Математическое моделирование деформирования пород и массива около выработок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи Красновский Андрей Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОРОД И МАССИВА ОКОЛО ВЫРАБОТОК

Специальность 01.02.04 - "механика деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте горного дела Сибирского отделения Российской Академии наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Миренков Валерий Егорович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Волчков Юрий Матвеевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Ревуженко Александр Филиппович

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится 4 июля 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 в Институте гидродинамики имени М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект акад. Лаврентьева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики имени М. А Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан « » мая 2005 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

М.А. Леган

моъд

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. При увеличивающейся глубине разработки, концентрации и интенсификации горных работ, внедрении принципиально новых технологий одной из важнейших проблем по расчету устойчивости всех видов выработок, требования к точности определения параметров существующих и создаваемых технологий отработки месторождений являются развитие и создание новых методов расчета напряженно-деформированного состояния в образцах пород и в окрестности выработок как основы практических рекомендаций.

Потребность в точных аналитических расчетах по механике горных пород для произвольных областей (многосвязных, конечных и с бесконечно удаленной точкой) с произвольной формой границы привела к необходимости дальнейшего развития проблемы создания новых аналитических методов решения, отвечающих общему требованию -необходимость определенного единообразия при рассмотрении всех трех основных задач, мыслимых при формулировке. В этой связи особо актуальна еще одна проблема - создание формальных методов, с помощью которых можно было бы, абстрагируясь от конкретных задач, наметить общие свойства методов и выбрать пути конструирования новых задач на их основе.

Одним из основных факторов, обеспечивающих возникновение подобных методов, являются успехи теории интегральных уравнений и широкое распространение классических методов, которые не могут не быть использованы в качестве отправных элементов в новых методах. Особенно актуальны эти работы для неклассических задач (с учетом реальной геометрии рассматриваемых областей, без предположений на аппроксимацию и процесс деформирования).

Такие методы призваны расширить существующие возможности и позволяют строить решения для кусочно-однородных областей с мыслимым законом взаимодействия по границам раздела.

В диссертации разработаны новые методы решения двумерных задач теории упругости для прямоугольных образцов пород и очистной выработки в кусочно-однородном массиве. Исследования выполнены по плановым темам ИГД СО РАН.

Цель работы заключается в разработке методов решения в рамках упругой модели всех трех основных задач механики горных пород, рассматриваемых одновременно и единообразно, для неклассических кусочно-однородных областей, моделирующих горные выработки, образцов пород при растяжении-сжатии, компактных образцов с разрезами, что способствует более рациональному освоению недр.

Объект исследования. Напряженно-деформированное состояние прямоугольной области, прямоугольной области с боковым разрезом и кусочно-однородного массива пород с выработкой.

Предмет исследования. Методы «а™»™ деформированного состояния прямоугольной ой

области с боковым разрезом и кусочно-однородного массива пород с выработкой.

Основная идея работы по созданию методов расчета напряженно-деформированного состояния в исследуемых областях заключается в использовании соотношений Колосова-Мусхелишвили для установления связи между всеми компонентами напряжений и смещений на этих контурах.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математической теории упругости, теории аналитических функций и методы вычислительной математики.

Научная новизна состоит:

1. В решении задачи для прямоугольной области, которое, в отличии от существующих, обеспечивает единообразное определение напряженно-деформированного состояния на границе для всех трех основных задач без нахождения комплексных потенциалов в области, и сводится к замкнутой системе интегральных уравнений, связывающей все компоненты напряжений и смещений на контуре.

2. В получении системы сингулярных интегральных уравнений, связывающих компоненты напряжений и смещений на границе прямоугольной области с боковым разрезом, являющейся эталонным образцом при исследовании образцов на разрушение.

3. В выводе системы сингулярных интегральных уравнений, описывающих деформирование в окрестности выработок на контактах отрабатываемого пласта и вмещающих его пород для кусочно-однородного массива.

4. В численной реализации полученных систем уравнений и анализе деформирования исследуемых областей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод решения всех трех основных задач теории упругости для прямоугольных областей, вывод интегральных уравнений, связывающих компоненты напряжений и смещений на границе.

2. Решение задач для прямоугольной области с боковым разрезом, вывод системы сингулярных интегральных уравнений.

3. Единая система уравнений, связывающая напряженно-деформированное состояние на контакте кусочно-однородного массива пород с выработкой.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается корректным применением методов математической теории упругости, теории аналитических функций и вычислительной математики, теоретическим обоснованием предлагаемых методов расчета напряжений и смещений в рассматриваемых областях, корректностью постановок задач в рамках механики деформируемого твердого тела, совпадением полученных результатов для тестовых задач с аналитическими решениями.

Практическая ценность работы определяется областью применения разшпнх', «еднимртаг&гя методов решения задач механики горных пород по

* -.«■¡»•ггн».» 8 4

определению напряженно-деформированного состояния около выработок, а также состоит в разработке пригодных для решения практических задач методов математического моделирования и анализа напряженно-деформированного состояния плоских элементов конструкций, применение которых позволяет расширить возможности решения задач механики деформируемого твердого тела, относящихся к плоской теории упругости, за счет обусловленных методами различных вариантов их формулировок, наработанных алгоритмов и программ их численной реализации. Развитые в работе методы решения двумерных задач сводятся к системам интегральных уравнений, обладающих общим весьма эффективным при численной реализации свойством.

Реализация полученных результатов. Диссертационная работа связана с основной темой лабораторией механики горных пород ИГД СО РАН «Исследование электромагнитного излучения образцов и массивов горных пород при нагружении до разрушения». Диссертационная работа выполнена при финансовой подцержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-05-64046 и № НШ 2273.2003.5).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены на IV Всероссийском семинаре "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2002 г.), II международной конференции "Динамика и прочность горных машин"(Новосибирск, 2003 г.), IV международной конференции "Новые идеи в науках о Земле"(Москва, 2003 г.), III международной научной конференции "Физические проблемы разрушения горных пород"(Абаза, 2002 г.), III международной научно-практической конференции "Наукоёмкие технологии добычи и переработки полезных ископаемых"(Новосибирск, 2003 г.), международной конференции "Геодинамика и напряжённое состояние недр земли"(Новосибирск, 2003 г.), международной конференции "Проблемы и перспективы развития горных наук"(Новосибирск, 2004 г.), V Всероссийском семинаре "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2005 г.).

Диссертация доложена и обсуждена на семинаре по геомеханике ИГД СО РАН, семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 130 стр., в том числе 92 стр. машинописного текста, 38 рисунков и список литературы из 109 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дано обоснование актуальности работы, сформулированы основные цели и задачи исследования автора, отмечена научная новизна и

практическая значимость полученных результатов, приведены сведения об апробации работы.

Первая глава диссертационной работы имеет вспомогательный характер. Представлен обзор теоретических и экспериментальных работ по тематике исследований. Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния массива пород с выработками базируются на аналитических решениях соответствующих задач. Решение основных граничных задач в рамках упругой модели для тел, ограниченных произвольным контуром, сопряжено со значительными трудностями математического характера. Из аналитических методов решения задач плоской теории упругости широкое приложение находит метод Колосова-Мусхелишвили, который сводит проблему к нахождению двух комплексных, голоморфных в исследуемой области функций, полностью характеризующих напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела.

Выписаны общие соотношения, связывающие напряженно-деформированное состояние на границе односвязной области. При этом нет необходимости определять функции Н.И. Мусхелишвили <D(z), (<p(z)) и 4P(z), (v|/(z)), описывающие решение всюду в массиве с последующим переходом на границу. Предположение о существовании одних и тех же функций Ф(г), (cp(z)) и ^(z), (v)/(z)), решающих первую и вторую основные задачи теории упругости с дополнением связи + сгу = 4Re<t>(z) позволяет получить замкнутую систему уравнений по определению компонент смещений и напряжений на границе рассматриваемой области при формулировке трех основных граничных задач.

В случае односвязной области с контуром Г система имеет вид (обозначения совпадают с обозначениями Н.И. Мусхелишвили)

nif. t-ta (1)

- ш - ± ¡Ш^Ш*=-1 flr(,)+2^(0]^,

п if. t-t0 т f. t-t0

где

i

/(0 = i\(Xn + iYJds, g(t) = u(t) + iv(t)

0

характеризуют граничные условия соответственно напряжений и смещений, Xn, Y„ — компоненты вектора внешнего напряжения на границе Г

рассматриваемой области; u(t),v(t) - компоненты смещений границы Г; к,

И - упругие постоянные.

Система (1) получена научным руководителем и является в дальнейшем основополагающей, которая будет модифицирована для каждой конкретной задачи. При этом особенности решения в угловых точках не учитывались.

Во второй главе представлено математическое моделирование нпряженно-деформированного состояния прямоугольной области П (рис.1), ограниченной контуром Г=Г1+Г2+Г3+Г4, где

Гь |л;| < а, у = О ; Г2: х - а, 0 < у < /г; Гз: \х\<а, у~И', Г4: х = -а, 0<у<к.

Во многих практически наиболее интересных случаях (испытания образцов пород, расчет деформирования целиков и т.д.) внешние усилия к передаются через контакт с другими телами, так что известен, как правило, только главный вектор внешних усилий, прикладываемый к Г! или Г3. В области контакта при этом невозможно строго сформулировать условия взаимодействия. Обычно предполагают простейшие варианты граничных условий, плохо моделирующих процесс нагружения, который сводится либо к идеальному проскальзыванию, либо к полному сцеплению в предположении абсолютной жесткости внешних по отношению к £2 тел.

-—»► Гу

ъ 1 4-▼ и4 °4 » ь Г« п Г3 а г2 а*— Т г

1

__.

л—-ъ 0 •—р- а х

Чч Л и1

Рис. 1. Расчетная схема для определения напряженно-деформированного состояния образца пород

Исходя из этого, выведена система интегральных уравнений, учитывающая в двумерном случае все компоненты граничных значений неизвестных функций для всех трех основных задач теории упругости на контуре Г. Как правило, две из четырех компонент напряжений и смещений формулируются при постановке краевых задач, а остальные вычисляются из предлагаемой системы.

Для рассматриваемой области ¡2, представленной на рис.1, сформулируем граничные условия в виде трех задач:

на Ti т= т0(х), v= v„(x), на Г3 т= То(х), v= - v0(x) ;

на Г, и= но(х), v= v0(x), на Г3 м= «о(х), v= - v0(x) ;

; Оуо(х).

(3)

на Г| т= т0(х), наГ3 т=т0(х), 0у = Оуо(х); (4)

для каждой из которых граничные условия на Г2 и Г4 одни и те же: т=ох=0. Здесь т, ох, оу — касательные и нормальные напряжения; и, v - компоненты смещения.

Численная реализация полученных уравнений осуществлялась последовательными приближениями. Вычисление приближений останавливалось когда разность двух последних составляла 1%. Величины, имеющие размерность длины отнесены к а, размерность напряжения - к ау0.

В качестве тестового примера рассматривался вариант граничных условий (4), когда т0(х)=0, <ту0=1. Идеальное совпадение результатов расчета с точным решением доказывает хорошую точность при реализации полученных уравнений.

Для граничных условий: в виде (2) принималось т0(х) = -Ах, 2fiv0(x) = 1; в виде (3): и0(х) = 0, 2]iv0 (х)= 1.

На рис. 2 представлены результаты расчета деформирования границы области О для задачи (3) при hla = 6, ц = 3,846'104. Граница Г области развернута в прямую линию так, что Г! соответствуют точки от 1 до 21, Г2 -от 21 до 81, Г3-от81 до 101,Г4-от 101 до 161.

_ _______в 5~г

2¡jüí

( > ---- J

Рис. 2. Компоненты смещений контура О для задачи (3)

Рис. 3. Деформированная конфигурация для задачи (3),контур Г:—исходный; ---после деформации.

Таким образом, во всех случаях, кроме одного, когда отсутствуют касательные напряжения на контакте, наблюдается бочкообразное деформирование образца (рис. 3). На рис. 3. поле перемещений увеличено в 10 раз для наглядности. Чем больше касательные напряжения, тем больше деформируется область.

В третьей главе представлено математическое моделирование образцов с разрезами. Определение физических, механических и прочностных характеристик материала производится на образцах, имеющих те или иные параметры и допуски.

Расчет напряженно-деформированного состояния - центральный при решении любой задачи механики, касающейся деформирования твердого ь тела, без него лишены реальной основы все разговоры о ее проблемах. Это полностью относится к задаче определения напряженно-деформированного состояния некпассических областей, т.е. областей, содержащих угловые ' точки. Аналитическое представление решения класса задач для областей с контурами, содержащими угловые точки, важно не только в связи с большой востребованностью при моделировании различных ситуаций, но и при расшифровке экспериментальных данных нагружения образцов с трещинами. И, следовательно, развитие методов решения таких задач актуально как с теоретической, так и с практической точек зрения. Доминирующее положение механики разрушения тел с трещинами обусловлено тем, что в настоящее время фактически невозможно изготовить сложную конструкцию так, чтобы в ней не было тех или иных дефектов, наиболее опасными из которых, с точки зрения проблемы разрушения, являются трещины.

Дело усложняется отсутствием аналитического представления решения дня задач этого класса, которое можно было бы анализировать. Известные численные методы не пригодны для определения градиентов напряжений и деформаций и могут быть использованы только для приближенных расчетов неответственных сооружений. Поэтому наиболее важно иметь аналитические выражения, связывающие компоненты напряженно-деформированного состояния в рассматриваемой области, и так как разрушение начинается, как правило, с границы, то именно для нее.

Пластины являются не только составной частью конструкций, но и представляют самостоятельный интерес как объект при определении механических характеристик материала, например, расклинивание пластин для определения сопротивления разрушению.

В связи с этим, рассмотрена проблема математического моделирования деформирования прямоугольной области с разрезом, расклиниваемым усилиями, приложенными к берегам трещины. Учитывая, что рассматриваемая область ослаблена симметрично расположенной трещиной, то достаточно рассмотреть половину образца, ограниченного контуром Г=Г,+Г2+Гз+Г4 (рис. 4), где

П: \х\ < а, у = 0 ;

Г2: х = а, 0 < у < И;

Гз: |л:| < a, y = h> Г4: х = -а, 0 <y<h-

-а

Р- а

Рис. 4. Расчетная схема для определения напряженно-деформированного состояния прямоугольной области с боковым разрезом

В связи с этим, сформулируем граничные условия в виде

сг„ = т п = О

а

0

о

на ТА

(5)

на Г1+Г2+Г3 на Г4

х - -a, hi < у < h ; х = -a, hi < у < hi ; х = - а, 0 < у < h 2 ;

U4=0, X——CL, 0<у<И1, где стп т „ — нормальные и касательные напряжения на Г; ст0— известное, расклинивающее трепщну напряжение; стх—искомое нормальное на продолжении разреза напряжение; и4 — горизонтальное смещение на Г4.

Для прямоугольной области с краевым разрезом выведена система сингулярных интегральных уравнений, связывающая компоненты напряжений и смещений на границе. Из граничных условий следует, чго f{t)- мнимая величина и / it) = 0 на П+Г2+Г3. Исходя из этого, введем обозначение f4 (f) = Im( /(t)).

Тогда, окончательно, например для грани Г4, соотношения имеют следующий вид:

„ , . к+ 1 rlm(/4(s)) 4// Г af и, (s)

4/"w4 00 =-f + —j Л h-7T—Tds +

я i s-y0 я [ Ja(s + ay+y0

+ 2a\ 2U¿S) 2ds-(h-y0)~í-^-r&} +

+

4/J "f[(5 + af -у0г\^)-2уй($ + a)Vl(j)

Vo У l . .,2 . zl*

* • -O

*

+2aJk-(.-л)

(s + a)2+y02

«2(.ï) + 4Ô(5~>'0)V2(J)

[4a2 H-ÍÍ-^o)2]2

° J [(í_a)4(Á-^0)2]2 J

4^v4(J0) = <* - 1)/4(л) + — JУо ), V'(2S) 2 * +

+ 2a J ,v»<'> 2ds-(h - --

¡4 a2+(s-y0f *>>)(s + af+(h-y0)2 j

-ít\y "(2yo(-S + + ^ + ^ ~-Fq21V|(л,)±

* 1 °Í [(s + af + ^f

_ 2дf4а(д -y0)u2(s) - [4a2 -(j -y0)%(s) ± + oJ [4a2+(S-Jo)2]2

+ (h_y Л2(* + a)(/> - - [(* - a)2-(h-y0)'K(J) J

с*+ол(Ус)=)-is+fí(s\ds + )d(ry;)U2%äs + [i(í + a)2 + ^02 ; 4a + (s - y0)

(s + a)u3(s) fM-*)

+ + fiîliîi-Д +

+ 1hlL г+ + + д>2 ~ Уо2 ■ (д) M °-Í Ь + а)*+УоЛ]

-2 4-

о

+ ф-у0)

[4аг+(*-уй)2]

-\2j_s + а)ф - ^0)»3 (5) - [(д - а)2 - (й - у0)2 ]у3(.у)

[(5-а)2+(Л-^0)2]2

где ^0=1ш(Г0), 0 < у0 ^ к, *0 б Г4

Таким образом, получены зависимости для граничных значений всюду на контуре Г, в том числе и на продолжении разреза, что позволяет анализировать поведение решений.

Выполнена численная реализация выведенных уравнений и проведен анализ полученных решений при различных входных данных. Численная реализация полученной выше системы осуществлялась последовательными приближениями. За первое принимались величины, получаемые в левых частях от значений, сформулированных при постановке задачи, остальные неизвестные считались равными нулю. Вычисление приближений останавливалось, когда разность двух последних составляла 1%. Величины, имеющие размерность длины, отнесены к а, размерность напряжения - к о0.

В предложенных расчетах полагаем Ы=Ь-1/2, Ь2=1/2, Е/ст0=2-Ю4, у=0.3. На рис. 5 приведены результаты расчетов задачи при Ь=2. Зависимость компонент вектора перемещений от координаты в указана на рис. 5,а,б. Граница области Г развернута в прямую линию так, что Г, соответствует участок от 0 до 2, Г2 - от 2 до 4, Г2 - от 4 до 6, Г4 - от 6 до 8. Деформированная конфигурация представлена на рис. 5,г. Поле перемещений увеличено в 100 раз для наглядности.

Рис. 5. Решение задачи при Ь=2

На рис. 6 представлены деформированные конфигурации при й= 10, /г=14 и Л==20. Поле перемещений увеличено в 10 раз для наглядности. Прослежена зависимость решения задачи от параметра Ь. Установлено, что при увеличении Ъ пластинки прогиб возрастает.

В четвертой главе предложен метод расчета напряженного состояния около выработок. Существующие решения для пластовых выработок основываются на очень сильных предположениях (абсолютно жесткий пласт, Винклерово основание и т.п.), когда количество их для формулировки граничной задачи достигает двух (дополнительно: идеальное проскальзывания, полное сцепление, пропорциональность смещений и напряжений и т.п.).

Эффекты, возникающие на границе раздела сред, существенно зависят от физико-химических свойств пород в этой области и до настоящего времени во многом остаются неизвестными. Это влияние может быть охарактеризовано только эмпирическими зависимостями, которые имеют узкую область применения. Можно утверждать, что все теоретические разработки надлежит вести для упругих и упруго-наследственных сред, в то время как методы расчета должны быть аналитическими. Численные алгоритмы приемлемы лишь как оценочные или вспомогательные, поэтому обоснование работоспособности ответственных конструкций на их основе недопустимо.

Рассмотрен общий случай деформирования кусочно-однородного массива пород около выработки прямоугольного поперечного сечения. Проведена декомпозиция исходной задачи, разбив ее на две более простые: полуплоскость и две полуполосы. Считая непрерывными компонента смешений и напряжений (нормальные и касательные) после приравнивания компонент смещений при стремлении слева, справа к границе раздела сред получаются уравнения для определения напряжений.

В рассмотренной проблеме получены уравнения, связывающие граничные значения компонент напряжений и смещений для полуполосы и

Рис. 6. Деформированные конфигурации.

полуплоскости. Впервые получены уравнения, связывающие напряженно-деформированное состояние в полуполосе и полуплоскости, имеющих как самостоятельное значение, так и позволяющее строить кусочно-однородные области, частями которых являются полуполоса и полуплоскость.

При формулировке задачи для моделирования очистной выработки в пласте полагаем, что упругие свойства пласта отличны от свойств пород. Как показано на рис.7, ЕЬЕ2 - модули Юнга, а уь у2 - коэффициенты Пуассона, соответственно, для вмещающих пород и пласта полезного ископаемого. Считаем, что напряженное состояние в точке массива на месте будущей выработки известно и характеризуется величинами

Оу=Оу0=С0П51,

ах=а*о=со1Ш, (6)

предполагающими горизонтальное залегание пласта (рис.7). Для заглубленной выработки, когда влиянием на нее дневной поверхности можно пренебречь, породы будем моделировать полуплоскостью. Под действием усилий (6), приложенных на контуре выработки, возникают нормальные р(х) и касательные напряжения на границе раздела при \х\> а ■ Перейдем к

решению задачи о выработке длиной 2а, пройденной в пласте мощностью 2Ъ.

Метод решения предполагает рассмотрение напряженно-деформированного состояния для границ полуплоскости у>0 и полуполосы х > а, -211<у<0 (в силу симметрии задачи) и их сшивку по условиям на контакте

и =и , V =\ ,

а у+=сту"=р(х), (7)

Здесь "+" относится к породе, "-" к пласту.

Рассмотрим полуплоскость у ^ 0, граница Г которой совпадает с

действительной осью. Представим функцию / (/) в виде

/(/) = /(?) + (?). Тогда соотношения, определяющие смещения границы

полуплоскости через остальные компоненты, имеют следующий вид:

71 — Хг

-о

4цу(х0) = (к -1)Л(*о)- (8)

я - *0

Перейдем к рассмотрению полуполосы, ограниченной контуром Г=Г,+Г2+Г3, где

Г,: а<х<оо, у=0; Г2: х = а, - 2к < у < 0 ; Г3: а<х<оо, у=-2Л. Окончательно соотношения, определяющие смещения границы полуполосы через остальные компоненты, например, для Гь имеют следующий вид:

п* (а-Хд)2 +4/

л} (>У~лЬ)2 +4Л2

л о [(а~х0)2+4х2]

[(5-^+44

(9)

711 S-Xn

тг '

+

4цу, (х0) = (* - 1)/и(х0) -1 Г<1 +-

1Г ' с — г.

О

2 VI+*)/2 +[(1 - к)Щ+4цу2 (4а - ^ ) А л03 {а-х^+Л^

1 "К'+*)/3| па} (лг-ль)2 +4Л2

, "К/2,Су)+(/22(^)+2цу2(5))[(й-л,)2 -4/Ц

71 £ [{а-х,)2+^\

4Л ++С/32(.У)+2цу3 (.У))[СУ -Д^)2 - 4/Г ] ^ 71! [(Л-лЬ)2+4Й2]2"

где а < х0 < оо .

Рассмотрим границу полуплоскости, для которой определим функцию /((), которую обозначим через (/):

(0 = /п (0 + ¡/п (0 = 1<а;

— 00

(0 = /п (0 + г/,2 (0 = + + С + я). И * я;

I

(0 = /и (0 + (0 = «V + - г + 1р)<к, 1> а.

а

Выполнение первых двух равенств в условии сшивки (7) позволяет с помощью (8) и (9) получить систему уравнений для нахождения функции на участке t = х > а контакта пласт - порода, т.е. вычислить нормальные и касательные напряжения.

Таким образом, предложен метод решения задач по определению напряжений на границе пласта полезного ископаемого в строгой постановке.

Численная реализация полученных в работе систем осуществлялась методом последовательных приближений. За первое принимались величины, получаемые в левых частях от значений, сформулированных при постановке задачи, остальные неизвестные считались равными нулю.

Вычисление приближений останавливалось, когда разность двух последних составляла 1%. Величины, имеющие размерность длины, отнесены к а, размерность напряжения - к сту0-

На рис. 8 представлена деформированная конфигурация четверти выработки (в силу симметрии) при а!к= 2, Е2/Е1=5, у1= у2=0.3, стх0/ сту0-2, причем поле перемещений уменьшено в 10 раз для наглядности.

Рис. 8. Деформированная конфигурация кусочно-однородного массива пород.

При этом недеформированная конфигурация изображена на рисунке жирной линией, а деформированная - более тонкой. При стремлении к бесконечности по линии раздела сред наблюдается асимптотическое затухание до нуля как компонент смещений так и напряжений, поэтому на рисунке представлены деформированная конфигурация при 0 < х < 3 также для наглядности.

Замечено, что при увеличении модуля Юнга Е2 вертикальная компонента смещений возрастает, то есть наблюдается увеличение провисания границы полуплоскости. То же самое происходит и в случае роста длины выработки а. При одновременном увеличении параметров Е2 и а наблюдается еще более наглядное деформирование пород.

Когда же мы увеличиваем напряжения стх0, происходит рост горизонтальной компоненты смещений вертикальной границы полуполосы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В соответствии с поставленными задачами в диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Впервые получены уравнения, позволяющие изучить напряженно-деформированное состояние в кусочно-однородном массиве пород с выработкой.

2. Получены новые системы интегральных уравнений, связывающие граничные значения всех компонент напряжений и смещений для прямоугольной области, прямоугольной области с боковым разрезом, полуполосы и полуплоскости, имеющих как самостоятельное значение, так и позволяющих строить кусочно-однородные области.

3. Построен алгоритм численной реализации полученных в работе систем интегральных уравнений, проведены тестовые расчеты.

4. Решены модельные задачи определения напряженно-деформированного состояния массива горных пород около выработок и в образцах. По всем рассмотренным проблемам проведен анализ полученных решений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Курленя М.В., Красновский A.A., Миренков В.Е. "Напряжения на контакте пласта и пород, обусловленные выработкой" // ФТПРПИ. -

2002.-№2.-С. 3-9.

2. Красновский A.A., Миренков В.Е., Шутов A.B. "Деформирование кусочно-однородного массива пород с выработкой "// IV Всероссийский семинар "Проблемы оптимального проектирования сооружений". -Новосибирск. - 2002. - С. 220-227.

3. Красновский A.A. "Определение напряжений около выработок в однородном массиве пород" // II международная конференция "Динамика и прочность горных машин". - Новосибирск. - 2003. - Т.2. -С. 49-52.

4. Красновский A.A. " Деформирование пород около выработок с полигональным контуром " // П1 международная научная конференция "Физические проблемы разрушения горных пород",- Новосибирск. -

2003.-С. 115-117.

5. Красновский A.A. "Моделирование разрушений образцов горных пород" // III международная научно-практическая конференция "Наукоёмкие технологии добычи и переработки полезных ископаемых". - Новосибирск. - 2003. - С. 117-118.

6. Красновский A.A. " Моделирование деформирования пород около очистных выработок "// Международная конференция "Геодинамика и напряжённое состояние недр земли". - Новосибирск. - 2003. - С. 530533.

7. Шутов A.B., Красновский A.A., Миренков В.Е. "Моделирование контактных условий при деформировании образцов пород" // ФТПРПИ. -2004.-№2.-С. 25-32.

8. Красновский A.A., Миренков В.Е., Шутов В.А. "Моделирование деформирования пород около трещин"// Горный информационно-аналитический бюллетень. - Москва - 2004. - №3. - С. 227-229.

9. Красновский A.A. "Деформирование образцов пород с краевым разрезом"// V Всероссийский семинар "Проблемы оптимального проектирования сооружений". - Новосибирск. - 2005. - С. 208-216.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета формат 60x84/16, объем 1,25 пл., тираж 100 экз., заказ № 670, подписано в печать 26.05.05 г.

ООО

РНБ Русский фонд

2006-4 11039