Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005020712

СТЕБЕНЕВ ИВАН НИКОЛАЕВИЧ

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 — «Механика деформируемого твёрдого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 9

Г) /

т

Тула 2012

005020712

Работа выполнена на кафедре «Теоретическая механика» в ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пеньков Виктор Борисович.

Официальные оппоненты: - Желтков Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор,

ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», профессор кафедры

математического моделирования;

- Петрова Вера Евгеньевна,

доктор физико-математических наук,

профессор,

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Донской государственный

технический университет».

Защита диссертации состоится "2Ц" 2012 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г.Тула, проспект им. Ленина, 92, ауд. 12-303.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан " марта 2012 г.

Учёный секретарь ^д

диссертационного совета л. А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке нового общего численно-аналитического метода решения динамических задач теории упругости (ТУ) изотропного тела, базирующегося на концепции состояния среды

Актуальность темы диссертации. Исследование динамических задач обусловлено необходимостью изучения поведения конструкций при быстро изменяющихся нагрузках, вибрациях, для сейсмостойкого строительства зданий, шахт, туннелей, подземных хранилищ и др. Совокупность практических вопросов, при рассмотрении которых в качестве модели процесса используется гармоническая волна, чрезвычайно широк: сейсмология, акустоэлектро-ника, неразрушающий контроль и др.

Современные потребности машиностроения, строительства стимулируют изучение распространения волн в трёхмерных телах. Решение пространственных задач ТУ даёт возможность адекватно определить напряжённо-деформированное состояние (НДС) исследуемых объектов и более чётко выявить закономерности, присущие рассматриваемым процессам.

Наряду с задачами о распространении волн в упругой среде немалый интерес представляет анализ гармонических колебаний ограниченных тел. Особое внимание уделяется аналитическому исследованию форм колебаний упругих тел.

Сложно переоценить важность решения задач по определению внутренних характеристик тела по его внешним (граничным) проявлениям. В ТУ к таким задачам следует отнести задачи восстановления напряжений или смещений во внутренних точках тела по напряжениям или смещениям в точках поверхности тела. Задачи эти ставятся, начиная с середины девятнадцатого века, но число точных решений таких задач в трёхмерной постановке мало — решение пространственных задач представляет собой трудную математическую проблему. Однако существенное упрощение решения пространственных задач достигается благодаря применению вариационных принципов. Обычно эти задачи решаются приближённо.

Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях:

- снижение уровня инструментальной ошибки;

- построение аналитического решения, поскольку в этом состоит тенденция развития современных вычислительных средств.

Современным методом, отвечающим этим требованиям, является метод граничных состояний (МТС). Первоначально он был предложен в качестве эффективного средства решения линейных задач механики сплошных сред В. В. Пеньковым и В.Б. Пеньковым (1998). Идеология МГС ориентирована на символьное представление промежуточных и финишных результатов счета. Это отвечает современному уровню развития вычислительных средств, всё более ориентирующихся на компьютерную алгебру. Для многих прикладных задач заявленные к вычислению квадратуры берутся средствами компьютерной алгебры с абсолютной точностью. Это ликвидирует ещё одну

причину формирования результирующей ошибки вычислений, связанной с промежуточным характером численного счёта.

Целью диссертационной работы является разработка МГС для решения задач о вынужденных установившихся колебаниях механики деформируемого твёрдого тела (МДТТ).

Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:

1) формулировка понятий пространств внутренних и граничных состояний для динамических задач ТУ;

2) конструирование счётных базисов пространств внутренних и граничных состояний в задачах динамики изотропных тел;

3) введение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление гильбертова изоморфизма пространств, ортогонализа-ция базисов;

4) постановка краевых задач динамической ТУ в терминах МГС;

5) решение основных задач ТУ для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела.

Научная новизна работы содержится в следующих положениях:

- построено общее решение уравнений Н. А. Кильчевского в напряжениях для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела;

- впервые МГС применён для решения динамических задач ТУ;

- выполнены конкретные решения новых задач.

Теоретическая ценность:

- получены общие решения уравнений Н. А. Кильчевского в напряжениях для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела;

- в терминах МГС выполнены постановки первой, второй и основной смешанной (по классификации Н. И. Мусхелишвили) динамических задач для изотропно-упругого тела;

- для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела средствами МГС обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для полей НДС.

Практическая ценность:

1) получены новые общие аналитические решения в напряжениях задач ТУ для вынужденных установившихся колебаний изотропного односвязного трёхмерного и двумерного тела;

2) разработан алгоритм назначения базисов пространств внутренних и граничных состояний тел, подверженных установившимся колебаниям;

3) разработаны алгоритмы и выполнены конкретные расчёты колебательных движений двумерных и трёхмерных тел в условиях первой, второй и основной смешанной задач ТУ.

Достоверность обусловлена:

1) использованием хорошо зарекомендованных себя классических моделей в МДТТ;

2) применением фундаментальных математических основ при построении МГС для динамических задач ТУ и решением конкретных задач;

3) тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи, промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи (насыщение суммы Бесселя; совпадение полученных в результате расчёта данных с граничными условиями (ГУ), визуальный контроль).

Апробация работы. Основные результаты и материалы диссертации в целом докладывались на: регулярных докладах в рамках семинара научной школы «Математические методы и модели механики» под руководством В. Б. Пенькова (Липецк, ЛГТУ); совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (г. Новочеркасск, 22-25 апреля 2008 г.); международной научно-технической конференции «Теория и практика производства листового проката» (г. Липецк, 29-30 мая 2008 г.); IX Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (АКТ-2008) (г. Москва, 10—12 сентября 2008 г.); IV школе молодых учёных Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (г. Липецк, 24—25 сентября 2008 г.); XI Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010) (г. Воронеж, 14 мая 2010 г.); II Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.); международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики информатики и механики» (г. Воронеж, 20-22 сентября 2010 г., 26-28 сентября 2011 г.); I Всероссийской конференции молодых учёных «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред» (г. Томск, 16-19 октября 2010 г.); международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 22-26 ноября 2010 г., 19-23 сентября 2011 г.).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в опубликованных работах [3; 4; Í; 6; 5; 7; 2; 8; 9], в том числе статья [2] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения и списка использованных источников. Общий объём работы составляет 80 страниц, в том числе 67 страниц основного текста, включая 12 рисунков и 5 таблиц. Список использованных источников содержит 114 наименований на 13 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи работы, установлены её научная новизна, теоретическая и практическая ценность; обсуждается достоверность полученных результатов диссертации. Кратко сформулированы основные положения диссертации.

Первый раздел. Концепция состояний среды была выдвинута В. Б. Пеньковым и В. В. Пеньковым в 1998 г. Центральными пунктами этого подхода явились понятия состояний тела.

Под состоянием среды понимается любое частное решение (и его следствия) разрешающих уравнений (набор полевых характеристик) среды. Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния, если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. Тот след, отпечаток, который оставляет на границе тела внутреннее состояние, воспринимается как граничное состояние, соответствующее внутреннему.

Совокупность операций, призванные выделить единственное решение из всех возможных, понимается как процедура распознавания искомого внутреннего состояния по тем признакам, которые содержатся в наборе начальных и ГУ. Метод, призванный выделить единственное состояние из всего пространства состояний, получил название МГС. С математической точки зрения МГС представляет собой разложение искомого состояния в ряды Фурье по элементам базиса пространства состояний.

В первом параграфе выполнен сравнительный анализ вариационных (и не только) методов решения краевых задач для уравнений математической физики, в частности, — уравнений ТУ. Выделены общие черты с МГС и от, тенены различия с вышеупомянутым методом.

Во втором и в третьем параграфах представлен выборочный обзор научных работ по фундаментальным и общим решениям динамических задач ТУ за последние пятнадцать лет, имеющих принципиальное отношение к МГС. Обзор проводится с целью показать, что для построения базисов состояний в МГС можно выбирать различные варианты из общих и фундаментальных решений динамических задач ТУ.

В четвёртом параграфе приводится краткий обзор работ за последние пятнадцать лет по тематике установившихся колебаний твёрдых тел.

Второй раздел посвящен развитию МГС для динамических задач ТУ. В первом параграфе даётся ретроспективный анализ решённых с применением МГС, различных статических задач ТУ. Перспективным развитием МГС является рассмотрение динамических задач ТУ (в частности, задач об установившихся вынужденных колебаниях изотропной однородной упругой среды).

Во втором параграфе выполняется теоретическое обоснование МГС для динамических задач. Описываются основные соотношения и исходные постулаты динамических задач ТУ: адиабатичность процесса, определяющие соотношения, принцип виртуальных работ для упругого тела при динамических нагрузках.

Обобщённые соотношения Гука для динамических задач адиабатического процесса:

Л»,/ = {1,2,3}, (1)

где оj„ — компоненты тензора напряжений; /л* — модуль сдвига, измеренный при адиабатических условиях; sjm, еп — компоненты тензора деформа-

ций; 3]т — символ Кронекера; Л3 — упругая постоянная Ламе при адиабатических условиях.

В динамических задачах ТУ в соотношение (1) входят адиабатические постоянные Лэ, ^. Далее, при постоянных Л и ¡г, индекс 5 будем опускать.

Вариационное уравнение для упругого тела при динамических нагрузках выражает принцип виртуальных работ в динамике.

В третьем параграфе даётся общее решение уравнений Н. А. Кильчев-ского в напряжениях для вынужденных установившихся колебаний изотропного двумерного и трёхмерного тела.

Состояние движущейся изотропной линейно-упругой среды подчинено уравнениям движения

обобщённому закону Гука (1) и соотношениям Коши

Н. А. Кильчевский (1972) в качестве общего решения уравнений в напряжениях вывел более короткую форму представления состояния среды через три функции напряжения и зависимостями (по повторяющимся индексам не суммировать)

1

где (Трп = ; хрхт,х, — декартовы координаты; р — постоянная плотность среды; I — время; М/ — компоненты вектора перемещения элемента среды.

Функции напряжений Ч? ] подчинены системе из трёх дифференциальных уравнений в частных производных вида

р д2 _ Л + М( 82 „, . д2 т . д2

л^+^+^Л (2)

дх2 1 дх\ л дх\

у иве 1 ц

где А — оператор Лапласа.

Периодичность процессов во времени предопределяет пространственно-временную повторяемость в картине движения точек среды, которую можно учесть множителем

ехр[±/(кт-у)юД7], ;? = 1Д (3)

где к — волновой вектор; г — радиус-вектор точки пространства; в — фазовая скорость; со — фиксированная частота колебаний.

Разложим кинематические функции Н. А. Кильчевского . в периодические функции времени = Ч)е,а", где функция не зависит от времени. Примем содержательные обозначения Ч*' = Ф', = Ч^=Н*; х\= х> Х2=У' хг=г. Используя формулу Эйлера, представим выражение (3) в тригонометрическом виде, отделяя временной множитель ехр(+ "у Применим формулы сложения аргументов к полученным тригонометрическим выражениям, которые образуют базис троякопериодических функций (мономы) Х(,{х)Уш{у)2^{2).

Перепишем (2), раскладывая искомые функции в тригонометрические ряды. Будем искать разложения функций формы в виде рядов

{ф'ХЯ ^у^^ХМ^^с^х^г^г^), (4) где > ъ<ь,г и Ссыг — коэффициенты разложения функций формы. Общее решение относительно коэффициентов а, Ъ и с выражается в виде

г \ аАя% rn

1 + С2 0 +с3 1

0 V 1 \ > X

где С,, С2 и С3 — произвольные постоянные.

Представим fo}^, {СЦ0 и в качестве узловых точек в трёх-

мерной прямоугольной Гауссовской сетке, оси которой ориентированы по нормали к волновому фронту:

к =

^Jcos(9))cos(0), f = j*Jsin(p)cos(0), <? = j*Jsin(0),

(5)

где д>е[0; 2л) — долгота; ве(-тг/2;л/2) — широта. При решении плоских задач ТУ, в выражениях (5)значение 0-0 [3; 6; 5].

Каждая тройка индексов порождает три набора из функций формы, удовлетворяющих уравнениям (4) и (2):

V{x,y,z)

dwg

О

"<twg

О

\CAvg J

1

Совокупность вышеприведённых соотношений даёт общие решения [3; 4; 1; 6; 2] уравнений Н. А. Кильчевского. Н. И. Остросаблин (2007) вывел более общий способ представления функций кинетических напряжений (вариантами из 141-ной формулы), для которого уравнения Н. А. Кильчевского являются частным случаем.

В четвёртом и пятом параграфах для динамических задач вводятся понятия внутренних и граничных состояний, обосновываются скалярные произведения в пространствах.

Обозначим через £ произвольное состояние среды, удовлетворяющее: уравнениям движения, обобщённому закону Гука (1), соотношениям Коши. Конкретно, под этим можно понимать набор полевых характеристик НДС:

Применим решение уравнений Н. А. Кильчевского для определения основных характеристик среды. Через полученные разрешающие соотношения для периодических колебаний упругих тел «набирается» сепарабельный базис пространств внутренних состояний 5.

Для двух произвольных состояний пространства 3 справед-

лива теорема взаимности Бетти:

Очертание области V позволяет в каждой точке границы дУ указать внешнюю нормаль п = {и,,м2,п3} и определить в ней компоненты внешнего поверхностного усилия, соответствующего внутреннему состоянию: Р/ = ал\дУп«ш Компоненты вектора перемещения в точках границы определяются соотношением й, = и\ .

1 1\дУ

Состояние среды на границе тела характеризуется наборами функций

Г = { «у 0).й'Д*)>Ру (')}> * где й. — компоненты вектора ускорения элемента среды.

Принцип виртуальных работ позволяет формулировать теорему Бетти в терминах граничных состояний (массовые силы отсутствуют) и определить

в пространстве Г скалярное произведение =(/(2),/(1)) :

им^-р^иум^^а-р^м.

Шестой параграф посвящён вопросам установления гильбертова изоморфизма между пространствами, формулировке основной идеи МГС.

Замыкание пространств внутренних и граничных состояний формирует полные пространства. Таким образом, пространства внутренних и граничных состояний линейной среды являются гильбертовыми.

Соответствие £ -> у не является односторонним. Поле внутренних перемещений однозначно восстанавливается по обобщённой формуле Сомиль-яны, следовательно, восстанавливается всё внутреннее состояние через соотношения Коши и обобщённый закон Гука. Отсюда следует морфизм: Следовательно, между элементами пространств внутренних и граничных состояний установлено взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм).

В силу принципа виртуальных работ

{у(\г(г)\=(?\е\. (б)

Благодаря соответствию

и равенству (6) можно утверждать: эти пространства сопряжены гильбертовым изоморфизмом. В случае гладкой границы, по определению (6), каждому элементу £еЕ соответствует единственный элемент уеГ.

Изоморфизм пространств 5 <-> Г позволяет изучение внутреннего НДС тела свести к изучению соответствующего граничного состояния.

В седьмом параграфе освещается процесс ортогонализации базисов пространств, опирающийся на теорему Гильберта-Шмидта, конкретизируется разложение внутреннего и граничного состояний в виде рядов Фурье по элементам ортонормированных базисов состояний. Ортогонализация проводится по методике и рекомендациям, изложенным в работах Л. В. Саталки-ной (2010).

По факту назначения счётного базиса пространства а (сепарабельно-го), граничное состояние может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса:

(Г(<\ГИ1^Ч„ гг,д,геП; Г = Ъ=(гУЛ))Г, «)

где 8цг — символ Кронекера; N — множество натуральных чисел; ск — коэффициент Фурье А-го элемента пространств состояний. Внутреннее состояние представляется аналогичным способом:

= (8)

В третьем разделе, в первых трёх параграфах, показана методика формирования решения первой, второй и основной смешанной динамических задач ТУ в терминах МТС.

Решение краевых задач в терминах МГС сводится к разысканию коэффициентов Фурье разложения граничного состояния в форме ряда (7):

р^т^т. (9)

где й'"' — компоненты вектора перемещений на границе тела А -го элемента пространства граничных состояний; и^ — компоненты вектора ускорения точек среды А-го элемента пространства граничных состояний; р^ — компоненты вектора поверхностных усилий И -го элемента пространства граничных состояний. Выражение (9) определяет эпюры перемещений, поверхностных усилий на границе тела и поле ускорений элементов среды.

Если коэффициенты Фурье удаётся определить, то искомое внутреннее состояние восстанавливается через ортонормированный базис формулами (8). Поля напряжений и деформаций определяются идентичными по структуре выражениями:

«у==¿им*' =

где — компоненты вектора перемещений среды к -го элемента пространства внутренних состояний; , ст'^ — компоненты тензора деформаций и

напряжений среды й-го элемента пространства внутренних состояний, соответственно.

Решение основных динамических задач ТУ сводится к отысканию коэффициентов Фурье через бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) [5; 7; 2]:

TjAb+=К ** -pj/f^dv, (ю)

где Snh — символ Кронекера; Ьп= f pü^dS — для первой основной зада-

JdV J J

чи; bn - j p^üjdS — для второй основной задачи. Для установившихся гармонических колебаний выражение (10) примет вид

Для основной смешанной задачи (dV =Sp uSu, Spr>Su=0) на 1рани-це Sp задано распределение внешних поверхностных усилий, на границе Su — вектор перемещений по границе тела:

с, =

[pfifdS^yfudS^. (11)

Общие, при решении МТС основных динамических задачи ТУ, аналитические соотношения (10) и (11) приводят к БСЛАУ, которую можно решать методом усечения. Примечательно, что полученные матрицы— симметричные.

В четвёртом параграфе описываются проводимые в ходе решения МТС проверки на достоверность промежуточных результатов.

Четвёртый раздел посвящен решению динамических задач ТУ (установившимся вынужденным колебаниям упругого тела).

В первом параграфе даются общие сведения о постановке задачи и пояснения о способе тестирования полученных механических характеристик.

При решении задач ТУ использовались безразмерные параметры: физические— коэффициент Пуассона (v = l/4), параметры Ламе (X = fi = 1), плотность среды (р = 1), круговая частота вынужденных гармонических колебаний (ю = 1); геометрические параметры тел имеют также безразмерный вид. Тестирование МТС для динамических задач изотропной упругости заключалось в расчёте полей механических характеристик и сопоставлении их с заданными ГУ.

В случае установившихся вынужденных колебаний общий для ГУ и характеристик волновых полей множитель exp(-i'oi) опускается. Ввиду необозримости всех аналитических выражений для искомых состояний, результаты решения задач приводятся в графической форме. На изолиниях тон фона соответствует нулевому уровню характеристики, более светлые тона соответствуют более высокому уровню, тёмные тона — более низкому уровню.

Во втором параграфе даётся постановка и решение основных задач для различных односвязных поперечных сечений призматических тел, и показываются поля НДС в графическом виде (эпюры).

Контур прямоугольного сечения разбит на четыре участка границы: 35 = ¿, и 12 и Ц и 14 (рис. 1). При решении второй основной задачи ГУ задавались следующим образом в соответствии с рис. 1. Требуется определить характеристики полей НДС, удовлетворяющие ГУ

й|а={0;1-(Х/2)2}, Й|^={1-/;0},

Сопоставлены заданные ГУ и расчётные значения. Относительная погрешность составляет менее 2 %.

На рис. 2 приведены изолинии модуля вектора перемещения и октаэд-рического напряжения.

Линии уровня \и\ Линии уровня а™

а б

Рис. 2. Изолинии поля внутренних состояний: а — модуль перемещения; б — октаэдрическое напряжение

Перемещение отсутствует в центре и сингулярных точках сечения тела. Характер изохром предсказывает зону возможного разрушения вблизи центра сечения.

В третьем параграфе даётся постановка и решение первой основной задачи для различных односвязных призматических тел, рассматриваются эпюры полей НДС.

Призматическое тело ограничено шестью поверхностями: = и52 и53и и54 и55 и56. Схема нагружения прямоугольного призматического тела, образованного пересечением плоскостей |х|<3, \у\^2 и \г\ < 1 (рис. 3). Требуется восстановить внутреннее НДС тела, отвечающее ГУ (в декартовой системе координат):

и(у1

т

и

-2

ЦжШ

к

и(х)---Ц

тТТТТТ?

гт>

Ь

и (у)

Ь, -1

Рис. 1. Схема нагружения прямоугольного поперечного

сечение тела

-3-2-1 0 12 3 -3-2-8 0 12 3

а б

Рис. 4. Изолинии абсолютных перемещений (а) и усилий (б)

В четвёртом параграфе исследования представлены в виде графиков насыщения неравенства Бесселя для первой и второй основных плоских задач ТУ. Полученные результаты свидетельствует об уверенном стремлении суммы Бесселя к насыщению. Эта тенденция свидетельствует о практически наблюдаемой устойчивости решения БСЛАУ.

В пятом параграфе производится сравнение МТС с методом решения задач об установившихся колебаниях изотропного тела, описанного В. Т. Гринченко и В. В. Мелешко (1981). Сопоставление полученного аналитического решения с выражениями, найденным при помощи МГС, обнаруживает высокую точность их взаимного приближения.

В заключении сформулированы основные выводы по диссертации.

Рис. 3. Схема нагружения прямоугольного призматического тела

Линии уровня |Р{

рН~1;И> РЦ ={1;0;0},

Приводятся пространственные графики заданного ГУ и расчётных значений усилий. Для снижения погрешности вычислений рекомендуется наращивать количество используемых элементов базисов пространств состояний.

Приведены изолинии, в сечении у = ~2г, некоторых компонент НДС прямоугольного призматического тела (рис. 4).

Линии уровня | О | У

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1)для задач о колебаниях изотропных упругих сред применен новый общий метод решения задач (МГС);

2) сформированы счётные базисы пространств состояний колеблющихся сред, для которых получены общие решения уравнений Н. А. Кильчевско-го. Выведенные Н. И. Остросаблиным (2007) варианты уравнений для кинетических напряжений (из 141-ной формулы) можно использовать для форми-

рования счётного базиса внутренних состояний в МТС при решении различных. динамических задач механики сплошных сред;

3) сформулированы понятия пространств внутренних и граничных состояний колеблющихся упругих сред; разработана методология построения базисов пространств состояний. Определены скалярные произведения, обеспечены свойства гильбертова изоморфизма. Базис внутренних состояний для однотипных геометрических тел строится единожды, используется при решении различных краевых задач; ортонормированный базис пространства понимается как «тело» в смысле МГС;

4) в терминах МГС строго обоснованы решения основных динамических задач: первой, второй, смешанной. Основные задачи приводятся к БСЛАУ (в виде симметричных матриц) относительно коэффициентов Фурье. Благодаря аналитическому представлению функций формы для формирования счётных базисов, процесс ортогонализации состояний оптимизируется; то же относится к определению коэффициентов Фурье при решении граничных задач;

5) получены решения односвязных тел первой, второй основных плоских задач: прямоугольного и кругового поперечного сечения; первой основной задачи для призматических (прямоугольной призмы и кругового цилиндра);

6) преимущество новых результатов решения задач определяется преимуществом МГС: любой численный (приближенный) метод даёт решение с некоторой точностью; судить о ней можно сопоставлением. МГС— метод самодостаточный: нет необходимости в сравнении результатов расчета. Решение на основе МГС автоматически удовлетворяет всем определяющим соотношениям среды. Заключение о корректности решения можно делать элементарным сопоставлением граничного состояния с ГУ задачи.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1 Стебенев, И. Н. Генерирование базиса пространства состояний колеблющейся упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Авиакосмические технологии «АКТ - 2008» : тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов, 10-12 сент. 2008 г. -М., 2008.-С. 169-173.

2 Стебенев, И. Н. Метод состояний на основе уравнений Кильчев-ского для анализа трёхмерных установившихся колебаний [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. -2011. - N 1 (22). - С. 269-275.

3 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО: сб. докл., 22-25 апр. 2008 г. - Новочеркасск, 2008. - С. 66-69.

4 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского: пространственные колебания упругой среды [Текст] / В. Б. Пеиьков, И. Н. Стебенев

// Теория и практика производства листового проката : сб. науч. тр., 29-30 мая 2008 г. В 2 ч. Ч. 2. - Липецк, 2008. - С. 284-287.

5 Стебенев, И. Н. Численно-аналитические решения двумерных задач о колебаниях упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Тр. ТГУ. Сер. Физ.-мат. / под общ. ред. проф. А. А. Глазунова. - Т. 276. - Томск, 2010.-С. 170-173.

6 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания : сб. тр., 24-25 сент. 2008 г. - Липецк, 2008.

- С. 264-267.

7 Стебенев, И. Н. Применение метода граничных состояний для решения задач вынужденных колебаний упругого изотропного тела [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., 20-22 сент. 2010 г. - Воронеж, 2010. -С. 333-342.

8 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи вынужденных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев //Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 19-23 сент. 2011 г. - Тула, 2011. - С. 199-204.

9 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи стационарных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., 26-28 сент. 2011 г. - Воронеж, 2011.

- С. 376-382.

Изд. лицензия ИД № 06179 от 01.11.2001 г. Подписано в печать 13.03.2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объём 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 129.

Полиграфическое подразделение Издательства Липецкого государственного технического университета.. 398600 Липецк, ул. Московская, 30.