Математические проблемы фазовых переходов в кристаллах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6

\ з июн да

На правах рукописи

и

Саломатов Андрей Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ФАЗОВЫМ. ПЕРЕХОДОВ В КРИСТАЛЛАХ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата фиэико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте гидродинамики нм. М.АЛаврентьева СО РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАИ, Плотников П.И.

докт!физико-математических наук, Кучер Н.А.

кандидат физико-магематьвеских наук, Бочаров О. Б.

Институт математики „О РАН

Защита состоится 1995г. в 15 часов на засе-

дании диссертационного совета К 063,98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, ул. Пиропва, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НовосиГ (рекою государственного университета.

Автореферат разослан 19£Гг.

Ученый секретарь диссертационного совета

Шелухик В. В.

1 Общая характеристика работы

Математические проб:, мы, возникающие при моделирован: : фазовых пееходов в твердых кристаллически:. те™ах в последнее время привлекают к се^е все большее внимание. Несмотря на то, что существуют достаточно полные физические теории стуктурных фазовых переходов, ощущается явный недостаток математических моделей тают процессов, а существующие модели исследованы далеко не полностью.

Целями работы являются

1) Исслед ование задами о нахождении равновесной форм; • кристалла,

2) Построение и исследование эволюционной модели фазового перехода левого рода.

В диссертации получены следующие результаты.

1. Доказан* теорема существования равновесной формы кристалла и г лучено необходимое условие минтш^ 1а.

2. Предложена математическая модель фазового перехода певсго рода типа аустенит-мартеисит.

3. Доказана теореыа существования и едиственности с обцкпяого решения предложение" модели.

4. Доказано, что функция абсолютной температуры неотрицательна, а лр«. некоторы дополнительных ограничениях строго положительна.

5. При условиях, обеспечивающих строгую положительность функции абсолютно"- температуры исследовано поведение решения первой начально-краевой задачи при 4 оо.

Все результаты являются новьгаи.

Доказательства базируются на инструментарии негладкою и выпуклого анализа, теории функций ог^-диченной вариации, на получении априорных оценок I» применении принципа Шаудера, а гак; на подходах, развитых в теории дифференциальных включений.

Результат« носят теоретичесг"й характер я могут бы . использовали для численного моделирования фазовых переходов.

Результаты диссертации докладывались на семинарах под р совод-ствоч члена-коррестюндекта РАН П.И.Плотникова. (ИГиЛ СО РАН),

члг'а-корреспондента РАН В.Н Монахова (ИГиЛ СО РАН), профессора Т.И.Зелсника (ИМ СО РАН).

Основные результаты диссертации опубликованы в [1, 2].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы, включающего 41 .аименование, и изложена на 75 страницах машинописного текста.

2 Содержание работы

В вед- ше. Во введении дан краткий обзор математических проблем, возникающих 1ч,и моделировании фазовых переходов в кристаллах и и общих чертах изложено содержание диссертации.

Глава 1. В первой главе рассматривается слодукнмая задача.

Предположим, что / : Rk —>■ R+ выпуклая положительно однородная и строго положительная на едт. .чног сфере функция. Для 9 £ Lm(Rh) треР'"зхся найти такую функцию Хо € BVC(Rk) (функции ограниченной вариации, пр' гимающие значения 0, 1), что,

ф'ХО)=хШ|;сФ(х), (1)

где

= f №1?Х\ +J X&d*.

л» я»

гссматриваемая задача, допускает физическую трактовку как задача об определении равновесной формы кристалла в температурном поле в. При этом I' есть аппроксимативная нормаль к границе множества л' = {i ё й' : х(г) = 1} (производная Радона-Никодима векторной меры Vx по мере |Vx)), а функция f(v) играет роль плотности поверхностной энергии и зависит от ориентации грани кристалла во-с" це говоря недифференцир.) ^.мым образом.

Будем считать, что 6 > с > 0 при |х| > Я и выполнено следующее условие, обеспгчи-мощее существование нетривиального минимума:

3x'£BVC{Rk) : Ф(х*)<0.

Результатами этой главы являются следующие утверждения. Теорема 2.1. При условиях, сформулированных выше, существует функция хо 6 ВУС(Як), удовлетворяющая (1).

Теорема 3.1. Пусть х решение (х). ^эгда существует измеримое по мере |У отображение {(г) такое, что для почти всех относительно меры точек I £Л* и для любого диффеоморфизма д : Я* Я* имеет место

• ею €№(*))

и

/ [<£, - <£, |УХ| + / 9 х<Ньд & = 0.

я» л*

Г первом параграфе приводятся необходимые сведения из негладкого анализа, выпуклого анализа, ВУ-теории и теории измеримых многозначных отображений.

Е - втором параграфе доказывается теорема 2.1. Ключевым моментом является доказательство лолунепрерывности снизу функционала

/ /(И'Ух| относительно слабой сходимости мер и я*

В третьем параграфе формулируется и доказывается теорема 3.1, которая представляет собсл необходимое условие минимума. Идея получения этого условия заключается следующем. При деформации области действием диффеоморфизма ф : Нк -> Нк функционал Ф(х) изменится следующим образом:

9(Хоф-1) = / ПНи)\ЧХ| + / 9Х Л*,

Д» №

где 3 = ? II ~ присоединенная матрица к (Чф)'1.

Рассмотрим функционал 0(ф).— Р\{Н(ф)) + Рг{3{ф)) = Ф(х ° определенный на всех ф : К1 Я* таких, ч~о \\ф — »«¿||с! < 1 (М -тождественное отображение). Так как х - решение (1), то при — {¿Цс1 < 1 имеем :

' 0(ф).

Фуш ионал С есть композиция отображений / и (? лип-

шицзв вблизи точ\з! 1(1. Поскольку 1(1 - течка локального минимума функционала О, то

О € 0О(»<1).

Вычисляя субградаент 9С?(»<?), мы получаем утверждение теоремы 3.1.

Глава 2. Во вз рой главе предлагается и исследуется дииамичес иая модель фазового перехода первого г аа типа аустенит-мартенсит.

Первый параграграф посвящен выведу модели. Фазовь. переводы в металлах осуществляются благодаря переходу между различными равновесными конфигурациям » кристаллических решеток. Более симметричную фазу обычно называют аустенитом [6], а менее симметричную март чСйтом. Аустенитная фаза однородна 1: преобладает при высоких температурах, в то время как мартенситная фаза может состоять из кристаллов нескольких вариантов и пре. лирует при низких т< шературах. В настоящей работе мы ограничимся рассм» . рения одномерного случая, считая, ч~ > материал состоит из двух вариантой мартенсита М+ и аустенита А.

построении модели мы следуем [3, 6] , выбирая, с нашей точки зрения , более адекватное представление для функции свободной энергии.

Динамика термомеханических процессов в одномерном твердом теле описываете* уравнениями балланса энергии, моментов (для простоты буг м считать, что плотность равна 1)

& + Ъ- = Э. (2)

«« - <7х = ,', • (3)

. де 0- внутренняя энергия, q - поток тепла, е(— их) - деформация, д -функция плотности теплового источника, и -перемещение, а - «анря жение, / - функция распределенной нагрузки.

Модель должна удовлетворять не только г 'обальным законам сохранения, но и второму началу термодинамики, которое мы запишем в виде неравенств Клаузиуса-Дь)геыа

л

Р

о

где 5 - удельна» энтропия и В - абсолютная температура. Следуя [4, 5], мы считаем, что функция свободной энергии Ф зависит от деформации с(— иг) и абсолютной температуры в. Добавим в число переменных состояния фазовые кон цент] лии, т.е. Ф = Ф(е,в,х), где X = (XI, • . Хт) ~ вектор, компонентами которого являются фазовые концентрации. Далее, воспользуемся известными термодинамическими тождествами для того, чтобы уменьшить число неизвестных величин в (2) -(4)

дФ - • - Л8Ф , ас

где к - коэффициент теплопроводности \в дальнейшем к — 1).

'"-пользуя (2), (4), (5) нетрудно убедиться в том, что неравенство

т Яф

(О

влечет выполнение неравенства Клаузиуса-Дюгема (4).

В н^тпеи случае, сопоставим ках дой из фаз М+, М-, А фазные концентрации Хи Хз< Хз, а также функции свободной энергии у>1, <^2, ¥>з, соответственно. В соот^ет твии с теорией Ланда/ фазовых переходов первого рода выберем в качестг • щ следующие функции

у,М) = <Ръ(€,0) = щ(0) + а(в - в,У - 0 + 7£в, <Рз(б, в) = (ро{в) = -с„в\п{в/в) + С„в 4- с,

где , /?,7.9и 9, с„, с - положительные постоянные. Полную сзободную энергию возьмем в виде

®М,Х1,Хз,>й) = ЕхЫ 9)+дГ(ХиХ^Хз),

где / обозначает индикаторную функцию множества м = {у = (71.72,7з) е Л3 : 0 < 7!. у2, уг < 1, у1 + 72 -г 7з 1 1}. Член в! можно интерпретировать как сьсбодную энергию смеси трех фаз. Исключив Хз, получим

Ф(*. XI, Ха) = <Ро(0) + (XI Хг)(о(( - - /?е4 + + 91 {хи Хз),

гл»> I -индикатор множества M — {(71,72) ЕЛ2: 0 < 7i,7ä < l,7i + 7j < 1}. В соответствии с (5), функция внутренней энергии приник ^¿т вид Û{i,б, хи Xi) «= с + cj + (xi + X2)(~aßi€2 - ßtA + 7«®)-

Рассмотрим (6). Дна дифференцируемой функции Ф было бы естественно лредлол жить = ^.ХьХз)» » = 1,2. В налгем случае Ф не имеет классических п) чзведных по х»> но, поскольку, 4 - выпуклая функция по переменной х — (XitXi), м:. можем ¿амен'-ть равенство на включение

-Х,е0^Ф(£,в,х), (7)

где 9;Ф(е,0,Х/ есть субдифференциал функции Ф в точке (е,0,х) по переменной Х- Простое вычисление показывает, что

где ф(с,в) = а(0 - ex)t2 ~ ßeA + 7«°, и д1{х) = {б},если x G int M, dl(jf) = 0,если x с Л2 \ M, 8J(x) = N{x), если х € ЭМ. N{x) обозначает конус внешних нормалей в точке x С дМ. Получаем следующую систему

±ù(t,$,x)~0XI = g, (8)

\ }Н<,9)+вд1{х)- (1С)

Мы будем изучать частный случаи построенной модели, а именно, тот случай, когда е принимает рчновесные значения. Рассмотрим квали-с.ационарный случай, т.е. опустуи член v,u а (9). Будем считать такжг, что / = g = 0 и граничные условия для (9) однородны. Найця равновесные значения с кз условия минимизации фута ии свободной энерги.. в фазах М_ и = ^ = 0, ^ = > 0, мы получаем

систему

= ^ (Пт-(0,1) Ж (О, Г)), (И)

€(})*(*) + £ (х) (о,г), (12)

'■це

и(0, 7) = С + с„0 + (XI + Хз)Фо(9), а функции ф и. фй определяются так

ф(9) = С1((9) - Л(0)Е1/2 + ЯЕ5/1 г при * 6 [О,*], с: = А = ^ + = =

в2 - Зуа(в - в,), в2 = в1 + (З'/Зуа, Сг(в) = || (0 - «,) - /1(0) =

Вне промежутка [0,02] фут ли ф и фо постоянны. Мы будем считать, что ./та ф-"чкции непрерывно дифференцируемы в Я.

Заметим, что (11) естт. квазилинейное параболическое уравнение, т. .-с как и(8, х) - дифференцируемая, монотонно возрастающая функция 9. Включение (12) - дифференциальное включение с максимально • энотонным оператор- т 81. Мы заменили 681 н„ 81, предполагая неотрицательность функции абсолютной температуры I. Предг.. шем следующие граничные и начальные услоьия

+ М(0,«) = /о(0, * 6 (0,Т),

«»(1,0 + ММ) =--/1(0, <€(0,Т), (13)

е(х,0) =50(х),Ха(х,0) =х?(х),-»(«,0) « € (0,1),

где - положительные постоянные. '

Параграф 2. В этом параграфе дается -точная постановка задачи и формулируется теорема существования и единственности.

Об значим Я = /,3(0 1), Цг — Я1 (С 1). Скалярное произвел лне и норму в II будем обозначать через {•,•) и || • соответс" ленно. Мь будем исиольь зать те же об значения для схалярн^.о произведения и

нормы в пространстве (Я)3 = Н х Я. По множеству М мы определим замкнутое вы пуклое множество К из (Е)1 следующим образом

К = {(71,7з) 6 (Я)2 : (71,73) еМ п. е. в (1>, 1)) .

Пусть

/о.ЛеяЧо.г),- e°e\v, (х?,х§К*.

Сформулируем задачу.

Задача (Р). Найти 9 € J\Q,T\IV), ХьХз € Я^О.^Я), удрало-творяющие условиям

Ы-.«;,Ха(-,0) € Vt€ М,

+ (Jex{.,s)d3,<ps) + о

t t

/;M(l',s)-/i(3))dsV(l) + /(M(0,«)-/o(e))dev»(0)

о 0

- (1/(0°,Xs),V). G W, n.e. 6 (0.Г),

и такие, что

' в(-,0) = D) = Xi.X2(-,0) n.e. a (0,1).

Теорема 2.1 Задача (Р) имеет единственное решение. Параграф 3. В этом параграфе мы доказываем существование решений. Дл_1 »того мы регуляризуем (И) - (13) и укажем существование решения регуляризованной ладачи при помощи принципа Шау-дера. Периода к пределу по па; метрам регуляризации, мы докажем существование решения Задачи (Р).

В замечании 3.3 отмечаемся, что решение ¡9,х) задачи (Р) удовлетворяет уравнению (1*) почта всюду в ily-

(М)

(15)

(16)

Параграф 4 посещен доказательству теор мы единственности.

Параграф 5. Этот параграф посвящен изучению вопроса о положительное! ! функции абсолютной температуры При выводе модели мт' ис. лльзовали положительность функции 9, предположив, что 981 = 81. Таким образом, положительность абсолютной температуры заложена в модель. Следовательно, нам необходимо, a posteriori, подтвердить, что в не может принимать отрицательных значений.

Итак, мы рассматриваем решение (б,х) Задачи (Р),

Теорема 5.1. Предположим, что для некоторой постоянной величины в* 6 [0, в J

)

/¡(t) > brf* п.в. в (О,Т), i = 0,1, в0 >9*, п.в. в (0,1),

Мв) = МП пР« 6 € (-оо, Р}.

Тогда

6(х, t) > в*, п.в. в ilf.

Следствие. Если (" х) - решение Задачи (Р), 1о 0(as,i)>O для почти всех (x,t) бПт-

Тарагрэф 6. В этом параграфе мы исследуем поведение рег^енг^ первой краевой задачи при t -*■ оо, при условиях, гарантирующих строгую положительность температуры.

Мы рассмотриваем систему (11)—Г13), заменив в (13) вторые краевые условия на первые, т.е.

*(0,t).= /„(«), «6 Г Г),

*n,t)=/i(t), f 1(0,Т), (17)

в(х,о) = e°(i),xi(«,o) = xi(«).xa(«,o) = х1(хУ * с ;o,i),

Из результатов предыдущих гараграфо« вытекает, что существует единственная ара функций (б,х), в € //'(О, Т; И^) П ¿2(0, Т; Я2(0,1)) Г, С([0,Г]; IV), х е (г/х(0, Т; Я))2 такая, что х(-,*) 6 К для любого С из [О,Г] и (в, ") удовлетворяет (11), (12), (17) почти всюду. Зафиксируем $* € [0, Пусть выполнены условия

Ш > о* п.в. в (О, Г), » = 0,1, (18)

9°(х) >6* пл. в (0,1), (19)

фй{9) = фъ(в*) при в <в\ (20)

Основным результатом этого параграфа ярпяется

Теорема 6.3. Пусть в* > 0

и выполнены условия (18)-(20). ..роме того, предположим, что фуикдии /0, /] стремятся к некоторой постоянной величине /*, в* </* ^ таким образок, что

/(Л-/о)3 Л <00, О •

оо

//£<¿£<00, ¿ = 0,1.

о

Тогда реп^ние (8,х) системы (11), (12), (17) существует нг. Зесконеч-ном промежутке времени и

9{х,г) -4 /* при < -4 оо сильно в С(0,1) П Я,

существует так^й момент времени 4*, что для Ь > г*

XI + Хз(1) = 1, &(«) - 5 «-е. в (0,1), ее. I Г <9Л,

■2{() = О п.в. в (0,1), если /Л > <?з.

В основе доказательства лежит получение оценок, не зависящих от времени.

Литература

[1] Салогтгов А.П. О минимизации одного класса вьшуклых функ-■доналов от меры Хаусдорфа.-Материалы XXX междуна^цоной научной студенческой конференции, математика / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1992, 72-76.

[2] Саломатов А.П. Г 5 одной модели фазового перехода типа аустенит-мартенсит.- Актуальные проблемы современной математики, т.1, Новосибирск, 1995, 144-1.г'.

[Г.] Colli, P., FVemond, М., Vi2iE'"n, A., Thermo-mechanical evolution of shape mem< / alloys, Quart. Appl. Math., 48, 31-47 (1990).

[4] Ericksen J.L., Some phase transitions in crystals, Arch. Rat. Mech. Anal. 73, 99-124 (1980).

^5] James, R., Kinderlehrer, D., Theory of diffusionless phase transition, in PDKs and continuum im dels for phase transitions (M. Rascle, D.Serre, M.S' imrod eds.), Lecture Notes in Physics 344, Springer, New York, 51-84 (19891

[6] Sprekels, J., Shape memory alloys: mathematical models for a class of first order solid-solid phase transitions in metals, Control Cybernet.,

19, 287-308 (1990).