Марковские аналитические модели стохастических и хаотических процессов и структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

АНИКИН Валерий Михайлович

МАРКОВСКИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКИХ И ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СТРУКТУР

Специальности:

01.04.03 - радиофизика, 0S.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов-2005

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики и автоматизации научных исследований физического факультета Саратовского государственного университета и НИИ естественных наук СГУ.

Научный консультант: доктор физико-математических наук

профессор_

Голубенцев Александр Федорович!

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Трубецков Дмитрий Иванович,

Защита состоится «30» сентября 2005 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, корп. 3, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета (ул. Университетская, 42).

Автореферат разослан «22» августа 2005 г.

Председатель

доктор физико-математических наук, профессор Бахтизин Рауф Загидович,

доктор физико-математических наук, профессор Некоркин Владимир Исаакович

НИИ прикладной математики и кибернетики Ведущая организация: Нижегородского государственного универ-

ситета им. Н.И. Лобачевского

диссертационного совета

У санов Д. А.

ш-ч „

Памяти Александра Федоровича Голубенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Разработка математических моделей в области статистической радиофизики и вероятностного описания хаотических динамических систем в приложении к конкретным естественно-научным областям имеет важное значение для углубления и взаимного обогащения различных компонент знания, полученных на основе комплексного научного подхода, сочетающего теоретические исследования, физические и компьютерные эксперименты. В диссертации разработан комплекс математических моделей хаотических и стохастических процессов и структур, изучаемых в современной статистической радиофизике и электронике, статистической оптике и статистической экологии, в рамках теории марковских случайных процессов

Отличительной особенностью всех предлагаемых моделей является возможность получения их аналитических решений Речь идет именно о решаемых моделях, и это качество, на наш взгляд, делает их в эпоху компьютерных вычислений и экспериментов1 особенно привлекательными в качестве "опорных точек", полезных (а порой и просто незаменимых) при верификации усложненных (решаемых численно) математических моделей, в том числе хаотических и стохастических моделей нерегулярных процессов и случайно-неоднородных структур, являющихся предметом изучения в данной работе

"История неоднократно демонстрировала вечную ценность простых и изящных моделей , позволяющих понять основные черты явления, делать предсказания, определить направление поиска методов, пригодных в более реалистических ситуациях, думать о физических явлениях на языке математических объектов. Аналитические решения обладают к тому же универсальностью и заведомо свободны от рассмотрения проблем, связанных с преодолением особенностей множества машинных чисел, являющего собой (в отличие от континуума чисел действительной оси) множество меры нуль Основная опасность, проистекающая из особенностей машинной арифметики, -это появление в машинной модели качеств, не свойственных реальному объекту. Например, один из "подводных камней", возникающих при дискретизации задач хаотической динамики, связан с решением задач на собственные значения дм линейных эволюционных операторов, ассоциированных с хаотическими системами. Эти операторы не являются самосопряженными; несамосопряженность - атрибут диссипативных, необратимых процессов Здесь при численных расчетах реально возникновение машин-

' Как известно, с 70-х голов XX столетия в математическом моделировании развивается мощная ветвь в форме вычислительного эксперимента Так, включая й 1999 г в число 30 особенно важных и интересных проблем физики и астрофизики па пороге XXI в научное направление «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы», Нобелевский лауреат 2003 г по физике академик В Л Гинзбург отмечал " Внимание к нелинейной физике все усиливается и усиливается В значительной мере ">то связано с тем, что применение современной вычислительной техники позволяет анализировать задачи, об исследовании которых раньше можно было только мечтать" (В Л Гинзбург Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными // УФН Т 169 №4 С 419-441) Сложившуюся ситуацию даже квалифицируют как "научную революцию, связанную с попечением новой технологии научных исследований" (Г Г Малинецкий Хаос Структуры. Вычислительный эксперимент - М Эдиториал УРСС, 2000 С 3)

2ГМ Заславский. Стохастичность динамических систем - М. Наука, 1984 С 45

ных "фантомов" - несуществующих собственных значений3 Поэтому наличие "оазисов" точных решений в таких ситуациях особенно актуально 4

В части 1 работы развиваются аналитические методы синтеза одномерных и двумерных хаотических отображений, исследуются спектральные характеристики линейных операторов Перрона-Фробениуса и соответствующие асимптотические и корреляционные свойства решений хаотических разностных уравнений, демонстрируется конкретные приложения отображений в модельном аспекте Интерес к подобного рода исследованиям подогревается тем обстоятельством, что хаотические модели нашли и продолжают находить принципиальные применения в разнообразных отраслях знания - в физике (от механики до космологии), химии, информационных технологиях, биофизике, климатологии, экологии, экономике, финансовой математике, демографии5 Особую роль среди них занимают одномерные и двумерные отображения, теоретико-методологическая ценность которых в контексте нелинейной науки была подтверждена неоднократно Например, теоретически важным моментом является генезис отображений при установлении связи между дифференциальными уравнениями и отображениями с помощью метода сечений Пуанкаре Традиционное прикладное значение одномерных и двумерных отображений определяется их использованием в качестве датчиков псевдослучайных чисел в имитационном моделировании Актуально их использование и в разнообразных схемах кодирования и обработки информации 6 Одновременно по-прежнему представляет большой интерес расширение круга хаотических отображений в качестве как реальных^ так и потенциальных модельных уравнений в различных сферах знания

Операторный подход занимает в последнее время одно из центральных мест в исследовании хаотических отображений Качественно он означает переформулировку изначально нелинейной задачи в линейную задачу посредством введения и изучения спектральных свойств линейных операторов - Перрона - Фробениуса (или, еще в одной терминологии, трансфер-операторов) и связанных с ним линейных операторов действующих в соответствующих функциональных пространствах Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках оценить скорость установления равновесных состояний и расцепления корреляций в хаотических динамических систе-

3КИ Бабенко Основы численного анализа - М Наука, 1986 Гл 9

4 Естественно, резкое противопоставление моделей реализуемых в ходе компьютерною эксперимента и при аналитическом решении, лишено смысла, ибо в любом случае наличие множества разнообразных (и тем более, различающихся по области применимости) моделей одного и того же явления полезно для выявления наиболее оптимальных из них, выстраивания своеобразных иерархий моделей, отличающихся новыми физическими результатами и возможностями прикладного использования Нередко вычислительный эксперимент становится стимулятором плодотворных идей при создании качественно новых аналитических моделей Так, в конце 60-х годов XX века круг точно решаемых физически важных задач значительно расширился за счет построения большого количество нелинейных интегрируемых систем, точными аналитическими решениями которых являются солитоны Выдвинута идея (К И Бабенко) доказательных вычислений на ЭВМ - "целенаправленных вычислений, комбинируемых с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов (meo-рем)".

Многочисленные примеры модельного применения хаотических отображений можно найти в научной периодике В систематизированном виде они представлены в книгах- Лихтенберг А, Либерман М Регулярная и стохастическая динамика - М • Мир, 1984, Неймарк Ю И , Ланда П С Стохастические и хаотические колебания -М Наука, 1987, Шустер Г Детерминированный хаос Введение-М Мир 1988; Короновский А.А, Трубецков ДИ Нелинейная динамика в действии Саратов ГосУНЦ "Колледж, 2002, Малинецкий Г Г , Потапов А Б Современные проблемы нелинейной динамики ~М Эдито-риал УРСС, 2000; Пу Т Нелинейная экономическая динамика - Ижевск, РХД, 2000, Кузнецов С П Динамический хаос Курс лекций -М Физматлит, 2001

6 Дмитриев А С , Панас А И Динамический хаос новые носители информации для систем связи - М Физматлит, 2002

мах (задача Гаусса) Особый интерес вызывают те отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена точно Именно такой класс операторов (и "порождающих" их отображений) выделяется и изучается в диссертации.7

Исследование особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов 1 Свойство марковости для перемешивающих хаотических отображений проявляется, в частности, в "забывании" начальных условий (подобным же свойством обладают простые эргодические марковские цепи): эволюционные уравнения подобных отображений при любом начальном распределении имеют асимптотическое решение в форме инвариантного распределения, т е, другими словами, они в вероятностном формате нечувствительны к начальным условиям 9 Подобная стохастическая устойчивость позволяет аппроксимировать (согласно идее С Улама) хаотическую динамику одномерных отображений марковской цепью с конечным числом состояний при специальном определении (с учетом вида отображения) переходных вероятностей

В части 2 диссертации представлена "стохастическая" составляющая работы, посвященная аналитическому решению задач статистического моделирования случайно неоднородных структур и случайных квазипериодических процессов (в частности, применительно к статистической терм о- и автоэмиссионной электронике, статистической оптике и статистической экологии) на базе теории марковских случайных процессов.

Анализ какого-либо объекта или процесса в чисто детерминированной постановке не является исчерпывающим. Формирование распределенных радиофизических и оптических систем сопряжено с трудностями преодоления влияния различного рода случайных, принципиально неуправляемых физических и технологических факторов, которые приводят к структурным и функциональным особенностям подобных систем, которые, к тому же, могут эксплуатироваться при наличии внешних изменяющихся факторов (например, температуры, радиационной обстановки и т.п). Поэтому когда всякого рода нерегулярности и шумы играют деструктивную роль", актуальными в

7 Первые аналитические результаты по расчету собственных функций и собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса и его спектральному разложению были получены для симметричных кусочно-линейных отображений (М Ddrfíc, И Р Пригожян (I Pngogme), I Antoiuou. D Dnebe, P Gaspard, H H Hasegava, G Nicolis, W С Saphir, S Sucanecki, S Tasaki, D MacKeman, R F Fox, Ю A. Куперин) Общие свойства трансфер-операторов изучаются в работах A Lasota, M С Mackey, D Ruelle, D H Mayer, V Baladi, S Isola, M Tosifescu, M Л Бланка

* Бланк M Л Устойчивость и локализация в хаотической динамике - M • МЦНМО, 2001, Iosifescu M , Kraaikamp С Metrical Theory of Continued Fractions Kluwer Boston, Inc. 2002.

9 В то же время траектории хаотической динамической системы демонстрируют чувствительность к начальным условиям, которая "примиряя" случайность и детерминизм, делает принципиально невозможной постановку задач прогноза для этих систем Решение задачи Коши для таких систем теоретически существует, т е хаос в детерминированных системах возникает благодаря (не вопреки') существованию решения задачи Коши

|0УламС Нерешенные математические задачи M Наука, 1964, Бланк M Л Цит соч

11 Для полноты картины следует добавить, что случайность в нелинейных системах может иметь серьезные качественные последствия и приводить к новым, играющим конструктивную роль эффектам, которые не может предусмотреть детерминированная постановка задачи Подобного рода эффекты весьма разнообразны (см , например Мапанин В В , Полосков И £ Случайные процессы в нелинейных динамических системах Аналитические и численные методы исследования ~ M -Ижевск' РХД, 2001), к индугрлрованным шумом переходам относят, в частности, стохастический резонанс и стохастическую синхронизацию (см Анищенхо В С , Астахов В В , Вадивасова Т Е , Нейман А.Б , Стрелкова Г И, Ши-манский - Гайер Л Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах - M -Ижевск Институт компьютерных технологий, 2003)

теоретическом плане оказываются постановка и нахождение решения ряда взаимосвязанных задач (как прямых, так я обратных), позволяющих связать флукггуационные характеристики выходных (рабочих, наблюдаемых) параметров структуры (среды) с флуктуационными характеристиками «первичных» параметров Такую цель преследовали модельные исследования, отвечающие предмету статистической радиофизики, которые проводились в диссертации.

Цели и задачи исследования. Основная цель - построение и исследование хаотических и стохастических моделей, допускающих аналитические решения, в приложениях к нерегулярным процессам и структурам Конкретными задачами, рассматриваемыми в диссертации в рамках реализации этой цели и одновременно определяющими объекты исследования, являются"

- построение и развитие аналитических методов исследования асимптотических и корреляционных свойств решений разностных уравнений (систем разностных уравнений) первого порядка со случайными начальными условиями, построение и развитие методов нахождения собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса для одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, соотнесение спектральных свойств этого оператора с характером протекания релаксационных процессов и расцепления корреляций в одномерных динамических системах;

- установление и изучение закономерностей анализа и синтеза одномерных и двумерных хаотических отображений (числовых генераторов хаотических последовательностей) с задаваемыми (в том числе, и с пересграивыми) динамическими, вероятностными и корреляционными свойствами на основе изучения генезиса отдельных отображений, решения функциональных уравнений; топологической сопряженности отображений, оптимизация методов расчета важных прикладных характеристик хаотических отображений (инвариантных плотностей, показателей Ляпунова, корреляционных функций траекторий и наблюдаемых), построение новых хаотических моделей,

- создание универсальных одномерных, двумерных и трехмерных стохастических моделей квазирегулярных процессов и структур, применимых, в частности, для решения прямых и обратных задач диагностики одномерных квазипериодических структур (транспарантов), оптики случайно-неоднородных рассеивающих сред, диагностики нерегулярных структур автоэмиссионных поверхностей, для решения задач анализа эмиссионных и флуктуационных особенностей физических явлений, определяющих автоэмиссионные процессы в источниках электронов (в том числе, на основе современных наноструктур), прогноза надежностных характеристик атвоэмиттеров;

- исследование возможностей применения марковских моделей для решения задач статистической экологии.

Научная новизна работы

1 Введено понятие производящей функции для собственных функций трансфср-онераторов хаотических отображений, определен вид производящих функций для собственных полиномиальных функций оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона линейных составляющих, каждая из которых полностью переводит подынтервал своего задания на единичный интервал, в гом числе полученных посредством суперпозиции и инверсией отдельных отображений Символическим методом получено обобщение формулы Эйлера - Маклорена для разложения на единичном отрезке целых аналитических функций по комбинированной системе неортогональных полиномов Бернулли и Эйлера Данное разложение соотнесено с решением

задачи на собственные значения для оператора Купмана (сопряженного оператору Пер-рона-Фробениуса) в оснащенном гильбертовом пространстве.

2 Построены новые хаотические отображения, сопряженные различным кусочно-линейным отображениям с равномерным инвариантным распределением Эти отображения несут определенную смысловую нагрузку, отражая некоторые определенче-ские моменты детерминированного хаоса. Получены элегантные формулы для аналитического расчета автокорреляционной функции орбит и корреляционных функций наблюдаемых сопряженных отображений. Доказано, что дробно-линейное отображение с действительными параметрами при некоторых их комбинациях является эргодическим с нулевым показателем Ляпунова и с инвариантной плотностью в форме закола Копти

3. Впервые непосредственно на основе общей связи совместных, маргинальных и условных распределений (последние являются вырожденными) аналитически рассчитаны асимптотические многомерные совместные законы распределения коэффициентов разложения в непрерывную дробь случайного иррационального числа, распределенного по инвариантному закону отображения Гаусса - фундаментального одномерного отображения нелинейной динамики и теории чисел.

4 Исследован генезис одного из частных случаев малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи, = fixn modi, - Ф-отображения с иррациональным коэффициентом в виде одного из чисел Фидия. Определены коэффициенты отображения Реньи, при которых оно имеет кусочно-постоянную инвариантную плотность в форме трех ступенек (в отличие от двухступенчатого распределения для Ф-отображения) Определена структура собственных чисел и собственных кусочно-полиномиальных функций трансфер-оператора Ф-отображения и его базового эндоморфизма.

5. Двумерное отображение пекаря (в различных модификациях) сведено к виду авторегрессионного фильтра первого порядка, в котором роль возмущающего воздействия играют разряды начального значения дг0, найдены точные решения для обеих компонент отображения Обоснованы методы построения двумерных недиссипаггивных отображений, заданных на фиксированных областях усложненной формы (отличной от единичного квадрата), в том числе в виде криволинейных трапеций, элементов круга и т п.

6 В рамках модельных предположений теории восстановления дано единое статистическое описание профилей возмущения различных типов как атрибутов разнообразных квазипериодических структур, применяемых в устройствах оптики, радиофизики, рентгенооптики, электроники, ускорительной техники, выделяемых в биофизических объектах

7 На основе анализа статистических свойств матричных автоэмиссионных рельефов, формируемых на базе современных материалов (углеродные нанотрубки) и технологий, предложепо статистическое описание рельефов в форме системы ориентированных "острий" некоторой выбранной фиксированной формы, местоположение и геометрические параметры которых являются случайными Получено обобщение модели для трехмерного случая, соотносимого с моделью случайно-неоднородной рассеивающей среды с неоднородносгями в форме рассеивателями различной (фиксированной) формы со случайными положением и ориентацией в пространстве, случайными геометрическими параметрами.

8 Исследовано влияние различных модельных предположений относительно характера эмиссионных процессов (бесконечность и конечность процесса эмиссии (старение катода), наличие отказовых состояний, характер случайной смсны эмиссионных состояний и т п) на решение системы уравнений Колмогорова для дискретных марковских процессов и вероятностных характеристик, вычисляемых на основе данно-

го решения, - корреляционных функций и винеровских спектров числа центров в структуре катода и эмиссионного тока

9 Впервые аналитические методы статистической радиофизики моделированию задачи о накоплении организмом чужеродных агентов (в ских средств защиты растений и иных веществ)

Научно-прикладные аспекты работы

В диссертационной работе представлена совокупность достаточно конструктивных и универсальных марковских аналитических моделей, имеющих научное, прикладное и методологическое значение при решении современных задач хаотической динамики, статистической радиофизики и электроники, статистической оптики, статистической экологии Ниже сформулированы направления и рекомендации по использованию полученных результатов.

1. Разработан эффектный метод "архивного" (компактного) представления спектральных характеристик (собственных чисел и собственных функций) трансфер-операторов одномерных хаотических отображений в форме их производящей функции Названные характеристики "извлекаются" посредством действия соответствующего оператора на производящую функцию.

2 Развитые подходы к построению топологически сопряженных отображений позволяют получить многочисленные хаотические отображения, отличающихся (в рамках каждой иерархической "ниши" - эргодические, перемешивающие или точные эндоморфизмы) фазовыми пространствами, вероятностными законами, корреляционными свойствами (например, со свойствами дискретного белого шума), а также демонстрирующие хаос в некоторой области изменения параметра, сочетающие "управляющие" и "антиуправляющие" свойства (переходы от хаоса к порядку и обратно) Эти отображения могут использоваться как хаотические генераторы псевдослучайных последовательностей при моделировании задач, относящихся к различным естественно-научным областям Даны рекомендации по решению обратной задачи для оператора Перрона-Фробениуса (нахождения итеративной функции по заданному инвариантному распределению).

3. Результаты аналитического расчета асимптотических распределений коэффициентов непрерывной дроби существенно дополняют вероятностное описание длин "казнеровских эпох" в космологических однородных анизотропных моделях эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна, а также определяют общий алгоритм моделирования случайного числа в форме непрерывной дроби

4 Доказана возможность "перестройки" отображения Реньи посредством вариации его параметра, это приводит к изменению вероятностной инвариантной плотности отображения Данное свойство позволяет включать отображение в число перспективных для моделирования процессов с кусочно-постоянными плотностями и в схеме хао-тизации информационных сообщений

5 Построение новых одномерных и двумерных отображений, а также исследование их асимптотического поведения актуально для выбора эффективных схем хаотической криптографии, основанных на перемешивающих свойствах этих отображений Предложенные новые двумерные сохраняющие фиксированную площадь отображения являются хаотическим генераторами равномерного распределения точек в областях с усложненными (прямолинейными или криволинейными) границами

6 Построенные статистические модели одномерных, двумерных и трехмерных случайно-неоднородных структур и сред, устанавливающие связи между вероятностными свойствами микро- и макрохарактеристик модели, являются необходимый звеном

эмиссионных

применены к виде химиче-

при решении обратных задач по идентификации и прогнозированию параметров моделируемых структур с использованием неразрушающих диагностик

7 Найдены связи между эмиссионными, флуктуационными и надежностными характеристиками автоэмиттерных систем, на основании чего показана возможность прогнозирования надежностных параметров катодов по эмиссионно-флуктуационным характеристиками (значениям среднего тока и автокорреляционной функции флуктуа-ций) Получены эффективные итеративные алгоритмы для моделирования диффузионных процессов, протекающих в материале катода, на основе линейных авторегрессионных уравнений первого порядка

8. Аналитическая модель накопления чужеродных веществ, отражающая стохас-тичность процесса контактов организма теплокровных с вредными агентами, рассчитана на прогнозирующие расчеты при различных характеристиках каналов удержания и вывода этих веществ из организма.

9 Результаты работ по статистическому моделированию случайно-неоднородных структур и сред использованы в разработках ИРЭ РАН (г. Москва), ОКБ завода "Тантал" (г. Саратов), НПО "Агроприбор" (г Саратов), в/ч 61459 (подтверждается актами об использовании и внедрении результатов).

Личный вклад. Общая концепция диссертации, ее структура, уровень понимания рассматриваемых в ней проблем, сформулированные основные результаты и выводы работы, положения, выносимые на защиту, отражают конкретный творческий вклад автора и исключительно его точку зрения на рассматриваемую проблематику. В совместных работах автор принимал активное участие ab ovo usque ad mala - в постановке задач, разработке методик аналитических расчетов, интерпретации, систематизации и обобщения полученных результатов, информационном обеспечении исследований, отборе материала и написании публикаций, а также представлял результаты исследований на научных конференциях

Достоверность результатов диссертации В работе представлены результаты, полученные сугубо аналитическими методами В пользу их корректности свидетельствуют- совпадение аналитических решений, найденных различными способами; непосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнепия для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т д); возможность сведения общих результатов к "тестовым" задачам; сопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок (например, при сравнении нюансов вероятностной и метрической интерпретаций); организация специальных сравнительных численных расчетов (показателей Ляпунова и графических демонстраций сходимости итерационных процессов); выбор базовых предположений при построении стохастических моделей случайных процессов (структур) на основе предварительного изучения качественно-количественных свойств физического явления, которые должны бьггь отражены в модели; анализа экспериментальных данных; качественное совпадение результатов (автокорреляционных функций и спектров флуктуаций моделируемых параметров) с экспериментальными данными

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы представлялись как на Всероссийских (Всесоюзных), так и на Международных конференциях В число этих конференций входят:

Всесоюзные научные сессии, посвященные Дню радно (Москва, 1980, 1982-1984, 1987, 1989,

1991);

Всероссийские (Всесоюзные) межвузовские научные конференции с международным участием "Электроника СВЧ" (Ростов-на-Дону, 1976, Минск, 1983), International University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies" (Санкт-Петербург, 1999), "Contemporary Problems of Microwave Electronics and Radiophysics" (Саратов, 2001),

10-й Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн (Винница, 1990), 3-й Всесоюзный научно-технический семинар "Применение лазеров в науке и технике" (Иркутск, 1990), Всесоюзное координационное совещание "Низкочастотные шумы в полупроводниковых приборах и устройствах (Черноголовка, 1991), научно-технические конференции с международным участием "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Саратов, 1996, 1998 и 2000),

2-я международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 2000), The SP1E International Symposium on Biomedical Optics (San Jose, California, USA, 2000), The SPIE International Symposium on Optics and Optoelectronic Inspection and Control Techniques, Applications and Instruments (Beijing, Chma, 2000); SPIE's Int. Symposium "Photonics West / Biomedical Optics (BiOS 2004, 2005)" Conf. on Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics San Jose, California, USA, 2004, 2005),

The IEEE International Vacuum Microelectronic Conferences (IVMC'95, Portland, Oregon, USA, IVMC96, St-Petersburg, Russia; IVMC97, Kyongju, Korea; IVMC'98 Asheville, North Carolina, USA, IVMC99, Darmstadt, Germany - Wroclaw, Poland); The Material Research Society Spring Meeting^ (Symposium C- Material Issues in Vacuum Microelectronics II San Francisco, California, USA),

The IEEE International Vacuum Electron Sources Conferences (IVESC'98, Tsukuba, Japan, IVESC'2000, Orlando, Florida, USA, IVESC'02, Saratov, Russia),

The International Schools on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CPAOS'94, CHAOS'98, CHAOS'2ПОI Саратов), The International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos Applications m Physics, Biology and Medicine (ICND*96, Saratov, Russia); International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes (Ambiisuie, England, August 16-20,1999),

rhe International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (St -Petersburg, 2000), The International Conference "Physics and Control" (St -Petersburg, 2003) и др

Материалы работы обсуждались на научных семинарах различных кафедр физического и механико-математического факультетов Саратовского государственного университета и в Саратовском отделении Института радиотехники и электроники РАН

Положения и результаты, выносимые на защиту

1 Производящие функции полиномиальных собственных функций операторов Перрона-Фробениуса для определенных на единичном сегменте кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями и одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона, а также их инверсий и композиций являются линейными комбинациями производящих функций для неортогональных полиномов Бернулли и Эйлера соответствующих аргументов

2 Новые хаотические отображения, построенные методом топологического сопряжения с базисными эндоморфизмами, метод расчета автокорреляционных функций траекторий сопряженных отображений и наблюдаемых, связанных с этими траетория-ми.

3 Результаты аналитического расчета многомерных асимптотических распределений коэффициентов непрерывной дроби, аппроксимирующей случайное число, проведенные на основе формальных связей между совместными, маргинальными и условными распределениями, допускают наглядную метрическую интерпретацию 12 совместные распределения ш последовательных коэффициентов определяются мерой Гаусса интервала, границами которого являются точки разрыва m-кратной композиции Гауссова отображения. Эти распределения соотносятся с зависимыми случайными величинами, но, во-первых, являются инвариантными относительно произвольного сдвига вдоль ряда коэффициентов и, во-вторых, могут быть обобщены на неупорядоченные последовательное™ коэффициентов цепной дроби

12 Речь идет о мере множества чисел, разложения которых в цепные дроби обладают заданным свойством (в данном случае, обладать фиксированными коэффициентами на некотором интервале (см Хинчин А Я Цепные дроби - М Наука, 1978, losifescu М , Kraaikamp С Metrical Theory of Continued Fractions Kluwer Boston, Inc 2002)

4 Для отображения Реньи х^ = fix,, modi (1 </? < 2 - вещественный параметр) существуют три значения параметра, при которых это отображение обладает инвариантной плотностью в форме трехступенчатой (кусочно-постоянной) функции. Число Фидия Ф = (л/5+1)/2 - единственное значение параметра этого (Ф-) отображения, дающее инвариантное распределение в форме двух ступенек Собственные числа оператора Перрона-Фробепиуса являются знакопеременными отрицательными степенями числа Фидия. Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса (как по мере Лебега, так и по инвариантной мере) являются кусочно - полиномиальными функциями, терпящими разрыв (первого рода) в точке золотого сечения Ф"1 единичного отрезка (для Ф-отображения) или в точке 1/(1+Ф~2) (для сопряженного базового эндоморфизма) Процесс спада корреляций для базового эндоморфизма определяется двумя собственными числами оператора, отвечающими кусочно-линейным собственным функциям

5 Методика построения недиссипативных двумерных отображений для целей имитационного моделирования и хаотической криптографии

6 Статистические модели одномерных квазипериодических структур с характеристиками в форме "квазипериода" и профиля "возмущения" разнообразной природы, позволяющие отразить влияние случайного разброса в геометрии (в рамках единого "образующего" профиля) на характеристики (автокорреляционная функция, винеров-ский спектр), которые могут быть идентифицированы при бесконтактной диагностике качества таких структур

7 Статистические модели рельефов автоэмиссионных структур и случайно-неоднородных рассеивающих сред в форме композиции идентичных образующих (цилиндров, полуэллипсоидов вращения, полусфер и т д), испытывающих случайные вариации геометрических размеров и случайные отклонения от строгой матричной (или регулярной, однородной) структуры Модели определяют связь между автокорреляционными функциями и винеровскими спектрами случайного поля высот рельефа (трехмерной случайно неоднородной среды) с вероятностными чистовыми характеристиками параметров образующих.

8 Ряд физических флуктуационных явлений, свойственных полевым эмиттерам на основе микро- и наноструктур (включая углеродные нанотрубки), - бистабильные и мультистабильные флуктуации эмиссии, процессы деградации эмиттеров - допускают представление в рамках спектрально-корреляционного анализа марковских моделей случайных процессов, выявляя зависимость статистических характеристик (корреляционных функций и частотных и частотно-временных спектров) структурных элементов катода и тока эмиссии от микропараметров моделей, проясняя тем самым природу флуктуационных процессов и способствуя решению задач прогноза надежности эчит-терных систем

9 Предложенная математическая модель контактов организма с вредными агентами предсказывает наличие стационарного уровня накопления чужеродных веществ организмом и, таким образом, качественно правильно описывает реально существующий процесс кумуляции вредных агентов и может быть использована при различных вариациях параметров модели для прогнозирования уровня накопленно1 о вещества

Публикации По теме диссертации опубликовано около 140 научных работ, включая 5 монографических изданий и 80 полноформатных статей (из них' 14 - в журналах, рекомендованных ВАК, 20 - в международных изданиях)

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из общего введения, 9 глав, общего заключения и списка цитируемой литературы из 855 наименований (библиография дается отдельно по каждой главе) Общий объем диссертации - 690 страницы, она иллюстрируется 67 рисунками и содержит 7 таблиц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В части I диссертации, включающей 5 глав, изучаются одномерные и двумерные хаотические модели, а в части 2, состоящей из 4 глав, представлены стохастические модели случайно неоднородных сред и структур и квазипериодических процессов Во введении к диссертации дается общая характеристика работы согласно рубрикаторам, отраженным в настоящем автореферате

В главе 1 развиваются операторные методы исследования кусочно-линейных отображений, имеющих ветви с одинаковым по модулю тангенсом угла наклона, каждая из которых переводит свой интервал определения на единичный сегмент В общем виде эти отображения можно представить как

т |и

= «К) = Е («»Ю = £ ("Л + Ьк )хк (а,), (1)

*=| кш\

где (а) = ака + Ьк - к-й участок монотонности итеративной функции, отвечающий отрезку [а4_,,в4], а0 = 0, ат = \,к = 1,2,.. ,т, а хЛа) - соответствующая индикаторная функция этого отрезка Известно13, что отображения (1) являются точными эндоморфизмами, обладающие свойствами эргодичности (их инвариантная плотность суть равномерное распределение) и перемешивания В работе рассматривается подкласс симметричных отображений вида (1), имеющих линейные ветви с одинаковым по модулю тангенсом угла наклона Обладая аналитическим представлением для своих траектор-ных, вероятностных и спектральных характеристик, подобные отображения при моделировании играют особую роль как базовые эндоморфизмы, на основе которых могут быть построены топологически эквивалентные отображения, допускающие точное описание, с новыми вероятностными свойствами. Оператор Перрона-Фробениуса, отвечающий (1) и описывающий трансформацию вероятностных распределений под действием отображения, записывается в виде:

/>(«)=М] (2)

м\аЛ \ ) тЦ \ вк )

Спектральная задача для линейного оператора (2) формулируется традиционным образом, и его собственные функции У((дг), 4 = 0,1,2,.. , определяются уравнением■

= 0. (3)

где Л4 - собственное число Будем называть производящей функцией для системы собственных (полиномиальных) функций оператора Перрона-Фробениуса такую функцию , разложение которой в ряд по степеням / при достаточно малых I (обеспечивающих сходимость ряда) имеет вид

У(л:,0 = 2>»С (4)

«-0 и!

13 Наиболее исчерпывающе общие свойства подобных отображений охарактеризованы в книге Корнфельд И П, Синай Я Г , Фомин С В Эргодическая теория М Наука, 1980 - 384 с

Исследование сложного поведения кусочно-линейных отображений, в том числе в задачах моделирования работы различных устройств, проводилось представителями нижегородской радиофизического школы, начиная с 50-х голов прошлого столетия (Ю И Неймарк, А С Алексеев, 3 С Баталова, Н Н Леонов, Н А Фуфаев, В Н Белых)

В работе найдены конкретные выражения (4) для нелого ряда кусочно-линейных отображений, включая сдвиги Бернулли и пирамидальное отображения (tent map)14, N-образное отображения, их инверсия и композиции и т п

Показано, что для симметричных кусочно-линейных отображений вида (1) функция (4) может быть представлена линейной комбинацией двух производящих функций для классических неортогональных на единичном сегменте полиномов - Бернулли й„ (*)и Эйлера £„(*)■ При этом действие оператора Перрона-Фробениуса на (я,*) дает унифицированным образом одновременно полный набор как собственных полиномиальных функций, так и собственных чисел Лп этого оператора:

PV(x,t) = £/у„ (х)-s f>„r„Mn •

«-о Л! „.о л!

(5)

Полиномы Бернулли и Эйлера образуют на единичном отрезке полную систему неортогональных функций, поэтому, в принципе, поиск собственных полиномиальных функций и ядра (нуль-пространства) эволюционного оператора любого отображения оговоренного выше типа, можно начинать посредством действия оператора на производящую функцию для полиномов Бернулли (Эйлера) или на их комбинацию, образующую также систему полных функций В качестве примера рассмотрим 5-звенное кусочно-линейное отображение (рис.1)'

5дг„, 0 < < 0.2, 2-Sx,, 0.2 < *„ <0.4, ,=•! 5хп -2, 0.4 < je, <0.6, 4-5х„, 0 6S дгя <0 8, Sx, - 4, 0.8 <1.

(6)

Рис 1 Отображение (6)

"А

Соответствующий оператор Перрона-Фробениуса имеет вид-

m

+/

4+х

\rr

(7)

Вводя производящие функции для четных (по порядку) полиномов Бернулли и нечетных полиномов Эйлера, соответственно,

(2л)!

при действии оператором (7) на (8) получим-

(8)

14 Для пирамидального отображения и сдвигов Бернулли решение спектральной задачи найдено M Dôtfle, I Prigogme, I Antoniou, D Dnebe, P Gaspard, H H Hasegava

0 =

сИ({ д: -1 / 2)(/ / 5)) = (лг, г / 5),

(9)

/10)

5 сЬ(//10)

(Ю)

Результаты (9) и (10) означают, что собственными функциями оператора Перрона-Фробениуса (7) являются четные (по порядку) полиномы Бернулли и нечетные полиномы Эйлера. Собственные числа Л* = 1 / 52* имеют кратность 2. Показано, что собственные числа являются простыми для инверсного отображения (его итеративная функция определяется вычитанием из единицы исходного отображения), поскольку в этом случае собственные числа становятся знакопеременными Для отображений, образованных тиражированием пирамидального отображения (тес четным числом ветвей 2 к), собственные функции соответствующего оператора представляется четным полиномом Бернулли (половинного аргумента) с собственными числами = 2~~к 15

Собственные полиномиальные функции несамосопряженного оператора Псрро-на-Фробениуса неортогональны Поэтому для характеристики свойств эргодичности и перемешивания рассматриваемых отображений (получения численных оценок для скоростей сходимости произвольного начального распределения к инвариантному) представляет интерес обобщение классической формулы теории конечных разностей Эйлера - Маклорена, дающей разложение функций (в классе целых функций экспоненциального типа) по системе полиномов Бернулли В работе символическим (операторным) методом получены модификации этой формулы, в том числе для разложения по комбинированной системе функций Бернулли и Эйлера Показано, что разложение функций по формулам Эйлера-Маклорена эквивалентно разложению по полной био-ртогональной системе функций в оснащенном гильбертовом пространстве 16

Третий общий рассмотренный в главе момент, касающийся базовых эндоморфизмов, связан с точным расчетом автокорреляционной функции #(п) для их траекторий и корреляционных функций наблюдаемых, связанных с траекториями Этот расче! основан на представлении независимой переменной линейной комбинацией первых двух (константа и линейная функция) собственных функций оператора Перрона-Фробениуса и представлении наблюдаемой, выбранной, например, в форме степенной функции, в виде линейной комбинации собственных функций оператора, степень высшей из которых совпадает со степенью наблюдаемой.

В главе 2 выясняются особенности синтеза хаотических отображений с заданными свойствами на основе топологического сопряжения двух одномерных отображений, т е отображений связанных обратимой нелинейной (в общем случае) или линейной (при линейной деформации интервала определения отображения) Если в базовом отображении а,и1 = #(<*„), обладающем равномерным инвариантным распределением на единичном интервале, производится замена переменных по правилу х = /¡(а), а = А-'(дг), где сопрягающая функция Л(а)монотонна и многократно диффе-

Обобщающие заключения относительно представления полиномиальных собственных функций симметричных отображений (!) приводятся в работе АС Ремизова, С С Аркадакского и автора

16 Биортогональная система функций в оснащенном гильбертовом пространстве вводилась в работах И Пригожина и его сотрудников (см Пригожин И , Стенгерс И Время, хаос, квант - М Эдитори-

(2005)

ал УРСС, 2000)

ренцируема, то новое хаотическое отображение, удовлетворяющее коммутационной схеме сопряжения, будет иметь вид'

*„+, =*(£(*"'(*„))). \ е(Л(0),/г(1)), и=0,1,2... (11)

Это отображение определено на интервале (А(0), А( 1)) и обладает инвариантной плотностью f(x) = \dlr\x)/dx\.

Изучение возможностей метода топологического сопряжения хаотических отображений'7 несло определенную смысловую нагрузку и четко выявило ряд закономерностей, имеющих общее значение для теории детерминированного хаоса. В работе

1) сформулированы условия получения из кусочно-линейных базовых отображений сопряженных отображений, обладающих рациональными, непрерывными или разрывными итеративными функциями, описываемыми единым аналитическим выражением;

2) проведено прямое доказательство свойства перемешивания квадратических отображений, сопряженных пирамидальному отображению;

3) построены хаотические отображения с бесконечным фазовым пространством (они характеризуются инвариантными законами в форме F- и 7 - распределений, распределения Коши) отображения для усеченных аналогов названных распределений,

4) построены отображения, генерирующие чистый хаос в пределах некоторого диапазона непрерывного изменения параметра, включающие как частный случай (логистическое) отображение Улама-фон Неймана,

5) предложена итеративная схема, обладающая критическим значением параметра, разделяющим области значений этого параметра, соответствующие регулярному и хаотическому режимам поведения отображения; при введении дополнительного механизма "переброса" значений параметра из одной области в другую возникает "искусственная перемежаемость" с мгновенным переходом от регулярного режима к хаотическому и обратно;

6) построены хаотические отображения с разнообразными вероятностными свойствами как конкретные модели нерегулярных процессов (биологических ритмов, инвестиционных процессов),

7) показано, что хаотические отображения с заданной инвариантной плотностью образуют счетное множество (например, можно построить разнообразные отображения, обладающие инвариантным распределением в форме инвариантного распределения отображения Гаусса), в связи с этим решение обратной задачи определения вида отображения по виду инвариантного распределения должно дополняться априорной информацией (например, о конечном или счетном число ветвей, их линейности или нелинейности, значении показателя Ляпунова, виде автокорреляционной функции и т п),

8) определена связь решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса сопряженного отображения с решением аналогичной задачи для эволюци-

17 Сопряжение динамических систем - один из важных приемов исследования, применяемый в теории динамических систем (см Каток А Б , Хассельблат Б Введение в современную теорию динамических систем -М Факториал, 1999) С У лам считал задачу сведения сложных отображений к кусочно-линейным весьма актуальной задачей (Улам С Цит соч) J von Neumann и S Ulam (1947) построили хрестоматийное сопряжение пирамидального и логистического отображений, R L Adler и Т J Rivhn (1964) показали сопряженность полиномов Чебышева пилообразному отображению А П Шапиро и С П Луппов (1983) впервые использовали формулы удвоения аргумента для тригонометрических функций при построении хаотических отображений Эта идея была перенесена на эллиптические функции TTsuchia (1983), Sh Katsura и W Fukuda (1985), К Umeno (1997) и иами (1994) К Umeno (Phys Rev Е 1997 V 35 No 5 Pp 5280-5284) соотнес полученное отображение с динамикой реакции Белоусова-Жаботинского

онною оператора базового отображения (указаны числовые инварианты сопряженных отображений, изучены законы преобразования операторов Перрона-Фробениуса и собственных функций этого оператора для сопряженных отображений),

9) показано, что аналитическое вычисление автокорреляционной функции для сопряженного отображения может быть эффективно произведено посредством выявления результата повторяющегося действия оператора Перрона-Фробениуса базового эндоморфизма на сопрягающую функцию.

Последний тезис рассмотрим более подробно Для автокорреляционная функции орбит сопряженного отображения в работе получена следующая формула'

Аналогичную структуру имеет и корреляционная функция для наблюдаемых, вычисляемых по траектории отображения Таким образом, для эффективного точного вычисления автокорреляционной функции необходимо представить сопрягающую функцию линейной комбинацией собственных функций эволюционного оператора базового отображения. В этом случае при повторном действии оператора собственная функция в этом разложении будет воспроизводиться с множителем в виде собственного числа

Это прием позволят, в частности, выявить и построить, отображения с неравномерной инвариантной плотностью, генерирующие дискретный (к ним, например, принадлежат все полиномы Чебышева первого рода, обладающие как хаотические отображения одной и той же инвариантной мерой) и квазидискретный (дельта-коррелированность процесса начинается со второй итерации) белый шум

Установлено, далее, что обратимое дробно-линейное отображение = (ахп + Ь) !{сх„ + £?) с действительными коэффициентами, определенное на всей числовой прямой, в зависимости о значений параметров, выражаемых через коэффициенты, может демонстрировать наличие либо регулярных режимов в форме сходимости итераций к одной из двух неподвижных точек, либо периодических траекторий, реализующихся из произвольного от стартового значения, либо эргодических свойств (в последнем случае существует инвариантное распределения в форме закона Коши при наличии нулевого показателя Ляпунова) Это дает, в частности, возможность определить семейство сопряженных отображений с нулевым ляпуновским показателем дополнительно к отображениям, полученным посредством сопряжения с аддитивным отображением х(н., -(х„ + а)гпо<11 (а - иррациональное число), атрибутом которого также является нулевой показатель.

Глава 3 посвящена изучению эволюционных и вероятностных свойств отображения К Ф. Гаусса,

(П множество иррациональных чисел из единичного интервала), впервые рассмотренного великим математиком 200 лет назад при исследовании разложения случайного числа в непрерывную дробь Отображение Гаусса является точным (эргодическим и перемешивающим) эндоморфизмом (Р.О Кузьмин, В.А Рохлин, Я Г Синай), для которою поиск оценок скорости установления равновесного распределения и расцепления корреляций в силу нетривиальности задачи составлял предмет исследования в течение

дг„, = 1/х„ т>6\,х, бПе(0,1),л = 0,1,2,...

(13)

многих десятилетий (Р О Кузьмин, П Леви, А Я Хинчин, Э Вирсинг, К И Бабенко, Д.Майер, М. Иосифеску и др ) 18

Новые результаты даны на фоне анализа основных свойств этого преобразования, что придает изложению определенную замкнутость (в главе отражены, генезис преобразования Гаусса, определение фундаментальных интервалов отображения, свойство точности эндоморфизма, представление его циклов непрерывными дробями, запись оператора Перрона-Фробениуса по мере Лебега и инвариантной мере, сужение оператора Перрона-Фробениуса на различные банаховы пространства и соответствующие им решения задачи Гаусса)

К описанию эволюционных и вероятностных свойств отображения Гаусса мы добавили такие новые штрихи:

1) представление структуры инвариантного распределения через полиномы Бер-нулли (выяснено, что существенной составляющей плотности является линейная функция);

2) анализ парадоксов машинной арифметики, проявляющихся при численном траекторном исследовании и решения задач на собственные значения для оператора Перрона-Фробениуса данного отображения и приводящих к машинным "фантомам";

3) формулировку теоретических критериев, позволяющих эффективно оценить правильность численных расчетов спектральных характеристик оператора Перрона-Фробениуса - 1) знакопеременность собственных чисел отображений, касательные ко всем ветвям которых имеют отрицательный угловой коэффициент, 2) равенство площадей криволинейных трапеций, построенных соответственно на отрезках положительности и отрицательности вещественных собственных функций оператора (последнее свойство вытекает из равенства нулю интеграла по мере Лебега от всех собственных функций, за исключением инвариантной плотности);

4) аналитический и численный расчеты показателя Ляпунова,"

Л = ^ = —|А| = — = 2.3731382.. (14)

1п2 1п2 21 61п2 '

(д(2)-^Л/к2 - дзета-функция Римана, В2 =-1/6 - число Бернулли);

5) построение новых хаотических динамических систем, сопряженных отображению Гаусса Одна из них действует на положительной полуоси Второе сопряженное отображение - базовой эндоморфизм,

«... =108г(1+{^ггг}} а»6(0Л)' (15)

демонстрирующий существование кусочно-нелинейного и кусочно-монотонного (с бесконечным числом ветвей) хаотического генератора числовых последовательностей.

18 С данной тематикой в литературе соотносится терминология "теорема Гаусса-Кузьмина", а второе собственное число оператора Перрона-Фробениуса - "фундаментальную константу", по выражению Д Кнута, определяющую скорость расцепления корреляций часто именуют "постоянной Кучьмина-Леви-Вирсинга"

9 Необходимость расчета показателя Ляпунова была вызвана разногласиями в литературных результатах Помимо аналитического вывода был проведен (для сравнения и взаимной верификации) и машинный расчет показателя Ляпунова, обнаруживший чрезвычайно медленную сходимость алгоритма Бенетгина (во всяком случае, по сравнению со сходимостью аналогичного показателя для логистического отображения, машинный расчет показателя Ляпунова по просьбе автора проводился А Б Нейманом)

статистические свойства которых описываются непрерывным равномерным распределением (рис 2)

6) построение новых хаотические отображений на основе сопрягающих изоморфизмов в форме лем-нискагных функций Гаусса; демонстрация существования счетного множества хаотических отображений, имеющих в качестве инвариантного закона плотность гауссова отображения

Рис 2 Отображение Гаусса (13) (сплошная линия) и его базовый эндоморфизм (15) (пунктирная линия

7) прямой аналитический расчет многомерных совместных распределений для коэффициентов цепной дроби при разложении случайного числа, распределенного по инвариантному закону гауссова отображения (т е речь идет об асимптотических распределениях) на основе общих положений о связи совместных, маргинальных и условных распределений.

Подробнее остановимся на последней задаче. В качестве первых шагов найдены выражения для двумерного и трехмерного распределений, позволившие выявить структуру распределений, а затем было сформулировано и общее решение - многомерные распределения для произвольного числа коэффициентов.

Р(А,=п1,А1=п2,...,Ат=пт) =

//1,п,,л„...,л// , \ + 1/п.,п2,...,пт+11/ (16)

= log,- ' :——-= log,-—-3——-

21П,^,п2,...,пт+\11 - 1 + //я,,«,,...,«„//

(для четных от);

Р(Лх=щ,Аг = пг, ,.,Aa=nJ =

111,п.,пг,...,п+1 , l + lln,,n„. .„nil (17) = log, — ' 7—— = log,-——-

(для нечетных /я).

Интересным здесь является то, что результаты сугубо формальных расчетов, основанные на усреднении по инвариантной плотности отображения Гаусса, свелись к наглядной метрической интерпретации, а именно совместное распределение т коэффициентов определяется мерой Гаусса интервала, границами которого являются точки разрыва т-кратной композиции гауссова отображения.

В отличие от сдвигов Бернулли = Gxn mod 1, определяющих разложение чисел в G-ичную дробь, "естественное" (по мере Гаусса) вероятностное распределение величины, разлагаемой в непрерывную дробь, не приводит к независимости коэффициентов Они оказываются одинаково распределенными зависимыми случайными величинами Более того, одинаковыми вероятностными законами описывакпся послелова-

тельные и равные по числу элементов наборы коэффициентов, начинающиеся с произвольного места На основе полученных формул возможно получение распределения и для совершенно неупорядоченных (требуется лишь возрастание по номерам) коэффициентов цепной дроби.

Совместные вероятностные распределения (16), (17) имеют интересное приложение в однородных анизотропных моделях эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна, давая исчерпывающее вероятностное описание длин казнеровских эпох, из которых складывается процесс эволюции пространственно-временной метрики.20

В главе 4 получены принципиальные результаты для хаотического отображения Реньи xntl = ßxa mod 1 (рассматриваются вещественные (нецелые) значения параметра 1 <ß < 2 ). Свойство точности для этого отображения было доказано А. Реньи и В. А. Рохлиным.

В работе, во-первых, показано, что это отображение с коэффициентом, равным большему из чисел Фидия, уЗ = Ф = (л/5+1)/2, является единственным отображением, обладающим кусочно-постоянной инвариантной плотностью в форме двух ступенек (мы назвали его Ф - отображением).

Во-вторых, доказано существование трех отображений (рис 3) с коэффициентами, являющимися корнями уравнений,

ß2(ß-l) = U ß\ß-\)-ß = \, /? = (/?-1)2(/? + 1), (18)

которые обладают кусочно-постоянной инвариантной плотностью в форме трех ступенек (рис. 4) Иначе говоря, Ф-отображение является лишь начальным в серии отображений Реньи с многоступенчатыми (кусочно-постоянными) инвариантными плотностями, а изменение динамических, вероятностных и спектральных характеристик отображения довольно чувствительно к вариациям его параметра. Например, два из трех значений параметра для трехступенчатых распределений (Д»1.46, /?, « 1.80, ß} » 1.84) отличаются лишь на 2%.

В-третьих, выяснена структура собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса (как по мере Лебега, так и по инвариантной мере) хаотического Ф-отображения и сопряженного ему базового эндоморфизма

Определение структуры собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса Ф-отображеиия21 оказалось возможным в результате последовательного решения следующих задач: 1) построение в пространстве интегрируемых функций двумерного инвариантного подпространства для оператора Перрона-Фробениуса (соотнесение с результатом H.Mori), 2) построение в том же пространстве четырехмерного инвариантного подпространства оператора Перрона-Фробениуса (получение новых кусочно-линейных собственных функций и собственных чисел посредством перехода к базису, состоящему из собственных функций); 3) построение шестимерного инвариантного подпространства для модифицированного оператора Перрона-

20 Хаотические колебания гравитационного поля в этих моделях были обнаружены в конце 60-х - начале 70-х годов прошлого столетия (В А. Белинский, Е M Лифшиц, И М. Лифшиц, Я Г. Синай, И M Халатников, К M Ханин, Л H Щур) При этом со сложной исходной системой уравнений Эйнштейна было соотнесено именно отображение Гаусса, которое, таким образом, и определяет хаотическую динамику данных космологических моделей

21 Были известны лишь первые две (включая инвариантную плотность) собственные функции оператора Перрона-Фробениуса для Ф-отображения (См Mort H, So В -СИ, Ose Т Time-correlation functions of one-dimensional transformations //Progress in Theor Physics 1981 V 66 No 4 P 1266-1283)

Фробениуса по инвариантной мере (получение дополнительных (кусочно-квадратичных) собственных функций, формирование представления об общей структуре собственных чисел и собственных функций, существенное упрощение методики расчетов), 4) решение задачи на собственные значения (на основе полученной на предыдущих этапах информации, ибо диагонализация матрицы линейных преобразований в инвариантных подпространствах позволяет перейти к новому базису, образованному собственными функциями исследуемых операторов) в общем виде методом неопределенных коэффициентов.

Реньи с коэффициентами, определяв- отображений Реньи с коэффициентами, мыми из уравнений (18) удовлетворяющими уравнениям (18)

Показано, в частности, что собственным числам Яп= 1, Л,=/Г', Д2=-/Г5 и Дз = — р1 отвечают следующие кусочно-постоянные и кусочно-линейные собственные функции Ф-отображения (их вид показан на рис. 5)

гг(х) = -/Г'+х+/Г,*®(*), г,(х) = -£+/)-,х + £^-&(х)-хв(х) (19)

Здесь в(х) - индикаторная функция сегмента (О, Ф"1 =0.618033...)

Выяснено, что собственные числа оператора Перрона-Фробениуса - это знакопеременные отрицательные степени числа /> = Ф = 1.618033 . , а собственные функции являются кусочно-полиномиальными функциями с точкой разрыва в точке "золотою сечения" 1/Ф = 0 618033... (для Ф-отображения) или в точке 1/(1 + Ф"2) (для сопряженного базового эндоморфизма, полученного обратимым кусочно-линейным преобразованием Ф-отображения) Общее решете задачи на собственные значения выводится из разложения для собственных функций эволюционного оператора Ф- и сопряженного ему отображений:

у, (*)=/4"+/!?>»(*)+м,™*+-+/С)*"(20)

где -коэффициенты, находимые из уравнений /у„(-г) - \ц/п(х), а Р соответствующий оператор Система алгебраических уравнений относительно /л'к"' замыкается

I 1

условиями |у0(;с)<& = 1, = 0 (¿=1,2,3,...).

о о

Найденные собственные числа и линейные собственные функции базисного эндоморфизма позволили провести точный расчет автокорреляционной функции для его орбит (рис. 6):

= —7-(4/ГЧ1+/Г,)+(-1)"(1+/Г5)Г")/Г'. (21)

12(1 + ^) у '

где /Г1 =е"Л, Л - показатель Ляпунова. Видно, что динамика расцепления корреляций в динамической системе в форме базового отображения для начальной части траектории определяется не только показателем Ляпунова (собственным числом /г1 = еК), но и собственным числом р~г = е"2А .

----

г---. ----

0 2 ..-••'"' О 4 0 6 0 е

V

\\

■ \ \ \

X Ч \

Рис 5 Кусочно-постоянные и кусочно - линейные собственные функции оператора Пер-рона-Фробениуса для Ф - отображения

1 2 3 4 6 6

Рис 6 Нормированные автокорреляционные функция г(п) = Я(я) / /1(0) орбит Ф - отображения (точечная линия), базового эндоморфизма (сплошная линия) и зависимость е_А" (прерывистая линия)

В главе 5 отражены два направления исследования двумерных хаотических отображений, сохраняющих площадь Во-первых, на формальном математическом уровне изучены особенности хаотической динамики ряда отображений, построенных на базе классического отображения пекаря Во-вторых, расширен класс недиссипативных отображений на плоскости на основе разработанных алгоритмов построения хаотических отображений на двумерных областях сложной формы

Классическое отображение пекаря в литературе описывается в основном на качественном уровне, и соотносимые с ним поведенческие характеристики носят, как представляется автору, скорее геомегрическо-ингуигивный характер Поскольку это отображение является базовым при иллюстрации понятий эргодичности и неремеши-ваемости в эргодической теории (теории динамических систем), а также имеет инте-

ресные приложения в естественных науках (оно применяется при описании хаотических рассеяния, диффузии и адвекции, протекания реакций изомеризации и автокаталитических реакций, эффектов квантового хаоса, лежит в основе интересного и перспективного алгоритма хаотической криптографии и формирования конфиденциальных сообщений и т.д.), представляется целесообразным дать точные решения для координатных составляющих этого отображения - как для «классического» варианта, так и для некоторых разновидностей этого отображения Отображения, характеризуемых одной и той же инвариантной плотностью, имеет смысл изучать по той простой причине, что они отличаются друг от друга рядом других важных характеристик, например, скоростью и характером перемешивания, значением показателя Ляпунова, поведением автокорреляционных функций, значением собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса и пр

Для С-ичного отображения пекаря, задаваемого преобразованием

= {<*„}> У'-" ^у. +¿LG*.J. * = <U2..... (22)

(фигурные скобки означают дробную часть, а квадратные скобки J - целую часть числа), получено уравнение для компонент отображения в виде.

х, = {G"x,} = (одли ...)„ = thr- <23»

р. i "

где pt - G-ичные разряды начального значения

(25)

G-ичное представление для ул имеет в составе первые п G-ичных разрядов х„, записанных в обратном порядке, продолжаемые G-ичными разрядами у0. Как непосредственно видно из приведенных решений, с ростом п разряды, отвечающие у0, оттесняются вправо разрядами х0. А компонента уп удовлетворяет уравнению линейного цифрового фильтра первого порядка, в котором роль возмущения играет (пИ)-й разряд в G-ичной записи ха:

(26)

В работе, далее, предложен и проиллюстрирован метод построения разнообразных двумерных хаотических отображений, которые имеют инвариантные равномерные распределения на плоских областях сложной формы (имеются в виду криволинейные трапеции различной конфигурации, круги, кольца и тд - области, отличающихся от «классического» квадрата). Показывается, что для построения такого отображения в некоторой области G = {{х,у) ■ a<,x<b,0< у< g(jt)} е С, нужно построить coi пасованные отображения для отдельных координат вида'

(¥>,(/=;(*„)). y^ = g(x„)<p2<.y„/g(x„)l a<x„<b,0<y„<g(xl « = 0,1,2,...

(27)

Алгоритм построения двумерного отображения начинается, согласно идее Дж Фон Неймана, либо с «навязывания» определенного инвариантного распределения для маргинального отображения (по одной из координат), либо с задания «естественного» одномерного датчика на основе общего соотношения между двумерным, одномерным и условным распределениями Последний подход может быть применен к конструированию двумерных хаотических отображений с инвариантными вероятностными распределениями, отличными от равномерного закона

На рис 6 и 7 приведены примеры "работы" двумерных отображений (27) в простой симплексной области и кольце Первое из них описывается уравнениями -индикаторная функция промежутка [а,&]):

, 1-лс, Упн = 2У.

7-^© ъМ + Ж-х.'У.)^1

1-х. 1-х,

оа

(28)

а второе - отображением х.

где

-Ч'&.ЛЙ-Л' Ли.-ЧЧ^.Л)-^V. И (29)

дс,+.У.

я.+Х.

+У!) +

(30)

■''фу1

Рис 6 Хаотическое отображение в симплексной области

Рис 7 Хаотическое отображение на кольце

В главе 6 представлены результаты статистического моделирования профилей одномерных квазипериодических структур, находящих важное применение в радиофизических и оптических устройствах различного назначения (голографических дифракционных решеток, разнообразных транспортирующих и замедляющих систем микроэлектроники и оптоэлектроники, квазипериодических структур, образующиеся на поверхности конденсированных сред и в фоточувствительных слоях под воздействием когерентного оптического излучения, объектов живой природы с решетчатой микроструктурой и т п) Прежде всего, при выяснении технологических и физических особенностей формирования таких структур выявлены моменты, способствующие случай-

ному нарушению идеального распределения профиля возмущения (трансляционной симметрии), приводящему в физическом плане к дестабилизации функциональных (рабочих) характеристик соответствующих устройств, а в контексте математического моделирования обусловливающие необходимость статистического подхода к анализу всех конструкционных (структурных) и функциональных параметров

В качестве центрального элемента предложенных моделей квазипериопериоди-ческих структур и процессов рассмотрено понятие квазипериода как экспликации понятия период В рамках спектрально-корреляционной теории случайных процессов рассчитаны основные статистические характеристики квазипериода - автокорреляционная функция и винсровский спектр В условиях вероятностной идентичности формирования всех областей квазипериодической системы названные характеристики определяются характеристической функцией длины отдельной ячейки структуры (расчеты проведены в предположении произвольности вероятностного распределения длины ячейки) Прослежено изменение характера спектра в зависимости от вида закона распределения длины ячейки и значений параметров распределения Показано, что аналогичная структура корреляционных функций и винеровских спектров сохраняется и в случае кусочно постоянной аппроксимации многокомпонентного процесса

В развитие теоретического модельного анализа квазипериодических структур в качестве второго основного элемента моделей рассмотрены профили возмущения, которые могут быть заданы различными конфигурациями Влияние структурных погрешностей отдельных участков профиля в моделях учитывается посредством случайной вариации параметров некоторого «базового» идеализированного профиля Выражения для автокорреляционной функции и винеровского спектра случайной функции, задающей профиль структуры имеют общий характер (не ориентированы на конкретный профиль)

В предположении нормального закона распределения полупериода возмущения отношение значений винеровского спектра профиля для различных значений пространственной частоты содержит зависимость лишь от двух относительных параметров, характеризующих степень отклонения реального профиля от идеальной формы - коэффициентов вариации полупериода и амплитуды профиля Это позволяет сформулировать достаточно простой алгоритм идентификации качества профиля одномерной структуры (оптического квазипериодического амплитудного транспаранта) по изучению его винеровского спектра.

В качестве конкретных моделируемых структур рассмотрены одномерные микрорельефов металлических зеркал для силовой оптики С помощью развитых модельных представлений для квазипериодических структур и процессов решен также набор задач по статистическому моделированию как технологических процессов вытяжки волоконных световодов, так и возникающих в результате этих процессов профилей показателя преломлении оптоволокна.

В главе 7 под общей "крышей" представлены статистические модели случайно-неоднородных поверхностных структур и случайно-неоднородных рассеивающих сред (с флуктуирующими параметрами) Эти модели объединяет два обстоятельства - как математического, так и физического толка Во-первых, основные вероятностные предположения, положенные в их основу, совпадают - это пуассоновский характер распределения элементов, слагающих как рельеф на плоскости автоэмиссионного катода, так и трехмерную случайно-неоднородную среду Во-вторых, согласуясь в плане математического описания, эти модели ориентированы на такую физическую посылку, как независимый (друг от друга) характер действия ансамбля случайно-неоднородных элементов Для автокатода это выражается в отсутствии взаимоэкранировки эмиттирующих элементов, а для рассеивающих сред - в

щих элементов, а для рассеивающих сред - в независимости процессов рассеяния на отдельных неоднородностях и в отсутствии многократного рассеяния ("перерассеяния") излучения (т е. в выполнении условий однократного рассеивания)22

Для обоих типов моделей выбрана своеобразная "конструкция" рельеф и рассеивающая среда формируются однотипными элементами, имеющими одну и ту же форму - цилиндров, полуэллипсоидов вращения, шаров и пр (предполагается, что геометрические параметры этих "образующих" являются случайными и в общем случае статистически зависимыми) Случайное поле в вводимых моделях задается функцией

Н{х,у,г) = На{х,у,2)+^У(х-хк,у-ук,2-2к-,вк), (31)

4-1

где #0 - изотропный базовый фон, С - функция, определяющая форму отдельной неоднородности; хк _ ук и гк- координаты характерной точки отдельной неоднородности; вк - случайный (в общем случае векторный) параметр, определяюншй конкретные размеры образующей рельефа Число слагаемых в сумме считается случайным

Можно идти по пути усложнения моделей, если рельеф или среду представлять в виде совокупности образующих различных типов Предлагаемые модели являются, по существу, анизотропными, т к явно предполагают ориентированность элементов осгрийных эмиттеров перпендикулярно подложке, а рассеивающих элемеигов выстроенных в определенном направлении

По единому сценарию для обоих типов моделей аналитически рассчитываются характеристические функционалы для случайных полей24 (поля высот автоэмиссионного рельефа и поля распределения диэлектрической проницаемости случайно-неоднородной среды), вариационные производных от этих функционалов, определяющие первые моменты случайных полей - средние значения и автокорреляционные функции как характеристики статистически однородных моделей На основе применения преобразования Фурье к выражениям для автокорреляционных функций определяются винсровские спектры рассматриваемых моделей случайно-неоднородных структур Полученные соотношения верны для произвольной формы образующей Но, естественно, обозримые результаты могут быть потучены при рассмотрении наиболее простых геометрических форм - составляющих рельефа и случайно-неоднородной среды в виде, например, цилиндров, полушаров, эллипсоидов вращения и т д

Построенная модель рельефа предлагается в качестве статистической модели матричных автоэмиссионных катодов на основе углеродных нанотрубок (УНТ), получаемых в рамках различных технологий25 (результаты также применимы для статисти-

22 Данные условия могут формироваться специально (например, путем разбавления растворов, исследования ослабленного прошедшего излучения)

23 При формировании рельефов получение ориентированных острийных эмиттеров возможно только в рамках специальных технологий В случайно-неоднородных средах подобная ситуация может возникать при наложении электрического поля (например, в случае решения задачи идентификации параметров химико-биологических структур) или естественным путем (так, кристаллы в перистых облаках выстраиваются под действием аэродинамических сил)

24 Рьгтов С М , Кравцов Ю А , Татарский В И Введение в статистическую радиофизику Ч 2 Случайные поля - М • Наука, 1978 Гл 1

Кляцкин В И Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - М Наука, 1980 Гл 1

24 Впервые в мире высокие эмиссионные характеристики УНТ были продемонстрированы сотрудниками Института радиотехники и электроники РАН, Саратовского отделения ИРЭ РАН и Института химического физики РАН (Ю В Гуляев, Н И Синицын, 3 Я Косаковская, Л А. Чернозатонский, Г В Торгашов и лр )

ческого моделирования эпитаксиального роста нитевидных кристаллов) Предварительно проведен анализ особенностей формирования эмиссионных структур, свидетельствующий о сугубо статистической их природе, проявляющейся в случайном расположении нанотрубок на подложке, в разбросе структурных параметров отдельных нанотрубок, в различной хиральности нанотрубок и, как следствие, различной электронной, в различной пространственной ориентации нанотрубок и т п

Аналитические выражения для статистических характеристик поля высот автоэмиссионного рельефа включают зависимость от плотности расположения эмиссионных центров на подложке А и моментов второго порядка случайных геометрических параметров (высот й и радиусов оснований г) острийных эмитгирующих элементов. Данные выражения принимают наиболее простой вид, если считать, что геометрические параметры острийных элементов рассматриваются как некоррелированные величины. Существенно, что в рамках сделанных предположений характеристики поля высот не содержат зависимость от пространственных координат.

Соответствующее выражение для винеровского пространственного спектра случайно-неоднородной среды также включает зависимость от статистических параметров рассеивателей Полученные результаты имеют непосредственное отношение к проблеме определения параметров структуры среды на основе интерпретации картины интенсивности рассеянного излучения (в рамках выбранной модели рассеяния), так как теоретически пространственное распределение интенсивности, формируемое методами фурье-оптики, определяется именно винеровским спектром мощности (в зависимости от пространственной частоты).

В целях апробации модели на основе скалярного волнового уравнения по схеме Ю А Кравцова26 были вычислены корреляционная функция и энергетический спектр рассеянного излучения, средняя интенсивность рассеянного ноля (с последующим обобщением результата для поперечных электромагнитных воли, распространяющихся в изотропной и недиспергирующей среде).

Содержание главы 8 составляет построение стохастических моделей электронной эмиссии полевых и термоэлектронных катодов Основные цели главы - это, во-первых, демонстрация возможностей применения марковских моделей случайных процессов к описанию и объяснению природы флуктуационных и надежностных свойств эмитгерных систем, образованных совокупность центров эмиссии, во-вторых, выявление существенной роли начальных предположений, отражающих различные физические ситуации на катоде, на математические свойства моделей, и, в-третьих, собственно нахождение точных решений вероятностных уравнений и расчет основных харакзе-ристик спектрально-корреляционной теории случайных процессов - средних, дисперсий, корреляционных функций и спектральных плотностей через микропараметры модели (интенсивности смены эмиссионных состояний) в рамках марковских моделей эмиссии, в-четвертых, получение информации для решения задач прогноза и обратных задач по наблюдаемым реализациям эмиссии и результатам их статистической обработки.

Построение вероятностных моделей эмиссионных флуктуации базируется на анализе процессов, протекающих на катоде (им посвящен начальный раздел главы) Для автоэмиттеров на основе микро- и наноострийных структур, в частности, углеродных нанотрубок, физическими реалиями являются статистическая особенность эмиссионных рельефов (этот вопрос специально выделен в седьмую главу), а также разнообразные физико-химические эффекты на поверхности и вблизи нее, включая адсорбцию

26 Рытов С М , Кравцов Ю А , Татарский В И Введение в статистическую радиофизику Ч 2 Случайные поля - М Наука, 1978 Гл 4

и десорбцию атомов вблизи центра эмиссии, дрейф атомов по поверхности, диффузию атомов из материала катода, ионизацию атомов остаточных газов вблизи эмиссионной структуры, ионную бомбардировку и т д Названные процессы приводят к стохастиза-ции величины потенциального барьера, работы выхода электронов, напряженности электрического поля вблизи эмиттирующих центров (в том числе, за счет случайного изменения их геометрии и разрушения), что, как следствие, ведет к флуктуациям и не-стабильностям автоэмиссионного тока, в том числе к известному эффекту бистабиль-ных флуктуаций тока с отдельного центра эмиссии и "мерцанию" ансамбля эмиттеров -случайному изменению числа действующих эмиссионных центров с течением времени, а также к разрушению автоэмитгерных систем.

Учет механизмов, приводящих к флуктуациям тока полевых катодов, в работе предлагается в основном (дополнительно рассмотрена модель в приближении теории восстановления) решать в рамках марковской модели рождения и гибели27 на основе системы обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей "эмиссионных состояний" катода, с которыми, как правило, соотносится число функционирующих центров эмиссии в данный момент времени или иные количественные характеристики эмиссии (например, объем эмитированного заряда)

Процесс рождения и гибели (в случайные моменты времени) центров электронной эмиссии, описываемый системой уравнений относительно вероятностей состояния

РАО'

= + + = (32)

где Я„ - интенсивность перехода эмитгерной системы из состояния п в "высшее" состояние л+1 ("рождение" нового центра эмиссии), a fin - интенсивность перехода из состяния п в "низшее" состояние п-1 ("гибель" центра эмиссии), может анализироваться в различных приближениях, касающихся-

а) предположений о степени доминантности той или иной составляющей ("рождение" или "гибель") случайного процесса (чистый процесс рождения, чистый процесс гибели смешанный процесс рождения и гибели), которые определяют соответствующий режим функционирования катодной системы (переходной процесс при подаче импульса напряжения - инерционное вовлечение в работу ансамбля центров эмиссии, активная деградация катода, динамический (и в общем случае нестационарный) процесс работы эмиттера, отражающий нестабильность эмиссии с отдельного центра и мультистабильный (ступенчатообразный) характер эмиссии с амсамбля источников электронов,

б) предположений об условии завершения процесса эмиссии (наличие поглощающего состояния, явный учет конечности процесса - прерванный процесс рождения), что отвечает физической картине полного разрушения катода, в частности, в связи с исчерпанием его эмиссионного ресурса,

в) предположений относительно инетнсивностей перехода из одного состояния в другое (линейности процесса отвечают зависимости Я, = Ли, ¡лп = ¡лп ; "однородности" процесса - ситуация Я, = Я, /Jn = Я ), что на физическом уровне трактуется как "кооперативное" и "некооперативное" функционирование центров электронной эмиссии

Расчетные результаты данной главы - аналитические (точные) соотношения для вероятностей эмиссионных состояний катода, средних и дисперсий (нестационарных и асимптотических) числа эмиссионных центров и тока, корреляционных функций и час-

27 Тихонов В И , Миронов M А Марковские процессы - M Сов радио, 1977 - 488 с

тотных и частотно-временных спектров флуктуапий числа центров эмиссии и даваемого ими тока для различных модификаций марковских процессов и процессов восстановления Рассмотренные разновидности марковских моделей флуктуаций тока автоэмиссии дают для спектра флуктуаций частотные зависимости типа лоренциана 5((о) -1 /(Л2 + от), где А - некоторый параметр, выражающийся через микропараметры модели, или зависимости 5(<о) ~ со1 Так, винеровский спектр флуктуаций числа центров эмиссии и полного тока в общей схеме рождения и гибели центров эмиссии даются выражениями

5„(<М)+ " ■ = (33)

п 2 а

где ЛГ0 - среднее число центров эмиссии в начальный момент времени, /0 - средний ток с одного эмиссионного центра В случае примерного равенства интенсивностей рождения и гибели центров эмиссии, когда процесс становится стационарным, эти соотношения "схватывают" одну любопытную, реально наблюдавшуюся (Р 3 Бахтизин, С С Гоц) ситуацию, которая отвечает участку вольт-амперной характеристики катода в зоне отклонения процесса от поведения, предсказываемого теорией Фаулера-Нордгейма

В этой же главе рассматривается одно из обобщений формулы Шотгки для дробовых шумов термоэлектронного эмиттера28 Теория Шотгки базируется на идеализированном предположении о бесконечности эмиссионного ресурса катода. Естественно, к изменению формулы Шотгки приводят и предположения об отклонении потока эмитируемых электронов от пуассоновского Если же детально рассматривать (это имеет особое значение и в чисто теоретико-методическом плане) корректировки, явным образом учитывающие конечность эмиссионного ресурса, то в лом случае происходит коренное изменение формата модели' ток эмиссии следует рассматривать как сугубо нестационарный случайный процесс. Определены эмиссионные, флуктуационные и надежностные характеристики для этой модели В частности, показано, что время жизни катода с ограниченным эмиссионным ресурсом описывается распределением Эрланга. Получены асимптотические выражения для функции распределения времени жизни катода (при различных соотношениях параметров модели - интенсивности эмиссии н общего ее ресурса) Найдено условие, при котором распределение времени жизни аппроксимируется нормальным распределением.

В практическом отношении интересен тот момент, что средний ток эмиссии и нестационарная корреляционная функция тока связаны с характеристиками надежности катода (вероятностными законами для времени жизни, функцией надежности) Эта связь, установленная в рамках рассматриваемой модели, может служить основой методики прогнозирования эмиссионных отказов в электровакуумных приборах по измерению эмиссионных и флуктуационных характеристик В частности, показано, что по двум измерениям нормированного тока, могут быть получены оценки для среднего времени жизни катода и дисперсии времени жизни. А далее, рассматривая эти величины как параметры нормального распределения, можно оценить и среднее ожидаемое время жизни катода после определенного уровня наработки и интенсивность отказов катода.

Под "занавес" главы построены оригинальные итерационные алгоритмы моделирования диффузионных процессов, основанных на броуновском движении в

2* Эта же модель переформулирована и для описания процесса включения в работу автоэмит-терной системы под импульсным действием

форме линейных авторегрессионных уравнений первого порядка (входное возмущение - дискретный белый гауссовский шум). Эти уравнения допускают переход к соответствующим математически корректным стохастическим дифференциальным уравнениям, содержащим стохастические дифференциалы от винеровского процесса Сформулировано, в частности, каузальное авторегрессионное уравнение для броуновского моста (процесс отличается от винеровского процесса закреплением значений в граничных точках) Данное изменение пачальных условий существенно меняет итерационный алгоритм В этой связи отмечено, что описанный в литературе метод срединного смещения для моделирования стандартного броуновского движения на самом деле является методом моделирования именно броуновского моста

В главе 9 осуществлено применение математического арсенала марковских процессов к одной из проблем современной экологии - моделированию процесса кумуляции вредных агентов (в частности, пестицидов) организмом человека и теплокровных животных. Вероятностное аналитическое решение задачи этой задачи проведено в следующих направлениях Предложено (на основе принятой в токсикологии многокамерной модели кинетики чужеродного агента в организме) стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка для описания уровня содержания вредного вещества в организме человека, моделирующее организм как линейную нестационарную апериодическую систему первого порядка по отношению к данному случайному воздействию. Найдена импульсная переходная функция этой системы, допускающая в асимптотическом рассмотрении (при наличии стационарности процесса поступления агентов в организм) наличие установившегося режима содержания пестицидов

Рассмотрены модели динамики поступления чужеродных агентов в организм человека на базе управляющих пуассоновских потоков с конечной и бесконечной скоростями инъекции Определены законы распределения и статистические моменты для случайных функций, аппроксимирующих процесс инъекции Приведены интегральные преобразования, связывающие статистические характеристики уровня накопления чужеродного агента в организме со статистическими характеристиками входного процесса. Детально исследовано вероятностное поведение процесса удержания в организме чужеродных агентов в рамках модели с бесконечной скоростью их ввода Определены математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция накопленной дозы вещества как в "переходном" (на начальном этапе контактов), так и в установившемся "стационарном" режимах Проведено решение интегродифференциального уравнения Колмогорова - Феллера относительно плотностей вероятности (одномерной и переходной) для рассматриваемого одномерного дискретно-непрерывного процесса Рассмотрено (в асимптотическом приближении) решение обобщенного уравнения Фоккера -Планка - Колмогорова для смешанного процесса контактов с чужеродными агентами с учетом конечности скорости инъекции.

Найденные соотношения позволяют для различных значений параметров механизмов выведения чужеродных веществ и при различной степени интенсивности контактов и получаемой дозы оценить средний уровень накопления чужеродных агентов, соотнести его с допустимыми уровнями, оценить динамику вхождения организма в "стационарный" режим и разброс в уровнях накопления

На основе анализа литературных источников по содержанию пестицидов в организме животных и человека проводится верификация предложенной модели

В итоговом заключении к диссертации формулируются основные выводы и результаты диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Для теоретического изучения и модельных приложений целесообразно выделить два класса "соподчиненных" друг другу хаотических отображений - базовых (с равномерным инвариантным распределением) и сопряженных, связанных с базовыми эндоморфизмами обратимыми заменами переменной Точные решения для одного из сопряженных отображений эффективно помогают определить соответствующие точные решения и для другого - траекторные характеристики (неподвижные точки, циклы), показатель Ляпунова, собственные числа и собственные функции оператора Перрона - Фробениуса, автокорреляционные функции орбит (при условии знания разложения независимой переменной в ряд по собственным функциям оператора и соответствующих этим функциям собственных чисел) Знание точных решений помогает корректно описывать на фундаментальном уровне эргодические и перемешивающие свойства отображений

Наиболее "благодатными" (с точки зрения наличия точных решений) являются базовые кусочно-линейные отображения с полными ветвями, переводящими подынтервал своего задания на полный (единичный) интервал и имеющими равные по абсолютной величине тангенсы углов наклона Эти отображения замечательны тем, что возможность точного решения сохраняется при всевозможном их "тиражировании" в форме разнообразных композиций Для определения полиномиальных (целых) собственных функций и чисел эволюционных операторов таких отображений возможно построение специальных производящих функций, в компактном, "архивном" виде содержащих решение задачи на собственные значения, которое "раскрывается" в результате действия на эту производящую функцию соответствующего оператора Перрона-Фробениуса Названная производящая функция для данного класса кусочно-линейных отображений является линейной комбинацией производящих функций для полных, неортогональных систем полиномов Бернулли и Эйлера Знания собственных функций и собственных чисел помогает кардинально решить проблему установления равновесного состояния в таких системах при произвольном начальном условии - вероятностном распределении стартового значения отображения (в том числе, посредством представления начального распределения в ряд по комбинированной системе полиномов Бернулли и Эйлера), вычислить автокорреляционные функции для траекторий и всех наблюдаемых, связанных с этими траекториями

2 С каждым базовым эндоморфизмом можно связать разнообразные (по вероятностным характеристикам и структуре отображения) сопряженные хаотические отображения Условие рационального представления, непрерывности, единого аналитического задания для всех ветвей отображения накладывает определенные требования на >» сопрягающий изоморфизм' он должен бьгть представлен монотонной ветвью периодической или эллиптической функции В последнем случае возможно появление отображений, генерирующих хаос для некоторой области непрерывного изменения параметра

От вида изоморфизма зависит и фазовое пространство нового отображения - оно может быть "переведено" не только на произвольный отрезок, но и на всю числовую ось Инвариантность показателя Ляпунова для сопряженных отображений предопределяет появление топологических "клонов" (таковыми могут быть и разнообразные эргодические отображения с нулевым показателем Ляпунова, порожденные дробно-линейными отображениями). Возможна противоположная ситуация отображения с одним и тем же инвариантным распределением могут быть реализованы на базе различных базовых эндоморфизмов (определяющим для вида инвариантной плотности является вид сопрягающего изоморфизма), в связи с чем анализ и синтез хаотических датчиков псевдо-

случайных числовых последовательностей требует определенной априорной информации, касающихся числа ветвей, значения показателя Ляпунова, структуры собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса, вида автокорреляционной функции орбит и т п Один из результатов, давая эффективный алгоритм расчета корреляционных функций траекторных решений для сопряженных отображений, четко подчеркивает значимость решения спектральных задач для операторов Перрона-Фробениуса при исследовании и синтезе разностных уравнений первого порядка (хаотических отображений) асимптотические и корреляционные свойства решений и наблюдаемых (вдоль траекторий) определяются собственными числами и собственными функциями этого оператора

3 Отображение и задача Гаусса - это тот "оселок", на котором оттачивают свое умение математики и физики вот уже на протяжении 200 лет, решая, в частности, задачу о расцеплении корреляций траекторий этого отображения Отображение Гаусса имеет интересные применения и в хаотических однородных анизотропных моделях ранней эволюции Вселенной

Прямой аналитический расчет совместных асимптотических вероятностных распределений для коэффициентов цепной дроби на основе формальной связи между совместными, маргинальными и условными распределениями (последние носят вырожденный характер) приводит к результату, имеющую наглядную метрическую трактовку - совместное распределение т коэффициентов непрерывной дроби определяется мерой Гаусса интервала, границей которого являются точки разрыва от-кратной композиции гауссова отображения Результаты демонстрируют вероятностную зависимость коэффициентов, но все законы распределения оказываются инвариантными относительно сдвига в последовательности коэффициентов' совокупность коэффициентов А,,Аг,.Ат имеет точно такое же распределение, как и набор коэффициентов 4,,, , ^, Ат^ (для любых т и к) На основе тех же формул возможно получение распределения и для совершенно неупорядоченных (требуется лишь возрастание по номерам) коэффициентов цепной дроби - достаточно лишь просуммировать выражения, входящие в формулы, по всем значениям "выводимых" из последовательности коэффициентов Результаты автоматически могут быть использованы для исчерпывающей вероятностной характеристики длин казнеровских эпох, вводимых при периодизации процесса эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна.

При разложении инвариантного распределения Гаусса по полиномам Бернулли выяснилось, что наиболее существенным для него является линейная аппроксимация Аналитический и численный расчеты показателя Ляпунова в контексте взаимной их верификации устранили встречавшиеся ранее некорректности.

Преобразованием переменной отображение Гаусса может быть трансформировано в сопряженные ему отображения Наиболее интересными из них являются' отображение на положительном полуинтервале, инвариантная плотность которого характеризует одномерное распределение коэффициентов непрерывной дроби, и отображение со счетным число ветвей, генерирующее на единичном интервале равномерное распределение Имя Гаусса может быть соотнесено с теорией детерминированного хаоса и в дополнительном контексте' изоморфизмы, построенные на основе лемникастных функций Гаусса "дают жизнь" повым одномерным хаотическим отображениям

4 Хаотические отображение Реньи является "генератором" кусочно-линейных отображений, обладающих кусочно-постоянными инвариантными плотностями на единичном интервале Единственным отображением, дающим двухступенчатое распределение Реньи, является отображение с коэффициентом, равным большему числу Фидия (Ф-отображение) Существуют три значения параметра отображения, когда инвариант-

ная плотность "расслаивается" уже на три ступеньки В этой связи можно говорить, что существует принципиальная возможность задания кусочно-линейных отображений с инвариантной плотностью, вид которой априорно известен - кусочно-постоянная функция Вариация единственного параметра отображения приводит к смене числа ступенек в инвариантном законе Собственными функциями Ф-отображения являются кусочно-степенные функции, терпящие разрыв в точке золотого сечения, а собственными числами - знакопеременные отрицательные степени параметра отображения Аналогичной структурой обладают собственные числа и собственные функции базового эндоморфизма (для Ф-отображения), получаемого кусочно-линейной заменой переменной переменных из Ф-отображения (из точки золотого сечения Ф"' = (V?-1)/2 = 0.618 точка разрыва для базового отображения смещается в точку 1/(1 + Ф"2) = 0.724.

5. Целенаправленное успешное прикладное использование хаотических отображений возможно при условии детального знания разнообразных их особенностей. В работе недиссипативное отображение пекаря интерпретируется как цифровой фильтр, а именно: уравнение «сжимающей» координаты отображения в любой из своих модификаций - это уравнение для выходного сигнала дискретного устойчивого, каузального, обратимого фильтра, на входе которого действует случайная последовательность в форме О-ичных (инвертированных О-ичных, если речь идет об отображении с коэффициентом О) разрядов начального значения х0 Этот фильтр описывается линейной авторегрессионной моделью первого порядка В асимптотике эта модель обладает свойством «забывчивости» по отношению к начальному значению «сжимающей» координаты у0.

Построение двумерных отображений основано на самосогласованных преобразовании двух координат, причем вид преобразования одной из них можно задать, следуя методу Дж. Фон Неймана, либо исходя из свойств совместного распределения. Развитые приемы построения двумерных хаотических отображений открывают перспективу построения хаотических отображений, определенных на трехмерных (многомерных) областях

6 Если различные профили одномерных квазипериодических структур моделировать в рамках полумарковских процессов восстановления, но интерпретируемых в пространственной "развертке", можно получить вероятностное описание квазипериодических структур в терминах различных вероятностных распределений "квазипериода" как одной из основных характеристик периодической структуры с нарушенной трансляционной симметрией (считается, что коэффициент вариации параметров не превышает единицы) Учитывая влияние структурных погрешностей в пределах "квазипериода" как случайную вариацию некоторого «базового» идеализированного профиля, можно получить аналитические выражения для автокорреляционной функции и винеровского спектра случайной функции, задающей профиль структуры, которое содержит информацию о усредненных числовых характеристиках отклонений от идеального профиля.

7. Автоэмиссионные структуры имеют сложный статистический характер И это прежде всего связано, видимо, с тем, что процесс формирования эмиссионной поверхности в различных частях подложки не происходит в идентичных физических условиях Геометрические и физические особенности отдельных эмиссионных центров не могут не приводить к разбросу эмиссионных, шумовых и надежностных характеристик этих центров Так, от геометрии и плотности острий зависит коэффициент усиления

электрического поля близи эмитгируюишх осгрий, число эмиттирующих центров (площадь эмиттирующей поверхности), степень взаимной экранировки системы элементарных эмиттеров Кроме того, структурные особенности нанотрубок, наличие примесей и дефектов оказывает влияние на их электронные характеристики (работу выхода электронов, проводимость) Таким образом, математические модели автоэмиттеров должны как обязательный компонент включать в себя и вероятностное описание структурных и функциональных характеристик В данной работе представлена достаточно простая модель эмиссионной структуры, предпола! ающая "однонаправленность" и "однообразность" геометрической формы эмитирующих осгрий Обобщающая вероятностная характеристика структуры - характеристический функционал поля высот и его статистические моменты вкшочаег параметры индивидуальных эмиттеров и плотность их расположения на подложке

Аналогичную структуру имеет и характеристический функционал трехмерной случайно-неоднородной среды, представляемой в виде композиции изотропного "фона" и случайных флуктуаций в форме образований некоторой фиксированной формы, но со случайными местоположением и (в общем случае) ориентацией, а также со случайными геометрическими параметрами. Характеристические размеры рассеивающих элементов, их плотность входят в выражение для автокорреляционной функции и вине-ровско! о спектра такой структуры (результаты конкретизированы для однонаправленной системы рассеивающих элементов)

8 Моделирование конкретных флуктуационных и деградационных явлений в нолевой и термоэлектронной эмиссии основано на корректном соотнесении модельных предположений с размеченным с графом состояний соответствующей дискретной марковской модели (системы уравнений Колмогорова), включая определение общей длительности процесса и характера смены эмиссионных состояний, связанного с заданием интенсивностей переходов, а также предположение о наличии "особых" эмиссионных состояний Найденные вероятности состояний эмиссионной системы определяют вид ее флуктуационных и надежностных характеристик в рамках каждой конкретной модели (бистабильные флуктуации, флуктуации тока с массива эмиттеров, деградационные явления и т п) Функция надежности работы эмиттера также выражается через решения модельных уравнений Как правило, получаемые модели являются нестационарными (в частности, модификация модели Шоттки для дробового шума, получаемая при априорном предположении конечности эмиссионного ресурса катода) Стационарная модель возникает в предположении равенства интенсивностей процессов рождения и гибели эмиссионных ценгров, отражая экспериментально наблюдаемую ситуацию Общим качественным результатом для рассмотренных разновидностей моделей случайных нестабильностсй тока авюэмиссии является проявление "генетического", видимо, свойства всех марковских моделей - давать для винеровского спектра флуктуаций частотные зависимости типа лоренциана

9 Применение марковских моделей к исследованию процессов контактов организма человека с чужеродными веществами позволило сформулировать "работоспособные" аналитические соотношения, дающие возможность оценивать динамику процесса накопления организмом вредных агентов и рассчитывать числовые характеристики этого процесса - средний уровень накопленного агента и дисперсию при различных "режимах" контакта организма с чужеродными веществами Особенностью модели накопления является существование уровня насыщения, который в действтельности характерен для организмов животного и растительного происхождения

К»С НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА ! С(1етср#ург ! __ф| ж и» ?

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Голубенцев А.Ф, Аникин В M, Клименко В Г Статистические модели квазирегулярных радиофизических и оптических структур Саратов Изд-воСарат ун-та, 1991 -116с

2 Голубенцев А Ф, Аникин В M , Клименко В Г Математические модели контактов человека с вредными агентами Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1990 - 32 с

3 Голубенцев А.Ф , Аникин В M Задачи Бюффона Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 - 80 с

4 Голубенцев А Ф , Аникин В M Математические модели кумуляции чужеродных веществ в организме Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2002 - 36 с.

5 Аникин В M Детерминированный хаос и эволюция Вселенной / Нелинейная динамика Земли' сферы и структуры самоорганизации Самсонов В В, Аникин В M, Худяков Г И и др Саратов* ЭМОС. 2005 С. 35-56.

6 Голубенцев А.Ф , Аникин В M , Денисов Ю И Статистические хара!сгеристики замедляющей системы со случайными нарушениями периодичности структуры // Известия вузов - Радиофизика 1982 Т 25 №3 С 322-327

7 Голубенцев А Ф , Аникин В M, Денисов Ю И Статистический анализ рельефов, образованных системами моноориентированных нитевидных кристаллов и глобул // Поверхность Физика, химия, механика. 1983 № 1.С 145-147.

8 Голубенцев А.Ф, Аникин В M , Денисов Ю И О статистическом описании оптических волокон со случайными флуктуациями параметров распределения показателя преломления // Оптика и спектроскопия 1984 Т 56 Вып 5 С 974-975

9 Goloubentsev A F and Amkin V M The Explicit Solutions of Frobenius - Perron Equation for the Chaotic Infinite Maps//Int J Bifurcation and Chaos 1998 Vol.8 N 5. P 1049-1051

10 Голубенцев А.Ф , Аникин В M , Богомолов AB Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника 2000 №2 С 38-41

11 Голубенцев А Ф , Аникин В M , Аркадакский С С О некоторых свойствах оператора Фробениуса -Перрона для сдвигов Бернулли И Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика 2000 Т 8 № 2 С. 67 - 73

12 Голубенцев А Ф , Аникин В M Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2000 Т 8 № 3 С 50-58

J 3 Anikin V M , Goloubentsev A F Statistical models of fluctuation phenomena m field emission // Solid State Electronics 2001 Vol 45/6 P 865-869

14 Голубенцев А.Ф, Аникин В M., Барулина Ю А Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника 2002 № 1 С 39-42

15 Аникин В M , Голубенцев А Ф Статистические модели эмиссионных флуктуации и надежности ав-тоэмитгерных систем // Радиотехника 2003 № 2 С 55-60

16. Anikm V M , ßarulina Vu A, and Goloubentsev A F Regression equations modeling diffusion processes // Applied Surface Science 15 June 2003 Volume/Issue 215/1-4 Pp 185-190

17. (Голубенцев А.Ф J Аникин В M Евклид, Гаусс и детерминированный хаос // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2003 Т 3 Вып 2 С 166-176

18 [I олубенцев А Ф J Аникин В.М, Ноянова CA Модификации отображения пекаря особенности асимптотического поведения // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика 2004 Т 12 №3 С. 45-57._

19 [Голубенцев А Ф Аникин В M Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений // Изв вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2005 Т 13 № 1

20 Аникин В M Статистическое описание автоэмиссионных рельефов // Радиотехника 2005 № 4 С

26-30_

21 {Голубенцев АФ[ Аникин В M О хаотической модели ранней эволюции Вселенной И Радиотехника 2005 №4 С 50-55

22 Аникин В M , Ноянова С А Двумерные хаотические отображения // Радиотехника 2005 №4 С 6370

23 Аникин В M , Аркадакский С С Кусочно-линейные отображения с неравномерным инвариантным распределением // Радиотехника 2005 № 4 С 78-85

24 Аникин В M К статистике эмиссионных свойств многоострийных автоэлектронных катодов // Вопросы электроники СВЧ Межвуз науч сб Вып 14 Моделирование физических процессов / Отв ред Д.И Трубецков Саратов Изд-воСарат ун-та, 1985 С 3-8

25 Аникин В M, Герштейн Е Г Асимптотический анализ одного профильтрованного пуассоновского процесса // Вопросы электроники СВЧ Меж вуз науч сб Вып 14 Моделирование физических процессов / Отв ред.ДИ Трубецков Саратов Изд-воСарат ун-та, 1985 С 46-49

26 Аникин В M Динамические статистические модели эмиссии много остр ийного а втоэле ктро иного катода // Вопросы электроники СВЧ Межвуз науч сб Вып 15 Флуктуации в физических системах / Отв ред Д И Трубецков Саратов* Изд-во Сарат ун-та, 1985 С 46-49

27 Аникин В M Статистический анализ автоэмиссии многоострийного катода с учетом микрошероховатостей эмиттирующей поверхности // Вопросы электроники СВЧ Межвуз науч сб Вып 16 Спектральные характеристики физических систем / Отв ред Д И Трубецков Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1985 С 3-8

28 Аникин В M О внутренней координации в двумерных моделях сплошных сред // Вопросы электроники СВЧ Межвуз науч сб Вып 17 Нерегулярные физические структуры / Отв ред ДИ Трубецков Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1985 Вып 17 С 7-12-8

29 Аникин В M , Гольдман С Ю, Минкин JIM О коэффициенте усиления УОВМ с неоднородной замедляющей системой // Вопросы электроники СВЧ Межвуз науч сб Вып 17 Нерегулярные физические структуры / Отв ред ДИ Трубецков Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1985 С 27-32

30 Голубенцев А Ф , Аникин В M , Герштейн Е Г Моделирование накопления пестицидов в организме человека Н Современные вопросы гигиены села* Сб науч трудов M НИИ гигиены им Ф Ф Эрис-мана 1985. С 43-46.

31 Аникин В M , Голубенцев А Ф, Рудченко А В Вннеровский спектр радиуса кварцевого волоконного световода, подвергнувшегося при вытяжке действию тепловых ударов // Методы и системы технической диагностики Математическое и физическое моделирование в электронике и радиофизике Межвуз науч сб Вып 11 Математическое и физическое моделирование в электронике и радиофизике Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1988 С 31-33.

32 Аникин В M , Голубенцев А Ф , Рудченко А В Алгоритм и компоненты аппаратурной реализации неразрушающей диагностики качества квазипериодических структур // Методы и системы технической диагностики Математическое и физическое моделирование в электронике и радиофизике Межвут науч сб Вып 11 Математическое и физическое моделирование в электронике и радиофизике Саратов1 Изд-во Сарат ун-та, 1988 С 45-46

33 Аникин В M , Голубенцев А Ф, Малоземов Ю А Об асимптотическом поведении цифрового синус-по - косинусного генератора // Там же С 1И

34 Аникин В M, Голубенцев А Ф О статистическом описании рельефов кяазипериоднческих радиофизических и оптических структур И Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1989 Т 1 С 3-12

35 Аникин В M , Голубенцев А Ф О спектре флуктуаций авто эмиссионного тока // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб Саратов Изд -во Сарат ун-та, 1989 Т 1 С 73-78

36 Аникин В M Об отклике зоны перетяжки волоконного световода на шумовые составляющие температуры нагревателя // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб Саратоа Изд.-во Сарат ун-та, 1989 Т 2 С 24-30

37 Аникин В M, Голубенцев А Ф Контроль параметров распределения коэффициента пропускания оптического транспаранта // Там же С 73-78

38 Аникин В M , Голубенцев А Ф Статистические модели и диагностика случайно нерегулярных дифракционных структур // Волны и дифракция M Физическое общество СССР, 1990 Т 2 С 322-324

39 Goloubentsev A F and Amkin V M Markov models of emission distortions for matnx cathodes // Revue "Le Vide, les Couches Mmces"-Supplément au №271, Mars-Avril 1994 Pans 1994, p 147-150

40 Anikin V M , and Goloubentsev A.F Theoretical Modeling Inhomogeneous Field Emission Area II The 9й International Vacuum Microelectronics Conference (IVMC96). St Petersburg, Russia, July 19% Technical Digest P 102 - 106

41 Аникин В M , Голубенцев А Ф Моделирование бистабильных флуктуаций полевой эмиссии // Вопросы прикладной физики Межвузовский научный сборник Саратов Изд-воСарат ун-та, 1997 ТЗ

С. 5-8

42 Аникин В M , Голубенцев А Ф Марковская модель отклика авто эмиссионной системы // Там же С 8-9

43 Anikin V M , and Goloubentsev A ¥ Statistical Model of Bistable Fluctuations ш Field Emission // The 10th lnt Vacuum Microelectronics Conference (IVMC97) Kyongfu, Korea, Aug 17-21, 1997 Technical Digest P 362-366

44 Аникин В M , Голубенцев А Ф Модели надежное си полевых шиттсрных систем // Актуальные проблемы электронного приборостроения Материалы международной научно-технической конференция Саратов изд-во СГТУ, 1998 Ч 3 С 3-6

45 Голубенцев А Ф , Аникин В М , Ар кала кс кий С С Хаотические отображения для усеченных статистических распределений // Вопросы прикладной физики* Межвузовский научный сборник. Саратов, изд-во Сарат ун-та, 1998 Вып 4 С 26-29

46 Голубенцев А Ф , Аникин В М Инвариантные меры для хаотических разностных уравнений с точными решениями // Там же, с 29-31

47 Голубенцев А Ф , Арка дакский С С, Аникин В М Дробно-линейное хаотическое отображение // Там же, с 32-33

48 Аникин В М , Голубенцев А Ф Марковские модели флуктуации полевой эмиссии Я Там же, с 33-36

49 Ашкш V М , Goloubentsev A F On the Spectrum of Fluctuations in the Field Emission // Proceedings of the Int University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies" (UHF'99) St Petersburg, Russia May 24-28,1999 Edited by GG Sominski St Petersburg SPbSTU, 1999, pp 304-306

50 Anikin V M , Goloubentsev A F A Nonmarkovian Model of the Multistabte Fluctuations m the Field Emission//The 2nd tot Workshop on Vacuum Microelectronics, July 11-13, 1999 Wroclaw, Poland, of The 12th Int Vacuum Microelectronics Conference (IVMC99), July 6-9, 1999, Darmstadt, Germany

51 Голубенцев АФ, Аникин BM, Аркадакский С С Сопряженные хаотические отображения построение, траекторные, вероятностные и спектральные характеристики // Проблемы современной физики К 90-летию Саратовского государственного университета и 40-летию сотрудничества ОИЯИ -СГУ/Подред АН Сисакяна и Д.И Трубецкова Дубна, ОИЯИ, 2000 С 172-179

52 Голубенцев АФ, Аникин В М Эволюционные уравнения для хаотических отображений в форме полиномов Чебышбва // Вопросы прикладной физики Межвузовский научный сб Саратов* Изд-во Сарат ун-та 1999 Вып. 5 С 48- 49.

53 Голубенцев А Ф, Аникин В М , Аркадакский С С Операторы Фробениуса - Перрона для сопряженных хаотических отображений // Там же С 50-52.

54 Голубенцев А Ф, Аникин В М Хаотические отображения с инвариантными законами распределения в форме эллиптических интегралов Л Там же С 53- 55

55 Голубенцев АФ , Аникин В М , Ноянова С А Двумерные эргодические отображения сложных областей // Там же С 56-57.

56 Goloubentsev A.F, Anikin V М , and Arkadaksky S S Ergodic Maps with Lyapunov Exponent Equal to Zero //2000 2nd International Conference "Control of Oscillation and Chaos" Proceedings /Edited by F L Chernousko and A L Fradkov. S -Petersburg V 1 P 44 - 47

57 Goloubentsev A F, Anikin V M , and Arkadaksky S S On the Convergence of Nonstationaiy Solutions of the Frobemus - Perron Equations to the Invariant density // Ibid P 142 - 143

58 Goloubentsev A F, Anikm V M, and Noyanova S A Two-Dimensional Ergodic Maps* New Examples // Ibid P 144 - 145

59 Anikm V M , Goloubentsev AF, and Tuchin V V Statistical model of 3D scattering medium generated by random pulse proccss //Proc SPIE Vol 3915 Coherence Domain Optical Methods in Biomedical Scicnce and Clinical Application IV VaJery V Tuchin, Joseph A Izatt, James G Fujimoto, Eds 4/2000 Pp 263265

60 Anikin V M , Goloubentsev A F , and Tuchin V V Statistical characteristics of optical response of random medium with cylindrical scatterers // Proc SPIF Vol 4224 Biomedical Photonics and Optoelectronics Imagine Hong Liu, Qingmmg Luo, Eds 10/2000 P 331-334

61 Голубенцев А Ф , Аникин В M , Барулина Ю А Спектральные задачи для хаотических отображений с инвариантными экспоненциальными распределениями // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2000 Т 6 С 27-31

62 Голубенцев А Ф, Аникин В М, Барулина Ю А О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения // Там же, с 33-35

63 Голубенцев А Ф , Аникин В М Аркадакский С С Об источниках многозначности обратной задачи для уравнения Фробеннуса-Перрона // Там же, с 35-37

64 Anikm V М , Goloubentsev A F Statistical models of Fluctuation Phenomena in Field Emission I, II// Актуальные проблемы электронного приборостроения Материалы международной научно-технической конференции Саратов, 20-22 сентября 2000 Саратов СГТУ,2000 С 245-252

65 Anikin V М , Goloubentsev A F Statistical Model of Random Medium with Cylindrical scatterers // Вопросы прикладной физики Межвузовский научный сборник Саратов изд-во Сарат ун-та, 2001 Т 7 С 60-62

66 Goloubentsev A F , Anikin V М On the Modeling of the Scattering Medium by a Random Pulse Process // Там же С 72-74

67 Голубенцев А Ф , Аникин В М , Барулина Ю А Формула Эйлера-Маклорена в теории детерминированного хаоса // Там же С 74-76

f

68 Аникин В М , Голубенцев А Ф Загрязнение окружающей среды диоксинами обоснование выбора математической модели // В кн Сфера экологии человека факторы риска и математические модели / Под ред проф В Б Самсонова и доц В М Аникина Саратов изд-во Сарат ун-та, 2002 С 28-35

69 Anikin V М , Barulina Yu A., Goloubentsev AF On difference Schemes and Dynamical Systems Corresponding to Fluctuation Phenomena // The Fourth International Vacuum Electron Sources Conference Saratov, July 15-19, 2002 Саратов Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002 -415с ISBN 5-994-0154

70 Голубенцев А Ф , Аникин В М Барулина Ю А К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций // Моделирование Сб науч статей / Под ред проф Б Б Железовского Саратов Исток-С, 2002 С 24-30.

71 Голубенцев А.Ф, Аникин В М, Барулина Ю А. О моделировании случайных процессов, основанных на броуновском движении // Там же С 31-37

72 Голубенцев А Ф, Аникин В М , Барулина Ю А Автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб - Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2002 Вып 9 С 72-74

73 Goloubentsev A F , Amktn V М , Barulina Y A Difference Scheme with Instant Transition from Order to Chaos // International Conference "Physics and Control" Proceedings Saint Petersburg, Russia, August 2022,2003 P 446-451.

74 Goloubentsev A F , Anikin V M , Barulina Y A Chaotic Maps Generating White Noise // Ibid P 452-455

75 Goloubentsev A F, An (km V M , Noyanova S A., Barulina Y A Baker Transformation as Autoregression System // Ibid P 654-656

76 Amkm V M , (Goloubentsev A F | Analysis of biological chaotic rythmes // Proc SPIE Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics / V V Tuchin, Ed. 2004 V 5330 P 167-177

77 [Голубенцев А Ф , [ Аникин В M Модифицированная задача Гаусса // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2004 Т 11 Памяти А Ф Голубенцева / Под ред ЮВ Гуляева, ИИ Синицына, В М Аникина С 41-50

78 [ олубенцевА Ф}, В М Аникин В М, Барулина Ю А. Собственные функции эволюционного оператора Ф - отображения / Там же С 50-60

79 (Голубенцев А Ф-J, В М Аникин В М, Ноянова С А Обобщенное отображение пекаря как цифровой фильтр/Там же С 61-65

80 Аникин В М Статистическая модель автоэмитгера на основе ориентированных углеродных нанот-рубок / Там же С 93-99

81 АникинВМ НояноваСА Хаотические отображения на плоскости/Там же С 177-184

82 Аникин В М , Барулина Ю А Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением, топологически эквивалентное Ф-отображению / Там же С 201-210

83 Аникин В М , Аркадакский С С Одномерные хаотические отображения с кусочно-постоянными вероятностными инвариантными плотностями / Там же С 211-218

84 Anikin V М, Arkadaksky S.S , Remizov A S Operator description of maps providing chaotic rythmes // Proc SPIE 2005 V 5696 Complex Dynamics and Fluctuations m Biomedical Photonics II Valery V Tuchin, Ed Pp 144-150

АНИКИН Валерий Михайлович

МАРКОВСКИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКИХ И ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СТРУКТУР

Автореферат

Лицензия ЛР № 020773 от 15 05 98 Подписано к печати 8 07 2005 Формат 60x84 1/16 Бумага "Svetocopy" Гарнитура Times Уел Печ. Л 2,32 (2,5) Тираж 120 экз Заказ 362

Издательство ГосУНЦ "Колледж" 410012, г Саратов, ул Астраханская, 83

и £083

РНБ Русский фонд

2006-4 12179

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ 1. ВЕРОЯТНОСТНО-ОПЕРАТОРНОЕ

ОПИСАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОРОВ

БАЗОВЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ

Введение

1.1. Одномерные хаотические отображения: принимаемые терминология и определения

1.1.1. Эндоморфизмы как хаотические динамические системы

1.1.2. Свойства итеративной функции, определяющие хаотичность одномерного отображения

1.1.3. Хаотические отображения с точными решениями

1.1.4. Оператор Перрона-Фробениуса

1.1.5. Основные свойства марковских операторов и операторов Перрона-Фробениуса

1.1.6. Спектральные характеристики оператора

Перрона-Фробениуса. Сопряженный оператор Купмана

1.2. Представление решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса через производящие функции банаховы и гильбертовы пространства)

1.2.1. Некоторые общие характеристики симметричных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями

1.2.2. Операторы Перрона-Фробениуса для кусочно-линейных отображений с различным числом ветвей

1.2.3. Общее определение производящей функции для полиномиальных собственных функций трансфер-оператора

1.2.4. Производящая функция для системы полиномов Бернулли как архив полиномиальных собственных функций трансфер-оператора для сдвигов Бернулли

1.2.5. Производящие функции собственных функций трансфер-операторов симметричных кусочно-линейных отображений

1.3. Формулы Эйлера-Маклорена в теории детерминированного хаоса

1.3.1. Символический вывод обобщений формулы Эйлера-Маклорена

1.3.2. Оценка скорости перемешивания на основе формулы Эйлера-Маклорена

1.3.3. Формула Эйлера-Маклорена и собственные функции оператора Купмана

1.4. Аналитический расчет автокорреляционной функции орбит и корреляционных функций наблюдаемых

1.4.1. Автокорреляционные функции орбит симметричных отображений

1.4.2. Корреляционные функции наблюдаемых

1.4.3. Метод неопределенных коэффициентов для определения конечного числа собственных функций эволюционного оператора

2.1. Периодические функции как сопрягающие изоморфизмы 122

2.2. Полиномы Чебышева первого рода как хаотические отображения 130

2.2.1. Сопряжение полиномов Чебышева с кусочно-линейными отображениями 130

2.2.2. Связь с (логистическим) отображением Улама-фон Неймана 132

2.2.3. Кубическое хаотическое отображение и его применение к моделированию процесса инвестиций 133

2.2.4. Оценка скорости установления инвариантного распределения 134

2.3. Определение инвариантной плотности сопряженного отображения на основе точного траекторного решения 136

2.4. Отображения, генерирующие хаос для непрерывной области изменения параметра 137

2.4.1. Сопряжение на основе эллиптического синуса Якоби 138

2.4.2. Сопряжение на основе эллиптического косинуса Якоби 142

2.4.3. Сопряжение на основе эллиптической функции dn(x,A:) 146

2.5. Хаотические отображения бесконечной прямой 149

2.5.1. Хаотические отображения с инвариантной мерой в форме распределения Коши 149

2.5.2. Хаотические отображения с инвариантной мерой в форме распределения гиперболического косинуса

2.5.3. Хаотические отображения с инвариантной мерой 153 в форме распределения F-распределения

2.5.4. Хаотические генераторы "биологических ритмов" 154

2.6. Итеративная схема с мгновенными переключениями 158 "хаос-порядок", "порядок-хаос" (искусственная перемежаемость)

2.7. Оператор Перрона-Фробениуса для сопряженных хаотических 168 отображений. Спектральная задача

2.8. Автокорреляционные функции траекторий 174 сопряженных отображений 179

2.8.1. Общие представления для автокорреляционных функций орбит и корреляционных функций наблюдаемых 179

2.8.2. Условия генерации отображениями дискретного белого шума 182

2.8.3. Примеры хаотических генераторов дискретного квазибелого шума 185

2.9. Об источниках многозначности решения обратной задачи для оператора Перрона-Фробениуса 187

2.10. Дробно-линейное отображение с нулевым показателем

Ляпунова ^ 190

Заключение 194

ГЛАВА 3. ОТОБРАЖЕНИЕ ГАУССА:

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 199

Введение 199

3.1. Случайные величины в задаче Гаусса и законы их преобразования 206

3.2. Отображение Гаусса как хаотическая динамическая система 211

3.3. Циклы и апериодические траектории отображения Гаусса 220

3.4. Показатель Ляпунова для отображения Гаусса 225

3.5. Отображение Гаусса и парадоксы машинной арифметики 228

3.6. Оператор Перрона-Фробениуса отображения Гаусса и проблема расцепления корреляций 237

3.6.1. Линейные операторы, ассоциированные с отображением Гаусса 237

3.6.2. Полиномиальное представление инвариантного распределения отображения Гаусса 241

3.6.3. Оценки для скорости релаксации и расцепление корреляций в динамической системе Гаусса 244

3.7. Хаотические отображения, связанные с именем Гаусса 252

3.7.1. Базовый эндоморфизм для отображения Гаусса 254

3.7.2. Сопряженное хаотическое отображение на положительной полуоси 257

3.7.4. Хаотические отображения на основе лемнискатных функций Гаусса 261

3.7.5. Многовариантность отображений с мерой Гаусса 267

3.8. Асимптотическое распределение коэффициентов непрерывных дробей: вероятностные и прикладные аспекты 271

3.8.1. Расчеты совместных распределений коэффициентов цепной дроби: одно-, двух- и трехмерное распределения 271

3.8.2. Распределение коэффициентов непрерывной дроби: общий случай 278

3.8.3. Отображение Гаусса в космологических моделях 281 Заключение 283

ГЛАВА 4. ХАОТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ РЕНЬИ: ИЕРАРХИЯ И СПЕКТРАЛЬНВЫЕ СВОЙСТВА ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОРОВ 287

Введение 287

4.1. Генезис Ф-отображения. «Золотое сечение» и детерминированный хаос 290

4.2. Хаотические кусочно-линейные отображения с трехступенчатой инвариантной плотностью 296

4.3. Выявление структуры собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса для Ф-отображения

4.3.1. Двумерное инвариантное функциональное подпространство для эволюционного оператора Ф-отображения 308

4.3.2. Четырехмерное инвариантное функциональное подпространство для эволюционного оператора Ф-отображения 315

4.3.3. Собственные функции и собственные числа модифицированного оператора Перрона-Фробениуса (шестимерное инвариантное подпространство) 320

4.3.4. Общее решение методом неопределенных коэффициентов 327 4.4.Базовый эндоморфизм для Ф-отображения.

Спектральные свойства трансфер-оператора 333

4.4.1. Построение сопряженного кусочно-линейного хаотического отображения с равномерным инвариантным распределением 334

4.4.2. Уравнение и оператор Перрона-Фробениуса для базового отображения 340

4.4.3. Собственные функции и собственные числа оператора Перрона-Фробениуса базового отображения 342

4.4.5. Автокорреляционная функция орбит базового отображения 348 Заключение 352

ГЛАВА 5. ДВУМЕРНЫЕ НЕДИССИПАТИВНЫЕ

ХАОТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 356

Введение 356 ^ 5.1. Трактовка классического отображение пекаря как авторегрессионной системы первого порядка 359

5.2. "Инверсное" отображение пекаря 365

5.3. Обобщенное G-адическое отображение пекаря 367

5.4. О распределении G-ичных разрядов случайного числа 370

5.5. Общий метод построения двумерных хаотических отображений с равномерной инвариантной плотностью 373

5.6. Примеры новых недиссипативных отображений на плоскости 378

5.6.1. Хаотическое отображение симплексной области 378

5.6.2. Хаотическое отображение области, ограниченной экспонентой 382

5.6.3. Хаотическое отображение кольца 383 Щ Заключение 386

ЧАСТЬ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР

И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 390

ГЛАВА 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР (СРЕД)

И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 393

Введение 393

6.1. Квазипериод структуры как случайная функция. Статистические мо- л дели и характеристики 399

6.1.1 .Основные модельные предположения и расчет статистических характеристик квазипнреиода 399

6.1.2.Статистические характеристики случайного векторного процесса с кусочно постоянными компонентами 412

6.2. Статистические характеристики и диагностика профиля возмущения квазипериодической структуры 416

6.2.1. Обобщенное статистическое представление профиля возмущения квазипериодической структуры 416

6.2.2. Статистические характеристики профиля возмущения квазипериодической структуры 420

6.2.3. Анализ винеровского спектра профиля возмущения квазипериодической структуры 424

6.2.4. Диагностика качества квазипериодических транспарантов ^ методами когерентной Фурье-оптики 428

6.3. Некоторые специальные применения моделей квазипериодического возмущения 432

6.3.1. Моделирование рельефов оптических поверхностей 432 6.3.2. Моделирование структурных параметров при вытяжке волоконных световодов 436

Заключение 438

ГЛАВА 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНЫХ РЕЛЬЕФОВ

И РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД 440

Введение 440

7.1. Статистический характер автоэмиссионных рельефов на основе нитевидных кристаллов 448

7.2. Статистический характер автоэмиссионных рельефов на основе ориентированных углеродных нанотрубок 450

7.3. Статистическая модель автоэмиссионных рельефов 452

7.4. Вероятностные характеристики случайно-неоднородной среды 459

7.5. Статистические характеристики случайно-неоднородной среды, образованной шарообразными рассеивателями 463

7.6. Винеровский спектр случайно-неоднородной среды с "импульсными" рассеивателями 464

7.7. Статистические характеристики излучения в среде с "импульсными" рассеивателями 467

7.8. Статистическая модель случайно неоднородной среды с цилиндрическими рассеивателями 473

Заключение 477

ГЛАВА 8. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 481

ЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ

Введение 481

8.1. Основные физико-математические модельные предположения 487

8.2. Статистическая модель бистабильных флуктуаций полевой эмиссии 490

8.3. Смена эмиссионных состояний полевой эмиссии как марковский процесс рождения и гибели 499

8.4. Марковская модель работы катода в отсутствие кооперативных эффектов 509

8.5. Оценка надежности катодной системы в рамках марковских моделей 516

8.6. Нестационарная марковская модель дробового шума 521

8.6.1. О некоторых обобщениях формулы Шоттки для дробового шума 521

8.6.2. Прерванный марковский процесс чистого размножения (процесс гибели с инверсной нумерацией состояний) в моделировании катода с ограниченным эмиссионным ресурсом 524

8.6.3. Связь статистических характеристик эмиссии с функцией надежности катода 529

8.6.4. Асимптотическое описание надежностных характеристик катода 535

8.6.5. Марковская модель отклика эмиссионной системы 541

8.7. Мультистабильные флуктуации полевой эмиссии ф как стационарный процесс восстановления 542

8.8. Авторегрессионные уравнения, моделирующие процессы диффузии в термоэлектронных и полевых катодах 545

8.8.1. О конструктивном задании случайных величин 545

8.8.2. Авторегрессионное уравнение для стандартного винеровского процесса 548

8.8.3. Авторегрессионное уравнение для броуновского моста 550

8.8.4. Авторегрессионные уравнения для процессов, основанных на стандартном броуновском движении 556

Заключение 558

ГЛАВА 9. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ КУМУЛЯЦИИ 564 ЧУЖЕРОДНЫХ ВЕЩЕСТВ В ОРГАНИЗМЕ

Введение 564

9.1. Дифференциальное уравнение и импульсная переходная функция моделируемой системы 564

9.2. Статистика поступления доз чужеродного агента в организм человека 574

9.2.1. Воздействие агентов как импульсный процесс 574

9.2.2. Модель процесса поступления чужеродных агентов на базе одного управляющего пуассоновского потока 576 *

9.2.3. Модель процесса поступления чужеродных агентов на базе двух управляющих пуассоновских потоков 584

9.3. Статистика накопления чужеродных агентов в организме 587

9.3.1. Соотношения для моментов 587

9.3.2. Вероятностное описание процесса накопления чужеродных агентов, поступающих в организм с бесконечной" скоростью 589

9.3.3. Вероятностное описание процесса накопления чужеродных агентов с "конечной" скоростью инъекции в рамках двухкомпонентной марковской модели 598

9.4. Верификация математической модели 601

9.4.1. Случайные факторы, влияющие на поступление пестицидов в организм 601

9.4.2. Данные о кумуляции пестицидов в организме 604 ф Заключение 606

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 609

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 616 0 и

Памяти Александра Федоровича Голубенцева

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В диссертации представлены математические модели флуктуационных процессов и нерегулярных структур, изучаемых в статистической радиофизике и электронике, статистической оптике и статистической экологии, а также проведено теоретическое исследование разностных уравнений первого и второго порядков (одномерных и двумерных отображений) как базовых моделей хаотической динамики. Отличительной особенностью всех предлагаемых моделей является возможность получения их аналитических решений, находимых на методологической базе теории марковских случайных процессов. Речь идет именно о решаемых моделях, и это качество, на наш взгляд, делает их в эпоху компьютерных вычислений и экспериментов1 особенно привлекательными в качестве "опорных точек", полезных (а порой и просто незаменимых) при верификации усложненных математических моделей, решаемых численно, в том числе хаотических и стохастических моделей нерегулярных процессов и случайно-неоднородных структур, являющихся предметом изучения в данной работе.

Как отмечал один из основоположников хаотической динамики Д. Рю-эль, "в принципе, физическая теория, безусловно, только выигрывает, когда соответствие между физическими и математическими величинами, кото

1 Как известно, с 70-х годов XX столетия в математическом моделировании развивается мощная ветвь в форме вычислительного эксперимента, позволяющего извлекать информацию из математических моделей необыкновенной сложности. Так, включая в 1999 г. в число 30 особенно важных и интересных проблем физики и астрофизики на пороге XXI в. научное направление «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы», Нобелевский лауреат 2003 г. по физике академик B.JI. Гинзбург отмечал: ".Внимание к нелинейной физике все усиливается и усиливается. В значительной мере это связано с тем, что применение современной вычислительной техники позволяет анализировать задачи, об исследовании которых раньше можно было только мечтать" [В1]. Сложившуюся ситуацию даже квалифицируют как "научную революцию, связанную с появлением новой технологии научных исследований" [В2]. рое она порождает, является более точным, а диапазон явлений, которая она описывает, более обширным. Но на практике также важна решаемость математики, поэтому если у физиков есть альтернатива, то обычно используют теорию более простую и удобную, а не более запутанную и, в действительности, менее точную" [ВЗ].

Действительно, как однажды выразился Г.М. Заславский, "история неоднократно демонстрировала вечную ценность простых и изящных моделей" [В4]: математические модели, обладающие аналитически достижимыми точными решениями, всегда признавались в математической физике в качестве «эталонов» и критериев математической красоты, поскольку в максимальной степени четко "дают возможность понять основные черты явления и указывают направление поиска методов, пригодных в более сложных и более реалистических ситуациях" [В5].

Кроме того, аналитический подход обладает, по крайней мере, еще тремя замечательными свойствами (они в полной мере реализуются и в наших построениях): аналитическое решение универсально; а именно: "очень многие математические модели, лишившись физической и технической оболочки, приобретают . способность количественного описания различных по своей физической природе процессов или по техническому назначению объектов" [В6]; когда создается удачная модель физического явления, т.е. модель, которая позволяет делать точные вычисления и предсказания, то сама математическая структура модели открывает новые стороны этого явления"', аналитическое решение заведомо свободно от рассмотрения проблем, связанных с преодолением особенностей множества машинных чисел, являющего собой (в отличие от континуума чисел действительной оси) множество меры нуль.2

2 Множество машинных чисел дискретно, конечно и ограничено; оно состоит исключительно из рациональных чисел с жестко фиксированным числом цифр в мантиссе; соседние машинные числа отличаются друг от друга на шаг, зависящий от диапазона [В8]. Подобная структура машинных чисел обусловливает невозможность точного представления большинства рациональных чисел (или диофантовых приближений) в машинных системах счисления и нарушению самых "очевидных" правил арифметики - зависимости результата от порядка сложения, невоз

Основная опасность, проистекающая из особенностей машинной арифметики, - это появление в машинной модели качеств, не свойственных реальному объекту. В случае хаотических динамических систем цифровые шумы приводят к "теневым" траекториям, поведение которых может в корне отличаться от хода действительных орбит (например, в силу неточного представления (в машинном "исполнении") начального значения вместо теоретического цикла может возникнуть машинная "апериодическая" траектория). Подобное положение служит дополнительным обоснованием того, почему численные расчеты в хаотической динамике целесообразно вести исключительно на статистической основе с вариацией начальных условий и усреднением по множеству траекторий (при наличии перемешивающих свойств динамической системы). Один из самых опасных "подводных камней", возникающих при дискретизации задач хаотической динамики, связан с решением задач на собственные значения для линейных эволюционных операторов, ассоциированных с хаотическими (перемешивающими) системами. Эти операторы не являются самосопряженными; несамосопряженность - атрибут диссипативных, необратимых процессов. Здесь при численных расчетах реально возникновение машинных "фантомов" - несуществующих собственных значений [В 10]. Поэтому наличие "оазисов" точных решений в таких ситуациях особенно актуально.

Естественно, резкое противопоставление моделей, реализуемых в ходе компьютерного эксперимента и при аналитическом решении, лишено смысла, ибо в любом случае наличие множества разнообразных (и тем более, различающихся по области применимости) моделей одного и того же явления полезно для выявления наиболее оптимальных из них, выстраивания своеобразных иерархий моделей, отличающихся новыми физическими результатами и возможностями прикладного использования. Нередко вычислительный можности сложения двух машинных чисел и т.п. В численных методах (при решении нехаотических задач) эту ситуацию учитывают посредством построения "хитроумных" алгоритмов для проведения расчетов в "выгодных" (дающих наименьшую погрешность) числовых диапазонах или посредством организации "безошибочных вычислений" на основе модульной арифметики [В9].

3 Отмечая (в глобальном контексте) важность для науки вариабельности методов исследования, лауреат Нобелевской премии по физике 1959 г. Э. Сегре писал [В11]: "Различных физиков привлекают разные аспекты науки. Одни стремятся к общим фундаментальным принципам, другие охотятся за новыми явлениями, третьи любят точные измерения, четвертые разрабатываэксперимент становится стимулятором плодотворных идей при создании качественно новых аналитических моделей.4 Выдвинута и реализуется идея (К.И. Бабенко) доказательных вычислений на ЭВМ - "целенаправленных вычислений, комбинируемых с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов (теорем)" [В 10, с. 595].

Значимость и "работоспособность" конкретных моделей, представленных в работе, будет охарактеризована ниже в процессе их более детального рассмотрения. Сейчас же отметим дополнительные общие моменты, характерные для данной работы.

Хаотические модели нашли принципиальные применения в физике (от механики до космологии), химии, информационных технологиях, биофизике, климатологии, экологии, экономике и финансовой математике, демографии [В 12-18].Особую роль среди них занимают одномерные и двумерные отображения, теоретико-методологическая ценность которых была подтверждена неоднократно: "их анализ оказывается полезным и важным, проливая свет на многие феномены, встречающиеся в более сложных ситуациях" [В 19, с. 25]

Приведем в этой связи три примера "на все времена", убедительно иллюстрирующее это утверждение:

1) открытие на базе одномерных отображений развитого сценария перехода от регулярного режима к хаотическому через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода (М. Фейгенбаум, [В20]), сопровождавшееся обнаружением некоторых универсальных и скейлинговых закономерностей этого перехода и привнесением в исследовательскую технологию нелинейной динамки метода ренормализационной группы; реальность этого сценария была впоследствии подтверждена при наблюдении разнообразных физико-химических явлений и процессов; ют новые приборы или методы. Эти стремления не исключают одно другое, они даже часто дополняют друг друга, и все они необходимы для развития физики".

4 С конца 60-х - начала 70-х годов XX века круг точно решаемых физически важных задач значительно расширился (и это произошло в немалой степени благодаря компьютерным экспериментам), а именно, во-первых, было построено и исследовано большое количество нелинейных (интегрируемых) систем, точными аналитическими решениями которых являются солитоны, а во-вторых, в нелинейной науке утвердилась проблематика динамического хаоса, реализующегося в неинтегрируемых системах, где ряд базовых задач может быть исчерпывающе охарактеризован точными решениями.

2) описание хаотической осцилляции метрики пространства-времени (в рамках однородной анизотропной космологической модели вблизи особенности) на основе одномерного хаотического отображения Гаусса (В.А. Белинский, Е.М. Лифшиц, И.М. Лифшиц, Я.Г. Синай, И.М. Халатников, К.М. Ханин, Л.Н. Щур [В21]);

3) обоснование фундаментальной теоретической концепции (И.Р. При-гожин с соавторами [В22]) относительно определяющей роли хаоса в возникновении "стрелы времени" (т.е. необратимости времени как несоответствия между наблюдаемой необратимостью физических процессов и обратимым характером уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории одномерного диадического отображения (сдвига Бернулли).

Традиционное прикладное значение одномерных и двумерных отображений определяется их использованием в качестве датчиков псевдослучайных чисел (и, таким образом, они являются "сердцем" метода статистических испытаний - метода Монте-Карло). Сегодня актуально их использование и в разнообразных схемах кодирования и обработки информации [В23]. В контексте нелинейной науки теоретически важным моментом является генезис отображений при установлении связи между дифференциальными уравнениями и отображениями с помощью метода сечений Пуанкаре. Одновременно по-прежнему представляет большой интерес расширение круга хаотических отображений в качестве как реальных, так и потенциальных модельных уравнений в различных сферах знания. Закономерности построения новых отображений, исследование их свойств и примеры конкретного использования в модельном аспекте отражены в данной работе.

В последнее время центральное место в исследовании хаотических отображений занимает операторный подход. Качественно он означает переформулировку (это важный методологический момент) изначально нелинейной задачи в линейную задачу посредством введения и изучения спектральных свойств линейных операторов - Перрона - Фробениуса (или, еще в одной терминологии, трансфер-операторов, трансфер-операторов Рюэля-Майера) и связанных с ним операторов (оператора Купмана и сопряженного к нему оператора). Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках оценить скорость установления равновесных состояний и расцепления корреляций в хаотических динамических системах. Следует отметить, что оператор Перрона-Фробениуса для необратимых перемешивающих отображений не является самосопряженным оператором, поэтому численное решение задачи на собственные значения для него является достаточно сложным. В этой связи особый интерес вызывают отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена точно. Именно такой класс операторов выделяется и изучается в диссертации.5

Изучение особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов [В25]. Свойство марковости для перемешивающих хаотических отображений проявляется, в частности, в "забывании" начальных условий (подобным же свойством обладают простые эргодические марковские цепи6): эволюционные уравнения подобных отображений при любом начальном распределении имеют асимптотическое решение в форме инвариантного распределения, т.е., другими словами, они нечувствительны к начальным условиям.7 Подобная стохастическая устойчивость позволяет аппроксимировать (следуя идее С. Улама) хаотическую динамику марковской цепью с конечным числом состояний при специальном определении (с учетом вида отображения) переходных вероятностей [В25,26]. Правда, пользуясь при описании отображений понятиями марковских процессов, необходимо учитывать тот факт (он явно заложен в вывод выражения для оператора Перрона-Фробениуса), что в данном случае услов

5 Первые аналитические результаты по расчету собственных функций и собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса и его спектральному разложению были получены для симметричных кусочно-линейных отображений (М. Dorfle, И.Р. Пригожин (I.Prigogine), I. Antoniou, D. Driebe, P. Gaspard, H.H. Hasegava, G. Nicolis, W.C. Saphir, S.Sucanecki, S. Tasaki, D. MacKernan, R.F. Fox, Ю.А. Куперин). Общие свойства трансфер операторов изучаются в работах A. Lasota, М.С. Mackey, D. Ruelle, D.H. Mayer, V.Baladi, S. Isola, M. losifescu, M.JI. Бланка.

6 Простой эргодической марковской цепью называют последовательность зависимых испытаний, в которой вероятность занятия системой некоторого состояния в текущем испытании зависит только от исхода (одного) предыдущего испытания, причем из любого допустимого состояния возможен переход в любое другое допустимое состояние.

7 В то же время траектории хаотической динамической системы демонстрируют чувствительность к начальным условиям, которая "примиряя" случайность и детерминизм, делает принципиально невозможной постановку задач прогноза для этих систем. В то же время решение задачи Коши для таких систем теоретически существует, т.е. хаос в детерминированных системах возникает благодаря (не вопреки!) существованию решения задачи Коши. ные вероятности являются вырожденными, поскольку динамический процесс описывается сугубо детерминированным уравнением.

При моделировании собственно случайных (стохастических) процессов, как правило, используются не только марковские цепи, но и более сложные по структуре марковские модели. Применение марковских моделей для нахождения точных решений задач статистического моделирования случайно неоднородных структур и случайных квазипериодических процессов (в частности, применительно к статистической термо- и автоэмиссионной электронике, статистической оптике и статистической экологии) - вторая основная ("стохастическая") составляющая данной работы.

Не нужно особенно объяснять, почему анализ какого-либо объекта или процесса в чисто детерминированной постановке не является исчерпывающим. Формирование распределенных радиофизических и оптических систем сопряжено с трудностями преодоления влияния различного рода случайных, принципиально неуправляемых физических и технологических факторов, которые приводят к структурным и функциональным особенностям подобных систем. Когда нерегулярности и шумы играют деструктивную роль, актуальными в теоретическом плане оказываются постановка и решение ряда взаимосвязанных задач по анализу и определению путей минимизации влияния этих отклонений на физические свойства соответствующих структур, а в практическом плане актуальной оказывается разработка конструкций, малочувствительных (в другой терминологии - устойчивых, «робастных») по выходным параметрам к случайным вариациям структурных и режимных параметров, а также случайным изменениям внешних эксплуатационных факторов (например, температуры, радиационной обстановки и т.п.).

Теоретическое моделирование физических процессов в физических системах, связанное с учетом флуктуационного характера их структурных параметров, может подразумевать решение целого спектра взаимосвязанных задач, к которым относятся: анализ и минимизация влияния (в рамках различных статистических предположений) разброса конкретных физических и геометрических параметров на характер протекания соответствующих процессов (в том числе в специальных случаях функционального использования шумовых свойств); установление и оптимизация связи между статистиками первичных» и выходных параметров рассматриваемого устройства; построение теории воспроизводимости отдельного функционального элемента и прибора в целом при массовом производстве; установление обоснованных допусков на отклонения «первичных» параметров различных функциональных элементов; выработка рекомендаций по оптимизации технологий и конструкции; диагностирование качества отдельных функциональных элементов с целью определения степени их отклонения от «эталона» (причем, на возможно более ранней стадии их изготовления) и т.д.

Названные задачи могут принадлежать к классам как прямых, так и обратных задач. С прямыми задачами ассоциируется процесс нахождения решения модельных уравнений, позволяющий выразить флуктуации выходных (рабочих) параметров структуры через флуктуации «первичных» параметров, другими словами, проанализировать влияние «первичных» параметров на «рабочие». С обратными задачами соотносится математически гораздо более сложная проблема определения (синтеза) статистических характеристик структуры (среды) по наблюдаемым (или желаемым) характеристикам процессов, реализованных в данной структуре.

Обрисованная выше тематика представлена в диссертационной работе в рамках построения марковских моделей квазирегулярных процессов и структур. Этапы этой работы в целом соответствуют схеме, предложенной акад. А.Н. Тихоновым [В26]: 1) изучение качественно-количественных свойств физического явления, которые должны быть отражены в модели; 2) построение математической модели (запись качественной модели в математических терминах); 3) исследование (аналитическое и численное) математических задач, определяемых моделью; 4) верификация моделей на основе сопоставления с данными экспериментов; 5) использование апробированной модели для целей прогнозирования; накопление новых данных об изучаемом явлении.

Для полноты картины следует добавить, что случайность в нелинейных системах может иметь серьезные качественные последствия и приводить к новым, играющим конструктивную роль эффектам, которые не может предусмотреть детерминированная постановка задачи. Подобного рода эффекты весьма разнообразны [В27]; к индуцированным шумом переходам относят, в частности, стохастический резонанс и стохастическую синхронизацию [В28].

В целом, как видится автору, совокупность представленных в диссертационной работе аналитических моделей для решения современных задач хаотической динамики, статистической радиофизики и электроники, статистической оптики, статистической экологии формирует определенный конструктивный вклад в развитие теории хаотических и стохастических процессов.

Цели и задачи исследования достаточно однозначно прорисованы выше: это построение и исследование хаотических и стохастических моделей, допускающих аналитические решения, в приложениях к нерегулярным процессам и структурам. Конкретными задачами, рассматриваемыми в диссертации в рамках реализации этой цели и одновременно определяющими объекты исследования, являются:

- построение обобщающих аналитических методов исследования спектральных свойств операторов Перрона-Фробениуса для ряда одномерных кусочно-линейных хаотических отображений; выявление конкретной роли собственных функций и собственных чисел данного оператора на характер расцепления корреляций (вид автокорреляционных функции траекторий отображений) и на характер протекания релаксационных процессов в одномерных динамических системах;

- изучение закономерностей анализа и синтеза одномерных и двумерных хаотических отображений (числовых генераторов хаотических последовательностей) с заданными (в том числе, и с перестраивыми) динамическими, вероятностными и корреляционными свойствами на основе изучения генезиса отдельных отображений, решения функциональных уравнений; топологической сопряженности отображений; оптимизация методов расчета важных прикладных характеристик хаотических отображений (инвариантных плотностей, показателей Ляпунова, автокорреляционных функций); построение новых хаотических моделей;

- создание обобщающих одномерных, двумерных и трехмерных стохастических моделей квазирегулярных процессов и структур, применимых в частности для решения прямых и обратных задач оптики случайнонеоднородных рассеивающих сред, диагностики нерегулярной структуры автоэмиссионных поверхностей и анализа флуктуационных особенностей физических явлений, определяющих автоэмиссионные процессы, протекающие в источниках электронов на основе современных наноструктур;

- исследование возможностей применения марковских моделей для решения задач статистической экологии.

Научная новизна работы

1. Введено понятие производящей функции для собственных функций трансфер-операторов хаотических отображений; определен вид производящих функций для собственных полиномиальных функций оператора Перрона-Фробениуса ряда симметричных одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона линейных составляющих, каждая из которых полностью переводит подынтервал своего задания на единичный интервал, в том числе полученных посредством суперпозиции и инверсией отдельных отображений. Символическим методом получено обобщение формулы Эйлера - Маклорена для разложения на единичном отрезке целых аналитических функций по комбинированной системе неортогональных полиномов Бернулли и Эйлера. Данное разложение соотнесено с решением задачи на собственные значения для трансфер-операторов в оснащенном гильбертовом пространстве.

2. Построены новые разнообразные хаотические отображения, сопряженные различным базовым эндоморфизмам (отображениям, сохраняющим меру). Предложенные отображения несут определенную смысловую нагрузку, отражая некоторые определенческие моменты детерминированного хаоса. Получена элегантная формула для аналитического расчета автокорреляционной функции траекторий и наблюдаемых для сопряженных отображений. Доказано, что дробно-линейное отображение с действительными параметрами для некоторых сочетаний их значений является эргодическим с инвариантной плотностью в форме закона Коши и нулевым показателем Ляпунова.

3. Впервые непосредственно на основе общей связи совместных, маргинальных и условных распределений (последние являются вырожденными) аналитически рассчитаны асимптотические многомерные совместные законы распределения коэффициентов разложения в непрерывную дробь случайного иррационального числа, распределенного по инвариантному закону отображения Гаусса - фундаментального одномерного отображения нелинейной динамики и теории чисел.

4. Исследован генезис одного из частных случаев малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи (Ф-отображения) с иррациональным коэффициентом в виде одного из чисел Фидия. Определены коэффициенты отображения Реньи, при которых оно имеет кусочно-постоянную инвариантную плотность в форме трех ступенек (в отличие от двухступенчатого распределения для Ф-отображения). Определена структура собственных чисел и собственных функций трансфер-оператора Ф-отображения и его базисного эндоморфизма.

5. Проведено аналитическое исследование асимптотического поведения двумерного отображения пекаря в различных модификациях как линейной авторегрессионной модели первого порядка. Обоснованы методы построения двумерных недиссипативных отображений, заданных на фиксированных областях усложненной формы (отличной от единичного квадрата), в том числе в виде криволинейных трапеций, элементов круга и т.п.

6. В рамках модельных предположений теории восстановления дано единое статистическое описание профилей возмущения различных типов' как атрибутов разнообразных квазипериодических структур, применяемых в устройствах оптики, радиофизики, рентгенооптики, электроники, ускорительной техники, выделяемых в биофизических объектах.

7. На основе анализа статистических свойств матричных автоэмиссионных рельефов, формируемых на базе современных материалов (углеродные нанотрубки) и технологий, предложено статистическое описание рельефов в форме системы ориентированных "острий" некоторой выбранной фиксированной формы, местоположение и геометрические параметры которых являются случайными. Получено обобщение модели для трехмерного случая, соотносимого с моделью случайно-неоднородной рассеивающей среды с не-однородностями в форме рассеивателями различной (фиксированной) формы со случайными положением и ориентацией в пространстве, случайными геометрическими параметрами.

8. Исследовано влияние различных модельных предположений относительно характера эмиссионных процессов (бесконечность и конечность процесса эмиссии, наличие отказовых состояний, характер случайной смены эмиссионных состояний и т.п.) на решение системы уравнений Колмогорова для дискретных марковских процессов и вероятностных характеристик, вычисляемых на основе данного решения, - корреляционных функций и вине-ровских спектров числа эмиссионных центров в структуре катода и эмиссионного тока.

8. Впервые аналитические методы статистической радиофизики применены к моделированию задачи о накоплении организмом чужеродных агентов (в виде химических средств защиты растений и иных веществ).

Научно-прикладные аспекты работы

В диссертационной работе представлена совокупность достаточно конструктивных и универсальных марковских аналитических моделей, имеющих научное, прикладное и методологическое значение при решении современных задач хаотической динамики, статистической радиофизики и электроники, статистической оптики, статистической экологии. Ниже сформулированы направления и рекомендации по использованию полученных результатов.

1. Разработан эффектный метод "архивного" (компактного) представления спектральных характеристик (собственных чисел и полиномиальных собственных функций) трансфер-операторов одномерных хаотических отображений в форме их производящей функции. Названные характеристики "извлекаются" посредством действия соответствующего оператора на производящую функцию.

2. Развитые подходы к построению топологически сопряженных отображений позволяют получить многочисленные хаотические отображения, отличающихся (в рамках каждой иерархической "ниши" - эргодические, перемешивающие или точные эндоморфизмы) фазовыми пространствами, вероятностными законами, корреляционными свойствами (например, со свойствами дискретного белого шума), а также демонстрирующие хаос в некоторой области изменения параметра, сочетающие "управляющие" и "антиуправляющие" свойства (переходы от хаоса к порядку и обратно). Эти отображения могут использоваться как хаотические генераторы псевдослучайных последовательностей при моделировании задач, относящихся к различным естественно-научным областям. Даны рекомендации по решению обратной задачи для оператора Перрона-Фробениуса (нахождения итеративной функции по заданному инвариантному распределению).

3. Результаты аналитического расчета асимптотических распределений коэффициентов непрерывной дроби существенно дополняют вероятностное описание длин "казнеровских эпох" в космологических однородных анизотропных моделях эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна, а также определяют общий алгоритм моделирования случайного числа в форме непрерывной дроби.

4. Доказана возможность "перестройки" отображения Реньи посредством вариации его параметра; это приводит к изменению вероятностной инвариантной плотности отображения. Данное свойство позволяет включать отображение в число перспективных для моделирования процессов с кусочно-постоянными плотностями и в схеме хаотизации информационных сообщений.

5. Построение новых одномерных и двумерных отображений, а также исследование их асимптотического поведения актуально для выбора эффективных схем хаотической криптографии, основанных на перемешивающих свойствах этих отображений. Предложенные новые двумерные сохраняющие фиксированную площадь отображения являются хаотическим генераторами равномерного распределения точек в областях с усложненными (прямолинейными или криволинейными) границами.

6. Построенные статистические модели одномерных, двумерных и трехмерных случайно-неоднородных структур и сред, устанавливающие связи между вероятностными свойствами микро- и макрохарактеристик модели, являются необходимый звеном при решении обратных задач по идентификации и прогнозированию параметров моделируемых структур с использованием неразрушающих диагностик.

7. Найдены связи между эмиссионными, флуктуационными и надежностными характеристиками автоэмиттерных систем, на основании чего показана возможность прогнозирования надежностных параметров катодов по эмиссионно-флуктуационным характеристиками (значениям среднего тока и автокорреляционной функции флуктуаций). Получены эффективные итеративные алгоритмы для моделирования диффузионных процессов, протекающих в материале катода, на основе линейных авторегрессионных уравнений первого порядка.

8. Аналитическая модель накопления чужеродных веществ, отражающая стохастичность процесса контактов организма теплокровных с вредными агентами, рассчитана на прогнозирующие расчеты при различных характеристиках каналов удержания и вывода этих веществ из организма.

9. Результаты работ по статистическому моделированию случайно-неоднородных структур и сред использованы в разработках ИРЭ РАН (г. Москва), ОКБ завода "Тантал" (г. Саратов), НПО "Агроприбор" (г. Саратов), в/ч 61459 (подтверждается актами об использовании и внедрении результатов).

Личный вклад. Благодарности. Общая концепция диссертации, ее структура, уровень понимания рассматриваемых в ней проблем, сформулированные основные результаты и выводы работы, положения, выносимые на защиту, отражают конкретный творческий вклад автора и исключительно его точку зрения на рассматриваемую проблематику. В совместных работах автор принимал активное участие аЪ ovo usque ad mala - в постановке задач, разработке методик аналитических расчетов, интерпретации, систематизации и обобщения полученных результатов, информационном обеспечении исследований, отборе материала и написании публикаций, а также представлял результаты исследований на научных конференциях.

Автор испытывает неиссякаемое чувство уважения и благодарности к своему учителю и старшему другу, доктору физико-математических наук профессору Александру Федоровичу Голубенцеву, многолетнему руководителю развиваемого на кафедре вычислительной физики и автоматизации научных исследований СГУ научного направления по аналитическому и численному моделированию стохастических и хаотических процессов, скоропостижно скончавшемуся в августе 2003 г.8.

Достоверность результатов диссертации. В работе представлены результаты, полученные сугубо аналитическими методами. В пользу их корректности свидетельствуют: совпадение аналитических решений, найденных различными способами; непосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнения для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т.д.); возможность сведения общих результатов к "тестовым" задачам; сопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок (например, при сравнении нюансов вероятностной и метрической интерпретаций); организация специальных сравнительных численных расчетов (показателей Ляпунова) по независимым алгоритмам; выбор базисных предположений для построения стохастических моделей случайных процессов (структур) на основе анализа экспериментальных данных и качественное совпадение результатов (автокорреляционных функций и спектров флуктуаций моделируемых параметров) с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись как на Всероссийских (Всесоюзных), так и на Международных конференциях. В число этих конференций входят:

Всесоюзные научные сессии, посвященные Дню радио (Москва, 1980, 1982-1984, 1987, 1989, 1991);

Всероссийские (Всесоюзные) межвузовские научные конференции с международным участием "Электроника СВЧ" (Ростов-на-Дону, 1976; Минск, 1983); International University Conference "Electronics and Radiophysics

8 Памяти А. Ф. Голубенцева (1933-2003) // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2003. Т. 3. Вып.2. С. 198-199; Памяти А. Ф. Голубенцева // Радиотехника и электроника. 2004. Т 49. № 3. С. 355-356. А.Ф. Голубенцеву посвящены также специальные выпуски межвузовского научного сборника «Вопросы прикладной физики» (Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 11 / Под ред. акад. Ю.В. Гуляева, проф. Н.И.Синицына и доц. В.М. Аникина. - 256 с.) и журнала "Радиотехника" (2005. № 4. Ученые России - Александр Федорович Голубенцев / Науч. ред. Ю.В. Гуляев, Н.И. Синицын и В.М. Аникин. - 96 е.). of Ultra-High Frequencies" (Санкт-Петербург, 1999); "Contemporary Problems of Microwave Electronics and Radiophysics" (Саратов, 2001);

10-й Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн (Винница, 1990); 3-й Всесоюзный научно-технический семинар "Применение лазеров в науке и технике" (Иркутск, 1990); Всесоюзное координационное совещание "Низкочастотные шумы в полупроводниковых приборах и устройствах (Черноголовка, 1991); научно-технические конференции с международным участием "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Саратов, 1996, 1998 и 2000);

2-я международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 2000);

The SPIE International Symposium on Biomedical Optics (San Jose, California, USA, 2000); The SPIE International Symposium on Optics and Optoelectronic Inspection and Control: Techniques, Applications and Instruments (Beijing, China, 2000); SPIE's Int. Symposium "Photonics West / Biomedical Optics (BiOS 2004, 2005)": Conf. on Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics. San Jose, California, USA, 2004, 2005);

The IEEE International Vacuum Microelectronic Conferences (IVMC'95, Portland, Oregon, USA; IVMC'96, St.-Petersburg, Russia; IVMC'97, Kyongju, Korea; IVMC'98, Asheville, North Carolina, USA; IVMC'99, Darmstadt, Germany - Wroclaw, Poland); The Material Research Society Spring Meeting'99 (Symposium C: Material Issues in Vacuum Microelectronics II. San Francisco, California, USA);

The IEEE International Vacuum Electron Sources Conferences (IVESC'98, Tsukuba, Japan; IVESC'2000, Orlando, Florida, USA; IVESC'02, Saratov, Russia);

The International Schools on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CPAOS'94, CHAOS'98, CHAOS'2001, Саратов); The International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND'96, Saratov, Russia); International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes (Ambliside, England, August 16-20, 1999;

The International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (St.-Petersburg, 2000); The International Conference "Physics and Control" (St.-Petersburg, 2003) и др.

Материалы работы обсуждались на научных семинарах различных кафедр физического и механико-математического факультетов Саратовского государственного университета и в Саратовском отделении Института радиотехники и электроники РАН.

Положения и результаты, выносимые на защиту

1. Производящие функции полиномиальных собственных функций операторов Перрона-Фробениуса для определенных на единичном сегменте кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями и одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона, а также их инверсий и композиций являются линейными комбинациями производящих функций для неортогональных полиномов Бернулли и Эйлера с соответствующими аргументами.

2. Новые хаотические отображения, построенные методом топологического сопряжения с базисными эндоморфизмами; метод расчета автокорреляционных функций траекторий и корреляционных функций наблюдаемых для сопряженных отображений.

3. Результаты аналитического расчета многомерных асимптотических распределений коэффициентов непрерывной дроби, аппроксимирующей случайное число, проведенные на основе формальных связей между совместными, маргинальными и условными распределениями, допускают наглядную метрическую интерпретацию:9 совместные распределения т последовательных коэффициентов определяются мерой Гаусса интервала, границами которого являются точки разрыва /w-кратной композиции Гауссова отображения. Эти распределения соотносятся с зависимыми случайными величинами, но, во-первых, являются инвариантными относительно произвольного сдвига вдоль ряда коэффициентов и, во-вторых, могут быть обобщены на неупорядоченные последовательности коэффициентов цепной дроби.

4. Для отображения Реньи хп^ =/Зхп modi (1</?<2 - вещественный параметр) существуют три значения параметра, при которых это отображе

I.9 Речь идет о мере множества чисел, разложения которых в цепные дроби обладают заданным свойством (в данном случае, обладать фиксированными коэффициентами на некотором интервале (см. Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.: Наука, 1978; losifescu М., Kraaikamp С. Metrical Theory of Continued Fractions. Kluwer Boston, Inc. 2002). ние обладает инвариантной плотностью в форме трехступенчатой (кусочно-постоянной) функции. Число Фидия Ф = (л/5 + 1)/2 - единственное значение параметра этого (Ф-)отображения, дающее инвариантное распределение в форме двух ступенек. Собственные числа оператора Перрона-Фробениуса являются знакопеременными отрицательными степенями числа Фидия. Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса (как по мере Лебега, так и по инвариантной мере) являются кусочно - полиномиальными функциями, терпящими разрыв (первого рода) в точке золотого сечения Ф"1 единичного отрезка (для Ф-отображения) или в точке 1/(1 + Ф~2) (для сопряженного базового эндоморфизма). Процесс спада корреляций для базового эндоморфизма определяется двумя собственными числами оператора, отвечающими кусочно-линейным собственным функциям.

5. Методика построения недиссипативных многомерных отображений для целей имитационного моделирования и хаотической криптографии.

6. Статистические модели одномерных квазипериодических структур с характеристиками в форме "квазипериода" и профиля "возмущения" разнообразной природы, позволяющие отразить влияние случайного разброса в геометрии (в рамках единого "образующего" профиля) на характеристики (автокорреляционная функция, винеровский спектр), которые могут быть идентифицированы при бесконтактной диагностике качества таких структур.

7. Статистические модели рельефов автоэмиссионных структур и случайно-неоднородных рассеивающих сред в форме композиции идентичных образующих (цилиндров, полуэллипсоидов вращения, полусфер и т.д.), испытывающих случайные вариации геометрических размеров и случайные отклонения от строгой матричной структуры. Модели определяют связь между автокорреляционными функциями и винеровскими спектрами случайного поля высот рельефа с вероятностными числовыми характеристиками образующих.

8. Ряд физических флуктуационных явлений, свойственных полевым эмиттерам на основе микро- и наноструктур (включая углеродные нанотруб-ки), - бистабильные и мультистабильные флуктуации эмиссии, процессы деградации эмиттеров - допускают представление в рамках спектрально-корреляционного анализа марковских моделей случайных процессов, выявляя зависимость статистических характеристик (корреляционных функций и частотных и частотно-временных спектров) структурных элементов катода и тока эмиссии от микропараметров моделей, проясняя тем самым природу флуктуационных процессов и решению задач прогноза надежности эмиттер-ных систем.

8. Предложенная математическая модель контактов организма с вредными агентами предсказывает наличие стационарного уровня накопления чужеродных веществ организмом и, таким образом, качественно правильно описывает реально существующий процесс кумуляции вредных агентов и может быть использована при различных вариациях параметров модели для прогнозирования уровня накопленного вещества.

Публикации. По теме диссертации опубликовано около 140 научных работ, включая 5 монографических изданий и 80 полноформатных статей (из них: 14 - в журналах, рекомендуемых ВАК, 20 - в международных изданиях).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из общего введения, 9 глав, общего заключения и списка цитируемой литературы из 855 наименований (библиография дается отдельно по каждой главе). Общий объем диссертации - 690 страниц, она иллюстрируется 67 рисунками и содержит 7 таблиц.

Содержание работы

Диссертация состоит из двух частей: в части 1, разделенной на 5 глав, изучаются одномерные и двумерные хаотические модели, а в части 2, состоящей из 4 глав, представлены стохастические модели случайно неоднородных сред и структур, а также квазипериодических процессов.

В главе 1 развиваются операторные методы исследования кусочно-линейных отображений, имеющих ветви с одинаковым по модулю тангенсом угла наклона, каждая из которых переводит свой интервал определения на единичный сегмент. Из широко известных одномерных хаотических преобразований этот класс отображений включает в себя сдвиги Бернулли (с произвольным числом ветвей), пирамидальное отображение (с двумя ветвями), N- образное отображение (с тремя ветвями), "пилообразное" отображение (с произвольным числом ветвей), а также отображения, полученные посредством разнообразных композиций названных отображений. Известно [В29], что отображения этого класса являются точными эндоморфизмами - эргодиче-скими и перемешивающими отображениями, обладающими инвариантной плотностью в форме равномерного закона. Обладая аналитическим представлением для своих траекторных, вероятностных и спектральных характеристик, подобные отображения при моделировании играют особую роль как базовые эндоморфизмы, на основе которых могут быть построены эквивалентные в топологическом смысле отображения, допускающие точное описание и обладающие новыми вероятностными свойствами.

Основное содержание главы 1 составляет построение аналитических производящих функций для собственных функций оператора Перрона-Фробениуса данного класса хаотических отображений. Отталкиваясь от производящей функции для полиномов Бернулли (а они являются собственными функциями эволюционных операторов для сдвигов Бернулли [В22]), получены выражения для производящих функций, отвечающих разнообразным отображениям из выделенного класса. Все производящие функции могут быть выражены через линейные комбинации производящих функций для полиномов Бернулли и Эйлера.

Построения производящих функций для собственных функций эволюционных операторов хаотических отображений, с одной стороны, можно трактовать как метод решения задачи по определению дискретного спектра оператора и его собственных функций, а с другой стороны, - как построение удобного аналитического "хранилища" этого решения, ибо эти решения "раз-архивируются" лишь при действии соответствующего оператора на данную производящую функцию.

Собственные полиномиальные функции несамосопряженного оператора Перрона-Фробениуса неортогональны. Поэтому для характеристики свойств эргодичности и перемешиваемости рассматриваемых отображений (получения численных оценок для скоростей сходимости произвольного начального распределения к инвариантному) представляет интерес обобщение классической формулы теории конечных разностей Эйлера - Маклорена, дающей разложение функций (в классе целых функций экспоненциального типа) по системе полиномов Бернулли. В работе символическим (операторным) методом получены модификации этой формулы, в том числе для разложения по комбинированной системе функций Бернулли и Эйлера. Коэффициенты формулы Эйлера-Маклорена выражаются через производных разлагаемой функции в граничных точках отрезка. Формулы Эйлера-Маклорена можно трактовать как разложение по биортогональной системе функций в оснащенном гильбертовом пространстве [В22].

Третий общий рассмотренный момент, касающийся базовых эндоморфизмов, связан с точным расчетом автокорреляционной функции для их траекторий: этот расчет основан на представлении независимой переменной линейной комбинацией первых двух (константа и линейная функция) собственных функций оператора Перрона-Фробениуса.

В главе 2 рассматриваются особенности синтеза хаотических отображений с заданными свойствами на основе топологического сопряжения двух одномерных отображений, т.е. отображений связанных обратимой нелинейной (в общем случае) или линейной (в случае линейной деформации интервала определения отображения). Сопряжение динамических систем - один из важных приемов исследования, применяемый в теории динамических систем [В25,30]. Изучение возможностей метода топологического сопряжения хаотических отображений несло определенную смысловую нагрузку и четко выявило ряд закономерностей, имеющих общее значение для теории детерминированного хаоса. В работе: а) сформулированы условия получения из кусочно-линейных отображений сопряженных отображений, обладающих рациональными, непрерывными или разрывными итеративными функциями, описываемыми единым аналитическим выражением; б) проведено прямое доказательство свойства перемешивания квадра-тических отображений, сопряженных пирамидальному отображению; в) построены хаотические отображения с бесконечным фазовым пространством (они характеризуются инвариантными законами в форме F- и z распределений, распределения Коши) отображения для усеченных аналогов названных распределений; г) построены отображения, генерирующие чистый хаос в пределах некоторого диапазона непрерывного изменения параметра, включающие как частный случай (логистическое) отображение Улама-фон Неймана; д) предложена итеративная схема, обладающая критическим значением параметра, разделяющим области значений этого параметра, соответствующие регулярному и хаотическому режимам поведения отображения; при введении дополнительного механизма "переброса" значений параметра из одной области в другую возникает "искусственная перемежаемость" с мгновенным переходом от регулярного режима к хаотическому и обратно; е) показано, что в зависимости о значений параметров обратимое дробно-линейное отображение с действительными коэффициентами может демонстрировать на числовой оси наличие либо регулярных режимов в форме сходимости итераций к одной из двух неподвижных точек, либо периодических траекторий, реализующихся из произвольного от стартового значения, либо эргодических свойств (в последнем случае существует инвариантное распределения в форме закона Коши при наличии нулевого показателя Ляпунова; ж) построены хаотические отображения с разнообразными вероятностными свойствами как конкретные модели нерегулярных процессов (биологических ритмов, инвестиционных процессов); з) показано, что хаотические отображения с заданной инвариантной плотностью образуют счетное множество (например, можно построить разнообразные отображения, обладающие инвариантным распределением в форме инвариантного распределения отображения Гаусса); в связи с этим решение обратной задачи определения вида отображения по виду инвариантного распределения должно дополняться априорной информацией (например, о конечном или счетном число ветвей, их линейности или нелинейности, значении показателя Ляпунова, виде автокорреляционной функции и т.п.); и) определена связь решения спектральной задачи для оператора Пер-рона-Фробениуса сопряженного отображения с решением аналогичной задачи для эволюционного оператора базового отображения (указаны числовые инварианты сопряженных отображений; изучены законы преобразования операторов Перрона-Фробениуса и собственных функций этого оператора для сопряженных отображений); к) показано, что аналитическое вычисление автокорреляционной функции для сопряженного отображения может быть эффективно произведено посредством выявления результата повторяющегося действия оператора Перрона-Фробениуса базового эндоморфизма на сопрягающую функцию, что приводит к необходимости ее представления через собственные функции данного оператора. Это прием позволят, в частности, выявить и построить, отображения с неравномерной инвариантной плотностью, генерирующие дискретный (к ним, например, принадлежат все полиномы Чебышева первого рода, обладающие как хаотические отображения одной и той же инвариантной мерой) и квазидискретный (дельта-коррелированность процесса начинается со второй итерации) белый шум.

Глава 3 посвящена изучению эволюционных и вероятностных свойств отображения К.Ф. Гаусса, впервые рассмотренного великим математиком 200 лет назад при исследовании разложения случайного числа в непрерывную дробь. Отображение Гаусса является точным (эргодическим и перемешивающим) эндоморфизмом (P.O. Кузьмин, В.А. Рохлин, Я.Г. Синай), для которого поиск оценок скорости установления равновесного распределения и расцепления корреляций в силу нетривиальности задачи составлял предмет исследования в течение многих десятилетий (P.O. Кузьмин, П. Леви, А.Я. Хинчин, Э. Вирсинг, К.И. Бабенко, Д.Майер, М. Иосифеску).10

Новые результаты даны на фоне анализа основных свойств этого преобразования, что придает изложению определенную замкнутость (в главе отражены: генезис преобразования Гаусса, определение фундаментальных интервалов отображения, свойство точности эндоморфизма, представление его циклов непрерывными дробями, запись оператора Перрона-Фробениуса по мере Лебега и инвариантной мере, сужение оператора Перрона-Фробениуса

10 С данной тематикой в литературе соотносится терминология: "теорема Гаусса-Кузьмина", а второе собственное число оператора Перрона-Фробениуса - "фундаментальную константу", по выражению Д.Кнута, определяющую скорость расцепления корреляций, часто именуют "постоянной Кузьмина-Леви-Вирсинга". на различные банаховы пространства и соответствующие им решения задачи Гаусса).

К описанию эволюционных и вероятностных свойств отображения Гаусса мы добавили такие новые штрихи:

1) представление структуры инвариантного распределения через полиномы Бернулли (выяснено, что существенной составляющей плотности является линейная функция);

2) анализ парадоксов машинной арифметики, проявляющихся при численном траекторном исследовании и решения задач на собственные значения для оператора Перрона-Фробениуса данного отображения и приводящих к машинным "фантомам";

3) формулировку теоретических критериев, позволяющих эффективно оценить правильность численных расчетов спектральных характеристик оператора Перрона-Фробениуса - 1) знакопеременность собственных чисел отображений, касательные ко всем ветвям которых имеют отрицательный угловой коэффициент, 2) равенство площадей криволинейных трапеций, построенных соответственно на отрезках положительности и отрицательности вещественных собственных функций оператора (последнее свойство вытекает из равенства нулю интеграла по мере Лебега от всех собственных функций, за исключением инвариантной плотности);

4) аналитический и численный расчеты показателя Ляпунова,11

5) построение новых хаотических динамических систем, сопряженных отображению Гаусса. Одна из них действует на положительной полуоси. Второе сопряженное отображение - базовой эндоморфизм, демонстрирующий существование кусочно-нелинейного и кусочно-монотонного (с бесконечным числом ветвей) хаотического генератора числовых последовательностей, статистические свойства которых описываются непрерывным равномерным распределением;

11 Необходимость расчета показателя Ляпунова была вызвана разногласиями в литературных результатах. Помимо аналитического вывода был проведен (для сравнения и взаимной верификации) и машинный расчет показателя Ляпунова, обнаруживший чрезвычайно медленную сходимость алгоритма Бенеттина (во всяком случае, по сравнению со сходимостью аналогичного показателя для логистического отображения; машинный расчет показателя Ляпунова по просьбе автора проводился А.Б. Нейманом).

6) построение новых хаотические отображений на основе сопрягающих изоморфизмов в форме лемнискатных функций Гаусса; демонстрация существования счетного множества хаотических отображений, имеющих в качестве инвариантного закона плотность гауссова отображения

7) прямой аналитический расчет многомерных совместных распределений для коэффициентов цепной дроби при разложении случайного числа, распределенного по инвариантному закону гауссова отображения (т.е. речь идет об асимптотических распределениях) на основе общих положений о связи совместных, маргинальных и условных распределений.

Подробнее остановимся на последней задаче. В качестве первых шагов найдены выражения для двумерного и трехмерного распределений, позволившие выявить структуру распределений, а затем было сформулировано и общее решение - многомерные распределения для произвольного числа коэффициентов.

Интересным здесь является то, что результаты сугубо формальных расчетов, основанные на усреднении по инвариантной плотности отображения Гаусса, свелись к наглядной метрической интерпретации, а именно: совместное распределение т коэффициентов определяется мерой Гаусса интервала, границами которого являются точки разрыва ш-кратной композиции гауссова отображения.

В отличие от сдвигов Бернулли = Gxn mod 1, определяющих разложение чисел в G-ичную дробь, "естественное" (по мере Гаусса) вероятностное распределение величины, разлагаемой в непрерывную дробь, не приводит к независимости коэффициентов. Они оказываются одинаково распределенными зависимыми случайными величинами. Более того, одинаковыми вероятностными законами описываются последовательные и равные по числу элементов наборы коэффициентов, начинающиеся с произвольного места. На основе полученных формул возможно получение распределения и для совершенно неупорядоченных (требуется лишь возрастание по номерам) коэффициентов цепной дроби.

Совместные вероятностные распределения имеют интересное приложение в однородных анизотропных моделях эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна, давая исчерпывающее вероятностное описание длин казнеровских эпох, из которых складывается процесс эволюции пространственно-временной метрики [В21].

В главе 4 получены принципиальные результаты для хаотического отображения Реньи х„+1 = j.Зхп mod 1 (рассматриваются вещественные (нецелые) значения параметра 1 < (5 < 2 ). Свойство точности для этого отображения было доказано А. Реньи и В.А. Рохлиным.

В работе, во-первых, показано, что это отображение с коэффициентом, равным большему из чисел Фидия, /? = Ф = (\/5 + 1)/2, является единственным отображением, обладающим кусочно-постоянной инвариантной плотностью в форме двух ступенек (мы назвали его Ф - отображением). Во-вторых, доказано существование трех отображений с коэффициентами, являющимися действительными корнями трех кубических уравнений, которые обладают кусочно-постоянной инвариантной плотностью в форме трех ступенек. В-третьих, выяснена структура собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса (как по мере Лебега, так и по инвариантной мере) хаотического Ф-отображения и сопряженного ему базового эндомор

1 "У физма. В решении задачи использовался комбинированный метод построения инвариантных подпространств и неопределенных коэффициентов.

Выяснено, что собственные числа оператора Перрона-Фробениуса -это знакопеременные отрицательные степени числа /? = Ф = 1.618033., а собственные функции являются кусочно-полиномиальными функциями с точкой разрыва в точке "золотого сечения" 1/Ф = 0.618033. (для Ф-отображения) или в точке 1/(1 + Ф-2) (для сопряженного базового эндоморфизма, полученного обратимым кусочно-линейным преобразованием Ф-отображения). Найденные собственные числа и линейные собственные функции базисного эндоморфизма позволили провести точный расчет автокорреляционной функции для его орбит.

В главе 5 отражены два направления исследования двумерных недис-сипативных хаотических отображений (сохраняющих площадь). Во-первых, на формальном математическом уровне изучены особенности хаотической динамики ряда отображений, построенных на базе классического отображе

12 Были известны лишь первые две (включая инвариантную плотность) собственные функции оператора Перрона-Фробениуса для Ф-отображения [ВЗ1]. ния пекаря (дано представление этого отображения цифровым фильтром). Во-вторых, расширен класс недиссипативных отображений на плоскости на основе разработанных алгоритмов построения хаотических отображений на двумерных областях сложной формы (симплекс, кольцо и т.п.).

В главе 6 представлены результаты статистического моделирования профилей одномерных квазипериодических структур, находящих важное применение в радиофизических и оптических устройствах различного назначения (голографических дифракционных решеток, разнообразных транспортирующих и замедляющих систем микроэлектроники и оптоэлектроники, квазипериодических структур, образующиеся на поверхности конденсированных сред и в фоточувствительных слоях под воздействием когерентного оптического излучения, объектов живой природы с решетчатой микроструктурой и т.п.). На основе проведенного анализа особенностей формированиия таких структур в рамках спектрально-корреляционной теории случайных процессов рассчитаны основные статистические характеристики моделирующих функций - квазипериода и функции, случайным образом возмущающей идеальный профиль. Прослежено изменение характера спектра в зависимости от вида закона распределения длины ячейки и значений параметров распределения.

В главе 7 под общей "крышей" представлены статистические модели случайно-неоднородных поверхностных структур и случайно-неоднородных рассеивающих сред (с флуктуирующими параметрами). Эти модели объединяет два обстоятельства - как математического, так и физического толка. Во-первых, основные вероятностные предположения, положенные в их основу, совпадают - это пуассоновский характер распределения элементов, слагающих как рельеф на плоскости автоэмиссионного катода, так и трехмерную случайно-неоднородную среду. Во-вторых, согласуясь в плане математического описания, эти модели ориентированы на такую физическую посылку, как независимый (друг от друга) характер действия ансамбля случайно-неоднородных элементов. Для автокатода это выражается в отсутствии взаимоэкранировки эмиттирующих элементов, а для рассеивающих сред - в независимости процессов рассеяния на отдельных неоднородностях и в отсутствии многократного рассеяния ("перерассеяния") излучения (т.е. в выполнении условий однократного рассеивания).13.

Для обоих типов моделей выбрана своеобразная "конструкция": рельеф и рассеивающая среда формируются однотипными элементами, имеющими одну и ту же форму - цилиндров, полуэллипсоидов вращения, шаров и пр. (предполагается, что геометрические параметры этих "образующих" являются случайными и в общем случае статистически зависимыми).

Можно идти по пути усложнения моделей, если рельеф или среду представлять в виде совокупности образующих различных типов. Предлагаемые модели являются, по существу, анизотропными, т.к. явно предполагают ориентированность элементов - острийных эмиттеров перпендикулярно подложке, а рассеивающих элементов выстроенных в определенном направ

14 лении .

По единому сценарию для обоих типов моделей аналитически рассчитываются характеристические функционалы для случайных полей (поля высот автоэмиссионного рельефа и поля распределения диэлектрической проницаемости случайно-неоднородной среды), вариационные производных от этих функционалов, определяющие первые моменты случайных полей -средние значения и автокорреляционные функции как характеристики статистически однородных моделей. На основе применения преобразования Фурье к выражениям для автокорреляционных функций определяются винеровские спектры рассматриваемых моделей случайно-неоднородных структур. Полученные соотношения верны для произвольной формы образующей. Но, естественно, обозримые результаты могут быть получены при рассмотрении наиболее простых геометрических форм - составляющих рельефа и случайно-неоднородной среды в виде, например, цилиндров, полушаров, эллипсоидов вращения и т.д.

13 Данные условия могут формироваться специально (например, путем разбавления растворов, исследования ослабленного прошедшего излучения).

14 При формировании рельефов получение ориентированных острийных эмиттеров возможно только в рамках специальных технологий. В случайно-неоднородных средах подобная ситуация может возникать при наложении электрического поля (например, в случае решения задачи идентификации параметров химико-биологических структур) или естественным путем (так, кристаллы в перистых облаках выстраиваются под действием аэродинамических сил).

Построенная модель рельефа предлагается в качестве статистической модели матричных автоэмиссионных катодов на основе углеродных нанот-рубок (УНТ), получаемых в рамках различных технологий15 (результаты также применимы для статистического моделирования эпитаксиального роста нитевидных кристаллов). Предварительно проведен анализ особенностей формирования эмиссионных структур, свидетельствующий о сугубо статистической их природе, проявляющейся в случайном расположении нанотру-бок на подложке, в разбросе структурных параметров отдельных нанотрубок, в различной хиральности нанотрубок и, как следствие, различной электронной; в различной пространственной ориентации нанотрубок и т.п.

Аналитические выражения для статистических характеристик поля высот автоэмиссионного рельефа включают зависимость от плотности расположения эмиссионных центров на подложке и моментов второго порядка случайных геометрических параметров (высот и радиусов оснований) ост-рийных эмиттирующих элементов. Данные выражения принимают наиболее простой вид, если считать, что геометрические параметры острийных элементов рассматриваются как некоррелированные величины. Существенно, что в рамках сделанных предположений характеристики поля высот не содержат зависимость от пространственных координат.

Соответствующее выражение для винеровского пространственного спектра случайно-неоднородной среды также включает зависимость от статистических параметров рассеивателей. Полученные результаты имеют непосредственное отношение к проблеме определения параметров структуры среды на основе интерпретации картины интенсивности рассеянного излучения (в рамках выбранной модели рассеяния), так как теоретически пространственное распределение интенсивности, формируемое методами фурье-оптики, определяется именно винеровским спектром мощности (в зависимости от пространственной частоты).

Содержание главы 8 составляет построение стохастических моделей электронной эмиссии полевых и термоэлектронных катодов. Основные цели

15 Впервые в мире высокие эмиссионные характеристики УНТ были продемонстрированы сотрудниками Института радиотехники и электроники РАН, Саратовского отделения ИРЭ РАН и Института химического физики РАН (Ю.В. Гуляев, Н.И. Синицын, З.Я. Косаковская, JI.A. Черно-затонский, Г.В. Торгашов и др.). главы - это, во-первых, демонстрация возможностей применения марковских моделей случайных процессов к описанию и объяснению природы флуктуа-ционных и надежностных свойств эмиттерных систем, образованных совокупность центров эмиссии, во-вторых, выявление существенной роли начальных предположений, отражающих различные физические ситуации на катоде, на математические свойства моделей, и, в-третьих, собственно нахождение точных решений вероятностных уравнений и расчет основных характеристик спектрально-корреляционной теории случайных процессов - средних, дисперсий, корреляционных функций и спектральных плотностей через микропараметры модели (интенсивности смены эмиссионных состояний) в рамках марковских моделей эмиссии, в-четвертых, получение информации для решения задач прогноза и обратных задач по наблюдаемым реализациям эмиссии и результатам их статистической обработки.

Построение вероятностных моделей эмиссионных флуктуаций базируется на анализе процессов, протекающих на катоде (им посвящен начальный раздел главы). Для автоэмиттеров на основе микро- и наноострийных структур, в частности, углеродных нанотрубок, физическими реалиями являются статистическая особенность эмиссионных рельефов (этот вопрос специально выделен в седьмую главу), а также разнообразные физико-химические эффекты на поверхности и вблизи нее. Учет механизмов, приводящих к флук-туациям тока полевых катодов, в работе предлагается в основном решать в рамках марковской модели рождения и гибели на основе системы обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей "эмиссионных состояний" катода, с которыми, как правило, соотносится число функционирующих центров эмиссии в данный момент времени или иные количественные характеристики эмиссии (например, объем эмитированного заряда).

Процесс рождения и гибели (в случайные моменты времени) центров электронной эмиссии может анализироваться в различных приближениях, отражающих соответствующий режим функционирования катодной системы: инерционное вовлечение в работу ансамбля центров эмиссии, активная деградация катода, динамический (в общем случае - нестационарный) процесс, отражающий нестабильность эмиссии с отдельного центра и мультистабильный характер эмиссии с амсамбля источников электронов; кооперативный или некооперативный эффекты действия отдель эмиссионных центров и т.п. Статистические характеристики работы катодной системы представляются аналитическими соотношениями для вероятностей эмиссионных состояний катода, средних и дисперсий (нестационарных и асимптотических) числа эмиссионных центров и тока, корреляционных функций и частотных и частотно-временных спектров флуктуаций числа центров эмиссии и даваемого ими тока для различных модификаций марковских процессов и процессов восстановления. Рассмотренные разновидности марковских моделей флуктуаций тока автоэмиссии дают для спектра флуктуаций частотные зависимости типа лоренциана S(co)~ I/(A2 + а>2), где Л - некоторый параметр, выражающийся через микропараметры модели, или зависимости S(co) ~ of2. В случае примерного равенства интенсивностей рождения и гибели центров эмиссии, когда процесс становится стационарным, эти соотношения "схватывают" одну любопытную, реально наблюдавшуюся (Р.З. Бахтизин, С.С. Гоц) ситуацию, которая отвечает участку вольт-амперной характеристики катода в зоне отклонения процесса от поведения, предсказываемого теорией Фаулера-Нордгейма.

В этой же главе рассматривается одно из обобщений формулы Шоттки для дробовых шумов термоэлектронного эмиттера16, отражающая конечность эмиссионного ресурса. Определены эмиссионные, флуктуационные и надежностные характеристики для этой модели. Получены асимптотические выражения для функции распределения времени жизни катода (при различных соотношениях параметров модели - интенсивности эмиссии и общего ее ресурса). В практическом отношении интересен тот момент, что средний ток эмиссии и нестационарная корреляционная функция тока связаны с характеристиками надежности катода (вероятностными законами для времени жизни, функцией надежности). Эта связь, установленная в рамках рассматриваемой модели, может служить основой методики прогнозирования эмиссионных отказов в электровакуумных приборах по измерению эмиссионных и флуктуационных характеристик.

16 Эта же модель переформулирована и для описания процесса включения в работу автоэмитгерной системы под импульсным действием.

Построены оригинальные итерационные алгоритмы моделирования диффузионных процессов, основанных на броуновском движении в форме линейных авторегрессионных уравнений первого порядка (входное возмущение - дискретный белый гауссовский шум). Эти уравнения допускают переход к соответствующим математически корректным стохастическим дифференциальным уравнениям, содержащим стохастические дифференциалы от винеровского процесса. Сформулировано, в частности, каузальное авторегрессионное уравнение для броуновского моста (процесс отличается от винеровского процесса закреплением значений в граничных точках).

В главе 9 осуществлено применение математического арсенала марковских процессов к одной из проблем современной экологии - моделированию процесса кумуляции вредных агентов веществ организмом человека и теплокровных животных. Рассмотрены модели динамики поступления чужеродных агентов в организм человека на базе управляющих пуассоновских потоков с конечной и бесконечной скоростями инъекции. Приведены интегральные преобразования, связывающие статистические характеристики уровня накопления чужеродного агента в организме со статистическими характеристиками входного процесса. Детально исследовано вероятностное поведение процесса удержания в организме чужеродных агентов в рамках модели с бесконечной скоростью их ввода. Определены математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция накопленной дозы вещества как в "переходном" (на начальном этапе контактов), так и в установившемся "стационарном" режимах.

В итоге найдены отношения, позволяющие для различных значений параметров механизмов выведения чужеродных веществ и при различной степени интенсивности контактов и получаемой дозы оценить средний уровень накопления чужеродных агентов, соотнести его с допустимыми уровнями, оценить динамику вхождения организма в "стационарный" режим и разброс в уровнях накопления. В заключительном разделе главы проводится верификация предложенной модели.

Основные результаты и выводы работы формулируются в итоговом заключении.

РОССИЙСКАЯ ГОСУ/мрстоЕННАЯ

ЛПОТЕКЛ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итоги диссертационного исследования, сформулировав основные выводы и результаты.

1. Для теоретического изучения и модельных приложений целесообразно выделить два класса "соподчиненных" друг другу хаотических отображений - базовых (с равномерным инвариантным распределением) и сопряженных, связанных с базовыми эндоморфизмами обратимыми заменами переменной. Точные решения для одного из сопряженных отображений эффективно помогают определить соответствующие точные решения и для другого - траекторные характеристики (неподвижные точки, циклы), показатель Ляпунова, собственные числа и собственные функции оператора Перрона — Фробениуса, автокорреляционные функции орбит (при условии знания разложения независимой переменной в ряд по собственным функциям оператора и соответствующих этим функциям собственных чисел). Знание точных решений помогает корректно описывать на фундаментальном уровне эргоди-ческие и перемешивающие свойства отображений.

Наиболее "благодатными" (с точки зрения наличия точных решений) являются базовые кусочно-линейные отображения с полными ветвями, переводящими подынтервал своего задания на полный (единичный) интервал и имеющими равные по абсолютной величине тангенсы углов наклона. Эти отображения замечательны тем, что возможность точного решения сохраняется при всевозможном их "тиражировании" в форме разнообразных композиций. Для определения полиномиальных (целых) собственных функций и чисел эволюционных операторов таких отображений возможно построение специальных производящих функций, в компактном, "архивном" виде содержащих решение задачи на собственные значения, которое "раскрывается" в результате действия на эту производящую функцию соответствующего оператора Перрона-Фробениуса. Названная производящая функция для данного класса кусочно-линейных отображений является линейной комбинацией производящих функций для полных, неортогональных систем полиномов Бернулли и Эйлера. Знания собственных функций и собственных чисел помогает кардинально решить проблему установления равновесного состояния в таких системах при произвольном начальном условии - вероятностном распределении стартового значения отображения (в том числе, посредством представления начального распределения в ряд по комбинированной системе полиномов Бернулли и Эйлера), вычислить автокорреляционные функции для траекторий и всех наблюдаемых, связанных с этими траекториями.

2. С каждым базовым эндоморфизмом можно связать разнообразные (по вероятностным характеристикам и структуре отображения) сопряженные хаотические отображения. Условие рационального представления, непрерывности, единого аналитического задания для всех ветвей отображения накладывает определенные требования на сопрягающий изоморфизм: он должен быть представлен монотонной ветвью периодической или эллиптической функции. В последнем случае возможно появление отображений, генерирующих хаос для некоторой области непрерывного изменения параметра. От вида изоморфизма зависит и фазовое пространство нового отображения -оно может быть "переведено" не только на произвольный отрезок, но и на всю числовую ось. Инвариантность показателя Ляпунова для сопряженных отображений предопределяет появление топологических "клонов" (таковыми могут быть и разнообразные эргодические отображения с нулевым показателем Ляпунова, порожденные дробно-линейными отображениями). Возможна противоположная ситуация: отображения с одним и тем же инвариантным распределением могут быть реализованы на базе различных базовых эндоморфизмов (определяющим для вида инвариантной плотности является вид сопрягающего изоморфизма), в связи с чем анализ и синтез хаотических датчиков псевдослучайных числовых последовательностей требует определенной априорной информации, касающихся числа ветвей, значения показателя Ляпунова, структуры собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса, вида автокорреляционной функции орбит и т.п. Один из результатов, давая эффективный алгоритм расчета корреляционных функций траекторных решений для сопряженных отображений, четко подчеркивает значимость решения спектральных задач для операторов Перрона-Фробениуса при исследовании и синтезе разностных уравнений первого порядка (хаотических отображений): асимптотические и корреляционные свойства решений и наблюдаемых (вдоль траекторий) определяются собственными числами и собственными функциями этого оператора.

3. Отображение и задача Гаусса - это тот "оселок", на котором оттачивают свое умение математики и физики вот уже на протяжении 200 лет, решая, в частности, задачу о расцеплении корреляций траекторий этого отображения. Отображение Гаусса имеет интересные применения и в хаотических однородных анизотропных моделях ранней эволюции Вселенной.

Прямой аналитический расчет совместных асимптотических вероятностных распределений для коэффициентов цепной дроби на основе формальной связи между совместными, маргинальными и условными распределениями (последние носят вырожденный характер) приводит к результату, имеющую наглядную метрическую трактовку - совместное распределение т коэффициентов непрерывной дроби определяется мерой Гаусса интервала, границей которого являются точки разрыва m-кратной композиции гауссова отображения. Результаты демонстрируют вероятностную зависимость коэффициентов, но все законы распределения оказываются инвариантными относительно сдвига в последовательности коэффициентов: совокупность коэффициентов А1,А2,.Ат имеет точно такое же распределение, как и набор коэффициентов Ам,А2+к,.Ат+к (для любых т и к). На основе тех же формул возможно получение распределения и для совершенно неупорядоченных (требуется лишь возрастание по номерам) коэффициентов цепной дроби -достаточно лишь просуммировать выражения, входящие в формулы, по всем значениям "выводимых" из последовательности коэффициентов. Результаты автоматически могут быть использованы для исчерпывающей вероятностной характеристики длин казнеровских эпох, вводимых при периодизации процесса эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна.

При разложении инвариантного распределения Гаусса по полиномам Бернулли выяснилось, что наиболее существенным для него является линейная аппроксимация. Аналитический и численный расчеты показателя Ляпунова в контексте взаимной их верификации устранили встречавшиеся ранее некорректности.

Преобразованием переменной отображение Гаусса может быть трансформировано в сопряженные ему отображения. Наиболее интересными из них являются: отображение на положительном полуинтервале, инвариантная плотность которого характеризует одномерное распределение коэффициентов непрерывной дроби, и отображение со счетным число ветвей, генерирующее на единичном интервале равномерное распределение. Имя Гаусса может быть соотнесено с теорией детерминированного хаоса и в дополнительном контексте: изоморфизмы, построенные на основе лемникастных функций Гаусса "дают жизнь" новым одномерным хаотическим отображениям.

4. Хаотическое отображение Реньи является "генератором" кусочно-линейных отображений, обладающих кусочно-постоянными инвариантными плотностями на единичном интервале. Единственным отображением, дающим двухступенчатое распределение Реньи, является отображение с коэффициентом, равным большему числу Фидия (Ф-отображение). Существуют три значения параметра отображения, когда инвариантная плотность "расслаивается" уже на три ступеньки. В этой связи можно говорить, что существует принципиальная возможность задания кусочно-линейных отображений с инвариантной плотностью, вид которой априорно известен - кусочно-постоянная функция. Вариация единственного параметра отображения приводит к смене числа ступенек в инвариантном законе. Собственными функциями Ф-отображения являются кусочно-степенные функции, терпящие разрыв в точке золотого сечения, а собственными числами - знакопеременные отрицательные степени параметра отображения. Аналогичной структурой обладают собственные числа и собственные функции базового эндоморфизма (для Ф-отображения), получаемого кусочно-линейной заменой переменной переменных из Ф-отображения (из точки золотого сечения

-1)/2~0.618. точка разрыва для базового отображения смещается в точку 1/(1 + Ф"2)« 0.724.

5. Целенаправленное успешное прикладное использование хаотических отображений возможно при условии детального знания разнообразных их особенностей. В работе недиссипативное отображение пекаря интерпретируется как цифровой фильтр, а именно: уравнение «сжимающей» координаты отображения в любой из своих модификаций - это уравнение для выходного сигнала дискретного устойчивого, каузального, обратимого фильтра, на входе которого действует случайная последовательность в форме G-ичных (инвертированных G-ичных, если речь идет об отображении с коэффициентом G) разрядов начального значения х0. Этот фильтр описывается линейной авторегрессионной моделью первого порядка. В асимптотике эта модель обладает свойством «забывчивости» по отношению к начальному значению «сжимающей» координаты у0.

Построение двумерных отображений основано на самосогласованных преобразовании двух координат, причем вид преобразования одной из них можно задать, следуя методу Дж. Фон Неймана, либо исходя из свойств совместного распределения. Развитые приемы построения двумерных хаотических отображений открывают перспективу построения хаотических отображений, определенных на трехмерных (многомерных) областях.

6. Если различные профили одномерных квазипериодических структур моделировать в рамках полумарковских процессов восстановления, но интерпретируемых в пространственной "развертке", можно получить вероятностное описание квазипериодических структур в терминах различных вероятностных распределений "квазипериода" как одной из основных характеристик периодической структуры с нарушенной трансляционной симметрией (считается, что коэффициент вариации параметров не превышает единицы). Учитывая влияние структурных погрешностей в пределах "квазипериода" как случайную вариацию некоторого «базового» идеализированного профиля, можно получить аналитические выражения для автокорреляционной функции и винеровского спектра случайной функции, задающей профиль структуры, которое содержит информацию о усредненных числовых характеристиках отклонений от идеального профиля.

7. Автоэмиссионные структуры имеют сложный статистический характер. И это прежде всего связано, видимо, с тем, что процесс формирования эмиссионной поверхности в различных частях подложки не происходит в идентичных физических условиях. Геометрические и физические особенности отдельных эмиссионных центров не могут не приводить к разбросу эмиссионных, шумовых и надежностных характеристик этих центров. Так, от геометрии и плотности острий зависит коэффициент усиления электрического поля близи эмиттирующих острий, число эмиттирующих центров (площадь эмиттирующей поверхности), степень взаимной экранировки системы элементарных эмиттеров. Кроме того, структурные особенности нанотрубок, наличие примесей и дефектов оказывает влияние на их электронные характеристики (работу выхода электронов, проводимость). Таким образом, математические модели автоэмиттеров должны как обязательный компонент включать в себя и вероятностное описание структурных и функциональных характеристик. В данной работе представлена достаточно простая модель эмиссионной структуры, предполагающая "однонаправленность" и "однообразность" геометрической формы эмитирующих острий. Обобщающая вероятностная характеристика структуры - характеристический функционал поля высот и его статистические моменты включает параметры индивидуальных эмиттеров и плотность их расположения на подложке.

Аналогичную структуру имеет и характеристический функционал трехмерной случайно-неоднородной среды, представляемой в виде композиции изотропного "фона" и случайных флуктуаций в форме образований некоторой фиксированной формы, но со случайными местоположением и (в общем случае) ориентацией, а также со случайными геометрическими параметрами. Характеристические размеры рассеивающих элементов, их плотность входят в выражение для автокорреляционной функции и винеровского спектра такой структуры (результаты конкретизированы для однонаправленной системы рассеивающих элементов).

8. Моделирование конкретных флуктуационных и деградационных явлений в полевой и термоэлектронной эмиссии основано на корректном соотнесении модельных предположений с размеченным с графом состояний соответствующей дискретной марковской модели (системы уравнений Колмогорова), включая определение общей длительности процесса и характера смены эмиссионных состояний, связанного с заданием интенсивностей переходов, а также предположение о наличии "особых" эмиссионных состояний. Найденные вероятности состояний эмиссионной системы определяют вид ее флуктуационных и надежностных характеристик в рамках каждой конкретной модели (бистабильные флуктуации, флуктуации тока с массива эмиттеров, деградационные явления и т.п.). Функция надежности работы эмиттера t также выражается через решения модельных уравнений. Как правило, получаемые модели являются нестационарными (в частности, модификация модели Шоттки для дробового шума, получаемая при априорном предположении конечности эмиссионного ресурса катода). Стационарная модель возникает в предположении равенства интенсивностей процессов рождения и гибели эмиссионных центров, отражая экспериментально наблюдаемую ситуацию. Общим качественным результатом для рассмотренных разновидностей моделей случайных нестабильностей тока автоэмиссии является проявление "генетического", видимо, свойства всех марковских моделей - давать для спектра токовых флуктуаций частотные зависимости типа лоренциана.

9. Применение марковских моделей к исследованию процессов контактов организма человека с чужеродными веществами позволило сформулировать "работоспособные" аналитические соотношения, дающие возможность отслеживать динамику процесса накопления организмом вредных агентов и рассчитывать числовые характеристики этого процесса - средний уровень накопленного агента и дисперсию при различных "режимах" контакта организма с чужеродными веществами. Особенностью модели накопления является существование уровня насыщения, который в действительности характерен для организмов животного и растительного происхождения.

1. В.Л. Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными // УФН. Т. 169. № 4. С. 419-441.

2. Г.Г. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: Эдиториал УРСС, 2000. С.З.

3. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск, РХД, 2001. С. 16-17.

4. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. С. 45.

5. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. С. 9.

6. Левин Б.Р., В. Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: 1985. С.9.

7. Рид М., Б. Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. С.9.

8. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1988.

9. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. М.: Мир, 1988. - 208 с.

10. Бабенко К.И. Основы численного анализа.- М.: Наука, 1986. Гл.9.

11. Сегре Э. Энрико Ферми. Физик. М.: Мир, 1973. С. 37.

12. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с.

13. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240с.

14. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 424 с.

15. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: ГосУНЦ "Колледж, 2002. - 324 с.

16. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

17. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск, РХД, 2000.-200 с.

18. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. -М.: Фазис. 1998. Тт. 1,2.

19. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физмат-лит, 2001.-296 с.

20. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем//УФН. 1983. Т. 141. Вып. 2. С. 343-374.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. Гл. 14. Релятивистская космология.

22. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1994. - 272 с.

23. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. - 252 с.

24. Бланк Л.М. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦНМО, 2001. - 352 с.

25. Ф 25. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964.

26. Дулов В.Г., Цибаров В.А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2001.-244 с.

27. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования. М.-Ижевск: РХД, 2001. - 160 с.

28. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. - М.-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003.-530 с.

29. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.-384 с.

30. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. - 768 с.

31. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theor. Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 1266-1283.1. К главе 1

32. May R.M., Pater G.E. Bifurcations and dynamical complexity in simple ecological models // Amer. Natur. 1976. V. 110. No 947. pp. 573-599.

33. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics // Nature. 1976. V. 261. Pp. 49-75.

34. Фейгенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141. Вып. 2. С. 343-374.

35. Collet P., Eckman J.-P. Iterated maps on the interval as dynamical systems. Boston: Birkhauser, 1980. 248 p.

36. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории по-пуляционной биологии. М.: Наука, 1983. - 134 с.

37. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. Т. 39. Вып. 3(237). С. 3-37.

38. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разност- Щ ные уравнения и их приложения Киев: Наукова думка, 1986 - 280 с.

39. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова Думка, 1989. - 214 с.

40. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240с.

41. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с.

42. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986. - 432 с.

43. И. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М.: Мир, 1989. 488 с.

44. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.344 с.

45. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 424 с.

46. Devaney R.L. An introduction to chaotic dynamical systems. Sec. Ed. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1989. 336 p.

47. Мун Ф. Хаотические колебания. M.: Мир, 1990. - 312 с.

48. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. - 368 с.

49. Глас Л., Мэки М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.-248 с.

50. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука, 1990. - 320 с.

51. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

52. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1994. - 272 с.

53. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

54. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н., Бойкова С.А., Малышева О.В. Инвариантные множества динамических систем в Windows. М.: Эдиториал УРСС, 1998.-240 с.

55. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 1999.-368 с.

56. Пригожин И.Р. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. Ижевск, РХД, 2000. - 208 с.

57. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

58. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамки. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

59. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 256 с.

60. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Ижевск: РХД, 2000.- 560 с.

61. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: РХД, 2000. - 200 с.

62. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск: РХД, 2001. - 192 с.

63. Бланк JI.M. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦНМО, 2001. - 352 с.

64. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физмат-лит, 2001.-296 с.

65. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 288 с.

66. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет, 2001. 184 с.

67. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: РХД. 2001. - 528 с.

68. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.

69. Дулов В.Г., Цибаров В.А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2001. -244 с.

70. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. М.: Мир, 2002. - 461 с.

71. Пригожин И. От существующего к возникающему. Время и сложность в физических науках. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 288 с.

72. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2002. - 324 с.

73. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / Под ред. B.C. Анищенко. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с.

74. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

75. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. 4.1. М.- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 416 с.г

76. Pastor G., Romera M., Alvarez G., Montoya F. How to work with one-dimensional quadratic maps // Chaos. Solitons and Fractals. 2003. V. 18. Iss. 5. Pp. 899-915.

77. Tasaki S, Suchanecki Z., Antoniou I. Ergodic properties of piecewise linear maps on fractal repellers // Physics Letters. 1993. V. A 179. Pp. 103-110.

78. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress of Theoretical Physics. 1981. V. 66. No 4. Pp. 1266-1283.

79. Hasegava H.H., Saphir W.C. Decaying eigenstates for simple chaotic systems // Physics Letters. 1992. V. A 161. Pp. 471-476.

80. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля. Изд. 6-е. М.: Наука, 1973. Гл. 14. Релятивистская космология.

81. Lakshmibala S., Satyanarayana M.V. Phase estimation, photon cloning and the Bernoulli map // Physics Letters A. 2002. V. 298. Pp. 1-6.

82. Nagatani T. Chaotic motion of shuttle buses in two-dimensional-map model 11 Chaos, Solitons and Fractals. 2003. V. 18. Iss. 5 Pp. 731-738.

83. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. Изд. 3-е. М.: Вильяме, 2000. Глава 3.

84. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.-472 с.

85. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. - 320 с.

86. Гренандер У., Фрайбергер В. Краткий курс вычислительной математики и статистики. М.: Наука, 1978. - 192 с.

87. Кейперс Л., Нидерррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985. - 408 с.

88. Журбенко И.Г. Анализ стационарных и однородных случайных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 240 с.

89. Каханер Д., Моулер К. Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998.

90. Иванова В.М. Случайные числа. М.: 1984.

91. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. - 252 с.

92. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматгиз, 2002. - 292 с.

93. Lasota A., Mackey M.C. Probabilistic properties of deterministic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 360 c.

94. Lasota A., Yorke J.A. On the existence of invariant measures for piece-wise monotonic transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V. 186. Pp. 481-488.

95. Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. Pp. 985-992.

96. Pianigiani G. Existence of invariant measures for piecewise continuous transformations // Annals Polonici Matematici. 1981. V. XL. Pp. 39-45.

97. Ulam S.M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. V. 53. No. 11. P. 1120.

98. Adler R.L., Rivlin T.J. Ergodic and mixing properties of Chebyshev polynomials // Proc. Am. Math. Soc. 1964. V. 15. No 5. P. 794-796.

99. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math. Acad. Sc. Hungar. 1957. V. 8. P. 477-493.

100. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theor. Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 1266-1283.

101. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: РХД, 1999. - 408с.

102. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Ижевск: РХД, 2001.- 132 с.

103. Рохлин В.А. Избранные работы. М.: МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999.-496 с.

104. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: РХД, 1999.- 284 с.

105. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир,1969.

106. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.-384 с.

107. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматлит, 1995. 208 с. - (Современные проблемы математики; вып. 31).

108. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.

109. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.2. Динамические системы-2. М.: ВИНИТИ, 1985. 312 с. (Сер. Итоги науки и техники).

110. Banks J., Brooks J, Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney's definition of chaos // Amer. Math. Monthly. 1992. V. 99. No 4. Pp. 332-334.

111. Xu Z., Lin W., Ruan J. Decay of correlation implies chaos in the sense of Devaney// Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 22. Pp. 305-310.

112. Ершов C.B., Малинецкий Г.Г. О решении обратной задачи для уравнения Перрона-Фробениуса // Ж. выч. матем. и матем. физики. 1988. Т.28. № 10. С. 1491-1497.

113. Iosifescu М., Kraaikamp С. Metrical Theory of Continued Fractions. Kluwer Boston, Inc. 2002. Chs. 1, 2.

114. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

115. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1.Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 с.

116. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

117. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Дрофа, 2001. 384 с.

118. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.488с.

119. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Новокузнецк: НФМИ, 2000. - 352 с.

120. Гельфанд И.М., Виленкин И .Я. Обобщенные функции. Вып. 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: ГИФМЛ, 1961.-472 с.

121. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. — 448 с.

122. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука, 1965.-624 с.

123. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

124. Wirsing Е. On the theorem of Gauss-Kuzmin-Levy and a Frobenius type theorem for function spaces // Acta Arithmetica, 1974. Vol. 24. P. 507-528.

125. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.-456 с.

126. Пригожин И.Р. От классического хаоса к квантовому // Природа -1993. N 2. - С.13-23.

127. Antoniou I., Tasaki S. Spectral decomposition of the Renyi map // J. Phys. A: Math. Gen. 1993.-V. 26.-P. 73.

128. Antoniou I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. Quantum Chemistry. 1993. V. 46. Pp. 425-474.

129. Bandtlow F., Antoniou I., Suchanecki Z. Resonances of dynamical systems and Fredholm-Riesz operators on Rigged Hilbert spaces // Computers Math. Applic. 1997. V. 34. No 2-4. Pp 95-102.

130. Antoniou I., Dmitrieva L., Kuperin Yu., Melnikov Yu. Resonances and extension of dynamics to rigged Hilbert space // Computers Math. Applic. 1997. V. 34. No 5/6. Pp 399-425.

131. Гельфонд A.O. Исчисление конечных разностей. M.OJI.: ГИТТЛ, 1952.-480 с.

132. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностр. лит., 1951.504 с.101. де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961.-248 с.

133. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.-544 с.

134. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: ГИФМЛ, 1963. 4.1. Основные операции анализа. - 344 с.

135. Gaspard P. r-adic One-dimensional maps and the Euler summation formulf// J. Phys. A: Math. Gen. 1992. V. 25. L. 483-485.

136. Никифоров А.Ф., Уваров Б.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. - 304 с.

137. Ландо К.С. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2004. - 144 с.

138. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1972.-256 с.

139. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965.-296 с.

140. Driebe D.J., Ordonez G.O. Using symmetries of the Perron-Frobenius operator to determine spectral decompositions // Phys. Let. 1996. V. A 211. Pp. 204-210.

141. Прасолов В.В. Многочлены.- М.: МЦНМО, 2003. 336 с.

142. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67 - 73.

143. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Барулина Ю.А. Спектральные задачи для хаотических отображений с инвариантными экспоненциальными распределениями // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Т. 6. С. 27-31.

144. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения // Там же, с. 33-35.

145. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Формула Эйлера-Маклорена в теории детерминированного хаоса // // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2001. Т. 7. С. 74-76.

146. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций // Моделирование: Сб. науч. статей / Под ред. проф. Б.Е. Железов-ского. Саратов: Исток-С, 2002. С. 24-30.

147. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Chaotic Maps Generating White Noise // // International Conference "Physics and Control". Proceedings. Saint Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P. 452-455.

148. Anikin V.M., IGoloubentsev A.F.| Analysis of biological chaotic ryth-mes // Proc. SPIE. Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics / V.V. Tuchin, Ed. 2004. V. 5330. P. 167-177.

149. Anikin V.M., Arkadaksky S.S., Remizov A.S. Operator description of maps providing chaotic rythmes // Proc. SPIE. 2005. V. 5696. Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics II. Valery V. Tuchin, Ed. Pp. 144-150.

150. Мардиа К. Статистический анализ угловых наблюдений. М.: Наука, 1978.-240 с.

151. Dorfle М. Spectrum and eigenfunctions of the Frobenius-Perron operator of the tent map // J. Stat. Phys. 1985. V. 40. Nos. 1/2. Pp. 93-132.

152. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М., Наука, 1971.

153. Grossmann S., Thomae S. Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes // Z. Naturforsh. 1977. V. 32a. P. 1353-1363.

154. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979.-830 с. Гл. 23.

155. Boas R.P., Buck R.C. Polynomial expansions of analytic functions. -Berlin* Springer, 1964.1. К главе 2

156. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964.168 с.

157. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. Гл. 2.

158. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Издательство "Факториал", 1999. - 768 с.

159. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1986.- 280 с.

160. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова Думка, 1989. - 214 с.

161. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 с.

162. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

163. Banks J., Brooks J, Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney's definition of chaos // Amer. Math. Monthly. 1992. V. 99. No 4. Pp. 332-334.

164. Ulam S.M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. V. 53. No. 11. P. 1120.10.von Neuman J. Collected Works. New York, Macmillan, 1963. V. 5. Pp. 768-770.

165. Adler R.L., Rivlin T.J. Ergodic and mixing properties of Chebyshev polynomials // Proc. Am. Math. Soc. 1964. V. 15. No 5. P. 794-796.

166. Grossmann S., Thomae S. Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes // Z. Naturforsh. 1977. V. 32a. P. 1353-1363.w*

167. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в популяцион-ной биологии. М.: Наука, 1983. - 134 с.

168. Tsuchia Т., Szabo A., Saito N. Exact solutions of simple nonlinear difference equation systems that show chaotic behavior // Z. Naturforsh. 1983. V. 38a. P. 1035-1039.

169. Tsuchiya T. An exactly solvable difference equation that gives pure chaos for a continuous range of a parameter // Z. Naturforsh. 1984. V. 39a. P. 8082.

170. Katsura Sh., Fukuda W. Exactly solvable models showing chaotic behavior// Physica A. 1985. V. 130A. No 3. P. 597-605.

171. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. The Difference Scheme Showing the Stiff Transition from a Regular Regime to a Chaotic one // Ibid. P. 74.

172. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. Gauss Lemniscate Functions as exact Solutions for Chaotic Maps // Ibid. P. 75.

173. Umeno K. Method of constructing exactly solvable chaos // Phys. Rev. E.1997. V. 55. No 5. P. 5280-5284.

174. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. The Explicit Solutions of Frobenius -Perron Equation for the Chaotic Infinite Maps // Int. J. Bifurcation and Chaos.1998. V. 8. No 5. P. 1049-1051.

175. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Богомолов A.B. Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника. 2000. № 2. С. 38-41.

176. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67 - 73.

177. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 3. С. 50-58.

178. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Богомолов A.B. Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника. 2000. № 2. С. 38-41.

179. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. № 1. С.39-42.

180. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Хаотические отображения для усеченных статистических распределений // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 1998. Вып. 4. С. 26-29.

181. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Инвариантные меры для хаотических разностных уравнений с точными решениями // Там же, с. 29-31.

182. Голубенцев А.Ф., Аркадакский С.С., Аникин В.М. Дробно-линейное хаотическое отображение // Там же, с. 32-33.

183. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Эволюционные уравнения для хаотических отображений в форме полиномов Чебышева // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1999. Вып. 5. С. 48-49.

184. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Операторы Фробениуса Перрона для сопряженных хаотических отображений // Там же. С. 50-52.

185. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Хаотические отображения с инвариантными законами распределения в форме эллиптических интегралов // Там же. С. 53- 55

186. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Difference Scheme with Instant Transition from Order to Chaos // International Conference "Physics and Control". Proceedings. Saint Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P. 446-451.

187. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Chaotic Maps Generating White Noise // Ibid. P. 452-455.

188. Anikin V.M., .Goloubentsev A.F.) Analysis of biological chaotic rythmes

189. Proc. SPIE. V. 5330. Complex dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics / V.V. Tuchin, Ed. 2004.

190. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Сопряженные хаотические отображения // Ibid. Pp. 78-80.

191. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Примеры сопряженных эндоморфизмов на действительной прямой // Ibid. Р. 80.

192. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Хаотические отображения на числовой оси с точной инвариантной мерой и нулевым показателем Ляпунова // Ibid. Pp. 80-81.

193. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M., On the Lyapunov exponent for the Gauss map // International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes. Ambliside, August 16-20, 1999. Abstracts. P. 49.

194. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Arkadaksky S.S. A class of ID maps having exact invariant distributions and Lyapunov exponent equal in fact to zero // Ibid., p. 67.

195. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Chaotic models of fluctuations in field emission // 2000 IEEE Int. vacuum electron sources conference. Orlando, Florida, July 10-13, 2000. Trchnical Digest. P-22.

196. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M. О хаотической модели флуктуаций полевой эмиссии // Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Материалы конференции. Саратов, 20-24 марта 2001. С. 30-31.

197. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Difference Scheme with Instant Transition from Order to Chaos // International Conference "Physics and Control". Final Program and Abstracts. Saint Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P. 102-103.

198. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Chaotic Maps Generating White Noise // Ibid. P.75.

199. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Noyanova S.A., Barulina Y.A. Baker Transformation as Autoregression System // Ibid. P. 124.

200. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. Изд. 3-е. М.: Вильяме, 2000. - 832 с.

201. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физматлит, 2001.-296 с.

202. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.-528 с.

203. Lasota A., Mackey М.С. Probabilistic properties of deterministic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 360 c.

204. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: РХД, 2000. Гл.4, 5.

205. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963. - 1100 с.

206. Falk Н. Evolution of the density for a chaotic map // Physics Lettters.1984. Vol. 105A. N 3. Pp. 101-102.

207. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике. М.: ОНТИ, 1936. Глава 1.

208. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции. М.: ГИФМЛ, 1963. Глава 22.

209. Eadic W.T., Dryard D. et al. Statistical methods in experimental Physics. North Holland Publishing Company, 1971.

210. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т.2.

211. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / B.C. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука,1985.-640 с.

212. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.248 с.

213. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Ижевск: РЧД, 2000. - 560 с.

214. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / Под ред. B.C. Анищенко. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с.

215. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Рождение многомерного хаоса в активных решетках // ДАН СССР. Т. 279. № 3. С. 596601.

216. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. - 192 с.

217. D6rfle М. Spectrum and eigenfunctions fo the Frobenius-Perron Operator of the tent map // J. Stat. Phys. 1985. V. 40. Nos.1/2. Pp.93-132.

218. Alonso D., MacKernan D., Gaspard P., Nicolis G. Statistical approach to nonhyperbolic chaotic systems // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. No 3. Pp. 2474-2478.

219. Гельфонд A.O. Исчисление конечных разностей. M.OJL: ГИТТЛ, 1952.-480 с.

220. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностр. лит., 1951.504 с.74.де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

221. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. - 544 с.

222. Mori Н., So B.-Ch., Ose Т. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theor. Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 1266-1283.

223. Cristiansen F., Paladin G., Rugh H.H. Determination of correlation spectra in chaotic systems // Phys. Rev. Let. 1990. V. 65. # 17. Pp. 2087-2090.

224. Fujisaka H., Yamada T. Theoretical study of time correlation functions in discrete chaotic process // Z. Naturforsch. 1978. V. 33a. Pp. 1455-1460.

225. Csordas A., Gyorgyi G., Szepfalusy P., Tel T. Statistical properties of chaos demonstrated in a class of one-dimensional maps // haos. 1993 (1). Pp. 3149.

226. Liverani C. Decay of correlations // The Annals of Mathematics. Second Series. V. 142. Iss. 2. Pp. 239-301.

227. Froyland G. Computer-assigned bounds for the rate of decay of correlations // Comm. Math. Phys. 1997. V. 189. Pp. 237-257.

228. Pingel D., Schmelcher P. , Diakonos F.K. Theory and examples of the inverse Frobenius-Perron problem for complete chaotic maps // Chaos. V. 9. No. 2. pp. 357-366.

229. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г.А., Стрелкова Г.И. Корреляционный анализ режимов детерминированного и зашумленного хаоса // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 43. № 7. С. 1-12.

230. Xu Z., Lin W., Ruan J. Decay of correlation implies chaos in the sense of Devaney // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 22. Pp. 305-310.

231. Харди Г. Курс чистой математики. М.: ГИИЛ, 1949.- 512 с.

232. Ершов С.В., Малинецкий Г.Г. О решении обратной заадчи для уравнения Перрона-Фробениуса//Ж. выч. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 10. С. 1491-1497.

233. Ding J., Rhee N.H. Approximations of Frobenius-Perron operators via interpolation //Nonlinear Analysis. 2004. V. 57. Pp. 831-842.

234. Евграфов M.A. Аналитические функции. M.: Наука, 1965. - 424 с.

235. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. - 432 с.

236. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 4. Функции комплексного переменного: теория и практика. М.: УРСС, 1999. -352 с.

237. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Arkadaksky S.S. Ergodic Maps with Lyapunov Exponent Equal to Zero //2000 2nd International Conference "Control of Oscillation and Chaos". Proceedings /Edited by F.L. Chernousko and A.L. Frad-kov. V.l. Pp. 44 47.

238. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев С.И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.-800 с.

239. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Задачи Бюффона. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. - 80 с.1. К главе 3

240. Carl Friedrich Gauss. Werke. B.X,. 1917. S. 371-374 (Brief an Laplace vom 30 Jan. 1812); S. 483-574 (Tagebuch).

241. Бюлер В.К. Гаусс. Биографическое исследование. М.: Наука, 1989.-208 с.

242. R.O. Kuzmin. Sur un probleme de Gauss // Atti del Congresso Inter-nazionale del Matematici Bologna. 1928. Tomo VI. Pp. 83- 89. Zanichelli, Bologna, 1932.

243. P.O. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса // ДАН СССР. 1928. Серия А. С.375-380.

244. Хинчин А.Я. Цепные дроби. Изд. 4-е. М.: Наука, 1972. - 112 с.

245. Uspenski J.V. Introduction to mathematical probability. McGraw-Hill, New York, 1937. Pp. 396-397.

246. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. С. 52-63.

247. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. С. 391-396.

248. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. Изд. 3-е. М.: Вильяме, 2000. С. 407-411.

249. Gray J.J. A commentary on Gauss' mathematical diary, 1796-1814, with English translation // Exposition. Math. 1984. V. 2. Pp. 97-130.

250. Iosifescu M., Kraaikamp C. Metrical Theory of Continued Fractions. Kluwer Boston, Inc. 2002. Chs. 1,2.

251. Голубенцев А.Ф.,| Аникин В.М. Евклид, Гаусс и детерминированный хаос // Вестник Саратовского университета. Новая серия. 2003. Т. 3. Вып. 2. С. 166-176.

252. Дэвенпорт Г. Высшая математика. М.: Наука, 1965. - 176 с.

253. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Гос. учебно - педаг. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1960. С. 56.

254. Hensley D. The number of steps in the Euclidean algorithm // J. Number Theory. 1994. V. 49. Pp. 142-182.

255. Vallee B. Operators de Ruelle-Mayer generalizes et analyse des algorithms d'Euclide et de Gauss //Acta Arith. 1997. V. 81. Pp. 101-144 (in French).

256. Daude H., Flajolet Ph., Vallee B. An average-case analysis of the Gaussian algorithm for lattice reduction // Combinatorics, Probability, Computing. 1997. V. 6. Pp. 397-433 (INRIA preprint RR2798).

257. Flajolet Ph., Vallee B. Continued Fraction Algorithms, Functional Operators, and Structure Constants // Theoretical Computer Science. 1998. V. 194 (1-2). Pp. 1-34.

258. Vallee В. Digits and continuants in Euclidean algorithms. Ergodic versus Tauberian theorems // J. de Theorie des Nombres de Bordeaux. 2000. V. 12. Pp. 531-570.

259. Vallee B. Dynamical Analysis of a Class of Euclidean Algorithms // Theoretical Computer Science. 2003. V. 297 /1-3. Pp. 447-486.

260. Baladi V., Vallee B. Euclidean algorithms are Gaussian. Preprint. In-stitut de Mathematiques de Jussieu, Paris / Universit6 de Caen, Caen, France. 2003. 46 p.

261. Jenkinson O., Gonzalez L.F., Urbanski M. On transfer operators for continued fractions with restricted digits // Proc. London Math. Soc. 2003. V. 86. Pp. 443=450

262. Ruelle D. Thermodynamic formalism. Addison Wesley, Reading. Mass., 1978.

263. Ruelle D. Dynamical zeta functions and transfer operators // Notices Amer. Math. Soc. 2002. V. 49. Pp. 887-895.

264. Mayer D. On composition operators on Banach Spaces of holomor-phic functions // J. of Functional Analysis // 1980. V. 35. Nj 2. Pp. 191-206.

265. Mayer D. The Ruelle-Araki transfer operator in classical statistical mechanics. Lecture Notes in Physics. V. 123. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1980.

266. Mayer D.H. On the Thermodynamic Formalism for the Gauss Map // Commun. Math. Phys. 1990. V. 130. P. 311-333.

267. Baladi V. Positive transfer operators and decay of correlations. World Scientific, Singapore, 2000.

268. Doeblin W. Remarques sur la theorie metrique des fractions continues // Composite Math. 1940. V.7. Pp. 353-371.

269. Ryll-Nardzewski C. On the ergodic theorems. II // Studia Math. 1951. V. 12. Pp. 74-79.

270. Renyi A. Representations for Real Numbers and Their Ergodic Properties // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1957. V. 8. Pp. 477-493.

271. Рохлин В.А. Избранные работы. M.: МЦНМО, ВКМ НМУ. 1999. -496 с.

272. Рохлин В.А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Известия АН СССР. Сер. мат. 1961. С. 499-530.

273. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. -М.: Наука, 1980. Гл. 7.

274. Корнфельд И.П., Синай Я.Г. Энтропийная теория динамических систем // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Сер. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.2. С. 44-70.

275. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматлит, 1995. (Современные проблемы математики; вып. 31). С. 8289,123.

276. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-272 с.

277. Corless R.M., Frank G.W., Monroe J.G. Chaos and continued fractions // Physica D. 1990. V. 46. Pp. 241-253.

278. Corless R.M. Continued fractions and chaos // Amer. Math. Monthly. 1992. V. 99. Pp. 203-215.

279. Schweiger F., Waterman M. Some remarks on Kuzmin's theorem for F-expansions // J. of Number Theory. 1973. No 2. Pp. 123-131.

280. Waterman M.S. On the approximation of invariant measures for continued fractions // Rocky Mountain J. of Mathematics. 1978. V. 6. No 1. Pp. 181189.

281. Levy P. Sur les lois de probabilite don't dependent les quotients com-plets et incompletes d'une fraction continue // Bull. Soc. Math, de France. 1929. V. 57. P. 178-194.

282. Levy P. Theory de l'addition des variables aleatores. Caurthier-Villars, Paris. 1954 (2 eme edition); 1937 (1 eme edition).

283. Sziisz P. Uber einen Kusminschen Satz // Acta Math. Acad. Sci. Hun-gar. 1961. V. 12. Pp. 447-453.

284. Кузьмин P.O. К метрической теории непрерывных дробей // Ученые записки Ленинградского университета. 1948. № 96. Серия математических наук. Вып. 15. С. 163-173.

285. Wirsing Е. On the theorem of Gauss-Kuzmin-Levy and a Frobenius type theorem for function spaces // Acta Arithmetica, 1974. Vol. 24. P. 507-528.

286. Mayer D. On a g function related to the continued fraction transformation//Bull. Soc. Math. Fr. 1976. V. 104. Pp. 195-203.

287. Бабенко К.И., Юрьев С.П. Об одной задаче Гаусса / Препринт Института прикладной математики АН СССР. М.: 1977. № 63. 70 с.

288. Бабенко К.И. Об одной задаче Гаусса // ДАН СССР. 1978. Т. 238. №5. С. 1021-1024.

289. Бабенко К.И., Юрьев С.П. О дискретизации одной задачи Гаусса // ДАН СССР. 1978. Т. 240. № 6. С. 1273-1276.

290. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. С. 597-600.

291. Mayer. D.H. // Commun. Math. Phys. 1994. V. 104. Pp. 195-203.

292. Mayer D.H., Roepstorff G. On the relaxation time of Gauss' continued fraction map. I: The Hilbert space approach (Koopmanism) // J. Stat. Phys. 1987. V. 47. P. 149-171.

293. Mayer D.H., Roepstorff G. On the relaxation time of Gauss' continued fraction map. II: The Banach space approach transfer operator method) // J. Stat. Phys. 1988. V. 50. P. 331-344.

294. Mayer D.H. Continued fractions and related transformations. In: -Er-godic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, ed. T. Bedford, M. Keane and C. Series. Oxford Univ. Press, 1991. Pp. 175-222.

295. Iosifescu M. A very simple proof of a generalization of the Gauss-Kuzmin-Levy theorem on continued fractions, and related questions // Rev. Rou-maine Math. Pures Appl. 1992. V. 37. Pp. 901-914.

296. Iosifescu M. On the Gauss-Kuzmin-Levy theorem // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1994 V. 39. Pp. 97-118 (I); 1995. V. 40. Pp. 91-105 (II); 1997. V. 42. Pp. 71-88 (III).

297. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. - 448 с.

298. Садовничий В.А. Теория операторов. М.; Дрофа, 2001. — 384 с.

299. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Физматлит, 2002. —488 с.

300. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 358 с.

301. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.; Наука, 1972. - 496 с.

302. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

303. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука, 1965.-624 с.

304. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. -М.: Едиториал УРСС, 2004, 2004. 896 с.

305. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. О хаотической модели раннейэволюции Вселенной // Радиотехника. 2005. № 4. С. 50-55.

306. Аникин В.М. Детерминированный хаос и эволюция Вселенной / Нелинейная динамика Земли: сферы и структуры самоорганизации. Самсонов В.Б., Аникин В.М., Худяков Г.И. и др. Саратов: ЭМОС, 2005. С. 35-56.

307. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Модифицированная задача Гаусса // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Т.П. Памяти А.Ф. Голубенцева / Под ред. Ю.В. Гуляева, Н.И. Синицына, В.М. Аникина. С. 41-50.

308. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Изд. 6-е. М.: Наука, 1973. Гл. 14. Релятивистская космология.

309. Белинский В.А., Е.М. Лифшиц, И.М. Халатников. Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии // УФН. 1970. Т. 102. Вып. 3. С. С. 463-500.

310. Лифшиц Е.М., Лифшиц И.М., Халатников И.М. Асимптотический анализ колебательного режима приближения к особой точке в однородных космологических моделях // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. Вып. 7. С. 322-335.

311. Белинский В.А., Лифшиц Е.М., Халатников И.М. Колебательный режим приближения к особой точке в однородных космологических моделях с вращением осей // ЖЭТФ. 1971. Т.60. Вып. 6. С. 1971-1979.

312. Лифшиц Е.М., Халатников И.М., Синай Я.Г., Ханин К.М, Щур Л.Н. О стохастических свойствах релятивистских космологических моделей вблизи особой точки // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. С. 79.

313. Khalatnikov I., Lifshitz Е., Khanin К., L. Shchur L, Sinai Ya. On the stochasticity in relativistic cosmology // J. Stat. Phys. 1985. V. 38. P. 97-114.

314. Barrow J.D. Chaotic behaviour in general relativity // Physics Reports. 1982. V. 85. Pp. 1-49.

315. Barrow J.D., Chernoff D. Chaos in the Mixmaster Universe // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. Pp. 134-137.

316. Barrow J.D. Chaotic behaviour and the Einstein Equations. In: Classical general relativity, eds. W. Bonnor, J. Islam, V.A.H. MacCallum, CUP, Cambridge, 1984. Pp. 25-41.

317. Mayer D. Relaxation properties of Mixmaster Universe // Phys. Lett. V. A. 122. Pp. 390-394.

318. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 3. С. 50-58.

319. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Хаотические отображения с инвариантными законами распределения в форме эллиптических интегралов // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1999. Вып. 5. С. 53- 55.

320. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. Gauss lemniscate functions as exact solutions for chaotic maps // ICND'96. Saratov: College, 1996. P. 75.

321. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. On the Lyapunov exponent for the Gauss map // International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes. Ambliside, England, August 16-20, 1999. Abstracts. P. 49.

322. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.'. Мир, 1984. - 528 с.

323. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.240с.

324. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 424 с.

325. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физмат-лит, 2001.-296 с.

326. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматлит, 1963. С. 337.

327. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. 3-е изд. М.: Наука, 1985. С. 431.

328. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1988.

329. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Наука, 1977. - 584 с.

330. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И., Малоземов Ю.А. Программирование на Бейсике. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 4.1. 160 с.

331. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. М.: Мир, 1988. - 208 с.

332. Ushiki S. Central difference scheme and chaos // Physica D. 1982. V. 4. pp.407-424.

333. Yamaguti M., Ushiki S. Chaos in numerical analysis of ordinary differential equation // Physica D. 1981. V. 3. Pp. 618-626.

334. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1970. Гл. 21.

335. Anikin V.M., Arkadaksky S.S., Remizov A.S. Operator description of maps providing chaotic rythmes // Proc. SPIE. 2005. V. 5696. Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics II. Valery V. Tuchin, Ed. Pp. 144-150.

336. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. M.-JL: ГИТТЛ, 1952.-Гл. IV.

337. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. On the Lyapunov exponent for the Gauss map // International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes. Ambliside, August 16-20, 1999. Abstracts. P. 49.

338. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математического общества. 1968. Т. 19. С. 197-221.

339. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции. М.: ГИФМЛ, 1963. Гл. 22.1. К главе 4

340. Lasota A., Mackey М.С. Probabilistic properties of deterministic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 358 p.

341. Antoniou I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. of Quantum Chemistry. 1993. V. 46. P. 425-474.

342. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67-73.

343. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. Изд. 3-е. М.: Вильяме, 2000. Гл. 3.

344. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math. Acad. Sc. Hungar. 1957. V. 8. P. 477-493.

345. Рохлин B.A. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25. С. 499-530.

346. Рохлин В.А. Избранные работы. М.: МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999. С. 355-356.

347. Walters P. Equilibrium states for /?-transformations and related transformations // Math. Z. 1978. V. 159. Pp. 65-88.

348. Hofbauer F., Keller G. Ergodic properties of invariant measures for piecewisw monotonic transformations // Math. Zeitsch. 1982. Pp. 119-140.

349. Hofbauer F., Keller G. Equilibrium states forpiecewise monotonic transformation // Ergod. Theory and Dynam. Sys. 1982. V. 2. Pp. 23-43.

350. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theor. Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 1266-1283.

351. Bergman G. A number system with an irrational base // Math. Magazine. 1957. V.31.P. 98-110.

352. Гельфонд А.О. Об одном общем свойстве систем счисления // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23. С. 800-814/

353. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. Разд. 1.8.

354. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

355. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966. - 336 с.

356. Бланк М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦНМО, 2001. - 352 с.

357. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67 - 73.

358. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 с.

359. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математического общества. 1968. Т. 19. С. 197-221.

360. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика / Пер. с англ. под ред. Б.В. Чирикова. М.: Мир, 1984. С.296.

361. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением // Вопросы прикладной физики. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2003. Т.9. С. 72-74.

362. Anikin V.M., IGoloubentsev A.F.| Analysis of biological chaotic rythmes // Proc. SPIE. V. 5330. Complex dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics / V.V. Tuchin, Ed. 2004.

363. Голубенцев А.Ф.|, Аникин В.М., Барулина Ю.А. Собственные функции и собственные числа эволюционного оператора Ф-отображения // Там же. С. 50-60.

364. Аникин В.М., Барулина Ю.А. Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением, топологически эквивалентное Ф-отображению // Там же. С.201-210.1. К главе 5

365. Хопф Э. Эргодическая теория // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 2(39).

366. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Ижевск: РХД, 2001.- 132 с.

367. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: РХД, 1999.- 284 с.

368. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 360 с.

369. Корнфельд И.П., Фомин С.В., Синай Я.Г. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.-383 с.

370. Henon М. Numerical study of quadratic preserving mappings // Qurt. Appl. Math. 1969. V. 27. P. 291.

371. Mac-Kay R.S. Introduction to the dynamics of area preserving maps // Proc. of Spring College on Plasma Physics, Trieste, 1985. Singapore: World Scientific, 1985.

372. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с.

373. Lasota A., Mackey М.С. Probabilistic properties of deterministic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

374. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240 с.

375. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.334 с.

376. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. Ижевск: РХД, 2000.- 208 с.

377. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.- М.: Эдиториал УРСС. 2001. 320 с.

378. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: РХД. 2001. - 528 с.

379. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматлит, 1995. -208 с.

380. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. М.: Постмар-кет, 2001.- 184 с.

381. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физматлит, 2001.-296 с.

382. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. - 252 с.

383. Baptista M.S. Cryptography with chaos // Physics Letters. 1998. V A 240. Pp. 50-54.

384. Alvarez E., Fernandez A., Garcia P., Jimenez J., Marcano A. New approach to chaotic encryption // Physics Letters. 1999. V A 263. Pp. 373-375.

385. Alvarez G., Montoya F., Romera M., Pastor G. Cryptanalysis of a chaotic encryption system // Physics Letters. 2000. V A 276. Pp. 191-196.

386. Kokarev L., Jakimovski G. Logistic map as a block encryption algorithm // Physics Letters. 2001. V A 263. Pp. 199-206.

387. Garcia P., Jimenez J. Communication through chaotic map systems // Physics Letters. 2002. V A 298. Pp. 35-40.

388. Wong K.W. A fast chaotic cryptographic scheme with dynamic lookup table // Physics Letters. 2002. V A 298. Pp. 238-242.

389. Wong K.W. A combined chaotic cryptographic and hashing scheme // Physics Letters. 2003. V A 307. Pp. 292-298.

390. Gaspard P. Diffusion, Effusion and Chaotic Scattering: An Exactly Solvable Liouvillian Dynamics // J. Stat. Phys.l992.V. 68, Nos. 5/6 P. 673-747.

391. Kaufman Z., Szepfalusy P. Transient chaos and critical states in generalized baker map // J. Stat. Phys. 2000. V. 101. Nos. 1/2. Pp. 107-124.

392. Toroczkai Z., Karolyi, Pentek A., Tel T. Autocatalytic reactions in systems with hyperbolic mixingA exact results for active Baker map // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. V. 34. Pp. 5215-5235.

393. Chernoff D.F., Barrow J.D. Chaos in the Mixmaster Universe // Phys. Rev. Letters. 1983. V.50. No. 2. Pp. 134-137.

394. Tracy M.M., Scott A.J. The classical limit for a class of quantum baker's maps // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. V. 35. Pp. 8341-8360.

395. Fridrich J. Symmetric ciphers based on two-dimensional chaotic map // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8. No. 6. Pp. 1259-1284.

396. Machado R.F., Baptista M.S., Grebogi C. Cryptography with chaos at the physical level // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 21. No. 5. Pp. 12651269.

397. Chen G., Mao Y., Chui Ch.K. A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat maps // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 21. No. 3. Pp. 749-761.

398. Mao J.B., Chen G., Lian S.G. A novel fast image encryption scheme based on the 3D chaotic baker map // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2003. V. 13.

399. Tang G., Liao X., Chen Y. A novel method of designing S-boxes based on chaotic maps // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 21. No. 6.

400. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Ноянова C.A. Двумерные эрго-дические отображения сложных областей // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1999. Вып. 5. С. 56- 57.

401. Аникин В.М., Ноянова С.А. Хаотические отображения на плоскости // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Вып. 11. Памяти Александра Федоровича Голубенцева / Под ред. Ю.В. Гуляева, Н.И. Синицына, В.М. Аникина. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004.

402. Аникин В.М., Ноянова С.А. Двумерные хаотические отображения // Радиотехника. 2005. №4. С. 63-70.

403. Голубенцев А.Ф.,| Аникин В.М., Ноянова С.А. Модификации отображения пекаря: особенности асимптотического поведения // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12. № 3. С. 45-57.

404. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Ноянова С.А. «Инверсное» отображение пекаря // 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. Saratov, Russia, October 2-7, 2001. The Book of Abstracts. Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 59.

405. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240 с.

406. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998. 703 с.

407. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: Иностранная литература, 1963. 165 с.

408. Голубенцев А.Ф.,| Аникин В.М. Евклид, Гаусс и детерминированный хаос // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2003. Т. 3. Вып. 2. С. 166-176.

409. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

410. Driebe D.J., Ordonez G.E. Using symmetries of the Frobenius-Perron operator to determine spectral decompositions // Phys. Lett. 1996. V. A 211. Pp. 204-210.

411. Antoniou I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. of Quantum Chemistry. 1993. V. 46. P. 425-474.

412. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67-73.

413. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 3. С. 50-58.

414. Ермаков С.М. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1976.-320 с.

415. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Об источниках многозначности обратной задачи для уравнения Фробениуса-Перрона // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Т. 6. С. 35-37.1. К главе 6

416. Маслов А.Я., Татарский В.Ю. Повышение надежности радиоэлектронной аппаратуры. М.: Советское Радио, 1972.

417. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Советское Радио, 1973.

418. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. М.: Мир, 1979.

419. Беляков Ю.Н., Курмаев Ф.А., Баталов Б.В. Методы статистических расчетов микросхем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1985.

420. Shoeffler J.D. The synthesis of minimum sensitivity networks // IEEE Trans. 1964. V. 11. P. 271-276.

421. Каширский И.С. Минимизация чувствительности радиотехнических схем методом «крутых» оврагов // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1969. Т. 11. № 8. С.845.

422. Кофанов Ю.Н. Основные задачи конструирования электронной аппаратуры // Методы математического и физического моделирования и оптимизации параметров радиоэлектронной аппаратуры. М.: МДНТП, 1972. Вып. 2. С. 100-104.

423. Методика обеспечения надежности на этапе проектирования и производства. Экспериментальная оценка серийнопригодности узлов электронной аппаратуры. М.: Изд-во стандартов, 1974.

424. Маслов А.Я. Оптимизация и расчет безотказности радиоэлектронной аппаратуры при ее проектировании // Электронная техника. Сер. 8. Управление качеством и стандартизация. 1975. Вып. 6(36). С. 103.

425. Кофанов Ю.Н. Использование методов параметрической чувствительности в проектировании высоконадежной РЭА // Электронная промышленность. 1982. Вып. 2(106). С. 12-15.

426. И. Bedair S.S., Sobbly M.I. Tolerance analysis shielded microstrip lines // IEEE. Trans. 1984. V. MTT 32. N 2. P. 544.

427. Ляликов A.M., Серенко М.Ю. Использование систем оптической диагностики фазовых объектов при дефектоскопии периодических структур // Оптический журнал. 2000. Т. 67. № 6. С. 111-114.

428. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.- 856 с.

429. Бах Л.И., Рассудова Г.Н. Метод определения ошибок деления дифракционных решеток // Оптико-механическая промышленность. 1987. № 4. С. 1-4.

430. Герасимова Н.Г., Денисов Л.М. Отражательная способность поверхностей оптических деталей в вакуумной УФ области спектра // Оптический журнал. 2000. Т. 67. № 6. С. 24-30.

431. Селезнев В.А., Афанасьева В.Л., Аутко В.А. Голографические дифракционные решетки с частотой штрихов 3600 мм"1 // Оптико-механическая промышленность. 1982. № 6. С. 60.

432. Воробьев С.П. Влияние нестабильности положения интерференционной картины на качество голограммы // Оптико-механическая промышленность. 1983. №9. С. 1.

433. Топунова М.К., Васильева Н.А., Кусикова A.M., Парамонова Т.М., Шарова JI.B. Особенности голограмм, записанных в слое задубленной бихромированной желатины, проявленных буферными растворителями // Оптико-механическая промышленность. 1987. № 8. С. 39-41.

434. Гродзинская М.Д., Пешко И.И., Салькова Е.Н., Хижняк А.И. ьЗа-пись рельефных голографических решеток в тонких пленках пространственно-неоднородными пучками // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 11. С. 2227-2231.

435. Могильный В.В., Грицай Ю.В., Ковалев С.В. Периодические поверхностные фоторельефы в стеклообразных и высокоэластичных полимерах // ЖТФ. 1999. Т. 69. Вып.8. С. 79-83.

436. Спихальский А.А. Стабилизация характеристик распределенных брегговских зеркал // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 8. С. 1665-1668.

437. Хансперджер Р. Интегральная оптика. М.: Мир, 1985. 384 с.

438. Андрушко Л.М., Вознесенский В.А., Фелинский Г.С. Дифракция поверхностных оптических волн на термостимулировапннной базовой решетке в титан-диффузных волноводах в ниобате лития // ЖТФ. 1987. № 1. С. 176-177.

439. Войтенко И.Г., Редько В.Н., Томов А.В. Исследование дифракционных решеток в ниобате лития, полученных диффузией титана и железа // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 1. С. 139-141.

440. Корольков В.П., Коронкевич В.П., Михальцова И.А. и др. Киноформы: технологии, новые элементы и оптические системы // Автометрия. 1989. №3. С. 95-102.

441. Фишман А.И. Фазовые оптические элементы киноформы // Со-росовский образовательный журнал. 1999. № 12. С. 76-83.

442. Голубенцев А.Ф., Глейзер В.В., Минкин Л.М. Деформация электронного пучка в квазипериодическом магнитном поле // Вопросы электроники СВЧ: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. Вып. 10.

443. Васичев Б.Н. Особенности формирования фокусирующего магнитного поля в многощелевой линзе // Оптико-механическая промышленность. 1982. № 10. С. 19-21.

444. Голубенцев А.Ф., Глейзер В.В., Минкин JI.M. О влиянии случайного разброса шага и радиуса спирали на выходные характеристики ЛБВ // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1976. № 5. С. 33-43.

445. Голубенцев А.Ф., Глейзер В.В., Минкин Л.М. Флуктуации амплитуды и фазы выходного сигнала ЛБВ со статистическими неоднородно-стями в замедляющей системе // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1977. Вып. 12.

446. Глейзер В.В., Голубенцев А.Ф., Кац A.M., Минкин Л.М. Определение допусков на изготовление функциональных элементов электронных СВЧ приборов с длительным взаимодействием // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1977. №5. С. И.

447. Лазерсон А.Г., Манькин И.А. Волны в системах с распределенными случайными неоднородностями: Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1981. Вып. 2(753). 62 с. 1982. Вып. 4(871).- 67 с.

448. Сеничев Ю.В., Шапошникова Е.Н. Особенности равновесного движения в линейном ускорителе со ступенчатым изменением фазовой скорости//ЖТФ. 1987. Т. 57. №. 6. С. 1092-1100.

449. Платонов Ю.Я., Полушкин Н.И., Салащенко Н.Н., Фраерман А.А. Рентгенооптические исследования характеристик многослойных структур // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 11. С. 2192-2199.

450. Несмелов Е.А., Матшина Н.И., Конюхов Г.П., Гусев А.Г. Математическое моделирование метода оптического контроля толщиян слоев интерференционных покрытий // Оптико-механическая промышленность. 1987. №6. С. 14-16.

451. Вахитов Ф.Х., Зимин В.М., Тагиров Р.Б. Сравнительные исследования оптических свойств медных зеркал, полученных различными способами // Оптико-механическая промышленность. 1987. № 9. С. 36-39.

452. Ахманов С.А., Емельянов В.И., Коротеев Н.И., Семиновгов В.В. Воздействие мощного лазерного излучения на поверхность полупроводников и металлов: нелинейно-оптические эффекты и нелинейно-оптическая диагностика // УФН. 1985. Т. 147. № 4. С. 675-745.

453. Агеев Л.А., Милославский В.К., Нуреддин Ассад. Спектральные свойства фотоиндуцированных периодических структур в светочувствительных пленках AgCl Ag // Оптика и спектроскопия. 1988. Т. 65.№ 1. С. 147154.

454. Иваницкий Г.Р., Куницкий А.С. Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики. М.: Энергия, 1981. 167 с.

455. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. Кн.2-480с.

456. Kruger R.P., Thompson W.B., Turner A.F. Computer Diagnosis of Pneumoconiosis // IEEE. 1974. SMC-4. N 1. P. 40-49.

457. Haralick R.M., Shanmygam K. Computer Classification of Reservoir Sandstones // IEEE. 1973. GE-11. N 10. P. 171-177.

458. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Клименко В.Г. Статистические модели квазирегулярных радиофизических и оптических структур. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 116 с.

459. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. Статистические характеристики замедляющей системы со случайными нарушениями периодичности структуры // Известия вузов Радиофизика. 1982. Т. 25. № 3. С. 322-327.

460. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Статистические модели и диагностика случайно нерегулярных дифракционных структур // Волны и дифракция. М.: Физическое общество СССР, 1990. Т.2. С. 322-324.

461. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. О статистическом описании рельефов квазипериодических радиофизических и оптических структур // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 1.С. 3-12.

462. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Контроль параметров распределения коэффициента пропускания оптического транспаранта // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 2. С. 73-78.

463. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. К статистическому моделированию параметров СВЧ приборов // Применение СВЧ энергии в энергосберегающих технологических процессах: Тезисы докладов 5-й научно-технической конференции. Саратов: 1986. С.10-11.

464. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности: Основные характеристики надежности и их статистический анализ. М.: Наука, 1985. 524 с.

465. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967.-300 с.

466. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Советское радио, 1961. 560 с.

467. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.-660 с.

468. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1974-1976. Кн. 1-3.

469. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику Часть 2. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 464 с.

470. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981. 640 с.

471. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь. 1982.-624 с.

472. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 376 с.

473. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989.-540 с.

474. Шор Я.Б Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Советское радио, 1962. 552 с.

475. Беспалов В.И. К вопросу о флуктуациях параметров некоторых линеных систем // ДАН СССР. 1957. Т. 117. С. 209.

476. Беспалов В.И., Дауме Э.Я. Распространение электромагнитных волн в спиральной линии с малыми неоднородностями // Извести вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2. № 2. С. 313-322.

477. Беспалов В.И., Кубарев A.M., Соловьева Л.И. Экспериментальное исследование влияния неоднородностей на характеристики замедляющих систем // Извести вузов. Радиофизика. 1961. Т. 4. № 3. С. 534-546.

478. Беспалов В.И., Дауме Э.Я., Кубарев A.M. Допуск на точность изготовления замедляющих систем // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Электроника. 1961. № 6. С. 3-33.

479. Пиз М. Влияние погрешностей изготовления на параметры замедляющей системы со встречными штырями / Электронные высокочастотные приборы со скрещенными полями. М.: 1961. Т. 1. С. 35-93.

480. Поздняков JI.B. К расчету допусков на точность изготовления спиральных замедляющих систем ЛБВ // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1972. № 10. С. 114.

481. Поздняков Л.В. О статистических характеристиках коэффициента усиления ЛБВ со случайными неоднородностями в замедляющей системе // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1973. № 1. С. 121-122.

482. Лазерсон А.Г., Манькин И.А. Линейная теория ЛБВО со случайными неоднородностями замедляющей системы // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1974. № 12. С. 27-33.

483. Лазерсон А.Г., Манькин И.А., Школьников В.Г. Влияние погрешностей изготовления спиральной замедляющей системы на выходные характеристики ЛБВО // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1975. №5. С. 43-47.

484. Блейвас И.М., Голеницкий И.И., Зайцев С.А. и др. Автоматизированная система машинного проектирования изделий СВЧ электронной техники. Ч. 2. Прикладное математические обеспечение // Электронная техника. Сер. 1 . Электроника СВЧ. 1978. № 2. С. 71-121.

485. Кац A.M., Клинаев Ю.В. Исследование разброса выходных характеристик ЛБВО. 4.1. Методика анализа и основные результаты // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1981. Вып. 3. 10-15.

486. Кац A.M., Клинаев Ю.В. Исследование разброса выходных характеристик ЛБВО. 4.2. Сопоставление теоретических и экспериментальных исследований // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1981. Вып. 4. С. 17-22.

487. Морозова В.А., Победоносцев А.С., Щукин А.Н. Экспресс-программа анализа и синтеза допусков // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1982. № 8 (844). С. 73-75.

488. Ессин А.Д., Калинин Ю.А., Кац A.M., Клинаев Ю.В., Радюк О.М. Обоснование серийнопригодности ЛБВО на стадии проектирования. 4.1. Методика проектирования // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1983. Вып 8 (356). С. 8-13.

489. Ессин А.Д., Калинин Ю.А., Кац A.M., Клинаев Ю.В., Радюк О.М. Обоснование серийнопригодности ЛБВО на стадии проектирования. 4.2. Применение методики проектирования // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1983. Вып 9 (357). С. 6-15.

490. Филатов В.А., Лазерсон А.Г. Серийнопригодность и оптимальные конструкции (на примере ЛБВ) // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1986. № 4(388). С. 59-63.

491. Кац A.M., Клинаев Ю.В., Харченко В.В. Применение комплексного метода Бокса для оптимизации неоднородных ЛБВО с конструктивно-технологическим разбросом параметров // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1990. Т. 33. № 10. С. 24-29.

492. Клинаев Ю.В. Статистические модели ЛБВО анализ, синтез, управление параметрами / Под ред. про. A.M. Каца: Сарат. гос. техн. ун-т, 1998.- 274 с. Деп. в ВИНИТИ 30.01.98. № 241-В98.

493. Блатов В.В. Некоторые свойства повторных интегралов вероятности // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. № 5. С. 928-930.

494. Дмитриева Л.А., Голубенко И.В., Савицкий Г.М. Дифракционная эффективность голографических решеток симметричных профилей // Оптико-механическая промышленность. 1985. № 1. С. 4-6.

495. Сычугов В.А., Тищенко А.В. Распространение и преобразование световых волн в гофрированных волноводных структурах // Квантовая электроника. 1982. Т. 9. № 7. С. 1451-1458.

496. Авруцкий И.А., Голубенко И.А., Сычугов В.А., Тищенко А.В. Отражение света от поверхности гофрированного волновода // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т. 11. Вып. 16. С. 971.

497. Голубенко Г.А., Свахин А.С., Сычугов В.А., Тищенко А.В. Полное отражение света от гофрированной поверхности диэлектрического волновода // Квантовая электроника. 1985. Т. 12. № 7. С. 1334.

498. Авруцкий И.А., Голубенко Г.А., Сычугов В.А., Тищенко А.В. Спектральные и лазерные характеристики зеркала с гофрированным волноводом на его поверхности // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. № 8. С. 1629.

499. Спихальский А.А. Асимметричные распределенные брегговские зеркала // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. № 11. С. 2322.

500. Авруцкий И.А., Сычугов В.А. Отражение гауссова пучка света от поверхности гофрированного волновода // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. № п. с. 2353.

501. Авруцкий И.А., Сычугов В.А. Отражение ограниченного светового пучка от поверхности периодически возмущенного волновода // ЖТФ. 1987. Т. 57. №2. С. 386-389.

502. Авруцкий И.А., Сычугов В.А. Отражение света от поверхности гофрированного волновода и особенности распространения света в нем // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 6. С. 1140.

503. Свахин А.С., Сычугов В.А. Узкополосный брегговский отражающий фильтр на одномодовом волокне // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 6. С. 11911194.

504. Спихальский А.А. Улучшение характеристик полноводного решетчатого поляризатора // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 7. С. 14151419.

505. Миллер М., Морозова В.Н., Плетнев В.А. и др. Дифракция Брега высших порядков на периодической структуре в планарном оптическом волноводе // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 8. С. 1612-1618.

506. Хаус X. Волны и поля в оптоэлектронике. М.: Мир, 1988. 432с.

507. Козанне А., Флере, Метр Г., Руссо М. Оптика и связь: Оптическая передача и обработка информации. М., 1984. 504 с.

508. Герке P.P., Голубенко И.В., Дубровина Т.Г., Савицкий Г.М. Исследование отражательных свойств голограммных дифракционных решеток с симметричным профилем штрихов // Оптика и спектроскопия. 1985. Т. 58. Вып. 6. С. 1318-1322.

509. Савицкий Г.М., Голубенко И.В. Оптимизация эффективности отражательных дифракционных решеток с трапецеидальным профилем штриха // Оптика и спектроскопия. 1985. Т. 59. С. 420.

510. Брайнин Ю.И., Голубенко И.В., Савицкий Г.М. Контроль глубины канавки голограммной решетки // Оптико-механическая промышленность. 1987. № 11. С. 35-41.

511. Дюрелли А., Парке В. Анализ деформаций с использованием муара. М.: Мир, 1974. 251 с.

512. Сухарев И.П., Ушаков Б.Н. Исследование деформаций и напряжений методом муаровых полос. М.: Машиностроение, 1969. -208 с.

513. Ляликов A.M. Муаровая дефектоскопия повышенной чувствительности при сравнении композитных периодических структур // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 5. С. 82-84.

514. Wadsworth N., Marchant М, Billing В. Real-time observation in-plane displacements of opaque surfaces // Optic and Laser Technology. 1973. Vol. 5.N3.P. 119-123.

515. Ляликов A.M. Визуализация макроскопических дефектов поверхности объекта с периодической структурой // Оптический журнал. 1995. № 1. С. 28-31.

516. Ляликов A.M. Теневая визуализация макродефектов поверхности 4», масок телевизионных кинескопов // Оптический журнал. 1996. № 1. С. 52-55.

517. Ляликов A.M. Высокочувствительный визуальный контроль макродефектов формы поверхности объекта с периодической структурой // Оптический журнал. 1996. № 1. С. 52-55.

518. Применение методов Фурье-оптики / Под ред. Г. Старка. М.: Радио и связь, 1988. -536 с.

519. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир., 1970.

520. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. М.: Мир, > 1971.-496 с.

521. Стюард И.Г. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1985. 182 с.

522. Престон К. Когерентные оптические вычислительные машины. М.: Мир, 1974.

523. Акаев А.А., Майоров С.А. Оптические методы обработки информации. М.: Высшая школа, 1988. -237 с.

524. Юу Ф.Т.С. Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию. М.: Советское радио, 1979.

525. Митрофанов С.А., Крылов Н.И., Прокопенко В.Т. Применение лазеров в машиностроении и приборостроении. Л.: Машиностроение, 1978.

526. Оптическая обработка информации / Под ред. Д. Кейсесента. М.: Мир, 1980.

527. Компьютеры в оптических исследованиях / Под ред. Б. Фридена. М.: Мир, 1983.

528. Колобродов В.Г., Тымчик Г.С. Анализ оптических систем когерентных спектроанализаторов // Оптико-механическая промышленность. 1982. № 10. С. 4-7.

529. Колобродов В.Г., Сахно С.П., Тымчик Г.С. Погрешности сборки и юстировки когерентных оптических спектроанализаторов // Оптико-механическая промышленность. 1983. № 9. С. 6-9.

530. Колобродов В.Г., Сахно С.П., Тымчик Г.С. Импульсный отклик и энергетический расчет оптических систем когерентных спектроанализаторов // Оптико-механическая промышленность. 1986. № 4. С. 12-14.

531. Тымчик Г.С. Операционные свойства когерентных оптических спектроанализаторов при освещении входного транспоранта излучением, содержащим высшие моды Гаусса-Эрмита // Оптико-механическая промышленность. 1986. № 11. С. 22-25.

532. Коваль С.Т., Колобродов В.Г. Статистические характеристики коэффициентов отражения некоторых зеркальных поверхностей // Оптико-механическая промышленность. 1976. № 6. С. 6-10.

533. Колобродов В.Г., Тымчик Г.С. Возможности исследования микродефектов отражающих поверхностей и прозрачных пленок с помощью когерентной оптической системы // Оптико-механическая промышленность. 1980. № 11.С.11-13.

534. Колобродов В.Г. , Тымчик Г.С. Исследование геометрических параметров пространственных квазипериодических структур с помощью когерентного оптического спектроанализатора // Оптико-механическая промышленность. 1982. № 2. С. 9-11.

535. Колобродов В.Г., Тымчик Г.С. Спектральные методы контроля статистических характеристик штриховых квазипериодичеЪких структур // Оптико-механическая промышленность. 1985. № 10. С. 4-7.

536. Вахитов Ф.Х. Влияние состояния поверхности и приповерхностного слоя на оптические свойства металлических зеркал. Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1992.

537. Вахитов Ф.Х., Калинкин Д.А., Тагиров Р.Б., Уразаев Р.И. Влияние загрязнений поверхности на структуру тонких пленок // Оптико-механическая промышленность. 1982. № 11. С. 42-45.

538. Вахитов Р.Х., Идиатуллина Ф.Р., Зимин В.М., Тагиров Р.Б. Исследование интерференции в прозрачных пленках на металлических подложках // Оптико-механическая промышленность. 1989. № 12. С.45-48.

539. Хусу А.П., Виттенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей: Теоретико-вероятностный подход. М.: Наука, 1975. 344 с.

540. Трофимов В.И., Осадченко В.А. Статистическая модель шероховатой поверхности // Оптико-механическая промышленность. 1987. № 6. С.9.12.

541. Емельянов В.И., Семиногов В.Н., Соколов В.И. Влияние дифракции второго порядка на линейные и нелинейные оптические эффекты вблизи поверхности с периодическим рельефом // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 10. С. 2028-2037.

542. Иванова Л.А., Макаров В.В., Рудина О.Г., Тихомиров Г.П., Туровская Т.С. Исследование морфологии поверхности и свойств металлических зеркал // Оптико-механическая промышленность. 1985. № 12.С. 4-6.

543. Коваль С.Т., Михеенко Л.А., Громов К.С. Статистические характеристики изображения поверхности полированных металлов // Оптико-механическая промышленность. 1982. № 6. С. 1-4.

544. Бугаев А.А., Лукошин В.А., Урпин В.А., Яковлев Д.Г. Термокапиллярные явления и образование рельефа поверхности под действием пико-секундных лазерных импульсов // ЖТФ. 1988. Т 58. Вып. 5. С. 908-914.

545. Мидвинтер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. М.: Радио и связь, 1983. 336 с.

546. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.-656 с.

547. Содха М.С., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы.

548. М.: Радио и связь, 1980. 216 с.

549. Белов А.В., Гурьянов А.Н., Гусовский Д.Д., Девятых Г.Г., Дианов Е.М., Курков А.С., Мирошниченко С.И., Неустроев В.ВА., Прохоров A.M. Одномодовые волоконные световоды с потерями менее 1 дБ/км // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 6. С. 1303-1310.

550. Geyling F.T. Basic fluid-dynamic consideration in the drawing of optical fibers // BSTJ. 1976. V. 55. N 8. P. 1011-1056.

551. Homsy G.M., Walker K. Heat-transfer in laser drawing of optical fibers // Glass. Technology. 1979. V. 20. N 1. P. 20-26.

552. Smitgall D.H., Myers Daryl L. Drawing lightguide fiber // West. Elec. Eng. 1980. V. 24. N 1. P. 49-61.

553. Smitgall D.H., Saife M.A., Andrejco M.J. Optical transmission loss of germanium borosilicate fibers as a function of drawing conditions // Electron Lett. 1979. V. 15. N2. P. 56-57.

554. Дианов E.M., Кашин B.B., Перминов C.M., Перминова Б.Н., Русанов С.Н., Сысоев В.К. Динамика тепловых процессов при вытяжке кварцевых волоконных световодов // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 8. С. 1562-1569.

555. Дианов Е.М., Кашин В.В., Перминова Б.Н., Русанов С.Н., Сысоев

556. B.К., Сысолятин А.А. Динамическая модель вытяжки кварцевых волоконных световодов // ЖТФ. Т. 57. № 7. С. 1336-1343.

557. Дианов Е.М., Кашин В.В., Перминов С.М., Перминова Б.Н., Русанов С.Н., Сысоев В.К. Физическое поведение зоны перетяжки «заготовка -световод» при различных тепловых режимах вытяжки // ЖТФ. 1986. Т. 58. № 2. с. 363-370.

558. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. О статистическом описании оптических волокон со случайными флуктуациями параметров распределения показателя преломления // Оптика и спектроскопия. 1984. Т. 56. Вып. 5. С. 974-975.

559. Аникин В.М. Об отклике зоны перетяжки волоконного световода на шумовые составляющие температуры нагревателя // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 2. С. 24-30.

560. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. О статистической модели оптического волокна со случайными изменениями показателя преломления // 37-я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1982. 4.1. С. 46-47.

561. Голубенцев А.Ф. Статистические характеристики модовой задержки в волоконном световоде неоднородной структуры // 42-я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1987. 4.1. С. 24.

562. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф., Гольдман С.Ю., Денисов Ю.И., Минкин JI.M. Влияние флуктуаций параметров стекломассы на статистические характеристики профиля показателя преломления волоконного световода // Там же. С. 276.

563. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф., Гольдман С.Ю., Денисов Ю.И., Минкин JI.M. О влиянии случайных нестабильностей режима вытяжки световодов на их структурные характеристики // Там же. С. 277.

564. Аникин В.М., Гольдман С.Ю., Минкин JI.M. Термодиффузионные эффекты при формировании профиля показателя преломления волоконных световодов // 44-я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1989. 4.2. С. 19.

565. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И. К оценке регулярности оптико-геометрических параметров волоконных световодов // Там же. С.19-20.

566. Wood R.W. // Phys. Rev. 1897. V. 5. N 1. P.l.

567. Fowler R.H., Nordheim L.W. // Proc. Roy. Soc. 1928. V. A119. N 781. P.173.

568. Мюллер Э.В. // УФН. 1967. Т. 92. № 2. С. 293.

569. Binnig G., Rohrer H. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 120.

570. Бондаренко Б.В. Состояние и некоторые пути дальнейшего развития автоэмиссионной электроники // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28. № 12. С. 2305-2312.

571. Spindt С.А., Brodie I., Humphrey L., Westerberg E.R. J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 5242-5262.

572. Applied Surface Science. Special Issuer 4 International Vacuum Electron Sources Conference in Saratov, Russia, July 15-19, 2002 (IVESC 2002). Georg Gaertner, Valery M. Anikin, Yuri V. Gulyaev et al., Eds. 2003. V. 215, Nos 1-4. Pp. 1-318.

573. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства // УФН. 2002. Т. 102. № 4. С. 401 438.

574. Chernozatonskii L.A., Gulyaev Yu.V., Kosakovskaja Z. Ja., Sinitsyn N.I., Torgashov G.V., Zakharchenko Yu. F., Fedorov E.A., Val'chuk V.P. Electron field emission from nanofilament carbon films // Chemical Physics Let. 1995. V. 233. P. 63-68.

575. Синицын Н.И., Гуляев Ю.В., Горфинкель Б.И., Торгашов Г.В. и др. Исследование возможностей построения новых вакуумных индикаторов и дисплеев на основе углеродных нанотрубок и нанокластерных автокатодов // Радиотехзника. 2005. № 4. С. 35-40.

576. Аникин В.М. Статистическое описание автоэмиссионных рельефов // Радиотехника. 2005. № 4. С.26-30.

577. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. Статистический анализ рельефов, образованных системами моноориентированных нитевидных кристаллов и глобул // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983. № 1.С. 145-147.

578. Гиваргизов Е.И. Рост нитевидных и пластинчатых кристаллов из пара. М.: Наука, 1977.

579. Пошехонов П.В., Носов А.А., Пошехонова Т.А., Геннадьев В.М. Холодный катод на основе нитевидных кристаллов // Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21. № 12. С. 1250-1253.

580. Пошехонов П.В., Геннадьев В.М., Овсянников И.И. Методы повышения эффективности тренировки автоэлектронных катодов на основе нитевидных монокристаллов // Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21. № 12. С. 2568-2573.

581. Щетинин А.А., Козенков О.Д., Дунаев А.И. Исследование скорости роста нитевидных кристаллов кремния в проточной системе // ЖТФ. 1983. Т. 53. №7. С. 1416-1418.

582. Татарченко В.А. Устойчивый рост кристаллов. М.: 1968. Гл. 6.

583. Чалмерс Д. Теория затвердения. М.: 1968.

584. Iijima S. //Nature. 1991. V. 354. P. 56.

585. Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. С. 945.

586. Journet С., Bernier Р. // Appl. Phys. А. 1998. V. 67. Р. 1.

587. Nillson L. et al. // Appl. Phys. Lett. 2000. V. 73. P. 2113.

588. Yacaman M.J. et al //Appl. Phys. Lett. 1993. V. 62. P.202.

589. Fan С et al. // Physica E. 2000. V. 8. P. 179.

590. Рытов C.M. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. 496 с.

591. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. Случайные поля. М.: Наука, 1978.-464 с.

592. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир. 1971.636 с.

593. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. М.: 1971.

594. Bandow S. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 3779.

595. Lamy de la Chapelle et al. // Carbon. 1998. V. 36. P. 705.

596. Rao A.M. et al. // Science. 1997. V. 275. P. 187.

597. Liu B. et al. // Chem. Phys. Lett. 2000. V. 320. P. 365.

598. Thess A. et al. // Science. 1996. V. 273. P. 483.

599. Jornet C. et al. // Nature. 1997. V. 388. P. 756.37. .Henrard L. et al. // Eur. Phys. J. B. 2000. V. 13. P. 661.

600. Venema L.C. et al. // Phys, Rev. B. 2000. V. 61. P. 2991.

601. Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1978. Т.2. Случайные поля. -465с.

602. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. -М.: Наука, 1967.

603. Чернов JI.A. Распространение волн в среде со случайными неод-нородностями. М.: Наука, 1975.

604. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. - 336 с.

605. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981. - 640 с.

606. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990. - 216 с.

607. Кленин В.И. Термодинамика систем с гибкоцепными полимерами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995. - 736 с.

608. Schmitt J.M., Kumar G. Optical scattering properties of soft tissue: a discrete partical model // Appl. Opt. 1998. V. 37 (13). Pp. 2788-2797.

609. Тучин В.В. Лазеры и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 384 с.

610. Зимняков Д.А., Тучин В.В. Оптическая томография биотканей (обзор) // Квантовая электроника. 2002. Т. 32 (10). С. 849-867.

611. Coherent Domain Optical Methods fro Biomedical Diagnostics, Environmental and Material Science. Kluwer Academic Publishers, Boston, USA. 2004. Vols. 1, 2 .V.V. Tuchin, Ed.

612. Волковицкий О.А., Павлова Л.Н., Петрушин А.Г. Оптические свойства кристаллических облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 198 с.

613. Хлебцов Н.Г. Ослабление и рассеяние света в дисперсных системах с неупорядоченными, ориентированными и фрактальными частицами (теория и эксперимент / Диссертация.докт. физ.-мат. наук. Саратов: Саратовский госуниверситет, 1996. 559 с.

614. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: Иностранная литература. 1961. - 536 с.

615. Лукин И.П. Флуктуации оптических волн в средах с турбулентными и дискретными неоднородностями / Дисс. . докт. физ-мат. .наук -Томск, 2005 . 369 с.

616. Лукин И.П. Статистические характеристики оптической передаточной функции системы "турбулентная атмосфера телескоп" // Оптика атмосферы и океана. 2003. Т. 16. № 12. С. 1080-1083.

617. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Statistical Model of Random Medium with Cylindrical scatterers // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2001. Т. 7. С. 60-62.

618. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. On the Modeling of the Scattering Medium by a Random Pulse Process // Там же. С. 72-74.

619. Fowler R.H., Nordheim L.W. Electron emission in intense electric fields // Proc. R. Soc. London. 1928. Ser. A 119. P. 173-181.

620. Nordheim L.W. The effect of the image force on the emission and reflection of electrons by metals // Proc. R. Soc. London. 1928. Ser. A 121. P. 626639.

621. Murphy E.L., Good R.H. // Phys. Rev. 1956. V. 102. P. 1464.

622. Good R.H., Mtiller E.W. // Hundbook der Physik. Edited by S. Fliigge. Springer, Berlin, 1956. V. 21. P. 176-231.

623. Forbes R.G. Field emission: New theory for the derivation of emission area from a Fowler-Nordheim plot // J. Vac. Sci. Thechnol. 1999. В 17(2). Pp. 526-533.

624. Forbes R.G. Use of a spreadsheet for Fowler-Nordheim equation calculations//J. Vac. Sci. Thechnol. 1999. В 17(2). Pp. 534-541.

625. Forbes R.G. Low-macroscopic-field emission from carbon films and other electrically nanostructured heterogeneous materials: hypotheses about emission mechanism // Solid-State Electronics. 2001. V. 45. Pp. 779-808.

626. Forbes R.G., Jensen K.L. New result in the theory of Fowler-Nordheim plots and the modeling of hemi-ellipsoidal emitters // Ultramicroscopy. 2001. v. 89. Pp. 17-22.

627. Forbes R.G. Theory of field emission from free-electron conductors // Proceedings of 4thMoscow International ITEP School of Physics. Eds.: A.L. Suvo-rov, Yu.G. Abov, V.G. Firsov. Moscow: Academprint, 2001. Pp. 62-83.

628. Forbes R.G. Progress with the theory of cold-cathode electron emisrhsion // The 4 IEEE Int. Vacuum Electron Sources Conference. Proceedings. Saratov, Russia. July 15-19, 2002. Pp. 41-43.

629. Елинсон М.И., Васильев Г.Ф. Автоэлектронная эмиссия. М.: Физматгиз, 1958. - 272 с.

630. Добрецов JT.H., Гомоюнова М.В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1966.

631. Ненакаливаемые катоды / Под ред. М.И. Елинсона. М.: Сов. радио, 1974.

632. Gomer R. Field emission and field ionization. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1961. 195 pp.

633. Swanson L.W., Bell A.E. Recent advances in field electron microscopy of metal Adv. Electron. Electron Phys. 1973. V. 32. Pp. 193-309.

634. Modinos A. Field, thermionic and secondary electron emission spectroscopy. New York: Plenum Press, 1984. 575 pp.

635. Fursey G.N. Field emission in vacuum micro-electronics, New York74 Plenum Press, 2002.

636. Gadzuk J.W., Plummer E.W. // Rev. Mod. Phys, 1973, V. 45. Pp. 487.

637. He J., Cutler P.H., Miskovsky N.M., Feuchtwang Т.Е., Sullivan Т.Е., Chung M. // Surf. Sci. 1991. V. 241. P. 348.

638. Cutler P.H., He J., Miller J., Miskovsky N.M., Weiss В., Sullivan Т.Е. // Progr. Surf. Sci. 1993. V. 42. Pp. 169.

639. Kirkpatrick D.A., Mankofsky, Tsang K.T. // Appl. Phys. Lett. 1992. V. 60.P. 2065.

640. Nicolaescu D. J. Vac. Sci. Thechnol. 1993. V. В11. P. 392.

641. Hartman R.l. // J. Vac. Sci. Thechnol 1994. V. В12. P. 754.

642. Nguen H.Q., Cutler P.H., Feuchtwang Т.Е., Miskovsky N.M. Lucas A.A.// Surf. Sci. 1985. V. 160. P. 331.

643. Mayer A., Vigneron J.P. // J. Phys. Condens. Matter. 1998. V. 10. P.869.

644. Праттон M. Введение в физику поверхности. Ижевск, РХД, 2000.

645. Spindt С.А., Brodie I., Humphrey L., Wersterberg E.R. Physical propyl erties of thin-film emission cathodes with molybdenum cones // J. Appl. Phys.1976. V. 47. No 12. Pp. 5248-5263.

646. Brodie I. Fluctuation phenomena in field emission from molybdenum micropoints. Institute Physics Conference. Series Nb.99. Institute of Physics. Bristol and New York, 1989, pp.89-93.

647. Tringidis M.C., Seymour P., Jacobs K., Busta H.H., Pogemiller J.D. Single micromachined emitter characteristics // J. Vac. Sci. Technol. 1993. V. В 11. No 2. Pp. 396-399.

648. Ishikawa J., Tsuji H.,Nagao M., Gotoh Y., Sasaki Т., Kaneko Т., Na-gao M., and Inoue K. Influence of cathode material on emission characteristics of field emitters for microelectronic devices. J. Vac. Sc Technol. 1993; V. В 11 (2). Pp. 403-406.

649. Green R.F., Daneshvar К. 1/f noise in field emission. Revue "Le Vide, les Couches Minces"-Supplement au № 271, Mars-Avril 1994. Paris, 1994, pp. 199-202.

650. Amirkhanov R.N., Ghots S.S., and Bakhtizin R.Z. A study of autocorrelation function of 1/f current fluctuations in vacuum microelectronic devices.th

651. The 8 International vacuum microelectronics conference. Technical Digest. Portland, Oregon, 1995, p. 440-442.

652. Bakhtizin R.Z., Ghots S.S., and Amirkhanov R.N. Time stability of electron emission and noise from P-type Si field emitters. Revue "Le Vide, les Couches Minces"-Supplement au № 271, Mars-Avril 1994. Paris, 1994, pp. 199202.

653. Trujillo J.T., Chakhovskoi A.G., and Hunt С. E. Effects of vacuum conditions on low frequency noise in silicon field emission devices. In: The 9th Int. Vacuum microelectronics conference. Technical Digest. St. Petersburg, 1996, pp. 133-137.

654. Trujillo J.T., Chakhovskoi A.G., and Hunt С. E. Low voltage silicon field emitters with gold gates. The 8th Int. Vacuum microelectronics conference. Technical Digest. Portland, Oregon, 1995, pp. 42-46.

655. Busta H., Gammie G., and Skala S. Pressure dependency of emission currents of Si, Mo, Au, and SiC field emitters. In: The 9th Vacuum microelectronics conference. Technical Digest. St. Petersburg: 1996, pp. 143-147.

656. Chernozatonskii L.A., Gulyaev Yu.V., Kosakovskaya Z. Ja., Sinitsyn N.I., Torgashov G.V., Zakharchenko Yu. F., Fedorov E.A., Val'chuk V.P. Electron field emission from nanofilament carbon films. Chem. Phys. Let., 1995. V. 233. Pp. 63-68.

657. Barry S.W., Weichold M.H. Nonlinear regression technique for parameter extraction from field-emission data // J. Vac. Sc Technol. 1993; В 11 (2), pp. 379-382.

658. Zimmerman B.J., Busta H.H., and Pogemiller J.E. Scaling of emission currents and current fluctuations of emitter ensembles. In: The 6th Int. Vacuum microelectronics conference. Technical Digest. Newport, 1993, pp. 25-26.

659. Levine J.D. Statistical analysis of field emitter emissivity: Application to flat displays. In: Revue "Le Vide, les Couches Minces"-Supplement au № 271, Mars-Avril 1994. Paris, 1994, pp.73-75.

660. Cade N.A., Johnston R., Miller A.J., and Patel C. Studies into emission uniformity of large silicon field emitter arrays. In: Revue "Le Vide, les Couches Minces"-Supplement au № 271, Mars-Avril 1994. Paris, 1994, pp. 338341.

661. Xie C. Effect of emission uniformity on perfomance of field emission tlidisplays. The 8 Int. Vacuum microelectronics conference. Technical Digest.

662. Portland, Oregon, 1995. Pp. 257-260.

663. Qiong Li, Jingfang Xu, Haibo Song, and Xinfu Liu. The instability and reliability of silicon field emission array. The 8th Int. Vacuum microelectronics conference. Technical Digest. Portland, Oregon, 1995. Pp. 23-26.

664. Charbonnier F. Breakdown in conventional and vacuum microelectronics field emission devices. The 9th Vacuum microelectronics conference. Technical Digest. St. Petersburg, 1996. Pp. 10-18.

665. Бондаренко В.Б. Состояние и некоторые пути дальнейшего развития автоэмиссионной электроники // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 26. № 12. С. 2305-2312.

666. Шредник В.Н., Кудинцева Г.А., Фурсей Г.Н. Ненакаливаемые катоды на основе автоэлектронной эмиссии // Ненакаливаемые катоды / Под ред. М.И. Елинсона. М.: Сов. радио, 1974. Гл. 7.

667. Литвинов Е.А., Месяц Г.А., Проскуровский Д.И. Автоэмиссионные и взрывные процессы при вакуумных разрядах // УФН. 1983. Т. 139. № 2. С. 265-302.

668. Месяц Г.А. О цикличности катодных процессов во взрывной электронной эмиссии // Письма в ЖТФ. 1983. Т.9. Вып. 14.

669. Королев Ю.Д., Месяц Г.А. Автоэмиссионные и взрывные процессы в газовом разряде Новосибирск: Наука, 1982. - 256 с.

670. Месяц Г.А., Проскуровский Д.И. Импульсный электрический разряд в вакууме. Новосибирск: Наука, 1984. - 256 с.

671. Сливков И.Н. Процессы при высоком напряжении в вакууме. М.: Энергоатомиздат, 1986. 256 с.

672. Swanson L.W. Current fluctuations from various crystal-faces of clean tugsten field emitter// Surf. Sci. 1978. V. 70. P. 165-180.

673. Jtittner В., Wolf H., Altrichter В. // Phys. Stat. Sol. 1975. V. A27. P.

674. Todoroko H., Saito N., Yamomoto Sh. Role of ion bombardment in field emission current instability // Jap. J. Appl. Phys. 1982. Pt. 1 V. 21. No 10. Pp. 1515-1516.

675. Невровский В.А., Ярославский В.Н. Об интенсивности ионной бомбардировки катодных микровыступов в вакууме // Радиотехника и электроника. 1988. №4. С. 808-813.

676. Месяц Г.А. Генерирование мощных наносекундных импульсов. -М.: Сов. радио, 1974. 256 с.

677. Василевский Ю.А., Василевский М.А., Ройфе И.М. и др. Формирование электронного пучка в диоде с многоострийным взрывоэмиссионным катодом // ЖТФ. 1983. Т. 53. № 4. С. 677-682.

678. Жуков В.М. О некоторых свойствах взрывной электронной эмиссии//ЖТФ. 1987. Т. 57. № 12. С. 2366-2370.

679. Пучкарев В.Ф., Проскуровский Д.И., Мурзакиев A.M. Нестационарные процессы в катодном пятне вакуумной дуги в области пороговых токов. Шятно на макрокатоде // ЖТФ. 1987. Т. 57. № 12. С. 2324-2330.

680. Пучкарев В.Ф., Проскуровский Д.И., Мурзакиев A.M. Нестационарные процессы в катодном пятне вакуумной дуги в области пороговых токов. П.Пятно на острийном катоде // ЖТФ. 1988. Т. 58. № 1. С. 88-93.

681. Василевский Ю.А., Василевский М.А., Ройфе И.М., Энгелько В.И., Яковлев С.П., Янкин Е.Г. Исследование многоострийного катода с эмиттерами из графитовых волокон в длительных импульсно-периодических режимах//ЖТФ. 1984. Т. 54. № 7. С. 1315-1319.

682. Бахтизин Р.З., Гоц С.С. Фликкер-шум в полупроводниковых автокатодах // Извести вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24. № 10. С. 1276-1281.

683. Бахтизин Р.З., Гоц С.С., Ильясов Р.Г. Исследование чистых и покрытых кислородом поверхностей монокристаллов германия методом флик-кер-шума // 18-я Всесоюз. конф. по эмиссионной электронике. М.: Наука, 1981. С. 290.

684. Бахтизин Р.З., Гоц С.С., Ишмуратов Ф.Ф. Длинновременные корреляции флуктуаций тока кремниевых автоэмиттеров // Известия вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24. № 10. С. 1294-1296.

685. Бахтизин Р.З., Гоц С.С., Ильясов Р.Г. Фликкер-шум германиевых эмиттеров с атамарно-чистой поверхностью // Поверхность. Физика, химия, механика. 1984. № 4. С. 54-61.

686. Бахтизин Р.З., Гоц С.С., Тляубердин А.И. Пространственно-временные корреляционные функции фликкер-шума полевого тока из кремния // Радиотехника и электроника. 1985. Т. 30. № 8. С. 1638-1642.

687. Бахтизин Р.З., Гоц С.С., Зарипов Р.Ф. Особенности неравновесных (импульсных) спектров флуктуаций в полупроводниковых полевых эмиттерах // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31. № 6. С. 1232-1235.

688. Бахтизин Р.З., Гоц С.С., Тляубердин И.М. Особенности токовых шумов, связанных с объемными процессами в полупроводниковых полевых эмиттерах // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33. № 9. С. 1937-1943.

689. Бахтизин Р.З. Гоц С.С., Гофферт Н.Э., Хамидуллина JI. Статистика низкочастотных флуктуаций тока полевой эмиссии из монокристаллов кремния//Известия вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31. № 1. С. 1538-1541.

690. Bakhtizin R.Z., Ghots S.S. Field emission current fluctuations: surface and bulk effects // Colloque de Physique. C8. 1989. T. 50. N. 11. Pp. 103-108.

691. Bakhtizin R.Z., Ghots S.S., P.V. Glazer and Rameev Sh.R. Elementary acts of field emission current fluctuations // Surface Science. 1991. V. 247. Pp. 333-336.

692. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Клименко В.Г. Статистические модели квазирегулярных радиофизических и оптических структур. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 116 с.

693. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Statistical models of fluctuation phenomena in field emission // Solid State Electronics. 2001. Vol. 45/6. P. 865869.

694. Аникин B.M., Голубенцев А.Ф. Статистические модели эмиссионных флуктуаций и надежности автоэмиттерных систем // Радиотехника. 2003. № 2. С. 55-60.

695. Anikin V.M., Barulina Yu. A., and Goloubentsev A.F. Regression equations modeling diffusion processes // Applied Surface Science. 15 June 2003. Volume/Issue 215/1-4. Pp. 185-190.

696. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Statistical models of fluctuation phenomena in field emission // Solid State Electronics. 2001. Vol. 45/6. P. 865869.

697. Аникин В.М. К статистике эмиссионных свойств многоострий-ных автоэлектронных катодов // Вопросы электроники СВЧ: Межвуз. науч. сб. Вып. 14. Моделирование физических процессов / Отв. ред. Д.И. Трубецков. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. С. 3-8.

698. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. О спектре флуктуаций автоэмиссионного тока // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 1. С. 73-78.

699. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. Markov models of emission distortions for matrix cathodes // Revue "Le Vide, les Couches Minces"-Supplement au № 271, Mars-Avril 1994. Paris: 1994, p. 147-150.

700. Anikin V.M., and Goloubentsev A.F. Theoretical Modeling Inhomo-geneous Field Emission Area // The 9th International Vacuum Microelectronics Conference (IVMC'96). St. Petersburg, Russia, July 1996. Technical Digest. P. 102 106.

701. Аникин B.M., Голубенцев А.Ф. Моделирование бистабильных флуктуаций полевой эмиссии // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Т.З. С. 5-8.

702. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Марковская модель отклика автоэмиссионной системы // Там же. С. 8-9.

703. Аникин B.M., Голубенцев А.Ф. Модели надежности полевых эмиттерных систем // Актуальные проблемы электронного приборостроения. Материалы международной научно-технической конференции. Саратов: изд-во СГТУ, 1998. Ч. 3. С.3-6.

704. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Марковские модели флуктуаций полевой эмиссии // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 1998. Вып. 4. С. 33-36.

705. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. О моделировании случайных процессов, основанных на броуновском движении // Моделирование: Сб. науч. статей / Под ред. проф. Б.Е. Железовского. Саратов: Ис-ток-С, 2002. С. 31-37.

706. Gulyaev Yu.V., Sinitsyn N.I., Gartner G., Bakhtizin R.Z., Anikin V.M. The 4th International Vacuum Electron Sources Conference 2002 // Вопросы прикладной физики. Межвузовский научный сборник. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2003. Т. 9. С. 3-12.

707. Аникин В.М. Статистическое описание автоэмиссионных рельефов // Радиотехника. 2005. № 4. С.26-30.

708. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Theoretical Estimations of FEA's Reliability // The 11th International Vacuum Microelectronics Conference (IVMC98). Asheville, Noth Carolina, USA. July 19-24, 1998. Pp. 21-22.

709. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Chaotic models of fluctuations in field emission // 2000 IEEE Int. vacuum electron sources conference. Orlando, Florida, July 10-13, 2000. Technical Digest. P-22.

710. Лебедев В.Л. Случайные процессы в электрических и механических системах. М., ГИФМЛ, 1958.

711. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

712. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Сов. радио, 1966. -728 с.

713. Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. - 496 с.

714. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Случайные поля. М.: Наука, 1978. - 464 с.

715. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. -М.: Наука, 1981. 640 с.

716. ИЗ. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.-660 с.

717. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1965.-510 с.

718. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. - 511 с.

719. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М.: Сов. радио, 1973. - 232 с.

720. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М., Советское радио, 1977. - 488 с.

721. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.-624 с.

722. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. примеры и задачи по статистической радиотехнике / Под ред. проф. В.И. Тихонова. М.: Сов. Радио, 1970.-600 с.

723. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. -536 с.

724. Ван дер Зил. Шум: источники, описание, измерение. М.: Радио и связь, 1973.- 178 с.

725. Букингем М. Шумы в электронных приборах и системах. М.: Мир, 1986.-400 с.

726. Pay R.G. M.Sc. Thesis. University of Birmingham. 1956.

727. Bell D.A., Chong R.Y. Current noise in composition resistors // Wireless Eng. 1954. V. 31. Pp. 142-144.

728. Card W.H., Maurets A. Characteristics of burst noise // Proc. IEEE (Letters). 1965. V. 53. Pp. 652-653.

729. Chong K.Y. M. Sc. Thesis. University of Birmingham. 1953.

730. Dean K.A., Chalama B.R. // Appl. Phys. Lett. 2000. V. 76. P. 2071.

731. Dean K.A., von Allmen P., Chamala B.R. // J. Vac. Sci. Technol. 1999. B17. P. 1959.

732. Dean K.A., Chamala B.R. // J. Appl. Phys. 1999. V. 85. P. 3832.

733. Colazzo R. Schlesser R., Sitar Z. // Appl. Phys, Lett. 2001. V. 78. P.2058.

734. Machlup S. J. Appl. Phys. 1954. V. 25. P. 341.

735. Kenrick G.W. The analysis of irregular motions with applications to the energy frequency spectrum of static and telegraph signals // Phil. Mag. 1929. Ser. 7,7. Pp. 176-196.

736. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise // Bell. Syst. Tech. J. 1944. V. 23. Pp. 282-332. 1945. V. 24. Pp. 46-156.

737. Wolf D., Holler E. Bistable current fluctuations in reverse-biased p-n junctions of germanium // J. Appl. Phys. 1967. J. Appl. Phys. V. 38. Pp. 189-192.

738. Вентцель E.C., Овчаров JI.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.-416 с.

739. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1965. Гл. 8.

740. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: 1967. Т. 1 (2-е изд.).

741. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / B.C. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука, 1985.-640 с.

742. Chernozatonskii L.A., Gulyaev Yu.V., Kosakovskaja Z. Ja., Sinitsyn N.I., Torgashov G.V., Zakharchenko Yu. F., Fedorov E.A., Val'chuk V.P. Electron field emission from nanofilament carbon films // Chemical Physics Let. 1995. V. 233. P. 63-68.

743. Нарышкин A.K., Врачев A.C. Теория низкочастотных шумов. -М.: Энергия, 1972.- 152 с.

744. Якимов А.В. Диффузия примесей и дефектов и фликкерные флуктуации числа носителей в проводящих средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23. № 2. С. 238-243.

745. Врачев А.С. О термодинамическом подходе к проблеме низкочастотного шума// Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т.23. № 12. С. 1464-1472.

746. Коган Ш.М. Низкочастотный токовый шум со спектром 1// в твердых телах // УФН. 1985. Т. 145. Вып. 2. С. 285-325.

747. Гоц С.С. Флуктуационные процессы в микро- и наноэлектронных эмиссионных приборах: Автореферат дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., МГУ, 1998.

748. Голубенцев А.Ф., Сироткин O.JI., Денисов Ю.И. Марковская модель фликкерного эффекта // ЖТФ. 1983. Т. 53. № 7. С. 1420-1422.

749. Кокс Д., Смит У. Теория очередей. М.: Мир, 1966.

750. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. - 304 с.

751. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический анализ. М.: Наука, 1965. - 524 с.

752. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. М.: Радио и связь, 1988. - 392 с.

753. Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И., Минкин JI.M. Введение в статистическую электронику. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 127с.

754. Шаповалов А.С., Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И. Эмиссионные и шумовые свойства неоднородных эмиттеров. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1983.-91с.

755. Roquais J.M., Poret F., le Doze R., Ricud J.L., Monterrin A., Stein-brunn A. Barium deplection study on impregnated cathodes and lifetime prediction //Appl. Surf. Sc. 2003. V. 215. Nos. 1-4. Pp.17.

756. Дёч Г. Руководство к практическом уприменению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965.

757. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1974.

758. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 535с.

759. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. - 376 с.

760. Einstein A. On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory of heat // Ann. Phys. (Leipzig). 1905. Bd.17. S. 549-560.

761. Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. М., Наука, 1989.-568 с.

762. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. В 2-х тт. М., Фазис, 1998. Т. 1 512 с. Т. 2 - 544 с.

763. Peitgen Н.О., Jtirgens Н., Saupe D. Chaos and fractals: new frontiers of science. Springer Verlag New York, Inc., 1992.

764. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М., Постмаркет, 2000 352 с.

765. Fournier D., Fussel D, Carpenter 1. Computer rending of stochastic models // Comm. of the ACM, 1982, 25, 372-384.

766. Risken H. The Fokker-Planck equation. Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 1989.

767. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука,1987.

768. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайуых процессов в примерах и задачах. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

769. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1, 2. М.: Мир, 1984.1. К главе 9

770. Будыко М.И. Глобальная экология. М., 1976.

771. Чернова Н.Н., Былова A.M. Основы экологии. М., 1978.

772. Винокурова Н.Ф., Трушин В.В. Глобальная экология. М., 2001.

773. Майер-Боде Г. Остатки пестицидов. Инсектициды. М., 1966.

774. Федорова JT.M., Белова Р.С. Производные хлорфеноксиуксусных кислот и охрана окружающей среды. Саратов, 1983.

775. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Клименко В.Г. Математические модели контактов человека с вредными агентами. Саратов, 1990.

776. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Герштейн Е.Г. Моделирование накопления пестицидов в организме человека // Современные вопросы гигиены села. М., 1985.

777. Филов В.А. Вопросы кинетики поступления, распределения, метаболизма и выделения вводимых в организм извне химических агентов. М., 1967.

778. Ю.Лихарев И.А., Шамов В.П. О возможности применения математического анализа в кинетике транспорта токсических веществ в биологической системе // Гигиена применения, токсикология пестицидов и клиника отравлений. Киев, 1968.

779. Ускоренный метод изучения накопления и экскреции химических веществ в организме теплокровных (с использованием однократного введения^ Методические рекомендации / Е.Г. Герштейн, И.А. Лихтарев. Саратов, Саратовский НИИ сельской гигиены, 1984.-32с.

780. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М., 1969.

781. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М., 1977.

782. Н.Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М., 1973.

783. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Наука, 1983.

784. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М., 1981.

785. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М., 1980.

786. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Герштейн Е.Г. Расчет статистических характеристик профильтрованного пуассоновского процесса // Программирование на Бейсике / Под ред. проф. A.M. Богомолова. Саратов, 1987. 4.2.

787. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Науцка, 1969. 424 с.

788. Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982.

789. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М., 1975.

790. Перетяжко А.И., Федоров Н.И. Диагностика наилучших способов обработки сеянцев яблони 2,4-Д // Труды Саратовского сельскохозяйственного института. Саратов, 1968. Т. XVII. Вып. 1. С. 217-226.

791. Gannon N., Link R.P. // J. Agric. Food Chem. 1959. Vol. 7. P. 879.

792. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Математические модели кумуляции чужеродных веществ в организме. Саратов, 2002. 36 с.

793. Список публикаций по теме диссертации1. Монографические издания

794. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Клименко В.Г. Статистические модели квазирегулярных радиофизических и оптических структур. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 116 с.

795. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Клименко В.Г. Математические модели контактов человека с вредными агентами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. -32 с.

796. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Задачи Бюффона. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001.-80 с.

797. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Математические модели кумуляции чужеродных веществ в организме. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 36 с.

798. Аникин В.М. Детерминированный хаос и эволюция Вселенной / Нелинейная динамика Земли: сферы и структуры самоорганизации. Самсонов В.Б., Аникин В.М., Худяков Г.И. и др. Саратов: ЭМОС, 2005. С. 35-56.

799. Статьи в изданиях, рекомендуемых ВАКА

800. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. Статистические характеристики замедляющей системы со случайными нарушениями периодичности структуры // Известия вузов Радиофизика. 1982. Т. 25. № 3. С. 322-327.

801. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. Статистический анализ рельефов, образованных системами моноориентированных нитевидных кристаллов и глобул // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983. № 1.С. 145147.

802. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. О статистическом описании оптических волокон со случайными флуктуациями параметров распределения показателя преломления // Оптика и спектроскопия. 1984. Т. 56. Вып. 5. С. 974-975.

803. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Богомолов А.В. Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника. 2000. № 2. С. 38 -41.

804. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов -Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67-73.

805. И. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 3. С. 50-58.

806. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. № 1. С.39-42.

807. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Статистические модели эмиссионных флуктуаций и надежности автоэмиттерных систем // Радиотехника. 2003. № 2. С. 55-60.

808. Голубенцев А.Ф.J Аникин В.М., Ноянова С.А. Модификации отображения пекаря: особенности асимптотического поведения // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12. № 3. С. 45-57.

809. Голубенцев А.Ф.J Аникин В.М. Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13. № 1.

810. Аникин В.М. Статистическое описание автоэмиссионных рельефов // Радиотехника. 2005. № 4. С. 26-30.

811. Голубенцев А.Ф.|, Аникин В.М. О хаотической модели ранней эволюции Вселенной // Радиотехника. 2005. № 4. С. 50-55.

812. Аникин В.М., Ноянова С.А. Двумерные хаотические отображения // Радиотехника. 2005. №4. С. 63-70.

813. Аникин В.М., Аркадакский С.С. Кусочно-линейные отображения с неравномерным инвариантным распределением // Радиотехника. 2005. № 4. С.78-85.

814. Статьи в международных журналах. Статьи в научных сборниках

815. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. The Explicit Solutions of Frobenius -Perron Equation for the Chaotic Infinite Maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8. N5. P. 1049-1051.

816. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Statistical models of fluctuation phenomena in field emission // Solid State Electronics. 2001. Vol. 45/6. P. 865-869.

817. Anikin V.M., Barulina Yu. A., and Goloubentsev A.F. Regression equations modeling diffusion processes // Applied Surface Science. 15 June 2003. Volume/Issue 215/1-4. Pp. 185-190.

818. Голубенцев А.Ф.,| Аникин В.М. Евклид, Гаусс и детерминированный хаос // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2003. Т. 3. Вып. 2. С. 166-176.

819. Аникин В.М. К статистике эмиссионных свойств многоострийных автоэлектронных катодов // Вопросы электроники СВЧ: Межвуз. науч. сб. Вып. 14. Моделирование физических процессов / Отв. ред. Д.И. Трубецков. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. С. 3-8.

820. Аникин В.М. О внутренней координации в двумерных моделях сплошных сред // Вопросы электроники СВЧ: Межвуз. науч. сб. Вып. 17. Нерегулярные физические структуры / Отв. ред. Д.И. Трубецков. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. Вып. 17. С. 7-12-8.

821. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Герштейн Е.Г. Моделирование накопления пестицидов в организме человека // Современные вопросы гигиены села: Сб. науч. трудов. М.: НИИ гигиены им. Ф.Ф. Эрисмана. 1985. С. 43-46.

822. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. О статистическом описании рельефов квазипериодических радиофизических и оптических структур // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 1.С. 3-12.

823. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. О спектре флуктуаций автоэмиссионного тока // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 1. С. 73-78.

824. Аникин В.М. Об отклике зоны перетяжки волоконного световода на шумовые составляющие температуры нагревателя // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1989. Т. 2. С. 24-30.

825. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Контроль параметров распределения коэффициента пропускания оптического транспаранта // Там же. С. 73-78.

826. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Статистические модели и диагностика случайно нерегулярных дифракционных структур // Волны и дифракция. М.: Физическое общество СССР, 1990. Т.2. С. 322-324.

827. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. Markov models of emission distortions for matrix cathodes // Revue "Le Vide, les Couches Minces"-Supplement au № 271, Mars-Avril 1994. Paris: 1994, p. 147-150.

828. Anikin V.M., and Goloubentsev A.F. Theoretical Modeling Inhomogeneous Field Emission Area // The 9th International Vacuum Microelectronics Conference (IVMC'96). St. Petersburg, Russia, July 1996. Technical Digest. P. 102 106.

829. Аникин B.M., Голубенцев А.Ф. Моделирование бистабильных флуктуаций полевой эмиссии // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Т.З. С. 5-8.

830. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Марковская модель отклика автоэмиссионной системы // Там же. С. 8-9.

831. Anikin V.M., and Goloubentsev A.F. Statistical Model of Bistable Fluctuationsthin Field Emission // The 10 Int. Vacuum Microelectronics Conference (IVMC'97). Kyongju, Korea, Aug. 17-21, 1997. Technical Digest. P. 362-366.

832. Аникин B.M., Голубенцев А.Ф. Модели надежности полевых эмиттерных систем // Актуальные проблемы электронного приборостроения. Материалы международной научно-технической конференции. Саратов: изд-во СГТУ, 1998. Ч. 3. С.3-6.

833. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Хаотические отображения для усеченных статистических распределений // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 1998. Вып. 4. С. 26-29.

834. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Инвариантные меры для хаотических разностных уравнений с точными решениями // Там же, с. 29-31.

835. Голубенцев А.Ф., Аркадакский С.С., Аникин В.М. Дробно-линейное хаотическое отображение // Там же, с. 32-33.

836. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Марковские модели флуктуаций полевой эмиссии // Там же, с. 33-36.

837. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Эволюционные уравнения для хаотических отображений в форме полиномов Чебышёва // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1999. Вып. 5. С. 48-49.

838. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Операторы Фробениуса Перрона для сопряженных хаотических отображений // Там же. С. 50 - 52.

839. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Хаотические отображения с инвариантными законами распределения в форме эллиптических интегралов // Там же. С. 53- 55.

840. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Ноянова С.А. Двумерные эргодические отображения сложных областей // Там же. С. 56- 57.

841. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Arkadaksky S.S. On the Convergence of Nonstationary Solutions of the Frobenius Perron Equations to the Invariant density//Ibid. P. 142 - 143.

842. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Noyanova S.A. Two-Dimensional Ergodic Maps: New Examples // Ibid. P. 144 145.

843. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Барулина Ю.А. Спектральные задачи для хаотических отображений с инвариантными экспоненциальными распределениями // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Т. 6. С. 27-31.

844. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения // Там же, с. 33-35.

845. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Об источниках многозначности обратной задачи для уравнения Фробениуса-Перрона // Там же, с. 35-37.

846. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Statistical Model of Random Medium with Cylindrical scatterers // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2001. Т. 7. С. 60-62.

847. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. On the Modeling of the Scattering Medium by a Random Pulse Process // Там же. С. 72-74.

848. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Формула Эйлера-Маклорена в теории детерминированного хаоса // Там же. С. 74-76.

849. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций // Моделирование: Сб. науч. статей / Под ред. проф. Б.Е. Железовского. Саратов: Исток-С, 2002. С. 24-30.

850. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. О моделировании случайных процессов, основанных на броуновском движении // Там же. С. 31-37.

851. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Difference Scheme with Instant Transition from Order to Chaos // International Conference "Physics and Control". Proceedings. Saint Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P. 446-451.

852. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Chaotic Maps Generating White Noise // Ibid. P. 452-455.

853. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Noyanova S.A., Barulina Y.A. Baker Transformation as Autoregression System // Ibid. P. 654-656.

854. Anikin V.M., Goloubentsev A.F.| Analysis of biological chaotic rythmes // Proc. SPIE. Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics / V.V. Tuchin, Ed. 2004. V. 5330. P. 167-177.

855. Голубенцев А.Ф.|, В.М. Аникин В.М, Ноянова С.А. Обобщенное отображение пекаря как цифровой фильтр / Там же. С. 61-65.

856. Аникин В.М. Статистическая модель автоэмиттера на основе ориентированных углеродных нанотрубок / Там же. С. 93-99.

857. Аникин В.М., Ноянова С.А. Хаотические отображения на плоскости / Там же. С. 177-184.

858. Аникин В.М., Барулина Ю.А. Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением, топологически эквивалентное Ф-отображению / Там же. С. 201-210.

859. Аникин В.М., Аркадакский С.С. Одномерные хаотические отображения с кусочно-постоянными вероятностными инвариантными плотностями / Там же. С. 211-218.

860. Anikin V.M., Arkadaksky S.S., Remizov A.S. Operator description of maps providing chaotic rythmes // Proc. SPIE. 2005. V. 5696. Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics II. Valery V. Tuchin, Ed. Pp. 144-150/

861. Тезисы международных и общенациональных конференций

862. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. О статистической модели оптического волокна со случайными изменениями показателя преломления //37.я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1982. 4.1. С. 46-47.

863. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Гольдман С.Ю., Денисов Ю.И., Минкин JI.M. Трансформация возмущений в JIOBM со случайными неоднородностя-ми волноведущей системы, моделируемыми неканоническими разложениями // Там же. С. 306.

864. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И., Герштейн Е.Г., Малоземов Ю.А. Использование ЭВМ в моделировании процесса накопления чужеродных агентов (пестицидов) в организме человека // Там же. С. 100.

865. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Герштейн Е.Г., Денисов Ю.И. Об одной стохастической модели поступления гербицидов в организм человека // Всесоюзная научная конференция по сельскохозяйственной радиологии: Тезисы докладов. Обнинск, 1983. С. 143.

866. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Денисов Ю.И. К статистическому моделированию параметров СВЧ приборов // Применение СВЧ энергии в энергосберегающих технологических процессах: Тезисы докладов 5-й научно-технической конференции. Саратов, 1986. С. 10-11.4

867. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Статистические характеристики модовой задержки в волоконном световоде неоднородной структуры // 42-я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1987. 4.1. С. 24.

868. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф., Гольдман С.Ю., Денисов Ю.И., Минкин JI.M. Влияние флуктуаций параметров стекломассы на статистические характеристики профиля показателя преломления волоконного световода // Там же. С. 276.

869. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф., Гольдман С.Ю., Денисов Ю.И., Минкин Л.М. О влиянии случайных нестабильностей режима вытяжки световодов на их структурные характеристики // Там же. С. 277.

870. Аникин В.М., Гольдман С.Ю., Минкин Л.М. Термодиффузионные эффекты при формировании профиля показателя преломления волоконных световодов // 44-я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1989. 4.2. С. 19.

871. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И. К оценке регулярности оптико-геометрических параметров волоконных световодов // Там же. С. 1920.

872. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Двухкомпонентный марковский процесс в моделировании контактов человека с вредными агентами // 46-я Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1991. С.97.

873. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. The Difference Scheme Showing the Stiff Transition from a Regular Regime to a Chaotic one // Ibid. P. 74.

874. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M. Gauss Lemniscate Functions as exact Solutions for Chaotic Maps // Ibid. P. 75.

875. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Theoretical Estimations of FEA's Reliability // The 11th International Vacuum Microelectronics Conference (IVMC'98). Ashe-ville, North Carolina, USA. July 19-24, 1998. Pp. 21-22.

876. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Изоморфизмы и показатель Ляпунова для отображения Гаусса // Ibid. Pp. 77-78.

877. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Сопряженные хаотические отображения // Ibid. Pp. 78-80.

878. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Примеры сопряженных эндоморфизмов на действительной прямой // Ibid. Р. 80.

879. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Хаотические отображения на числовой оси с точной инвариантной мерой и нулевым показателем Ляпунова // Ibid. Pp. 80-81.

880. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Хаотические однопараметрические модели с точными инвариантными распределениями для непрерывного диапазона изменения параметра // Там же, с. 27.

881. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Об одной математической модели накопления организмом вредных агентов // Там же, с. 27.

882. Goloubentsev A.F. and Anikin V.M., On the Lyapunov exponent for the Gauss map // International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes. Ambliside, August 16-20, 1999. Abstracts. P. 49.

883. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Arkadaksky S.S. Solutions of nonstation-ary Frobenius Perron equation and spectral decomposition of evolution operator for ID conjugate maps // Ibid., p50.

884. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Arkadaksky S.S. A class of ID maps having exact invariant distributions and Lyapunov exponent equal in fact to zero // Ibid., p. 67.

885. Anikin V.M., Goloubentsev A.F. Chaotic models of fluctuations in field emission // 2000 IEEE Int. vacuum electron sources conference. Orlando, Florida, July 10-13, 2000. Trchnical Digest. P-22.

886. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Ноянова С.А. О связи преобразования пекаря с авторегрессионной моделью первого порядка // Там же. С. 63-64.

887. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. О хаотической модели флуктуаций полевой эмиссии // Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Материалы конференции. Саратов, 20-24 марта 2001. С. 30-31.

888. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора отображения Гаусса // Там же, с. 56.

889. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Алгоритм Евклида и детерминированный хаос // Там же, с. 58.

890. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Ноянова С.А. «Инверсное» отображение пекаря // Там же, с. 59.

891. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Difference Scheme with Instant Transition from Order to Chaos // International Conference "Physics and Control". Final Program and Abstracts. Saint Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P. 102-103.

892. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Chaotic Maps Generating White Noise //Ibid. P.75.

893. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Noyanova S.A., Barulina Y.A. Baker Transformation as Autoregression System // Ibid. P. 124.