Метод граничных состояний в задачах теории упругости для анизотропной среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

10 - 7

1698 На правах рукописи

Иванычев Дмитрий Алексеевич

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2010

Работа выполнена на кафедре «Теоретическая механика» в ГОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет.

Научный руководитель:

доктор ф.-м. наук, профессор Пеньков Виктор Борисович

Официальные оппоненты:

доктор т.н., доцент

Трещев Александр Анатольевич

доктор ф.-м.н., доцент Петрова Вера Евгеньевна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Защита диссертации состоится «_»

на заседании диссертационного Тульском государственном университете 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (12-303).

_2010 г. в «_» часов

совета Д.212.271.02 в по адресу:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан «_»_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация посвящена развитию метода граничных состояний на класс задач линейной механики для анизотропных тел. При разработке метода широко использовался формализм гильбертовых пространств и теорема взаимности для среды. Вводятся понятия граничного и внутреннего состояний для анизотропной среды, показывается их взаимно однозначное соответствие. В пространствах внутренних и граничных состояний определяются скалярные произведения.

Разработана методика построения базисов для исследуемых пространств и доказана сходимость ряда коэффициентов Фурье для разложения функций механических характеристик по выбранному базису. Показана методика решения основных задач механики деформируемого твердого тела; построены решения конкретных задач.

Актуальность. Все разработанные к настоящему времени методы решения задач МДТТ имеют свои достоинства и недостатки. Метод граничных состояний (МГС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики. Он обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МГС имеет еще достоинство он является общим.

К настоящему времени его применение в механике касалось узкого круга задач: кручение призматических стержней (A.A. Харитоненко), гидродинамика идеальных жидкостей (A.A. Харитоненко), статические задачи теории упругости изотропных тел, как при отсутствии массовых сил (В.В. Пеньков), так и при их наличии (Д.В. Викторов), линейная несвязанная термоупругость (JI.B. Саталкина), задачи линейной теории упругости для неоднородных тел (JI.B. Саталкина). Появились первые результаты в области динамических задач: МГС применен для исследования вынужденных колебаний упругих тел.

Естественным развитием сферы применения МГС является усложнение свойств среды, в частности, рассмотрение сред с анизотропными свойствами.

Цель работы. Развитие метода граничных состояний на класс задач теории упругости для анизотропных тел и построение решений конкретных задач.

Задачи исследования. Для достижения поставленных целей в данном исследовании необходимо решить следующие задачи:

- сформулировать понятия пространств внутренних и граничных состояний анизотропного тела;

- обеспечить свойства гильбертова изоморфизма обоих пространств;

-сформировать счетный базис пространства состояний анизотропной среды, на основе общего решения определяющих уравнений;

-провести ортогонализацию базиса внутренних состояний; построение «тела в смысле МГС»;

- сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах МГС;

- разработать вычислительные алгоритмы;

- теоретически обеспечить разрешимость задач для анизотропных сред; -провести решение конкретных задач как для односвязных так и для

двусвязных областей.

Практическая ценность заключается в возможности использования нового метода для решения задач анизотропной упругости; в использовании вычислительных алгоритмов в инженерных целях.

Научная новизна раскрывается следующими положениями:

1) МГС, который является новым «энергетическим» методом механики, применен для решения задач для анизотропных тел;

2) построен новый способ выделения базиса пространства состояний, использующий общие решения для анизотропной среды;

3) решены оригинальные задачи для тел различных геометрических конфигураций.

Достоверность полученных результатов обеспечена:

1) строгим математическим обоснованием МГС;

2) тестированием результатов в отношении точности;

3) тестированием метода на известных решениях (результаты тестирования показали абсолютное совпадение с известными точными решениями).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 8 научных работ. Одна работа опубликована в издании, рекомендованном ВАК.

Апробации. Положения диссертации докладывались: на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 27-29.06.2009, 2022.0.9.2010), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 27-29.06.2009), на совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (25.04.2009), на конференции «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ - 2010, Воронеж, 14.05.2010, 29.10.2010), на научном семинаре имени Л.А. Толоконникова (Тула, 29.09.2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка литературы из 79 названий и 3 приложений. Объем работы составляет 95 страниц основного текста, включая 61 рисунок, 5 таблиц и 22 страницы приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель и задачи работы, показаны ее научная новизна и практическая ценность. Здесь же кратко сформулированы основные положения разделов и параграфов диссертации.

В первом разделе дано сравнение МГС с другими методами решения задач теории упругости; также приведен обзор по имеющимся результатам и методов решения задач для анизотропных тел.

Методы механики, использующие аппарат теории гильбертовых пространств, исходят из необходимости разрешения того или иного операторного уравнения относительно некоторой неизвестной функции или их наборов. Так метод Галеркина решает через базис пространства, в котором определено решение, непосредственно само уравнение; метод наименьших квадратов минимизирует невязку граничного соотношения; метод Ритца ищет минимум квадратичного функционала, построенного для положительно определенного оператора; метод Канторовича осуществляет процедуру поиска минимума квадратичного функционала. С.Г Михлин рассматривал ранее «пространство тензоров упругих напряжений». Для этого пространства было указано скалярное произведение, основанное на энергии внутренней деформации. Метод Филоненко-Бородича исходит из понятия общего решения для среды относительно обобщенных кинематических напряжений. Этот метод хорошо приспособлен для решения задач для нелинейных сред.

Большее внимание в рамках теории упругости уделяется методам расчета напряженно-деформированного состояния анизотропных тел. Одним из методов решения рассматриваемой задачи является метод граничных интегральных уравнений, который позволяет привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе интегральных уравнений относительно неизвестных функций, заданных на границе рассматриваемой области. Данная методика позволяет снизить размерность задачи на единицу, но аналитические решения интегральных уравнений можно получить только для тел простой формы. Для решения задач для анизотропных тел сложной формы использовался непрямой метод граничных элементов.

При исследовании дефектов (трещин, включений) применялся метод разрывных решений, который позволяет вводить скачки в напряжения, в перемещения и деформации. Эти скачки сил, перемещений и деформаций считаются фиктивными компенсирующими нагрузками, благодаря которым выполняются любые краевые задачи. Недостатком является повышение порядка особенностей в ядрах интегральных уравнений, они становятся суперсингулярными.

Для решения плоских задач для анизотропных тел с отверстиями применялся метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Этот метод позволяет существенно снизить размерность разрешающей системы уравнений. Актуальными в решении таких задач остаются методы,

использующие теории функции комплексного переменного (методом комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого).

Существенный вклад в развитие математических методов статической теории упругости анизотропного тела своими трудами внесли: С.Г Лехницкий, Ю.И. Соловьев, А.Я. Александров, Г.Н. Савин, Л.Я. Галин, Д.В. Грилицкий, Я.С. Космодамианский, С.А. Колоеров, Г.Л. Мартынович, А.И. Уздалев, A.A. Трещев, В.Е. Петрова, Л.А. Толоконников, Н.М. Матченко и др.

Второй раздел диссертации посвящен обоснованию МГС для анизотропной среды. В этом разделе приводятся основные положения для пространства внутренних состояний области, занятой линейно-упругой анизотропной средой. Для данной области записано уравнение равновесия (1) и линейное выражение деформаций через обобщенный закон Гука (2):

0; (1)

£ij=aljkl°kl\ a*ij =(2-<%Н'> 0'А/е{1,2}. (2)

Обозначим через £ произвольное внутреннее состояние среды, удовлетворяющее линейным определяющим соотношениям, уравнениям движения, геометрическим соотношениям (2). Конкретно, под этим будем понимать согласованный набор полей перемещений, деформаций, напряжений:

Каждая из фигурирующих здесь величин является функцией пространственного положения. Совокупность всевозможных состояний среды образует пространство В внутренних состояний среды, линейное относительно операций суммирования состояний (суперпозиций) и умножения на число. Для двух произвольных внутренних состояний , с В применяем теорему взаимности Бетти как основу определения скалярного произведения:

(<?1>£>)н я \c\efjdv = \<??j4dv = (Z2&h- (3)

V V

В построенном таким образом евклидовом пространстве Н вводим норму и метрику:

14 = , - Vtö-6)s

Введенная метрика позволяет строить всевозможные фундаментальные последовательности состояний среды. Замыкание пространства S образует полное пространство. Таким образом, пространство S является гильбертовым.

Для области V в каждой точке границы можем указать внешнюю нормаль п = и определить в ней внешнее усилие, соответствующее

внутреннему состоянию по линейной зависимости:

Pi=°ijnj- (4)

Назовем граничным состоянием набор функций точек границы

Г = {"/»Л-}

Совокупность всех допустимых граничных состояний образует пространство граничных состояний Г, линейное в силу линейности соотношений (4) относительно операций суммирования состояний и умножения на число. Принцип возможных перемещений позволяет формулировать теорему Бетти в терминах граничных состояний:

дУ дУ

Определим скалярное произведение элементов У\, У г на пространстве Г, принимая за него значение левого интеграла в (5). В силу принципа возможных перемещений справедливо равенство:

(6)

В случае гладкой границы, по определению, каждому элементу 4 <=■ ^ соответствует единственный элемент У е Г Соответствие 4^*7 не является односторонним. При заданных согласованных поверхностных усилий и перемещений поле внутренних перемещений однозначно восстанавливается по теореме Сомильяны: у 4 Через формулы Коши и обобщенный закон Гука также однозначно восстанавливаются поля деформаций и напряжений. Следовательно, между элементами пространств внутренних и граничных состояний установлен изоморфизм. Благодаря соответствию:

4\ + 4г <->/1 +У2> , а^1

и равенству (6) можно сделать заключение о гильбертовом изоморфизме.

Последнее позволяет изучение внутреннего состояния деформируемого тела свести к изучению соответствующего граничного состояния. Базисному набору элементов пространства Е соответствует базисный набор элементов пространства Г

Третий раздел посвящен методологии выбора базиса пространства внутренних состояний для односвязной и двусвязной плоской области и решению конкретных плоских задач.

Формы общих решений для различных конфигураций тел различаются в нюансах; им соответствуют ограничения, накладываемые теоремами единственности. Определенные коррективы могут вносить сингулярности в решении, обусловленные физическими и геометрическими причинами.

Общее решение выражает характеристики поля через набор функций, принадлежащих некоторым классам. Геометрия области и параметры нагрузки определяют конкретную форму представления каждой функции в рамках своего класса. Учет этих факторов позволяет назначать искомый базис.

Для плоских задач анизотропной упругости используем базис, построенный на формулах комплексного представления Лехницкого:

^=2Ке[Ф;(г1)+Ф2(г2)]; (7)

тху = -2 , Ф1 (г! )+ ц 2Ф2 (г2)]; и = 2Ке[/7,Ф1(21)+р2Ф2(г2)];

= 2Ке[91Ф1(г1) + 92Ф2(22)].

Р\ =аиМ\ +ап-а\Ф\\ Рг =а\\^2+а\2~а\бМ2\

Ч\ =а\гР\ +а221М\-а2б> 42 =а12^2 +а22^Р2 ~а26> где 1\ = х\+}1\у> =х2+ц2у - обобщенные комплексные переменные; ,

- комплексные корни характеристического уравнения; Ф^), ФгО^) -аналитические функции; константы интегрирования и0, у0 отвечают за смещение и поворот тела как целого.

Общий вид аналитических функций в случае односвязной ограниченной области таков:

Ф г(2г)=1¥/, (г = 1,2).

Базис для двух аналитических функций следующий:

Фгы

' ?2

щ

'о

: к = 1.2,

(8)

Считая известным ортонормированный базис пространства Г и соответствующий ему по изоморфизму ортонормированный базис пространства Е. Решение первой основной задачи состоит в вычислении коэффициентов Фурье. Соответственно, при заданных на границе перемещениях щ, либо усилиях рх0, ру0 коэффициенты Фурье рассчитываются так:

Су = \[рх*и0 + Ру^О ; с] = Крхо«7 + Ру^3

дБ

3£>

(9)

где и} р} определяет вектор соответственно перемещения и усилия в базисном элементе = |

Решение есть ряд Фурье, который можно переписать в явной форме:

оО оо

Р{= I с]р{ , щ = I с}и\ (10)

У=1

Поля напряжений и деформаций определяются идентичными по структуре выражениями:

= I сусг,*, = £ С]£Ь

1

7=1

(П)

Тестирование метода граничных состояний для плоских задач анизотропной упругости заключалось в расчете полей механических характеристик и сопоставлении их с заданными граничными условиями.

Решение основных задач проводилось для тел различной конфигурации. Например, для кругового в плане тела (рис. 1). Задавались следующие упругие характеристики (принята безразмерная форма

изложения): модули Юнга £Х=Ы05, Еу = 0,42-105; модуль сдвига

б = 0,075-105; коэффициент Пуассона // = 0,1; коэффициенты взаимного влияния первого рода г/хух = 0,07, т]хуу - 0,04.

На границе кругового тела задавалось одноосное растяжение при

[Рх =со5[д] + со8[я74],/?у =0, де^; воздействии на сектор: /"Ы = \

=соз[^]-со5[л-/4],р>, =0, де^.

На рис. 2 приведены изолинии различных характеристик напряженно-деформированного состояния (здесь и далее компоненты перемещения приведены с точностью до жесткого поворота).

а б в

Рис. 2. Изолинии: а - компоненты вектора перемещения и, б -компоненты вектора перемещения V, в- компоненты напряжения а^

В тексте диссертации приведены также результаты для тел иных форм: прямоугольной, овальной.

В случае двухсвязной области, если главный вектор усилий на внутреннем контуре равен нулю, общий вид функций Лехницкого следующий:

ФгЫ= £ (г = 1,2).

Методика решения данной задачи аналогична той, что описана выше-для плоской односвязной области.

Решение плоской задачи для двухсвязной области проводилось для тела прямоугольной формы с круговым отверстием в условиях всестороннего сжатия (рис. 3).

Граничные условия следующие:

Рх=Ъ ру=0,(х,у)е81-, рх = 0, ру =1,

Рх ="1. Ру =0' Рх =0' Ру = (х,у)е84)

Рх =-С08[^], Ру = -эт^], (х,д>)е55.

гггг У гп I

1 г ь к ж ш

г. ///Х35 -У/Х}^ Ж Ш Ш

М

Рис. 3. Граничные условия для тела прямоугольной форы

На рис. 4 приведены изолинии различных характеристик напряженно-деформированного состояния.

а б в

Рис. 4. Изолинии: а - компоненты вектора перемещения и, б -компоненты вектора перемещения аху, в - компоненты напряжения

Также выполнены расчеты для анизотропного кругового кольца.

В этом же разделе рассмотрены задачи изгиба анизотропных пластинок, в каждой точке которой имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. На боковой поверхности заданы усилия, приводящие к скручивающим и изгибающим моментам. Объемные силы отсутствуют.

Общее решение данной задачи имеет вид:

Мх=-2 Ке[р!(г]) + р7у»г (г2)]; Мх = -2Ке[//Т5,м^" ) + м2х2™2 (22)]; Му=- 2 ! ) + ^г (г2 )]; Му = 2 Е^ н^" (г,)+ з2 (г2 )]; =Нух =-2Ке[гр^(г]) + г2>^(г2)]; 12 М,

6Л'

12 Му 12 Нху

ау ~ Л3 тху ~ А3 *

> б Ыу Г ,2 А — -г2

У ; Туг 4 V У

и дм/ дх 5 м>

(12)

где , <7/, Г{, .у,- комплексные постоянные, определяемые параметрами анизотропии, - функция прогиба; ^ = XI + , г2 =х2 + ц2у - обобщенные комплексные переменные; //,, /¿2 - комплексные корни векового уравнения: Мх, Мд, - изгибающие моменты; Нху, Я^ - скручивающие моменты; Л^, Л^ - перерезывающие силы; к - толщина пластинки.

Методика формирования базиса пространств состояний, вычисления скалярных произведений в этих пространствах, построения решения аналогична той, что описана выше для плоских односвязных задач теории упругости. Только базис формируется для функций ^(г,) и м>2(г2).

Простейшим случаем нагружения однородной прямоугольной пластинки являются изгиб (рис. 5).

Граничные условия следующие:

рх=г, Ру =0, рх = 0, ру = г, (х,у)е

Рх = -*> Ру =0, Рх =0» Ру = -*>

Вид сверчу У

31

-2 -1 2

а б

Рис. 5. Всесторонний изгиб анизотропной пластины: а - общий вид, б - вид сверху

Полученные поля перемещений и напряжений: и = - 0.088 х ъ - 0.012 у г; V = - 0.012 х г - 0.028 у ъ\ ^ = 0.044 х2 + 0.012 х у + 0.014 у2;

<7Х = -г; с» = <ту1 = 0, стХ2 = 0, сг^ = 0. На рис. 6 приведены поверхность и изолинии компоненты вектора перемещения ж

Гряфих поверхности и V

Л гааш уровня и^у

Рис. 6. Компонента вектора перемещения м>: а — поверхность, 6 — изолинии

Четвертый раздел посвящен постановке и решению обобщенной задачи Сен-Венана. Рассматривалось равновесие упругого однородного тела (рис. 6), ограниченного цилиндрической поверхностью, обладающего анизотропией общего вида, под действием усилий, распределенных по поверхности тела. Область поперечного сечения конечна и односвязная, длина тела конечна. Усилия, распределенные по боковой поверхности, действуют в плоскостях, нормальных к образующей и однородны по длине. На торцах цилиндра действуют усилия, приводящиеся к изгибающим моментам, скручивающим моментам и осевым (продольным) силам; массовые силы отсутствуют. Так как на боковой поверхности распределены усилия, то эту задачу можно интерпретировать как обобщенную задачу Сен-Венана.

Рис. 6. Схема нагружения анизотропного цилиндра С. Г. Лехницким было получено общее решение данной задачи: <тх = 2 » (2,) + М\ Ф2 (г2) + Л3 ц\Ф2 (*3)];

Су =2 Яе[Ф] (гх) + Ф2 {г2 ) + ¿зф2 (23 )] 5

т^ = -2 ММ, ф; ) + /л2ф\ {г2) + ¿зМ3 Ф2 (гъ)];

г^ = -2 Яе[Я,Ф; ^) + ^Ф2 [г2 ) + Ф2 (г3 )] - ^;

дх

гхг =2КеСа1Д1ф,1(г1) + ^2Я2Ф2(г2) + //зФ2(2з)] + ^-;

а2 = -(Ах + Ву + С)-—(а]3стх + а23<ту + а34т у1 + а35т и + а36тху)\

а33

а33

м = -уг2 ~3уг + и + и ; + К + н< = (Лх + Ву + С)г + РК + ;

£/ = 2Яе К = 2Яе £дгФ г(гг)+У0- № = 2Ке £ггФг (гг) + Щ ,

Г =1 Г = 1 Г = 1

где: комплексные постоянные, определяемые параметрами

анизотропии; и ,м> - составляемые вектора перемещения как жесткого целого, >//0 - частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений;

_ - 23 + (,Ла34 + Ва35 ) (/755л:2 + 2/?45ху + р44у2).

4а33 (/?44^55-А52)

и0, У0, ^о компоненты вектора перемещения, соответствующие 1//0; ¡Зу = а у - аг-3 ауз / а3з (г, у = 1,2,4,5,6) приведенные коэффициенты

деформации; г,- = х,- + ¿и¡у (г = 1,2,3) - обобщенные комплексные переменные;

- комплексные корни характеристического уравнения; ФДг,) - функции Лехницкого; А, В,С,3 - определяются из условий равновесия на торцах:

- + агъ°у + ^36 V= Рха33;

- Я^З0"* +а23°> +а35*х2 + = ^33 5 ^2 ~ Я(а13°"х +^23°"^ + а34?> + аЪегху)у^у = М2а33\ \\{ту2х-тх2у)с1хс1у = М,,

здесь /], /2 - главные моменты инерции поперечного сечения (относительно осей * и у); Р., М\, М2, М, - сила и моменты, к которым приводят усилия на торцах (рис. 6).

Базис пространств внутренних состояний для ограниченного односвязного тела составляют наборы:

Ыъ)}

Ф2(г2) фз(*з).

/О

Го о

о о

1ч'

л (■ к

Щ

о о

а2 о

о о

V

: к -1,2,...

Переход к пространству граничных состояний осуществляется в соответствии с соотношениями между атрибутами пространств состояний на границе тела. Скалярные произведения в пространстве внутренних и граничных состояний вычисляются по формулам (3) и (5) соответственно. Восстановление характеристик осуществляется по формулам (10) и (11).

В качестве примера решения конкретной задачи методом граничных состояний реализована задача для кругового цилиндра (рис. 7).

Функции внешних усилий заданы по законам: на боковой поверхности: рх = соэ^], Ру = 0, [0,2тг],

Глг/2, г--\, [—2 — х —у, 2 = -1, на торцовой: М, =< . , .

[-7Г/2, 2 = 1; \2 + Х + у, 2=1.

лет*1 \\р

/ /

Рис. 7. Усилия в поперечном сечении на боковой поверхности кругового цилиндра

Полученные поля перемещений и напряжений: и = -0.0018 х - 0.002 х2 - 0.002 х у + 0.003 у2 + 0.016 у г - 0.003 г2; V = 0.002 х -0.00014 х2 -0.006 у - 0.00315522 х у - 0.0006 у2 - 0.016 х г -0.004 тГ\ и> = 0.002 х - 0.002 х2 + 0.002 у - 0.002 х у + 0.003 у2 + 0.0112319 г + 0.007 х г + 0.00766694 у г;

= 1; (гу = 0; ст: = 2 + х + у, сг^ = -х, сгХ2 = у, сг^, = 0.

На рис. 8 приведены изолинии компонент вектора перемещения.

а о

Рис. 8. Изолинии компонент вектора перемещения в плоскости поперечного сечения: а - компонента б — компонента

Пятый раздел посвящен решению осесимметричных пространственных задач для тел вращения из трансверсально-изотропного материала. Задача поставлена следукщим образом. Рассматривается равновесие упругого однородного тела (рис. 9) из трансверсально-изотропного материала, ограниченного одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения, находящегося в равновесии под действием внешних усилий. В силу осевой симметрии радиальные сечения остаются плоскими; тело остается телом вращения в деформированном состоянии.

Рис. 8. Схема нагружения тела вращения

Методом интегральных наложений показано, что всякому пространственному напряженному состоянию соответствует некоторые вспомогательные двумерные состояния. В случае осесимметричной задачи для тела вращения плоское состояние только одно (меридианное сечение), компоненты которого даются формулами:

о? <*? = Яе^Ы+Ф^)];

crgN-Re^cDi Ы+Г2Ф2(<Г2)]; (14)

и?1 = Rc[Pl Ф1 (<г,)+ р2Ф2Ы]; и? = Re[/í, Ф, (<Г1)+ 1ч2ф2^2% где p¡, q, комплексные постоянные, определенные параметрами анизотропии; g¡ = z / y¿ + iy комплексные корни характеристического

уравнения (комплексно-сопряженные), функции Ф,-($■,•) - аналитические по своим переменным.

Переход к пространственному состоянию в цилиндрических координатах осуществляется по формулам, указанным А .Я. Александровым и Ю.И. Соловьевым:

1 г <тр1 1 сг P¡

0г = - Í < ' „Ф , стгг = - | ——¿==dy , <7.0 = crr6,,

-¡г2-у2 ' гГ

.2

/ 2 2 2-Г ^'(15)

-Г /• у Г — у -г у]Г -у

1 г \ г ир1

и - — \ —. йу, И' = — \ —. г д.у, V = 0.

Базис пространств состояний генерируется для вспомогательного двумерного состояния аналогично соответствию (8), только для переменной ¿Г,-. По формулам (15) переходим к базису пространств состояний для пространственного состояния. Скалярные произведения в пространствах внутренних и граничных состояний вычисляются по формулам (3) и (5) соответственно, но в цилиндрической системе координат. Восстановление искомых характеристик осуществляется по зависимостям (10) и (11).

Решена задача для тела ограниченного цилиндрической поверхностью (рис. 9). Функции внешних усилий заданы по закону:

15

и

Рис. 9. Одноосное неоднородное растяжение тела вращения (ог - ось

симметрии)

Рис. 10. Изолинии: а — компоненты вектора перемещения и, б — компоненты вектора перемещения тм, в - компоненты напряжения ап

Полученные результаты приведены в Приложении. На рис. 10 приведены изолинии компонент различных механических характеристик.

Шестой раздел посвящен анализу влияния сингулярности границы на сходимость решения. В ходе решения некоторых задач для тел с сингулярной границей механическое наращивание базиса влияет на устойчивость решения вблизи этих точек. Как правило, такой характер поведения восстановленных на границе усилий или перемещений характерен для сложно нагруженных тел. Это является не ошибкой, но особенностью решения задач методом граничных состояний для таких тел. Преодоление трудностей такого характера следует искать на пути включения в базис состояний специальных решений, «схватывающих» реакцию упругого поля на наличие сингулярности.

В заключении сформулированы основные выводы по диссертации.

В приложениях приведены сопутствующие материалы по решению конкретных задач - сравнение полученных граничных условий с заданными, эпюры.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для решения анизотропных задач применен новый общий «энергетический» метод для решения задач линейного континуума. Метод опирается на формализм гильбертовых пространств и использует понятия пространств внутренних и граничных состояний.

2. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для анизотропной среды. Разработаны базисы пространств внутренних состояний для объектов различных геометрических очертаний и физических свойств.

3. Строго обоснован метод граничных состояний в части решения первой и второй основных задач для анизотропных тел. Решение строится с точностью до жесткого движения, которое является «нулем» пространства состояний. Процесс решения сводится к рутинному вычислению квадратур.

4. Выписаны базисы пространств состояний для анизотропных тел.

5. Проведено решение конкретных задач. Тестирование МТС на классических задачах для анизотропных тел показало абсолютные результаты. Построены (в аналитическом виде) конкретные решения задач о равновесии сплошных тел.

6. Проведен анализ влияния сингулярности границы на сходимость решения.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Иванычев Д.А. Развитие метода граничных состояний на класс анизотропных тел [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Сборник докладов совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики Южного Федерального Округа, 22-25 апреля 2009 г. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2009. - 57-60.

2. Иванычев Д.А. Решение анизотропных задач теории упругости методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч. 2 сборник трудов Международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. - 106-108 с.

3. Иванычев Д.А. Решение обобщенной задачи Сен-Венана методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б. Иванычев Д.А. // Научно-методический семинар преподавателей теоретической механики ВУЗов России. Тезисы докладов 05 октября 2009 г. / Юж. Рос, гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. - 40.

4. Иванычев Д.А. Решение задачи Сен-Венана для анизотропного цилиндра методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Материалы международной научной конференции «Современные

проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2009.-250-251 с.

5. Иванычев Д.А. Исследование равновесия анизотропного цилиндра методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Вестник Тульского государственного университета. Серия. Актуальные вопросы механики. - Тула, 2009.- Вып.5. - С.118-122.

6. Иванычев Д.А. Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Вестник Тульского государственного университета. Серия. Актуальные вопросы механики. - Тула: ТулГУ, 2010 - Вып.6. - С.88-91.

7. Иванычев Д.А. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. //Вести высших учебных заведений Черноземья. Научно-технический и производственный журнал. - №2 (20). Липецк: ЛГТУ, 2010. - С.31-35.

8. Иванычев Д.А. Решение второй основной задачи методом граничных состояний для транстропного упругого цилиндра [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ—2010): тезисы 11 Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. - Воронеж: ООО фирма «Элист», 2010 - С.74-75.

Подписано в печать 13.10.2010 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объем 1,1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 968 Полиграфическое подразделение Издательства Липецкого государственного технического университета. 398600 Липецк, ул.Московская, 30.

¿ la

2010175667