Метод Галеркина для линейных сингулярно возмущенных краевых задач на адаптивных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

60Р0НЕ1СКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТЙЙ!»«УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО -КШССМОЛА

На прпвах рукописи

Етатояа .Виктория Вильсеяя

МЕТОД ГАЛЁтаША ДЛЯ ЛННЕГШХ СИНГУЛЯРНО ВСШТЦЕИИЧХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ШПТШШХ СЕТКАХ

Специальность 01.01.02 - даТ^оренциальнно уравнения

Автореферат диссертации на сэтискшШс ученоП степени кандидата ?иэпкочтома,птскйх на}'«

Ворона* Г990

Работа выполнена в Воронежском ордена Ленина государственном университото имени Ленинского комсомола

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Стригин В.В. .

Офтциальниэ оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Еоглаев Ю.П. кандидат физико-математических наук, доцент Смагин В.В.

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. Ломоносова

Защита состоится 20 декабря 1990 года в 15.10 на аасе-•Дании специализированного совета К 063.48.09 по присуждению ученой отепени'кандидата физико-математических наук в Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по .адресу: 394693, г.Воронеж, университетская площадь, I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского университета.' ^

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь специализированного совета /

В.Г.Свягкн

ОВДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛЕОта

: Актуальность xof.ni. Многие зада1® физики, механики, оптимального управления, гидродинамики и др. приводят к необходимости решения сингулярно возмущенных краевих задач (свкз) . Проблема разработки специальных численных методов для СВКЗ является актуальной, поскольку традиционные метода для таких задач, как правило, малоэффективны.

Исследованиям по численным методам для СВКЗ посвящено значительное число работ. При конструировании большинства таких методов существенно используется априорна^ информация об оообениос-тях решения исходной задачи. Получить такую информацию позволяют асимптотические методы, разработанные в монографиях и статьях А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, В.?.Еутузова, М.И.Вишика, A.M.Ильина, С.А.Ломова, МЛЛедорюка, С.С'.Сещенко, Н.И.Шкиля и других авторов. Собственно численным метода).! для СВКЗ посвящены работы Н.С.Еахвалова, Б.М.Багаева, И.П.Боглаева, И.П.Боглаева, Б.С.Доб-ронец, К.В.Емельянова, А.И.Задорина, В.Н.Игнатьева, В.Д.Лисе^ки-на, Г.И.ГСишкяна, У.Ашера, Р.Вайса, Дя. Лоренца, Дя. Миллера, А. Абрахамсона, Р.ВуляноЕИча, К.Сурла, М.Стинеса и др. Больпинство строгих результатов относится к упрощенным модельным СВКЗ, когда оператор исходной задачи и краевые условия имеют весьма специальный вид.

Цель работы. Разработка и обоснование на базе параболических сплайнов метода конечпнх элементов Гал'Зркина решения линпГпнх векторных зодпч общага вида на адаптивных сотках.

Методика исследования. В работе применяются метода <fymaw-окального анализа, линеГлой алгебри, тоорпи ди^еренииаяьннх уравнений, теории сплайн-Функций, асимптотические методы.

Научная новизна, практическая I! теоретическая ценность. В •диссертации изложены слодучгцие новые научные результаты:

- Доказана общая теорема о равномерной ограниченности семейств;! ортогональных проекторов в операторной ^-норме на пространства типа конечных элементов;

- Разработан и обоснован сходящийся равномерно по малому параметру метод Галёркииа для линейных векторных СВКЗ общего вида, когда матрица краевых условий является блочно-нижнетреугольной;

- Разработан и обоснован сходящийся равномерно по малому параметру метод Галаркина для линейных векторных СВКЗ общего вида с общими краетьта условиями.

Предложенные варианты метода Галёркина могут использоваться для приближенного решения широкого класса прикладных задач и написания программ для решения СВКЗ с высокой степенью точности. Разработанная в диссертации методика оценки норм ортопроекторов может применяться для дальнейшего развития проекционно-сеточнкх методов для СВКЗ и жёстких задач.

Апробация работы.-Результаты диссертации докладывались на семинаре академика А.Н.Тихонова (МГУ, 1988) , на 7-ой Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989) , на второй Всесоюзной конференции"Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989), на научных семинарах профессора А.Г.Баскакова и профессора С.Г.Крейна, а также на научных семинарах и конференциях Воронежского университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. В диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно.

Структура и обьом работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав (глава1 - §§1.1,1.2; глава II - §§2.1-2.4; глава III -§§3.1,3.2; приложение^ списка литературы, содоржааего 68 наименований. Общий объем работы 143 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖА!:>'й РЛБО'г:;. Настоящая диссертшглд посряпоич разработке иетодп Гал'рки-т для липеГпшх краевых задач опда

"Л^/Ч^Ч-Л^Й ^гДЙХЙГ и«/' (,)

1деас=сх<,...?хг)т, . е>0-малик параметр

Предполагается, что для задачи (1)-(2) выполнены все усло-

*

шя , обеспечивающие существование.и единственность решетя дан-га й задачи с экспоненциаяьиимя пограпслоягли в окрестности точек ± 4- .

Первая глава посрятена изучении равномерной в норме ¡|||1.-*-|_ (граничениостя семеЛства ортогоналышх проекторов Р= Р(£,М (к ~ :еточнцЯ параметр) на пространства типа коночных элементов, поет-юенннкх на сетках, щсдлокешшх Н.С.Гохпаловкм.

Спшем эти сеткл.Зафиксируем >О и некоторое натуральное . Цусгь ае,=-1 + ~£|(нс| = .Поло-

та п~ Ут . Определим

+ л/ -ил ТУ

-ь

3 - ~ £ Л0

(■ А.Б.Васильева, В.Ф.Рутузоп. Асимптотические разложения реаенгЛ' .отулярно мзмуцетгох уравнений.-М.: Ипука, 19чЗ

При Ь с- [0,4] график изображен на рис.I. Очевидно, что (|(t) £ ^[-f, <] е взаимно однозначно переводит C-i;Jl в L4?, (J (к)=Т Определим вначале разбиение

отрезка Lo,^} , Пусть = 3?2, На отрезке ) положим Т;,-

= 4- cv^/m. (i= wh,,.,^

а на отрезке [0',Э?г] =.

-зе^Лн (1= т-1,тгД,...,о)

Положим = (U 0,Jm)

рис Л

Разбиение

построено (см. рис.1). Всюду предполагается, что б|&1Е|<< lt = . Будем рассматривать также расширения разбиений Л » которые получаются добавлением узлов "tj f (¡-¿m)-к,т.( JwH,,..m+ к), tj=

... y-JLm-к) CK, - натуральное).

Для кавдого разбиения А = Л введем множество индексов

w-i,ntj, Д{wt+^w+^.^wtür-ii

Разобьем отрезок Irl', A3 на три интервала Ii = tri)

~C^-m-i > ^тиДусть ^ - частички!!

отрезок

Обозначал чэрев семейство i-j

'.онеч

номерных пространств rV -мерных гектор-^унктшй. При необходимое будем доопределять функции из & тоздествошпгл нулем при \tl>

ЧорпЗ , С.^ ,____ буДСМ 0"':рн!ч'!-ТГЬ КОНСТаИТ», НО ЗПЕЯРЛС'.ИО от

е. и : со

Предположим, что в г:,т»лом из пространств сущест-

вует базис В > ки , - натуральные числа,

на зшзисяяио от 6 и К^ со слодукпики споГстгагли: I. При каждом £ к п, базис

В (6, к ! К, можно разбить на ^ -групп В § (5=4,^,,..^ К.) , причем (Гумкпки любо!', из групп Вл >/огно представить в виде

5 = 4,...,К;

х О I (1>|

где каждая из координатных ¡ТункциЯ Ж $ ^ имеет вид

Здесь Нз,^ О') -Тункгия с носителем А$,: = (^"и

и равно либо К , либо К-1 ; 1-1(5фК.) ршшо ли'о

1- ,лкбо ¡+-1 , Ппичсм 0 в I)-VI

где -длина носителя -Л^'.

йуншшудорлетгорчют опенка;/:

а) при Х^сХз , ¿е-Х^ или при

п^сг,)5 141 » у

б) 1ггнТ^с13 ( | 6 31 и.™ при ^СХ^^еТд'

в) при 1с|С1г, | ^ ^ пли при 1ц С [-1; 13

И. Гожжушюсть (5=1,...,и; .¡.-¿т-*,...,*«-*)

обладает свойством равномерной линейной независимости в

и н-11

т.е. найдется такая константа С>0 , что для любого набора

м

1\ ^«МУ! * С ^ (Н-Чз.-норма в 1,1-4

Основная теорема (о проекторах) . Если выполнены условия I и II , то семейство ортогональных проекторов

на

пространства равномерно ограничено в норме & 1,1],

т.е.

■ ^

(ортогональнооть проекторов понимается в сшсло

Опитом основную идею доказательства этой теорога, считая для простоты, что 11= 1 ,

Представим ортопроектор ^ на ^ в вида

РШЬ ^

г <! $

•де л^ (Ь) - базисные йункши, а (^образуют в ^Сс,!^ ¡иортогоналышй к

базис, т.е.

ЦА)«^,* го

( К - символ Кронекера, скалярное произведение понимается в

смысле д

цио) ^ I Х,с

I ч I

функции -А^ Ш будем искать в виде

а)

¡3 условий ('¡) для опгвдол?нкя козМиадмитов 5 получао*/!

чкнеГну» алгебраическую систоку I с матрицей Г1 грпг/ >

г-ункплй . Здост, - 1-й единичный орт (ь- -^¡и-к,...

'т-А), Очевидно, тогда, что вектор сС _ость I -й столбец та?--жци Г . Поэтому изучение- яродстззлолвя (3) сводится г. г- п-

I I I Н / I I I

се величин

К*,у. опенке элементов матрицы 1

Удаётся доказать (см. §1.2), что при "Ь е ^'Др-н]*-

со

'до 4-

^ С < + Л»

, \7--Oo 'Г

С -

не зависит от

Предлагаемый вариант метода Галеркина состоит в следущем. усть р, 1)3 - пространство 1?-мерных сплайн-'Туикций

тепеня р дефекта I . Прибли-пенноп решение задачи (1)~(2) яется в пвостранстсо! Е^ЕО^Ц :ТущщиЛ пз [5(ДД-ОЗи*'", удо-логворяйхих кргепьг! услорням ('¿) . Пгостртстра Е ~ Е К) 1гл— нлагт пробны м и. ¡¡гостр.о-чстр'д У(с.,к) , на которые сугцествляется проектаростниа^ называет г о с т о з и к и .

!"етод Галёркшт для задачи (i)-состоит в отыскании та->й функции ЕС^Л) , что для любой йунк-

о ее)

;е а скалярное произволение понимается п смысле

Введем в рассмотрение ортогональный в (ЦС-^и) прорк-

Р . '#». '-------------" " -/"/ ••учп-

т ?= УС^Ь). Тогда задача (б) будет зквлвалмг а операторному уравнен:®

Во второй главе рассматривается случай, когда J—L^E. Здссь Р действует на 3-, как тождественный оператор,и из (?)

и

получаем, что Р4 , 3^= (г£ Р^' , где 6^=

Далее, обозначим через решение задачи (!)-(?■]

Тогда

1\ * t ■- *'г l= 1 - ь w l - * ч - ц (8)

С "S" - наилучшее в L^ приближение в пространстве cFC^A)) Аппроксимйгаюнные свойства пространств

изучались ранее в работах В.В.Стрыгина и И.А.Елатова, где для гладки: ■J была получена оценка

. В §2,2 главы I!

Аз

установлено, что ^^t^L^L^ С4. Поэтому из (8) имеем

Таким, образом, для получения в методе Галёркина равномерн: по £ оценок точности 0 Сг^г) достаточно установить равномерн; ограниченность семейства ортогональных проекторов, т.е. что

II РII L -.L 6 С W

оо rt>

доказательству оценки (9) посеящена основная часть второй главы. Согласно результатам главы 1,для доказательства этой оце; ки достаточно построить в 5"= К)семейство базисов, удовлет воряюцих условиям I к II Основной теоремы (такие семейства баз; сов будем называть

jf

-базисами) . Построение

jf

-базисов

проводится в несколько этапов. Вначале jf -базисы строятся дл

с;'»г; -"г-ного оператора просто.Ъего ряд* о простеГггаки :срае-условиям. Затем этп краея^з условии заменяются »а кр.эотзне 'словил (2) . И, наконец, строится íf-dазнс для опоратерп яс~ :одноЙ задачи.

Отметим, что построить d семеЛстго У- cininco^

caí,их обгиих краевых условиях но удается. Поэтому го второ!1 глп е рассматривается случай, когда п краевых условиях (2)

О

§ 2;4 главн II посвящен доказательству р4впомерноП лшеЛ-ой независимости построенных базисных íymnm.1 в L^t-'Hl » а в лучае их иной нормировки - равномерной линейной независимости в v*,t-<;1J (см. п;2.4.5) .

Доказана

Вторая основная теорема. Найдутся такие числа €о;>0,^о>С); ,С>0 , что для всех £е(о;бЛ> Ь € tb; I elßvtßU X-h-

шеркинская задача имеет единственное peremie мчем справедливы оценки

ll^-Xf Нс ¿ сЛг

В третьей глада рассматривается задача (i) с самыми оощими аевкми условия?® (2)

* При этом тестовкэ пространства бкраются специальным образом: í (É, h^ó^^^lt) , гДе > пространство (К>г) -мерных параболических спла!'ноп

звлетпоршэтх краевкм условиям ГС(-^)=0^ = Jj"' I 6)=0, а оператор имеет ппд

' О

- 12 -( i(l>

При этом делается предположение о равномерной но £ обратимости оператора с краевыми условиями (2) . Основным результатом глав« III является

Третья основная теорема. Найдутся такие числа 6о , с>0г что для всех CtСо;ев3€Со>Ь03:(Jr-Ii^ галёркинская задача имеет единственное решение для которого справедливы оценки Второй основной теоремы.

Упрощение .тестовых пространств позволяет построить в них ■V -базис, т.е. доказать равномерную ограниченность ортопроек-торов -Р=Р(£,Мпри самых общих краевых условиях. Однако, тот факт, что

5 создаёт дополнительные трудности в обосновании метода Галёркина. ¿то связано с тем, что теперь проектор .Р на не деСствует как тождественный. В связи с этим

»*v

вводится в рассмотрение оператор Р , являющийся сужением

Faj» VD 1

На <g . ^ ^

Доказывается обратимость оператора Р и близость к тождественному. При этом галёркинская ¡задача сводится к урав-Вешш ~

Далее устанавливается, что операторы i- и £ JP мож но представить в виде прямой суммы двух проекторов, действующих

в пространства, соответствующие "регулярной" и "сингулярной"

частям оператора Lg t п малых по норме операторов Т к Т

сто позволяет в дальнейшем свести галсркинскую задачу к удобно

му для есслрдопмшя операторному уравнение.

b главы III завершается доказательство третьей oc--¡oi'üoi1 теоремы. Основная идея доказательства состоит в сведен • ¡сходной задачи и галёркинскоП задачи к уравнениям с оператора-■и, переводящими единичный шар пространства L^ в множество 'ункний, имевдих равномерно ограниченнее по С первые производив всюду, кроме, может быть, малых окрестностей отрезка С-¿3, 1 которых они оцениваются ?ункпиями "типа погранслоя". Пооле та-:о!! замены доказательство третьей основной теоремы проводится ю аналогии со стандартными методами компактной аппроксимации.

В заключение, пользуюсь случаем внраэить глубокую благо-шрность и признательность коему научному руководителю В.В.Стрн-•ину за постановку задача и постоянное внимание к работе.

Основные результат» диссертации опубликованы в работах:

[. Сирунян В.В. О свойствах матриц Грама для некоторых базисов, юрожденннх сингулярно возмущенной краевой задачей/ Лоп. в •ИН'Лта 21.09.88 Ä70G5-B88

2. Сирунян В.В. 0 равномерно,", ограниченности некоторого сегей-;тла ортогональных проекторов на пространства типа коночных ремонтов в норме L^ / Леп. в Б'НИТН II.07.8? J*.l5?5-BBf?

Стрыгин В.В., Сирунян В.В. Сходимость метода коночных ;>ле-<ентов на оптимальных сетках для сингулярно возмуцешшх краевых 1адач // 7-я Всесоюзная конференция "Качественная тоория дифференциальных уравнен?,?.". Тезисы доклада. -Рига, 1989. -С.214

Сирунян В.В. Об опенках в L^ норме семейства ортогональных ¡роекторов на пространства типа конечных олементов // ß-я икола ¡о теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы уклада. -Новгород, Ir^R9. -С.33

-и-

5. СтрыгияВ.В., Сирунян В.В. Метод Галёркина для сингулярно возмущенных краевых задач на адаптивных сетках // Сибирский математический журнал. -1990. -Т. 31, К5» -С. 138-148

Заказ 617 от 25.10.90 г., тира* 100 экз. Формат 60x90 I/I6. Объем I п.л. Офоетная лабораторий В1У.