Метод граничных интегральных уравнений 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Граничные интегральные уравнения 1-го рода для анизотропных тел.

§1.1. Постановка краевых задач.

§1.2. Формулировка системы ГИУ 1-го рода для анизотропной упругой среды в пространственном случае.

§1.3. Построение системы ГИУ 1-го рода для ортотропной среды в плоском случае.

§1.4. Построение системы ГИУ 1-го рода для антиплоской деформации ортотропного тела.

§1.5. Формулировка системы ГИУ 1-го рода для вязкоупругой анизотропной среды.

§1.6. Построение системы ГИУ 1-го рода для кусочно- однородной анизотропной среды с затуханием.

Глава 2. Дискретизация систем ГИУ 1-го рода

§2.1. Общие принципы дискретизации систем ГИУ

1-го рода.

§2.2. Дискретизация систем ГИУ в плоском случае:.

1° метод коллокации;

2° метод ортогональных проекций.

§2.3. Методы решения плохообусловленных систем линейных алгебраических уравнений:.

1° метод регуляризации А.П.Тихонова;

2° проекционный метод Пейджа - Саундерса численного решения линейных алгебраических систем.

Глава 3. Численная реализация ГИУ 1-го рода.

§3.1. Динамические плоские задачи для анизотропных тел.

§3.2. Численная реализация ГИУ 1-го рода в антиплоском случае.'.

§3.3. Моды Ламе для ортотропного прямоугольника.

§3.4. Обсуждение численных результатов и сравнение с другими подходами.

Учет анизотропии в работах о колебаниях упругих тел продиктован физическими свойствами сталей, кристаллов, грунтов, полимерных и композиционных материалов. Так например, на практике анизотропия механических свойств сталей и ее сплавов является следствием преимущественной ориентировки кристаллов после технологической обработки. Анизотропией механических свойств обладают многие цветные металлы, сплавы, пьезокерамики. Весьма сильной анизотропией механических свойств обладают многие композиционные материалы. Большинство инженерных задач, которые описывают процессы распространения волн в таких средах, описываются сложными дифференциальными уравнениями в частных производных и могут быть решены лишь приближенными методами. К наиболее детально разработанным методам относятся метод конечных разностей и метод конечных элементов. Оба этих метода, несмотря на очевидное различие между ними, позволяют свести уравнения для сплошной среды с бесконечым числом степеней свободы к уравнениям для системы с конечным числом степеней свободы, после чего задача может быть решена на ЭВМ. В методе конечных разностей задается набор узловых точек, в которых связь между функциями и их производными определяется исходными дифференциальными уравнениями. В методе конечных элементов дифференциальное уравнение или его интегральный эквивалент удовлетворяется в среднем по области каждого элемента. В обоих этих методах используется дискретное представление как самой области, так и ее границы.

В течение последних тридцати лет произошли значительные изменения в способах расчета конструктивных узлов различных инженерных конструкций. Традиционные методы расчета, базирующиеся в основном на классических расчетных методах сопромата, с учетом ограниченных их возможностей при моделировании, в настоящее время уступают место современным методам численного анализа на основе уравнений теории упругости с применением ЭВМ. Благодаря развитию электронной техники созданы новые условия для анализа и расчета сложных инженерных конструкций. Это подтверждает возможность применения при необходимости значительно более точных теоретических разработок по сравнению с теми, которые основаны на прикладных теориях, выборе расчетной модели, полнее охватывающей геометрию граничных условий, нагружения и других внешних воздействий. Кроме того, все вышесказанное позволяет точнее, быстрее и экономичнее анализировать принятую расчетную модель.

Среди современных методов численного анализа методу граничных элементов (МГЭ) принадлежит особое место. Благодаря своим достаточно простым математическим формулировкам и очевидному физическому содержанию МГЭ является эффективным и очень распространенным методом решения различных задач механики сплошной среды, важной особенностью которого по сравнению с методом конечных элементов является снижение размерности задач на единицу. В основе этого метода лежит классическая теория потенциала, позволяющая сводить решение краевой задачи в области к решению нерегулярных граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности. Дальнейшая процедура дискретизации этих интегральных уравнений при помощи разбиения границы на элементы и последующая аппроксимация неизвестных функций на элементе приводит к системе алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных.

Важным предшественником и основой МГЭ является теория интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений был существенно развит Фредгольмом, который доказал существование решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с помощью предельной дискретизации. Фредгольм также использовал метод теории потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения первой краевой задачи статической теории упругости однородных тел. Современные возможности численной реализации позволили расширить и уточнить формулировку проблем, связанных с интегральными уравнениями Фредгольма 1-го и 2-го родов, а также с интегральными уравнениями нефредгольмовского типа.

Возможности метода Фредгольма расширил В.Д. Купрадзе [37]. С помощью теории потенциала и сингулярных интегральных уравнений он доказал существование решения, развил приближенный метод решения статических задач для однородных упругих тел. Используя гипотетическое распределение поверхностной плотности источников, В.Д. Купрадзе сформулировал связь перемещений и напряжений на границе линейно- упругой среды в виде иитегральных уравнений, союзных к фредгольмовским. Этот подход в настоящее время в методе ГИУ именуется непрямым. В дальнейшем техника сведения краевых задач к системам ГИУ была применена к другим классам задач математической физики- динамической теории упругости и термоупругости, в моментной теории упругости, для трансверсально- изотропных тел. В 1967 году В.Д. Купрадзе предложил использовать для решения краевых задач для эллиптических операторов граничные уравнения 1-го рода, в качестве ядер которых использовались фундаментальные решения соответствующих операторов. Численные методы решения таких уравнений оказались неустойчивыми в силу известных свойств вполне непрерывных операторов. В монографиях [1] ,[2] предложено строить дискретные аппроксимации этих интегральных операторов при помощи разложения по неортогональным системам функций, порожденных их ядрами.

К сожалению, использование в качестве ядер фундаментальных решений в тех ситуациях, когда они не выражаются в явном виде, приводит при дискретизации к вычислению большого числа кратных интегралов, что в значительной степени снижает эффективность применения МГЭ.

При использовании метода МГЭ, так же как и в случае применения аппарата интегральных уравнений, размерность задачи уменьшается на единицу и производится аппроксимация сложной границы области граничными элементами. Этот метод не обладает такими недостатками классического метода конечных элементов, как трудность описания с достаточной точностью бесконечных областей, необходимость решения систем большой размерности.

Метод граничных элементов, как правило, состоит из следующих этапов :

- Граница области разбивается на ряд элементов, внутри которых предполагается, что неизвестные функции представляются в виде линейной комбинации выбранных интерполирующих функций. Эти элементы можно образовывать с помощью прямых линий, круговых дуг, парабол и т.п.

- Используется метод коллокации, согласно которому для отдельных узловых точек, распределенных внутри каждого элемента, записывается дискретная форма уравнения, связывающего значения известных и неизвестных функций в каждом узле.

- Интегралы по каждому элементу вычисляются с помощью одной из схем численного интегрирования.

- Путем наложения заданных граничных условий получается система линейных алгебраических уравнений, решение этой системы уравнений дает значения неизвестных функций в узлах. При необходимости значения неизвестной функции в произвольной внутренней точке могут быть найдены по известным значениям на границе при помощи формул Сомильяны или их аналогов.

Библиография МГЭ обширна. Опубликованы многочисленные научные и специальные работы, учебники и монографии, в которых изложены теоретические основы метода и различные аспекты его применения.

Среди многих монографий, посвященных различным аспектам метода граничных элементов отметим [60] под редакцией Т. Крузе и Ф. Риццо, [6] - П. Бенерджи и Р. Баттерфилда , [8] К. Бреббия , Ж. Теллеса и Л. Вроубела, [55] - А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуто-рянского. Среди публикаций, посвященных общим проблемам метода граничного элемента, стоит отметить [84]- [96];Работы [122] -[146] посвящены применению МГЭ в различных проблемах теории упругости.

Ключевым моментом при практической реализации классического метода граничных интегральных уравнений является построение фундаментальных решений. Однако, в случае установившихся колебаний для сред, не являющихся изотропными, в явном виде их получить не всегда удается. Для среды, обладающей анизотропией даже простейшего вида (трансверсально- изотропная или ортотропная среда) фундаментальные решения не выражаются через специальные функции [45], [46], [47], [13]. Возможно построение фундаментальных решений в анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоупругости в виде однократных интегралов [13], [16]. При этом возникают трудности технического характера при реализации метода граничных элементов, связанные с необходимостью вычисления большого числа кратных интегралов при формировании матриц алгебраических систем [155]. Реализации МГЭ в анизотропной теории упругости посвящены работы [97]- [118]. Важной составной частью в применении МГЭ является выбор типа граничных элементов. Этой проблеме посвящены работы [119]- [121]. Вопрос об удовлетворении системе граничных уравнений при использовании МГЭ и применении метода коллокации рассмотрен в работе [154]. Проблемы разработки численных методов решения систем алгебраических уравнений, возникающих в процессе применения МГЭ, и их практической реализации рассмотрены в работах [80] - [83]. Среди публикаций, посвященных вопросу о нахождении собственных частот областей с помощью метода граничного элемента, отметим работы [151]- [153].

Ряд рассмотренных работ посвящен применению готовых программных средств, в которых реализован МГЭ [147]- [150], например широко известной программы BEASY (Boundary Element Analysis System), разработанной в Саутгемптонском университете в Великобритании под руководством К.Бреббия.

В диссертационной работе предлагается альтернативный метод формирования систем ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами, основывающийся на использовании преобразования Фурье и анализе характеристического многочлена оператора теории упругости на полярных многообразиях и не использующий понятия фундаментальных решений. Особенностью систем ГИУ является их эквивалентность краевой задаче. Особенно эффективны эти системы, когда требуется определение только граничных полей смещений и напряжений. Эти уравнения можно использовать в задачах, исследующих чувствительность конструктивных элементов к кинематическому или силовому воздействию для анализа граничных полей. Задача об обращении порождаемых предлагаемым методом систем ГИУ 1-го рода является некорректной, а процедура их обращения требует регуляризации. Применение основных идей метода граничного элемента и метода коллокации к получающимся системам ГИУ позволяет свести задачу к решению систем линейных алгебраических уравнений, возможно переопределенных. При решении возникающих СЛАУ использовался проекционно- итерационный метод Пейджа- Саундерса [78], позволяющий решать переопределенные и плохообусловленные системы. Основные идеи этого подхода изложены в работе [12].

Отметим, что идейным предшественником ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами были весьма популярные 15- 20 лет назад метод однородных решений и метод суперпозиции. Истоки 1-го метода восходят к исследованиям А.И.Лурье, который предложил искать решения для плит в виде рядов по однородным решениям, то есть решениям, удовлетворяющим уравнениям теории упругости и однородным граничным условиям на торцевых поверхностях плиты. Далее этот метод был развит И.И.Воровичем, И.П.Гетманом, Ю.А.Устиновым, И.Г.Кадомцевым и их учениками и приводил к бесконечным алгебраическим системам для неизвестных коэффициентов разложений. Этот метод привел к исследованию закономерностей формирования волновых полей в слоистых средах и превратился в одно из серьезных научных направлений теории упругости и математической физики [3], [30], [31]. Отметим, что реализация метода однородных решений требует детального анализа краевых задач для слоя. Эти задачи были исчерпывающе проапализированы в работах И.И. Воровича, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхи-ной [3], [30], [31].

Метод суперпозиции, подробно изложен в монографии [33]. На его основе А.В.Белоконем [4] и его учениками [5], [53] был развит метод неклассических ГИУ для задач равновесия и установившихся колебаний упругих и электроупругих тел конечных размеров, ограниченных соответствующими координатными поверхностями. При исследовании колебаний тел с полостями этот метод был использован М.Г. Селезневым [50].

Диссертация содержит 3 главы. Первая глава диссертации посвящена построению граничных интегральных уравнений 1-го рода для анизотропных упругих и вязкоупругих тел и состоит из шести параграфов. В параграфе 1.1 дана постановка основных краевых задач об установившихся колебаниях ограниченной односвязной области, занятой анизотропной средой. В параграфе 1.2 сформулирована система ГИУ 1-го рода для анизотропной упругой среды в пространственном случае. Параграф 1.3 посвящен построению системы ГИУ 1-го рода для ортотропной среды, описывающей колебания ограниченной односвязной области в плоском случае. В параграфе 1.4 построена система ГИУ 1-го рода для колебаний при антиплоской деформации ортотропного тела. В параграфе 1.5 в рамках концепции динамических модулей сформулирована система ГИУ 1-го рода для вязкоупругой анизотропной среды. Параграф 1.6 посвящен построению системы ГИУ 1-го рода для кусочно- однородной среды с затуханием.

Вторая глава диссертации состоит из четырех параграфов. Она рассматривает проблемы сведения полученных в первой главе систем ГИУ 1-го рода к алгебраическим системам, а также вопрос о решении этих систем. Исходные краевые задачи сводятся к решению систем ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами на границе области, что соответствует некорректной задаче. Задача об обращении оператора Фредгольма с гладкими ядрами может быть решена с помощью алгоритмов регуляризации. В параграфе 2.1 дан обзор по методу регуляризации А.Н. Тихонова. Параграф 2.2 дает понятие о граничных элементах и их типах, применяемых в. методе ГЭ. В параграфе 2.3 рассмотрен вопрос о дискретизации систем ГИУ 1-го рода в плоском случае. Описаны способы дискретизации с помощью метода коллокации и проекционного метода.

Третья глава содержит численные примеры. В ней с помощью предложенного метода численно решен ряд задач. В параграфе 3.1 рассмотрены решения ряда задач плоской анизотропной теории упругости на примере колебаний ортотропных тел в условиях плоской деформации. В параграфе 3.2 рассмотрена задача о колебаниях ограниченных тел в случае антиплоской деформации. Гассмотрены не только модельные задачи, имеющие точные решения, но и задачи, не имеющие аналитического решения. Проведено сравнение решения, полученного в результате численного эксперимента по схеме, предложенной в диссертации с результатами, полученными с помощью метода конечного элемента. Анализ эффективности предлагаемого подхода решения описанного класса задач приведен в параграфе 3.4. Результаты проведенного численного анализа рассмотренных задач в виде таблиц и графиков вынесены в приложение.

ПРИМЕЧАНИЕ. Основное содержание диссертации отражено в работах [17]- [22], опубликованных в открытой печати и депонированных через ВИНИТИ. В работах [17], [18], [21] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задачи и идеи по реализации метода. Диссертанту принадлежит построение ГИУ 1-го рода для задач теории упругости, построение матриц алгебраических систем и выполнение расчетов. В работах [19], [20] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задач и идеи по применению метода. Диссертанту принадлежит построение систем ГИУ 1-го рода для уравнения Гельмгольца, построение матриц алгебраических систем и выполнение расчетов. В работе [22] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задач и идеи по реализации, Шамшину В.М. принадлежит построение ГИУ 1-го рода в изотропном случае, а также реализация метода коллокации с сингулярным возмущением. Диссертанту принадлежат численные результаты по сравнению метода коллокации и метода ортогональных проекций применительно к задачам теории упругости.

Заключение

1. Построены новые граничные интегральные уравнения 1-го рода в плоской и антиплоской задачах анизотропной теории упругости в случае установившихся колебаний.

2. На основе анализа характеристического многочлена сформулирована система ГИУ 1-го рода в плоской задаче для ортотропной вязкоупругой среды.

3. Предложена схема дискретизации системы ГИУ 1-го рода, сочетающая основные идеи МГЭ и метода регуляризации, реализованная в .виде пакета прикладных программ.

4. Рассмотрен ряд численных примеров определения граничных полей и резонансных частот в анизотропной теории упругости. Проведен сравнительный анализ результатов работы метода с точным решением и решением, полученным другими методами. Показана его внутренняя сходимость. Приведены рекомендации о типе граничных элементов и об использовании аппроксимаций высокого порядка.

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. -М.: Н., - 1978. - 351 с.

2. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. -М.: Н., 1991. - 352 с.

3. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно упругих сред. - М.: Наука, - 1989. - 343 с.

4. Белоконь A.B. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров.// ДАН. Т.233. - N.1. - 1977. - С.56-59.

5. Белоконь A.B., Маликов Е.П. Метод интегральных уравнений в задачах осе-симметричной деформации трансверсально- изотропного цилиндра. Изв. АН Арм.ССР, мех., - 1982. - Т.35, - N.2. - С.17-26.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М: : Мир, - .1984. - 494 с.

7. Бобровницкий Ю.И. Задача восстановления поля в структурной интенсиме-трии: постановка, свойства, численные аспекты.// Акуст. журн. -1994. Т.40. - N3. - С.267-376.

8. Бреббия Л., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. - 524 с.

9. Будаев B.C. Упругие волны в кристаллах металлов.// Прикл. Механика. -1975. Т.П. - Вып.5. - С.53-98.

10. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред.// Изв. АНСССР. МТТ. 1978. - С.33-40.

11. Бурчуладзе Т.В. Гегелия Т.Г. Развитие метода потенциала в теории упругости. Тбилиси.: Мецниераба, - 1985. - 226 с.

12. Ватулъян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // ДАН. 1993 - Т.ЗЗЗ. - N3.- С.312-314.

13. Ватулъян А.О., Гусева И.А., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применение.// Изв. СКНЦ ВШ. Сер. естеств. науки. 1989. - N.2. - С.81-85.

14. Ватулъян А.О., Кубликов В.Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости. // ПММ. 1989. - Т.53. - Вып.6. - С.1037-1041.

15. Ватулъян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел. // Изв. РАН. МТТ.- 1999. N.2. - С.78-84.

16. Ватулъян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных уравнений в анизотропной теории упругости.// Рукопись депонирована в ВИНИТИ 15.08.97, N.2681- В97. - Ростовский государственный университет.

17. Ватулъян А.О., Садчиков Е.В. Новая формулировка ГИУ для уравнения Гельмгольца.// Рукопись депонирована в ВИНИТИ 19.11.97, N.3401- В97. -Ростовский государственный университет.

18. Ватулъян А.О., Садчиков Е.В. О граничных уравнениях в акустике.// Акустический журнал. 1998. - N.3. - С.326-330.

19. Ватулъян А.О., Садчиков Е.В., Шамшин В.М. О методах решения альтернативных ГИУ в теории упругости. : Математика в индустрии. : Труды Международной конференции. Таганрог, - 1998. - С.69-70. - С. 187-191.

20. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений 1-го рода в электроупругости // ПММ. 1999 - Т.53. - Вып.6.- С.860-868.

21. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. О новом методе граничных интегральных уравнений в краевых задачах для эллиптических операторов.// Математическое моделирование и компьютерные технологии. : Труды 2-го симпозиума.- Кисловодск, 1998. - Т.Н. - С.26-29.

22. Ватулъян А.О., Шамшин В.М. Новый вариант граничных интегральных уравнений и их примененние к динамическим пространственным задачам теории упругости.// ПММ. 1998,- Т.62. - Вып.З. - С. 112-119.

23. Ватулъян А.О., Шамшин В.М. Альтернативная формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в пространственных задачах изотропной теории упругости. : Современные проблемы механики сплошной среды.

24. Труды II Международной научной конференции. Ростов- на- Дону.: МП "Книга", - 1996. - С.187-191.

25. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. -М.:Наука, 1964. - 168 с.

26. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.:Наука, - 1979. - 319 с.

27. Ворович И.PL, Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, - 1999. - 247 с.

28. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции М.: Изд-во МГУ, - 1987. - 207 с.

29. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, - 1981. - С. 138-140.

30. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наук, думка, - 1985. - 176 с.

31. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.:Мир, - 1974. - 327 с.

32. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск: Высшая школа. - 1972. - 584 с.

33. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М. :Физматгиз, -1963. - 472' с.

34. Купрадзе В Д. О приближенном решении задач математической физики. / / УМН. 1967. - Т.22. - N.2. -С.59-107.

35. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.:Н. -1976. - 603 с.

36. Кузнецов C.B. Фундаментальные решения уравнений Ляме для анизотропных сред.// Изв. АН СССР МТТ. 1989. - N.4. - С.50-54.

37. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, - 1977. -416 с.

38. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир., - 1975. - 496 с.

39. Маневич Л.И., Павленко A.B., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. Киев: Донецк. Вища школа, - 153 с.

40. Мороз Я.Г., Романов C.B., Воробей В.В. Фундаментальные решения для предварительно напряженных анизотропных тел. // Изв. АН СССР ПМ. -1988 Т.24. - N.6. -С.570-576.

41. Натрошвили Д.Г. О фундаментальных матрицах уравнений установившихся колебаний и псевдоколебаний анизотропной теории упругости. : Сообщ. АН Груз.ССР. 1979. - Т.96. - N.1 - С.49-52.

42. Натрошвили Д. Г. О свойствах фундаментальных решений установившихся колебаний анизотропной упругой среды. : Сообщ. АН. Груз.ССР. 1981. -Т.104. - N.3. - С.557-560.

43. Натрошвили Д.Г. Метод граничных интегральных уравнений в задачах об установившихся колебаниях анизотропных тел.// Математические методы в прикладных науках, 1997. - Т.20. - N.2. - С.95-119.

44. Петрашенъ Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. JL: Наука, - 1980. - 280 с.

45. Подгорный А.Н., Киркач Б.Н., Хавин Г.Л. Приложение метода граничных интегральных уравнений к решению смешанных задач теории упругости.// ПММ. 1994. - Т.20. - N.1. - С.79-83.

46. Румянцев А.Н.,Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г Колебания полупространства с полостью или включением в виде эллиптического цилиндра.// Изв. СКНЦ ВШ Сер. Естеств. науки. 1990. - N.3. - С.63-69.

47. Савелов A.A. Плоские кривые. М.:Физматгиз, - 1960. - 293 с.

48. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. -Ереван: Изд. Ерев. ун-та, 1976. - 534 с.

49. Соловьев А.Н. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения. // Прикл. мех. 1984. - Т.20. N9. - С.1235-1240.

50. Тихонов А.Н., Гончарский A.B. Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, - 1990. - 230 с.

51. Угодников А . Г . , Хуторянский Ü.M. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела . Казань: Изд . Казанского университета, - 1986. - 296 с .

52. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.:Н. - 1965. - 388 с.

53. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. : Успехи физ. наук. 1961.- Т.74. N.2. - С.303-252.

54. Хуторянский Н.М. Граничные свойства производных потенциалов теории упругости для анизотропного тела й формулы регулярного представления их граничных значений. : Прикл. пробл. прочн. и пласт. : Всес. межв. сб. Горьк. ун-та. 1985. - С.26-36.

55. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.:Н., - 1988. - 190 с.

56. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Серия: механика. Новое в зарубежной науке. - М.: Мир,- 1978. 210 с.

57. Garnich M.R., Hansen A.C. A multicontinuum Approach to Structural Analysis of Linear Viscoelastic Composite Materials. //J. of Applied Mechanics. December 1997. Vol. 64. - P.795-803.

58. Yongjia W., Crouch S.L. Boundary element methods for viscoelastic media. : Proceedings symposium on rock mechanics. - 1982. - P.704-711.

59. Kusama T., Mitsui Y. Boundary element method applied to linear viscoelastic Analysis.// Applied mathematical modelling. Oct 1981. - Vol.5. - N.5. - P.285-290.

60. Katsikadelis J.T., Sapountzakis E.J. Torsion of composite bars by boundary element method.// Journal of engineering mechanics. Sep 1985. - Vol. 111. -N.9. - P.1197-1210.65. Chandra A., Mukherjee S.

61. Analysis of large strain viscoplasticity problems including the Effects of induced material anisotropy.// Journal of applied mechanics. Transactions ASME. Mar 1986. - Vol. 53. - No. 1. - P.77-82.

62. Kimura M., Takimoto M., Shiojima T., Tanaka M. New boundary element technique for solving linear viscoelastic problems and its application.// Nippon kikai gakkai ronbunshu, a hen. Oct 1985. - Vol. 51. - No. 470. - P.2377-2383.

63. Benerjee P.K., Henry D.P. Elastic analysis of three- dimensional solids with fiber Inclusions by BEM.// International journal of solids and structures. 1992. - Vol. 29. No. 20. - P.2423-2440.

64. Eischen J. W., Torquato S. Determining elastic behavior of composites by the boundary element method.// Journal of applied physics. Jul 1993. - Vol. 74. -No. 1. - P.159.

65. Lee S.S. Boundary element analysis of linear viscoelastic problems using realistic relaxation functions.// Computers and structures. Jun 1995. - Vol. 55. - No. 6. - P.1027-1036.

66. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkiewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method. // Int. J. Numer. Methods. Eng. 1991. - Vol.32. - P.63-68.

67. Angell T.S., Kleinman R.E. Boundary integral equations for the Helmholtz equation: the Third boundary value problem.// Mathematical methods in the applied sciences. 1982. - Vol. 4. - No. 2. - P.164-193.

68. Adeyeye J.O., Bernal M.J.M., Pitman K.E. Improved boundary integral equation method for Helmholtz problems.// International journal for numerical methods in engineering. May 1985. - Vol. 21. - No. 5. - P.779-787.

69. Hall W.S., Robertson W.H. Standard Helmholtz integral equation calculations near Characteristic frequencies.// Journal of sound and vibration. Oct 1988. -Vol. 126. - No. 2. - P. 367-368.

70. Kamiya N., Andoh E. Robust boundary element scheme for Helmholtz eigenvalue equation. : Boundary elements XIII. 1991. - Ch. 82. - P.839-850.

71. Andoh E., Kamiya N. Eigenvalue analysis of Helmholtz equation by boundary element Method.// Nippon kikai gakkai ronbunshu, c Hen : Transactions of the Japan Society of mechanical engineers. Part C. - Nov 1991. - Vol. 57. - No. 543. - P.3457-3462.

72. Kirkup S.M. Amini S. Solution of the Helmholtz eigenvalue problem via the boundary Element method.// International Journal for numerical methods in engineering. 1993. - Vol. 36. - No. 2. - P.321-330.

73. Paige C.C., Saunders M.A. An algorithm for sparse linear equations and Sparse least squares. // Asm trans. Math. Softw. 1982. - Vol. 8. - P.43-71. and P.195-209.

74. Lanczos C. Iterative solution of large-scale linear systems.// J. Soc. Indust. And appl. Math. 1958. - V.6. - P.91-109.

75. Crotty J.M. Block equation solver for large unsymmetric matrices arising in the boundary integral equation method.// International journal for numerical methods in engineering. 1982. - Vol. 18. - No. 7. - P.997-1017.

76. Mansur W.J., Araujo F.C., Malaghini J.E.B. Solution of BEM systems of equations via iterative techniques.// International journal for numerical methodsin engineering. 1992. - Vol. 33. - No.9. - P.1823-1841.

77. Valente F.P. Pina H.L.G. Iterative solvers for BEM algebraic systems of equations. : Boundary element technology VIII. 1993. - P.313.

78. Valente F.P., Pina H.L.G. Iterative solvers for BEM algebraic systems of equations.// Engineering analysis with boundary elements. 1998. - Vol.22. - No.2.- P. 117-124.

79. Alarcon E., Brebbia C.; Dominguez J. Boundary element method in elasticity.// International journal of mechanical sciences. 1978. - Vol.20. - No.9. - P.625-639.

80. Demey G. Discrete version of the boundary element method.// Engineering analysis. 1983. - Vol.1. - No.l. - P.45-53.

81. Brebbia C.A. Boundary element method in engineering practice.// Engineering analysis. 1983. Vol.1. - No. 1. - P.3-12.

82. Cecot W.} Orkisz J. Approximation of the boundary values in the BEM.// Engineering analysis. 1983. - P.41-49.

83. Costabel M. Principles of boundary element methods.// Computer physics reports.- 1987. Vol: 6. - No. 1. - P.243-274.

84. Johnson R.P. Aids to effective design FEM or BEM? // Cme, chartered mechanical engineer. - 1987. - Vol. 34. - No. 9. - P.27-31.

85. Brebbia C.A. Boundary element method in engineering practice. : Approximate methods and vérification procedures of structural Analysis and design proc 9th struct congr 91. 1991. - No. 1. - P.63-76.

86. Hall W.S. Boundary element method: book review.// Applied mechanics reviews.- 1995. Vol. 48. - No. 8. - P.105.

87. Pina H.L. ■ Analytical integration in the 2d boundary element method.// Communications in numerical methods in engineering. 1997. - Vol. 13. - No. 9. - P.715-725.

88. Liang M.T., Chen J.T., Yang S.S. Error estimation for boundary element method.// Engineering analysis with boundary elements. 1999. - Vol. 23. - No. 3.- P.257-265.

89. Alarcon E., Martin A., Paris F. Boundary elements in potential and elasticity theory.// Computers and structures. 1979. - Vol. 10. - No. 1. - P. 351- 362

90. Wu J.C. Fundamental solutions and boundary element methods.// Engineering analysis. 1987. - Vol. 4. - No. 1. - P.2-6.

91. Graf G.L., Gebregiorgis Y. Combining finite element and boundary element analyses. : SAE technical paper series. 1986. - P.13.

92. Clements D.L., Rogers C. Boundary integral equation for the solution of a class of problems in anisotropic inhomogeneous thermostatics and Elastostatics.// Quarterly of applied mathematics. 1983. - Vol. 41. - No. 1. - P.99-105.

93. Kamiya N., Sawaki Y. General boundary element method for bending analysis of orthotropic elastic plates.// Res mechanica: international Journal of structural mechanics and materials science. 1982. - Vol. 5. - No. 4. - P.329-334.

94. Tarn J.Q., Wang Y.M. Fundamental solutions for torsional problems of a cylindrical anisotropic elastic medium.// Chung kuo kung ch'eng hsueh k'an / Journal of the chinese institute of engineers. - 1986. - Vol. 9. - No. 1. - P. 1-8.

95. Dumir P.C., Mehta A.K. Boundary element solution for elastic orthotropic halfplane Problems.// Computers and structures. 1987. - Vol. 26. - No. 3. - P.431-438.

96. Vable M., Sikarskie D.L. Stress analysis in plane orthotropic material by the boundary element method.// International journal of solids and structures. 1988. - Vol. 24. - No. 1. - P.l-11.

97. Dumir P.C, Mehta A.K. Rectilinearly orthotropic annular disc under uniform pressure.// Applied mathematical modelling. 1987. - Vol. 11. - No. 5. - P.397-399.

98. Weiai S., Jimei Z. Boundary element method for the dynamic problem of orthotropic plates.// American society of mechanical engineers, design engineering division (publication). 1987. - Vol. 8. - P.203-205.

99. Heng Z. Boundary element study of an anisotropic plate.// Communications in applied numerical methods. 1988. - Vol. 4. - No.4. - P.557-559.

100. Deb A., Banerjee P.K. Bern for general anisotropic 2d elasticity using particular Integrals.// Communications in applied numerical methods. 1990. - Vol. 6. - No. 2.- P.lll-119.106. Ishikawa H., Takagi H.

101. Boundary element analysis of three dimensional anisotropic elastic body with a crack.// Nippon kikai gakkai ronbunshu, a Hen / Transactions of the Japan society of mechanical engineers. Part A. - 1989. - Vol. 55. - No. 515. - P. 1554-1559.

102. Tarn J.Q., Wang Y.M. Fundamental solutions for an anisotropic medium with a notch or An inclusion.// Chung kuo kung ch'eng hsueh k'an / journal of the Chinese institute of engineers. - 1991. - Vol. 14. - No. 2. - P.211-214

103. Ohkami T., Ichikawa Y., Kawamoto T

104. Boundary element method for identifying orthotropic material parameters.// International journal for numerical and analytical methods in geomechanics. -1991. Vol. 15. - No. 9. - P.609-625.

105. Shi G. Flexural vibration and buckling analysis of orthotropic plates by the boundary element method.// International journal of solids and structures. 1990. - Vol. 26. - No. 12. - P.1351-1370.110. Zhu J., Gu P.

106. Dynamic response of orthotropic plate using bem with approximate fundamental solution.// Journal of sound and vibration. 1991. - Vol. 151. - No. 2. - P.203-211.

107. Xiao B., Carter J.P. Boundary-element analysis of anisotropic rock masses.// Engineering analysis with boundary elements. 1993. - Vol. 11. - No. 4. - P.293-303.

108. Scholar N.A., Partridge P.W. 3d anisotropic elasticity with bem using the isotropic fundamental solution.// Engineering analysis with boundary elements. -1993. Vol. 11. - No. 2. - P.137-144.

109. Ao Q. New boundary element method for plane anisotropic elasticity. // Computers and structures. 1995. - Vol. 55. - No. 1. - P.119-126.

110. Rraju I.S., Sistla R., Krishnamurthy T. Efficient boundary element method for computing accurate Stresses in two- dimensional anisotropic problems.// Computers and structures. 1996. - Vol. 59. - No. 3. - P.453-462.

111. Khutoryansky N., Sosa H. New regularization formulas in the boundary element method for anisotropic elasticity.// Mechanics research communications. 1997. -Vol. 24. - No.4. - P.391-397.

112. Mantic V., Paris F. Integral kernels in the 2d somigliana displacement and stress identities for anisotropic materials.// Computational mechanics, 1998. - Vol. 22.- No. 1. P.77-87.

113. Beer G., Watson J.O. Infinite boundary elements.// International journal for numerical methods in engineering. 1989. - Vol.28. - No. 6. - P. 1233-1247.

114. Yu D.H. Mathematical foundation of adaptive boundary element methods.// Computer methods in applied mechanics and engineering. 1991. - Vol. 91. - No. 1. - P.1237-1243.

115. Iiamiya N., Aikawa Y., Kawaguchi K. Adaptive boundary element for the problem with mixed boundary condition. : Boundary elements XVII. 1995. -P.123.

116. Takakuda I{. On integral equation methods for elastic boundary value problems- (3rd report, direct methods for dynamic problems). : Bulletin of the JSME. -1984. Vol. 27. - No. 226. - P. 625-632.

117. Bessho M., Kawabe H. Singularity method in boundary value problems of the theory of elasticity.// Naval architecture and ocean engineering. 1983. - Vol. 21.- P.199-219.

118. McCartney L.N. New boundary element technique for solving plane problems of linear elasticity: 1. Theory.// Applied mathematical modelling. 1983. - Vol.7. -No. 6. - P.441-451.

119. Shaw R.P. Alternative solution methods in elastic BIE problems.// Engineering analysis. 1985. - Vol. 2. - No. 2. - P.58-60.

120. Li H.B., Han G.M., Mang H.A., Torzicky P. New method for the coupling of finite element and boundary Element discretized subdomains of elastic bodies.// Computer methods in applied mechanics and engineering. 1986. - Vol. 54. - No. 2. - P.161-185.

121. Huhaichang New type of boundary integral equation in elasticity. : Scientia sinica, series a: mathematical, physical, astronomical & technical sciences. 1987.- Vol. 30. No. 4. - P.385-390.

122. Rizzo F.J., Shippy D.J. Boundary element method for axisymmetric elastic bodies.// Developments in boundary element methods. 1986. - Vol. 4. - P.67-90.

123. Matsumoto H., Adachi T., Kakuhama Y., Fukuzawa K. Analysis of the dynamic stress concentration factor by the two- dimensional boundary element method.// Nippon kikai gakkai ronbunshu, a hen. 1988. - Vol. 54. - No. 501. - P. 1024-1029.

124. Polizzotto C. Energy approach to the boundary element method. Part I: Elastic solids.// Computer methods in applied mechanics and engineering. 1988. - Vol. 69. - No. 2. - P.167-184.

125. Ahmad S., Banerjee P.K. Multi- domain bem for two-dimensional problems of elastodynamics.// International journal for numerical methods in engineering. -1988. Vol. 26. - No. 4. - P.891-911.

126. Lei G., Huang M.K. Complex variable boundary element method for solving plane and plate problems of elasticity.// Engineering analysis with boundary elements. 1991. - Vol. 8. - No. 6. - P.266-272.

127. Khapaev M.M. A boundary- element method for problems with corners and mixed boundary- conditions.// Differential equations. 1991. - Vol. 27. - No. 7. -P.895-898.

128. Kamiya N., Koide M., Kawaguchi K. Adaptive boundary elements for elastic analysis of multiple Subregions.// Advances in engineering software. 1993. - Vol. 17. - No. 2. - P.125-134.

129. Lu P., Mahrenholtz 0. A modified hybrid displacement variational formulation of BEM for elasticity.// Mechanics research communications. 1993. - Vol. 20. -No. 5. - P.425-429.

130. Chudinovich I. Y. Boundary equation method in the third initial boundary value problem of the theory of elasticity part 1. Existence theorems.// Mathematical methods in the applied sciences. 1993. - Vol. 16. - No. 3. - P.203.

131. Chudinovich I. Y. Boundary equation method in the third initial boundary value problem of the theory of elasticity part 2. Methods for Approximate solutions.// Mathematical methods in the applied sciences. 1993. - Vol. 16. - No. 3. - P.217.

132. Vatulyan A.O., Kublikov V.L. Boundary element method in electroelasticity.// Boundary elements communications. 1995. - Vol. 6. - No. 2. - P.59-61.

133. Kuznetzov S. V. Direct boundary integral equation method in the theory of elasticity.// Quarterly of applied mathematics. 1995. - Vol. 53. - No. 1. - P.l.

134. Fu T.M., Xiong J.G., Cheung Y.K. Boundary element method with exterior collocation in two- dimensional elastodynamic problems.//

135. Earthquake engineering & structural dynamics. 1995. - Vol. 24. - No. 1. - P.99-108.

136. Alekseyeva L.A., Dildabayev S.A., Zakiryanova G.K., Zhanbyrbayev A.B.

137. Boundary integral equations method in two- and three- dimensional problems of elastodynamics.// Computational mechanics. 1996. - Vol. 18. - No. 2. - P. 145-157.

138. Siebrits E., Peirce A. P. Implementation and application of elastodynamic boundary element discretizations with improved stability properties.//

139. Engineering computations ( Swansea, Wales ). 1997. - Vol. 14. - No. 6- 7. - P. 669-695.

140. Chen H.B., Lu P., Huang M.G., Williams F.W. Effective method for finding values on and near boundaries in the elastic BEM. //Computers and structures. 1998. - Vol. 69. - No. 4. - P.421-431.

141. Danson D.J., Brebbia C.A., Adey R.A. BEASY a boundary element analysis system. - 1983. - P.254-271.

142. Brebbia C.A., Danson D.J., Baynham J.M.W, BEASY boundary element analysis system. 1985. - P.15,141-157.

143. Tullberg 0. BEMDYN a boundary element program for two- dimensional elastodynamics.// Revue roumaine des sciences techniques, serie de mecanique appliquee. - 1985. - Vol. 30. - No. 6. - P.597-610.

144. Iiitahara M., Nakagawa K. Elastodynamics (2d): applications of a boundary element program.// Struct anal syst: software, hardware, capability, compat, appl.- 1986. Vol. 3. - P. 51-64.

145. Kamiya N., Andoh E. Standard eigenvalue analysis by boundary- element method.// Communications in numerical methods in engineering. 1993. - Vol. 9.- No. 6. P.489-495.

146. Kamiya N., Andoh E., Nogae K. Eigenvalue analysis by the boundary element method: New.developments.// Engineering Analysis with Boundary Elements. -1993. Vol. 12. - No. 3. - P. 151-162.

147. Lamp U., Schleicher T., Stephan E., Wendland W.L. Galerkin collocation for an improved boundary element method for a plane mixed boundary value problem.- Computing.: (Vienna / New York), 1984. - Vol. 33. - No. 3- 4. - P.269-296.

148. Takhteyev V., Brebbia C.A. Analytical integrations in boundary elements. // Engineering Analysis. 1990. - Vol. 7. - No. 2. P.95-100.