Математические модели и приближенные методы решения нелинейных проблем термоупругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЫ1А АКАДЕМЫ НАУК УКРАПШ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

, На правах рукопису

КОМАРОВ Гениадт Мшсолайович

МАТЕМАТИЧН1 МОД15Л1 I НАБЛИЖЕН1 МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ

НВЛ1НШНИХ ПРОБЛЕМ ТЕРМОПРУЖНОСТ1

01.01.03 — математична фЬика АВТОРЕФЕРАТ

двсертац|1 на эдобутт* наукового ступепя доктора фЬяко-математичних наук

Кшв — 1936

Дисертац1ев е рукагалс

Робота виконана у в1дц!л1 нагематачно! ф!зики та теорИ нел1-нШшх.коливань Гнституту математики НвцЮнальноГ Академ! I Наук УкраТни

Науковяй консультант - доктор ф1зико-матвматичних наук, профэсор

БЕРЕЗОВСШШ А.А.

0ф1ц1йн1 опонентш - доктор ф1зико-магвматичшк нвук, профосор

СЕЛЕЗОВ 1Л.

- доктор ф1зико-математйчних наук, професор КАРНАУХОВ В.Г.

- доктор ф1зин0-м8тем8тичних наук, професор ЛЕНШ И.П.

Нров1даа установа - Ки1вський ун1версите? Iii. Терзса Шевченка

Захист дасертацП в1дбудеться 199

о <£Г"годан1 на зас1двян1 спец1ал1зовено1 рада Д.01.66.

¡¿г 1996 року .02 при

йститут! математики HAH Укра 1ни за адресов: 25260t Ки1в - 4, вуд. ТерещешШоькв, 3. •

В дисергец1е*> можна ознайомитись в <Я(1л1отац1 Гнституту. Автореферат роэ!сланий * ли сгон, 1996 р.

Вчений секретер шец1»л1эоввяо1 рада С^Н^Т ЛУЧКА А.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуальнЮть теш!. Багато проблем сучасних прикладних наук, в тому числ! техн!чшх 1 1н1кенерних, по вини! розглядатися ^к суттево иелМйн!, так як 1х л1н!йнэ трактування ю дае можливост! врахову-вати нвйсЯльш 1стотн1 сторони явшц не т1льки при к1льк1сних, а й при ик1сних досл!дженнях. Однак, нелШйний и!дх1д ускладню<=. математич-н! модел! реальних процвс{в I приводить до нэлШйшх диференцХаль-них р!внянь з частиншши пох1дними. Досл1дження крайоьих I початко-во-крайових задач для таких р!внянь вимагае залучвння абсолютно новик 1двй 1 И9Т0Д1В в пор1внянн1 з 1деями 1 методами л1н1Яно! теорИ. В зв'язку з тим, що в звгалыюму випадку отримати точний анал1тичний розв'язок згаданих вище задач дуке складно або взагал! немомиво, особливо актуальном е етворення ефективних наблитених метод!в 1х розв'язання. Практична ц!нн1сть одарнаяих при цьому результата виз-начаеться тим, наск!льки корисними вони виявляються при дослгдквнй! иагвльних потреб сучасного природознавства. До останн!х вадноеяться 1 далШйн! проблема тэрмопрунност!.

Актуальн1сть досл1дкень,що проводиться в ц1й облает!, викликана п!двищешми вкмогами до точност! розрахункхв на м!цн!сгь 1 ст!йк!сть конструкции виготовлених !з нових матер!ал!в, як! мають широк© зас-тосування в техн1ц! 1 <3уд1вництв1, а твкож необх!дн1стю опису ефек-т!в, як! лшаються поза уввгою при л!н1йн1й тюстановц! задач термо-прушост!.

Як в!домо, математичною модаллю термопруиност! твердого т!ла е система зв'язвних дафэренц!8льних р!внянь з частиннши пох!днши, яка складаетьсявекторного р!вняннн руху пружного т1ла 1 скалярного р!внягая т«плопров{дност!. Нал!н!йн1сть цих р!йнянь зумовлена сп1вв!днокеннячи м!ж компонентами тензора деформзЩй 1 першими по-

- г -

х1дними компонент вектора перем1щвння (геомвтрична кал!н1йн!сть), а такош матер 1альними рхвняннями пружноет! 1 теплопров1дност1 '-Язична нел1н!йн1сть). У випадку геометрично1 н9л1н1йност! вважають, що де-формацП мал1, а кути повороту велик! тому для того, щоб досить точно описати дэформованнй стен, не»о0х1дно зберегти вищ! отепен! перших пох1дних вектора перем1щ9ння, починаючи з друго!. У виладку ф1зично! нвл!н1йност! виходягь з припущення, що для прукно! задач! при деформация, як! допускають геоматричну л!гоаризац1ю, наяьн! пом!тн1 в1д-хшшння б!д л1н!йно! залежност! м!к напруженнями 1 деформац1ями, яка визначаетьея на основ! закону Гуна,а для чисто тешюво! - з нел1н1й-ност! закоШь Фур'е, як! зв'язують вектор теплового потоку з град!-ентом температур х питому теплову енерг!» а температурою. Матаматкч-на модель термопрухноот! тепловипром1ншчого т1ла эначно ускладгао-еться, якщо частина його поверхн! вгнутя. У цьому ытадку в!д<3увае-ться перевипром1нюванш) теплоти, урахування якого приводить до нвл1-н!йноГ 1, 01льш того, нелокально! крайоьо! умевн.

3 математично! точки зору шл1н1йн! задач! термопрукност! нале-яать до класу мало досл!дж9Нйх нел!н1йнмх крайових задач математично! ф!зики. В теоретичному план! для таких задач эалкшвытьсн актуальном питания 1снування,едююст 1, ыонотонност! 1 стабШзацН роз-в'язк1в, 3 практично! точки зору тут осоолиио в8жливими £ н8/ЗЛИК9Н1 к;зя1тпчн1 I ефвктнвн! чис9лыю-анал1тичн! метода роэа'яз&ння.

5 огляду на скледа1сть поставлен« проблем, створвння в!дпов1д-них математичних' моделей тврмопружноот! т обмеиуеться описайо» вшд1 конкретизацию геометричшх сп!вв!даоабнь 1 матер!альких ршшь.Для того, щоб вони сули првдагн! для вявчения точяими к!льк!сними методами, при матвмагачнМ постанови! канкретнях задач нво0х1дао вр^хо-вувати специф!чн! властивост! нуквних шл!в. Ло оставим в1дйосятьсй

симэтр1я I кваз1стац1ояарнГсть, як! дозволяють понизити розм!рн!сть задач!, а такой монотонн1сгь, яка дзе можлив1сгь виконати горвх1д до актуальн1лих, з точки зору практики,постановок задач в1даоско повер-хонь р!вня 1 т.1н.

Однак, нав!гь Шст розушюго спрощеннл математичне моделювэння вказаних вицэ процес!в, як правило, приводить до складчих мало дос-л1даэних крайових 1 початково-крайових задач для диференц1альних р!внянь з частинними пох1дними, а твкон 1нтвгро-диференц1альних р1в-нянь. Як показуе досв!д дослГдання тэкого роду задач, 1х розв'язок немокливо отримати, користуючись якимось ун1версальним методом, I т1льки поеднання набликенкх анал!гичних 1 р!зних чисельних метод!в з вшсористанням сучасно! обчислювально! техн!ки моке дата результат.

В наш час видано Оагато нонограф1й, огляд!в 1 окремих статей, присвячашх розвитку, головнкм чином л1н1Шшх, задач термопружност! 1 питаниям взаемодП механ1чнлх, теплових 1 9лектромагн1тних пол!в в матер1алах 1 элементах конструкц!Я. Сучасний р!ввнь розвитку термо-в'язкоелектропружност! шсв!тлений в моногрэф!ях А.Д. Коваленко, В.Новацького, Я.С.Шдстригача, Я.И.Бурака. М.О.Щульги, Ю.М.Коляно, . А.Ф.Ул1гко, Г.Т.Селезова 1 1н.,а також в п'ятитомному виданн! "Механика связанных полей в элементах конструкций" п!д загальною редеющею 0.М.Гузя.Виведенню основных р!внянь загально! теорИ термов*язко-електропружност! присвячен! робота А.АЛллшина.Б.Е.Победр!, Д.Л.Би-кова В.В.Москв1т!на, В.Г.Карнаухова, 1.Т.Селезова, Р.Шенери, Р.Кр1с-т1нсена,Б.Колемана та 1н.0сновн1 результата по побудов! р!зних прик-ладних теорМ одно- ! багатошарових прукних 1 в'язкопружних пластин 1 о болонок з урахуваниям взаемодИ механ!чних, теплових 1 електро-статичних пол1в в1до0р8жен1 в монограф!ях Я.М.Григоренка, 1.0.Луков-ського, В.А.Троценко 1 В.1.Усш1на, В.Г.Карнаухова 1 1.Ф.Киричка.

Вивчення нел1н!йних задач тэрмопружност! отимулювало досл1дшн-ня в областях математики, зв'язаних з теор!ею нел1н1йних даф;ренц1-алышх р1внянь ел!пткчного та пара<3ол1чного тип1в. ВажлиЫ результата в цих роздмах математики отриман! в роботах Петровського 1.Г., Тихонова О.М., Самарського O.A.', Олейнин 0.0., Ладикенсько! 0.0., Вишика M.I., Дубшюького Ю.А.» Мартинсона Л.К., Березовського A.A., Л1онса Ж.-Л., Фужйи X., Аронсона Д., Враудера Ф. та хнших авторов.

В розвиток нелШйно! георН тепло- 1 масопереносу значний вне-сок зробили робота Лейбензона Л.С., Зельдовича Я.В., Седова Л.1., ХристианоБИча С.А., Дородницина A.A., Ликова A.B. та багатьох ншшх.

Матою дисертацШно! робот« е створеиня нових ыат&матичних моделей нел1н1йних проблем термопрукност! просторових т!л i тонкоот!нних конструкции досл!дзкення виникаючих при цъому келШйних крайових задач, в яко'му поряд з теоретичними питаниями розглядаеться розробка ефективних конструктивних метод1в розв'язэння модельних задач та ix детальний анал1з; покудова розв'язк!в конкретних крайових задач, тй-пових 1 особливо важливих для 1нкенерноТ практики; кадання рекомвн-дэЩй по оптимальному проектув&нн» елемент1в конструкц!й.

Наукова новизна.В дисертацН зепропоновано нов! математичн! мо-дел! термопружност!, як! ь1дображаеть нвл1н1йн! властивост! матер!а-лу 1 н&л1н1йн1 д&фориацИ. Победова розз'язк'в отританих н»л1и1йних векторних крайових задач в1даосно дареШцень бэзуеться на застосу-ванн! 1дей TeopiI зЯурень, методу малого параметра в р!зних модаф{-каЦ1ях (методу пруших розв'язк!в А.АЛллиияяа, методу зм!нлйх параметр^ I.A.Biprepe та in.), вар18ц1йних метод!в в поддавим! з точнй-ки розв'язкэми.

Fo?глянуто нов! за постановкою нел!н1йнt задач! т^илоо0м!ну,■В 4VHX ирчховано випромШювання теплота з йов«ркн1 де^рЧог^н/Лт»

- б -

фазов! перетворення I перевипром1нюв8ння тегглоти на вгнутих поверх-нях, а також 1х р!зн! спрощення.пов'язан! 1з сгац!алышми усереднен-нями температурного поля по говщин! шар!в з високою тешшров!дн!стю 1 переходом до задач в1даосно поверхонь р!вня. Методом 1нтегральних р1внянь за допомогою функц!й Гр1на для л!н1йного оператора задач тешюпров1дност1 зд!йснено перех!д до екв!валентних нел1н1йних 1н-тегральних постановок задач. Отримано вагову функц!ю I другу формулу Гр1на для неузгодкеного з крайовими умовами 1 умовами спряжения оператора р1вняння теплопров!дност1. Побудовано функц!ю Гр1на у вигляд! б!л1н!йного ряду за власними функц!ями спектралышх задач з параметром як в крзйових умовах, так 1 в умовах спряжения. Встановлено уза-гальшну ортогональн!сть 1 повноту системи власних функц!й таких спектралыжх звдач. Досл!дження конкрегних, вакливих для практики задач складного твплоо<5м!ну, проведено . методом екв!валентноГ л!неа-ризацН, !де! якого започаткован! в роботах Л.С.Лейбензона, М.М.Кри-лова, М.М.Боголюбова, Й.О.Митропольського, а також методами даскре-тизацН за часом (Роте) 1 нел!н1йних 1нтегральних р!внянь.

Проведено досл!дкення ф!зично нел!н!йних задач термопружност! осесимэтрично деформованого багатош&рового цил!ндра. Виведено нел1-н!йн1 р!вняння р1вноввги 1 розроблено 1терац!йн! метода 1х розв'я-звнкя (А.АЛллшина, 1.А.Б1ргера) в поеднанн! з методом Папковича-Кейбера. Отримано точний розв'язок одн!е1 мо дельно Г задач! термопружност! шаруватого цил1ндра !з ф!зичйо нелШйного матер!алу. Для дво-шарового цихндрэ одержан! результате доведено до алгоритм1е 1 прог-рам чисельних розрахунк!в на ЕОМ.

На основ! вар!ацШюго п!дходу одержано геометрично 1 ф!зично нел!н1йн1 р!вняння р!вноваги I руху осесимегрично деформованих до-дов!льних 1 пологих оболонок обертання для р!зних визначальшх функ-

ц!й. Отримано нов! за постановкою динам!чн1 задач! гермопрулшост!, в тому числ! з приеднаюши масами. ЗдШнено перех!д в!д крайових задач для систем шл!н1йвих даференц!альних р!внянь до систем екв!ва-лентних навантажвних !нтбгральних р!внякь типу Гаммврштейна. Зд!йс-нвно ск!нчбнновим!рну 8проксимац!ю розв'язк!в нелШйних задач тер-мопружност! дов!льних 1 пологих оболонок обвртання в вар!ац!йн!й i !нтегральн1й постановках, яка грунтуеться на використанн! ф!н!тних базисних функц!й. У випадку Бар!ац!йних постановок отримано трид!а-гональн! система алгебраГчних р1внянь в!дносно вузлових значень шу-каних функц!й, а для 1нтегральних - повн! системи нелШйних алгеб-ра!чних р!внянь Ыдносно середн!х значень иуканих функц!й на !нтер-валах розбигтя в!др!зка. Розглянуто питання побудови шуканих роз-в'язк!в з вщим ступеней гладкост! апроксимац1й.

Науковэ i практична ц1кн1сть отршапих розультат1в. Досл1даен-ня в облает! матэматичного моделювання нелШйних проблем термопруи-ност! стимулюеться запитами практики. Нел!н!йннй п!дх!д приводить до суттевого ускладнення математичноТ сторони, вимагае вастооування солытно ново! математично! !доолог11 t принцшово нови* метод1в. До тепер тут не 1снуе зак!нчених загальних теор!й ! метод!в, як! мокуть бути створен! т!льки на основ! широкого енал!зу конкротних задач,гго-дЮних тим, як! розглядаються в даий! робот!.

Практична ц1нн!стъ проведших в десертацII досл!джень крайових 1 початково-крайових задач шлШйно! термопрукдас?1 ьизначаеться ix внеском в розв'язаиня нагэльшх проблем природозиаветва. Частицу от-риманих тут результат1в у вигляд! науково-7ехнfчгоп зв!т!в,т9хн!чних !нструкц!й, Иосетряюс методик розражунк!» 1 спец!бл!йоваких програм фчких роэрахуяк !в не КОМ впроваджено в гтрекптау при вйконайн! ряду кемпдекених прогпам по проблемах турйзмадюноСуду^лння в Хнетитут! и«хан1ки HAH УкраГни i КиГвсввоод; ун1верситет!.

Достов1рн1сть результат 1в, отриманих в дисертац!йн!й робот!, заснована на строгШ математичн!й постановц! нел!н1йних задач термо-прукност! I застосуванн! при 1х досл!дженн! теоретично обгрунтованих метод!в.Вона п!дтвердкуеться пор!внянням отриманих чисельних результате з експериментальними даними.

Апробац1я робота. Основн! положения дисертаЩйно! робота.та II окрен! результата допов!далиоь ! обговорювались на р!зних наукових парадах, кокференц!ях, школах ! сем!нарах, Зокрема на:

- "Научных совещаниях но тепловым напряжениям в элементах конструкций" (м.Кан!в, II - 1962 р., VII - 1967 р., IX - 19вэ р., XIV -- 1977 р., XV - 1930 р.);

- "Республиканских конференциях по аэрогидромеханике, тепло- и мвссопереносу" (м. Ки1в, Г - 1968 р., II - 1959 р.);

- II РеспубликанськМ коифвренц!! "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (м. КиТв, 1978 р.);

- "I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур" (м. Льв!в, 1983 р.);

- Всесоюзних ! Респу<5л1канських школах-сем!нарах "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения" (м. Нальчик, 1989, 1990, 1993 рр.; м. Самарканд, 1991 р.; с. Кацивел!, 1992 р.; м. Терноп!ль, 1994 р.; м.Черн!вц!, 1995 р.);

- конферэкцН "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-вторые Воголюбовские чтения" (м.Ки!в,1993 р.);

- м!жнародн!й конференцИ з нел!н!йних диференц!альних р!внянь (м.Ки!в, 1995 р.);

• - загально1нститутському сем!нар! з мехаи!ки 1нституту мех^н!-ки НАН УкраТни (м.КиТв,1933 р., кер1вник - акэдем!к НШ Гузь О.М.).

В повному оО'ем! дисертацШна робота обговорювалась на семинвр! в!дд1лу математично! ф!зики та leopli нел!н1йних коливань Хк^титуту математики HAH Укра1ни (м. Ки!в,1995, 1996 p.p., кер1вник - академ!к Ю.О.Митропольський).

Публ1кац11. За матер1алами диеертац!! олубл!ковано 38 друкова-них праць. Основн! результата отриман! автором самост!йно. Вклад кок-ного з сп!вавтор!в ч!тко вид!лено в дисертбц!йн!й робот!.

Структура 1 об'еи робота. ДисвртацНШе робота складаетьсй 1з вступу, п'яти розд!л!в 1 списку л!тератури, який м!стить 117 найда-нування. Загалъний об*ем диеертац!! - 293 стор!нки, в тому числ! 17 рисунк!в ! 3 таблиц!.

Основний ги1ст робота В дан!й робот! розглядеються актуальн! проблеми нел!н!йно1 тер-мопрукност!, пов'язвн! !з «¡творениям нових математичних моделей тер-термонапрукеного стену црукних твердах т!л ! тонкост!нних конструк-ц!й, як1сним досл!дж0нням отримаких векторних нел!н!йних грашчних задач та, головним чином, розробкою нових ефэктивних метод!в досл!д~ кення таких моделей, а також з упровадженням отриманих результат!в в-1нженерну практику.

У вступ! сф>рмульовано мету робота та предмет досл!даення, охарактеризовано акгуельн!сгь проблеми ! II прзктичну ц!нн!сть, визна-чеко структуру дисертацИ ! в акотопаному вигляд! викладеко II 3м!ст> Перший розд!л м!стить коротку характеристику основних сп!вв!д-ношень 1 р!внянь геоиетртчно i ф!зичда нелШйних задач термопрук-ност!. Викладення почипзетъея з розгляду напруженого ! деформовэного стян!в Изотропного пруккого т!ла, як! характеризуются симетриччими тензорами напруаень i деформац!й. Поряд з лШйними розглядаються ! квадратичн! зв'язки деформаЩй з першими пох!дними компонент вектора №»рем{щення. '

Матер1вльн1 р!вняння, як! зв'язують тензор напрукень з тензором деформацШ, вибираються в так!й форм!, яка дозволяе найточн1шэ в1-добразити т! ф!зита1 властивост!, урахуванню яких ми надаемо особливого значения, з одного боку, !як! мають по можливост! найпростйний вигляд, з другого боку. ДругМ вимоз!, без сумн!ву, найкраще в!дпо-в1да€ закон Гука для малих деформац!й у тому вигляд!, в якому в!н використовуеться в класичн!й теорН пружност!. Ягадо користуватись принципом оптимального формулюввння закону, то 1 у вииадку ф!зично! нел!н!йяост! не сл!д, якщо це можливо, в!дступати в!д математично зручког форми закону Гука. Цього можна досягти при адитивн1й участ! гал!нй?носгеа в загальнШ форм! закону лрукност! для малих деформа-цШ

Э = 3то + 2СГ - 3Щ(е0)д0 - 2О0(фо)С , (1)

де г - тензор наярузгень; 0о 1 О'- кульовий 1 дев1аторш1й тензори де-форягцМ; К I С? - «одул! об'егшого стиск81шя 1 зсуву; <р(е0) 1 и(ф0)-фупкцН в1да>в1дет серэднього кодовяення е0 та хнтенсивност! дефор-мацИ зсуву ф0, як! характеризуйте ступ!нь в1дхилення прукних влас-тивостей в!д л1н!йних.

Виведення основних р!внянь руху л1н!йно1 ! нел!н!йно! термо-прукност! засноваш на закон! Дюгамеля-Неймана, який ствердкуе: говна дефэрмац!я дор!внюе сум! пружно! дефэрмац!!, зв'язано! з напру-кеннями в!дпов1дними сп!вв1дношеннями, 1 чисто теплового розширення, яке е результате»! д!Т в!домого температурного поля.

У випадку ф!знчноГ 1 геометричноЕ иел!н!йностей задач! термо-прунпост! зведано до векторного нел!н!йного диференЩвльного р!внян-ня з Ч8стиншши пох!дними, яке мае вигляд

5Аи + 1К+{иЗ)0)&хШ'.ш = Мс1Т&ъйТ + ри - Р + Фи, (2) 1 скалярного р!вняння тешк>пров!дност1

ДГ - ig Т--X äiv й = - к2 , РеО, t>0. (3)

Тут u = Cu.u.u») - вектор перемйцення; 1 - температура т!ла; F = = {A'.l'.Z) - зовШшня сила, в!даесена до одиниц! маси; ыт, Кт - кое-ф!ц!енти л1н!йдаго теплового розширвкня 1 теплопроводное^:!; с, р -теплоемн!стъ i гуотша; а2 = К/ар - ковф1ц!ент тешературогфов!дио-ст1; X, (i - стад! Лямв; Т0 - температура т!ла в ненапрукеноиу стан!; w0 - !нтенсивн!сть джерела теплота; Р - точка т!да 0 з координатами х, у, г; крапкою шзиачено дифэренц!ювання sa часом t. Л1ва частина р!вняння (2) - звичайне л!н!йне р!ьняння Ляме, а права - кр!м температурного доданку 3MagradT, сил 1дарцИ рй i масових сил Р м!с-тить доданок Си, дэ <2 - векторний нел1н!Яниа дифервнц!альний оператор, що д!е на вектор и. Компонента Фи виэначакегься адитившаи да-лШйними доданками узагальненого закону Гука (1) 1 квадратичшми доданками в геометричних зв'язках дефоршцН- пох!да1 компонент вектора дарем1щення.

Для кваз!статичних задач термопружност!, коли 1нерц1йними членами t швидкостями в!дгов1дао в р!вняшях (2) 1 (3) мокни знехтува-ти, остання розпадаеться на незалежне скалярие р1вняння теплопров!д-ност! i нел!н!йне векторне р!вняння р!вноваги для н-зступкого визнз-чення вектора горем!щення и

СДй + tK+(1 /3}Glgrac%3tvü « grad{3Kd Т + 8), (4)

де grad® = Фи - F.

Тока форма запису дозволяв зестосувети 1терац!йн! метода, зокре-ма метод "прукних розв'язк!в" А.А.Ьшшнэ, 1 звеста р!вняиня (4) до л!н!йного на кокн!й !з !терац1й, прямому ' ® эаи1нюеться Кого знечеи-ням на подарадн!Я 1терацП Ф. Розв'язйння л!а!йних р1йнянь» в свою чергу, у BiitnoBl^fiocTi 3 методом Папковича-Кейбер» вводиться до зна-

• п

ходшння термопрукного потенЩалу Ф

дф - зтгат; <3ЧГ +

а таком векторно! В 1 скалярно! В0 гармон1чних функц!й

ЬВ = 0, дв0 = О.

<Б)

(8)

На кояиШ 1з 1терац1й розв'язок й визначаеться сумою частинного 1 загального розв'язк!в в1дпов1дного (4) л!н1йного р!вняння -

дэ V - коеф!ц!ент Пуассона, г - рад!ус-вектор. ФункцЮнальну дов!ль-н!сть, що м!ститься в гармон!чних футаоЦях, моаяа ефективно викорис-товувати при задоволенн! крайових умов.

Поряд з методом А.А.Ьллшина для розв'язагая р!внянь кваз!ста-тагено! термопрукност! застосовуються такс»« 1терац1йн1 метода "зм1н-них параметр!в" А.А.Б1ргера. Однвк, в ггар1внянн1 з методом "пруквдх рэзв'язк!в", тут вшинають додатков! трудноц1, ггов'язан! з! зм1нн!с-тю коефЩ1епт1в в лШйних дафэрощ! а лыпгх р!вняннях 1 крайових умо-вах. Зокрема, в цьому внпадку нэмокливо застосувати метод Папковича-Иейбора.

В заклштюму параграф! розд!лу розглянуто питания 1снування та еданост! розв'язку ф!знчно нвлШйних векторних крайових задач тер-мопрукност!. Отримако умови на нел1н1йност! <р(9) та «(ец), при вико-нанн! яких мае м!сцэ

Теорема. Нехай вшонуються умови

(П), р>6/5; а0^1т(32), га>4/3; иТч1п(0), п>2, а для Функц!й ф 1 со справджуються нер!вност1

и = §гсс® •+ 4 (1-*>)3 - £гай(В-? + В )

'О''

(7)

и

oí2 + p2 4- 72 + б2 < Хг < 1, u$0, <(£0, Я>0, £ O, K(T) > O, G(T) > O.

"'u

Тод1 посл!довн!сть u(n) !терац1йного процесу в метод! "пружних розв'язк1в" зб!гаеться доузагальненого розв'язку ochobhoI задач! термопружност! для р!вняння (2) при дов!льн!й початков!й 1терац11

Як уже зазначалось,для кваз!статичних задач термопрушост! виз-начення температурного шля T(P,t) являе собою незалежну задачу, за допомогою яко! в подальшому визначаеться термопружний стан пружного т!ла. В цьому план! задача Т9плопров!дност! е одн!ею 1з задач мате-матично! ф!зики ! мае.самост1йнв значения. Тому в другому розд!д1 розглядаються чисто температуря! аспекта задач тармопружност1.Розд!л м!стить коротку характеристику задач теплопров!дност! з конкретизацию ■ мокливих джерэл нелШйностей як в диференц!альних р!вняннях, так t в крайових умовах. Визначошш температурного поля в твердому т!л! з ой'том п, оОмеженим поверхнею 2, в багатьох випадках вима-гае досл!дження задач складного теплоогМну, який ураховуе процеси кондуктивно1 теплопров1дност! в П, конвективного теплообм!ну та теплового випром!нювання на опукл!й часткн! Е(, перевипром!нювання тепло т и на вгнутМ частин! по верхи! 2, в також эаховану теплоту плавления у випадку фазовкх перетворень. Урэхування цих Фактор!в ви-могае р!зноман!тшх узагальнвнь закон1в Фур'е, Стефана-Больцмана, плавления ! эалучення Интегрального р!вняння променевого TettnooOMlHy на вгнут1й частин! поверхн! твердого г!ла. В загальному вкладку для визначення температуря T(P,t) нел!н!йними виявляються як диференц!-альне р!вняння, так 1 крайов! умови. Останн! у випадку розв'язност! !нтегрального р!вняння променевого тотлообм1ну до того к нелокальн! не вгнут!Я 430T»uit 2г пов»рхн! S.

При дослгдетгзд! задач твгаюпров1дносг1 для шаруватих середовищ, складешх 1з mapln з шсокою теплопров!дн1стю t тэрм!чно тонких пок-рить, злачного спрощешя досягавть вш на píBHi постановки задач при усеродданн! текятвратурного поля по товщш! геометрично або ф!зично тонких mapiB. Враховуватя вплиз таких иер1в í покрить дозволяють так зван! !мпедансн! умови спряжения 1 !шедзнсн! крайов! умови.

1мпеданснх умови мгстять граничн! значения шукано! функц!!, íí перша пох1дних по нормал! í часу, других похгдних в дотичному нал-рямку 1 в!добракають вшив на розподы температуря товщини шару або покриття, його теплошност! с, коеф!ц!ента теплопров!дност! Л i кое-ф!ц!ент1в тэплообм1ну у випадку нереального теплового контакту м!ж шарами. Сл1д зазначити, що порядок !шедансних умов вищий, н!ж порядок ,щфрещ1вльного р!вняння.Як правило, йлпедансн! умови виводились в припущенн!, що температура по товьуш! пару або покриття пост!йна. Ца можливо в тому випадку, коли коеф!ц!ент теплопров!дност! досить великий (*.-«»). В той ке час зазначений коеф!ц!ент може бути ск!нчен-ним. Для того, щоб урахувати його вплив при в!дкиданн! шару або покриття, в цьому випадку необх!дно будувати 01льш адекватну модель усереднення. Така модель отримана в робот! в припущена! зм!ни темпера тури по товщин! шару або покриття за л!н!йним законом.

При розв'язвнн! початково-крайових задач теплопров!дност! для шаруватих середовиц з непогодженим диференц!альним оператором, кра-йовими умовами 1 умовами спряжения в дасертвцП отримана вагова, функц!я И(зс), яка дозволяе симетризувати оператор задач!. Для середовиц з кусково-пост!йними характеристиками 1 вагова фуккц!я куско-во-пост!йна

Я(х) = ^ Vllr¡(T-xi_1) - т](.т-xt)), at_f<j;<a{; ( = TTñ. (8) де т)(г-дг{) - функц!я Хев!сайда.

В одновим!ршму випадку отршан! рекурентн! сп!вв!дношенш для визначення значень И1 ({=Т7п). Показано, що власн! функцИ в!лов1д-но! спектрально! задач! ортогон&льн! з вагою И(х)р(х), тобто в розуг-м!нн! скалярного добугку

(и, и) ^ £ииМ(х)р{х)бх. (9?

ЗдШснено також симэтризац!ю оператора одновш!рник задач теп-лопров!дност! з 1мпедансними крайовими умоввми I умовами спряжения -отримана друга формула Гр!на для симетризованого оиэраторв т+о •

/ ^^víLtu^¡-o^x)p(x)ut)-uшv1-^c^x)^p•^x)vtшшаки ■»

<ИГ ♦ ^ ТИ«'«Я -

22 °

■ -»й'^^-тй'Я М-*- ^ й+- ад -

- »¡Иг £ * 9%>* ♦ ^ Ш}^

«V

з яко! вйпливав утата1 ^агашша!"' ортогональности власти функций сшктралшэТ задач! а1 параметрам в кр&Яошзс ушвах ! $швак спряшн-ня в розумймй скалярного1 дабутку

у(О)'

- (в,ег>> ^р«^) да

* Зу ™>

««

. Ида

Доведет теорему про гговноту влесккх функц!й спектрально! эада-ч! з параметром1 & крайРовях умовах та умовах спряжения для кусково одн'орЦт« оОмекешх зв'язних I незв'язних областей та теорему Стек-

лова про розшшешя а ряда Фур'е за такими функц!яш дов!льно! функ-цИ !з простору з в!дпов1дним скалярним добутком.

Побудовапо фушщ!» Гр1на у вигляд! б!л!н!йшх ряд!в

Фур'е за власкиш функц!ямп в!дпов!дш1х спектральних задач', що дозволило, використовуючи (10), (11), звэсти розв'язашя н9л1н1йшвс задач топлопров1дност! для шаруватих сервдовищ до знаходження розв'яз-ку нелШйних !нтегральшх р!внянь талу Вольтерра. Отримано точн! ¡розв'язха д!н!Шшх задач у вигляд! розвинення в ряди Фур'е за влас-екя функц1ями спектрально! задач! з параметром як в крайових умовах, так ! в удавах спряжения. На основ! вказених розв'язк!в за допомогою ЕОМ проведено чисэльн! розрахунки температурит пол!в для двошарово-го вздовк рад!уса цил1ндра.

Злачно! уваги' в другому розд1л! надано задачам С1Сладного тепло-обм!ну, в яких враховано в1шром!нивання теплоти з повэрхы! т!ла 2 за пел!н!йшм законом -

та фаэов! перетворення, коля внутр!шня питома теплова енерг!я е роз-ривною функц!ею температура - е = е(Г). Це приводить до розгляду не- ■ л!н!йного р!вняння теплопров!дност!

4Т

"•г!- т" пт

при нел!н1йн!й крайов!й умов!. Тут 1е1 - стрибок функц!! е(Т) в

г*

точц! Т=Т*, який дор!вню5 енергИ поглинання або вид!лвння при фазо-вих перетвореннях.

Якщо поверхня 2 мае вгнуту частину 23, то крайова умова на н1й набувае вигляду

+ Ж?) - €Е = 0, t>0, (14)

-Нет + ■ оз)

дэ Е=Е{Р,Т) - иукана 1втегральна нап1всферична штенсивн!сть падаю-чого випром!нквашя, а е - стуи!иь чорноти поверхн! У цьому ви~ падку для замккання задач! теплоп1»в!дност1 (13), (14) задучаеться 1нтегральне р!вняння прошневого теплообмену, яке зв'йзуе окелярн! поля Т ! Б на 22 -

Е(Р,{) = ЕД1К.(Р,*) + /к(р,дхгт^> ш2, ОБ)

12

дв К(Р,С1) = соа(Р-д,ггр).соа((Э-Р,гг<г)/'Е|?-д|2, (Р,г) - штенсив-н!сть зовн!щнього джерела, г=1 -е - коеф1ц!ент Ыдбиття. В тих. випад-ках, коли вдаеться гобудувати резольвенту Й(Р,5) ядра К(Р,Я) п!сля виключення Е(Р,!) 13 крайово! уыовй, одержуемо задачу з нел!н!йною 1 нелокальною крайовою умовою.

Досл!дже!шя таких нових за постановкою задач складного теплооО-м!ну проводиться методами нел1н!йних 1нтегральиих р!внянь, екв{валентно I л!шаризац11, дв використовуються точи! розв'язки отац!онар-них задач 1, кр!м того, р!зн! впроксшац!! вих!данх розв'язк!в, дас-кретизацИ за часом (метод Роте), неявних р!зницевих схем, усеред-нення за просторовою зм1нною, переходу до нормальних форм для кваз!-л!н1йних парабол!чних р!вняиь, тобто розгляду постановок задач для !зотерм1чних поверхонь.

Зм!ст методу кэл!н!Яких !ктвгралъ!ак р!внянь полягае в зведеш! ночатково-крайових задач для Т9шювивром1ншчого твердого Ила до екв!валентного нел!н!йного 1нтегралыюго р!вняння м1н!мально1 роз-м!рност! з наступним эастосувагиям до нього одного з наближених 1те-рйц1йних або вар!ец!йних ме>тод1в. Це рэаЛ1зуеться за допомогою дру-гоГ форели Гр!на для л!н1йного р!вняння теплогтров!дност! 1 функцН Гр!нв, яка е розв'яэкомг в!дпов!даих розгЛядуваних крайовах задач' з лШйкнми однор'дяими крайовяш умозами 1 умов.5Ж ¡тркчгнкосП.

1де! заотосованого в дисертацН методу екв!валентно! л!неариза-ц11 беруть початок в роботах Л.С.Лейбензона, М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Мигропольського 1 дуттево винористовуюгь спец!альн! ап-рокснмац!! 1 конотрукцИ точних розв'язк!в в!дпов1дних стац!онарних задач з деякиш виб!льн6нш.ш параметрами, як! залежать в!д часу. Ви-нога р!вност! нули нев'язки даферэнц!альних р!вняяь в-тому та 1ншому !нтегралъному смисл! приводить до значно простйшх задач Кош! для ВИЗН8Ч91ШЯ цих параметр!в.

На в!дм!ну в!д методу екв1валению! л1нваризац11, в якому вико-ристовуеться апроксимац!я за координатою, в метод! Роте виконуеться апроксимац!я за часом X, що дозволяв зввсти почаг:ово-крайову задачу до крайових задач на кожному часовому иар1. Розв'язок останн!х зап-ропоновано отримувати методами нел!н!йних !нтегральних р!внянь.

Оц!нка похибки набликених розв'язк!в здЬйснюеться за допомогою математичних експ&римент!в на основ! неявних р!зницевих схем. Для зниження розм!рност1 задач застосовуються викладен! вище усереднення по, товщин! оболонок з досить великим коеф1ц!ентом теплопров!даост1.

У тих випадках, коли тукан! роэв'язки монотонн! по одн!й 1з координат и(х,у,2,Х)*-*2(х,у,и^), за допомогою спец!альних перетворень типу М!зееа зд!йснено перех!д в!д задач! визначення температурного поля до задач! визначення поля !зотэрм. Не зважаючи на окладн!сть ! йел!н1йя!сть виразу для диференц!ального оператора, а таком необх!д-Н1сть знаходаення област1 визначення розв'язку, в ряд! випадк1в постановка оберненоI задач! краща, н!ж постановка прямо! задяч!.'Доц!ль-н!сть переходу до постановки такого роду задач виправдана ! необидна, тому Що при прогнозуванн!, оптим!зац!1 1 управл!нн! тешстим;' процесами визнччалышм € не температурне поле и = и(т,у,г,г), ч до-нам!ка його.!зотерм!чних поверхонь г - г(.т,у,и,г).

П9рел1ч0ними методами розв'язан! задач! Стефана про 1ЮЧ 1 !н-фрачервоне нагр!вакня нвобмекено! пластики, розглянуто р!зн! постановки двовим!рних задач теплопров!даост! з фазовими перетвореннями, як! вкювсають в спецелекгроквталург!!. Отримано розв'язки нел!н!йнкх задач кондуктивного 1 рзд1ац1Внога ?еплсю(/и1ну в тонких оболонках , стосовно до розрахунн!в тешювгх реша!в р1зншан1тао! апаратури, покликано! працювати в космос!, ! тЛн.

Трэт1й розд!л присвячено досл!даэшш ф!зично шя!нйаоГ задач! термопружност! осесиметрично деформованого Сагатошарового еня1щра. Виходячи !з загэльного зв'язку м!к тензорами напрукень 1 деформац!й в Ф!зично н9л!н!йшх середови':ах (1), виведэно дифвренц1альн! р!в-няиня 1 натуральн! крайов! умови для визначення вектора перемйцення и осесимеч'рично деформованого цил!ндра

Яй е Т0 + Гй = + $,(й,<р,и), (16)

до Ъ I Г - магричн! диферещ!альн! операгори. В цих р!вняшях в явному вигляд! вид!лено л!нШ! оператор:;, а вс! нел!н!Еност! розгля-даються як збуреная правих частин, цо, як правило, иве м!сце у ви-падку слабкО! ф!зично! нэл1н!йност1, коли значения функЩй <р(е0) = = 1-Х(е0) 1 и(<1>0И-?(<|ф мал!.

Отримано 'точний енал1тичний розв'язок найпрост!шо! моделью! зздчч! ((ы(фо)=0) для неск!нченно добгого кругового цил1ндра, коли

тамп«ратурнв поле осесгаиетричне ! не зелэхить е!д осьовоТ коордкнати -

и<х> - р I 0(г,с,)гаг + ^ , (17)

а

.4? , С. - дов!Льн1 отчл!; 6 - додатний кор!нь р!вняння

0 - - 6Т) = ел; (18)

о,, 1 вл - В1ДОМ1 величина. Визначення С(, С 1 5 вводиться до су-

м1сного розв'язку р!вняння (18) 1 двох нвл!н1йних р!внянь, як! от-риман! !з крайових умов п!сля постановки в них розв'язку (17). •

Встановлено умову на функции нел1н1йяост! <р(в): ф(8)<С/|0-9^1, 00, при виконанн! яко! р!вншшя (18) мае едшшй додатшй кор!нь.

У вшадку ф(в) = 29/10^-81, дв г - безрозм!рний параметр, який характеризуй ступ!нь в!дкилення властавостей середовшца в!д л!н!йно-ГО закону Гуна, 9 = вд/(1 +Л2"). Стал! С( 1 а2 при цьому визначають-ся 1з крайових умов. Отрицаний точниЯ розв'язок може бути викориота-вий для оц!нки похибки в метод! "прукних розв'язк!в" А. А Лапшина.

Для знаходкення розв'язку н«л!н!йно1 векторно! крайово! Задач! (16) викорястан! конструктивн! 1терац1йн! метода ¿озв'язання, зокре-ма, метод "прушшх розв'язк1в" А.АЛллишгаа. Процес 1терац!й за цим методой будуеться за схемою

0 ' (19)

П<л*п - % + $,(а(*,,<р(*\о,*>),

дэ !идексои к позначено й-те нвближення до розв'язку задач!. 1тера-Ц1йний процес, представлений форлулэки (19), починаеться з ЫЭ, коли и<0'«= О, ф'0)= <1><0)= О. У цьому вшадку дор!внюють нули вс! доданки, зв'язаи! э шл!н1йшми членвют, тобто розв'язуеться добре вивчена л!н!йнз задача.

Ззгэльний розв'язок (&И )-го наближення записуеться у вигляд! суп® частинного розв'язку неоднородного р!вняння (б) 1 загального розв'язку однор!дного векторного р!вняння (4) у форм! (в), (7), ?яп-ропоповвнМ П.Ф.Пагагавичем 1 Г.Нейбером.

Викориотання методу А.А.Гллюшина в поедяаян! з методом Пепкови-че-Кейбера дозволяе виэначити теплов! непруженяя в шаруватому поро»-ииетому цил!ндр! ск!нченно! довтт з точдач зедороленнрм гр?<*пг.р-.-умов Из бокорих поверит ! гаближенич (в розум!нн! принципу о-«

нана) - на торцях. У випэдку дробово-л1н!йного закону ф!зично! нел!-нШност! отримано чисельно-анал1тичний розв'язок задач! термопрушо-ст! для двошарового цилшдра з екв!вал9нтнш«ш прукними 1 тегоювими характеристиками - ковф1ц1ентом Пуассона г)* 1 кобф!ц!ентом теплооб-м!ну с<*. Розроблено та реал!зовано на ЕОМ прогреми для розрахунк!в термопрушого стану.

В останньому параграф! цього розд!лу розглянуто питания !сну-ваныя 1 единост! розв'язк!в загально! задач! тармопрушост! для оее-симметричного деформованого оконченного цил!ндра з ф!зично нэл!н!й-ного матер!алу. Проведено анал!з осесшетричнях векторних пол!в 1 п!сля переходу до безкоорданатно! Фэрш розглядувано1 нел!н1йно1 векторно! задач! введено поняття узагальненого розв'язку останньо!. Методами нел1н1йного функц1онального енал!зу задачу зведено до операторного виг ляду

А^ш + Ло = 0 в П, 2щг + о = р на отримано, апр1орн! оц!нки для узагальнених розв'язк!в, досл!джено в1дпов1дн! л!неаризован! задач!, встзновлено умови'монотонност! оператора А^ы та доведено теорему про 1снування 1 един!сть узагальнених розв'язк!в задач!.

Досл1дкенню статичних 1 динам!чних нел!н!йних задач термопруж-ност! дов!льних 1 пологих оболонок обертання присвячено IV розд1л дисертац!!. Оболонки обертання широко застосовуються в техн1ц! та буд!вництв! у вигляд! р!зних тонкост!нних елемент!в конструкц!Й. За 1х допомогою досягаеться створення легких, економ!чних 1 водночас м!цних споруд, а також гнучких прукних элементов прилад!в спец!аль-ного призначення. Гак! еЛементи працюють в умовах нер!вном!рного не-стац1онарного нагр!ву 1 зазнають значних силових вплив!в. Це приводить до того, цо в приладах виникають теплов! няпруження, як! супро-

водяться данам!чвдми ефектами 1 великими прогинами, що унеможливлюе застосування л!н!йно1 теорИ оболонок, котра в таких випадках не мо-же дати на т!льки к!льк1сного, ,а й як!сного опису напруженого 1 де-формованого стену оболонок обертання. Такий опис стае можливим т!ль-ки на основ! геометрично нэл!н!йно1 теорИ. Кр!м того, на сучасному етап! розвитку техн!ки широко застосовуються тонн! оболонки.виготов-лен! 1з матер!ал!в, прута! властивост! яких описуються нел!нхйними залежностями м!ж напружэннями 1 деформац!ями.' Для !нкенерних розра-хунк!в таких оболонок треба виходити 1з ф!зично нел!н!йно1 теорИ.

В четвертому розд!л! на основ! понять ! формул теорИ повёрхонь встановлетться геометрично нел1н!йн! сп!вв!дношен:*я м!ж даформац!ями 1 компонентами вектора перем!щення дов!льно! оболонки обертання.Роз-глянуто р!зн! закони <$!зично нел!н!йних залежностей (1) м!ж напру-неняями 1 деформац!ями а тонких оболонках. На основ! закону Дюгаме-ля-Неймана отримано зв'язки и!ж зусиллями, моментами та деформациями.

Наведено вар!ац!йн! постановки задач термопружност! оболонок обвртання, як! зводягься до в!дшукання м!н!муму настугоюго функц!о-налу повно! потенц!ально1 енергИ:

Э - 3(и,ц>) = тс|}г'(э,и,и>,и' ,ь>')<3э + Ф(и(1),и>(7),ш' (I))}, (20)

де Р 1 Ф - задан! функцН сво1х аргуменпв, що в!добракають кр!м робот« прукяих сил ! зовн1шн!х навантажень також роботу температурит напрукень на зм!н! деформац1й 1 кривин.

Поряд з вар!ац1йними, значна увага прид!лена диференц!альним постановкам задач, як1 описуються р!внямням Ейлера 1 натуральрда крайовими умовами для Функц!оналу 3<и,ш). У векторно-матричн!й форд 1 запису вони представляються р!вняннями

10и * - - /0+ },(и), Гй • % + $,<3), (31•

з явно вид!леними л!н1йними операторами дифервнц!альних р!внянь шостого порядку Ь0, Ь(, оператором крайових умов Г 1 нел!н1йноотями

Пльки в правих частинах /((й), <р,(и).

Розглянуто р1зн1 спроцення диференц1алышх постановок задач термопружност! оболонок обертання, зв'язан! з нерозтяжн!стю, безмо-■М9НТН10Т» 1 геометр1ею оболонок í, кр!м того, вибором визначальних функц!й.

Проведено досл1дгання динам!чних задач нел1н1йно! термопрушос-т! осесиметрично деформованих оболонок обертання, в яких врахован! 1нерц1йн1 члени в диференц1алышх р!вняннях руху. . Отримано hobí за постановкою задач! термопрукност! оболонок з приеднаними масами, як! м!стять 1нерц1йн1 члени як в даференц1вльних р!вняшях, так 1 в крайових умовах.

' За допомогою формул t функц!й Гр!на виконано перех!д в!д дафэ-ренц!альних постановок кваз1л!н!йних задач термопрукност! (21) до систем екв!валентних навантакенш: нвлШйних !нтегральних р!внянь типу Гаммарштейна, як! записано у вигляд!

и(х) И Йл(г) + Jc(Xi£)/,f(«(£))<35 + Р(х,й(О),U(a)). (22)

Набликеним методам розв'язання геометрично 1 ф!зично пел!н!йних задач термопрукност! оболонок обертання в вар!ац1йн1й, даференц!аль-н!й i !нтегралья!й постановках присвячено п'ятнй розд1л дисертацИ. Розглянуто питания ск!нченновим!рно1 апроксимацП шуканих розв'язк!в у вигляд! л!н!йних комб!нац!й <$ункц!й 1з ск!нченним нос!ем того чи iHDioro ступеня гладкост! (Ф!н!тних функц!й)

и[х) в Ur(x) ü([T)(ir-art_,) - тЦх-х^],

U(X) = > УЛЛХ), (23)

ikr * i

де 1](г-х{) - функцИ Хев!сайда, р!зниця яких для р!зних змачень I визначае одиничну сходинку; ф{(i) - л!н!йн! функцН-кришечки; ф{(лг), %((х) - куб!чн! функцН-кришечки. .

Для визначення коеф!ц!ент!в таких комб!нац!й застосовувались вар!ац!йно-р!знвдев! 1 про9кц№га-с1тков1 мегчэди. Перш! з них пов'я-зан! з м!н!м!зац!ею отримашх фуккц!онал!в (20) (метод Р!тца), а друг! - з вшюгою ортогональноот! нев'язки диференц!альних (21) або !нтегральних (22) р!внянь до вс!х фШтшх базисних Функц!й (метод Бубнова-Гальоркша).

Бфективн1сть таких метод!в визначаетьоя перш за все тим, що на в!дм!ну в!д методу Фур'е, коеф!ц!ентн л!н!йних комб!нац!й ф!н!тннх функцШ: мають ч!ткий апроксимац!йний зм!ст - це середа! (й{), вузло-в! ш() значения функцМ, а такозк вузлов! значения самих ФункЩй !У( та !х перших пох!дних .

Вар!ац!йно-р1зницева схема для <$ункц!оналу нел!н!йно! задач! термопрузкност! оболонок обертання (20), в як!й використовуються ф!-Я1тн! фукнц!1-кришечки ! куб!чн! функцН-кришечки, приводить до три-д!агоналышх систем алгебра!чних р!внянь з явно вид!леними пол!ном!~ альюши нел!н1йностями в правше частинах -

(24)

На йнал!тичному р!вн! обчислэно элемента матриць ! прав! чистина отриманих систем.

Розгляиуто проекц!йно-с1тков! схеми для !ятегральних р!внрнь пологих оболонок обертання. Отримано системи нелШйних алгебраТчних р!йнянь вшосно середа!* э(, ^ та. вузлових р,, чияч«>нь виг л яку

Vj -,1е» «Л - -Uuj -

-J,a*A - '.j -j/*,+ k

На в!дм1ну в!д системи (84) матриц! ootbhhIx систем noBüIera завантажен!.

Розглянуто проекц!йно-с!тков! t вар!ац1йно-р1з!Шцвв1 схема по-будови наближених розв'язк!в ф!зично нелшШких задач термопрукюст! гнучких оболонок обертання в ди$еренц18льних t вар!вц!йних постановках. Розв'язок систем алгебра!чних р!внянь з пол1ном!алышш правили частинами можна одеркати методом Ньютона з викорястанням ПЕОМ.

Виконано як!сне досл!джэння нелШйних початково-крайових задач осесиметрично деформованих гнучких оболонок з приеднаними масада на контур!. Для в1дпов1дних данам!чних р!внянь та крайових умов з !нер-ц1йшши членами введено поняття узагальненого розв'язку та доведено теореми Про його Юнування у в!дпов!даих навантажэних функц!ональних просторах. Бри доведенн! використовуються проекЩйний метод Б.Г.Га-льорк!на та теореми вкладення- С.Л.Соболева.

Осиовн! результаты дисертацИ

В дисертаЦИ з залучэнням нових 1дей, спец!альних прийом!в 1 застосуванням точних анал!тичних.наближених i чисельних метод!в проведено досл1дження матэматичпих моделей нел!н!йних задач термопрун-ност1, як! приводять до крайових t початково крайових задач для век-торних t скаляргшх нел1н1йних дифэренц1альних р1внянь з частинними пох1дними. При цьому одержано ряд нових результата.

1. Запропоновано нов! матэматичн! модел1 термопрукност1,як! Bi-дображають нел1н1йн! властивост! матер!ал1в t нелШйн! деформацП. Для Гх дослЕяясення застосовуються 1терац1йн1 метода в поедканн! а

методом Папковича-НейОера. Доведено зб!нн1сть в1дпов1дних !терац!й-них процес!в в простор! и'г.

2. Розглянуто нов! за постановкою нвл!н!йн! задач! складного тешюобм!ну, в яких враховано вилром!нювання теплота з поверхн! де-формованого т!ла, можлив! фазов! перэтворення 1 пвревипром!нювання теплоти на вгнутих поверхнях, а такок !х розумн! 'спрощення.як! базу-ються на спец!алышх усередненнях температурного поля по товщин! ша-píв з високою тегагапров1дною здатн1с.тю 1 переход! до задач в!дносно поверхонь р!вня. Методом 1нт9гральних р!внянь' за допоМогою формул ! функцМ Гр!на для л!н!йного оператора зд!йснеко перех!Д до екв!ва-лентних. нел!н!йиих !нтегральних постановок задач.

3. Отримано вагову функц!ю ! другу формулу Гр!на для неузгодже-ного з крайовими умовами ! умовами спрякення оператора диференц!аль-ного р!вняння теплопров!дност!. Побудовано функц!ю Гр!на у вигляд! б!л!н!йного ряду за власниш функц!ями спектральних задач з параметром в крайових умовах та умовах спряжения для кусково-однор!дних об-мэкених зв'язних ! незв'язних областей. Встановлено узагальнену ор-тогональн!сть власних функц1й та доведено теореми про !х повноту 1 розвинення в ряди'Фур*е дов!льно! функцН !з простору з в!дпов1дним скалярним добутком. Отримано точн! розв'язки д!н!йних задач1у вигля-вигляд! ряд!в за власними функц!яш, 1 за догомогою ЕОМ проведено розрахунки температурного поля двошарового вздовн рад!усе цилШгрч.

4. Методом екв!валентно1 л!неаризац!I, !де! якого звпочатковай! а роботах Л.С.Лейбензона, М.М. Прилова,М.Н.Во голнбо в а, Ю.О.Митрополь-ського, а такок методами дискретизац!! за часом (Роте) ! йвл1н!йти !нмгральних р!внянь отримано чисельна-анал!тачк! розв'язки вакливих для практики задач стадного твплообм!ну.

б. Проведено досл!дження ф!зично нелШйних задач термопружнос-т! осесиметрично деформованого багатотарового вздовх рад!уса цил!нд-ра.виведен! нел!я!йн! р!вняння р!вноваги 1 розроблен! 1терац!йн! метода 1х розв'язання (А.Л Лллюшша, 1.А.Б!ргера) в поеднанн! з методом Папковича-Нейбера. Отримано точний розв'язок одн!е! модельно! задач! термопружност! шаруватого цил!ндра !з ф!зично нел!н!йного ма-тер!алу. Розроблено програмн та алгоритма розрахунк 1в на ЕОМ терно-пружного стану двоюарового цил!вдра.

6. Розглянуто питания !снування 1 еданост! розв'язк!в загально! задач! тэрмопрукносг! для осесимметричного деформованого ск!нченного цил!ндра з ф!зично нелШйного матер!алу. Проведено анал!з осесимет-ричних векторних пол!в 1 п!сля переходу до 0езкоординатно1 форми розглядувано! нел!н1йно! вэкторко! задач! введено поняття узагаль-узагзльненого розв'язку останньо!. Методами нел!н!йного функц!ональ-ного анал!зу задачу зведено до операторного вигляду, отримано апр!-орн! оц1нки для узагальнених розв'язк!в, досл!даено в!дпов!дн! л!не-аризован! задач!, встановлено умови монотонност! оператора задач! та доведено теорему про !снування ! едош!сть узагальнених розв'язк!в.

7. На основ! вар!ац!йного п!дходу одержано геометрично 1 ф!зич-но нел!н!йн! р!вняння р!вноваги ! руху осесиметрично деформованих дов!льних 1 пологих оболонок обертання для р!зних визначальних функ-Щй. Отримано нов1 по гюотйновц! дашам!чн! задач! 'юрмопрукност!, в тому числ! з приеднэними масами. ЗдМснено перех!д в!д крайових задач для систем нелШйних диференц 1 йальних р!внянь до систем екв!ва-лентних навантакених !нтегральних р!внянь типу Гаммерштейна.

8. Зд!йснено ск!нченнов'им!рну апроксимац!ю розв'язк!в нелШйних задач термопружност! дов!льних 1 пологих оболонок обертання в ряр1ац1йн1й 1 1нтегральн!й постановках, яка бэзуегься на викорисган-

- ZI -

Hl ф1н!тних базисних функц!й. Отримано трид!эгональн1 системи нел!-н1йшос алгебра!чних р!внянь в1дносно свреда1х значень фу.нкцШ для вар1ац1йних постановок 1 повн! системи нел1н1йних алгебра!чних р!в-нянь в!дносно середа!х значень на 1нтервалах розбиття у випадку 1н-тегральних постановок задач. Розглянуто питания побудови бЬлыд гладких апроксимаЩй шуканих розв'язк!в.

9. Проведено досл1дження нел!н1йних початково-крайових задач осэсиметрично деформованих гнучких оболонок з приеднанлми масами на контур!. Для в!дпов!дних динам!чш1Х р!внянь та крайових умов з !шр-ц1Пними членами введено поняття узагальненого розв'язку та за допо-могою проекцШюго методу Б.Г.Гальорк!на 1 теорем* вкладетя С.Л.Соболева доведено теореми про його 1снування у в1дпов1дних навантаке-них фунюДональних просторах.

ОсяошИ положения дисортацИ опубл!кован1 в наступних роботах!

I. Колюров Г.й. Нестационарная теплопроводность многослойных систем //Тепловые напряжения в элем, констр.- 196?.- Вып.7.- 0.166-173.

Z. .Коларов Г.Н. О собственных функциях и собственных значениях систем дифференциальных уравнений и разложении произвольной вектор-функции//Мат. флэша :Респ.мэжвед. сб. - 1968,- Внп.4 - С. 66-77.

3. Комаров Г.Н. Теплопроводность многослойных систем о несовершен-нш тепловым контактом //Тр. I Респ. конф. по аарогидромехавике, тепло- и массообмену.- Киев: Изд-во КГУ, 1969. - С.334-338.

4. Калпров Г.ff. Нестационарная теплопроводность многослойного ии-линдра//Теэ. докл. II Респ. конф. по аэрогидромеханике, тепло- ч массообмену.- Киев: Изд-во КГУ, 1969. - С. 129.

б. Комаров r.f/i Нестационарная теплопроводность многослойной сф^ри //Тез.докл. II Респ. кокф. по аерогидромеханике, тепло- и обмену,- Киев: Изд-во КГУ, 1969, - 0. (30.

6. Коларов Г. К. О термонапряженном состоянии многослойного цилинд-ра//Тепловые напряжения в элементах конструкций.- 1970. - Вып.З. - С. 36 - 49.

7. Коларов Т.Н. Решение задачи теплопроводности пакета пластин//На-уч. CÖ. КТЭИ. - 1971. - Вып.9. - С. 36-43.

. 8. Коларов Т.Н. Решение задачи теплопроводности многослойного диска //Науч. СО. КТЭИ. - 1971.- Вып.9. - С. 43-50.

9. Коларов Т.И.Теплопроводность многослойных систем при неидеальном тепловом контакте //Тез. докл. XIV Науч. совет. по тепловым напряжениям в элементах конструкций.- Киев: Наук.думка, 1977.-С.61.

10. Коларов Т.Н. Теплопроводность шогослойннх систем при неидеальном тепловом контакте //Тез.докл. II Респ. конф. "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе".- Киев: Изд-во АН УССР, 1978. - С. 95.

11. Мотовшовец H.A., Коларов Т.Н. О термонапряк&нном состоянии многослойного цилиндра при неидеальном термоконтакте //Тез.докл. 507 Кауч.совещ. по тепловым напряжениям в элементах конструкций.-Кк-ев: Наук, думка, 1S80. - С. 65.

12. Ыотовшовец H.A., Коларов Т.Н., Чербихко О.П. Термонапрякенное состояние многослойных тел // Тез. докл. I Всесоюз. конф. по механике неоднородных структур.- Киев: К&ук.думка, 1330. -С. luí.

13. Коларов Т.Н., Чотовиловец H.A. Теплопроводность многослойных тел при неидеальном тепловом контакте -Киев, 1983,- С.27-34.-(Препр. /АН Украины. Ин-т математики; 83.45).

14. Коларов Т.Н., Кстовиловец'H.A., Червинко О.П. Нестационарное напряженное состояние двухслойного цилиндра при контактном термо-сопротивленми //Прикл. механика. - 1983. .-19, * 11. - С. 46-51.

16. Колпров Г. Я. СВЧ нагрев неограниченной пластины//!!*линейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах.- Киев: Ин--- математики АН УССР, 1984. - С. 26-29.

16. Колэров Г.Я., Мжовшовец H.A. Нестационарное температурное иоле многослойной стенки //Дкф$еренциалыше уравнения о частнши производными в прикладных задачах. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1936. - С. 53-60.

17. Березовский A.A., Коларов Т.Е., Юрт.ин ПЛ., Применение сопряженных задач теплопроводности с подвижной грающей к расчету температурных полей в пищевых продуктах //Физико-технические приложения нелинейных краевых задач. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - 0. 19-27.

18. Ксмяров Т.Н. Задача Стефана при СВЧ нагреве неограниченной пластины //Математическое моделирование физических процессов.- Киев: ИН-Т математики'АН УССР, 1989. - С. 78-82.

19. Комаров Г.Ы. Задача Стефана при СВЧ нагреве //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1990. - С. 64-65.

?0i Коларов Г.Н. Интегральная формулировка одномерных задач Стефана. //Нелинейные еволюционные уравнения в прикладных задачах. -Киев: Ин-т математики АН Украины, 1991. - С. 68-70.

2t. Кояаров Г.ff.Эквивалентная линеаризация в задачах Стефана/Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений.-Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. - С. 140-145.

2Й. Колароб Г.К. Математические модели двумерных, процессов тепло>т{ю-водности с фазовыми переходами //Нелияейнне краевые задачи мя-о-матйч^окоЙ физики и их приложения."Ки*я:Ин~т математики АН Уг:у, 19*>Й. - О, B9-R0.

2.3. Коларов Г.Н. Двумерные задачи Стефана в проблемах плавления и испарения/Лез. докл.конф. "Нелинейные проблемы дифференциальных, уравнений математической физики" - Вторые Боголвбовские чтения.

- Киев: Ин-Т математики АН УССР, 1S92. - С. 74.

24. Коларов Г.Н. Уравнения термоупругости гибких оболочек вращения в перемещениях //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения -Киев:Ин-т математики АН Украины,1993,- С.64-68.

25. Коларов Г.Н. Уравнения термоупругосги осесимметрично деформированных гибких пологих оболочек вращения //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. - С. 68-70.

86. Коларов Т.Н.Обобщенная ортогональность собственных функций поса-мосопряженной спектральной задачи с параметром в краевых услови-'ях и условиях сопряйения//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1994,. - С. 103-106.

27. Коларов Г.И. Умови спрякення через терм!чно тонкий шар в задачах теплопров1даост1 //краевые задачи математической физики. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1994. - С. 56 - 62.

га. Коларов V.U. ОдномIpHt задач! нестоц1онарно1 теплопров1дкосг1 в !мпедансними умоввми спрякення i крайовими умоваыи //Краевые задачи математической физики. - Киев: Ин-т математики HAH Украина, 1994. - С. 67 - 68.

29. Комаров Г.Н. Физически нелинейная задача термоупругости осесим-мвтрлчно деформированного многослойного цилиндра.- Киев,1994.

- 42 с. -(Препр./АК Украины. Ин-т математики; 94.30).

30. Коларов Г.Н. Напряженное состояние слоистого цилиндра из физически нелинейного материала//Нелинейные краевые задачи математиче-

ской физики и их приложения.- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. - С. 100-103.

31. Каларов Г.й.Нелинейные задачи термоупругости оболочек вращения. Основные уравнения в перемещениях.- Киев,1994. - 68 с.-(Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 94.11).

32. !(отров Г.Н.Нелинейные задачи термоупругости оболочек вращения. Вариационно-разностные и проекционно-сеточные схемы построения приближенных решений.- Киев, 1994. - 66 о.-Шрэпр./НАН Украины.' Ин-т математики; 94.12).

S3. Ко./аров Г.У. Нэл!н!йн1 задач! кондуктивного ! рад!ац!йного теп-лообм!ну /Лнтегральн! перетворення та 1х застосування до крайових задач. - Ки!в: 1н-г математики НАН Укра!ни, 1995.- Вип.8. - С. 199-203,

34. Comarov G.N. Mathematical models and approximate methods Гог solvig of nonlinear problems of therrnoelasticity //International Conference Nonlinear Differential Equations, Kiev, August 21-27, 1955, - P. 36.

36. Коларов Г.Н. Спектральные задачи о параметром в краевом условиях и условиях сопряжения//?кр.мат.журн. - 1995. - 47. - Л12.- С. 1663-1660.

36. Комаров Т.Н., Дтвиненко А.В. Уравнения движения осесимметрично но деформированных пологах гибких оболочек вращения о присоединенными мвссйми//Нвлияейнив крвевцз задачи математической физики я их прилокения - Киев: Ин-т математики ЙАН Украины, 1994. - О* 147-160. ,

37. Комаров Г.Нч Ошунов И.И. О разрешимости физически нелинейных вадач тйрмоупруГости//Укр.маг.«урн.-199б.»- 4?.- *1С.949-95.1, Коларов Г.*. Умови спряжения через Терм!чно тонкий йар в задачах +«ltflortpbefдмоет!//ДепоВНАН ^КраМй.- - М 7. ^ ,

КОМАРОВ Г.Н. "Математические модели и приблияенныв ивтода решэ-шя нелинейных проблем гермоупругостн".

Диссертация на со искание ученой степени доктора физико-жвпелашшэ с-ких наук по специальности 01.01.03 - мтежмичесная физика, Институт лателшши НАН Украины, 1S9S г.

Защищаются 38 научных работ, которые содержат исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих при математическом моделировании термонапряженного состояния пространственных тел и тонкостенных конструкций, включая создание моделей, правильную постановку сложных нелинейных задач математической физики, их разумное упрощение, выяснение вопросов разрешимости, разработку эффективных конструктивных методов решения, детальный анализ и решение нелинейных краевых задач, типичных и особенно важных для инженерной практики. Получено ряд фундаментальных результатов по нелинейным проблемам термоупругости с учетом нелинейных свойств материалов, конечных деформаций,излучения теплоты, фазовых переходов и переизлучения теплоты на вогнутых поверхностях. Разработанные алгоритмы решений позволяют использовать современные вычислительные средства для проведения экспериментов и вносят определенный вклад в создание эффективных методов математических расчетов, прогнозов и оптимизации термонапряженного состояния пространственных тел и тонкостенных конструкций. Исследование кбнкретных нелинейных систем дифференциальных уравнений основаны на новых идеях, специальных приемах построения приближенных решений, использовании всего арсенала конструктивных методов нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Komarov G.H."Mathematical modelв and approximate methods for solving of nonlinear problems ol thermoelasticity"

Thesis for a scientific degree of Doctor of Physical and Mathemtl-cal Sclencea, sociality 01.01.03 - Satlvmatlcal Phyeloa. Ukrainian Aojkiemy of Sciences, Institute of Uathemtloe. Kiev, 1996.

38 research papers have been defended. They contain a theoretical analysis ol systems of nonlinear partial differential equations arising in the Mathematical modelling thermoelasticity oi space bodies and thin-walled constructions, including construction of mo-

dele, correct setting of complex nonlinear problems of mathematical phyalca, their reasonable simplification, Investigation of solvability, elaboration of effective, constrictive methods of solving the problema, a detailed analysis and a nonlinear boundary value problema solution, which are typical and Important for engineering practice. A. set of fundamental results on nonlinear problems of thermo-elasticlty with accounting nonlinear properties of matherlals,finite deforratlona, heat radiation, phase transitions and reradlatlon on concave surfaces hae been obtained in the thesis. Elaborated algorithms of solution of the above problems allow the use of modern computing гевоигсез to.carry out experiments and make definite contribution to the creation of effective methods for mathematical calculations, forecasts and optimizations of thermostressed states of space bodies and thin-walled constructions. The investigations of concrete nonlinear systems of differential equations are based on some new ideas, special devices for the construction of approximate solutions, on using the whole arsenal of constructive methods of the nonlinear analysis and the theory of. partial differential equations.

Krasroai слова: нел1н1йниа закон Гуна, ск1нченн1 дефорлацИ, т-Л1н1йн1 рСбиянмя Ляле, закон Дкгалеля-Нейлона, неа1н1йн1 рСвняння mepxonpjsHoemС, леиоби пеорII эбурень, летоО Папковича-Нейбера, нв-Л1н1йн1 гакоии яеплопроб Юност í, билрол1нюваияя та перебипролСкх*Зан-ня теплот, фззов1 перетворення, усереднення, 1лпеОансШ кройов( улови па улови спряжения, силшризац1я отгераяора, вагоба Функц1я, уэагсиьнеш орпогонгиън1сть, форяум та функцШ Гр1на, 1нтегрсиън1 р(внякня, фСзичко нелСкСОк! заОачС тердопрухност1, летод А.А.Тллюш-на, принцип Сен-Венат, сболонки оберпання, пологí оболочки, геолет-римиа нел(н1йнСст№, папекц1адьна ечерг(я, рСбнянмя ©Пера, приебкан1 лоси, систели «ЭиференцСальних па (нтегральниг р1внянь, летоди Pinm ад Бубноба-ПхльориСна, ф(кСянС фунщ(1, вар(ац1йно-р1аницева та про-екцЮмо-сСткоба стели.

Шдп. до друку 04.04.96. Формат 60-84/16. Пап1р друк. Офс друк. Ум. друк. арк. 2,09. Ум. фарбо-в1дб . 2,09. Обл.-вид. арк. 1,5. Тираж 100 пр. Зам. . ; • Бвзкоштовно.

В1ддруковано в 1нститут1 математики.Hffî Укра1ни 252601 КиГв 4, мот, вул. Терещенк1вська, 3