основные результаты состоят в следующем.

• Предложена модель, описывающая динамику нейрона нижних олив состоящую из двух линейно взаимосвязанных систем ФХН, демонстрирующих в отсутствии связи принципиально различные свойства - возбудимый и автоколебательные режимы. Путем исследования отображения Пуанкаре, установлено, что взаимодействие таких систем, приводит к возникновению новых режимов как регулярного, так и хаотического вида. Показано существование несколько зон хаотической динамики с различными сценариями появления хаотических аттракторов, разделенных областями регулярной динамики системы. Установлено, что ряд режимов, реализующихся в предложенной модели имеют прототипы в реальных нейрофизиологических экспериментах.

• Для взаимосвязанных цепочечных и решеточных систем из элементов Чуа и ФХН получены достаточные условия взаимной синхронизации. Показано, что процесс синхронизации приводит к появлению новых интересных эффектов: изменение направления и скорости распространения волновых фронтов, преодоление "провала" распространения, появление источника волновых пакетов и др. Изучено влияние анизотропии связей на пространственно-временную динамику систем, состоящих из взаимосвязанных цепочек или решеток. В частности, показано, что с помощью двухточечного соединения цепочечных систем можно построить пространственно-распределенный генератор импульсов.

• Проведено исследование динамики спиральных волн в системе из двух взаимосвязанных решеток из элементов ФХН. Определены условия на параметры, отвечающие разнообразным эффектам взаимной эволюции решеток (проникновение и циркуляция возбуждения, образование сложных пространственно-временных структур и др.). Построена "локальная модель" проникновения возбуждения между слоями, которая позволила получить аналитические оценки границы области существования спиральных волн и дать теоретическое объяснение наблюдаемых эффектов

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн -М.: Наука, 1984, 432 с.

3. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы, М.: Наука, 1987, 240 с.

4. Нелинейные волны. Самоорганизация. // Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича -М.: Наука. 1983. 264 с.

5. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. // Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича-М.: Наука. 1989. 398 с.

6. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах // М.: Советское Радио, 1977.

7. Ogorzalek M.J., Chaos And Complexity In Nonlinear Electronic Circuits // World Scientific, Singapore, 1997.

8. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective computional abilities // Proc. Natl. Acad. Sci. USA 79, 1982, pp. 554-2558.

9. Hopfield J.J. Pattern recognition computation using action potential timing for stimulus representation // Nature 376, 1995, pp. 33-36.

10. Thiran P., Crounce K.C., Chua L.O., hasler M. Pattern Formation Properties of Autonomous Cellular Neural Networks // IEEE Trans, on Circuits and Systems, Vol. 42, N. 10, 1995, pp. 757-774.

11. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Рогальский А.В., Сагдеев Р.В. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред // Препринт N. 163. -Горький: ИПФ АН СССР. 1987. 24 с.

12. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde V.G. Spatial disorder and pattern formatoin in lattices of coupled bistable elements // Physica D100, 1997, cc. 330-342.

13. Борисюк Г.Н., Борисюк P.H., Казанович Я.Б., Лузянина Т.Б., Ту-рова Т.С., Цембалюк Г.С. Осцилляторные нейронные сети. Математика и приложения // Математическое моделирование. 1992, Т. 4, N 1, сс. 65-77.

14. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.И., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН, 1996, Т. 166, N. 4, сс. 363-390.

15. Ermentrout G.B. The behavior of rings of coupled oscillors //J. Math. Biology, 1985, Vol. 23, pp. 55-74.

16. Hoppensteadt F.C. and Izekevich E.M. Oscillatory neurocomputers with dynamic connectivity // Phys. Rev. Lett. 82, 1999, pp. 29832986.

17. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Решеточные динамические системы / / Учебное пособие издательство Нижегородского университета, Нижний Новгород. 1994. 64 с.

18. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.П., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1988. Т. 31. сс. 627-630.

19. Ustinov A.V. Solitons in Josephson junctions // Physica D 123, 1998, pp. 315-329.

20. Winful H.G., Rahman L. Synchronized Chaos and Spatiotemporal Chaos in Arrays of Coupled Lasers // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 13, pp. 1575-1578.

21. Otsuka K. Self-Induced Phase Turbulence and Chaotic Itenerancy in Coupled Laser Systems // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 3, pp. 329-332.

22. Hoppensteadt F.C. and Izekevich E.M. Synchronization of laser oscillators, associative memory, and optical neurocomputing // Phys. Rev. E 62, 2000, pp. 4010-4013.

23. Лихарев К.К., Ульрих Б.Т. Системы с джозефсоновскими контактами. -М.: Изд-во МГУ. 1978. 446 с.

24. Лихарев К.К., Головашкин А.И. Эффект Джозефсона и его применение. -М.: Наука. 1983. 222 с.

25. Логинов А.С., Ржанов А.Г., Еленский В.Г. Многоэлементные полупроводниковые лазеры // Зарубежная радиоэлектроника, 1986, N. 8, сс. 49-64.

26. Murray J.D. Mathematical Biology. -Springer: Berlin. 1993. 767 p.

27. Капранов M.B. Взаимодействующие многосвязные СФС // Системы фазовой синхронизации / Под ред. Шахгильдяна В.В., Бе-люстиной Л.Н. -М.: Радио и связь, 1982, сс. 55-73.

28. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации // Афрамович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. -Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1989, 254 с.

29. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. Синхронизмы в системе циклически слабосвязанных осцилляторов // Динамика систем: Динамика и управление, сб. науч.тр. под ред. Ю.И. Неймарка -Н.Новгород, гос. ун-т, 1991, сс. 84-97.

30. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // Москва: Наука, 1989.

31. Chua L.O. CNN: A paradigm For Complexity // World Scientific, Singapore, 1998.

32. Marquire P., Comte J.C., Bilbault J.M. Contour detection using a two-dimensional diffusive nonlinear electrical network // Proc. 2000 Int. Symposium On Nonlinear Theory And Its Applications (NOLTA 2000, Dresden, Germany), 2000, pp. 331-334.

33. Жаботинский A.M., Концентрационные автоколебания // M.: Наука. 1974. 250 с.

34. Kuramoto Y. Chemical Oscillaions, Waves and Turbulence. Springer, New York, 1984.

35. Полак JI.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. -М.: Наука, 1983, 115 с.

36. Колебания и бегущие волны в химических системах // под ред. Филда Р., Бургер М. -М.: Мир, 1988, 720 С.

37. Кринский В.И., Медвединский А.В., Панфилов А.В. Эволюция автоволновых вихрей / / Математика и Кибернетика, 1986, Т. 8.

38. Маркин B.C., Пастушенко В.Ф., Чисмаджев Ю.А. Теория возбудимых сред // Изд-во Наука, М. 1981, 276 с.

39. Беркинблит М.Б., Введенская Н.Д., Гнеденко Л.С., Ковалев С.А., Холопов А.В., Фомин С.В., Чайлахян JI.M. Взаимодействие нервных импульсов в узле вевтвления (исследование на модели Ходжкина-Хаксли) // Биофизика, 1971, Т. XVI, вып. I, сс. 103— 110.

40. Nekorkin V.I., Makarov V.A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Physical Review Letters. 1995. Vol. 74, N. 24. PP. 4819-4822.

41. Nekorkin V.I., Chua L.O. Spatial disorder and wave fronts in a chain of coupled Chua's circuits // Int. J. Bifurc. Chaos, 1993, Vol.3, N. 5, pp. 1281-1291.

42. Некоркин В.И. Пространственный хаос в дискретной модели радиотехнической среды // Радиотехника и электроника, 1992, Вып. 4, с. 651-660.

43. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипереодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним переменным воздействием // Письма в ЖТФ, 1988, Т. 14, N. 1, сс. 37-41.

44. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые состояния в цепочечных моделях неограниченных неравновесных сред // Мат. Моделирование. 1992, Т. 4, N. 1, сс. 83-95.

45. Ermentrout G.B., Kopell N. Frequency plateaus in a chain of weakly coupled oscillators // SIAM Journal Math. Anal. 1984, Vol. 15, pp. 215-237.

46. Pivka L. Autowaves and Spatio-Temporal Chaos in CNNs Part I,II // IEEE Trans. Circ. Syst. 1995, Vol. 42, No. 10, pp. 638-664.

47. MacKay R.S., Sepulchre J.A. Multistability in networks of weakly coupled bistable units // Physica D 82, 1995, 243-254.

48. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы // Под ред. Анищенко B.C. Саратов: Изд-во Сарат. унив., 1999, 368 с.

49. Pikovsky A., Rosenblum М., Kurth J. Phase synchronization in regular and chaotic systems // Int. J. Bifurcation Chaos 10, 2000, pp. 2291-2305.

50. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G. Clustering and phase resetting in a chain of bistable nonisochronous oscillators // Phys. Rev. E 58, 1998, pp. 5742-5747.

51. Белых B.H., Веричев H.H. О динамике взаимосвязанных ротаторов // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1988, N. 6.

52. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Travelling waves in a circular array of Chua's circuits // Int. J. Bifurc. Chaos, 1996, Vol. 6, p. 4734.

53. Казанцев В.В., Некоркин В.И. Информационный транспорт в активных электронных волокнах. Часть I. Уединенные волны // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика, 1998, т. 6, N 3, сс. 49-66.

54. Казанцев В.В., Некоркин В.И. Информационный транспорт в активных электронных волокнах. Часть II. Волокно-система "реакция-диффузия", // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика, 1998, т. 6, N 3, сс. 67-73.

55. Zinner В. Existence of traveling wavefronts for the discrete Nagumo equation // SIAM J. Math. Anal. 22, 1991, pp. 1016-1020.

56. Sushchik M.M., Osipov G.V. Coherent structures in coupled chains of self-excited oscillators // Physics Letters A, 1995, N. 201, PP. 205-212.

57. Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua, L.O. Spiral waves on a 2-D array of nonlinear circuits // IEEE Trans. Circuits Syst. 1993, Vol. 40, No. 11, pp. 872-877.

58. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Image transfer in multi-layered assemblies of lattices of bistable oscillators // Phys. Rev. E, v. 59, N. 4, 1999.

59. Velarde M.G., Nekorkin V.I., Kazantsev V.B. and Ross J. The emergence of form by replication // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 94, 1997, pp. 5024-5027.

60. Некоркин В.И., Казанцев В.Б., Веларде М.Г. Динамическое копирование в многослойных бистабильных решетках // Изв. Вузов "Прикладная Нелинейная Динамика", N 5, 1997, сс. 56-68.

61. Panfilov А.V., Vasiev B.N. The drift of vortex in an inhomogeneous system of two coupled fibers // Chaos Solitons and Fractals, 1991, Vol. 1, N. 2, pp. 119-129.

62. Eilbeck J.C., Luzader S.D., Scott A.C. Pulse evolution on coupled nerve fibres // Bulletin of Mathematical Biology, 1981, Vol. 43, N. 3, pp. 389-400.

63. Panfilov A.V., Holden A.V. Vortices in a system of two coupled excitable fibers // Phys. Lett. A., 1990, Vol. 147, pp. 463-466.

64. Palmer A., Brindley J., Holden A.V. Initiation and stability of reentry in two coupled excitable fibers // Bulletin of Mathematical Biology, 1992, Vol. 54, N. 6, pp. 1039-1056.

65. Brindley J., Holden A.V., Palmer A. A numerical model for reentry in weakly coupled parallel excitable fibers // Nonlinear Wave Process in Excitable Media, Plenium Press, New York, pp. 123-126.

66. FitzHugh R. Impulses and physiological states in model of nerve membrane // Biophys. J., 1961, Vol. 1, p. 445.

67. Nagumo J.S., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse trans mission line simulating nerve axon // Proc. of IRF., 1962, Vol. 50, p. 2061.

68. Мищенко Е.Ф., Розов H.X. Дифференциальные уравнения с малым парметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

69. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильященко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / ВИНИТИ АН СССР, М., 1986, т. 5, сс. 165-218.

70. Benardo L.S., Foster R.E. Oscillatory Behavoiur in Inferior Olive Neurons: Mechanism, Modulation, Cell Aggregates // Research Bulletin, 1986, Vol. , p. 773.

71. Bowen R. Entropy of group diffeomorphism and homogeneous space // Trans. Amer. Mat. Soc., Vol. 153, pp. 401-414.

72. Афраймович B.C., Рейман A.M. Размерность и энтропия в многомерных системах // Нелинейные волны: Динамика и эволюция. Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1989, сс. 238-262.

73. Malkin M.I., Zheleznayk A.L., Zheleanayk I.L., Computing aspect of the entropic theory of one-dimensional dynamical systems // Nonlinearity, vol. 4, pp. 27-35.

74. Tunckwell H.C. Introduction to the theoretical neurobiology // Cambridge Studies in Mathematical Biology, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998.

75. Hubel D. H. Eye, brain and vision // W.H. Freeman and Company, N.Y., 1995.

76. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiology, 1952, Vol. 117, pp. 500-544.

77. Ходжкин А. Нервный импульс //M.: Мир, 1965, с. 126.

78. Perez Marino I., de Castro M., Perez-Munuzuri V., Gomez-Gesteira M., Chua L.O. and Perez-Villar V. Study of reentry initiation in coupled parallel fibers // IEEE Trans. Circ. Syst., 1995, Vol. 42, pp. 665-671.

79. M. De Castro, V. Perez-Munuzuri, I.P. Marino, M. Gomez-Gesteira, L.O. Chua, Perez-Villar V. Interaction of re-entries in coupled parallel fibers // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1996, Vol. 6, No. 9, pp. 17251734.

80. Некоркин В.И. Бегущие импульсы в двухкомпонентной активной среде с диффузией // Радиофизика t.XXXI, 1988, N. 1, pp. 41-52.

81. Nekorkin V. I., Kazantsev V.B., Velarde M. G. Mutual synchronization of two lattices of bistable elements // Phys. Lett. A., 1997, 236, pp. 505-512.

82. Deregel Ph. Chua's oscillator: a zoo of attractors // Electronics Researche Laboratory, Memorandum No.UCB/ERL M92/131, 1992, p.33.

83. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Trans. Circ. Syst., 1986, Vol. 33, N. 11, pp. 1073-1118.

84. Chua L.O., Wah Wu C., Huang A., Guo-Qun Z. A universal circuit for studying and generating chaos part I: routes to chaos // IEEE Trans. Circ. Syst., 1993, Vol. 40, N. 10, pp.

85. Tu P.N.V. Dynamic Systems. An Introduction with Applications in Economics and Biology, Berlin, Springer-Verlag, 1994.

86. Артюхин Д.В. Динамика системы двух связанных релаксационных элементов / / тезисы докладов Четвертой научной конференции по радиофизике, 2000, сс. 135-136.

87. Артюхин Д.В. Хаотическая динамика в системе взаимосвязанных элементов ФитцХью-Нагумо // Труды конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99", 1999, сс. 50-53.

88. Артюхин Д.В. Динамика системы взаимосвязанных релаксационных элементов // 5-ая Нижегородская Сессия Молодых Ученых, 23-28 апреля, Н. Новгород, 2000, с. 38.

89. Артюхин Д.В. Хаотические режимы в системе из двух элементов с различной динамикой // 6-ая Нижегородская Сессия Молодых Ученых, 23-28 апреля, Н. Новгород, 2001, сс. 20-21.

90. Nekorkin V.I., Artyuhin D.V. Regular and chaoitic dynamics of a system composed of two coupled, drastically different FitzHugh-Nagumo elements // Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES), 2001.

91. Некоркин В.И., Артюхин Д.В. Регулярные и хаотичечкие колебания в системе двух взаимосвязанных динамически различных, элементов ФитцХью-Нагумо // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика (направлена в печать).

92. Казанцев В.Б., Артюхин Д.В., Некоркин В.И. Динамика импульсов возбуждения в двух связанных нервных волокнах // Изв. Вузов Радиофизика, 1998, т. XLI, N. 12, сс. 1593-1603.

93. Artyuhin D.V. Pulses in two interacting excitable fibers // Chaos Oscillation and Pattern Formation, CHAOS 98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998, p. 17.

94. Артюхин Д.В. Пространственно-временная динамика связанных нервных волокон // 4-ая Нижегородская Сессия Молодых Ученых, 18-23 апреля, Н. Новгород, 1999, сс. 83-84.

95. Artyuhin D.V. , Kazantsev V.B. Pulse reentry in coupled discrete fibers // International Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod, DDNN98, Nizhny Novgorod, Russia, June 30 -July 2, 1998.

96. Артюхин Д.В., Казанцев В.Б. Локализованные структуры во взаимодействующих цепочках электронных элементов // 2-ая Нижегородская Сессия Молодых Ученых, 21-25 апреля, Н. Новгород, 1997.

97. Артюхин Д.В., Казанцев В.Б. Явление самоорганизации в связанных дискретных волокнах // Тез. докл. Научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 1997, сс. 42-43.

98. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Artyuhin D.V., Velarde V.G. Synchronization in two coupled active electronic fibers // The 20th IUPAP International Conference on statistical physics, Paris, 1998, July, 2024.

99. Артюхин Д.В., Казанцев В.Б. Управление динамикой межволоконного взаимодействия посредством разрежения связей // 3-ая Нижегородская Сессия Молодых Ученых, 21-25 апреля, Н. Новгород, 1998, с. 102.

100. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Artyuhin D.V., Velarde M.G. Wave propagation along interacting fiber-like lattices // European Physical Journal, 1999, Bll, pp. 677-685.

101. Артюхин Д.В. Динамика импульсов в системе взаимосвязаннных электронных волокон // Тез. докл. Научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 1998, с. 37.

102. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Artyuhin D.V., Velarde M.G. Waves and their reentries in the system of two coupled electron fibers //

103. Chaotic Oscillation and Pattern Formation, CHAOS 98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998, p. 32.

104. Артюхин Д.В. Динамика импульсов в связанных цепочках- волокнах // Тез. докл. Научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 1999, с. 106.

105. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Artyuhin D.V., Velarde M.G. Synchronization, re-entry, and failure of spiral waves in a two-layer discrete excitable system // Physical Review E, v. 63, 2001.