Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КУЛИКОВА НАТАЛЬЯ АНАТОЛЬЕВНА

ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ВЫРОЖДЕНИЕМ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

диссертация на соискание ученой степени кандидата физнко - математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Стер лигам ак - 2006

Работа выполнена на кафедре высшей математики Самарского государственного архитектурно - строительного университета и кафедре математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии

Научный руководитель:

Научный консультант: Официальные оппоненты:

■ Ведущая организация:

заслуженный деятель науки РФ, доктор фязико - математических наук,

профессор Волкодавов В.Ф. |

доктор физико - математических наук, профессор Сабитов К .Б.

доктор физико - математических наук, профессор Пулькина Л.С., кандидат физико - математических наук, доцент Исянгильдин А.Х.

Институт математики им. СЛ. Соболева СО РАН

Защита состоится ^с-сМ^Х. 2006 г, в/^Гчасов 00 минут

на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Автореферат разослан « ¿Ль ¿¿^/Ое+^Л 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

КризскийВ.Н.

/со 6 А

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов.

Значительные результаты по исследованию вырождающихся дифференциальных уравнений получены ь работах Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф И Франкля, М.В Келдыша, К И Бабенко, А В Бицадзе, Г Фикера, которые можно считать основополагающими в развитии теории этих уравнений.

Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков теория гиперболических и эллиптических уравнений, вырождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на се границе, интенсивно развивалась в последние полвека. Существенный вклад в развитие данной теории внесли С П. Пулькин, М.М. Смирнов, А.М Нахушев, В.И. Жегалов, Г.Д. Карактопраклиев, В.Ф. Волкодавов, С А. Терсенов, В Н. Врагов, Т.Ш. Кальменов, Н.Р. Раджабов, Е.И. Моисеев, Ф.Г. Мухлисов, К.Б. Сабитов, А.И. Кожанов, P.C. Хайруллин, JI.C. Пулькина, O.A. Репин и др. В их работах рассматривались проблемы разрешимости • классических начально - граничных и граничных задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи.

РОС. В\м «Vi tVH-v.vV.

БИБ.1НОНКА С.-Петербург

ОЭ

После известных работ А В. Бицадзе, A.M. Нахушева в теорию краевых задач прочно вошли интегралы и производные дробного порядка. В последние годы В.Ф. Волкодавовым и его учениками Ю.А. Плотниковой, О.Ю. Наумовым, Е А. Баровой, О В. Фадеевой изучались краевые задачи, условие сопряжения которых состоит в склеивании производной по нормали с производной дробного порядка.

Данная диссертационная работа посвящена постановке и решению краевых задач, условия сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнения

Ци) = uxv + -^—щ = 0, а € R, а ф 0, (1)

х + у

в ограниченной области, а также решению локальных и нелокальных задач для уравнения

S(u) = «,,+ + «») = 0, 0 <2д<1, (2)

1тУ

в неограниченной области.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство существования и единственности решения краевых задач для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке в ограниченных и неограниченных областях.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы классические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений: метод общих решений, принципы экстремума, метод последовательных приближений, теория интегральных уравнений Фредгольма II рода, Вольтерра I рода, Абеля, а также аппарат специальных функций.

Научная новизна.

1. Установлены характеристические принципы локального экстремума для уравнений гиперболического тина.

2 Доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения с условием сопряжения, содержащим производные дробного порядка, в ограниченной области.

3. Получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах.

4. Для уравнения гиперболического типа в неограниченной области доказаны теоремы существования и единственности локальной и нелокальных краевых задач.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа Результаты работы могут быть использованы при дальнейших исследованиях гиперболических уравнений и уравнений сметанного типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на областном семинаре по дифференциальным уравпениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1996 2004 г.г. (научный руководитель д.ф. - м н., профессор В.Ф. Волкодавов),

- на научно-технических конференциях сотрудников СамГАСУ по итогам НИР (г. Самара, 1997, 2004, 2005 г.),

- на межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университет« (г. Самара, 1995, 2005 г.),

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 26-31 мая 2002 г.),

- на научном семинаре кафедры математической физики Самарского государственного университета в 2005 г (научные руководители д.ф. -м.н., профессор О.П. Филатов, д.ф. - м.н., профессор Л.С. Пулькина),

- на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии в 2005 г. (научные руководители д.ф. - м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф. -м.н., профессор И.А. Каляев).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [2], [6], [8] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановки изученных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и библиографического списка, включающего 92 наименования.

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, приводится обзор результатов исследований по ее тематике, кратко излагается содержание работы.

В первой главе рассматривается уравнение (1) на множестве

G = G~ U G+, CT = {(я,у): 0< х < у< А}, G+ = {{х,у): 0 < у <

х < Н} и доказывается существование и единственность решения задачи в следующей постановке.

Задача Дг • Найти функцию и(х, у) со свойствами:

Основное содержание работы

1) и(х,у) 6 C(G)n С\G), uzv e C(G);

2) L{u) s 0 на множестве <?;

(3)

(4)

3) и(х, у) подчиняется краевым условиям

и(0,у) = <р(у),у<=[0, Л], (5)

= ф(у), у € [О, Л]; • (6)

4) «(ж, у) подчиняется условию сопряжения

м») = %)"+(»). у е (о, Л), (7)

при этом функции 1>_(у), определяются либо

и-(у) = 1ип (и, - иу), (8)

х-у--->—и

либо

"+Ы = xJJmM|(ttx - «у), (9)

Му) = lim J- fX(X-trx'^u(t,y)dt, (10)

z-g-t-0 cfx Jо

u+(y) = eJim^z)~M <t, y) dt, (11)

где 0 < A< < 1, г( > 0, г = 1,2, <p(y), ф{у), b(y) — заданные достаточно гладкие функции.

Комбинируя различные задания функций v~{y) и v+(y) в условии сопряжения (7), получаем ряд краевых задач. Так в § 1.2 находится решение задачи Д2 для уравнения (1), когда функции v~{y) и v+{y) определяются формулами (8) и (9). Используя решения и~{х,у) и и+(х, у) вспомогательных задачах Дарбу в областях G~ и G+ с данными (5) и

и(х,х) = т(х), х € [О, А], (12)

(6) и (12) соответственно, найдены выражения для функций ¿/_(у) и v+{y) ■ Принимая во внимание условие сопряжения (7), получаем уравнение относительно неизвестной функции г'(у), которое имев!' единственное решение. В этом случае доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи Дг

Теорема 1. Если Ь(у) ф 1 при любом у е [0, /г] и Ь(у) € С[0, Л] при а < 1, а при а > 1 функция Ь{у) представима в виде Ь(у) — Ьо(у)уа, где Ьц(у) € С[0, Л], &о(0) ^ 0, функции <р{у), ф(у) принадлежат классу С1 [О, Л], </з(0) — т(О), ф{Ь) -- т(7г), тло существует единственное решение задачи Дг уравнения (1) с условиями (3) - (9)

Отметим, что если Ь(у) = 1 задача (3) - (9) разрешима только в том случае, когда выполняется условие зависимости между функциями <р'(у) и

при произвольной функции т{х) из класса С [0, /г] П С1 (О, Л).

В §§ 1.3, 1.4 решается задача Д2 для уравнения (1) в случае, когда ведется склеивание производных по нормали с одной стороны и производных дробного порядка с другой стороны.

Исходя из решений и-(х,у) и и+(х,у) задач Дарбу в областях О" и (?+ с данными (5), (12) и (6), (12) соответственно, получены выражения для функций у) и и+(у) Используя их, установлены принципы локального экстремума Доказательство единственности решения задачи Дг для уравнения (1) проведено на основании принципов локального экстремума Вопрос существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра II рода относительно функции т'(х) с интегрируемым ядром. В каждом случае сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дг. Приведем, например, теорему для случая, когда 1/_(у) определяется формулой (10), а г/+(г/) — формулой (9).

Теорема 2. Если <р{х) принадлежит классу С1 [О, Л], ф{х) принадлежит классу С2[0,Л], ^'(0) = 0, Ь(у) — 1, 0 < гг < 1, а! < 1, то существует единственное решение задачи Дг для уравнения (1) с условиями (3) - (7), (9): (10).

ш--

В § 1.5 рассмотрена задана Д2 для уравнения (1) в случае сопряжения пределов производных дробного порядка (7), (10), (11) Единственномь решения доказывается на основании принципов локального экстремума. При этом возникают два интересных случая. Если n = г2 ~ 0, Ai = А2, то существование решения задачи Дг редуцируется к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Когда rj = г2 = 0, Ai > А2 к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма И рода с полярным ядром и непрерывной правой частью. Для каждого из указанных случаев доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2 • Например, для последнего случая справедлива следующая

Теорема 3. Если Г; = 0, г = 1,2, Ai > А2, функции <р'{х), ф"(х) принадлежат классу С[0, h], то существует единственное решение задачи Д2 с условиями (3) - (7), (10), (11).

В главе 2 рассматривается уравнение (2) на неограниченном множестве G = G" U G4, где G+ = {(ж,у) : 0 < х < у < +оо}, G~ ~ {(х,у): 0< у< х < +00}.

§ 2.1 посвящен введению специальных классов решений Vq для уравнения (2) в каждой из областей 0~ и G+ множества G. Эти классы вводятся на основе решений задач Коши с данными и(х, х) — г+(ж), х € [0,+оо), (их - иу)\у=х = v+{x), х € (0, boo) в области G+ и «(аг.ж) = т_(г), х € [0,+оо) и (их - Uy)\v~x = v~{x), х € (0,+оо) и области G~ , которые были получены С.П. Пулькиным для уравнения (2), где функция т(х) представляется интегралом

T{x) = f^T(8)F(^, 9; 1;

через новую функцию Т(х).

В § 2.2 получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими

функциями в ядрах

J T(s)F ( q, 1; ^ I <Ь = т(х), X € [а, +оо),

£0°N(s)s"F (д, 1 - 1; = 2~*ф(х), х € [а, +оо). (13)

Формулы обращения этих уравнений имеют следующий вид

T(x) = -T'(x) + q£C*T>(s)(s*y1,2F(±, 1 + д; 2; ds,

N(x) = -(2 x)~qi>'{x) + 2-«-2г(1 -q)x

KjfVw^i + I.

Приводятся теоремы о единственности и существовании решений данных интегральных уравнений.

Опираясь на результаты параграфов 2.1 и 2.2, в § 2.3 доказано существование и единственность решения задачи Гурса в следующей постановке.

Задача Гурса. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х,у) € C(Ü) п СHG), иху е С(G);

2)5(«)s0, («,»)€<?;

3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям

lim у9и(х,у) — ф(х) , х <Е [а, +оо), у—►Ч-оо

lim Л(х, у) = ¥>(у), у € [а, +оо);

Х-»4-00

4) u(z, у) удовлетворяет условию сопряжения

lim Ых - «„) = ß(x) lim («х-«,), х е (а, +оо), где <р(х), ф(х), ß(x) — заданные достаточно гладкие функции.

Решение данной задачи находится в явном виде в специальном классе решений У9, используя решения задач Коши в областях и С+ и формулу

обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Доказывается соответствующая

Теорема 4- Если функции <р(х), Ф(х) принадлежат классу С[а, Н-оо) П С'[а, +оо), а их производные ф'(х) € С(а, -foo) П L[o, -foo), ß(x) € C[«, +оо)ПЬ[а, ) со) , то существует единственное решение задачи Гурса.

В главе 3 обосновано существование и единственность решения нелокальных задач для уравнения (2) на неограниченном множестве G. Пусть M\(x,h), Mi(h,x) — аффиксы произвольной точки М(х,х).

Задача Hi. Найти функцию и{х, у), обладающую свойствами:

1) и(®, у) € C(G+) n C(G~) n 0(G), Uxy € C(G);

2)S(u)=0, (x,y)eG-,

3) u(x, у) удовлетворяет краевым условиям

и(х, х) = т(х), х € [а, +оо), lim hqu{Mi) + а{х) lim h4u(M2) = w{x), же[а,+оо); (14)

h-t+oo h-Я-оо

4) u(x, у) удовлетворяет условию сопряжения

lim (ux ~Uy)= ß(x) lim («г - щ), x € (о, +oo),

v-«->+o v i-y-H-0 v' v > />

где т(х), ш(х), а(х), ß(x) — заданные достаточно гладкие функции.

Задача H¡ • Найти функцию и(х, у), обладающую свойствами:

1) и(х,у) € С(G) П 0(G), иху е C(G);

2)5(«) = 0, (i,j/)eG;

3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям (14) и

lim (их - Uy) - lim (их - иЛ = vir), х е (а, +оо),

»-x-t+0

где а(ж), ш{х), и(х) — заданные достаточно гладкие функции.

Решения поставленных задач находятся в классе Уя с помощью формулы обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13) Приведем теорему существования и единственности решения задачи Щ.

Теорема 5. Если функции а(х), с/(х) принадлежат классу С[а, +оо) П С1 [а, +оо), функции ш(х), ш'(х) и и(х) принадлежат классу С[а, +оо) и имеют представления и(х) = О , и/(х) = О >

и(х) — О пРи х 00' Р1> Р2 > 1 ~ <1, £> существует

единственное решение задачи Нъ .

В заключении автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тематику исследований, а также научному консультанту профессору, доктору физико-математических наук Камилю Васировичу Сабитову за ценные замечания, помощь и поддержку в завершении данной диссертации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Куликова H.A. Задача Д]° для одного уравнения гиперболического типа / Деп. во ВНИИНТПИ. 1995. Вып. 1. №11559. - 14 с.

2. Волкодавов В.Ф., Куликова H.A. Две задачи в неограниченной области для одного уравнения гиперболического типа // Гнтегральш перетворення то ix Застосування до крайових задач: 36. наук. пр. -Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1995. Вип. 8. - С. 40-50.

л 3. Куликова H.A. Единственность решения одной краевой задачи

для уравнения S в неограниченной области // Математическое моделирование и краевые задачи: Тезисы докл. 5-ой научн. межвуз. конференции. - Самара. 1995. - С. 56.

4. Куликова H.A. Две задачи для одного уравнения гиперболического типа // ТЪзисы докладов 53-й научно-технической конференции по итогам НИР СамГАСА за 1995 г. - Самара, 1996. Ч. I. - С. 42.

5. Куликова H.A. О задачах для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке / Деп. во ВНИИНТПИ. 1996. Вып. 1. №11625. - 10 с.

6. Волкодавов В.Ф., Куликова H.A. Задача Дг для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов дробной производной с производной по нормали // Материалы научной конференнции "Проблемы современной математики", посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета. - Казань. Изд-во "Унипресс". 2001. Т. 11. С. 40-43.

Куликова H.A. Задача Дг для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка // Сборник

трудов международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (26-31 мая 2001 г.) - Самара: Самар. гос. архит.-строит. академия, 2002. - С. 194-198.

8. Волкодавов В.Ф., Куликова H.A. Задача Дг для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка // Дифференциальные уравнения - 2003 Т 39, Л*12. - С. 17041707.

9. Куликова H.A. Задача со смещением для уравнения гиперболического типа в неограниченной области // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской конференции (16-18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) - Уфа: Гилем, 2004. Т. 1. - С. 69-74.

10. Куликова H.A. Задача Дг для уравнения гиперболического типа с сопряжением производных по нормали // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). - Самара Самарский гос. технический университет. 2005. Ч.З. - С. 148-150.

г

Подписано в печать 17. 04. 2006 Формат 80x841/18. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 0,75 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1189.

Отпечатано с оригинала заказчика в типографии ООО "Самарский центр полиграфии-М" 443030, Самара, ул. Галактионовская,79, тел. 33-33-812.

¿C&6A

fp&w

№100 48

Введение.

Глава 1. Задача с данными на параллельных характеристиках для уравнения гиперболического типа.

§1.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

§1.2 Задача Аг с сопряжением пределов производных по нормали.

§1.3 Задача Аг с сопряжением дробной производной с производной по нормали.

§1.4 Задача Д2 с сопряжением производной по нормали и дробной производной.

§1.5 Задача Аг с сопряжением пределов производной дробного порядка.

Глава 2. Задача Гурса в неограниченной области с весовыми граничными данными.

§2.1 Специальные классы решений для уравнения Б.

§2.2 Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра

I рода с бесконечным верхним пределом.

§2.3 Задача Гурса в неограниченной области с весовыми граничными данными.

Глава 3. Нелокальные краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом.

§3.1 Первая нелокальная задача типа Дарбу в неограниченной области.

§3.2 Вторая нелокальная задача типа Дарбу.

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, теории упругости, пластичности и многих других областях науки и техники. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [76, 77], Ф.И. Франкля [81], С.Л. Соболева [73], И.Г. Петровского [53], М.А. Лаврентьева [43], A.B. Бицадзе [6, 7], J1. Берса [5], К.И. Бабенко [2, 3] и других.

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными. Эти задачи в разные годы изучали A.B. Бицадзе [8], A.A. Самарский [9, 68], М.М. Смирнов [71, 72], В.Н. Врагов [22], А.М. Нахушев [50, 51], В.И. Жегалов [27, 28], А.П. Солдатов [74], А.И. Кожанов [35, 36], К.Б. Сабитов [63, 66], O.A. Репин [60, 61], JI.C. Пулькина [57 - 59], их ученики и последователи.

Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа, вошедшую в математическую литературу под названием Д2, поставил В.Ф. Волкодавов [1]. Задача Аг состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Решение задачи Д2 для различных уравнений и видов областей было получено в работах В.Ф. Волкодавова, Н.Я. Николаева [15], А.Д. Бочкарева [10], JI.A. Лазаренко [45],

А.И. Мельниковой [14], Г.Н. Зайнуллиной [29], Ю.А. Илюшиной [31], Е.В. Ерофеевой [26], Е.А. Энбом [82] и другими.

Содержание настоящей диссертации связано с краевыми задачами для уравнения гиперболического типа, впервые изученного С.П. Пулькиным [56]: их х иуу Н их = О, «г к которому он пришел при изучении задачи Трикоми для пространственного уравнения. В работе [56] С.П. Пулькиным построена функция Римана для уравнения ) = 0 и найдено решение задачи Коши с данными и(х,х) = т(х), х е [0, /г], {их — иу)\у=х = р(х), х 6 (0, к). Методом симметрии относительно линии у = х С.П. Пулькиным построены функции Римана-Адамара, на основе которых получены формулы решения задач Дарбу и Коши-Гурса.

Будем записывать уравнение 3(и) = 0 в характеристических координатах хну. Пусть Б - область, ограниченная прямыми х = 0, у = х, у = к. В этой области уравнение Б (и) = 0 примет вид

Я Р иХу-\---—(их + иу) = 0, (3)

X + у А

В диссертационной работе Л.А. Лазаренко [45] решены в различных областях задачи Ах и А2. Так, например, на множестве Н = Н\ и #2, где Н\ = {(х,у) : а < х < у < 6}, Н2 = {(ж, у) : а < у < х < Ь}, ею решена задача Ах для уравнения (5) при д > 1. В областях Н\ и Щ были найдены решения задач Дарбу методом Римана-Адамара, а склеивание проводилось по производной по нормали. В этом случае, как и в других случаях в так называемых трапециевидных областях, Л.А. Лазаренко отступала от точки (0,0).

М.В. Коржавиной как в неограниченной области, так и в ограниченной, решались задачи без отступления от точки (0,0), но задачи Коши-Гурса [38]. Аналогичная картина была и в диссертации Л.А. Игпаткииой [30], когда некоторая пространственная задача была сведена к задаче Д2 в квадрате

D = {(ж, у) : 0 < х, у < 1} при q > 1 для уравнения (5). Но

JI.A. Игнаткина не отступала от точки (0,0), потому что как и в работе

38] она решала в треугольных областях D П {у > х) и D П {у < х} задачи

Коши-Гурса, а решения склеивались по функции на линии у = х. Итак, возникла проблема: почему при решении задачи Дарбу во вспомогательных областях исследователи отходили от точки (0,0)?

Впервые на важность обращения в нуль решения и(рс, у) в точке (0,0) и в нуль на бесконечности обратила внимание М.В. Коржавина [38]: "Уравнение Р

S(u) = 0 из-за присутствия сингулярного коэффициента — обладает той х особенностью, что и его решения, особенно в гиперболической части области, и решение интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи, содержат, как правило, множитель —, с чем и связаны налагаемые обычно х ограничения на граничные условия в начале координат."

Используя общее решение уравнения (S) для случая q = 1, в квадрате D = {(ж, у) : 0 < х, у < 1} найдем решения задач Дарбу в каждой из треугольных областей D П {х < у} и D П {х > у] с данными и(0,у) = (р(у), у £ [0,1], и(х,х) = г(ж), х Е [0,1]; ix(®,0) = /(ж), xG [0,1], и(х,х) = т(х), х G [0,1] и сопряжем их по производной по нормали при у = х.

После этого приходим к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции т{х): т'(х) + = G(x), X где

G{x)=i(m±m+9,{x)+nx)y

Решение этого уравнения имеет вид т(х) = -- - [\ G(t) dt.

X X J х

Теперь видно, что даже если С = 0, а <р(х), /(х) Е «С1 [0,1], то т{х) обращается в бесконечность в точке х = 0. То есть найдена причина, по которой при д > 1 приходится отступать от точки (0,0) для того, чтобы уйти от обращения решения в бесконечность. Этого можно избежать, если

1 Г1 считать С, <р(х), /(х) таковыми, что С = 0, а — / t сИ обращается х о х в нуль при х —> 0. Тогда особенность функции т(х) при х = 0 исчезнет, т(0) будет равняться нулю.

Последние работы В.Ф. Волкодавова были посвящены краевым задачам для уравнений смешанного типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что впервые линия изменения типа уравнения является его характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения содержит производную по нормали в области эллиптичности и производную дробного порядка в области гиперболичности. Первые результаты таких исследований были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [15].

Затем Ю.А. Плотниковой [54] рассматривался ряд краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в том числе и задача Д2, где впервые использовались условия сопряжения с дробной производной на характеристической линии.

В работах Б.А. Энбом [82] изучался вопрос об отыскании решения задачи Д2 для гиперболического уравнения третьего порядка в пространственной области.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы. Настоящая работа состоит из трех глав. В первой главе рассматривается уравнение ос

Ь(и) = иху-\---—иу = 0, (1) х + у а € М, а ф 0 на множестве С = С" и ,

С = {{х,у) : 0 < х < у < к} , = {(х, у): 0 < у < х < К] . Для этого уравнения доказывается существование и единственность решения задачи в следующей постановке.

Задача, Д2 . Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х,у) е <C(G)n Cl(G), иху в C(G); (2)

2) L(u) = 0 на множестве G; (3)

3) и(х,у) подчиняется краевым условиям: u(0,y) = ip(y),ye[0,h], (4) u(h,y) = ф(у), у G [О, Л]; (5)

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения v-(y) = b(y)v+(y)iye(0,h), (6) при этом функции ^-(у), v+(y) определяются либо v-(y)= lim (ux-Uy), (7) х—у—^—О v+(y) = limЛих~иу), (8) х-у->+О либо у) = Нш [ (х- ¿)"А1 ¿г 1 «(*, у) Л, (9) х—у—О С/Ж ,/0 у) = Нш Л* - гг)"А2 , у) Л, (10) я-у-Я-О ах Jx где 0 < Лг- < 1, гг- > 0, г = 1,2, у?(у), ^(у) ? Ку) — заданные достаточно гладкие функции.

Комбинируя различные задания функций и-(у) и и+(у) в условии сопряжения (6), получаем ряд краевых задач. Так в § 1.2 находится решение задачи Д2 для уравнения (1), когда функции ^-(у) и у+{у) определяются формулами (7) и (8). Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задачах Дарбу в областях и с данными (4) и и(х, х) = т(гс), х 6 [0, /г], (11)

5) и (11) соответственно, найдены выражения для функций V-{у) и ). Принимая во внимание условие сопряжения (6), получаем уравнение относительно неизвестной функции т'(у), которое имеет единственное решение. В этом случае доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи Д2.

Теорема 1. Если Ь{у) ф 1 при любом у Е [0, Н] и Ь{у) € С[0,/г] при а < 1, а при а > 1 функция Ь(у) предсгпавима в виде Ь(у) = Ъ${у)уа, где Ьо(у) € С[0, /г], Ьо(0) ф О, функции <р(у), ф(у) принадлеэ/сат классу

С1 [0, /г], <¿>(0) = т(0), ф(1г) = т(/г), то существует единственное решение задачи Д2 для уравнения (1) с условиями (2) - (8).

Отметим, что если Ь(у) = 1 задача (2) - (8) разрешима только в том случае, когда выполняется условие зависимости между функциями (р'(у) и

Ф'(у) ■ ч*{у) = -Ф'(у) при произвольной функции т(х) из класса С [0,1г] П С1 (0,1г).

В §§ 1.3, 1.4 решается задача Д2 для уравнения (1) в случае, когда ведется склеивание производных по нормали с одной стороны и производных дробного порядка с другой стороны.

Исходя из решений и-(х,у) и и+(х,у) задач Дарбу в областях и С+ с данными (4), (11) и (5), (11) соответственно, получены выражения для функций !/(у) и ^(у). Используя их, установлены принципы локального экстремума. Доказательство единственности решения задачи Д2 для уравнения (1) проведено на основании принципов локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра II рода относительно функции т'(х) с интегрируемым ядром. В каждом случае сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2. Приведем, например, теорему для случая, когда ь>-{у) определяется формулой (9), а — формулой (8).

Теорема 2. Если р(х) прииадлеснсит классу С1 [0,1г], ф(х) прииадлсо1сит классу С2[0,1г], ф'(0) = 0, Ь(у) = 1, 0 < г\ < 1, а < 1, то существует единственное решение задачи Д2 для уравнения (1) с условиями (2) - (6), (8), (9).

Доказательство этой теоремы проводится методом последовательных приближений.

В § 1.5 рассмотрена задача Д2 для уравнения (1) в случае сопряжения пределов производных дробного порядка (0), (9), (10). Единственность решения доказывается на основании принципов локального экстремума. При этом возникают два интересных случая. Если г\ = = 0, Ах = Л2, то существование решения задачи Д2 редуцируется к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения, а когда г\ = Т2 — 0, \\ > Л2 — к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода с полярным ядром и непрерывной правой частью. Для каждого из указанных случаев доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2. Например, для последнего случая справедлива следующая

Теорема 3. Если гг- = 0, г = 1,2, А1 > А2, функции (р'(х), ф'(х) принадлео1сат классу С[0, /г], то существует единственное решение задачи А2 с условиями (2) - (6), (9), (10).

В главе 2 рассматривается уравнение

3(и) = иху Н--(и® + иу) = 0, (12) х + у

0 < 2д < 1, на неограниченном множестве С = и , у) 0 < х < у < +00}, = {(гс, у) : 0 < у < х < +00}.

§ 2.1 посвящен введению специальных классов решений Уч для уравнения (12) в каждой из областей и множества С подобно тому, как это делается в [2, 70, 17]. Эти классы вводятся на основе решений задач Коши с данными и(х,х) = т+(х), х Е [0,+оо), (их — иу)\у=х = и+(х), х 6 (0, +оо) в области и и(х, х) = т(ж), ж € [0,+оо) и (мх — %)|у=х = р~{х), х € (0,+оо) в области , которые получены С.П. Пулькиным [50] для уравнения (12), где функция т(х) представляется интегралом ф) = (5, д; 1; Л, через новую функцию Т{х).

В § 2.2 получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах

Г*"", 52-х2

Щз)8*Р (д, 1-я-, 1; ^

Формулы обращения этих уравнении имеют вид

Т(х) = -т'{х) + д т'(з) (в2)-1'2 Р й, 1 + 2; ¿в,

Щх) = -(2х)-'<ф'(х) + 2-"-29(1 -д) х

X I™(1 + 1±«; 2; А.

Приводятся теоремы о единственности и существовании решений данных интегральных уравнений.

Опираясь на результаты параграфов 2.1 и 2.2, в § 2.3 доказано существование и единственность решения задачи Гурса в следующей постановке.

Задача Гурса. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х,у) е С (О) П с1^), иху € С (С);

10 = т(ж), х € [а, +оо), =2~Щх), хе [а, +оо). (13)

2)S(u) = 0, (x,y)eG-,

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям lim yqu(x,y) = ф(х), х G [а, +оо), у-++00 lim xqu{x,y) = tp(y), у G [а, +оо); х—И-оо

4) и(х,у) удовлетворяет условию сопряжения lim (ux — uy) = ß(x) lim (их — иу), х 6 (а, +оо), у-х-*+0 х-у-*+0 где <р(х), ф(х), ß(x) — заданные достаточно гладкие функции.

Решение данной задачи находится в явном виде в специальном классе решений Vq, используя решения задач Коши в областях G~ и G+ и формулу обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Доказана

Теорема 4• Если функции ф(х), Ф{х) принадлеоюагп классу С[а, +оо) П С1 [а, +оо), а их производные <р'(х), ф'{х) 6 С(а, +оо) П L[a, +оо), ß{x) G С[а, +oo)flL[a, +оо), то существует единственное решение задачи Гурса.

В главе 3 обосновано существование и единственность решения нелокальных задач для уравнения (12) на неограниченном множестве G. Пусть Mi (ж,/г), Мг(/г, х) — аффиксы произвольной точки М(х,х).

Задача Н\. Найти функцию и(х, у), обладающую свойствами:

1) и{х,у) е C(G+)n <= С(G~) П Cl{G), иху G C(G);

2) S{u) = 0, (x,y)eG;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям и(х,х) = т(х), х £ [а, +оо), lim hqu(Mi) + а(х) lim hqu(M2) = ш(х), же[а,+оо); (14) l->+00 /t—> + 00

4) и(х, у) удовлетворяет условию сопряжения lim {их — иу) = ß(x) lim (их — иу), х £ (а, +оо), у-х-++0 х—2/—> -4-0 где т(х), üj(x) , а(х), ß(x) — заданные достаточно гладкие функции.

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (14) и lim (их — иу) = lim (их — иу) = v(x), х G (а, +оо), у-х-*+0 х-у->+0 где а(х), lü{x) , v{x) — заданные достаточно гладкие функции.

Решения поставленных задач находятся в классе Vq с помощью формулы обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Приведем теорему существования и единственности решения задачи Н2.

Теорема 5. Если функции а(х), а'(х) прииадлеэюат классу С[а, +оо) П С1 [а, +оо), функции и(х), и'{х) и v(x) прииадлсоюат классу ь>(х) = О при х —> оо, pi, р2 > 1 — q, е > 1 + q, то существует единственное решение задачи Н2 .

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (1).

2. Теоремы существования и единственности решения краевых задач для уравнения (1) с условиями сопряжения, содержащими производные дробного порядка, в ограниченной области.

С [а, +оо) и имеют представления

3. Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах.

4. Теорема существования и единственности решения задачи Гурса для уравнения (2) в неограниченной области.

5. Теоремы существования и единственности решения нелокальных задач Н\ и #2 Для уравнения (2) в неограниченной области.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83] - [92]. Работы [84], [88], [90] выполнены в соавторстве с научным руководителем В.Ф. Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на областном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1996 - 2004 г.г. (научный руководитель д.ф. - м.н., профессор В.Ф. Волкодавов),

- на научно-технических конференциях сотрудников СамГАСУ по итогам НИР (г. Самара, 1997, 2004, 2005 г.),

- на межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете (г. Самара, 1995, 2005 г.),

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 26-31 мая 2002 г.),

- на научном семинаре кафедры математической физики Самарского государственного университета в 2005 г. (научные руководители д.ф. -м.н., профессор О.П. Филатов, д.ф. - м.н., профессор Л.С. Пулькина),

- на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии в 2005 г. (научные руководители д.ф. - м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф. -м.н., профессор И.А. Калиев).

В заключении выражаю глубокую благодарность и признательность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тематику исследований, а также научному консультанту профессору, доктору физико-математических наук Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания, помощь и поддержку в завершении данной диссертации.

1. Андреев A.A., Волкодавов В.Ф. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения // Волжский мат. сборник.- 1973. Вып. 23.- С. 102-111.

2. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Докт. диссертация д-ра физ.-мат. наук. М., МИАН СССР, 1952. 207 с.

3. Бабенко К. И. О принципе максимума для уравнения Эйлера-Дарбу // Докл. АН СССР.- 1985. Т. 285. т.- С. 777-782.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. Т.1 - 294 с.

5. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

6. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа.- Изд-во АН СССР М., 1959. 154 с.

7. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе A.B. К теории нелокальных краевых задач // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. №1. - С. 17-19.

9. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обощениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. Ш. - С. 739-740.

10. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 198G. - 343 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-312 с.

12. Волкодавов В.Ф., Мельникова А.И. Задача с нелокальными краевыми условиями для вырождающегося гиперболического уравнения / Межвузовский сборник научных трудов "Дифференциальные уравнения (Математическая физика)". Куйбышев, 1981. Т. 248.- С. 24-31.

13. Волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. - С. 41-49.

14. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Об одной специальной функции двух аргументов, встречающейся при решении краевых задач // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений Куйбышев. Куйбыш. гос. ун-т. 1986. С. 42-46.

15. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения. Самара: Изд-во "Самарский университет", 1992. - 138 с.

16. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение // Изв. ВУЗов. Матеметика. 2002. №4. - С. 13-17.

17. Волкодавов В.Ф., Юсупова О.В. Об одном решении уравнений гиперболического типа с двумя линиями вырождения // Доклады 53-й научной конференции. Самара: СГПУ, 2000. - С. 12-14.

18. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений // Диф. уравнения. 1972. Т. 8. №1. С. 7-16.

19. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1983. - 84 с.

20. Гайсина JI.P. Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак (СГПИ) 2004. - 16 с.

21. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

22. Градштейн И.С., Рыоюик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

23. Жегалов Б.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывом на переходной линии // Ученые записки Казанского гос. университета. 1962. Т. 122. №3. - С. 3-16.

24. Жегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский университет, 1980. Вып. 17. - С. 63-73.

25. Зайиуллииа Г.Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе неограниченных функций // Изв. ВУЗов. Математика 2003. №3. - С. 15-19.

26. Игнаткииа Л.А. Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа с непрерывными и сингулярными коэффициентами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Самара (СГПУ), 1997. - 105 с.

27. Исяпгилъдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа// ДАН. 1992. - Т. 236, К0-5 - С. 787-791.

28. Исяпгилъдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальным условиеми сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми// Дифференциальные уравнения. 1996г. - Т. 32, №3 - С. 1501-1504.

29. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.

30. Kooicanoe А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сибирский математический журнал 2005. Т. 46, №5. - С. 1053-1071.

31. Kooicanoe А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, №12 - С. 2168-2184.

32. Kopoicaeuua М.В. Решение некоторых краевых задач для уравнения S в неограниченных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Куйбышев (КГПИ), 1978. - 122с.

33. Kopoicaeuna М.В. Краевая задача для уравнения S с кусочно постоянным параметром в неограимченной области / /Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995. - С. 15-18.

34. Котляков Н.С., Глииер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дцфференциальные уравнения математической физики. М.: Физматиз, 1962.-467 с.

35. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975.- 303 с.

36. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

37. Лаврентьев М.М. Об одной краевой задаче для гиперболической системы // Мат. сборник 1956. 38 60. - С. 451-464.

38. Ладыэ1сенская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. - 408 с.

39. Лазаренко Л.А. Краевые задачи для пространственного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. паук. Куйбышев (КГПИ), 1976. - 89 с.

40. Лериер М.Е. Принципы максимума и краевые задачи для гиперболических уравнений смешанного типа в неклассических областях.- Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2001. 194 с.

41. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392 с.

42. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 512 с.

43. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. №1. - С. 44-53.

44. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

45. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

46. Николаев Н.Я. Некоторые специальные функции, краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения. М.: Изд-во ABC, 1997. - 172 с.

47. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.: Физматгиз, 1961 400 с.

48. Плотникова Ю.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Стерлитамак (СГПА), 2005. - 113 с.

49. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М. - JL, ГТТИ, 1937. -247 с.

50. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравненийиху ± иуу + £их = 0 // Ученые записки КГПИ. Вып. 21. Куйбышев, 1958. Вып. 21- С. 3-41.

51. Пулькина JI.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991. №11. - С. 48-51.

52. Пулькина Л.С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Математические заметки. 1992. Т. 51. №3. - С. 91-96.

53. Пулькииа JI.С. Задача с нелинейным интегральным условием для уравнения теплопроводности. Тезисы всеросийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Самара 27 июня-2 июля 2005г. Самара: Изд-во "Универс - групп", 2005. - С. 64.

54. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов.- Саратов. Изд-во Саратовского государственного университета. 1992. 161 с.

55. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // РАН. 1994. Т. 335. №3. - С. 295-296.

56. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 2001. №5,- С. 59-63.

57. Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения. // Современные проблемы физики и математики: Труды Всерос. науч. конференции (16-18 сентября 2004г., Стерлитамак) Уфа: Гил ем, 2004. 7 с.

58. Сабитов К.Б., Шарафутдииова Г.Г. Задачи Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения и их приложение в физике: Сборник научных трудов. Стерлитамак. СГПИ, СФАН РБ. 1999. С. 68-82.

59. Сабитов К.Б., Шарафутдииова Г.Г. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Математика. 2003, №5. С. 21-29.

60. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003. 255 с.

61. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения. М.: Высшая школа, 2005. - 671 с.

62. Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1980. Т. 16. №11. С. 1925-1935.

63. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

64. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.-Л.:ГИТТЛ, - 1950. Т. 3. - 672 с.

65. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйна школа, 1977. - 158 с.

66. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1970. - 295 с.

67. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 444 с.

68. Солдатов А.П. О корректных постановках краевых задач для уравнений смешанного типа // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим система, Суздаль 16 июля, 2002. Владимир: Изд-во Владимирского гос. ун-та. 2002.- С. 131-132.

69. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. 736 с.

70. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

71. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 192 с.

72. Фадеева О.В. Для одного уравнения гиперболического типа задача Е с дробно-дифференциальным условием сопряжения на характеристике // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. Самара. Изд-во СамГПУ. 2001. -С. 223-225.

73. Фихтеиголъц ЕМ. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 19G9. Т. 2. - 800 с.

74. Фихтеиголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления М.: Наука, 1966. Т. 3. - 656 с.

75. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.-711 с.

76. Эпбом Е.А. Задача Д2 для одного уравнения третьего порядка / / Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. Самара. Изд-во СамГПУ. 2001. - С. 74-80.

77. Куликова H.A. Задача Д^0 для одного уравнения гиперболического типа / Деп. во ВНИИНТПИ. 1995. Вып. 1. №11559. 14 с.

78. Волкодавов В.Ф., Куликова H.A. Две задачи в неограниченной области для одного уравнения гиперболического типа // 1нтегралып перетворення то ix застосування до крайових задач: 36. наук. пр. -Khíb: Iii-t математики HAH Украши, 1995. Вип. 8. С. 40-50.

79. Куликова H.A. Единственность решения одной краевой задачи для уравнения S в неограниченной области // Математическое моделирование и краевые задачи: Тезисы докл. 5-ой научн. межвуз. конференции. Самара. 1995. - С. 56.

80. Куликова H.A. Две задачи для одного уравнения гиперболического типа // Тезисы докладов 53-й научно-технической конференции по итогам НИР СамГАСА за 1995 г. Самара, 1996. Ч. I. - С. 42.

81. Куликова H.A. О задачах для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке / Деп. во ВНИИНТПИ. 1996. Вып. 1. №11625. 10 с.

82. Волкодавов В.Ф., Куликова H.A. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, №12. - С. 17041707.

83. Куликова H.A. Задача со смещением для уравнения гиперболического типа в неограниченной области // Современные проблемы физики и математики: Труды Всероссийской конференции (16-18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) Уфа: Гилем, 2004. Т. 1. - С. 69-74.