Механизм экранирования заряда и свойства физических состояний в двумерной электродинамике безмассовых фермионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ В ДВУМЕРНОЙ БЕЗМАССОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ.

1.1. Оператор эволюции 2 (Т) в кулоновской калибровке.

1.2. Вычисление интеграла по ферми-полям

1.3. Окончательное выражение для оператора эволюции.

1.4. Спектр и кварковая структура возбуждений в модели Швингера

ГЛАВА 2. КВАРКОВАЯ СТРУКТУРА ВАКУУМНЫХ СОСТОЯНИЙ В КЭД

2.1. Вакуумное состояние с (3=К=0 в модели Швингера

2.2. Киральные и заряженные вакуумы в модели Швингера.

2.3. Вакуумные состояния модели с несколькими сортами кварков.

ГЛАВА 3. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ КЭД2 И МЕТОД Б ОЗОНИЗАЦИИ

3.1. Бозонизация двумерных моделей и возбужденные состояния модели Швингера

3.2. Возбужденные состояния КЭД2 с несколькими флэйворами.

3.3. Механизм исчезновения К и Ь зарядов в модели с несколькими сортами кварков.

ГЛАВА 4. КОНФИГУРАЦИИ Э.М.ПОЛЕЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ

ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗАРЯДА И НЕВЫЛЕТАНИЕ В КЭД2. . 89 4.1. Классификация и свойства полей с £) (А)=

4.2. Физическая роль полей с (А) = 0 в КЭД^

ГЛАВА 5. ПРОЦЕСС е+е" - АННИГИЛЯЦИИ В КЭД2.

5.1. Роль полей с £&(А) = 0 в процессе е+е~-анни-гиляции в КЭД2.

5.2. Процесс адронизации в КЭД£.

В настоящее время единственным кандидатом на роль теории, описывающей сильные взаимодействия, является квантовая хромодина-мика (КХД) /1,2/. Эта теория достигла больших успехов при рассмотрении "микроскопических" свойств адронов при больших энергиях (см. например /3-5/). Успехи КХД связаны главным образом с тем, что эффективная константа связи в ней убывает на малых расстояниях /6/ и поэтому там можно использовать теорию возмущений. На больших расстояниях оС5 становится большой и требуется выход за рамки теории возмущений. В последние годы был развит ряд таких методов (упомянем, например, подход, основанный на решеточной формулировке КХД /7-9/, использование правил сумм КХД /10,11/, разложение по числу цветов /12-14/ и т.д.) и найден ряд нетривиальных свойств этой теории /15-18/. Однако, до сих пор, большое число основных проявлений КХД, связанных с физикой больших расстояний (и в особенности с явлением конфайнмента) остаются непонятыми до конца. В этих условиях становятся актуальными сравнительно простые модели, которые воспроизводят те или иные черты КХД, но в которых соответствующие явления могут быть детально изучены (см.например /19-22/). Наиболее простой из них (и первой по времени открытия) остается квантовая электродинамика безмассовых электронов (кварков) в двумерном пространстве-времени (КЭД£) /23/.

Несмотря на простоту КЭД^ (модель - точно решаема /24/) аналогия между ней и КХД оказывается достаточно глубокой. Прежде всего, в модели реализуется невылетание электрического заряда (играющего в КЭД2 роль цвета в КХД) и других квантовых чисел. Этот факт был продемонстрирован еще Швингером /23/ и доказан строго на основе точного операторного решения модели в работе /24/. Физические аспекты этого явления и его возможная связь с конфайнментом в КХД обсуждалась в работах /25-27/.

Подобно КХД модель содержит киральный конденсат /24/, механизм образования которого рассматривался в /28,29/. В настоящее время известно, что киральный конденсат в КХД /30/ играет весьма важную роль в образовании свойств адронов /10,31-32/. Проблема получения ненулевого значения кирального конденсата (в пределе безмассовых кварков) остается одной из центральных в КХД.

В связи с выпадением кирального конденсата в КЭД2, так же как и в КХД возникает 1Г(1) -проблема /33/. Способы ее решения основанные на аномалии Адлера-Белла-Джакива (АБД) /34, 35/ и использующие, как известно (см. /36/ и обзор /37/) весьма нетривиальные свойства вакуумных состояний (конденсат топологического заряда, 9 -вакуум, необходимость существования духового полюса среди состояний теории) практически совпадают в обеих теориях. Отметим, что первые работы по 1/(1)-проблеме при ее решении в КХД /38/ прямо апеллировали к аналогии с КЭД2»

Наконец, оказываются очень близкими и некоторые свойства физических процессов в КЭД2 и КХД. К сожалению, в КЭД2 существует только один такой процесс, который является аналогом процесса е+е~ - аннигиляции в адроны /39/. В этом процессе воспроизводятся такие важные, экспериментально наблюдаемые свойства как: "мягкий конфайнмент" /40/ (несмотря на исходный линейный потенциал, действующий между кварками), независимость струй, различие времен экранировки заряда (цвета) и адронизации, партонная модель /39/, рождение последними наиболее быстрых адронов (см. /25,26/ и ссылки там) и т.д.

Из сказанного ясно, что свойства КЭД2 действительно во многом напоминают основные черты КХД. В то же время в КЭД£ эти свойства могут быть изучены и поняты до конца, поскольку модель является точно решаемой. Поскольку в КХД в ряде случаев механизм их возникновения неизвестен, изучение его в КЭД£ представляется актуальной задачей.

Это обстоятельство вызвало появление большого количества работ по данной теме. С тех пор как модель была открыта Швингером в 1962 г. /23/ и решена им методом функциональных уравнений (уравнений Швингера), КЭД^ исследовалась с разнообразных точек зрения. Операторное решение в инвариантной калибровке в формализме Гупты-Блейера /41/ было построено в работе /24/. Физическая интерпретация этого решения и его связь с проблемой обесцвечивания и конфай-нмента в КХД была указана в работах Кошера, Когута и Зускинда /25, 26/. Картина процесса е+е~ - аннигиляции в квазиклассическом подходе и его аналогия с соответствующим процессом в КХД была установлена ь /26/. Дальнейшее обсуждение этого процесса можно найти,например, в работе /42-45/ (см.также /22/). Исследование процесса е+е~ - аннигиляции в простых обобщениях КЭД£ (например в КЭД£ с добавочным векторным бозоном) было проведено в /27/. С диаграммной точки зрения модель изучалась, например, в работах /46,47/. Связь 1Г(1) проблемы в КЭД2 и соответствующей проблемы в КХД была указана в /38/. Связь кирального конденсата с проблемой обесцвечивания и конфайнмента в КЭД£ впервые обсуждалась в работе /48/.

В работе /49/ модель Швингера рассматривалась при конечной температуре и плотности и было показано, что переход при температуре Т-*оо отвечает фазовому переходу к состоянию в котором кон-файнмент заряда отсутствует. Как известно /50/,решеточные вычисления показывают, что аналогичный вывод справедлив и в КХД.Далее,модель Швингера послужила объектом для целого ряда решеточных исследований, из которых упомянем лишь /51-52/. Именно в этой модели были проверены те методы с помощью которых теперь проводятся вычисления с фермионами в решеточной версии КХД (см.например /53/).

С точки зрения евклидова функционального интеграла модель Швингера обсуждалась впервые в /54/• В этой работе была указана связь конфайнмента в КЭД2 с так называемыми С-инстантонами (псевдочастицами с полуцелым топологическим зарядом - двумерный аналог меронов), введенными ранее в /55/. Далее, в работе /56/ было показано, что сумма по инстантонному газу в КЭД2 правильно воспроизводит все калибровочно инваринатные корреляторы модели. Аналогичная гипотеза в КХД продолжает обсуждаться (см.например /57/ и ссылки там). Связь структуры вакуумов в КЭД2 с нетривиальными калибровочными преобразованиями в этой теории рассматривалась впервые в /55/ и исследовалась далее в работах /58,59/. (Обсуждение аналогичных вопросов в КХД можно найти в ряде работ, упомянем например /60/ и /17/). В /59/ обсуждалось также возможное несохранение фермионно-го числа в КЭД2, а в /61/ на основе развитых там методов - несохранение барионного заряда в реалистической теории.

Миогофлэйворный вариант КЭД2 рассматривался впервые в работе /62/. Ее спектр и свойства возникающих в этой модели киральных конденсатов изучались в /63/ методом, использованным ранее в /24/. Обобщение этой задачи на массивный случай и обсуждение вопросов нарушения флэйворной симметрии можно найти также и в /64,65/.

Список работ, исследующих КЭД2 нетрудно продолжить, но мы ограничимся уже приведенными ссылками.

Целью диссертации было последовательное изучение свойств КЭД2 с кварковой точки зрения и выяснение роли этих свойств в общем мбханизме конфайнмента, действующем в этой модели. Дело в том, что большинство работ по КЭД£ используют подход, основанный на так называемой "бозонизационной" процедуре /66,67/, которая использует как бы непосредственно "адронное" представление для изучаемых величин. Между тем КХД, аналогию с которой мы ищем в КЭД£ формулируется именно в терминах кварков (и глюонов), и выяснение квар-ковой структуры адронов является само по себе весьма сложной проблемой. Поэтому формулировка основных свойств КЭД£ в терминах кварков представляется интересной /68/.

Механизм невылетания я КЭД^ исследовался в ряде работ. Как утверждается в /63,69-70/ этот механизм аналогичен хорошо известному механизму Хиггса /71/, который не способен обеспечить невылетание триальности в реалистической теории. Действительно, как мы увидим ниже, многие черты этого механизма напоминают механизм Хиггса. Однако, по существу, между ними есть принципиальная разница. Прежде всего (как будет показано в диссертации, см.главу 2) в вакууме теории отсутствует какой-либо заряженный конденсат и, следовательно, заряд здесь точно и локально сохраняется, а калибровочная инвариантность спонтанно не нарушена. Возбуждения ("ад-роны") являются в КЭД^ связанными состояниями определенного числа кварков и антикварков; их волновые функции - собственные функции оператора заряда (и других квантовых чисел) с собственным значением, равным нулю. Иначе говоря, экранировка заряда в КЭД^ является точной, а не статистической (в среднем) как это бывает,когда действует механизм Хиггса. Именно такой, как мы ожидаем, должна быть экранировка цвета в КХД.

Как будет показано в диссертации в КЭД£ действует другой механизм обесцвечивания и невылетания, связанный с поляризацией вакуума безмассовых кварков и основанный на полях, обращающих в нуль кварковый детерминант ¿0 (А) для системы фермионов во внешнем поле. Эти поля определяют все характерные свойства моделей КЭД^. Условно их можно разбить на два класса.

Поля первого типа (класса А) запрещают в КЭД2 рождение заряженных (цветных) состояний и обеспечивают локальную экранировку введенных в теорию локальных зарядов. Во всякой теории с невылетанием амплитуда вероятности обнаружить кварк на больших расстояниях от антикварка должна быстро падать с ростом расстояния между ними /7/. Как будет показано в диссертации (глава Ч) в КЭД^ это падение связано с тем, что самосогласованное (с учетом поляризации вакуума) поле кварка является полем класса А и, следовательно, кварковый детерминант &(А) для него обращается в нуль. Поэтому оказывается равной нулю и искомая вероятность, которая как мы увидим пропорциональна квадрату модуля 2) (А). Этот механизм представляется единственным способом, с помощью которого поляризация вакуума безмассовых кварков может запретить существование в теории заряженных частиц. Для этого поля, отвечающие каждой заряженной конфигурации должны обращать в нуль кварковый детерминант (А), поскольку как это хорошо известно, именно <Э(А) описывает эффекты поляризации вакуума. В такой простой теории как КЭД^ этот факт может быть прослежен для любой конфигурации (см.главу 4).

Поля класса А не только запрещают рождение заряженных частиц, но и обеспечивают экранировку зарядов, введенных в теорию извне. Поля, обращающие в нуль кварковый детерминант, приводят к обязательному рождению новых кварковых пар. Действительно, для данного поля Ю (А) представляет собой амплитуду вероятности не родить не одну пару. Вновь рождаемые пары образуют заряд экранировки в КЭД2

Если же заряд не будет заэкранирован, то новая конфигурация зарядов вновь создаст поле класса А и процесс повторяется.

Поля класса А являются с точки зрения функционального интеграла, полями "нормального" порядка величины. Они хорошо убывают с расстоянием (как I /X/) и действие на них оказывается конечным. Это также есть прямое следствие того факта, что поляризация вакуума уже привела к экранировке исходного (линейно растущего) куло-новского потенциала, действующего между кварками. Здесь уместно сделать следующее замечание.

Ряд исследований /7,8/ связывают конфайнмент кварков в КХД с линейным потенциалом, действующим между статическими кварками, введенными в вакуум чистой глюодинамики. В этом смысле в КЭД£ без кварков конфайнмент задан линейным ростом кулоновского потенциала^ . Однако, с введением в КХД легких кварков ситуация кардинально меняется. Здесь, как и в КЭД£, поляризация вакуума кварков должна заэкранировать линейный потенциал чистой глюодинамики (струна между кварками рвется, рождая кварковые пары). Поэтому цветные поля приводящие в чистой глюодинамике к явлению невылетания, в КХД с легкими кварками могут почти не проявляться, а специфика этой теории может определяться совсем другими конфигурациями полей. Аналогия с КЭД^ указывает, что такими полями могли бы быть поля, обращающие в нуль кварковый детерминант.

Важную роль в КЭД£ играет также другой класс полей (поля класса В), которые также обращают в нуль кварковый детерминант,но которые убывают с расстоянием быстрее, чем 1/х. Эти поля характе

Ряд авторов /63,69-70/ рассматривают КЭД2 с кварками как аналог чистой глюодинамики. Эта аналогия основана на различном характере экранировки в КЭДо целых и дробных зарядов и имеет место, как известно /70/, только для случая массивных кварков. ризуютоя ненулевым значением двумерного аналога топологического заряда. /60/:

От =

- Эти поля управляют киральными свойствами моделей КЭД2. Свойства процессов, происходящих в этих полях тесно связаны с аномалией Ддлера-Белла-Джакива /34,35/. Благодаря аномалии в полях с ненулевым топологическим зарядом происходит обязательное рождение И и Ь зарядов, хотя исходное взаимодействие (э.м.) сохраняет правый и левый заряд по отдельности. Интерпретация этого явления в кулонов-ской калибровке*^ рассмотрена в диссертации. Прежде всего в КЭД^ поля о ненулевым топологическим зарядом являются обязательно полями класса В, т.е. обращают в нуль кварковый детерминант и следовательно приводят к обязательному рождению дополнительных кварковых пар. Далее, оказывается, что в таких полях пары К и и кварков обладают весьма несимметричным распределением по импульсам. Именно, если От целое число, то (при 0Т">0) рождается не меньше Ог пар

К и I кварков и антикварков,причем 0Т I?-кварков (антикварков при &,.<()) и столько же ¿.-антикварков (кварков) несут очень малые импульсы, стремящиеся к нулю когда объем системы стремится к бесконечности. Эти кварки не учитываются при рассмотрении локальных величин (таких как плотность К и I зарядов) отчего и возникает видимое несохранение правого и левого зарядов.

Оба вида кварков, рождаемых полями В, играют важную роль. Кварки с малыми импульсами С и ^ пары) образуют киральный конденсат модели. При этом процессы, происходящие в полях класса

В инвариантной калибровке возникает несколько иная интерпретация того же самого явления (см./72/).

В во взаимодействующей теории могут быть описаны как вынужденные переходы в киральные вакуумы модели с обязательным рождением локального Я и Ь зарядов. Локальные же Я и Ь заряды в физических процессах образуют заряд экранировки, причем экранируются не только полный заряд, но и правый и левый заряд кварка по отдельности. После этого взаимодействие нейтральных по всем квантовым числам "адронов" КЭД2 с вакуумом модели отключается и их киральность оказывается сохраняющейся величиной; несмотря на присутствие кираль-ного конденсата.

Поля класса В определяют свойства физических процессов,таких как процесс е+е~ - аннигиляции. (Поля класса А проявляются только при рассмотрении задачи экранировки). Именно специфика процессов, происходящих в этих полях приводит к таким привлекательным свойствам этого процесса в КЭД^ как различие времен экранировки и адро-низацми, независимость струй и "мягкий" конфайнмент (см.ниже).Механизм невылетания, основанный на полях, обращающих в нуль кварко-вый детерминант кажется не связанным непосредственно с двумерным характером теории и возможно, обобщается на более реалистическую ситуацию. В принципе, он способен также обеспечить и невылетание триальности.

Диссертация построена следующим образом. В первых главах (главы 1-3) изучается кварковая структура физических состояний с точки зрения необходимых для механизма невылетания свойств, а в главе 4 демонстрируется как работает в КЭД£ механизм невылетания, основанный на полях с ЙКА)=0, и как эти поля обеспечивают требуемую квар-ковую структуру состояний. В главе 5 рассмотрен процесс е+е~ -аннигиляции и на основе результатов глав 1-4 обсуждается каким образом заданная кварковая структура состояний и действующий в КЭД^ механизм невылетания определяют те свойства этого процесса, которые приближают его к реалистической теории.

Для того, чтобы определить кварковую структуру состояний КЭД2 в диссертации строится оператор эволюции £ (Т) при конечном времени Т. Как известно /73/, этот оператор есть сумма по всем состояниям теории и может быть построен в любом представлении, в том числе и кварковом. Он зависит от операторов рождения и уничтожения, кварков и антикварков, отвечающих "координатам" волновой функции в начальном и конечном состояниях. Представляя &(Т) в виде, в котором операторы рождения и уничтожения факторизованы друг от друга, можно решить задачу о построении волновой функции системы в кварковом представлении.

В калибровочной теории (как КЭД2) среди состояний теории следует выделить физические, т.е. только те, которые удовлетворяют дополнительному условию выражающему собой закон Гаусса. Соответствующая процедура ведет, как известно /74/, к переходу в кулонов-скую калибровку, которую для случая КЭД2 надо, однако, доопределить. Это построение представляется необходимым, так как в литературе /24,63/ имеются утверждения, что кулоновская калибровка в КЭД2 содержит ряд паталогий, делающих ее бессмысленной. Построение выполненное в главе I, показывает, что физическая часть оператора эволюции в кулоновской калибровке свободна от этих трудностей. Вместе с тем кулоновская калибровка играет в КЭД2 (как и в любой другой теории) выделенную роль, поскольку в ней исключены нефизические степени свободы (так, в двумерном пространстве-времени физическая часть оператора эволюции не зависит вовсе от продольных компонент А0 и А| э.м. потенциала). Все результаты,относящиеся к физическим величинам в этой калибровке являются калибровочно инвариантными и имеют наглядную интерпретацию*-^. Поэтому на протяжении глав 1-5 мы используем кулоновскую калибровку и лишь в Приложении для сравнения показано как действует механизм невылетания в инвариантной калибровке на примере процесса е+е~" - аннигиляции с диаграммной точки зрения (изучается механизм сокращения кварковых сингулярностей).

Оператор эволюции £(Т) в главе I строится для двух вариантов КЭД2*. КЭД2 с одним электроном (модель Швингера /23/) и КЭД£ с несколькими типами (флэйворами) электронов /62/. Сравнение двух вариантов КЭД£ проводится на протяжении всей диссертации и позволяет прояснить многие черты действующего здесь механизма невылетания.

Для того, чтобы вычислить оператор эволюции £ (Т) необходимо прежде всего построить оператор эволюции для задачи во внешнем поле, т.е. вычислить кварковый детерминант «й (А) при конечном времени Т и функции Грина С (*,*") в заданном внешнем поле. Обычно используемая процедура определения 8)(А) (при ) наталкивается на неопределенность /26/, связанную с ультрафиолетовой расходимостью единственной диаграммы в КЭД-,, определяющей в этой теории поляризацию вакуума /26,46/. Обычно эту диаграмму доопределяют исходя из требования калиброванной инвариантности. Как показано, однако, в главе 2 вычисление оператора эволюции в терминах кварков и антикварков дает однозначное (и калибровочно-инвариант-ное) определение для «£) (А) и одновременно правильно доопреде

Между тем, большинство работ по КЭД? используют инвариантную (лоренцеву) калибровку, что затрудняет интерпретацию получаемых в них результатов. Вычисление средних по вакууму - одновременных функций Грина (например < ) требует в других калибровках построения калибровочно инвариантных объектов ^в данном случае оператора "со струной" ( Ч/*(х) ехр^*} д е|х ляет швингеровскую (в коммутаторе двух токов) и адлеровскую /34/ аномалии.

Дальнейшее вычисление (Т) сводится к интегрированию по потенциалу А0 с весом, отвечающим действию э.м. поля. Соответствующий интеграл в КЭД£ оказывается гауссовым, что позволяет провести интегрирование до конца. Одновременно находятся перевальные поля, определяющие все последующие свойства состояний. Это - поля А- и Б-типа, обсуждение роли которых в КЭД£ проводится ниже.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации было показано, что невылетание заряженных состояний в КЭД2 обеспечивается полями, которые обращают в нуль квар-ковый детерминант. Эти поля определяют основные свойства моделей КЭД£: I) экранировку заряда (цвета), 2) невылетание квантовых чисел кварков.в КЭД^ с несколькими флэйворами, 3) существование или отсутствие кирального конденсата и решение Т7(1) - проблемы, 4) приводят к "мягкому обесцвечиванию" в процессе е+е~- аннигиляции. Хотя, в КЭД£, конфайнмент кварков задан линейным ростом куло-новского потенциала, не исключено, тем не менее, что механизм невылетания, основанный на полях &(А)=0, не специфичен только для двумерного пространства-времени. Однако, в настоящее время неизвестно, играют ли поля с подобными свойствами существенную роль в КХД, в четырех измерениях. Все же хотелось бы отметить, что механизм, аналогичный рассмотренному выше, мог бы и в КХД привести к картине, близкой к ожидаемой.

Действительно, известно, что уже вклад простейших конфигураций с £)(А)=0 (инстантонов) способен, по крайней мере, качественно объяснить основные непертурбативные свойства КХД (кварковый и глюонный конденсаты, конденсат топологического заряда и т.д.) помимо конфайнмента. По аналогии с КЭД2 экранировка цвета и в КХД могла бы возникать благодаря тому факту, что кварки создают самосогласованные (с учетом поляризации вакуума) цветные поля, для которых детерминант Я) (А) стремится к нулю когда расстояние между кварками стремится к бесконечности. Это приводит к рождению со стопроцентной вероятностью мягких кварков, экранирующих цветные поля. Кварки создадут барионный ток, который одновременно может экранировать другие квантовые числа кварков. Этот эффект мог бы, в принципе, привести и к экранировке триальности.

По-видимому, экранировка цвета в КХД (неабелевы поля) должна потребовать большого числа кварков (не говоря уже о глюонах). Однако, так как в рассматриваемой картине е+е~-аннигиляции импульсы лидирующих кварков значительно больше импульсов кварков, принимающих участие в экранировке цвета, кажется вероятным, что время экранирования цвета окажется все же много меньше времени ад-ронизации. Поэтому адронн должны рождаться только после того как экранировка цвета уже закончена, а струи уже независимы и бесцветны так же, как и в КЭД^ . Поэтому быстрые адроньг (которые рождаются последними} рождались бы в разных струях совершенно независимо. В таком механизме невылетания легкие кварки играли бы фундаментальную роль.

В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю признательность своим научным руководителям и соавторам Г.С.Данилову и И.Т.Дятлову за постановку большей части задач, решенных в диссертации, за плодотворное сотрудничество в течение ряда лет и неоценимую помощь в работе над диссертацией. Я глубоко благодарен В.Н.Грибову, Д.И.Дьяконову, Л.Н.Липатову, Л.Л.Франкфурту за внимание к работе и стимулирующие обсуждения.

Мне хотелось бы также поблагодарить всех сотрудников ЛТФ ЛИЯФ, принимавших активное участие в обсуждении многочисленных вопросов, связанных с темой, рассмотренной в диссертации.

1. Fritzsch Н., Gell-Шгш. М., Leutwyler Н. Advantages of the colour octet gluon picture, - Phys.Lett.B, 1973, v. 47(4), p. 365-368.

2. Weinberg S. Non-Abelian gauge theories of the strong interaction, Phys .Rev.Lett. ,1973, v.31 (7), p.494-497.

3. Politzer H.D. Asymptotic freedom: an approach to strong interaction, Phys.Reports, 1974, v.14, p. 129-180.

4. Kovikov V.A. , Okun L.B., Shiftaan M.A., Vainstein A.I., Volo-shin M.B. Charmonium and gluons , Phys .Reports , 1978, v. 41 , p. 1-134.

5. Dokshitzer Yu. L. , Dyakonov D.I. and Troyan S.I. Hard processes In quantum chromodynamics. Phys. Reports, 1980, v.58,p. 269-395.

6. Gross D. J. , Wilczek F. W, Ultraviolet behaviour of non-Abelian gauge theories, Phys .Rev.Lett. ,1973, v. 30(26) ,p. 1343-1346.

7. Wilson K. Confinement of quarks, Phys.Rev.D, 1974, v. 10(8), p. 2445-2459.

8. Kogut J. An introduction to lattice gauge theory and spin systems, Rev.of Modern Physics, 1979, v. 51 (4), p. 659-714.

9. Creutz M. Monte Carlo study of quantized SU(2) gauge theory ,- Phys.Rev.D, 1980, v. 21 (8), p. 2308-2316.

10. Makeenko Yu.M. , Migdal A.A. Exact equation for the loop average in multicolour QCD, Phys.Lett.B, 1979, v.88(2), p. 135-138.

11. Witt en E. Baryons in the 1/N expansion, Nucl. Phys .B, 1979, v. 160(1), p. 57-116.

12. Belavin A. , Polyakov A., Schwartz A. , Qtyupkin Yu. Pseudo-particle solutions of the Yang-Mills equations, Phys.Lett. B, 1975, v.59 (1 ), p.85-87.

13. Jackiw R.j"' Rebbi C. Vacuum periodicity in a Yang-Mills quantum theory, Phys.Rev. Lett., 1976 , v. 37(3), p.172-1 75.

14. Callan G., Dashen R. , Gross D. Toward a theory of strong interaction, Phys.Rev.D, v.17(10), p. 2717-2763.18• Грибов B.H. Квантование неабелевых калибровочных теорий. Физика высоких энергий (Материалы ХШ Зивней школы ЛИЯФ),с. 64-91, Ленинград, 1977.

15. Feynman R. P. The qualitative behaviour of Yang-Mills theory in2.1 dimensions, Nucl.Phys.B, 1981, v. 188(3), p.479- 51 2.

16. Polyakov A.M. Quark confinement and topology of gauge theories, Ifucl.Phys.B, 1977, v.120(3), p. 429-458. ^

17. A) Fateev V.A. , Frolcry I.V., Schwartz A. S. Quantum fluctuations of instantons in the non-linear 6~-model, Nucl.Pbys.B, 1979 , v. 154(1 ), p. 1-20.

18. B) Bukhvostov A. P. , Iipatov L.N. Instanton-antiinstanton interaction in the 0(3) non-linear 6"-trodel and an exactly soluble fermion theory, Preprint IC/80/2, Intern. Centre for Theor«-Phys., Trieste, 1980 , 34 c.

19. Gribov V.N. Local confinement of charge in massless QED, -Nucl.Phys.B, 1982, v.206 (3), p. 103-132.

20. Schwinger J. Gauge invariance and mass, Phys.Rev., 1962, v. 128(5), p. 2425-2429.

21. Lo vens te in L., Swieca A. Quantum electrodynamics in two dimensions, Ann. of Phys., 1971, v. 68(1), p. 172-195.

22. Casher A., Kogut J., Susskind L. Vacuum polarization and the quark-parton puzzle, Phy s. Rev. Lett., 1973 ,v.31 ( 12 ), p. 79 2-79 5.

23. Casher A., Kogut J., Susskind L. Vacuum polarization and absence of free quarks, Phys.Rev.D, 1974, v. 10(2), p.732-745.

24. Kogut J., Sinclair D.K. (1+1) dimensional models of quark confinement and final states in deep-inelastic scattering, -Phys.Rev.D, 1974, v. 10(12), p. 4181-4197.

25. Casher A. Chiral symmetry breaking in quark confining theories, Phys.Lett.B, 1979, v. 83(3), p.395-398.

26. Hrasko P., Balog J. The fermion boundary condition and the ©-angle in QED2, Preprint KSKI-1983-95, CRIP, Budapest, 1983,9 c.

27. Glashow S. , Weinberg S. Breaking chiral symmetry, Phys. Rev.Lett., 1968, v. 20(5), p. 224-227.

28. Callan C.G., Dashen A., Gross D.J. A theory of hadronic structure, Phys.Rev.D, 19 , v. 19(6), p. 1826-1855.

29. Shuryak E. V. The role of in s tan tons in quantum chromo dynamics , Nucl.Pbys, 1982, v. 203(1), p. 93-157.

30. V/einberg S. The U(1 ) problem, Phys.Rev.D, 1975, v. 11(12), p. 3583-35 93.

31. Adler S. L. Axial-vector vertex in spinor electrodynamics, -Phys.Rev., 1969, v.177(5), p. 2426-2438.

32. Bell J.S., Jackiw R. A PC AG puzzle IT ° Л in the 6"-model,- Nuovo Cimento, 1969, v. 60(1), p. 47-61.

33. Veneziano G. U(1) without instantons, Nucl. Phys.B, 1979, v. 159(2), p.213-224.

34. Дьяконов Д.И., Эйдес М.И. Псевдоскалярные мезоны и хромодина-мика, Физика элементарных частиц (Материалы 16 Зимней школы ЛИЯФ), Ленинград, 1981, с. 123-162.

35. Kogut J. , Susskind L. How quark confinement solves the ^ -3?T problem, Phys.Rev.D, 1975, v.11(12), p. 3594-3610.

36. Ахиезер А.Н., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика, Москва, "Наука", 1981, 431 с.

37. Casher A., Neuberger Н., Nussinov S. MuItiparticle productionby bubbling flux, tubes, Phys.Rev.D, 1980, v. 21(7), p.1966-1 980.

38. Andersson В., Gustaffson G., Petersson G. A semiclassical model for quark jet fragmentation, Z. Phys.С, 1979, v. 1(1),p. 105-116.

39. Artu Y., Menneisser G. String model and multiproduction ,- Nucl.Phys.B, 1974, v. 70(1), p. 93-115.

40. Берэстецкий В.Б. Двумерная электродинамика и новая возможность истолкования кварковой модели, Физика элементарных частиц (Материалы IX Зимней школы ЛИЯФ), с. 95-105, Ленинград, 1974.

41. Boya L.J., Gomez С. Confinement and holonomy, Phys.Rev. D, 1981, v. 23(6), p. 1335-1338.

42. Fishier W. , Kogut J. , Susskind L. Quark confinement in unusual enviroments ,-Phys.Rev.D, 1979, v. 19(4), p. 1188-1197.

43. Ильгенфриц Э.М., Крипфганц й. Распределение по вильсоновской струне в "горячей" глюодинамике. Результаты по методу Монте -Карло и инстантонные оценки, ЯФ, 1983, т.38(9), с.737-744.

44. Duncan A., Fuman М. Monte Carlo calculations with fermions: the Schwinger model, Nucl. Phys.B, 1981, v. 190(4), p. 767-781.

45. Martin 0., Otto S. The Schwinger model via a local Monte Carlo algorithm, Hucl.Phys.B, 1982, v.203(2), p.297-311 .

46. Hamberg H. , Parisi G. Numerical estimates of hadron masses in a pure SU( 2) gauge theory, Phys. Rev. Lett ers, 1981, v.47(25), p. 1792-1795.

47. Nielsen N. , Schroer B. Quark confinement and instanton-like

48. Euclidean field configurations, Preprint TH. 2277 -CERN, 1977 ,8 c.

49. Rothe K. D. , Swieca J.A. Gauge trans format ions and vacuum structure in the Schwinger model, Phys.Rev.D, 1977, v. 15(2), p. 541-544.

50. Maiella G. , Shaposnik F. The role of pseudoparticle configurations in the Schwinger model, Nucl.Phy s. ,B ,1 978, v.132(2),p. 357-364.

51. Ityakonov D.I., Petrov V. Yu. Ins tant on-based vacuum of gluo-dynumics from Feynman variational principle, Preprint ШР1--900, 1983, Leningrad, 41 c.

52. Тавхелидзе A.H., Токарев В.Ф. Структура основного состояния и свойства функций Грина от бесцветных операторов в модели Швиигера, Препринт П-0314, ИЯИ, Москва, 32 с.

53. Красников Н.В., Матвеев В.А., Рубаков В.А., Тавхелидзе А.Н., Токарев В.Ф. Структура основного состояния в двумерной безмассовой электродинамике, ТМФ, 1980, т.45(3), с. 313-317.

54. Coleman S. The uses of iristantons , Preprint of Harvard Univ. HUTP-78/ 004, Maccachusets , 1978, 110 c.

55. Rubakov V. A. -Adler-Bell-Jaclaw anomaly and fermion number breaking, Bucl.Phys. , 1982, v. 203(2), p. 311-348.

56. Segre G. , Weisberger W. Investigations in two-dimensional vector-meson field theories, Phys. Rev. D, 1974, v.10(6), p. 1767-1777.

57. Belvedere J., Swieca J.A., Rothe R.D., Schroer B. Generalized two-dimensional gauge theories, Uucl .Phy s. ,B , 1979, v. 1531 ), p. 112-140.

58. Coleman S. More about the massive Schwinger model, Ann.of Phys. (N.Y.), 1976, v. 101(1), p. 239-267.

59. Bhattaraya G. Equivalence between two -dimensional SU(N) QCD and Schwinger model: strong coupling limit, ITucl.Phys. B, 1982, v. 205(3), P. 461-48 3.

60. Manielstam S. Soliton operators for the quantized sine-Gordon equation, Phys.Rev.D, 1975, v.11(10), p.3026-3030.

61. Coleman S. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirling model, Phys .Rev. D, 1975, v. 11(8), p.2088-2097

62. Данилов Г.С., Дятлов И.Т., Петров В.Ю. Вычисление оператора эволюции и кварковой структуры состояний в двумерной безмассовой электродинамике, ЖЭТФ, 1980, т.78(4), с.1314-1331.

63. Coleman S., Jackiw R., Susskind L. Charge shielding and quark confinement in the massive Schwinger model, Ann. of Phys. (N.Y.), 1975, v. 93 ( 1 ), p.267-276.

64. Rothe K.D. , Rothe H.D. , Swieca J.A. Screening vs. confinement, Phys .Rev.D, 1979, v. 19(10), p. 3020-3024.

65. Higgse P.W. Spontaneous symmetry breakdown withot massless bosons, Phys.Rev., 1965, v.145(4), p. 1156-1 163.

66. Gribov V.N. Anomalies as a manifestation of the liigh-^m omen turn coDJfi ctive motion in the vacuum, Preprint KPKE-1 981-66 , CRPI, Budapest, 1983, 22 c.

67. Фейнман P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям, Москва, Мир, 1968, 378 с.

68. Данилов Г.С. Уравнение Шредингера в теории безмассовых неабе-левых полей, ЯФ, 1978, т.29(2), с. 542-555.

69. Soldate M. Operator product expansions in the massless Schwinger model, Preprint of Stanford University, SLAC-PUB--3054, 1983, Stanford, 22 c.

70. Данилов ГА, Дятлов И.Т., Петров В.Ю. Исследование механизма невылетания легких кварков в двумерной электродинамике безмассовых зарядов, Физика высоких энергий (Материалы 18 Зимней школы ЛШФ), Ленинград, 1983, с. 3-52.

71. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Москва, "Наука", 1978, 240 с.

72. Halpern H.B., Senjanovich P. Surface medication for gauge theories in two dimensions, Phys. Rev. D, 1977, v. 15(12), p. 3629-3640.

73. Becher P. The Schwinger model: a view from temporal gauge, Ann.of Phys., 1983, v.146 (2), p. 223-261 .

74. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике, Москва, Гос.изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962, 443 с.

75. Raina А.К., Wanders G. The gauge transformations of the Schwinger model, Ann. of Phys. , 1981, v. 132(2), p. 404-426.

76. Mattis D. C. , Lieb E.M. Exact solution of a many-feraion system and its associated boson field, J.of Шth.Phys. , 1965, v. 6(2), p. 304-312.

77. Levi M. , Sucher J. Eikonal approximation in quantum field theory, Phys. Rev. , 1969, v. 186(5), p. 1656-1670.