Механическое моделирование одномерного континуума Коссера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

004600246

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

Иванова Ольга Алексеевна

Механическое моделирование одномерного континуума Коссера

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2010

Москва 2010

004600246

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук профессор Г.Л. Бровко

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук профессор А.А. Маркин Доктор физико-математических наук профессор А.Б. Киселёв

Ведущая организация:

Учреждение Российской Академии Наук Вычислительный Центр имени А.А.Дородницына РАН

Защита состоится 16 апреля 2010 года в /р часов на заседании специализированного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория/^У^-7

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «15» марта 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.91

профессор

С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы

Исследования сплошных сред с некласс ическими свойствами, заложенные классиками науки еще в XIX веке, нашедшие первое строгое воплощение в фундаментальном труде Коссера и получившие мощный толчок к развитию в 50-60-х годах XX века в работах отечественных и зарубежных исследователей, в последние годы составили научный интерес не только в теоретическом, но и в практическом плане в связи с актуальными задачами микроэлектроники, тонкой химической технологии, материаловедения, трибологии, инженерной биологии и других отраслей науки и техники.

Одной из актуальных проблем является технология изготовления материалов и конструктивных элементов (покрытий, пленок, волокон) с наперед заданными механическими свойствами как классического, так и неклассического типов. В связи с этим особую важность приобретает

1) разработка теоретических подходов к конструктивному моделированию материалов и элементов с механическими свойствами определенного типа,

2) оценка и прогнозирование их конкретных механических свойств,

3) выработка возможных рекомендаций по технологии их изготовления.

Имеющиеся модели в области моментных теорий (включая среды типа Коссера, одномерные и двумерные континуумы с моментными свойствами) носят феноменологический характер, оснащаются, как правило, гипотетическими материальными константами, характеризующими неклассические механические свойства, и не затрагивают вопрос о материальной микроструктуре, по существу определяющей особенности неклассических свойств материалов и конструкций (и величины констант). Более того, вопрос о существовании или возможности изготовления материальных элементов с механическими свойствами моментного типа не ставился.

В этом смысле продуктивным представляется подход механического (конструктивного) моделирования, предусматривающий учет (моделирование) микроструктуры представительного элемента континуума с присущими ему видами движений и взаимодействий, способный дать четкую наглядную интерпретацию материальным константам модели и прогнозировать ее свойства, позволяя тем самым решать поставленные три задачи, связанные с изготовлением материалов и конструктивных элементов с наперед заданными (моментными) свойствами.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей работы стало изучение возможности конструктивного моделирования одномерного континуума Коссера, изучение особенностей его форм равновесия, форм собственных и вынужденных движений, выявление новых (в сравнении с классическими теориями) механических эффектов, исследование влияния конструктивных элементов на усредненные свойства

модели, оценка возможности управления материальными константами модели (прогнозирования свойств).

Научная новизна

.1. С использованием предложенного А.А, Ильюшиным метода механического моделирования с осреднением в длинноволновом приближен™ построена система уравнений континуальной модели оснащенного стержня в плоских движениях, отвечающая уравнениям одномерного континуума Коссера. Изучены некоторые общие свойства такой упругой континуальной модели при произвольных деформациях.

2. После проведённой линеаризации поставлены задачи о собственных и вынужденных малых движениях оснащенного стержня. Для поперечных колебаний установлено наличие в каждой моде двух различных форм и частот. Впервые обнаружено явление неустойчивости вынужденных колебаний в виде экспоненциального одностороннего отклонения системы (дивергенция). Построен пример упругой конструкции антенного типа и проведены расчеты, иллюстрирующие общие выводы.

3. Впервые предложено обобщение модели на неупругие свойства — построение методом механического моделирования модели одномерного континуума Коссера с частично пластическими свойствами. Выведены уравнения этой модели для малых движений, отмечена неоднозначность решений задач статики в общем случае. Введены понятия предельных и чисто предельных состояний равновесия и показана однозначность решений в чисто предельных состояниях. Рассмотрены конкретные задачи статики и квазистатики.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена применением известных подходов и методов, сравнением полученных результатов с известными. В исследовании использован метод механического моделирования, принцип виртуальных работ, соотношения классической теории тонких стержней, теории стержней Коссера, известного типа определяющие соотношения свойств упругости и пластичности (сухого трения), известные в механике классических сред подходы к исследованию колебаний и их устойчивости, построен пример конкретной конструкции оснащенного стержня Коссера, наглядно иллюстрирующий полученные теоретические результаты.

Научная и практическая ценность работы

Результаты диссертации могут быть использованы для инженерных расчетов подвесных и натяжных конструкций (вантовых мостов, линий электропередач), башен и вышек с утяжеленными поперечными платформами (в потоке воздуха, в подводных течениях). Работа также иллюстрирует возможность приложения метода механического моделирования к разработке технологий изготовления материалов и структур с наперед заданными неклассическими свойствами. Основные теоретические положения работы могут быть использованы в научно-технической и учебной литературе.

Апробация работы

Часть результатов работы получена и использована в рамках исследований по гранту РФФИ № 06-01-00565-а «Моделирование неоднородных сред сложной микроструктуры с учетом внутренних взаимодействий классического и неклассического типов».

Результаты работы докладывались и обсуждались:

— на научных семинарах кафедры теории упругости МГУ;

— на «Ломоносовских чтениях» (МГУ, 2003,2006,2007,2008);

— на Международном коллоквиуме EUROMECH Colloquium-458 (Москва, Институт механики МГУ, сентябрь 2004);

— на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 2004);

— на Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 95-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (Москва, МГУ, январь 2006);

— на Международном семинаре «Геометрия, континуумы и микроструктуры (GCM7)» (Великобритания, Ланкастер, сентябрь 2006);

— на Международной конференции «Современный анализ и приложения (МАА 2007)» (Украина, Одесса, апрель 2007);

— на Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Армения, Цахкадзор, сентябрь 2007);

— на научных семинарах кафедры механики композитов, кафедры газовой и волновой динамики МГУ (2009), кафедры теории пластичности МГУ (2010)

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 89 страниц печатного текста, включая 13 иллюстраций. Список литературы содержит 80 наименований.

По теме диссертации опубликовано 5 работ, одна из них - в издании из списка ВАК. В совместных работах автору принадлежат конкретные разработки по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся краткий обзор литературы по теме диссертации и излагается краткое содержание диссертационной работы.

JB первой главе в п. 1.1 с использованием метода механического моделирования, предложенного A.A. Ильюшиным, в работе построена дискретная модель «оснащенного стержня». Исходная конструкция, привлекаемая для моделирования одномерного континуума Коссера, представляет собой в недеформированном состоянии тонкий стержень длины / с помещёнными на его упругой линии через равные расстояния а жёсткими массивными дисками (включениями), способными вращаться в плоскости изгиба стержня вокруг своих осей симметрии, жёстко закреплённых на стержне и перпендикулярных плоскости его изгиба (рис. 1а).

Повороты дисков относительно упругой линии стержня регулируются упругими шарнирами. Будем предполагать диски также связанными друг с другом (с ближайшими соседями с обеих сторон) одинаковыми ременными передачами, обеспечивающими сопротивление относительному повороту охваченных ими соседних дисков. Ячейкой этой конструкции назовём повторяющийся элемент конструкции длины а, включающий один из дисков и два полустержня, примыкающих к месту крепления этого диска с двух сторон. Для изолированного рассмотрения ячейки как отдельной механической системы, примем, что ременные передачи связывают соседние массивные диски-включения через невесомые и не оказывающие сопротивления передаточные диски-шкивы того же диаметра, расположенные на торцах ячейки (рис. 1 и 2). Будем считать углы поворотов передаточных шкивов равными средним значениям углов поворота связываемых ими включений в соседних ячейках.

На рис. 1 изображён оснащённый стержень в недеформированной (а) и деформированной (б) конфигурациях. Массивные диски-включения изображены затенёнными кругами, передаточные невесомые шкивы -прозрачными кругами; штрихованные линии - ременные передачи. Ячейка конструкции выделена штрихпунктирным прямоугольником.

Будем рассматривать плоские движения конструкции (в плоскости Оху), характеризуемые перемещениями узлов (мест крепления осей дисков), изгибом и растяжением стержневых элементов (совместно с растяжением ременных передач, не теряющих подходящего для зацепления дисков натяжения), а также вращением дисков вокруг своих осей симметрии (рис. 16). Эти движения сопровождаются плоскопараллельной системой силовых и моментных внешних воздействий на конструкцию и внутренних взаимодействий её элементов (векторы силовых моментов перпендикулярны к плоскости). Деформированная конфигурация ячейки с внешними воздействиями и внутренними взаимодействиями изображена на рис. 2.

Рис. 1. Конструкция в недеформированной (а) и деформированной (б) конфигурациях.

4

г

Рис. 2. Деформированная конфигурация ячейки с внешними воздействиями и внутренними силовыми и момеятными взаимодействиями.

Внешними по отношению к ячейке силовыми и моментными воздействиями являются как внешние воздействия по отношению ко всей

конструкции: Ь - суммарный вектор действующих на ячейку в целом внешних сил, тст - момент всех внешних сил, действующих на стержневой элемент ячейки, тт - внешний момент, действующий на массивный диск-включение, - так и «внешние» воздействия со стороны остальных частей конструкции: Р+ и - векторы сил, действующих на правый и на левый полустержни со стороны отброшенных правой и левой частей конструкции (Г+ = Г+ -е, Г=¥'-е, <2+=Г+-п, £Г=К"-п), М+Ст и -М'т - моменты, действующие на правый и на левый полустержни со стороны отброшенных частей конструкции, и -М'кп - моменты, действующие на правый и на левый передаточные шкивы со стороны дисков соседних ячеек.

Внутренними взаимодействиями в ячейке являются Р* и Р~ - силы сопротивления правого и левого полустержней растяжению, М^ и М~шг -моменты сопротивления правого и левого полустержней изгибу, -

момент воздействия включения на стержень, М+а1Гутр и —М'ю - моменты

воздействия правого и левого передаточных шкивов на включение.

Обозначив массу ячейки через тт , а момент инерции диска-включения через , учитывая инерционные члены среднего поступательного перемещения ячейки и вращательного движения массивного диска-включения, и пренебрегая инерционными членами относительного удлинения и вращения стержневых элементов и ременных передач, выписан явный вид выражения виртуальной работы всех внешних, внутренних и инерционных сил ячейки. Применяя принцип виртуальных работ, состоящий в выполнении равенства ЗА = О при произвольных вариациях кинематических параметров ячейки, множители при независимых вариациях приравниваем нулю. Таким образом получена система уравнений, сравнительная оценка величин входящих в которые слагаемых в рамках длинноволнового приближения с

малым параметром а= у (/ - длина стержня) показывает, что с

относительной погрешностью порядка а2 уравнения приводятся к системе уравнений:

1У1

^г^ + ОЛ + т + М

=0,

(1)

совместно с уравнениями

Т = р, мсп, =мшг ,маа =м,„утр ,

Здесь X - кратность удлинения стержневого элемента ячейки, и

использованы обозначения: Г = —, й=—для удельных

а а а

(погонных по отношению к длине а ячейки в недеформированной

конфигурации) внешних нагрузок, обозначения: = > р-Ши^^

а а

]ддя удельного момента взаимодействия включения со стержнем, а

удельной плотности массы конструкции и удельного момента инерции

а* л-л' ьа а*-а-

включения, а также обозначения вида: А =

2 ' д4 _ а

для средних значений и разностных отношений величин и Л", причём принято Г = Ге, Т~ -¥~ ■ е, б+ = Р+п, £Г = Е--п.

Уравнения (1) являются непосредственно условиями динамического равновесия произвольной ячейки конструкции, а уравнения (2) означают «гладкое» совпадения «внешних» по отношению к ячейке силовых параметров Г, Мт, Мекя, входящих в уравнения (1), с внутренними силовыми параметрами Р, , , задаваемыми механическими

свойствами (определяющими соотношениями) ячейки.

В п. 1.2. рассмотрен простейший вид определяющих соотношений системы разделённых по энергетически сопряжённым парам и представленные линейными функциями:

Р = С (Я-1) М =С д<Рсч- М =С

г *~раст.\Л' Л шг. ^шг. > 1у'тутр. ^ > ^

Соотношения (3) выражают упругие свойства конструкции: С , Сизг, Ст, Свкм_^ст - константы упругого сопротивления растяжению, изгибу, взаимному повороту включений и повороту включений относительно стержня. В частности, при малых удлинениях стержня, когда Л- 1 = е<зс1, второе из соотношений (3) принимает традиционный для классической теории изгиба тонких стержней вид: МШ! = Стк {к - кривизна упругой линии стержневого элемента).

Осреднение уравнений (1), (2) с учётом (3) в длинноволновом приближении (в пределе при а->0) приводит к уравнениям одномерного

континуума Коссера (р - погонная плотность оснащённого стержня, 3 -погонный момент инерции вращения включений):

Ч

дМ~. + ОЯ + т + М^са=0> (4)

ч

дМ,

^л-т -М -J& =0

в. вкл.-+ст. гвкя.

Ч

совместно с тождествами

(5)

В п. 1.3 с учётом тождеств (5) уравнения (4) движения конструкции записаны в собственных осях (?\л°) деформированной конфигурации

оснащённого стержня. Сравнение полученной системы с уравнениями Кирхгофа-Клебша показывает, что хотя в данном случае мы рассматриваем только плоские движение, тогда как уравнения Кирхгофа-Клебша написаны для трёхмерного случая, но здесь, в отличие от уравнений Кирхгофа-Клебша,

учитывается удлинение стержня

Д = — £ * s I (s - длина дуги упругой

линии стержня в деформированной конфигурации) и силы инерции (pw?> pw.,,) (здесь w-o.w.j - компоненты вектора ускорения в собственных

осях). Кроме того, поскольку рассматриваемый стержень оснащён массивными включениями, имеем дополнительно уравнение динамического равновесия системы включений, и в последних двух уравнениях системы (4) учитывается взаимодействие Мт_кт включений и стержня.

Рассмотрены состояния статического равновесия при отсутствии внешних распределенных нагрузок. Выделены специальные виды рассматриваемой модели оснащенного стержня: несвязанная модель, безмоментная модель и модель псевдоконтинуума Косссера, — для которых выведены интегралы энергии статического равновесия.

Для статического равновесия общей модели при произвольных

деформациях, сопровождающихся условием —У-f^sk——^ (k = const),

ds ds

получены общие представления форм равновесия стержня. Установлено, что ds1 ds2

единице) возможен лишь случай одновременного тождественного равенства и самих функций <рт = <рст , Получено, что в этом случае реализуются два вида положений равновесия:

1. Стержень принимает прямолинейную форму, повороты включений отсутствуют.

U Ш U W . .

для —zisb- = —rsa. (хо есть, когда константа пропорциональности к равна

2. Стержень принимает форму дуги окружности, включения повёрнуты на тот же угол, что и стержневые элементы. (Интеграл Эйлера в этом случае совпадает с таковым для псевдоконтинуума Коссера, то есть такого специального вида конструкции, в любой точке которого <реа = <ркп).

Во второй главе в п. 2.1 рассматривается система с упругими свойствами, испытывающая малые движения, сопровождающиеся малыми перемещениями и и м> (в направлении координатных осей х и у соответственно), малыми относительными удлинениями £ = Л-1 и малыми углами поворота элементов стержня <рст так, что независимые переменные £ и х (и производные по этим переменным) могут быть отождествлены, проекции Т и Q силы Р на векторы е касательной и п нормали к элементу стержня могут считаться проекциями на оси х и у соответственно, и выполнены приближённые равенства для кратности Я удлинения стержневого элемента, угла поворота (рт стержневого элемента и кривизны к стержневого элемента: 1 1 Зи» д<р._ д2и>

йс дх д'

х

Кроме того, диапазоны изменения величин е, к, ^, т

дх

считаются достаточно малыми, чтобы механические свойства системы могли быть представлены линейными соотношениями упругости (3), которые в рассматриваемом случае малых движений с учётом (6) могут быть записаны с использованием классических обозначений в виде:

Р^ЕБ^е, М„=Е1„к, = М= К{9вы -<рш), (7)

где Е - модуль Юнга материала стержня, — площадь поперечного сечения стержня, Jaч - момент инерции поперечного сечения стержня, С -коэффициент жёсткости ременной передачи, К - константа упругости шарнирного крепления включений к стержню.

В этих обозначениях в силу (5), (6) уравнения (4) после подстановки определяющих соотношений (7) принимают вид:

дги 8ги .

(8)

Тх+/> = Р^ (9)

(Ю)

~

,д1ф „( ЭмЛ , дгю дх2 Ч дх) 8 &2

сЧг-К (П)

Здесь все константы, внешние силовые воздействия /х, / (проекции силы Г на оси координат) и внешние моменты т, тв считаются известными. Таким образом, четыре уравнения (8)-(11) составляют систему для четырёх неизвестных функций и, -и>, <рт , от независимых переменных х и г.

Очевидно, что уравнение (8) не связано с остальными уравнениями системы и представляет собой уравнение распространения продольной волны

со скоростью с = —, где р обозначает погонную плотность массы V Р

оснащённого стержня. Для двух неизвестных функций м- и <рт, исключая неизвестную величину £), окончательно получаем систему из двух уравнений в частных производных (до четвёртого порядка включительно):

РГ к^ш- дт±-Г-пдг™

(12)

дх1 дх '■ б12

В п. 2.2 для системы (12) рассмотрена задача о собственных колебаниях рассматриваемого упругого одномерного континуума при отсутствии внешних распределённых силовых и моментных воздействий (/у = 0 и

т, = 0). Для стержня длины I приняты граничные условия в виде: стержень закреплён с обоих концов шарнирно, причём концы стержня и крайние диски-включения свободны от внешних моментных воздействий, что выражается формулами (при х = 0 и х = 1):

^ = 0,

дх дх

Решение задачи (12), (13) ищется в виде: к = {А&трх)-е'ш, <рт ={Всо5рх)-еш, (14)

= ^4 = 0, (13)

тгк

Т

где А и В - произвольные константы, р выражается формулой

(£ е К), а а - частота колебаний.

После подстановки этих выражений в уравнения (12) для частоты со получено:

М/>) =-^-. (15)

где 0{р)^{тсеч)1р'-2Шач{рС-]а)рь +

+[(рС - ш)2 -2рКШ„ч ]р4 + 2Кр{рС -ш)р2+ р2К2.

Если К Ф 0, то для любого значения р и соответствующего ему по (15) любого (одного) из полученных двух значений а нетривиальное решение

системы (12) как системы относительно а и в (после подстановки явного вида м и <рт ) имеет вид:

А = а(р,о))-Ф, В = Ф, (16)

где Ф - произвольная (отличная от нуля) константа, причём

I \ кР Ср^+К-За1

а\р,а>)--з—£—-г= -• О')

М^Р +Ъ> -Р«> Кр

Тем самым всякое решение задачи вида (14) есть пара функций

К;. = а]Ф1 ¿трхе""'', . = соэрхе^' (у = 1,2) (18)

где знак + или -, а также значение / в обоих равенствах выбраны одинаково,

, як

Фу - произвольная ненулевая константа, р - любое из значении Р~~

(кеЫ), а (0;=с0)(р) и а] - а(р,т^ выражены формулами вида (15) и (17).

В силу линейности задачи (12), (13) любая линейная комбинация пар функций (18) с постоянными коэффициентами также является решением. Всевозможные вещественнозначные комбинации имеют вид сумм по натуральным значениям к:

* 1 , (19)

= 1соз^[Ф« + + Ф« + «,?>)],

где Ф^, - произвольные константы (./ = 1,2), и аналогично (18)

использованы соответствующие обозначения, основанные на формулах (15) и (17):

^(у^Цт*^) М1'2) (20)

Решения задачи (12), (13) в виде (19) представляют собой либо конечные суммы, либо бесконечные ряды, для равномерной сходимости которых достаточна сходимость мажоритарных рядов

ХК1>ХК'Ч1 Ми) к 1 *

Пара функций (19) представляет общий вид решения задачи (12), (13) в рамках сделанных предположений. Формулы (19) показывают существенную особенность решения, состоящую в том, что каждой моде колебательных движений, определяемой числом к, соответствуют, вообще говоря, ровно две частоты и две формы колебаний.

В п. 2.3 для иллюстрации полученного решения рассмотрен пример конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей:

1000мм

Рис. 3. Конструкция антенного типа.

Численно-аналитическим методом получено решение задачи о собственных колебаниях такой конструкции. Приведены графики зависимости частот собственных колебаний от параметра моды (для каждой из двух форм собственных колебаний). На примере одного из значений параметра моды колебаний (к = 1) выписан явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары: первая форма колебаний (с более низкой частотой) соответствует прогибам несущего стержня, при которых повороты его элементов «сопутствуют» (совпадают по знаку) поворотам поперечных стержней-включений (и даже превосходят их по величине), вторая форма (с более высокой частотой) соответствует «встречным» (противоположным по знаку) поворотам элементов несущего стержня и стержней-включений. Можно сказать, что при колебаниях с низкой частотой включения содействуют изгибу несущего стержня, а при колебаниях с высокой частотой включения препятствуют изгибу несущего стержня:

^р^оао.^ ьг^о<уОО&оЩу0

(а) (Ь)

Рис. 4. Характер движения для двух частот одной пары: (а) - «сопутствующие» движения, меньшая частота, (Ь) - «встречное» движение, большая частота.

В п. 2.4 для задачи (12), (13) рассмотрен случай колебаний оснащённого стержня при отсутствии внешних нагрузок /х,/у, т и воздействии лишь одного внешнего момента тг, связанного с угловым отклонением <раа включений зависимостью:

»..-ЯР«,.. (21)

где g - некоторая постоянная величина. При £ > 0 условие (21) означает, что момент тв стремится увеличить, а при £<0 - уменьшить угловое отклонение включения от начального положения.

Условие (21) может быть интерпретировано как моментное воздействие со стороны набегающего со скоростью V потока газа (жидкости) плотности р на включения, оснащённые плоскостями обтекания («крылышками»), прикреплёнными к включениям вдоль направления потока «навстречу» набегающему потоку при £ > 0 или с противоположной стороны («по ходу» потока) при £<0. При малых углах (рвы отклонения включений (когда $т<рлк1 ~ <рт ) величину g можно считать постоянной, равной

где с - постоянная, зависящая от аэродинамических свойств «крылышек», причём знак с определяется направлением потока.

После подстановки в уравнения такой задачи величины ы и <рва в аналогичном случаю собственных колебаний (который, вообще говоря, является вырожденным случаем этой задачи при g:=0) виде, не прибегая к попыткам аналитического исследования, привлечена рассмотренная выше конструкция антенного типа, для которой на основании численных расчётов оценён характер зависимости частот колебаний от g, что в силу (21), (22) позволило также принципиально оценить поведение системы в потоке газа

Для конструкции указанного вида проведены расчёты для первых пяти

як

мод движений, то есть для значений р = — с £ = 1,2,...,5, и значений g из

диапазона от -105 Я до 7-103Н. Во всех рассмотренных случаях получены действительные значения квадратов частот.

При этом, как показывают рис. 5 и 6, для £ < , где g] к 320Я (в том числе, для всех отрицательных g) квадраты всех низких частот <и, (а тем самым и высоких частот ф2) положительны, а для g>g^ квадрат низшей частоты (й)1 при к =1) становится отрицательным.

Это означает, что при g<g, система в каждой моде (при каждом к) испытывает колебательные движения с фиксированными амплитудами, а при g> g¡ колебания на низшей частоте переходят в режим одностороннего экспоненциального отклонения.

Для обтекаемого стержня с «крылышками» это в силу (22) значит, что расположение «крылышек» по ходу потока (с < 0) сохраняет колебательный характер во всех модах (с любыми к) при любых величинах V скоростей обтекания, а для системы с «крылышками» навстречу потоку (с>0)

g = cpV,

(22)

существует критическая скорость

, при приближении к которой

(у—»V,-) колебания с наинизшей частотой (б>, при & = 1) замедляются (<а, —► 0) и при превышении которой (у > V,) переходят в движение одностороннего отклонения экспоненциального характера (г», - чисто мнимое число), что можно характеризовать как явление дивергенции.

Рис. 5.

Зависимость квадрата низшей частоты <», от к (¿ = 1,2,...,5) при g = -100000//,

Рис. 6.

Зависимости квадратов частот о, и аг от § при к = 1,2 в диапазоне 0 < g < 1600Н.

В третьей главе в п. 3.1 предложена модель одномерного континуума Коссера с частично идеально пластической связью: рассматривается система, движения которой описываются уравнениями (4):

— + Г-/иг = 0, + + т + = 0, ^«а.+ т,-М,„_ст-М =0.

к ~ 1 г 5 лс в. 4кя.-*ст, г вкл.

Проводится линеаризация этих уравнений с учётом предположений о малости кинематических характеристик аналогично проделанному в главе 1. Механические свойства системы в отношении растяжения и изгиба несущего стержня, а также взаимного поворота включений принимаются упругими, а в отношении взаимного поворота включений и элементов несущего стержня -идеально жёсткопластическими (типа сухого трения). Для определяющих соотношений примем простейшую форму раздельных зависимостей внутри каждой из указанных энергетически сопряжённых пар обобщённых сил и обобщённых перемещений. Тогда, привлекая классическую теорию растяжения и изгиба тонких стержней, для упругих свойств системы получаем:

Р = (23)

где Е - модуль Юнга материала несущего стержня, ^ и Jceч - площадь и момент инерции поперечного сечения несущего стержня, а константа С -коэффициент жёсткости системы включений.

Идеально жёсткопластические свойства взаимодействия включений с элементами несущего стержня выразим соотношениями:

0, (24)

причём

^ вкл.ст.

где <роти = <реы - <рст = (р>кя---угол относительного поворота включении и

(Их

элемента несущего стержня, причём в случае \Мгкя_^ст\ = Мт!а возможно как движение (фотн * 0), так и покой {фоти = 0). В общем случае равновесия выполнено неравенство (24), величина момента не определена, он

играет роль реакции (подобно поперечной силе О), а тем самым включается в число неизвестных величин, подлежащих определению при решении краевой задачи в целом.

В пп. 3.2 и 3.3 рассмотрены положения равновесия описанной конструкции при статических внешних нагрузках. В этом случае достаточно учитывать лишь соотношение (24). Таким образом, условия (23), (24) составляют полную систему определяющих соотношений краевой задачи статики для рассматриваемой системы. Исследование постановки второй краевой задачи показало, что для существования её решения достаточно

предусмотреть задание лишь пяти из граничных условий, соответствующих следующим пяти заданным величинам: одной из Ра или Р„ одной из (У^ или 0, а также каким-либо трём из Мтй, МтЛ, Мст„ Мва,.

Здесь приняты следующие обозначения:

р(о)=р0, мт.(о)=мстЛ, а/ш.(о)=мш.0,

р(1)=р„ д{1)=ап мст (1)=мст.„

то есть, на конце х = 0 приложены заданные внешние граничные силы и моменты -Р0, -<20, ~Мст0, -Мст0, а на конце х = 1 - силы и моменты

р„ а, мст1, мтГ

Показано также, что строго предельные (то есть, такие, для которых почти во всех точках стержня выполнено тождество Мвп_уст з Мтъх , либо почти во всех точках стержня выполнено тождество Мв1а1^ст =-Мтзх) состояния равновесия единственны (с точностью до жестких движений и поворота всех включений на один и тот же угол).

Даны решения задач о статическом равновесии при отсутствии распределенных внешних нагрузок, а также в случае свободных краев стержня и свободных крайних включений.

В п. 3.4 решена задача о квазистатическом нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня изучаемого типа: пусть имеется оснащённый стержень длины / с частично пластическими свойствами описанной выше структуры, левый конец и крайнее левое включение которого жёстко закреплены, а на правом действует сосредоточенная монотонно возрастающая от исходного нулевого значения сила (().

Полученное решение показывает, что на промежутке времени /е[0,г,],

^ . ч С + Е1 пока Q,(t) не достигнет значения -^ Мтзх, относительный угол

поворота включений и элементов стержня сохраняется равным нулю, а функции абсолютного угла поворота включений и прогиба несущего стержня зависят как от х, так и от времени (то есть, от приложенной силы Q,{t}). Когда же в/(0 достигает критического значения (при / = а также во все последующие моменты времени монотонного возрастания силы, абсолютный угол поворота включений уже не зависит от величины прикладываемой силы, а остаётся постоянным во времени и зависит только от координаты точки стержня, тогда как функция прогиба несущего стержня продолжает меняться как в зависимости от координаты точки, так и в зависимости от £), ^). При этом во все моменты времени во всех точках оснащённого стержня хе(0,/] внутренний момент взаимодействия включений и несущего стержня М<и_от (х,г) остаётся равным своему минимальному значению -А/тах, то есть все состояния равновесия при (> оказываются чисто предельными.

Основные результаты и выводы

1. В работе на основании рассмотрения дискретной модели оснащенного стержня методом механического моделирования с осреднением в длинноволновом приближении построена система уравнений континуальной модели оснащенного стержня в плоских движениях, отвечающая уравнениям одномерного континуума Коссера. Изучены общие свойства упругой континуальной модели при произвольных статических деформациях в отсутствии распределенных внешних нагрузок, выделены случаи безмоментной, несвязанной моделей, а также модели псевдоконтинуума Коссера.

2. В линеаризованной постановке рассмотрены задачи о собственных и вынужденных малых движениях оснащенного стержня. Для поперечных колебаний установлено наличие в каждой моде двух различных форм и частот. Впервые обнаружено явление неустойчивости вынужденных колебаний в виде экспоненциального одностороннего отклонения системы (дивергенция). Построен пример упругой конструкции антенного типа и проведены расчеты, иллюстрирующие общие выводы.

3. Сделано обобщение модели на неупругие свойства — построение методом механического моделирования модели одномерного континуума Коссера с частично пластическими свойствами (связи между включениями и несущим стержнем приняты в виде сухого трения). Выведены уравнения этой модели для малых движений, отмечена неоднозначность решений задач статики в общем случае. Введены понятия предельных и чисто предельных состояний равновесия и показана однозначность решений в чисто предельных состояниях. Рассмотрены конкретные задачи статики и квазистатики.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Иванова О.А. Модель одномерного континуума Коссера. В кн.: Упругость и неупругость. M.: URSS, 2006. С. 139-146.

2. Brovko G.L., Grishayev A.G., Ivanova О.А. Continuum models of discreet heterogeneous structures and saturated porous media: constitutive relations and invariance of internal interactions //Journal of Physics: Conference series. 2007. №62. P. 1-22.

3. Бровко Г.Л., Иванова O.A., Кречко JI.M., Финошкина А.С. Подходы к построению классических и неклассических моделей сплошных сред: аксиоматика и конструктивное моделирование / / Актуальные проблемы

механики сплошной среды. Ереван: Ер. гос. ун-т архитект. и строит., 2007. С. 104-111.

4. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера II Изв, РАН. Механика твёрдого тела. 2008. № 1. С. 22-36.

5. Brovko G.L., Ivanova О.A., Finoshkina A.S. On geometrical and analytical aspects in formulations of problems of classic and non-classic continuum mechanics // Operator Theory: Advances and Applications. Basel/Switzerland: Birkhauser Verlag. 2009. V.191. Pp.51-79.

Подписано в печать 03, 03, ¿0 (О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,2$ Тираж /Л^экз. Заказ /г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение.

В.1. Краткая историческая справка.

В.2. Основные задачи работы.

В.З. Структура и краткое содержание работы.

Глава .1. . Построение модели одномерного континуума Коссера (механическое моделирование).

1.1. Исходная дискретная модель. Уравнения динамического равновесия и определяющие соотношения.

1.2. Вывод уравнений континуальной модели (осреднение в длинноволновом приближении).

1.3. Исследование форм равновесия модели при произвольных деформациях. Интегралы «энергии».

Глава 2. Исследование собственных и вынужденных плоских движений системы при малых деформациях.

2.1. Линеаризация системы уравнений.

2.2. Случай собственных колебаний системы.

2.3. Пример конструкции антенного типа.

2.4. Случай вынужденных движений. Дивергенция.

Глава 3. Исследование плоских движений и форм равновесия континуума с частично идеально пластическими свойствами.

3.1. Постановки краевых задач при малых движениях.

3.2. Предельные формы равновесия.

3.3. Задачи о предельных формах равновесия.

3.3.1. Общий случай отсутствия распределённых нагрузок (вторая краевая задача).

3.3.2. Случай свободных краёв стержня и свободных крайних включений.

3.4. Задача о квазистатическом нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня.

В.1. Краткая историческая справка

В классическом труде по математической теории упругости [30] (Введение и Примечание В) отмечено, что уже в начальный период становления и развития основ механики сплошной среды классики науки уделяли существенное внимание изучению и моделированию микроструктуры деформируемых тел и ее влиянию на свойства сопротивления тел деформированию. Особо выделены подходы, предложенные Пуассоном (S. D. Poisson, 1842), Фойгтом (W. Voigt, 1887) и Кельвином (W. Thomson, 1890), обращающие внимание на возможное наличие структурных элементов, являющихся носителями дополнительных к классическим степеней свободы в виде дополнительных поступательных или вращательных форм движений и соответствующих им внутренних взаимодействий.

Первое строгое математическое воплощение эти идеи получили в классической книге братьев Э. и Ф. Коссера [59], в которой на основе энергетического подхода (использующего «евклидово действие») построены одно-, двух- и трехмерные модели сред неклассического типа, включающие континуально распределенные в теле структурные элементы, обладающие дополнительными вращательными степенями • свободы движений и энергетически соответствующими им внутренними взаимодействиями (выражаемыми тензорами моментных напряжений), чувствительные к внешним объемным и поверхностным воздействиям моментного характера.

Впоследствии теория Коссера получила название моментной теории, а среда — континуум Коссера. Одно-, двух- и трехмерные модели континуумов Коссера обладают специальной структурой, в соответствии с которой точки континуума снабжены направлениями, выражаемыми векторами, называемыми директорами (в оригинальной теории Коссера триэдр векторов). Среда такой структуры носит название ориентированной среды1, а в силу ее способности воспринимать распределенные (внешние и внутренние, массовые и поверхностные) моментные воздействия (помимо силовых) также название полярной (микрополярной), или моментной среды. Теория континуума Коссера с упругими свойствами в силу несимметричности тензора напряжений Коши получила также название теории несимметричной упругости.

В целом работа Коссера явила первый опыт математически строгого подхода к моделированию структуры и свойств микронеоднородной среды.

Однако, несмотря на неугасающий интерес физиков к изучению и моделированию микроструктуры вещества, в том числе деформируемых твердых тел (см., например, указанные в [30] работы М. Борна (М. Вот, 1915, 1923)), теория континуума Коссера не получила достойного признания и в течение более четырех десятков лет оставалась невостребованной.

С практической стороны это может быть объяснено общей направленностью физики и механики в то время на развитие тяжелой промышленности, на решение непосредственных военных задач периода первой и второй мировых войн. С научной точки зрения теория Коссера, представленная в их книге с несомненной элегантностью, строгостью и тщательностью, хотя и оставляла заслуженное впечатление основательности и завершенности, не вполне была понята

1 Как указано в книге [75], П.Нахди отмечал, что понятие ориентированной среды было введено Дюгемом в 1893 году, а братья Коссера были первыми, кто представил систематическое развитие теории для ориентированной среды. 5 современниками. Исследователи и инженеры того времени, допуская гипотетически возможность коссератовского описания тел, скорее всего, не имели достаточного интереса к точной теории конечных деформаций в неклассическом подходе, чтобы следовать многостраничному изложению, изобилующему длинными выкладками в терминах общих понятий. Известные модели классической механики сплошной среды и требуемая точность подтверждающих их экспериментов были вполне удовлетворительны для практических нужд того времени.

О книге братьев Коссера авторы известной работы [79] с нескрываемым сожалением пишут: «Шедевр Коссера стоит как башня в поле. Даже современные воссоздатели механики сплошной среды, будучи осведомлены о нем, не знают его содержание в деталях. Освоив его, они не только сэкономили бы время и усилия для переоткрытий, но и получили бы в руки образцовый метод».

Интерес к теории Коссера и к развитию других неклассических подходов в механике сплошных сред проявился в 50-60-х гг. двадцатого столетия. В работах того времени рассматривались модели несимметричной упругости [4, 38, 72, 77, 80], их обобщения [27, 37, 67, 71, 78], распространение на неупругие среды [18, 60, 61]. В частности, обобщение понятия ориентированной среды [62], предусматривавшее возможность произвольных удлинений и поворотов директоров, было развито в работе [71] до понятия деформируемой микросреды, приписанной (подобно директорам) каждой точке макросреды. Дальнейшее обобщение и продвижение эти вопросы нашли в работах [26, 28,35, 53,63].

Следует отметить, что основное внимание исследователей в этих работах, равно как и в оригинальной работе Коссера уделено теоретической стороне вопроса: основным подходам и понятиям, моделям сред и их структуре, уравнениям баланса, общим формам определяющих соотношений, уравнениям внутренних кинематических связей. Вопросы о физической достоверности этих теорий, о разработке теории эксперимента, а именно, об экспериментальном определении материальных функций и констант, характеризующих конкретные механические свойства моделей, не решаются. Принципиальная необходимость постановки этих вопросов и возможные подходы к их решению обсуждаются лишь в работах [18, 27, 28].

В последние годы в связи с развитием микроэлектронной промышленности, продвижением наук о материалах, развитием нанотехнологий в технике, химической промышленности, биоинженерии резко возрос интерес к неклассическим построениям в механике сплошной среды, причем не только в отношении теоретических моделей, но и в отношении возможных приложений их механических свойств и сопровождающих их механических эффектов.

Среди работ последнего времени по неклассическим моделям часть посвящена развитию теории микронеоднородных (микрополярных, композитных, градиентных) сред [2, 7, 8, 12, 19-21, 23, 26, 29, 32, 33, 36, 39-42, 50-53, 64, 68, 69, 76, 79], сравнению новых моделей с известными. В работе [75] излагается, в частности, обобщенная теория стержней Коссера и показано, что известные модели стержней Эйлера [17, 30, 43, 44] и Тимошенко [46] суть ее специальные случаи, отвечающие определенным видам внутренних кинематических связей. Другая часть работ посвящена разработке методов и построению решений задач [3, 31, 34, 45, 48, 49, 5658,65,66, 74].

Из всего множества выделяются пионерские работы, направленные на экспериментальное определение неклассических свойств реальных тел [22, 24, 25, 70]. Следует также особо отметить работы встречного направления, ориентированные на механическое моделирование и целенаправленное искусственное изготовление неклассических структур коссератовского типа с наперед заданными свойствами. К числу последних относятся работы, выполненные при участии автора [9, 10, 13, 14, 54, 55], непосредственно связанные с тематикой настоящей диссертации.

В.2. Основные задачи работы

Одной из актуальных проблем является технология изготовления материалов и конструктивных элементов (покрытий, пленок, волокон) с наперед заданными механическими свойствами как классического, так и неклассического типов. В связи с этим особую важность приобретает

1) разработка теоретических подходов к конструктивному моделированию материалов и элементов с механическими свойствами определенного типа,

2) оценка и прогнозирование их конкретных механических свойств,

3) выработка возможных рекомендаций по технологии их изготовления.

Имеющиеся модели в области моментных теорий (включая среды типа Коссера, одномерные и двумерные континуумы с моментными свойствами) носят феноменологический характер, оснащаются, как правило, гипотетическими материальными константами, характеризующими неклассические механические свойства, и не затрагивают вопрос о материальной микроструктуре, по существу определяющей особенности неклассических свойств материалов и конструкций (и величины констант). Более того, вопрос о существовании или возможности изготовления материальных элементов с механическими свойствами моментного типа не ставился.

В этом смысле продуктивным представляется подход механического конструктивного) моделирования, предусматривающий учет моделирование) микроструктуры представительного элемента 8 континуума с присущими ему видами движений и взаимодействий, способный дать четкую наглядную интерпретацию материальным константам модели и прогнозировать ее свойства, позволяя тем самым решать поставленные три задачи, связанные с изготовлением материалов и конструктивных элементов с наперед заданными (моментными) свойствами.

В связи с этим целью настоящей работы стало изучение возможности конструктивного моделирования одномерного континуума Коссера, изучение особенностей его форм равновесия, форм собственных и вынужденных движений, выявление новых (в сравнении с классическими теориями) механических эффектов, исследование влияния конструктивных элементов на усредненные свойства модели, оценка возможности управления материальными константами модели (прогнозирования свойств).

Задачи настоящей работы соответственно предусматривали построение модели континуума, изучение его общих свойств, исследование собственных и вынужденных колебаний при малых движениях (линеаризованный случай), их устойчивости, а также изучение особенностей форм равновесия континуума с частично пластическими свойствами (см. ниже п. В.З настоящего Введения).

В исследовании использован метод механического моделирования, принцип виртуальных работ, соотношения классической теории тонких стержней, теории стержней Коссера, известного типа определяющие соотношения свойств упругости и пластичности (сухого трения), известные в механике классических сред подходы к исследованию колебаний и их устойчивости, построен пример конкретной конструкции оснащенного стержня Коссера, наглядно иллюстрирующий полученные теоретические результаты.

В.З. Структура и краткое содержание работы

Работа содержит 89 страниц, 13 рисунков и графиков, и состоит из Введения, трех Глав, Заключения и списка Литературы из 80 наименований.

Во Введении приведена краткая историческая справка о становлении и развитии моментных теорий, представлены задачи настоящей работы и дано краткое описание ее содержания.

В первой Главе рассматривается подход к моделированию одномерного континуума Коссера. Используется предложенный A.A. Ильюшиным метод математического моделирования, состоящий в построении модели конструкции, составленной элементами (ячейками) специального вида, осредненные свойства которой воспроизводят свойства моделируемого континуума. Для дискретной модели выводятся уравнения динамического равновесия в произвольных плоских движениях и приняты определяющие соотношения, выражающие упругие свойства модели. Осреднение этих соотношений в длинноволновом приближении приводит к уравнениям одномерного континуума Коссера. Рассматриваются формы равновесия построенной континуальной модели оснащенного стержня при произвольных (больших) деформациях (произвольных изгибах несущего тонкого стержня и произвольных поворотах включений). Изучаются интегралы «энергии» системы с использованием обобщённой аналогии Кирхгофа.

Во второй Главе в предположении о малости кинематических характеристик конструкции проводится линеаризация системы уравнений.

Изучаются собственные колебания конструкции конечной длины в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях

10 и равенства нулю всех внешних сил и моментов ставится и решается краевая задача о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра (натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой. Рассматривается пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом решается задача о собственных колебаниях такой конструкции. На примере одного из значений параметра моды колебаний выписывается явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары. Изучаются вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях.

В третьей Главе рассматривается случай частично идеально пластической связи - все внутренние взаимодействия, кроме момента воздействия включения на стержень, остаются упругими, на момент же взаимодействия стержня и включения накладывается лишь одно условие: он должен быть по абсолютной величине всегда не больше некоей определенной константы, в остальном его значения произвольны. Это условие носит характер сухого трения (в реальной конструкции это может соответствовать заржавлению креплений между стержнем и включениями). Для этого случая исследуются общие постановки краевых задач статики при малых деформациях, выявляются условия существования решения, устанавливается его неединственность в общем случае и демонстрируется, что чисто предельные состояния равновесия единственны. Рассматривается задача о равномерном нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня такого типа, решение которой показывает, что в каждый момент времени в предположении статики состояние равновесия будет чисто предельным.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в работе.

Заключение

В работе получены следующие результаты.

1. С использованием метода механического моделирования, предложенного A.A. Ильюшиным, в работе построена дискретная модель «оснащенного стержня» следующего вида: тонкий упругий стержень постоянного поперечного сечения с помещенными на его упругой линии через равные расстояния жесткими массивными дисками, способными вращаться в плоскости изгиба стержня вокруг своих осей симметрии, жестко закрепленных на стержне и перпендикулярных плоскости его изгиба. Диски расположены в плоскости изгиба стержня, кручение стержня отсутствует. Повороты дисков относительно упругой линии стержня регулируются упругими шарнирами. Диски предполагаются связанными друг с другом (с ближайшими соседями с обеих сторон) одинаковыми ременными передачами, обеспечивающими сопротивление относительному повороту охваченных ими соседних дисков.

Для дискретной модели выведены уравнения динамического равновесия в произвольных плоских движениях и приняты определяющие соотношения, выражающие упругие свойства модели. Осреднение этих соотношений в длинноволновом приближении приводит к уравнениям одномерного континуума Коссера.

Рассмотрены формы равновесия построенной континуальной модели оснащенного стержня при произвольных (больших) деформациях (произвольных изгибах несущего тонкого стержня и произвольных поворотах включений). Найдены интегралы «энергии» системы с использованием обобщённой аналогии Кирхгофа. Установлено, что псевдоконтинуум Коссера (абсолютные углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) ведёт себя аналогично упругому стержню с более высокой жёсткостью на изгиб, причём жёсткость конструкции может быть предсказана.

2. В предположении о малости кинематических характеристик конструкции (то есть, система испытывает малые движения, сопровождающиеся малыми перемещениями в направлении координатных осей, малыми относительными удлинения и малыми углами поворота элементов стержня; также диапазоны изменения величин относительного удлинения, изгиба стержня, углов относительного поворота включений и скорости изменения абсолютных углов поворотов включений считаются достаточно малыми, чтобы механические свойства системы могли быть представлены линейными соотношениями упругости) проведена линеаризация системы уравнений. Показано, что в случаях т.н. «несвязанной» модели (включения и стержень не взаимодействуют друг с другом) и псевдоконтинуума Коссера (углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) уравнения движения конструкции совпадают с известными уравнениями теории изгиба тонких стержней. Также показано, что одно из этих уравнений не связано с остальными и является уравнением, описывающим продольные движения стержня (колебания, распространения продольных волн с известной скоростью).

Изучены собственные колебания конструкции конечной длины в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях и равенства нулю всех внешних сил и моментов дана постановка и найдено общее решение краевой задачи о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой.

Рассмотрен пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом получено решение задачи о собственных колебаниях такой конструкции. Приведены графики зависимости частот собственных колебаний от параметра моды (для каждой из двух форм собственных колебаний). На примере одного из значений параметра моды колебаний выписан явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары: первая форма колебаний (с более низкой частотой) соответствует прогибам несущего стержня, при которых повороты его элементов «сопутствуют» (совпадают по знаку) поворотам поперечных стержней-включений и даже превосходят их, вторая форма (с более высокой частотой) соответствует «встречным» (противоположным по знаку) поворотам элементов несущего стержня и стержней-включений. Можно сказать, что при колебаниях с низкой частотой включения содействуют изгибу несущего стержня, а при колебаниях с высокой частотой включения препятствуют изгибу несущего стержня.

Изучены вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях. Моделируется такой вид воздействий следующим образом: предполагается, что к каждому диску приделан стержень, длина которого мала по сравнению с длиной конструкции, но велика по сравнению с диаметром включений. Эти дополнительные стержни перпендикулярны основному стержню, находятся в плоскости его изгиба, и все смотрят в одну сторону. При этом подразумевается, что с другой стороны диска имеется некий противовес, такой, что в отсутствие внешних сил и моментов диск находится в равновесии, и рассматривается обтекание конструкции перпендикулярным несущему стержню потоком газа в плоскости изгиба стержня. При граничных условиях, аналогичных поставленным для задачи о собственных колебаниях, установлено, что в случае т.н. «попутного» обтекания (вспомогательные стержни расположены по ходу потока) движения сохраняют колебательный характер во всех модах при любых скоростях обтекания. В случае же т.н. «противоположно направленного» потока (вспомогательные стержни расположены против потока) существует критическая скорость, при превышении которой колебания конструкции переходят в движение одностороннего отклонения экспоненциального во времени характера, что можно характеризовать как явление дивергенции.

3. Построена модель оснащенного стержня с частично идеально пластическими свойствами - все внутренние взаимодействия, кроме момента воздействия включения на стержень, остаются упругими, на момент же взаимодействия стержня и включения накладывается лишь одно условие: он должен быть по абсолютной величине всегда не больше некоей определенной константы, причем при наличии проскальзывания включения относительно стержня — по модулю строго равен этой константе (в остальном его значения произвольны). Это условие носит характер сухого трения (в реальной конструкции это может соответствовать заржавлению креплений между стержнем и включениями).

Для этого случая исследованы общие постановки краевых задач статики при малых деформациях, выявлены условия существования решения, установлена его неединственность в общем случае. Введены понятия предельных и чисто предельных форм равновесия, и показано, что чисто предельные состояния равновесия единственны. Рассмотрены конкретные задачи статики, а также задача о квазистатическом нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня такого типа, решение которой показывает, что в каждый момент времени в предположении статики состояние равновесия будет чисто предельным.

Таким образом, в работе установлено, что существует принципиальная возможность конструктивного моделирования сред Коссера, и поведение ряда существующих конструкций в осреднённом смысле может быть описано уравнениями движения среды Коссера. Примененный метод конструктивного моделирования демонстрирует возможность реального изготовления (в лабораторных или промышленных условиях) конструктивных элементов в виде оснащенных стержней со свойствами одномерного континуума Коссера. Выявленные механические эффекты (поведение псевдоконтинуума как обычного гибкого стержня с большей жесткостью, двойственность форм и частот собственных колебаний в каждой моде, явление дивергенции в режимах вынужденных движений, особенности форм равновесия стержней с частично пластическими свойствами) показывают, что одномерный континуум рассматриваемого типа обладает рядом интересных свойств, обусловливающих перспективность дальнейшего изучения сред подобного типа.

1.Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.

2. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. Ереван: Изд-во HAH Армении, 1999. 214 с.

3. Атоян A.A., Саркисян С.О. Изучение свободных колебаний микрополярных упругих тонких пластин // HAH Армении. Доклады. 2004. Т. 104. № 4. С. 287-294.

4. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2. Вып. 7. С. 1399-1409.

5. Березкин E.H. Курс теоретической механики. М.: Изд-во МГУ, 1974.646 с.

6. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представленияопределяющих соотношений деформируемых сред // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 814-824.

7. Бровко Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1996. №5. С.55-63.

8. Бровко Г.Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера. // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. №1. С. 75-91.

9. Бровко Г.Л., Иванова O.A. Моделирование свойств и движенийнеоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2008. № 1. С. 2236.

10. П.Бровко Г. Л., Ильюшин A.A. Об одной плоской модели перфорированных плит. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1993. № 2. С. 83-91.

11. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости // Изв. РАН. МТТ. 1999. N№ 1.С. 46-53.

12. Иванова O.A. Модель одномерного континуума Коссера. В кн.: Упругость и неупругость. M.: URSS, 2006. С. 139-146.

13. Иванова O.A. О предельных формах равновесия модели одномерного континуума Коссера с пластическими свойствами // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. (в печати).

14. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.

15. Ильюшин A.A. Функционалы и меры необратимости на множествах процессов в механике сплошной среды (МСС) // Докл. РАН. 1994. Т. 337. № 1. С. 48-50.

16. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 372 с.

17. Ильюшин A.A., Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 54-60.

18. Ильюшина Е.А. Вариант моментной теории упругости для одномерной сплошной среды неоднородной периодической структуры // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. Вып. 6. С. 1086-1093.

19. Ильюшина Е.А. Колебания кусочно-однородной упругой среды с плоскопараллельными границами раздела // Механика полимеров. 1976. №4. С. 687-692.

20. Ильюшина Е.А., Короткина М.Р., Куренков В.Ю. Построение дисперсионных кривых для сред периодической структуры. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1996. № 5. С. 46-49.

21. Индейцев Д.А., Семенов Б.Н. Динамические эффекты в материале при его структурно-фазовых превращениях. В кн.: Актуальные проблемы механики сплошной среды. Ереван: Ер. гос. ун-т архитект. и строит., 2007. С. 196-199.

22. Козицын A.C., Шмаков А.П. Определяющие соотношения несимметричной теории упругости при наличии внешних полей и функция Эри. Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 2000. №3. С.32-35.

23. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера //Прикл. мех. и техн. физика. 2007. Т.48. №1. С. 143-150.

24. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера. // Прикл. мех. и техн. физика. 2005. Т.46. №4. С. 116-124.

25. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 415 с.

26. Ломакин В.А. Вопросы обобщённой моментной теории упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1967. № 1. С. 82-88.

27. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 140 с.

28. Лурье С.А., Белов П.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: среды Коссера и Аэро— Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием» // Современные проблемы механики гетерогенных сред. ИПРИМ РАН, 2005. С. 235-267.

29. Ляв А. Математическая теория упругости. М.—Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.

30. Мартынова Е.Д. Определение статических и динамических осредненных характеристик периодических упругих каркасов. В кн.: Упругость и неупругость. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 155-162.

31. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005. 550 с.

32. Молодцов И.Н. Вариант линейной несимметричной теории упругости. Вестник МЭИ. 1998. №4. С.66-71

33. Мутафян М.Н., Саркисян С.О. Асимптотические решения краевых задач тонкого прямоугольника по несимметричной теории упругости // Изв. HAH Армении. Механика. 2004. Т. 57. № 1. С. 4158.

34. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

35. Зб.Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Динамическаякалибровка диссипации в композитных нелокальных средах. Механ. композит, материалов. №2. 1985. С.217-224.

36. Пальмов В.А. Об одной модели среды сложной структуры// ПММ. 1969. Вып. 4. С. 768-773.

37. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости//ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

38. Победря Б.Е. К теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела. В кн.: Упругость и неупругость. 4.1. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993. С. 119-127.

39. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 336 с.

40. Победря Б.Е. Элементы структурной механики деформируемого твердого тела // Математическое моделирование систем и процессов. Пермь: ПГТУ, 1996. № 4. С. 66-74.

41. Подстригач Я. С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985. 200 с.

42. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.

43. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

44. Саркисян С.О. Тонкие балки на основе несимметричной теории упругости// Проблемы механики деформируемого твёрдого тела. Ереван: 2007. С. 177-183.

45. Тимошенко С.П„ Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.

46. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

47. Угодчиков А.Г. О корректности уравнений динамики деформируемого твердого тела // Прикладн. пробл. прочн. и пластичн. Вып. 44. Методы решения. Горький, 1990. С. 4-11.

48. Угодчиков А.Г. Об уравнениях динамики деформируемого твердого тела. ДАН СССР. 1991. Т. 317. № 4. С. 859-863.

49. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.

50. Шмаков А.П., Козицын А.С. Влияние электромагнитных полей на несимметрию тензора напряжений. В кн. Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С.326-328.

51. Шоркин B.C. Модель сплошной упругой среды, основанная на представлении о дальнодействующем потенциальном взаимодействии ее частиц. В кн.: Упругость и неупругость. Под ред. И.А.Кийко, Р.А.Васина, Г.Л.Бровко. М.: URSS, 2006. С. 271-282.

52. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости// Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 646-751.

53. Brovko G.L., Grishayev A.G., Ivanova О.А. Continuum models of discreet heterogeneous structures and saturated porous media: constitutive relations and invariance of internal interactions // Journal of Physics: Conference series. 2007. № 62. P. 1-22.

54. Burton D.A. Wake Oscillator models and Cosserat rods. Preprint. Lancaster University, 2000.

55. Cao D.Q., Tucker R.W., Wang C. Natural frequency and mode shape analysis for a Cosserat model of a cable-stayed bridge. Preprint. Lancaster University, 2000.

56. Chroscielewski J., Makowski J., Pietraszkiewicz W. Statyka i dynamika powlok wieloplatowych. Warszawa: Wydawnictwolnstytutu Podstawowych Problemow Techniki PAN, 2004. 612 pp.

57. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Hermann, 1909.

58. Ericksen J.L. Anisotropic fluids. Arch. Rat. Mech. Anal. 4. 1959/60. Pp. 231-237.

59. Ericksen J.L. Conservation laws for liquid crystals. Trans. Soc. Rheol. 5. 1961. Pp. 23-24.

60. Ericksen J.L., Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells. Arch. Rat. Mech. Anal. 1. 1958. Pp. 296-323.

61. Eringen A.C. Mechanics of continua. New York: John Wiley & Sons, 1967.

62. Forest S., Cailletaud G., Sievert R. A Cosserat theory for elastoviscoplastic single crystals at finite deformation // Archives of Mechanics. 1997. Vol. 49. Issue 4. P. 705-736.

63. Gould T., Burton D.A. A Cosserat rod model with microstructure// New Journal of Physics. 2006. Vol. 8. P. 137-153.

64. Gratus J., Tucker R.W. The dynamic of Cosserat nets. Preprint. Lancaster University, 2001.

65. Green A.E. Micro-materials and multipolar continuum mechanics// Intern. J. Eng. Sci. 1965. V.3. N 5. P. 533-537.

66. Green A.E., Naghdi P.M. A thermomechanical theory of a Cosserat point with application to composite materials. Q. J. Mech. Appl. Math. 1991. V. 44. Pt. 3.Pp. 335-355.

67. Green A.E., Naghdi P.M. A unified procedure for construction of theories of deformable media // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1995. V. 448. N 1934. I. Classical continuum physics. P. 335-356. II. Generalized continua. P. 357-377.

68. Lakes R. Experimental methods for study of cosserat elastic solids and other generalized elastic continua. Continuum models for materials withmicro-structure. Ed. H. Muhlhaus. New York Chicago: John Wiley, 1995. Pp. 1-22.

69. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Archive of Rational Mechanics and Analysis. 1964. № l.P. 51-78.

70. Rubin M.B. Cosserat theories: shells, rods and points. Ser. Solid mechanics and its application. Ed. G.M.L. Gladwell. Vol. 79. Dordrecht Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2000. 480 pp.

71. Rymarz Cz. Mechanika osrodkow ci^gfych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993. 515 pp.

72. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 11. N5. P. 385-414.

73. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress. Arch. Rat. Mech. Anal. 17. 1964. Pp. 85-112.

74. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Third edition. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2004. 602 pp. (+XXIX)

75. Truesdell C., Toupin R.A. The classical field theories // Handbuch der physics. Berlin: Springer, 1960. V. 3/1. S.226-793.