Метод граничных интегральных уравнений в нестационарных задачах линейной вязкоупругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ г, , ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ні) 0 7 '

V») . •

На правах рукопису НЕіЦАДИМ Олександр Михайлович

МЕТОД ГРАНИЧНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В НЕСТАЦІОНАРНИХ ЗАДАЧАХ ЛІНІЙНОЇ В’ЯЗКОПРУЖНОСТІ

01.01.03 — математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичнах яаук

КпГа —

1986

Дисергаиієв є рукопис

. Робота викопана з Київському інюшерію-будівальпоідг іисгитугі та Українському даржсвпоцу увіварсотеїі харчових технологій

Паушвий керівник: дотаор фіаико-ігатеиаїн'піігс наук, професор НІЯШОСОВ С.М.

Офіпійлі опонента: доктор фізико-матекатичнях наук,

. професор ЖЩШОВ В.Г. ’

каидадаг фізяїсо-шгештичиис наук ПІОТШЩЬКИЙ Т.А., -'

■ \

іїровідаа установа: Київський універс;п,е? ім. Т.Щзвчгшка

Ззжлс? відбудеться М *Ь2^Н^Ц 1396 р. о ГОДІШІ

на васідагяі спеціалізованої вченої ради Д 01.66.02 при Інституті ватенаїнки ВІН України за адресою:

252601, Київ, Ш1., вул. Терещзнківеька, 3.

З дисертацією моиіа ознайомитись в.бібліотепі інституту

Автореферат розісланий 1996 року.

Вчений секретар

спеціалізованої ради , {@Р ____ЛУЧКА А.В.

доктор фіз.-мат. наук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тени. Вагото з вдач иатематичної фізики полягаа з розв"лзуваюп всерздкні деякої області ди’фзргнціальннх (іитег-ро-дпфзргнціадьнлх) рівнянь з частіашики похідшпт за повних умов на йозі цієї області. Для розв"язашя цих задач "успішно застосовується метод потенціал із, який мас більш загальну назву - ігетод граничних інтеграіьнкх рівнянь. Згідно з д&кші іізтодои вихідна початково-;: раПоеа задача парзтворосться б інтегрально рішіяиня, визначене на иеяі області. Реалізація катоду потенціалів, стосовно кокної конкрзтко! задачі, эв"язсна з деякими труднощами. По-порле, . необхідно знайти ("точно або наближено) фундаментальний розвяязок, як функцій двох змінних точок, відповідного диференціального (або інтогро-диферїнцгалького) рівняння задачі. По-друге, потрібно вивести спеціальні функціональні співаідаопення, які узагальшать оідоаі із класичного аналізу формули Грі на, ідо за’язувть і нт а грали по досліджуваній області з потекціалати по її неяі. По-трзтз» дослідити граничні властивості одержаних потенціалів.

Метод граничних інтегральних рівнянь вигідно ппділяегься сз-рзд числових ігетодів розв"язшшя задач математичної фізика. Останнім часом значна увага дослідників приділяється застосували^ изтоду потенціалів для розв'язування крайових задач айязпопруз-пості. При цьоігу, ш правило, розглядаються задачі з калоп гііі- -поз непі області. Задачі спадкової пругамсті з рухоіЛїни юши шито вивчені. Розробіса ефективних штодіз доедвдггппя і роза°я-зузшпш ташсс задач д ешшівов проблемой. '

Нота роботи; \ "

- розробка изтоду потенціалів роаа"язувигш вотаттэво-йрайо-• вах задач лінійно! в"лзЕопруетості а плоски областях з рухешша

иеашя;

- представлення методика кзбАяаеного розв*я»уаемня одвргляих

інтегральних рівнянь.

Загальна методика досліджень. В’дисертаційній роботі використовуються иатоди математичної фізики, шигоди теорії дкферанці-&ЯЬ2ШЗС ріК-ШІІЬ, ыэтодп тзорії інтегральних рівнянь, ізатоди теорії функцій кошіязксної оцінної і інтегральних перетворень, метода тзорії потенціалів, &ягсбрн (векторне і матрична адгебра.) , методи теорії кабяііизішзг обчислень.

Наукова новизна результатів дисортаційіої робота содягаз б яоиу, цо с ній:

- знайдено фувдаиегітальні рооввязіи ітегро-дифзреиціадьішх рівт кшіь рівновага та руху в пераиіцешшх однорідній, ізотропних, нестаріючих лі ні Гяо-в"язісолругашх езрздовщ, які характоризувть-ся раологічзииі моделями Максвелла, Ю.М.Рабатнова, А.Р.Ркашц?ша;

- одараано узагальнення формул Гріна для інтагро-дпфорззщіальзтх рівнянь внявї:опруїшої поведінка їіла;

- онайдзио інтегрально аобрааення розвяязгїу рівняння руху (рівновага ) в’язкопрухного гіда всередині області з рухоыоэ шїш»;

- введені і дослідаеиі в"язкопругзіі потенціали;

- побудовані системи гразшших інтегральних рівнянь роав"язаіаи основних крайових задач спадкової пруаносїі і

- дослідаона розв"язиість систем сйнгуляріаїх інтегральних рівнянь; » доведено їоореш єдішості розв'язків нзетаціопарних крайових задач в області, яка змінюється з часом;

- запропоновано изтод розв'язування систем еннгулярішх інтеграль-

ішх рівнянь другого роду;- розроблено алгоритм дас&яьно'го розв"язання Бпязкопружшх задач

з рухоиоо шкеа;

- розв"язаиа квазістатична задача звнязаної їеигов"яаісопруізіості для довгої тонкої пластини.

Таорзтиздіа і практична цінність. Дисертаційна робота мла тв-орзтячішй характер. Оде рівні результати а носики і «окуть застосовуватись для розв'язування задач иатекатитаЬЇ фізики з рухошяш і:с~зі.гл, ср дасть гиогу ноделяватн в"пзкопруЕну поведінку досліджуваних матеріалів, ‘ '

ііпообгщія роботи. Результати дисертації доповідались і об-говорввались на Всесоюзній ісонфзренції "Інтегральні рівняти і праПозі задачі математичнаї фізики" (Владивосток, 1990) , на ІУ. Всосоэздану юяліозіумі. "Метод дискретних особливостей в задачах цатеаатитааї фізики1* (Харків, 1989 ) , на Республіканській науково технічній конференції "Ефективні чисельні методи розв'язування крайових задач изхаяіки "гордого деформованого тіла” ( Харків,

1989) , ка "Даяезсосхідноиу семінарі з проблем цатеиатїїчної фізики і обтаслявальиої иатшіатиші" ( Владивосток, 1989) » ка Об"едналоцу ссиіиарі ыатематичких кафздр Київських вузів і деяких відділів інститутів АН УРСР "Теорія потенціалу і ярайові задачі математичної фізики" С Київ, ИБГ, 1932-1585) , ка Мігвузівськоііу науковому семінарі "Диференціальні рівняизт та їх застосування0 ( Київ, КГУУ, 1936) , ка наукозоііу селітрі кафедри теоретичної і прикладної нохаліха Кгіївсьхого університету іи. Т.Шваченка (Київ, 1996) .

Публікації. Основні разультагя дасвртації опублігоаані в роботах [І - б} .

Статті [і,2,4,5] опубліковані у співавторстві з науковии нзріпшіхоа. В роботі [і] С.Н.Білоносозу налеаить інтегрально зображення розз"язгу рівняння лінійної зиязЕопрувної квазістата-кя з плоскій о власті з иорухоиоо нєгво. Результати статті [Я ] налезать трьои авторам з одкагоаій шрі. В роботі [4] С.Ц.Вілою-■еоау належить ідея наближеного зггаходвзгася фувдаигятальното розв'язку іктерро-дя^орзнщалького рівгшшя плоского руху в"язгз-

прукиого середовища експоненціального типу, В статті [5] науковоцу керівнику належить постановка задачі» Решта результатів, опублікованих у співавторстві з С.Ц.Бідонособшз, одеркаяі автором дисертації особисто.

Структура і о б" о.; робота. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновку та списку використаної література. Обяси роботи - 155 сторінок напвшошісного тексту.

• • ЗЛСІ ІЮШйі

У вступі обгрунтовано актуальність теш дисертації, сформульовано кату дослідження, її теорзткчну та практичну цінність, наводоко коротиш огляд робіт з даної тематики, дається олнс ецісту та результатів робота.

, У тзоаптлі 1 коротко викладаються основні застосовувані СЯІВВІДКОЕ0ШШ ЛІНІЙНОЇ теорії ЗкПЗК0ПруХІ50СТІ. Виділяються реологічні йодолі, запропоновані Иаксвеллои, Ші.Рабогновіш, А.Р.Рка-НІЦЙНКМ, ВвЛ3350ПруННОЇ ПОВЗДІНКИ однорідних, ізотропних, нестаріючих иаїоріалів. Наводяться інтегро-дяфзрзкцгальні рівняння в паро-ищеттх плоского руху часток суцільного вяязкопрулного середовн-іца. Знайдені фуадаиоитаяьні рззв"язки ( то та і і наближені) вказаних рівняні» для конкретних реологічних моделей. Фоїмулваться основні початково-крайові задачі спадкової теорії пружності.

В § І зьлагсність ніе чалими деформаціями і напружешшм од-норідаого, нестаріючого в"язкопружного ізогротюго тіла вибирається у форі і ліиійшас рівнянь стану з ядраш зсувної релаксації І) і об"сиюї релаксації А'( і). У випадку плсгхої деформації прийнята такг, інтегро-дафаранці&льиа форма рівняння руху вкязш-пруаїого сорздовкцв: • ’ ■

Іь&и(Ь + іЛ+^)%^сй.іїії(І)~уфґ(і-т)[дйіг) і (1}

г~((6\

+1 (VzaJcliJ її (r)J dr~j>. '^pr + Jix^jU)- 0}

тут

f(5j;u)=f>0Ml*,t)[l-dufu(t')]-dr • ( 2)

о

Х5 е хк({) - рздіус-йактор точка плоскої області в кэивмз та су, і>0 ( {г\ Єл J - двзацяіп бази») ; U( £)s е<ик($і t) - взстор «алих персиіцгнь; Д - оператор Лаялася; >п (лІ Ь) - інтенсивність масових сил; -yV«( - 0 “ рустаиа f j>„ — cokJі); yit - ssskceo-пруиїий цодуль зсуоуі' & - юттевиЗ модуль о6"сііі!ОЇ дсфортдії;

Д = jju . Оскільки аваяавться, цо об"сшіа релаксація в"язко-прулзяїх иаторіплів незначна, та доданки із ядрзяя формаль-

но об"сдаані із вб"сшмш5 сіиігаа. ТаглП підхід доцільтсШ з позд-нгзті а катодом "кроків па часі" f варіант сзіггозккоріакицозого котоду по зміюіій ї ) .

Иохтупта ввяячяноз /if/), одарзуз*і рімшия руху в парені-

гг.оших для узагальненого плоского uanpysajoro стаду у вигляді:

■ • і

(i+jju)&U({)+3icfb%JflLtr Ні Ь - ~j^^(-i-T)AU(-r)dr-

дэ .і

Ї*(х.,ї;її)=( tui Jfi і-тЩХ' qfn lxT)dr (4 )

it • 0

^ (t) - ядра зсувної повзучості, Найбільпзго ьастосуваяня з .розрахунковій прантаці спадкової пругкості іізбула ядра рзлаясядії:

рЬ=~е*р(-Л]і 4ь(Н^ехр(~^);, (а)

, С і <4-і

9(і)~ 7Г.Л : (Є>)

(6)

(?)

д® и , р , с , зЄ , С„ . а^о - параметра матеріалу. Ядра (5) -( 7)пов*язаді з ідонада відповідно Максвехжа, В.М.Работноеа,

А.Р.Р«м>ііц)їна. ' “ — —-------------

В області Й! , обмзяамій гяадюш замкнений контуром [_ , для рівнянь руку (І) , ( 3 ) форьіулююгься основні початково-крайові еедачі а нульовими початковими умовами

Задача 3. На контурі і. ~ Ц иі.г задааться зиіпані уиаБи:

гура і, задані напруження.

У випадку ішазісгатики ( інерційні члені! б рівняннях (І) і (3 ) відсутні) крайові задачі ставляться подібним чинои.

В § 2 дял кокного із інтегро-дкфзренціальнпх рівнянь {І) > ( 3) в безмежній плоскій області будуються фундаментальні роз-в"язїш (иагриці Гріла) , регулярні в.нескінченності. Знайдено .сквдяріі функції

/

и.(*,<>) - М-^,0) =о .

Задача І. На меиі області відомі переміщення

= ос’еі) ±>°. ІЬ)

ка частіші І-ц відомі переміщення, а на ішій частині кон-

**■ 9іг,г)=[+ &(рг;)]/{№*)' Ш)

гп£1(^р)-[іп^ + &(р?)]/{/ір2);

прз допомозі яких парзтвороні за Лапласом фундадагітаяьні роззкяз-к.і розкладено на потенціальну і соленоїдну складові:

Туг позначено: к^с (х) - функція Наздоиальда,

г= Іх-уі^ г = гІ/°/[р(і-С?)Т;

- пр-.ї плоскій деформації ( рій-

И ііфи^и-щ \<ь

і —і--------і—т-——ті - їжі плоскому папруязноиу стені

, (рішютя (Зі;;

><5 •

0(р)~^(^)ОЯр(г-рІ)сії.

0 Т7м Т7га’ •

Кошонеігси вокториюс функцій V (?,р) * V (^р) утаорвзть рядка

ітриці Гріна. ЗііаДцено набяскзкий Еигдед функцій УУгу/? і

«/■а, г1) иляхом розгортання функцій ^(г^) і і? ('г, р) з РЗД за

маяки парамагрои аобразешш й(р) •

В § 3 побудовані фуццаиоитальиі розв'язки Евазістаташого

наблиаеиил рівнянь ГІ )• і ( 3 ). Яя і дгш випадку дннаміга,

одержано представленім у вигляді

7>т, (и)

а

*‘'Ь, и-- |ї ] 1

Для рзологіадш моделей ( 5 ) - ( 7) функції ^(гі) і и>(г) і) знаДдепі за їабллцями інгегралмаи паротворень. Вказадй функції одаркано танок для »"я8коврукного серздозкща Псксволда, а ішоиу $і (і)Ф О ( шз иісца об"ешш релаксація) ,

II розділ прасшшеиий побудові гр&ашщшх інтограаьімх рівнянь сфорцульовамх початноїо-црзЯоЕИх задач з лерухошщ контуром плоскої області. Вінюрас'говубїься Ц9ротво'рвнин_Лаяяаса-8а-«аеоа— до вихідних співвідношвіоі. Досяідауеїьса розв"язнісгь одеруута сисїєі! сішгудяріих ішагральюа- рівнянь. Розв'язане хв&зісгатач-т задача 59риов"язяоїїр'/ЕіООТі для нескінченно довгої пласяпш.

Б § 4 одсркакі узагальнення фощуд Гріаа для іитогро-дафе-ронціальних рівнянь Лямв (її і С 3 ). Для рівняти СІ) в області 3) значена іитсгральае вобратаи функції пврамічоиь через її контурні значення і значення векторної функції шарувань

Р*.(5, ї) : і •

'дп,

«? і •

і

+(|Ї(*Х)Ь*(2 І-Т)ІЄ}ііт ■+ У II"£(ят)-уУ(^/-г]г/б~+

» ' о а

+ ([й/2,г)-у^(г/-г).-ь\ґ£ мГт))Д^Гг^-г)- (ІЗ)

£. ■ _

г/к Ї7 гг).V ~Щ~~Щ'еіг-р у*у>

0 а

с

уіу«е^{ І П(т-)-у ск-у 41 и ($) 1^+

' 0 1 0 І_ ^ ї Т '

-y2f.lvг-т)сігІ А)[з(йШ, п)АЧ!(ъ,г-Ъ) + її($)■ у^Иї'^1 )Ус с 0 и • ■ -?п 1 ’

Да і/еЯ . ?е/., Г^=ЄК4хк ,

Ллалогічмо собрагсно розввязоі! рі шіяіткя (3 ) .

У § 5 взо даться потенціали для перзтпорзких оа Далласом рік-гяиь рівноваги га руху в^язкопруяного середовища. Наводяться фориули для ободслєіягя похідних потенціалу простого шару, Знайдені ядра потенціалів подвійного пару і функції н&прузєга». Досліджені граничні властивості цих ядер. За уиоя гладкості контура і цільносте!! потенціаліа встановлено, що досліджувані потенціал;! мазть властивості, подібні властивостям добрз відомих в математичній фізиці ньютоні в сына потенціалів простого і подвійного кару. .

В 5 6, виходяча з інтегрального вигляду (ІЗ) функції и Су/) гводені зипэколруи« потенціали простого кару гг/%} / і V ) та ЕІОДЗІЙїОГО сару ТІЇСЦІІу') ' з векторними ЦІЛЬНОСТЯМИ ^ ('?) І)

і (?еІ( ^ ? Я ) . На основі властивостей ідос

потенціалів крайові задачі (в) , ( 9) для рівнянь руху та рівновага спадково-пруптга сарздовнщ авадекі до систем скигудярдаж граютогах інтегральних рівнянь другого роду відносно невідошк цільностей потенціалів. ,

У § 7 вивчається роав"ягність одераанях граиичянх інтегральних рівнянь. Показано,, що сингуляргі інтегральні рівняння є квазіфрздгольновими. Встаяоалено, що внутрішня задача І та

зобиішя задача % так та, як і зовнішня задача І та внутріши задача 2, е взаедао союзними. Згідно з тооракаиі йредЬ'Ольма зроблено аналіз розв"язшсті вказаних внутрішніх та вошіеніх •

задач. Показана однозначна розв"язність внутрішньої задачі І і зоеиіеньої задачі Установлено вмродканість зовнішньої задачі І і внутрішньої задачі 2.

В § 8 розв’язана квазістатична задача лінійної терыов"язко-пр^ост.т~ддп^овгої-шастіаіки.—роз8-я8ок-тег-задд«і—знайдено в аналітичній фірні і наведено формули обчислення термов"язколруяіт: напружень ка меті полоси для когзюї а реологічних моделей (5 ) - (7). Одержані результати ворівшззться з відокиа розв"язком торглопрук-ної задачі.

Розділ ПІ. при свяченії й побудові граничних інтегральних різ-нянь для впяззіопружних початково-крайових задач з рухоиои незза ияоакої області. Формулюються і доводяться таораии єдиності розв'язків крайових задач спадкової пружності. Пропонується штод для чзсольного розв"яеа;мя састеии сингулярних інтегральних рів-ііяиь другого роду з рухомим контуром інтегрування.

Б 5 9 виведені формули Гріна дая інгагро-диферонціальннх рівнянь (І ) і (3 )(розглянуто випадки динаміки та квазістатики) пра уоозі, що область Я> змітається э часоы: Й - ї*) . На '

основі цих форцуд одорвано інтегральна зображення розипязіпв рівнянь (І) і ( 3 ) всередині області Ж і) , обмеженої лі-нієа і~({), V випадку повільного руху в"язкопруаного серздовица, ігадих деформація за короткий проміжок часу і повільної зніті Івані и{) роза"язкп яінваризованкх рівнянь руху в"язхопругного серодобкца (І) , ( 3} формально слівпадааш. з розв'язками відповідних рівнянь рівноваги. Відмінність полягає в тому, цо функції

і <У СІ) у вкладних дішанікя ва квазісгатикя мають різний вигляд.

У § 10 зчіна контур® 1.(1) в часі описузїься в зиіапюс Лзг-раика (£,£) сяібзідяоеєшіш

хі І, Ь = и('х) і ) + -хіі)} (14.)

до ■х(/)~ек-хІС(?)~ ртіятінп лінії Цо), і - її довзмпа. Введені

в'язкопруші потенціали о векгортгаи щільносгяда, розподілений

ка Е»нї7рі Оузіїтаії

і

ЩіЇЇ)~-У*7*{ск^-\jY-Cт)со(?І і~т)(1$ -

г 0 (15)

- -V |«/г| І~Т)1$,

о ит)

О Ют) ’

г1 ,

- Д у|(/г]5г-Г5)-р^гМ 'Л'е, 1-т)І$-{2.{цу^сІтІ -Щ-—^-

о /.''Г) о

і

і / ,> / і-Т)

о

* ^.л-п ГІ6)

- г/гс/$ /■

г г

t {'т d'ilrV

+ 7 jVrJ ril^T) cL&^[2jupad ——'— р4-т~\)~

. о Lit) о

j4 n(x)j/(^-,r~$)A4{2i's)]d$ -

і_____________i±

•/

У*є3р/г| pf^tlds^ pt-r-\ЦгаА 0 L(f) С

s в'лакоарузаїзйі aoseiaiiasaiss сровгот© г сгдаіЕаето о??? да рівняти (І). Туї позначено: п(з)~ зсазікаг- Eapracas, £а воктда Ur)

' В ЇОЧЗІ

h>jy^w\a-

ВсїЕПОВЛЄНІ ВЛССВКВОйТІ СОТЄЕЗІ&7ЇВ f 15), (ЇЄ), ЕЗ ОСЗйЗІ ES2 розв'язування крз^отаЕ вадач еля равжкь (І)9 {© ) ассязагьвя до сасгви граютвЕЖ іігаеграшгпг рівюпо. їек, до? квгзіскгкгаоі задачі I сетсюї дефоікааіг cssptsss скстеггэ іпїеграяьїкг ріг—

Няїїь г і f г Іг* -

Ш>г* * f 17)

+ ikl-^drj •£_ Яъц(£,С;it)ds(T)^*-V.

і an *~f

Ддя задачі 2 скситка грагогенвас інгетрашка рікгязь шс кзгящ

Для лдор 1^-’//-;/) t вякоауыгься сяіввідноезпня

спряженості

V<^r'="УА«,П

ПрГСОїіу ( ft)

ft,, /}=[(i-3/v.)c*qrft *ея%(Ьтгу.і 6 fjy/. swtjr/j 6]/?/

kSjf//»;^}=[f!~spu)sintfrf) f VM}({f}ci>s2$jt)-3f!. to$f({jsUi2$.(fj}/s(f\

Ь=[ШЇ<Ьsbtsfrfh -у* йпХ(Нео$гиЩ/-г(і)%

Lm

,чгг

f< £;6=[ &*wt)+sp.Mii!tt)io$zxAbysit\\ r -7 , (19)

biniffvi Un2fc(r)\/z(t))

Ґ

liz

' /0; //£)-3ft.[$iny(rj4-ioi#fr) '&n2&(T)\/?mt

'n(^A) Іг)= */'■ ,frnміг^ґт) /?(г)>

, а)

Kv ~3f<° crtYrvco-sjfcfrj/sfr)'

,(i>

В Еале-віосуі від реологічної моделі фулшііл і І і) ше вигляд: а) для моделі (5) -

б) для ь-оделх (6)

--------------:----------------

в1) для моделі (7)

і? оо Я ї™'1

^ г "А'^'ґ п^,

Тї позначено

/(зі+Ч/і) ■

^.г~ ~ЖХ„(1$> + Чу) '

Л,-[з&(*.-Х-ЇЄ.х)~ Чу(я- х. + с$. )] 'V 4?-% Ж. Р С, 4/* > с

В системах рівняла (17), (2вУ верхній зпак "+“ пря цільностях відповідає внутрішній задача», а нкшіій знак и-к - зоздікаіи. Наводяться формули для обчисашпя фунішіїі §;(С/І і Чгі(-(еї) •

§ її присвячений вначеннз ед:шсо?і розв'язків основних крайо~ вкх задач спадкової аруигості в ойзщс7Ях з даюииш: ие&ащ. Одер-гаїїі результаїи (формульовані у ветлдді ееореа. ¥ вгаадку шюскої деформації івїегро-дифергввіалінкй операгор в саиятао кзе їцгляз

і . ' ' )-^Д +()уі)<раг(Жі/ -|У'А +р-яЛЖ㥠]-

-[§!^(/-ті-11 (/-ПІ Гі^Мі’ І ■( • ) </г.

Теорема І. Грашгчні розв'язки задач І та 3 для рівняння рівноваги _ , , —

• '-Ь + і(^}і)-о

ізотропного, в'язпопружного нестаріючого середовкца єдині в області 3>(£), якщо ядра релаксації у.І) і Ьії) обмежені.

Теорема 2. Перша і третя початково-крайові задачі динамічної теорії лінійної в’язнопруяності мають едгашЛ розв'язок в області Ж і), якщо ядра релаксації обмеяеиі.

В § 12 пропонується метод чисельного розв'язування систем інтегральних рівнянь другого роду, які мають вигляд (Г17), (18 ) : метод "кроків за часом". Згідно з цим методом, в конен момент часу послідовно розв’язуються два рівняння Фредгольма другого роду відносно компонент хекгорпої щільності. Наявні особливості інтегралів переносяться в праві частині розв'язуваних рівнянь і чисельно визначаються на южному кропі обчислень. За знайденими щільиосг тями в момент часу /- і к обтаслтеоться переміщення и(%^к) на ивхі області %(?). Знаючи пі переміщення, за наближеною формулой р

и(*,К)ч-у(1), к(20)

визначаються координати точок рухомої кзкі /. (/) в наступний ю-мепт часу і = іш .

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА БІІСНСВКИ

1. Знайдено фундаментальні розв'язки інтегро-диференпіальних рівнянь рівновагії та руху в переміщеннях однорідних, ізотропних, нестаріючих ліяі&по-в’язкопрукних середовищ, які характеризуються моделями Максвсляа, Работнова, Ржапіпшіа.

2. Одергапо узагальнення формул Гріна для інтегро-днфереішіальних . рівншіь в'язкопруяюї поведінки матеріалу.

IS

3. ЗяаДцеио інтегрально зображення розв’язку рівняння руху ( рівноваги) в'язкопрувюго їіла всаречпіі області з pyxowoa ussea.

4. Введені і дослідаені в'язкопруені потенпішш.

5. Побудовані система граничних інтегральних рівнянь розв'язані основних яраЯовнх задач спадкової пруїшосїі.

G. «Цослідкека розв'язність сіісієи сингулярних інтегральних рівНЯНЬ. ; ;______________________________________________

7. Дозадено. іеореш едшюсгі розв'язків нестаціонарних крайових задач в ойласїі, лага змілйсгься з часом.

8. Запропоновано шгод і розрсйкано елгоригц чисельного розв'я-' зоншг в'язкопрупаїд задач з pjxoaoa макео.

?. Розв'язана квазгсгагн’ша задача зв'язаної їоркоа'йзкоавуггосуі

ДЛЯ ДесКІНЧЗНйО ДОВГОЇ ЇОНКОІ ЕЯаСТКШШ.

Основні резульгеїи дясертевії опубліковані в насгуовнх роботах:

1. Белоиосоа C.U., Вевддш А..Ы. Применение катода во?сш=&зов к реиени» пяосзкг таазистатических задач линейной вязкоупругосто// Тез. докз. ІУ Бс&соаз. спішоз. “Катоди дискретных особекпостс} ■ задачах вагеиатичгскоА физики."- Харьков, 1989,- С.21.

2. Белоноссз С.К., Неаддіга A. IS., Редкобородай Ю.Н. Сувдаиеи-

гальног реагине сясзехи диффергнаиадьншс уравнений дшвлика ияз-шунрутоИ среда, характеризуемой к^дельв иаковгдаа// Иеапіе£шв дкффареяцналькые уравнения в прикладных задачах,- Кнгв: Ш:-ч fa-гекзгика АН УССР, 1981— С.48-52. • _

3. Нгсздгш А. М. Построение граничних шгеегракыщх урашеинй .

для плоскої задачи о дефоршанияг сргды їкпа Еаксвшзда с нодвкааой гранішг£,- Ksisa, I9S9.- 6 с.- Дсп. в УкрНИЙНТИ 1.06.89, В 1471 - 1

Ук 89.

4. Нещэдим А.(Л., Бело’іосов С.М. Зундамзнташюе рваепио . уравнения алосюто двигения стабильной, изотропной вязкоупругой среди// Тез. рзсп. науч.-гехп. коиф, "Эффективные численные методи регсения краевых задач механики твердого деформируемого тела",-Харьков, 1989.-Ч.2.- С.53-54.

5, Неиэдим А.И., Белояосов С.И. Связанная квазиссаягевская

задача лиївій'.оа тер^сзязЕЭупругостп длл бескоиечпо длинной тонкой шсаопвд// Иктеграшпхе уравнения и крэевне задача щтехатяческоЗ $азіш.- Вязянвостол: йя-т прзкяодяой кагогагаяя ДВО АН СССР, 1992.- Ч.І.- 0.39-45, •

5. Нзоддян А.М., Омаров А. Пооїроепив грааичанх интегральных уршиешЗ з дипокихе вязкоупругой срзда Иаксвелла при задапншс на контур-2 пспрякєпішх:// Вастп. Каракалпакского филиала АН

УзССР.- 1985.~ Н.~ С.6-9.

Нещадим А,М. "Метод граничных штегралышх уравнений в

нестационарных задачах линейной вязкоупругости"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук но специальности 01.01.03 - математическая физика. Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

* Защищается диссертация, посвященная применению метода потон-пиалов для реиепия плоских начально-зграєвих задач линейной вязкоупругости. Построены фундаментальный решения шітегро-дифференпи-альтпс уравнений равновесия и^визссния в перемещениях для изотропной, нестареющей вязкоупругой среди при различите реологических моделях: Максвелла, Работпова, Ряанишна. Получено интегральное представление решения квазистатической и динамической начальнокраевых задач вязкоупругости в области с подвиетой границей. ,

18 '

G помощью Бязздаупругих потеппкаяов, краевые задачи насяадсишннай теоргш упругосги ври иодвикноы iKuisypo облаем свздеиы к систскэ граничных сингулярных ингегральннх уравнений второго рода. Дозаза-па едннспзещюси» решений оскобншс начально-гсраеЕых задач лианной теории вязкоупругости в области С ЕОДБККйОЙ гранипей к, соо?-вагстеенно, установлена разревимоеть граничных ипгограшшх уравнений. _Джя пракигческгск ветлслеии! предложен катеж "езгов по вра~ мэни*. Решена связанная квззис?аготеская задача гершвязю>2?нругоо-ги дел бесконечно дашгаой тонкой шгастиякп.

Ifasohadin A.M. "Boundari integral equations method is aon-sfcsbionary problens linear viacoela3fricityM.

. Thesis for the degree of Doctor of PMlosopJ^f in Physics cud Mathematics, speciality 01,01.03 - Mathematical Physics. Institute of Hafchaafcics, Rational Academi of Scioaoos of Шига1лаа ICyev, 1996.

This thesis in devoted to tho application of potentials ae-thod for solution of plana initial-boendary value problecis ia linear viscoelasticity. ruudwnentnl solutions of integro-diffe-rential equations of equilibria;! itnd moTsciertt fn displacement for isotropic r.tatle viscoelnn&ic mertlim at different rhaological models of Rabotnov, Kaxwell ami Rzhonytsln bavo been constructed. Solution integral representation of cjuani-static onS dynojiiic ini-tial-boundnry valuo problems of viscoelasticity in the mov?t> ; bound region ws received» Вошк1згу valuSr problems of elasticity hereditary theory for region ncvinc circuit nrtt refused to the , systen of boundary singulsr second type integral d^utionn ‘«ifch tho help of viscoelastic potentials.r>olu'.i bnr itrl qttenene of nain

ю -

initial—boundary valu-a problerea of viscoalnsfcicity linear theory in region with the moving bound ив proved and correspondingly boundary .integral equations* solvability was defined. I'othod of "steps by tine" was proposed for practical calculations. Coupled quasi-static problea cf therrao-viocoolaoticity for infinitely long thin plats hsn bean solved. ' ■

Клпяопт слое?.: sfeiiCsa зиязгсг/руглг-еть, ядро рэяаксшц?, «jsaiosatasa, дглегкез, аэгскфоги, йш>рро-диф9рзмцальпо pis-ekiкия, йундакедаехшяЯ рсзп*,язой, фэрцуза Fpim, щхлыпсть по*э*ь фзду, С!К5гуляр:-:1 ргииш'я, rgammi ittrerptubtii рхвнякня, аяь-таравш йртдгох?;^?., штогрзлькз sotfjiaieiwa рэзв"язяу, рухоиа «та» ызтод "sjwsie га тксогг4, pa<mri*nxi модели