Математические методы и алгоритмы численного моделирования динамических процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г Г Б ОД

г ДЬК 19^6 пРавах рукописИ

Степанов Андрей Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре моделирования экономических систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт - Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ — доктор физико-математических наук, профессор

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ — доктор технических наук,

профессор кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ —

Прасолов Александр Витальевич

Дидук Геннадий Андреевич

Олемской Игорь Владимирович

Санкт-Петербургский государств енный технический университет

Защита диссертации состоится " 2.Ц " 19У& года в

часов 00 минут на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт - Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан " 13" Ноября 199&г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.- мат. наук, профессор

Горьковой В.Ф.

1 Общая характеристика работы

1.1. Актуальность проблемы. Фундаментальное значение по всех областях науки и техники имеет моделирование, осуществляемое средствами математического и логического аппаратов. Математическое моделирование — тонкий и эффективный инструмент познания и обобщения внутренних закономерностей, присущих сложным явлениям и процессам. С его помощью сочетаются качественные и количественные аспекты анализа, формируются методы совершенствования моделируемого процесса и его целенаправленного развития. Изучение любого объекта, любой формы движения материи

— это раскрытие не только его качественных, но и количественных закономерностей, изучаемых теорией моделирования. Анализ явлений, прогнозирование развития системы, разработка эффективных методов управления, физическое моделирование процессов и, наконец, автоматизация расчетов основаны на их математическом моделировании. Моделирование проникает во многие сферы деятельности человека. Задачи моделирования становятся более громоздкими и разнообразными. Усложнение моделей влечет за собой необходимость разработки соответствующего математического аппарата. Данный аппарат во многом ориентируется на разработку методов и алгоритмов, которые реализуются на средствах вычислительной техники, ибо применение последних значительно расширяет возможности проведения моделирования.

1.2. Цель работы. Одна из основных проблем в моделировании

— восстановить по наблюдениям за исследуемым объектом математическое описание данного объекта. При этом на практике часто бывают ситуации, когда условия протекания процесса настолько неопределенны, что создание математической модели, учитывающей внешние условия, не представляется возможным. Встают задачи математического описания объектов, о которых нет полной априорной информации. Поэтому данная работа ставит своей целью развитие идей математического моделирования, вопросов решения задачи построения'моделей динамических процессов с неполной информацией или в условиях неопределегаюсти по наблюдениям за траекторией исследуемого процесса в текущий и предшествующие моменты времени, а также применение полученных методов к задачам экономики, техники, социологии.

1.3. Основные научные задачи.

1). Развитие теории обратных задач для линейных систем дифференциальных уравнений.

2). Доказательство возможности использования линейных систем дифференциальных уравнений для аппроксимации нелинейных динамических процессов.

3). Построение методов восстановления параметров исследуемого процесса с использованием физического моделирования.

4). Создание алгоритмов численного моделирования динамических процессов на основе наблюдений, взятых в произвольном количестве и через произвольные временные интервалы.

5). Применение методов численного моделирования и использование средств вычислительной техники для задач из области экономики, техники, социологии.

1.4. Методы исследования. Восстановление математических моделей по наблюдениям за реализацией процесса связано с обработкой и интерпретацией наблюдений, & ТЭ.ЮКС обращением причинно-следственных связей. Поэтому построение моделей тесно соприкасается с теорией обратных задач, которая активно развивается и дает новые результаты в области моделирования.

Широкие возможности для моделирования представляет математический аппарат теории автоматического регулирования. В новом направлении в теории управления, получившем название идентификации систем, создание математического описания объекта (часто в виде линейных систем) осуществляется по данным "вход-выход".

В данной работе восстановление математического описания объекта осуществляется в рамках теории дифференциальных уравнений. При этом модели восстанавливаются в виде линейных систем дифференциальных уравнений (однородных и неоднородных, управляемых и неуправляемых, непрерывных и дискретных). Методы построения таких моделей распространяются и на нелинейные процессы.

Использование фундаментальных принципов термодинамики позволяет найти аналогии и связи между физическими величинами и законами, с одной стороны, и законами экономики, математики, с другой, а также получить эффективные алгоритмы восстановления параметров исследуемых систем. Построение подобных алгоритмов и их реализация на ЭВМ тесно связаны с теорией численных методов.

1.5. Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

1.6. Теоретическая и практическая значимость работы. Современный этап развития математики характеризуется все большим вниманием к вопросам построения модели объекта по данным, полученным в условиях функционирования объекта. Это объясняется тем, что для сложных объектов априорная информация о закономерностях их функционирования неполная или даже отсутствует совсем. При этом необходимо сделать вывод о свойствах изучаемого объекта по измеренным наблюдениям за ним. Этот вывод возможен в рамках математической модели исследуемого объекта, создание которой связано с восстановлением параметров по имеющейся экспериментальной информации. Построение такой модели связано с рядом теоретических и практических проблем. Данная работа призвана решить часть из этих проблем. Полученные результаты и методы дают возможность проведения анализа протекания процесса, построения локального прогноза на ближайшее будущее, а также управления ходом процесса. Они предоставляют широкие возможности для применения и могут быть использованы для построения адекватных моделей динамических процессов из различных областей науки и техники.

1.7. Достоверность основных положений диссертации и полученных результатов определяется построением таких методов моделирования, которые адекватно отражают моделируемую ситуацию и правильно реагируют на все изменения, происходящие в системе. Математические выкладки подкрепляются конкретными практическими примерами, для которых составлены программы на ЭВМ. Данные программы на расчетных примерах отражают действенность приводимых методов.

Рассматривается процесс формирования цены через воздействие рыночного механизма спроса и предложения. Строится математическая модель динамики цен на рынке определенного товара. Данная модель дает возможность анализировать динамику поведения товара на рынке, прогнозировать основные показатели данного товара на ближайшее будущее. Производится расчет цены, спроса, предложения товаров на торгах товарно-фондовой биржи "Санкт-Петербург" по секции "Черная металлургия". Проводится адаптивное управление вращательным движением твердого тела на основе численного моделирования управляемых процессов.

Производится моделирование процессов замыкания цепи постоянного электрического тока, динамики изменения численности популяции. В последнем случае проверяется действие законов Мальтуса и анализируется изменение численности населения Японии. Решается задача построения модели, дающей возможность строить прогноз добычи, ввоза, потребления каменного угля. Демонстрируются на примерах методы восстановления неизвестных параметров в линеаризованных моделях, строящихся на основе наблюдений, которые могут браться в произвольном количестве через равные или неравные промежутки времени.

Результаты расчетов для описанных примеров сравниваются с реальными показателями. В результате получается хорошее совпадение.

1.8. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

- Международной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 20-24 мая 1996г.);

- Научной конференции "Управление динамическими системами' (г. С.-Пётербург, 20-25 апреля 1996г.);

- Семинаре кафедры процессов управ ления и информационных систем Северо-Западного заочного политехнического института (СЗПИ) (январь 1996 г.);

- Международной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 15-19 мая 1995г.);

- Научной конференции " Управление динамическими системами" (г. С.-Петербург, 1-5 апреля 1995г.);

- Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 20-22 декабря 1994г.);

- Международной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 16-20 мая 1994г.);

- Научной конференции "Управление динамическими системами" (г. С.-Петербург, 1-5 апреля 1994г.);

- Научной конференции "Управление динамическими системами" (г. С.-Петербург, 1-5 апреля 1993г.);

- Семинарах кафедры моделирования экономических систем Санкт-Петербургского государственного университета (1993-1996 г.).

1.9. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах 1-7.

1.10. Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы. Работа содержит приложения, которые выделены в отдельные параграфы в каждой главе, 21 таблицу и 19 рисунков. Общий объем работы составляет 150 страниц текста, набранного в системе Т^Х, из них 11 страниц — список литературы, содержащий 127 наименований. В списке литературы приведены только те работы, на которые есть ссылки.

2 Содержание работы

Во Введении раскрывается актуальность темы диссертации, дается краткая историческая справка по рассматриваемой тематике, представляется библиографический обзор работ по данной проблеме, формулируется цель диссертационной работы, излагается краткое содержание каждой из глав.

Первая глава данной работы освещает вопросы идентификации неизвестных параметров линейных непрерывных систем дифференциальных уравнений, которые могут служить математическими моделями как линейных, так и нелинейных процессов. Данная глава является развитием работ Прасолова A.B.

В первом разделе данной главы вводится понятие модели и разделение моделей на глобальные и локальные. Приводится пример построения локальной модели. Дальнейшее содержание работы посвящено локальному моделированию.

Одним из оснований построения математических моделей в виде линейных систем дифференциальных уравнений является наличие процессов в различных областях природы и техники, которые описываются линейными системами. Подтверждением тому служат примеры, приведенные в разделе 1.2.

В следующем разделе 1.3 для полноты освещения вопроса кратко описываются подходы других авторов к восстановлению параметров лилейных систем дифференциальных уравнений.

Раздел 1.4 дает метод определения матрицы коэффициентов линейной стационарной системы дифференциальных уравнений по наблюдениям за процессом, описывает семейство решений данной задачи и показывает непрерывную зависимость отклонений восстано-

вленкых параметров от погрешностей наблюдения.

В разделе 1.5 приведен метод построения локальной математической модели по наблюдениям за объектом. Построенная модель может быть использована для последующего управления объектом. Если объект описывается линейной системой

X = АХ + Ви,

где X = (х},... ,ха)т — вектор состояния системы, V — (щ,..., ит)т — вектор управляющего воздействия, А = (п х п), В - (их т), то последующее управление будет точным. Если процесс описывается нелинейной системой

X = II),

то построенная локальная модель будет определять некоторое приближение нелинейного объекта. Доказывается возможность использования линейных систем для моделирования нелинейных процессов. Это выражается в существовании вещественного логарифма, который определяет возможность построения линеаризованной модели.

В разделе 1.6 на основе идей Д.И. Менделеева с использованием численного моделирования строится математическая модель динамики цен, отражающая торги на товарно-фондовой бирже "Санкт-Петербург" по секции "Черная металлургия". При этом проводится прогнозирование изменения цены, спроса, предложения на заданный товар на ближайшее будущее и расчетные данные сравниваются с реальными цифрами, взятыми с биржи. В результате получается хорошее совпадение.

В разделе 1.7 на основе идей численного моделирования управляемых процессов проводится адаптивное управление вращательным движением твердого тела, находящегося в условиях неопределенности.

Поиск аналогий между законами физики, механики, термодинамики, с одной стороны, и методами математики, с другой стороны, позволяют предложить во второй главе новый подход к задаче построения моделей переходных процессов в виде лилейных дискретных систем, использующий фундаментальные принципы и законы термодинамики, теории равновесия. Так как в работе указан способ, позволяющий представить решение непрерывной системы в виде дискретной системы, то описанный подход применим и для моделирования непрерывных систем.

Предполагается, что мы можем наблюдать поведение исследуемого объекта и в результате этого наблюдения иметь векторы состояния данного объекта X, — ■ ■, ¿'">)т, « = 0,..., т. Количество наблюдений т + 1 произвольно. Идентификация модели процесса производится в форме дискретной линейной системы

Х,+1 = АХ,+Ъ, (1)

где А = {а= (пх п), Ь = {Ь,-} = (их 1), I, = (д х 1) — вектор состояния объекта в 5-й момент времени. По имеющимся наблюдениям восстанавливается матрица А и столбец Ъ.

При подстановке в систему (1) исходных наблюдений, ее можно переписать в виде

{А,Ь} I*» = {ХиХ2,...,Хт}.

[ггх(п + 1)] [(п +1) х т] [п х т]

Обозначим матрицу {А,Ь} — С = [п х (п +1)]. Каждая строка £);, г = 1.... , п, матрицы 2) является решением уравнения

п / Хд, • • • , Хт-1 1 _ п (г,\

Д\ 1 1 1 (2)

где 0{ — это строки матрицы {Х\,Х2, •.., Хт}-

Так как приводимый во второй главе метод, который можно назвать методом физического моделирования, распространяется на случай произвольных наблюдений, которые могут браться в произвольном количестве через неравные интервалы времени и не порождаться линейной системой, то в общем случае может не существовать такой линейной модели, траектория которой п точности проходила бы через всю совокупность заданных наблюдений, т.е. может не существовать А и Ь, которые бы точно определяли равенство левой и правой частей в (1) при подстановке туда наблюдений X,. Тогда встает задача введения таких функционалов, которые бы отражали степень близости прохождения траектории модели через исходные наблюдения. Такие функционалы вводятся в разделе 2.1. Так как нас интересуют траектории, которые наиболее точно отражают начальные наблюдения, то каждому введенному функционалу будет соответствовать своя экстремальная задача. В качестве таких задач могут рассматриваться следующие задачи на минимум:

Т71—1

1). min F(i) — min £ (X.+i — AX3 — b) .

i=о

то— 1 *

2). min F (an, au, • • •, snn, bi...,bn) = min E (Xs+i - - £ Лг6)2.

j=0 r=0.

3). min Ф-mingoE E ( Vi+> In^-: + In^-: ,

■=i -п V V}+), + ril Vi' -TjlJ

где

— достаточно большие положительные числа, удовлетворяющие условиям: | — < ifs < j; r/l — Е —

= 1, i = l,...,n, s — Q, . ,.,m — 1)—невязки системы (2); qo —

произвольный положительный параметр.

На основе задач 2), 3) можно ввести более общую задачу:

4). min П = min (F + Ф).

Тогда решения задач 2), 3) будут являться частными случаями решения задачи 4) при обнулении одного из функционалов F или Ф. Поэтому сначала рассматривается задача 4). Заметим, что задачи 2)-4) сводятся к нелинейным экстремальным задачам и решение этих задач в аналитическом виде обычным методом наименьших квадратов при больших размерностях систем и большом количестве наблюдений либо чрезвычайно затруднительно, либо невозможно. Это связано с тем, что минимизируемые функционалы будут содержать параметры - элементы матрицы А - больших степеней. Соответственно, j—, i,j = l,...,n, i = 1,...,п, будут определять уравнения, в которых будут фигурировать высокие степени a,j, (>,. Получающиеся уравнения очень трудно аналитически разрешить, при больших m практически невозможно. Кроме того, количество получающихся уравнений будет равно п(п+1). При большом значении п получим большое количество уравнений, которые надо разрешить. Помимо прочего, при больших m и п в общем случае нельзя

8F 9F ■ • л

дать аналитического вида g^", gr-, г,) = ],...,«, а можно лишь задать численные алгоритмы их определения в фиксированной точке.

В разделе 2.1 показывается, что различные функционалы дают различные результаты решения задачи построения математической модели по наблюдениям и что проблема построения модели, траектория которой проходит максимально точно через всю совокупность заданных наблюдений, сводится к поставленным нелинейным экстремальным задачам. Выяснение аналогий с термодинамикой позволяет использовать ее методы теории равновесия для получе-

ния результатов теории и алгоритмов решения. В разделе 2.1 показывается возможность применения данных аналогий для построения математических моделей в виде дискретных и непрерывных линейных систем дифференциальных уравнений и описывается принцип избыточных связей, который рассматривается в работах Разумихи-на Б.С. и помогает строить итерационные процессы для сложных задач большой размерности.

Задачу 4) можно интерпретировать как условную экстремальную задачу, решаемую методом штрафных функций внешней точки, где целевым функционалом является функционал Р, а ограничения определяются самим видом линейной системы, если выполпепис данных ограничений рассматривать относительно функционала Ф. Функционал Р зависит от искомых параметров — восстанавливаемых коэффициентов линейной системы. В разделе 2.2 дается представление через данные параметры целевого функционала экстремальной задачи с ограничениями и определяются его частные производные по этим параметрам. Заметим, что поставленную задачу можно рассматривать более широко и брать отличные от Р функционалы в качестве целевых. Тогда получатся задачи удовлетворения экстремальных свойств этих функционалов вдоль линейных систем.

В разделе 2.3 проводится механическая интерпретация экстремальной задачи и производится построение механической модели решаемой задачи восстановления параметров .модели. На основе данной модели возможно создание итерационного метода для идентификации модели.

В построенной механической модели функционал Ф определяет свободную энергию идеального газа, использующегося для заполнения объемов термодинамической модели раздела 2.3, Р определяет силовое поле, в которое погружена эта модель, а II - потенциальную энергию модели. В разделе 2.4 устанавливается определенная положительность и выпуклость функции свободной энергии идеального газа. Тем самым показывается, что в качестве штрафной функции за нарушение ограничений в экстремальной задаче может служить функция свободной энергии построенной механической модели. Здесь же устанавливается, что положение равновесия физической модели раздела 2.3 является решением поставленной экстремальной задачи.

Следующий раздел 2.5 посвящен аспектам поиска этого положения равновесия. В данном разделе приводится численный метод

нахождения идентифицируемых параметров восстанавливаемой модели. Получающийся метод численного решения представляет собой математическое описание процесса перехода физической системы из произвольного начального состояния в состояние равновесия. Данный метод дает не только возможность его реализации на ЭВМ, но и допускает разложение задач большой размерности на несколько задач меньшей размерности.

В разделе 2.6 в качестве иллюстрации проводится физическое моделирование в скалярном случае, а в разделе 2.8 даются частные случаи решения экстремальных задач, вытекающих из общей постановки задачи условной минимизации раздела 2.1.

Разделы 2.7 и 2.9 на примерах иллюстрируют действие описанных во второй главе методов.

Приводимые в первой главе алгоритмы используют для построения модели в случае линейной неоднородной системы п + 2 наблюдения за процессом, где п — размерность системы. Однако при возможности получить большее количество наблюдений их использование во всем объеме может повысить адекватность отражения реальности моделью, которую мы строим. Кроме того, на практике часто нет возможности проводить наблюдения через равные промежутки времени. Вопросы, связанные с трудностями при получении наблюдений, уже рассматривались во второй главе, они продолжают рассматриваться и в главе 3.

Рассматривая динамический процесс, модель которого строится в виде системы

X = АХ+ Ь,

где X — (х1,... ,хп)т - п-мерный вектор, А — (пхп), Ь — (пх 1), и имея тп наблюдений Хо, Х1}..., Хт-1 за данным динамическим процессом, причем яг произвольно, можно записать формулу Коши

л

Хм = ел>1Хк + / е^-'ЧтЪ, А = 0,... ,гп - 2, Уо

и ввести обозначения еАН = Г>ь /0 еЛ'^сЬЬ = В2, тогда исходная система запишется в виде

хш = оа, + и2

и можно рассматривать определенные ранее функционалы.

Первый раздел этой главы касается вопроса выпуклости функционалов, введеных в предыдущей главе. От этого зависит, будет ли решение задачи восстановления параметров строящейся модели глобальной или локальной экстремальной точкой. Доказывается выпуклость функционала F(ij, относительно которого будет идти идентификация параметров модели в дальнейшем.

Для функционала F(i) задачу его минимизации решает метод наименьших квадратов, который гораздо легче реализуем для J<(i), нежели для остальных функционалов, ибо сводится к решению линейных алгебраических систем. Но метод наименьших квадратов, во-первых, связан с необходимостью поиска частных производных от минимизируемого функционала, во-вторых, может приводить к неоднозначным решениям в силу того, что получающаяся алгебраическая система может иметь не единственное решение. Необходимо введение дополнительных условий для того, чтобы из множества решений выделить одно. Поэтому в разделе 3.2 рассматривается вопрос построения математической модели в случае большого числа измерений, взятых через равные промежутки времени, и для решения этой задачи приводится метод, который дает хороший численный алгоритм. Показывается при введенных условиях единственность задачи восстановления модели.

В разделе 3.3 рассматривается задача прогнозирования добычи, ввоза, потребления каменного угля. В качестве наблюдений за этими показателями используются экономические показатели России за XIX век.

Раздел 3.4 представляет метод идентификации линеаризованной модели, когда исходные наблюдения не удается получить через равные интервалы времени и их можно брать в произвольном количестве. Указанный метод дает итерационный алгоритм, который на каждом последующем шаге итерации обеспечивает меньшее отклонение траектории идентифицируемой модели от исходно заданных начальных наблюдений по сравнению с данным отклонением на предыдущем шаге. Пример применения этого метода дается в разделе 3.5.

В последующих разделах 3.6 и 3.7 также рассматривается случай произвольного числа измерений, взятых через произвольные промежутки времени. В них приводятся алгоритмы для приближенного построения линеаризованных моделей.

В Заключении приводятся основные результаты и выводы выпол-

ненного исследования:

1. Получено развитие решения обратной задачи для систем линейных дифференциальных уравнений (однородных и неоднородных, управляемых и неуправляемых, непрерывных и дискретных) и построения локальных математических моделей по наблюдениям за реализацией процесса. Получено полное семейство решений задачи восстановлеция матрицы параметров линейных систем по наблюдениям за процессом. Показана близость восстановленных реальных и расчетных параметров при наличии малых погрешностей наблюдения.

2. Доказаны условия, выполнение которых гарантирует возможность построения линеаризованных моделей динамических процессов в' условиях неопределенности.

3. Введены различные функционалы, отражающие степень приближения исходного процесса строящейся линеаризованной моделью. Показано, что проблема определения неизвестных коэффициентов линеаризованной модели, обеспечивающих минимальное отклонение траектории модели от всей совокупности исходных наблюдений, сводится к решению нелинейных экстремальных задач. Даны численные методы их решения. При этом установлена глубокая связь и наличие аналогий между математическими переменными и закономерностями, с одной стороны, и физическими величинами и законами, с другой. Показано, что введенные функционалы имеют физический смысл. Создана физическая модель для задачи построения математических моделей динамических процессов в виде линейных систем. Построенная модель позволяет подключить аппарат термодинамики, фундаментальные принципы теории равновесия для получения результатов численного моделирования.

4. Построен метод создания линеаризованных моделей динамических процессов в условиях неопределенности, использующий наблюдения за процессом, взятые в произвольном количестве через равные промежутки времени.

5. Созданы методы построения локальных математических моделей, учитывающие трудности с определением наблюдений за исследуемым объектом, когда данные наблюдения невозможно получить через равные промежутки времени, а только возможно производить их через неравные временные интервалы.

6. На многочисленных примерах и построенных моделях продемонстрирована действенность приведенных в работе методов. Для

всех методов и алгоритмов разработаны программы на ЭВМ.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Прасолов Л.В., Степанов А.В. Применение метода локального моделирования к экономическим задачам. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1995. 52с.

2. Степанов А.В. О разрешимости одной задачи идентификации. // Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996. С. 196-208. - (Вопросы механики и процессов управления, вып. 17).

3. Степанов А.В. Адаптивное управление вращательным движением твердого тела посредством метода локального моделирования. Деп. в ВИНИТИ, №2086-В94, 11.08.94. 13с.

4. Степанов А.В. Об одной модели ценообразования. Тезисы международной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем (Исследование систем)", Киев, май 1995. С. 103.

5. Степанов А.В. Разрешимость в одной задаче восстановления параметров. Тезисы международной научной конференции " Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, декабрь 1994. С. 155.

6. Степанов А.В. Управление вращательным движением твердого тела. Тезисы международной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, май 1994. С. 155-156.

7. Stepanov А. V. Numerical Modeling of Controllable Processes in Arbitrary Number of Observations Case. Abstracts of International Scientific Conference "Modeling and Analysis of Systems Stability (Systems Research)", Kiev, May 1996. P. 127.