Метод факторизации в статистике классических однокомпонентных систем с двухчастичном взаимодействии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГБ ОД 1 О ФЕВ 1997

ШНЮТЕРСТВО освга УКРА1НИ

донецькии щржшта уюверсйтет

На правах рукошсу

ЯОКТЮНОВ 1гор Костянтшювяч

уда 539.2

МЕТОД ©ЛКТОКШЦИ В СТДТНИПЩ1 КЖС1ИШХ ОДЙОКСШОНЕЮТЙХ

систа.1 з даочдсшов^ш взлекодиша

Спэц1альн1сть 01.04.02 - теоретична ф!зика

¿вторвфврат дасвртацН на здобуття нчевого ступени кандидата ф1зико-натвматтаних наук

ДОНЕЦЬК, -1996

Робота ванонана в Донэцькому дэргашому техничному ун1вэрснтвт1.

Науковай квр1внж - доктор ф1зиио-мвт8М8тнчнах наук, Захаров А.Ю.

Сф1д1йн1 одонэнги: доктор ф1з2ко-катаматнчш1 наук, Фельдаан е.П.,

кандидат ф1зако-магвматичшк: наук Катальн1ков В.В.

Пров! два арган1з8Ц1я - 1нститут проблем матер!алознавства

1м. 1.Н. Фразцввгча Н4Н Укрвгна, г.Ки1в.

Захист в!дбудатьоя " " ц&тсги> 1997 р. в // годин! па зас!данн1 Спвц1ал1вовано1 Рада К 06.05.03 Донецького дэрзавного ун1верситвту (340055, Донэцьк-55, вул. Ун1вэрситэгська, 24).

3 дасвртац1вв кожно ознайонитася в б1бл1отец1 Донвцъкого державного ун1варситвту.

Автореферат розЮланий "М)" сГгщ 1997 р.

Вчанай секретер Спац1ал1зовано1 Рада

кандидат ф1зино-матвматичних наук /т^ O.e. Зибанов

сЯ^--

ЗАГАЛЬНА. ХАРАКТЕШОТЙКД РОБОТИ

Актуальн!сть проблема. Наобх1де!сть 1нтенсиф!кац!1 вс1х гадузей варобництвз готрабув скорочення часу нроактуваяяя тэпло-вакорнстовуото! апярагури i тепловюс процас!в. Науков1 метода про-октувапня T9UJIQBQL апаратури вштлявтъся одним з рвзэрв1в еконо-м11 тэшюво! енвргИ. В зв'язку э цим виникав потрэба в нянчена! тешюф1зичних властявостей рэчовин. Кр1м того, великий 1нтврас з точна зору фувданэвтально! науки становять проблема фазових пэрвход1в 1 критичнах явнд. Розрахунок термодинам1чних властивос-тзй чястих речовин могв бути зд1йсноний за допотгов термоданам1ки та (обо) статнстично! ф1закя.

Дзш вэрЛшввня багатьох практичнах задач досать мэтод!в фвно-мэнолог!чно1 тэргя)данам1ки, котра обмэаув глзбнну вивчвння цеп влвстиЕостей i ив дозволяв ровкрити природу досл1даувавих явиц. Нэйб1лып посл1довнш штодом роарвхуту тармоданвгЛчних властивос-тей становись статистячний кэтод, заснованай на п!дход1 Ибса, ща простаяуе атсшо-шлэкулярнай мвхан!зм явщ. Головна трудн!сть вякористання цього н1дходу голягае в обчшзлеш! конф1гурац1йно1 ча стана статнсгачго! сумя. Тому винакав потреба розробки i впровад-аэння тер,5одашш!чних характернстзк, котр1 болод1вть загальпнш властнвостямя i потрэбують м1н!мального числа параметр1в.

Мата робота шлягвв в обчислвнн1 конф1гурац!йш>! частина ста-тисгпчкого 1нт8грала однокотоввнтних класичних систем з двочастковзми штввд!алами 1 в застосуванн! цього результату для досл1давнь тершданаи1чшск властшоствЗ, а гакоз ошсу фазових пэрэход1в в розгляцутах системах.

Наукова новизна робота полягаа в наступшму:

Запропошваний штод обчисливання конф1гурац1йного 1нтегралу (KI) класичних одшкомгонентних систем з двучастковиш взввмод!я-' т, пр допускать розклад в ряд Фурье. Отримаш вяраз для KI, який-узагальнш результат, отриманий Д.Н. Зубарввим в робот! / I / i дозволяв досл1дяувати як завгодно вузысий ок!л критично! точки (КТ).

Остановлена наявн1сть особлаво1 точки на т8шюратурн1й ос! за умовов, щр мнозяна О~хвильовах вектор!в, на як1й фурье-трансформанта «(k) Misa томного ш>танц!аду негативна, нвгорожня, тобто у вшадку кола в К-простор! в притягування частинок. У цьому вшадку виникавть в!дои! !нфрачервон! особливост! в твршдинам!чшх функц!ях, як!

згладауютьея Цра виход1 за границ! застосувавня гаусового наблнжання та обл!ку ск1лчапност1 числа часпшок Я та об • ему 7.

3 "першах принцшйв" в вргодачшщу наближэнн! (тобто у ви-падку звстосуваяня таорвш Г.Вэ&яя) для систем з парниаи м!евтом-ннш шт8нц1алаш одержана ушва спонтанного шрушвння сшэтрН.

Показано, що у вападку и(К)> О (в!датовхувашя в к-простор!), у систам! може в1дбутися фазовзй перех1д (ФП) даршого роду. Вказа-н! м!аатош! патдщ1вш, для яких р!вняняя, вазначашив КТ, розв'я-зен! точно. Для до яких 1з розглянугах у робот! потэнц!ал!в взаеш-д!1 р1Еняння сп!нодал1 мае точи! розв'язка.

Наукоза та практична ц!нн1сть робота.

Запропонований метод обчислання тершдшам!чшх властивостей 1 досл1даоння ФП шршого 1 другого род1в !з "пэрших пршцш1в". На основ! отрямаяних результат!в моана розрахувата твшюф!зилн! пара-мэтри чистих рэчовш, а таков вакористати 1х дая шдальшого роз-ватку теор!1 ФП парного 1 другого род!в.

До захисту прошшудться сл!дута! результата:.

1. Мэтод обчислання К1 одаокошонантншс класичних систем з парнима ыЬватомвшз: штенц1алами, что допуснавть розкдадвння <йурье.

2. Вираз для К1, застосованзй в як завгодяо вузькоыу окол! КТ ! узагальншчий в1дошй результат / 1 /.

3. Наявн1оть осойлево! точка на тетэратурн!Й ос! за ушва, що шожина О" хвадьовшс вэктор1в, на якощ фурьв-трансформанта и (к) м1аатомаого потэнц1алу негативна, нмюрожня, тобто у вшадку коли у к-простор! в прнтягування частшок. Показано, що 1нфрачэрзон! особливост! в термодинам1чннх функц!ях згладжуються при шход! за границ! застосуваная гаусового наОлагэвня та обл!ку ск!нчвншст1 числа часташк N та об'ему У.

4. Уыовз спонтанного шрушення сшагрН, отршаяа з "першах пран1щп!в" в вргодачному наближенн! дня систем г иарними потвн-ц!алами взавшдИ.

Адробац!я робота. Результата дасертац1йно1 робота дошв!дались та обговорпвалися на сл!дувчих конфэранц!ях та наукових сам1яарах:

11,12,13-й сем!нари по элвктронн!й будов! ! властивоотям тугоплавких сгшук та мэтал1в (Донецьк,1ЭЭ2, Херсон,1993, Донэцьк,1ЭЭ4).

7 всесоюзна школа-сем1зар "Застосувавня матемэтичних катод!в для опису та вивчення ф1зако-х!м!чзшс р!вноваг"(Новосиб!рськ, 1992).

II м1знародний конгрэс по маг8мат1пн1й ф1зиц! (Париж, 1994).

Кон$вранц!я "Нонструнтивя! результата у квантов1й тоорИ поля 1 статистачн1й ф1зщ1" (Парах, 1994).

20-й сом1нар сврэдньоввропайоького сп1вро01тнщтва по ста-таспгш1й ф!зиц1 (ЫБСО-20, Вэлъс, Австр1я, 1995).

Науков1 свм1нара Дояецьхого ф1зико-твхя!чного 1нституту НАН Украига, Донвцького дэрвавного тежнйлного ун1вврсптвту.

ПублДквцИ. Основа! матвр1ади дасвртац!йш1 робота наррукава-н! у дасяти роботах, пэрэл1н яких приведений в к1яц1 автореферату.

Структура та об'ем робота. Дисвртац1я складаеться в вступу, трьох частая, заклтввня, 2 додатк1в та списку л!тератури. Загаль-шй об'вм робота склада в 127 стор1нок 1 вклпчав 7 ыалшк1в. Список л!твратура м!стать яоряд 93 назв.

ОСНОВНШ ВМ1СТ ДЕСЕРТ АД 11

Встуд

ООгрунтовзна зктуальн1сть проблема, коротко викладашй зм1ст дасэртац1йно1 робота» зформульована осговна мэта та заедания робота, вказувавться 11 наукова новизна та практична значпмЛсть, а такоз апробац±я оснотях пологань.

Розд1л I. Огляд л1тератури

Поданиа огляд 1 порШмльнай анал1з !свухгаях твор!й 5>П 1 мэ-тод1в обчислання К1, наввдвн! дэяк1 енспэримвнтальн! результата визначальних критсготх параметр 1в р!данних систем.

Розд1л 2. Статистзчна сума клвсичних нвшрврвнзх оддокошо-нвнтних систем з парники потвнц!алами

Розглянута континуальна модель система, в1доов1дно до яко! частники дов1льшы образом розташовзн1 в простор! та взавйод1ють за допомогоп парного потенц1элу, яняй залетать т1льки в1д в!ддал! м1ж частниками. Завдання ошсу тврдадинам!чних властивостей таких систем вводиться до обчисленпя К1, якай в парноадатгошму наблияаня! кав вигляд а а

2аЫ (П-г)

ехр [- (р/2 V (Нг-Й1, >), (Г)

(7) 3=1 VI'

до 7 - об»ем система, К - число частигок, р = 1/Г, г-темпвратура в

едаргеткчшх одашщях, Е3 -атома! коордшата, и (г) -м!жатомний ш>-тещ1ал, D - розл1рн1сть простору.

Прнпускветъся, щр штвнц1ая и (г) «¡osa бути розюадэно у ряд Фурьэ:

и(г)=(1/У>) £(k)esp(íkr), t>(k)=J d°r u(r)e2p(--íkr) (2)

tea (V)

О - шожина хвилъовшс Е8ктор1в к. Тод1 повнз штенц1Йна енарг!я систаш вводиться до ввду:

1 г-1 ir tv -i 1 p-1 ™ ГО ОТ

¡ Hy(ErRi - > = ~K"y0]+ - Lü(lc) r(k)+B (k>] (3>

да * ir

>î(k) = ) соа(КНг); ß(k) = ) Bln(kRI). (4>

г г '

Константа v0 введена для компансацИ складових частая з 1=1 ', яку П1СЛЯ yclx ОбЧИСЛВЕЬ МСШПШО спрямувати ДО H8CKÍH48HH0CT1. У сум1 по К у прав!й частая! (3) ввд1лвно дрдаяок з к = О, «(0) = v0. Тут та й усщди дал! суш (добутки) по к нв м!стять додашсу (сп1в~ мвошика) з k=0.

Д!агональний то хвяльовам вэкторам, квадратачний в1даосао A (k) i В (к) функд!онал у прав1й частин! (3) у загальноаду вшадку в знакозм1ншш, тому вид1шаш у ньому позитивзу та нэгативву часга-ш. Для цього розЮ'вш множану yclx хвальових вектор 1в Q на три

fl+. О", íP :

ß+=£k|ü(k) > 0}; £T={k|ïi(k) < О}; Q°={k}ü(k) = О}, та ВВ8Д9МО да! додатн1 функцИ и+ (к) ы «Г (к):

и+(к) = »(к), к е Q+ та и"(к) = -и(к), к е Q". Тод1 вараз для KI зводаться до вигляду:

, » л

Z = oJ.-.J I |—|exp[-(ß/gy>) »+№>[дг(кН^<*>]) ж (у) s=1 fo=q+

« exp ((ß/2V)) ' и"(к')[лг(к'HB2(к')]], (5)

keif

да

а = ехр[(2ф/2Нио - тш0>], n = N/7

Коашз з экспонент в (5) глав т1льки знакоозначвн! квадратичн1 по А(Ю i B(k) функц!онали, ала !з-за п1даэсоння до квадрату додашта з р!знимя атсшнми ш?,гараш "шрвпдутуються". "Перэплутування" пэ-рэборшвться за доподагов пара творения Хабарда-Стратоновича /2 /, п1сля застосування якого одэргвш наступив подання для KI

* о г гГпЧ ^ ] г °° Г Г|—1 ^^ 7 1

2 -0 Н п — ьг п *

(V) 3=1 -ra ktfl

fp-.dg-Qt'X^-^Tj [Г ' - ,

I' ] 2хри~(к') JeZPL~/ . 2ри+(k) J

xespl- > - x

l L__ 2(5« (k') J

Jl'efl-

xeapj-i) '[>l(k)x* (h)+B(k)!/+ (k>]}exp{-) '[а (К' )x" (k' )+B(k' )y~ (k')]].

k'eíT

У гíboay вирэз! в1д атокнах координат залажать т1льки остани! дв! вксшнвнти. Зм!няв порядок 1нтвгрування, отримавмо 1лтвграл PN, який фактор!зуеться, тобто допускав хюдання у взгляд!

= fcf , (6) F, = J -у- espj- í ^[i+(k)coB(kRs)+y+(k)Bln(kRs>] -

(7) Ketl+ (7)

- [¿~(k')cos(k'Ba)+y~(k')Bln(k'Ra)]}.

k'da"

Сл!д зазяачити, щр 1нтеграл Ft мае ун1версальну структуру: "!нд!-в1дуальн!сть" потенц!аду взаешдИ в1дбававться т1льки у структур! мшанн 0+ и Q", у границах яких зд1йсш>8ться п!дсушвування по к та к' в ексгонэн?! (7).

За дошзшгол (6) i (7) KI приводиться до 1лт8граду типу Лапласа:

2 ~с -I* Я гп ^(К> ^(к) у)[ I—I ^(к,) ф 9

дз

(к')

-¡я " ксй?2 к'ео/2

е«р|- №[...,х+(к),у+(к),...,:Г(к'),у~(к'),...]}, (8)

.[(х+»)]Е ♦ [У+(Ю]2]

кей+/2

4-

4при (к)

С

[Гх"(к')]г * Ггм**>]2]

---± + щГр 1 (9)

йпру (к') Ч

к'еТГ/2

1нтаград (8) обчшитеться мэтодом перевалу. Одним 1з розв'я-зк1в система для вазначвння ехстремугйв функцИ С в трив1альнаа розв'язок

х4(к> = О, у4 (к) = О (10)

Цвй розв'язок в домШузгаш, оск1льки при вс1х аГ(к) 1 О, у* (к) + О величина |Р1| <1 та при д1дннсанн1 до ствн1ню К « вне сок хяшпс точок знакаа. Таким чином, значения фушсцИ С сл1д обчислтаати при мвлих г4 (к) та у1 (к). Розкладвння функцИ С у ряд з точн1стаэ до

член1в четвертого порядку ш аг(к) та у4(к): *

с 51

к^/г

3 цього сл!дув, пр при ушв! Г > Т в п шх(и-(к')) РОЗВ'ЯЗОК (10)

к'е СГ/2

визначав точку м!н1дуцу функцИ С. Таким чином, коли множила й~ не-порошя, то на твшаратурн1й в!с1 1снув особлива точка Г . Шдставля-вчи розклвд Б в (8) 1 антегрути ш зм1нним г4(к) та у4(к), знайдвмо

1П2 = —("0- пуо] + (7/2) Г Пк 1п[г+(к)/гсгГехрГх*1ег1с[х^] +

2 <а+>

(И)

+ (7/2) | Шс' ехр|х*)ег1с|х_}],

до \ = /Ff&.CteJil], ~ 1 /при"(к), Dk=A/(27c)s. Ол1д заува-

хята, п?о обл1к т1льки квадратичних по яг (к), у* (к) чжэн1в в розклад! фушцИ G приводить до рэзультату /I/, який можа бути отряманай га бвздасередньо 1з виразу (II), кола скористуватася асимптотикою 1н-теграла йтв1ршст! при I&J » 1, (21 > т ). У давн1й робот! обчкслен1 сп1вшояейки

+» Г у -V +<» í 'В л

Н" S^OT^H р-- Н" г5г5^]<(рК

о а

внзначаmi KI, вираз для якого було отрзмзко у / 3 /. Тут J0(p), 10(р) - звнчайна та тдаф!кована функцИ. Бессэля. Для обчислення обох !нтегрзл1в застосовуеться штод Лапласа. Розкладуичи J0(p) в в ряд в окал! точка р = О з точн1стп до члэн1в „ря отримавш

Р+ = 2 / V [g+(R) + 1 ). (12)

00л1к доданку п. р* приводить до результату

Р^. . 2 expjx*) erlcfxj. (13)

Цей вираз ззодаться до (12) при К+» 1. При обчисленн1 Р_ сл1д прий-

нятз до уваги, щр монотонно зростаючв фунад!я 10(р) моаэ за1стити

точку пэровалу (р=0) з нуля. Шдэ?.® 1нтэтрал Р_ у взгляд! 00 ~

Р_ . |ехр[-И(р)]рйр, !(р) = g_(k')pV4 - lnt0(p).

о

Легко показати, щр асимптотику Р_ при вэлаких ff нэобх!дао розгля-дати у трьох областях:

1. g_№') > 1 + е - надкритвчна область, Н, Г > Те.

Н. 1 - е < g_(ít') < 1 + б - критична смута, К, 1271,-11 < е.

3. О < g_(k') < 1 - в - длкрятична область, Д, Т < Та,

оск!лыш при g_ > 1 функц!я 1(р) у нул1 fías м1н!муа. а при g_ < 1 максимум (малинок I.>.

У надкритнчн1й облает! Н в рознлад! 1 (р) досить зберегти т1льк! «р* члени, як це було зроблено при вазначвнн! формула (12), щоб одержати

Р_(Н) = 2 / ff (g_№'> ~ 1) У кратичн!й смуз! К лараматр Х_ взв не такий великий i у розклад!

Мал. I. Схоматзганий грзф!к функцИ 1(р) при §_№') > 1, )=1 та е_(к')<1 (крив! 1,2 и 3 в1дпов1дио)

О 1 £_№')

Мал. 2. Залеян1сть шложвння точка м±н1муму р1 функцИ. 1(р) в!д параметру

сл1д збэрегтя члени нэ тЗлыс! другого, адв а четвертого порядку ш р. У результат! отримаемо

Р_(К) = 2 / x/S ехр[х*]ег1с[х_] (16)

Зв1дси вшакав, що ширина критично! смути, тобто параметр б, мае

порядок мализна 1 /-/zT { умова Х_ « I ).

У донригачнШ области Д кеобх1дао скорпстуватися розаяадом f(p) в окол! точка нового м1н1муму pt, у якому

1'(РЖ> = aL»')Pt/Z - ^(p^/^ipj = 0. (16)

1нтвграл Р_ у цьому наблшэнн1 мае взгляд

ехр(-И)г ( И» ") --- Г Г ffl-n^ll

р_(д>= _ P*J + р1У2^1"ег1с |pt J JJ

да 1 я 1" - значения функцИ i(p) та 11 друго1 пох1дао1 в точц1 р - pt в1дпов1дао.

Показано, ¡цо залвянЮть кораня р1Енявня (16) в1д вешгшни парамвтру g_(k') даеться формулой

Plra_(k')] = г /1 - [s_(k')]z/

Точка g_(Ic')= 1 в точкою пэрвв1ття розв'язань р1вняння (16). Граф1к функцН pJ[g_(R')l подано на налшку 2.

Поява Н0Е01, в1да1нно1 в1д нуля, точка перевалу в интеграл! подав собою математичну причину фазового шребудування .в систе-м1. За свози природою да явзда зр!дн! спонтанному порушвнна симат-pil у квантов!й теорИ поля, також зв'язаному з зыЛною голодания м!н!муму эффективного потенц!аду.

Розд1л 3. Фазов! перехода в однпкошонэнтншс системах

У шблшаш! (12), (14) знайдан! внутр1шня анврг1я U, !зо-хорна тэшюеш!сть 0v та р1вняння стану Р:

U = Uid + — [и0- nvj + (V2V2)Jm: npy(k)/[l + np«(k)]

2i пи

? = ?..+ -°

td 2

- (f/2)jllk|im[l^u(lc>]- npw(k)/jl+npy(k)jj (17)

Cv= £Td + (V/H) Juk Jnp«(k)/[l + npu(k)jj2 (18)

Ц1кав1 висновкп, щ} вит1кають 1з цех форгдул:

- обл1к MlsaTOMHoi взавтдИ, нэзалвжнн в!д il знаку, приводить до зюваення тиску у гор!внянн! з тайком 1дэальшго газу, оск1льки функц!я ф(х) я In(1+z)- z/(1+-s) п1д !нтегралом (17) незашречна в ус!й облвст! Н.

- з аналог!чних причин шэсок м1жатошнх взавшдШ в внутркши енэрг1Е та 1зожорну т8шю8ш1сть шзитавний.

Наобх1дна уьюва наивности ©I парного рода для систем з и (к) > о кшв вид

11а ((i/tk))*!^1) = О }к|-«»

Ваконвння ц1е1 умови забэспечуа зб!жн1сть 1нт8грал1в, як1 входять до рХвняння для одэряання КТ:

(eP/ôn)T=0, (д2Р/дп2)т=0. (19)

Для таких систем 1з указ тершдннвшчно! р!вноваги знайдвш вираз для густин сн1в1снуичих фаз в окол! Kî у вигляд! розклад1в по степенях введено! твмпвратури

at s = пс t ^(-в)"'^ В0(-в) ± ^(-в) 3/г.

АналоПчно назначаться г!лка сп1шдал1. Ковф1д1енти розклад!в залегать в!д нараштр1в и1жатомного потенц1аду. В окол! КТ крива наси-чення, б!яодаль и сп!нодаль волод1шь асимэтр!вю, яка знака в у гра-ницях В ■> -О, а а параболами 2-й степэн!. КратичниЙ !ндакс р = 1/2 1 не залегать а! в1д ввду ш>тенц!влу взавмодИ, н! в1д розм!рност! простору.

Вяконаний розрахунок критичних параматр1в, побудован! крив! сп!в1сування ! сп!яодал! дом систем розм1рностей 1,2,3 з двохпа-раматрзчнями и!«втомними пот8вд!алгш, фурье-образи яках наведена функц!яш

и (k) = i/taW), (20)

и (к) = Д/(аЧк4), (21)

дв А > 0 та а > О парвиэтри штенц!ал1в. Парн! штвнц1али, маши незапаречн! фурье-образи на обов»язково в в1датовхушши у координатному простор! (потенц!ал Норзэ або л!н!2на комб!нац!я екрашва-них куяон!всъких нотвнц1ал1в-нри в1доов!дному вибор! параметр!в в

в1датозхуичз!®1 на калах в!дстаннях та притягуячими на воликих).

У когпому вшздку знаЗдэно тачний розв'явок система р1внянь (13), який, паприклад, для (20), Б=3 мае вигляд

аа 24х/з^

пс=-— - —» яврвиа = 2

а V

о

Кратачн! параметра вакорастан1 для приведения р!вняння стану (I?) до бвзрозмйрно! Форш:

. в(а'ф) - и; * ? - (22)

до 1 =Г/Ге, <р = 7/Тс, х я Р/Рс- звэден! твмпаратура, об'ем та тиск,

в1доов1дао, ге= 2--/з=0,2б8 - критична стистлив1сть. г,< 0,375 для реальних р1дин (р!вяяшя Ван дар Ваальсу дав значения р1внэ 0,375). За догомогов (22) шбудоввни 1зотерми, як1 ттъ вэртшальну асвмп-тоту в нулав! та при т < 1 "ввндэрвавльсов!" петл1. Густзни сп1в1снуотвх фаз обчиошються за формулами

п

с

в 1 + 4.24з/"Т - 5.8(-6) ± 2.956 (-В)3'2

На кал. 3 зобраавно крав1 1снування, шбудоввн1 ш р!вняннв Ван дэр Ваальса, за експэраментальним даншши для аргону, 1 розрахова-н! для (21) та (20), крив! 1-4 в1дпов1даэ. Звертав на себе ува-гу нвзначна в!да1на газонах г1лок нривих I зроставче розходжзння р!данних г1лок з1 зншшнням температуря. Остаяня обставила обумов-ланз в!дсутн1ста твэдо! серцевини у модельного потенциалу та його в1датовхупчш характером. Сп1нодаль для сестэи з и(к) виду (20) моей бутя знайдана двока засособагет: I) р1вняння (*»РЛ»л)т= 0 мота вир!шено точно для будь-яких температур; 2) в окол! КТ сп!нодаль назначается за на&шзэними формулами, як! застосован!, якщо v(k) мае 1 б!льш загальний вигляд. Точн1 значения густин речовани в мэ-тастаб!льному стан! е розв'язкаш алгвбра1чного р1вняння третього порядку, яке зводяться до безрозм1рно1. форма за допомогою критичних параметр 1в по и Рс

¡2ы/г + ч] ~ = О.

Р1ВНЯННЯ стану (22) дозволяв знайти КТ будь-якзх порядк1в та побудрвати сп!в1снуш1 кваз1сп1шдвл1. Екгаюришнтальн! дан!

Мал. 3. Крив! сп!в!снуваняя

для азоту /4/, води та пропХлену п1дтвардаувть нвявн!сть кт 2-го порядку. Надкратичиа точка, зиайдэна з р1вняння (22), мае приведен! координата i = 1.026, % - 1.112, <р = 1.451, як! близьк! до значвнь % =1.066, % =1.160, <р =1.333, отрзшених з р1вняння Ван дер Ваальсу та значениями 1=1.049, чьи, 144, <р=1.506 дня азоту з робота / 4 /.

Деяк! тершдзнам!чн! властивост! система, частшкн яко! взаеш-д!вть за допомогов потевд!алу з фурьэ-образом взгляду (20), у закри-тичя1й облает! виявляить шшва! ск1нчен1 максимума. Це мав mícto для !зотерм!чно1 стисливост!, коеф!ц!енту теплового розщрення, а також !зобарно! тешюамност!. Величина кожного максимуму залежить в1д темшратури, як в!д параметру та спадав з хйдвщенням темпера-тури. Для козено! з цах функц1й !сзуе температура, нище яко! максимума зншаить.

Уяву про характер Ш можливо отримати, якщо припустите, що в формуваян1 статистичного !ятвгралу головцу роль в!д!грав одна !зольована шда v~(k). Тод! Z апрокевдувтьея виразом

2 = const[exp(-g_p=/4)Io(Pi)]N=coiiBt(exp[(g_-1 )р'/4 +■ р*/64]]

Зв!дси одэркуемо вираз для в!льно1 енвргИ Гельмгольца

F = -TlnZ = Рй+ J№ [(g_- 1 )Pj/4 + p*/64],

аналог!чний розкладу Ландау /5/ за степенями параметру порядку окод! КТ. Роль цього параметру в!д1граз кор!нь р4.

Вяутр1шня енэрг!я дор1внш

и = иа- тр] = т = V да а -

Пра Т=Та, у цьому ванадну стрибка впутр1шньо1 внэргш в НТ нэ-мав, що в1дпов1дав ФП другого роду, а стрибок тошговмюст! дор!внтв .

АО =

В Н-облэст1 ус1 > 1 1 тому шатано корастуватися форду-

лош (12) для та формулою (14) для Р_, щоб отршати

1п2 = 1п2.а+ —[уо- п2в] - (?/2)|вк + гс0У(к)}. (23)

1з (23) знайдвн! твршдвн8ы1чн1 фувкцИ (17), (18) систада. Ягацо

шх и"(к), обуковлгалий Ш, достатньо гострзй та мае взгляд кеСГ

тГ(к) и и"(0) - Ак* + ..., А>0 (24)

тод! 1нтэграл (18) пэрэтворваться у форму

С, » - по~(0) | « (Г - 2,с)~°1

та дав сл1душэ значения критичного показнана ташювмност!

а = 2 - Ш (25)

Цэ в1дпов1дав' гаусовоьог наблияэннэ /6/. Якщо вЛдхилання у~(к)-и~(0) на квадратична по к

и"(к) - и"(0) = - А|к|п

Тод!

а = 2 - Б/т.

0соблив1сть тэшгошшст! шряд сбуетшина 1вфрзч8рвонт,1 розход-жаняи 1гшульсшго 1ятэгралу при к=0.

У критичн!й смуз1 К фушщ1я 1 (р) досягав найманшого значэння по р або в точц1 р0= О, або в и окол1. В цьому випадку для знаход-аяння 1п£ необхХдно замЮть формула (14) для Р_ скористовувати б1льш точну формулу (15), так що

ш г = + Я] " 1 + ) +

+ (7/2)J Dk g_(k)/«FeKp[xl]erlc[K_jj (26)

Q~

Цэй вирзз застосовний у як зангодно малому окол! КТ. У ц!й формул! в!дсутня логарифм!чна особлив!сть ln(g_(K)-1), яку мае InZ в набл228нн! (23): при g_(k)=1 (Х_= О) вараз п1д знаком другого

Интегралу дор!вншв 1п/гН В!н великий, ала оОгдвганай. Особли-в!сть такого типу з»являвться у результат! вкстраполяцИ 1з облает! Н взраз нвпрвдатшй в облает! Е. Цэй вясновок залвхнть в1д порядку, в якому взконшггься два граничних переход!: Мс 1Ь о. Paalma ми покладали g_(k)=1, тобто Т = Тс, ! т!льки пот!м TS пряэду-вала до неск1ячэнност!. Яюцр а, заф1ксував g_(k) / 1, сшчатку спрямувати ?/ до к>, то у зв»язку з тш, що Х_-* <», ми швврнвмося до формула (23) та вс1х п висновк!в, внлоташчи шлогэння особливост! та критичн! показники.

Враховушчи, щр в критичжШ смуз! |Х_| < 1, ыожливо застосувати на ближе ння

esp[xi] erlo[x_] = 2//iT[ Х_+ / ХЧв ' ],

у якому В-швол! мЛшшвий параметр. Прийыаши до уваги екстрамаль-

ну ( ~1/У1Г ) близыс!сть g_(k) до 1, трвт1й доданок у статистич-вощ 1нтвграл! ( 26 ) шжва показати у взгляд!

(7/2)jDk m[2/F/ [х_+ /FTb ]]

Зв1дси ясно, що навколо Тс вне сок в!д колшшьо! "сингулярно!" облает! в InZ та !нш! тэркодшам!чн! функц!! мае той а» порядок вали-чини, що й в1д Наших областей к-простору.

У температурзо! залахаост! 1зохорш1 твшюемност! ( а також 1нших величин) иогна вадучита двк!лька д!лягок:

- область висоних температур (малих густин), коли газ шжна вважати !деаньнзм!

- надкритична область, в як !й працш гаусова мод эль. У ц!й облает! [Г/2^-11 > 1//F ! тепловмн!сть наблиааеться до сингуляр-ност! з критичним шказникоы (25) s

- критична смута \Т/Тс-\ | < \/-/1Г, в як1й критичний показник а наближаеться до нуля.

Характерною озпаков ФП в ваникнення корвляцИ густши з рэд!усом кореляцН Re, залегшим в!д температуря

Ве= V > О

так, щр в нэвпорядкован1й Н-обляст! при Г/Ге»1 рад1уо корвляцИ наблнаавться до нуля. Ц1 обставини м1стяться в розглянут!й теорИ разом з виззачениш величинами критичного Лндекоу v та Н0. Для цього скориставшся форму лов, яку легко первв1рити

&(Н> = (2Т/7)|ей |ölrL2/ ßy(K)J exp(lkR).

В H-oöJiecrt скорнствешея формулою (23) для laZ 1 знайдвш

G(R) = Т |ш exp(iKR) n2p*ti(k) /[ Unßü(k) ].

Якщо для и-(к) застосавано "гаусовэ набошиння" (24), то 1нтеграл по к можпаво знайти мэтодом лпшкЛв

G(R) = jnv(k0)/A| exp(-k0R)/4<JiR, да k0= / (T-Tc)/nk .

Таким тагом, кореляц1йнзй рад1ус у цьому набляявнн! дор1внвз

Не= 1/kö= ij V, R0~ /A/u~(0) ' , v = 1/2.

Очевидно, щр в узагальнен1й кодал! (фородла (30)) нритичвий показ-ник v дор!внш 1/ni. В1н пов'язаний з критнчним показником твшговм-HocTi а в1доко! формула vD = 2 - а /Б/. Ми прийшш нарезя! до reo-pil Оршатвйна-Цернякв / 6 / з т1ею, лише р!зницев, що у нас в1дсут-н1 фаномэншог1чя1 функцИ та парамэтри.

Ц1лком ясно, щр перетворээяя Re в нвск1нченн1сть при Т •» Тс в висновком окстрашляцИ формула (23) за границ1 11 застосування.

У додатках до дасертад1йно! робота шказан1 найб1лыз суттвв1 1 склада! розрахунка.

У зашшчвнн! зфоряульован! результата та висзовки дасертацП.

0CH0BHI РЕЗУЛЬТАТ ДЙ0ЕРТДЦ1М01 Р0Б0ТИ

Розробдэно метод розрахунку тэр!.юдшам1.чн2х властивоствй од-нокошшвнтних класячннх систем з парннма потенц1аламя взаиюдИ, побудованний на обчислани! HI. При цьому впэрша:

- отрамано внраз для KI, яетй mssa застосувувати в як завгод-но вузысому окол1 КТ.

- встановлено наявн1сть особливо! точка на тешературн1й ocl, при ущ>в1, пр и (к) < 0. У дшиу вшадау показано, що осо&швост1 у тврюданам!чних функц1ях "згяадауються" при виход! за гранац1 гау-сового наблзжвния та обд1ку ок!нчэнност1 числа частиншс Я та об'в-щ У.

- 1з "парших нривдшйв" вивадана умова спонтанного порушвння сикэтрИ в класичнах напарврвнях састешх з двучастковиш ввавмо-д1яш у рамках эргодячного наблшэння.

- знайдано точн1 розв'язки для систеш р!вняннь, визначвших КТ, а також р!вняння сп1надзл! одаокошонантнах систем з модальни-ш м1жатомними штвнц1ал8ма.

-отримано шрази для густин сп1в1снряих фаз та густин фаз у мэтастабЗльшму стая1 дан дов1яьних штевд!ал1в з v(k) > 0, вяко-нано розрахунок кривих наскчення для шдальних датвнц1ал1в.

Иатер!али двсертацИ надрукован! у сл1дувчих роботах:

1. Захаров А.Ю«, Грановский Я.И., Локтионов И.К. Фазовый переход второго рода в классической статистической механике-точнов решение

Седьмая всесоюзная школа-семинар "Применение математических методов дня описания и изучения физико-химических равновесий": Тез. докл. Всэсоиэ. школа-семинар, г.Новосибирск ишь-шшь 1992 г. Ин-т нэоргЕничэсзгой химии 00 РАН - Новосибирск/ НГУ, 1992.- с. I30-I3I.

2. Грановский Я.И., Захаров A.D., Локтионов И.К. Теория фазового перехода второго рода в одаокошонентных классических системах парном потенциалом - вывод из "первых принципов" / Донецкий шлитахн. ин-т,- Донецк, 1992.-с.18, 2 ил.-Енблшгр. 8 назв.-Двп. в УкрШЕГШ IS.I0.92, N 1655 - УК 92.

3. ZaMiarov A.Yu., loktionov I.E., Panpv V.A. Factorization Method end Exact Solvability of Realistic Models in Classical Mechanics Xl-th International CongresB oí Mathematical Physics. Paris, July 18-23 1994, Oneaco-Sorbonne.

4. Захаров А.Ю., Локтионов И.К. Конфигурационный интеграл непрерывных классических одяокомшаентных систем с первыми взаищцвйст-виями/ДГТУ.-г.Донецк, 1994.-сЛ2,-Вибдиогр.9 назв.-Двп. в ГНТБ Украины 08.07.94, #1283 - Ук 94.

5. Захаров A.D., Локтионов U.K., Терехов G.B. Метод факторизации в задачах классической статистической механики. Расчет бинодали и

спинодалк однокомпоиэнтвых систем в окрестности критической точки ДГТУ.-Донецк, 1995.- с.11,- Виблиогр.8 назв.- Деп. в ГНГВ Украины 10.01.95, ЭТ95 - Ук 95.

6. Zakharov A.Yu., Lolrtionoy I.K., Ропот V.A. Factorization Ие-thofl in Problems oi Classical Statistical HechcniCB 20-tli Seminar oi the ilidtile European Cooperation in Statistical PhysicB. Schloß Puchberg Wela Austria 21-23 March 1995.

7. Захаров A.B., Локтионов И.К. Метод факторизации в классической статистической механике. I.Конфигурационный интеграл и метод перевала //в сб. Электронное строениэ и свойства тугоплавких соединений и шталлов. Киев/ изд-во ИЛИ HAH Украины IS95 г. - с. 4--I5.

8. Захаров A.D., Локтионов Й.К., Шронэнко Л.П. Метод факторизации в классической статистической шханике.-В сб./ Сборник трудов га® ДГТУ - Донецкий государственный технический упаверситет-

- Донецк/ ДГТУ - 1996 г. - с.34-40.

9. Захаров A.D., Локтионов И.К., Грановский Я.И. Фазовый переход второго рода -"из первых принцнпов'У/ФТВД -1996.- Т.Б, ЯЗ.-с.88-96.

10. Захаров A.D., Локтионов И.К. Фазовый переход второго рода в однокошонэнтных классических систе'яах // УФЖ - 1996.- Т.41, ff II.

- с.

Цнтована литература.

1. Зубарев Д.Н. Вычисление конфигурационных интегралов для системы частиц с кулоновсюш взаимодействием // ДАН GGCP 1954, т.35, N 4, с.757-760.

2. Васильев А.Н. функциональные метода в квантовой теории поля и статистике. - Л./ ЛГУ, 1976. - 296 с.

3. ZaXharov A.Yu. Bzaat calculation method oi the partion function for one-component olasaical sieteas with two-body interactions // Phya. lett.A. 1990.v.147. N 8/9. p.442-444.

4. Вассерман A.A. О тершданамичвской устойчивости азота в за-критической области // MX, 1964, т.38, с.2942.

5. Ландау Л.Д., Дифшиц Е.М. Статистическая физика, чЛ.- М.: Наука, 1976.- 584 с.

6. Ш Ш. СоЕрэиэнпая теория критических явлений. М.: Map, 1980.- 299 с.

Клшов1 слова: конф1гурац1йяий ЮТеграл, парн1 взаемодИ, фа-зовий пэрэх!д, рйзняння стану, тешюеш1сть.

Б U Л 1£ A R Y

Loktionov I.К. Method of factorization in the statistios of classical one-component systems.

Thesis submitted for Candidate Degree in Physios and Mathematics (topical field: 01.04.02 theoretical physics).

Donetsk State University, Donetsk, 1996.

It is given a method of evaluation of the configuration integral for the one-oomponent system with, two-body interactions.

With the help of the expression for the configuration integral obtained in this work phase transitions of the first and second type have been considered.

Keywords and phrases: configuration integral, two-body interactions, phase transitions, state equations, isohorio heat.

&.НН0ТАЦЙЯ

Локтионов U.K. Метод факторизации в статистике классических одаокомтонентных систем.

Диссертация, представленная на соискание ученой степени кандидата физико-маггаиатичэских наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика.

Донецкий государственный университет, Донецк, 1998 г.

Предложен метод вычисления конфигурационного интеграла дои одаоковдюнэнтшх систем с парными взаимодействиями. На основе подученного выражения для конфигурационного интеграла рассмотрены фазовые перехода первого и второго рода.

Ключевые слова: конфигурационный интеграл, парные взаимодействия, фазовые переход, уравнение состояния, теплоемкость.

Отпечатало на ризографе

ООО «ИНФО» Подп. I печать 10.01.97 Усл. печ. л. 1,5 Уч.-шд. я. 1,25 Тираж ЮОжз. Заказ №569 340000, г. Донецк, ул. Артёма, SS, 11}