Метод аппроксимации эволюционных операторов с помощью экспоненциального представления и рациональных функций в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1 Свойства уравнения x'(t) — A(t)x в гильбертовом пространстве

1.1 Полугрупповые и эволюционные операторы.

1.2 Операторы A(t) класса £f([0,T]).

1.3 Рациональные аппроксимации сжимающих полугрупп.

ГЛАВА 2 Построение аппроксимаций эволюционных операторов

2.1 Аппроксимация квадратур в хронологических рядах

2.2 Аппроксимация эволюционного оператора с помощью экспоненциального представления.

2.3 Сходимость аппроксимаций эволюционного оператора.

В прикладных задачах математической физики часто возникает потребность в решении многомерных параболических уравнений вида x'(t) = A(t)x(t) с линейным эллиптическим дифференциальным оператором в частных производных. Классическими примерами таких уравнений могут служить уравнение теплопроводности и нестационарное уравнение Шредингера. В настоящее время при численном решении такого рода задач наибольшее распространение получили методы, имеющие невысокий порядок (первый или второй) аппроксимации по временной переменной t и существенным образом использующие представление в расщепленном виде оператора A(t) = ^2aAa(t). При возможности выбора удачного такого представления весьма эффективным оказывается применение большой группы методов, включающих в себя методы дробных шагов [1, 2, 3, 4, 5], методы переменных направлений [6, 7, 8, 9, 10], методы расщепления [11, 12] и методы факторизации [13, 14, 15, 17, 16]. Общей стороной этих методов является редукция как правило жесткой или осциллирующей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности вида = A(t)cj)(t), к которой приводится исходное уравнение путем аппроксимации тем или иным способом оператора A(t) конечномерным разностным оператором A(t) = ]СаЛа(£) и в которой конечномерный вектор-столбец ф(Ь) аппроксимирует искомую функцию x(t), к последовательности более простых задач того же вида, но меньшей размерности. Тем не менее на практике встречаются задачи, при решении которых низкий порядок аппроксимации по t вынуждает выбирать крайне мелкое разбиение по этой переменной для приемлемой точности приближенного решения, и в которых было бы желательно применение методов с более высоким порядком аппроксимации для более рационального использования вычислительных ресурсов. Такая ситуация, в частности, возникает при описании взаимодействия атомных систем с очень интенсивным электромагнитным полем путем численного решения нестационарных уравнений Шредингера и Дирака [68, 69].

Одним из подходов, позволяющих получить более высокий порядок аппроксимации по t, является непосредственное применение методов высокого порядка для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений к системе 4>'(t) — A(t)(/)(t). Вследствие ее жесткости наиболее подходящими методами здесь оказываются одношаговые неявные методы Рунге-Кутты (РК), обеспечивающие устойчивость процесса интегрирования [18, 43]. Однако, при использовании этих методов существенным образом увеличивается трудоемкость интегрирования этой системы, т. к. увеличивается размерность матриц, которые необходимо обращать на каждом шаге по t. Это является весьма неудобным обстоятельством при практическом применении этих методов в рассматриваемом случае.

Пусть tj = to +jr, j = 0,1, 2,., n — 1 есть сетка с шагом т по переменной t. Приближенное значение вектор-функции ф(Ь) в точке tj+1 по заданному значению <j)j с помощью р-стадийного РК метода для линейной системы уравнений находится из формул v

Ф0= Фз + Т bmAmym, ш—1 v

У^ {bmm'I - Tamm>Am>}ym> = фj, m = 1 , (i) m'=1

Конкретный РК метод с порядком q < 2р задается набором абдисс сгп, коэффициентов Ьт и матрией Батчера ammi, т,т' = 1,2,., р. В соотношениях (i) через I обозначена единичная матрица, 5mmi - символ Кронекера, а Ат = A(tj + стт). Матрица ammi в методах высокого порядка, например в методах Гаусса-Лежандра, Радо и Лобатто порядков 2р, 2р — 1 и 2р— 2 соответственно [43], содержит очень мало нулевых элементов. Таким образом, если размерность матрицы A(t) составляет N х N, то на каждом шаге приходится решать, вообще говоря, систему алгебраических уравнений (i) размерности pN.

С другой стороны, при независящей от t матрице A(t) = А каждый шаг в РК методах сводится к вычислению функции устойчивости r(z) данного метода от гА, т. е. f>j+i = г{тА)ф^ j = 0,1,., п- 1.

Функция г (z) неявного р-стадийного метода порядка q < 2р представляет собой рациональную аппроксимацию ez порядка q -t- 1, т. е. \ez — r(z)| = 0(zQ~i'1) при z О, причем степени полиномов в числителе и знаменателе r(z) не превышают р [43].

Для абсолютной устойчивости РК методов требуется, чтобы функция r(z) отображала левую полуплоскость Re z < 0 в единичный круг |г(г)| < 1 (А-приемлемые функции). Отметим, что такие функции широко обсуждались в литературе по вычислительной математике [36, 37, 38, 39, 40]. С практической точки зрения реализация вычисления функции r(z) от матрицы проще, чем решение уравнений (i). Например, вычисление г(тА) может быть сведено путем разложения знаменателя r(z) на множители к решению р систем алгебраических уравнений из N уравнений, что имеет меньшую трудоемкость, чем непосредственное решение системы (i) в данном случае.

В связи с этим для уменьшения трудоемкости неявных РК методов для систем линейных уравнений представляется целесообразным использовать экспоненциальное представление оператора эволюции [32, 34, 35] для системы 4>'(t) = A(t)<f>(t). и свести процесс вычисления <fij+1 на каждом шаге j к вычислению функции устойчивости от матрицы Fj9\ т. е.

Фэ+1 = r(Fj9%, j = 0,1,., п — 1, где матрица Fj9-1 представляет собой сумму Е Г1 Л^*А*(Л(е1),Л(6)>.,Л(&)), (и) к=1 Ь Ь экспонента от которой обеспечивает аппроксимацию оператора эволюции с точностью 0(r9+1), т. е. (j>(tj.f.i) = 4- 0(rq+1). В соотношении (ii) под yfcv-Ax, А-2,., Ak)-, к — 1,2,. подразумевается некоторая универсальная последовательность полиномов от некоммутирующих переменных Ai, причем каждый полином Qk однороден первой степени по каждой своей переменной и является коммутаторным полиномом, т. е. выражается в виде линейной комбинации переменных Ai,., Ак, их коммутаторов [Ai, Ак] = AiAk — AkAi, коммутаторов от всех полученных до рассматриваемого шага выражений и т. д [35].

В настоящей работе проводится теоретическое обоснование указанной выше модификации неявных РК методов для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве X относительно функции x(t) el x'(t)=A(t)x(t), t£[0,T] (iii) с диссипативным или полуограниченным линейным оператором A(t): X —>• X. Рассмотрение проводится для сильных решений этого уравнения. Оператор A(t) не предполагается ограниченным, но считается, что области определения его степеней D(Ak(t)) не зависят от t для достаточно больших к. Такая ситуация, например, имеет место при описании квантовомеханических систем с помощью нестационарного уравнения Шредингера, гамильтониан которого представ л еят собой возмущение оператора Лапласа потенциалом, зависящим достаточно гладким образом от координат и времени [19, 43]. В этом случае оператор F-9^ определяется как расширение суммы вида (ii) до производящего оператора С0-полугруппы а —У expjaF^}. Предлагаемый метод приближенного решения уравнения (iii) может быть представлен в виде одношаговой операторно-разностной схемы, в которой каждому шагу j = 0,1,2,.,тг — 1 соответствуют операторные уравнения для последовательного определения элементов ут £ X

I - iimFf)ym^ = (I - umFjq))ym, т = 1,2, .,р. (iv)

Здесь элементы ут, как и в системе (i), имеют вспомогательное значение, причем на j-ом шаге элемент уг соответствует приближенному решению исходного уравнения в точке tj, а элемент ур+1 - решению в точке t0+i. Через I здесь обозначен тождественный оператор, а коэффициенты ь>т и /im определяются положением нулей и полюсов выбранной А-приемлемой рациональной аппроксимации экспоненты r(z). Операторные уравнения (iv) можно использовать как отправную точку для получения окончательных систем алгебраических уравнений при конечномерных аппроксимациях исходного функционального пространства, например в рамках методов Галеркина или конечных элементов [29, 44, 48]. Отметим, что для q = 2,3,4 и 6 существуют А-приемлемые функции r(z) с р = q — 1, для которых = fx2 — . — i-ip [36]. При таком выборе г(z) предложенный метод обладает повышенным порядком точности и требует на каждом шаге по t решения лишь одной системы алгебраических уравнений с р разными правыми частями, т. е. по трудоемкости практически не отличается от известной схемы Кранка-Николсон (р = 1), имеющей второй порядок сходимости по t [47].

Под оператором A(t) можно также подразумевать конечно-разностную, конечноэлементную или иную аппроксимацию исходного дифференциального оператора. В этом случае матрица A(t), как правило, имеет специальную разреженную блочно-ленточную структуру, что облегчает решение алгебраических уравнений с такими матрицами. Многократные операции коммутации, проводимые в этом случае с матрицами А(£) для вычисления F^ в предлагаемом методе, вообще говоря, существенным образом изменяют структуру разреженности, увеличивает ширину лент и т. п., что на практике является весьма неудобным обстоятельством. Однако в некоторых случаях возникающие неудобства такого рода можно в значительной степени устранить, если все необходимые коммутации проводить непосредственно с дифференциальными операторами, поскольку здесь эта операция приводит опять же к дифференциальным операторам, быть может, более высокого порядка.

Перейдем к описанию структуры работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

Заключение

Предложенный метод аппроксимаций эволюционного оператора в гильбертовом пространстве с помощью экспоненциального представления и рациональных функций сводит задачу приближенного интегрирования уравнения (1.1.13) к решению операторно-разностных уравнений (2.4.4) в том же пространстве, аппроксимирующих исходное уравнение по переменной t с заданным порядком точности q. Эти уравнения сохраняют простую структуру схемы Кранка-Николсона, что выгодно отличает предложенный метод от существующих неявных методов Рунге-Кутты высокого порядка. В случае дифференциального оператора A (t) в уравнении (1.1.13) возможность представления оператора Fj^ также в виде дифференциального выражения приводит при дискретизации операторно-разностных схем (2.4.4) в рамках методов конечных элементов к системам алгебраических уравнений практически такой же структуры разреженности блочно-ленточных матриц, что и в разностных схемах, полученных на основе схемы Кранка-Николсона. Кроме того, операторно-разностные уравнения (2.4.4) могут служить основой дальнейшего развития и обобщения на более высокие порядки аппроксимации существующих методов дробных шагов, методов переменных направлений, методов расщепления и т. п. Одним из возможных подходов здесь может быть использование этих методов в качестве предиктора с последующей коррекцией решения с помощью уравнений (2.4.4). Такого рода подход для решения трехмерного нестационарного уравнения Шредингера, например, был использован в работе [85], где в качестве корректора применялся полностью неявный метод Рунге-Кутты высокого порядка. При этом возникающие громоздкие системы алгебраических уравнений, размерность которых увеличивается пропорционально стадийности метода Рунге-Кутты, решались методом бисопряженных градиентов, обеспечившим в данном случае весьма быструю сходимость менее чем за десять итераций вне зависимости от количества используемых базисных функций, что позволило достичь линейного роста числа операций в зависимости от размера базиса. Таким образом, использование в схеме [85] в качестве корректора уравнений (2.4.4) дает возможность сохранить линейную зависимость количества операций и снизить трудоемкость метода за счет уменьшения размерности систем алгебраических уравнений, требующих решения на каждом временном шаге.

1. А. А. Самарский, О сходимости метода дробных шагов для уравнений теплопроводности, ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2. N6. с. 1117-1121.

2. А. А. Самарский, Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках, ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. N3. с. 431-466.

3. А. А. Самарский, Введение в теорию разностных схем, М.: Наука, 1971.

4. Н. Н. Яненко, Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов), ДАН СССР, 1960. Т. 134. N5. с. 1034-1036.

5. Н. Н. Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск: Наука, 1967.

6. J. Douglas, Alternating direction methods for three space variable, Numer. Math. 1962. V. 4.

7. J. Douglas, H. Rachford, On numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables, Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. N2. p. 421-439.

8. D. Peaceman, H. Rachford, The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, J. Industr. Math. Soc., 1955. Y. 3. N1. p. 28-41.

9. Г. И. Марчук, Методы вычислительной математики, М.: Наука, 1978.

10. Г. И. Марчук, Методы расщепления, М.: Наука, 1988.

11. G. A. Baker, An implicit, numerical method for solving the n-dimensional heat equation, Quarterly of Appl. Math., 1960. V. 17. N4. p. 440-443.

12. G. A. Baker, T. A. Oliphant, An implicit numerical method for solving two-dimensional heat equation, Quarterly of Appl. Math., 1960. V. 17. N4. p. 361-373.

13. H. И. Булеев, Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии, Матем. сб., 1960. Т. 51. N2. с. 227-238.

14. Е. Г. Дьяконов, Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициетнами, ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. N2. с. 278-291.

15. Е. Г. Дьяконов, Разностные схемы второго порядка точности с расщепляющимся оператором для параболических уравнений без смешанных производных, ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. N5. с. 935-941.

16. J. С. Butcher, Implicit Runge-Kutta Processes, Math. Сотр., 1964. У. 18. p. 50-64.

17. Дж. Бейкер, мл., П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде, М.:, Мир, 1986.

18. R. S. Varga, On higher order stable implicit methods for solving parabolic partial differential equations, J. Math, and Phys., 1961. V. 40. N3. p. 220-231.

19. T. Kato, Perturbation theory for linear operators, N.-Y.: Springer, 1966.

20. Э. Хилле, Функциональный анализ и полугруппы, М.: ИИ Л, 1951.

21. К. Yosida, On the differentiability and the representation of the one-parameter semigroups of linear operators, J. Math. Soc. of Japan, 1948. V. 1. p. 15-21.

22. R. S. Phillips, Perturbation theory for semi-groups of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 74. p. 199-221.

23. T. Kato, Integration of the equation of evolution in a Banach space, J. Math. Soc. of Japan, 1953. V. 5. p. 208-234.

24. J. von Neumann, Eine Spektraltheorie fur allgemeine Operatoren eines unitaren Raumes, Mathematischen Nachrichten, 1951. V. 4. p. 258-281.

25. Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу, М.: Мир, 1979.

26. С. Foia§, Sur certains theoremes de J. von Neumann concernant les ensembles spec-traux, Acta Sci. Math. Szeged, 1957. V. 18. p.15-20.

27. К. Иосида, Функциональный анализ, M.: Мир, 1967.

28. С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.: Наука, 1967.

29. В. А. Треногин, Функциональный анализ, М.: Наука, 1980.

30. W. Magnus, On the exponential solution of differential equations for a linear operator, Comm. Pure Appl. Math., 1954. V. 7. p. 649-673.

31. W. Magnus, A. Karras, D. Solitar, Combinatorial Group Theory, N-Y.: Interscience Publishers, 1966.

32. R. M. Wilcox, Exponential operators and parameter differentiation in quantum physics, J. Math. Phys. 1967. V. 8, p. 962-982.

33. А. А. Аграчев, P. В. Гамкрелидзе, Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление, Матем. сб. 1978. V. 107. р. 467-532.

34. В. L. Ehle, A-stable methods and Pade approximations to the exponential, SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4. p. 671-680.

35. O. Axelsson, A class of A-stable methods, BIT, 1969. V. 9. p. 185-199.

36. S. P. N0rsett, One-step methods of Hermite type for numerical integration of stiff systems, BIT, 1974. V. 14. p.63-77.

37. B. L. Ehle, Z. Picel, Two-parameter, arbitrary order, exponential approximations for stiff equations, Math. Сотр. 1975. V. 29. p. 501-511.

38. G. Wanner, E. Hairer, S. P. N0rsett, Order stars and stability theorems, BIT, 1978. V. 18. p. 475-489.

39. Ph. Brenner, V. Thomee, On rational approximation of semigroups, SIAM J. Math. Anal, 1979. V. 16, p. 683-694.

40. В. А. Винокуров, Метод численного решения линейных дифференциальных уравнений,ЖВМ и МФ, 1982. т. 22 N. 5 с. 1080-1093.

41. К. Деккер, Я. Вервер, Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1988.

42. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т.1, Функциональный анализ, М.: Мир, 1978.

43. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т.2, Гармонический анализ и самосопряженность, М.: Мир, 1978.

44. Ж.-П. Обен, Приближенное решение эллиптических краевых задач, М.: Мир, 1977.

45. G. Lumer, R. S. Phillips, Dissipative operators in Banach space, Pacific J. Math. 1961. V. 11. p. 679-698.

46. R. S. Phillips, Dissipative operators and hyperbolyc systems of partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 90. p. 193-254.

47. J. Crank and P. Nicholson, A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type, Proc. Cambridge Philos. Soc. 1947. У. 43. p. 50-67.

48. C. de Boor, A Practical Guide to Splines, N-Y.: Springer, 1978.

49. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 3, Квантовая механика, М.: Наука, 1989.

50. В. П. Маслов, Асимтотические методы и теория возмущений, М.: Наука, 1988.

51. С. Г. Михлин и др., Линейные уравнения математической физики, серия СМБ под редакцией Л. А. Люстерника и А. Р. Янпольского, М.: Наука, 1964.

52. J. Н. Eberly, J. Javanainen and К. Rzazewsky, Phys. Rep. 1991, V. 204. p. 331.

53. К. C. Kulander, Multiphoton ionization of hydrogen: a time-dependent theory, Phys. Rev. A, 1987. V. 35. p. 445-447.

54. К. C. Kulander, K. J. Schafer and J. L. Krause, Adv. At. Mol. Opt. Phys. Suppl. 1992. V. 1. p. 247.

55. K. J. Schafer and К. C. Kulander, Energy analysis of time-dependent wave functions: application to above threshold ionization, Phys. Rev. A, 1990. V. 42. p. 5794-5797.

56. P. Pont and M. Gavrila, Stabilization of atomic hydrogen in superintense high-frequency laser fields of circular polarization, Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. p. 23622365.

57. К. C. Kulander, K. J. Schafer and J. L. Krause, Dynamic stabilization of hydrogen in an intense, high-frequency, pulsed laser field, Phys. Rev. Lett. 1991. Y. 66. p. 2601-2604.

58. A. L'Huiller, P. Balcou, S. Candel, K. J. Schafer and К. C. Kulander, Calculations of high-order harmonic generation processes in xenon at 1064 nm, Phys. Rev. A, 1992. V. 46. p. 2778-2790.

59. J. H. Eberly, Q. Su and J. Javanainen, High order harmonic production in multi-photon ionization, J. Opt. Soc. Am. B, 1989. V. 6. p. 1289-1298.

60. R. M. Potvliege and R. Shakeshaft, Multiphoton processes in an intense laser field: harmonic generation and total ionization rates for atomic hydrogen, Phys. Rev. A, 1989. V. 40. p. 3061-3079.

61. J. L. Krause, K. J. Schafer and К. C. Kulander, Calculation of photoemission from atoms subject to intense laser fields, Phys. Rev. A, 1992. V. 45. p. 4998-5010.

62. High-order Processes in Atoms, ed. by K. Kulander and A. L'Huiller, special issue of J. Opt. Soc. Am. B, 1990. V. 7. p. 407-687.

63. Г«Ч1 A + r\tY* О 1 Гк Tnf ЛП1 CO T poor kv л/г \т v. A^^omi,. 1000

64. UVJ 1 lUUliiO XAX J.11UV-110\J XjdiOV^A X. JLV^i VJ. 1 VU . I1V1. <A V J. XJ.C4) 5 J. 1 — X • . J. 1 V>Ct\l.^XiXJ. 5 J. xj *J ^J .

65. D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, Singapore: World Scientific, 1988.

66. JI. В. Келдыш, Ионизация в поле сильной электромагнитной волны, ЖЭТФ, 1964. Т. 47. N5. с. 1945-1957.

67. С. J. Joachain, М. Dorr, N. Kylstra, High-Intensity Laser-Atom Physics, Advances in Atom., Mol., and Opt. Phys. 2000. V. 42. p.225-286.

68. N. J. Kylstra, A. M. Ermolaev, C. J. Joachain, Relativistic effects in the time evolution of a one dimensional model atom in an intense laser field, J. Phys. B, 1997. V. 30. p. L449-460.

69. A. Goldberg and B. W. Schore, Modelling laser ionisation, J. Phys. B, 1978. V. 11. p. 3339-3347.

70. C. Leforestier and R. E. Wyatt, Optical potential for laser induced dissociation, J. Chem. Phys. 1983. V. 78. p. 2334-2334.

71. R. Kosloff and D. Kosloff, J. Comput. Phys. 1986. V. 63. p. 363.

72. U. V. Riss and H.-D. Meyer, The transformative complex absorbing potential method: a brigde between complex absorbing potentials and smooth exterior scaling, J. Phys. B, 1998. V. 31. p. 2279-2304.

73. C. W. McCurdy and С. K. Stroud, Eliminating wavepacket reflection from grid boundaries using complex coordinate contours, Comput. Phys. Commun. 1991, V. 63. p. 323-330.

74. T. N. Rescigno, M. Baertschy, D. Byrum and C. W. McCurdy, Making complex scaling work for long range potentials, Phys. Rev. A, 1997. У. 55. p. 4253-4262.

75. К. Войске, H. Schmitz and H.-J. Kull, Radiation conditions for a time-dependent Schrodinger equation: application to strong field photoionization, Phys. Rev. A, 1997, V, 56. p. 763-771.

76. A. M. Ermolaev, I. V. Puzynin, A. V. Selin, S. I. Vinitsky, Integral boundary conditions for the time-dependent Schrodinger equation: atom in a laser field, Phys. Rev. A, 1999. V. 60. p. 4831-4845.

77. A. M. Ermolaev, A. V. Selin, Integral boundary conditions for the time-dependent Schrodinger equation: superposition of a laser field and a long range atomic potential, Phys. Rev A, 2000. V. 62. p. 15401.

78. I. V. Puzynin, A. V. Selin, S. I. Vinitsky, A high-order accuracy method for numerical solving of the time-dependent Schrodinger equation, Comput. Phys. Commun. 1999. V. 123. p. 1-6.

79. I. V. Puzynin, A. V. Selin, S. I. Vinitsky, Magnus-factorized method for numerical solving the time-dependent Schrodinger equation, Comput. Phys. Commun. 2000. V. 126. p. 158-161.

80. А. В. Селин, Метод приближенного решения линейного эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве, ЖВМ и МФ, 2002. Т. 42. N.7. с. 937-949.

81. R. Heather and Н. Metiu, An efficient procedure for calculating the evolution of the wave function by fast Fourier transform methods for systems with spatially extended wave function and localized potential, J. Chem. Phys. 1987. V. 86. p. 5009-5017.

82. T. Millack, Generalization of an efficient procedure for calculating the evolution of the wave function of a system interacting with a short laser pulse, Phys. Rev. A, 1993. V. 48. p. 786-789.

83. A. Keller, Asymptotic analysis in time-dependent calculations with divergent coupling, Phys. Rev. A, 1995. V. 52. p. 1450-1457.

84. H. A. Kramers, Collected Scientific Papers, Amsterdam: North-Holland, 1936.

85. W. C. Henneberger, Perturbation methods for atoms in intense light beams, Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. p. 838-841.

86. E. Huens, B. Piraux, A. Bugasov, M. Gajda, Numerical studies of the dynamics of multiphoton processes with arbitrary field polarization: Methodological considerations, Phys. Rev. A, 1997. V. 55. p. 2132-2143.

87. R. Lichters, J. Meyer-ter-Vehn, A. Pukhlov, Short-pulse laser harmonics from oscillating plasma surfaces driven at relativistic intensity, Phys. Plasmas, 1996. V. 3. p. 3425-3437.

88. K. Rz§.zewski, L. Plaja, L. Roso, D. Linde, Probe-field reflection on a plasma surface driven by a strong electromagnetic field, J. Phys. B, 2000. V. 33. p. 2549-2558.

89. L. Plaja, L. Roso, K. Rz§zewski, M. Lewenstein, Generation of attosecond pulse trains during the reflection of a very intense laser on a solid surface, J. Opt. Soc. Am. B, 1998. V. 15, NT, p. 1904-1911.

90. L. Dimou, H.-J. Kull, Above-threshold ionization by strong anharmonic light pulses, Phys. Rev. A, 2000. V. 61. p. 043404.