Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел

Стебенев, Иван Николаевич

Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Стебенев, Иван Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Липецк МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел»

Автореферат диссертации на тему "Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел"

На правах рукописи

СТЕБЕНЕВ ИВАН НИКОЛАЕВИЧ

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ . ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 — «Механика деформируемого твёрдого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005049758

14 ФЕВ 2013

Тула-2013

005049758

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пеньков Виктор Борисович.

Официальные оппоненты: - Желтков Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, доцент,

ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», профессор кафедры

математического моделирования;

- Шашкин Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор,

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», заведующий кафедрой математического и прикладного анализа.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

университет инженерных технологий».

Защита диссертации состоится « 13 » марта 2013 г. в 14 ^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г.Тула, проспект им. Ленина, 92, ауд. 12-105.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения просим высылать по указанному адресу в диссертационный совет Д 212.271.02.

Автореферат разослан « 30 » января 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета-

Л. А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена развитию относительно нового общего численно-аналитического метода решения задач теории упругости (ТУ) об установившихся колебаниях изотропного тела, базирующегося на концепции состояния среды.

Актуальность темы заключается в том, что современные потребности машиностроения, строительства, авиа- и космических технологий, приборостроения стимулируют изучение распространения волн в трёхмерных телах. Решение пространственных задач ТУ даёт возможность адекватно определять напряжённо-деформированное состояние (НДС) объектов и выявить закономерности, присущие рассматриваемым процессам. Особое внимание уделяется аналитическому исследованию колебаний упругих тел.

Сложно переоценить важность решения задач по определению внутренних характеристик тела по его внешним (граничным) проявлениям. В ТУ к таким задачам следует отнести задачи восстановления напряжений или смещений во внутренних точках тела по усилиям или смещениям в точках поверхности тела. Число точных решений таких задач в трёхмерной постановке мало — решение пространственных задач представляет собой математическую проблему. Однако существенное упрощение решения пространственных задач достигается благодаря применению вариационных принципов. Обычно эти задачи решаются приближённо.

Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях:

— снижение уровня инструментальной ошибки;

— построение аналитического решения.

Вариационный «метод граничных состояний» (МТС) заявил себя как надежный способ решения задач об установившихся колебаниях изотропных тел. МТС обеспечивает: снижение уровня инструментальной ошибки; лёгкость тестирования; построение аналитического решения.

Целью диссертационной работы является развитие метода граничных состояний для решения задач об установившихся колебаниях изотропных упругих тел.

Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:

— формулировка понятий пространств состояний для задач ТУ при колебательном процессе;

— конструирование счётных базисов пространств состояний в задачах об установившихся колебаниях изотропных тел;

— введение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление их гильбертова изоморфизма, ортогонализация базисов;

— постановка краевых задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных тел в терминах МТС;

— решение основных задач об установившихся колебаниях.

Научная новизна работы содержится в следующих положениях:

- построено общее решение уравнений Н. А. Кильчевского для изотропного тела для установившихся колебаний;

- МГС развит для решения задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных упругих тел;

- выполнены конкретные решения новых задач об установившихся колебаниях изотропных упругих тел.

Теоретическая ценность:

- построены общие решения уравнений Н. А. Кильчевского для установившихся колебаний изотропного тела;

-в терминах МГС выполнены постановки первой, второй и основной смешанной задач;

- средствами МГС обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для полей НДС.

Практическая ценность:

- получены новые решения задач ТУ для установившихся колебаний од-носвязных тел;

-разработан алгоритм назначения базисов пространств внутренних и «граничных» состояний тел;

- разработаны алгоритмы и выполнены конкретные расчёты колебательных движений односвязных тел в условиях первой и второй задач ТУ.

Достоверность обусловлена:

- использованием корректных классических моделей в механике деформируемого твёрдого тела (МДТТ);

- применением фундаментальных математических основ при построении МГС для задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных тел и решением конкретных задач;

-тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи, промежуточных результатов счёта в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи (насыщение суммы Бесселя; сравнение расчётных данных с граничными условиями, визуальный контроль), среднеквадратической интегральной невязкой.

Апробация работы. Основные результаты и материалы диссертации в целом докладывались на: регулярных докладах в рамках семинара научной школы «Математические методы и модели механики« под руководством В. Б. Пенькова (Липецк, ЖГУ)- совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (г. Новочеркасск, 22-25 апреля 2008 г.); международной научно-технической конференции «Теория и практика производства листового проката» (г. Липецк, 29-30 мая 2008 г.); IX Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (АКТ-2008) (г. Воронеж, 29 мая 2008 г.; г. Москва, 10-12 сентября 2008 г.); IV школе молодых учёных Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (г. Липецк, 24-25 сентября 2008 г.); XI Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов

«Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010) (г.Воронеж, 14 мая 2010г.; г.Москва, 29 сентября - 1 октября 2010 г.); II Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.); международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики информатики и механики» (г. Воронеж, 20—22 сентября 2010 г., 26—28 сентября 2011 г.); I Всероссийской конференции молодых учёных «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред» (г. Томск, 16-19 октября 2010 г.); международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 22—26 ноября 2010 г., 19-23 сентября 2011 г.); семинаре кафедры теории упругости МГУ (г. Москва, МГУ, 12 декабря 2012 г.).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в опубликованных работах [3; 4; 1; 6; 5; 7; 2; 8; 9], в том числе статья [2] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка использованных источников и трёх приложений. Общий объём работы составляет 77 страниц, в том числе 64 страницы основного текста, включая 12 рисунков и 3 таблицы. Список использованных источников содержит 110 наименований на 13 страницах. Приложения составляют 24 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи работы, установлены её научная новизна, теоретическая и практическая ценность; обсуждается достоверность полученных результатов диссертации. Кратко сформулированы основные положения диссертации.

Первый раздел. В первом параграфе даётся краткий обзор по основным «энергетическим» (вариационным) методам. Кратко излагаются основные положения МГС, приводится краткий обзор решенных с его помощью задач.

Концепция состояний среды была выдвинута В. Б. Пеньковым и В. В. Пеньковым. Центральным пунктом этого подхода является понятие состояния среды. Под состоянием среды понимается любое частное решение разрешающих уравнений среды. Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния, если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. «След», «отпечаток», который оставляет на границе тела внутреннее состояние, воспринимается как граничное состояние, соответствующее внутреннему. Совокупности всевозможных состояний среды образуют изоморфные гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний.

Комплекс операций, призванных выделить единственное решение из всех возможных, понимается как процедура распознавания искомого внутреннего состояния по тем признакам, которые содержатся в наборе начальных и ГУ. Метод, призванный выделить единственное состояние из всего пространства состояний, получил название МГС.

МГС базируется на гильбертовом изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств состояний и разыскивает действительное состояние в виде ряда Фурье по элементам базиса сепарабельного пространства.

Во втором и в третьем параграфах представлен выборочный обзор научных работ по общим и фундаментальным решениям динамических задач ТУ. Обзор проводится с целью заключения, что для построения базисов состояний в МГС можно выбирать различные варианты из общих и фундаментальных решений.

Общее решение получено: Буссинеском, Галёркиным (1930), П. Ф. Пап-ковичем (1932), Г. Нейбером (1934), А. Лявом (1935), С. Г. Гутманом (1948), И. С. Аржаных (1952), М. Г. Слободянским (1954), В. М. Деевым (1959) и многими другими. Тер-Мкртичьян (1947) и И. С. Аржаных (1954) предложили интегральные формы решения для определения вектора перемещения. Ю. А. Крутков (1949), В. И. Блох (1950) в общем уравнении установили связь между тензором напряжений и функциями.

М. В. Остроградский, С. Пуассон (1831) получили решение, соответствующее распространению в неограниченной упругой среде волн двух типов. Из уравнений Н. А. Кильчевского (1954) следуют решения Максвелла, Морера, В. И. Блоха (1950), М. М. Филоненко-Бородича, Ионова В. Н. (1964).

Для динамических задач общие уравнения: в перемещениях получены Яковаке (1949), Ламе; в напряжениях — Игначаком (1959), Снеддоном (1952), Радоком (1956). В работе Н. И. Остросаблина (2007) представлены общие решения уравнений движений.

Фундаментальные решения в перемещениях получили: Клод—Луи Навье (1821), сформулировав динамическую задачу сплошной среды; Дж. Стоке (1849), вызванное воздействием силы в некоторый момент времени.

А. Ляв (1904), Сомильяна (1905-1906) привели строгое решение неоднородных уравнений Навье в бесконечной среде. Дальнейшее развитие фундаментальных решений связано с Ф. М. Морсом и Г. Фешбахом (1953), В. Д. Купрадзе (1963, 1969), Д. Г. Натрошвили (1979, 1981) и многими другими учёными.

Фундаментальные решения динамических уравнений ТУ описаны у М. Ш. Исраилова (1992); для неоднородных сред — в работе В. М. Бабича (1961). А. О. Ватульян (1993) построил фундаментальные решения для установившихся колебаний различных сред для пространства, полупространства и слоя. Н. М. Хуторянским (1995) построены фундаментальные решения установившихся колебаний для электроупругих сред.

В четвёртом параграфе приводится краткий обзор работ по тематике установившихся колебаний упругих тел.

Вопросами колебательного процесса занимались: Ламе (1852), Похгаммер (1876), Рэлей (1885), Кри (1886), Ляв (1889), Лэмб (1891, 1917), Стоунли (1924) и многие др. учёные. Наиболее полно изучены задачи о колебаниях сферы Пуассоном (1828), Йеришем (1879), Лэмбом (1882), Дебаем (1912).

Исследование динамических задач механики деформируемых тел неразрывно связано с именами• выдающихся учёных: A.A. Ильюшина, А.Ю. Иш-

линского, B.B. Новожилова, Ю. Н. Работнова, JL И. Седова, В. М. Бабича, И. А. Кийко, П. М. Огибалова, Л'. А. Толоконникова, В. И. Желткова, Г. Кольского, В. Новацкого, В. В. Елисеева, А. Г. Горшкова, В. Т. Гринченко, Л. И. Слепяна, В. Д. Купрадзе, В. Б. Поручикова, А. Н. Гузя, В. Д. Кубенко, М. А. Черевко, J. D. Achenbach, J. Miklowitz и многих других.

Второй раздел посвящён развитию МТС для задач ТУ о колебаниях изотропных тел.

В первом параграфе выполнено обоснование метода для задач о колебаниях тел. Каждая из фигурирующих в определяющем соотношении величин является функцией пространственного положения и времени, которые можно представить в символьной форме:

и,=иуехр(и»/), ¿Jm=ejmexp(ie>t), äJm=crJmexp(iat), (1)

где üj — компоненты вектора перемещения; СО — частота колебаний; t — время; £jm — компоненты тензора деформаций; äjm — компоненты тензора напряжений, а иj, £jm ,crja — функции форм соответствующих величин.

Вариационное уравнение для упругого тела при динамических нагрузках выводится из принципа виртуальных работ Лагранжа (учтены силы инерции):

L h й>ds+p\v{FJ - dv=dv- (2)

Здесь 8V — граница тела; Pj = руехр(/ю/) — компоненты вектора внешних поверхностных усилий, р} = erJa\afr пт — функция формы поверхностных усилий, пт — компоненты внешней нормали к поверхности тела; dS — элемент поверхности; р — плотность среды; V — область, занимаемая телом; Fj — компоненты вектора массовых сил; й, — компоненты вектора ускорения элемента среды; dV — элемент объёма среды.

Состояние движущейся изотропной линейно-упругой среды подчинено определяющим соотношениям (принята тензорно-индексная форма записи): уравнению движения (3), соотношению Коши (4) и обобщённому закону Гу-ка(5)

¿jm,m-puj=0, (3)

• sjm={üj,m+üm>j)/2 (4)

öim~1neJm+Xe8Jm , (5)

где ¡л — модуль сдвига; Л — упругая постоянная Ламе; в = ёа — объёмная деформация; Sjm — символ Кронекера.

Обозначим через | = [г1;, s]m, äjm J е S произвольное состояние движущейся изотропно-упругой среды, под которым понимается набор характеристик, удовлетворяющих (3), (4) и (5). Совокупность всевозможных состояний среды образует пространство внутренних состояний S .

^~ \ — состояние среды, «привязанное» к границе тела.

Совокупность всех таких возможных состояний образует пространство Г.

При колебательном процессе элементы пространств состояний среды составляют функции формы £, у:

£ = £ехр(/о*), у = уехр(ш{). (6)

Набор с будем называть элементом пространства функции форм внутренних состояний.

Подстановка выражений (1) в определяющие соотношения (3), (4), (5) и равенство (2) при отсутствии объёмных сил приводит к системе соотношений относительно функций форм:

' е]т={иртл-ит,^¡2, = 1це)т + Л £ш д]т; Р) м7 ^ + Р<°% и, "у = ¡у ^ ¿V. (7)

Которые позволяют определить структуры элементов пространств а и Г состояний функций форм:

£=е г={4, > 4™}6г- (8)

Строго говоря, набор характеристик в (8) не отвечает понятию состояния по критерию принадлежности иу границе тела. Однако величина фигурирует в левой части выражения (7). Термин «граничное» состояние становится недостаточным; более подходит просто «состояние». Тем не менее, его будем далее употреблять, отдавая дань сложившимся традициям.

Пространства состояний а и Г, в случае установившихся колебаний изотропно-упругой среды, являются изоморфными к пространствам Е и Г соответственно: а а, Г Г, так как между их элементами установлен изоморфизм (6).

Скалярное произведение в пространстве а. Для двух произвольных функций форм внутренних состояний ^ линейного пространства а введем скалярное произведение: = 1уо®£Р>с1У.

Скалярное произведение в пространстве Г. Для двух произвольных функций форм «граничных» состояний у('\/2) пространства Г введем скалярное произведение: (/°,/2))г = ¿Б + ра2\у и('] с!У.

Пространства а, Г являются гильбертовыми.

Изоморфизм пространств функций формы состояний. Соответственно, изоморфны между собой и пространства а, Г. Благодаря равенству (7) скалярные произведения в них равны между собой:

Этот факт и очевидное соответствие свойств линейности

+ ) + гП а^ау

замыкают их гильбертов изоморфизм: 5 <-> Г.

Последний результат позволяет изучение внутреннего состояния свести к изучению соответствующего «граничного» состояния.

Ортогонализация базисов пространств состояний. Процесс ортогонализа-ции исходного базиса опирается на теорему Гильберта-Шмидта. Современный рекурсивно-матричный способ ортогонализации базисов пространств проводится по методике и рекомендациям, изложенным в работах Л. В. Саталки-ной (2010).

По факту назначения счётного базиса функции формы «граничного» состояния могут быть представлены в виде ряда Фурье по элементам ортонорми-рованного базиса (верхним индексом в скобках помечены атрибуты элементов ортонормированного базиса пространства Г):

Г = с„=(Г,Г{% (9)

где с„ — коэффициент Фурье при А-том элементе пространства состояний.

Элементы пространства Е представляются аналогичным образом:

Во втором параграфе даётся общее решение уравнений Н. А. Кильчевско-го для установившихся колебаний изотропного тела.

Уравнение движения (3), уравнение неразрывности среды совместно можно представить окаймлённой матрицей в виде симметричного тензора энер-гии-импульсов (тензора кинетических напряжений).

Применив обобщённый закон Гука, Кильчевский (1954, 1967) получил общее решение уравнений движения элемента сплошной среды через вторые производные от функций кинетических напряжений, путём разложения компонент тензора кинетических напряжений по степеням малого параметра и удержания членов, содержащие малый параметр в первой степени (по повторяющимся индексам не суммировать):

~ 2

1 д2 /,?, - I д

01)

" " ' 2Мдх1 где У,, Ч/2 и Ч'} — функции кинетических напряжений, которые являются решением системы трёх дифференциальных уравнений в частных производных:

1 ц ее 1 ц

дх2 1 ду2 2 дг2 3 где Д — оператор Лапласа. Функция связана выражением

/I д(2

'А---Ро

(лТЩа? (13>

Общность полученного решения подтверждается тем, что посредством дифференцирования уравнений (12) и подстановок соотношений ат„ ы, из (11) получаются однородные уравнения Ламе. Обратно, из уравнений Ламе и соотношений (11) после интегрирования по вновь находятся уравнения (12). Уравнение (13) совпадает с одним из уравнений, указанных в статье А. И. Лурье (1937), нашедшего общее решение линейных уравнений эластодинамики.

Решение уравнений Кильчевского для установившихся колебаний. Рассмотрим одну гармонику функций Кильчевского, являющейся основой для изучения периодических колебаний: =ЧЛехр[/«/], где — функции формы (стоячая волна):

¥у.=у/-ехр[±г(й>/.у)к-г], (14)

где у/ — амплитуда колебаний; 5 — фазовая скорость; к = [к,— вектор, определяющий направление распространения волны (волновой вектор); г = {х,у,г} — радиус-вектор точки пространства. Используя формулу Эйлера, представим выражения (14) в тригонометрическом виде. Будем искать разложения функций формы в виде рядов

гдс а</*х> и сАъ — коэффициенты разложения функций формы;

— базис периодических функций.

Компоненты волнового вектора к (к £ 8) связаны между собой соотношениями (индексы с1, ^ опускаем)

+ К1 + с1+б1 = к1, (15)

где к;=о! ^ — волновое число поперечных колебаний, 52 =л//77р~ — фазовая скорость поперечных колебаний; кр=ео!— волновое число продольных

колебаний, ^ = + р0 — фазовая скорость продольных колебаний.

Алгоритм формирования отрезка счётного базиса таков. С учётом (15) представим к, С 3 в качестве узловых точек в трёхмерной прямоугольной Гаус-совской сетке, оси которой ориентированы по нормали к сферическому волновому фронту (индексы <1, и>, ё опускаем):

^СО^СО,^). ¿-=|^|яп(9»)с08(в), <У = |*|яп(0), (16)

где (ре(-л/2;яг/2)и(я/2;Зтг/2) — долгота; (-я/2; я/2) — широта. При решении плоских задач ТУ, в выражениях (16) значение 0 = 0 [3; 6; 5].

Общее решение относительно а, Ъ, с выражается в виде

(1)

=С\ 1 + С, 0 +с3 1

0 V. У 1 V. у

Каждая тройка индексов порождает три набора из функций формы, удовлетворяющих уравнению (12):

1 О

'у

Перебор индексов генерирует отрезок базиса на основе уравнений Н. А. Киль-чевского на случай установившихся колебаний [3; 4; 1; 6; 2].

В первых трёх параграфах третьего раздела показана методика формирования решения (в терминах МГС) первой, второй и основной смешанной задач ТУ при колебательномпроцессе.

Решение краевых задач ТУ об установившихся колебаниях в терминах МГС сводится к разысканию коэффициентов Фурье сл разложения функций формы «граничного» состояния в виде рядов, следующих из (9):

\ег. (17)

где и^ — компоненты вектора перемещений на границе тела А-го элемента

базиса пространства Г; — компоненты вектора поверхностных усилий

/г-го элемента базиса пространства Г. Выражение (17) определяет распределение перемещений, поверхностных усилий на границе тела.

При известных коэффициентах Фурье искомые функции формы внутреннего состояния восстанавливаются через ортонормированный базис формулами, следующими из (10):

(18)

где ем > ам — компоненты тензора деформаций и напряжений среды И -го элемента базиса пространства Е.

Учитывая (9), решение первой и второй основных задач ТУ, в случае установившихся колебаний, сводится к отысканию коэффициентов Фурье через решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений [5; 7; 2]:

т£6*-а*)сн=Ъя, (19)

где 5пк — символ Кронекера;^ =рйФг\уи{^и{р¿V- Ь„= \ р^сЕ — для

первой основной задачи; — для второй основной задачи.

Для основной смешанной задачи (дУ = Яр и5и, 5рп5'и=0) на границе Бр задано распределение внешних поверхностных усилий, на границе 5*„ —

вектор перемещений по границе тела. С учётом (17), (18) получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

= (20)

относительно коэффициентов Фурье. В задачах (19), (20) матрица коэффициентов симметричная, поэтому расчет «скелета» задачи снижает энергозатраты почти вдвое.

В четвёртом параграфе описываются проводимые в ходе решения МГС проверки на достоверность промежуточных и финишных результатов счёта.

Четвёртый раздел посвящен решению конкретных задач о колебаниях упругого тела. Показаны результаты тестирования задач, решённых МГС, в виде графиков: сравниваются заданные ГУ и полученные в результате расчётов эпюры механических характеристик.

В первом параграфе даются общие сведения о постановке задачи и пояснения о способах тестирования. При решении использовались безразмерные параметры: физические— коэффициент Пуассона (у = 1/4), параметры Ламе (А = /и = 1), плотность среды (/7 = 1), круговая частота установившихся колебаний (£а = 1); геометрические параметры тел имеют также безразмерный вид. Тестирование МГС для задач ТУ заключается в расчёте полей механических характеристик и сопоставлении их с заданными ГУ.

Ввиду необозримости всех аналитических выражений (указаны в Приложении Б) для искомых состояний результаты решения задач приводятся в графической форме. На изолиниях тон фона соответствует нулевому уровню характеристики, более светлые тона соответствуют более высокому уровню.

Во втором параграфе даётся постановка и решение основных задач для различных односвязных поперечных сечений призматических тел, и строятся поля НДС, демонстрируемые в графической форме.

Контур прямоугольника разбит на четыре участка границы: дБ -и Ь2 и и ¿4 (рис. 1). ГУ задаются следующим образом: и|А={0;1-(*/2)2}, и|А ={1-/;0},

--Г

ЩЦ

зИЖШьЖ

Рис. 1. Схема нагружения прямоугольника

Требуется восстановить НДС тела. Сравнение заданных нагрузок и найденных в решении показали почти абсолютное совпадение. Результирующие поля характеристик НДС восстанавливаются при использовании короткого базйса (до двенадцати элементов).

На рис. 2 приведены изолинии компонент тензора напряжений для прямоугольника.

Изолиния (Г„ Изолиния СГуу

Рис. 2. Изолинии компонент тензора напряжений

Характер изолиний напряжений в прямоугольнике предсказывает вероятность разрушения материала посередине сечения.

в третьем параграфе даётся постановка и решение первой основной задачи для различных односвязных призматических тел. Схема нагруже-ния цилиндра (неоднородное радиальное растяжение) соответствует изображенному на рис. 3.

Поверхностные усилия в проекциях на оси декартовой системы координат, выраженные через цилиндрические координаты а, г, г, имеют вид:

{0;0;0},

(«)[!-(*/2)2];зт(а)[1-(г/2)2];0),

где а <=[-ж;л]. Требуется восстановить НДС тела.

На рис. 4 приведены изолинии напряжений цилиндрического тела.

Рис. 3. Схема нагружения кругового цилиндра

Изолиния

Изолиния сгх

Изолиния

в сечении у=О

Изолиния сгг

Рис. 4. Линии уровня напряжений

в четвёртом параграфе исследования представлены в виде графиков насыщения неравенства Бесселя для первой и второй основных плоских задач ТУ. Полученные результаты свидетельствует об уверенном стремлении суммы Бесселя к насыщению. Эта тенденция свидетельствует о практически наблюдаемой устойчивости решения БСЛАУ.

В пятом параграфе производится сравнение результатов решений частной задачи, выполненной МТС и иным методом.

Заключительная часть работы содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведённых исследований и перспективы развития МТС для решения динамических задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Отметим основные результаты работы:

1) новый общий численно-аналитический метод решения задач механики сплошных сред (МТС) развит на класс задач о колебаниях изотропных упругих тел. Метод опирается на формализм гильбертовых пространств и использует понятия пространств внутренних и граничных состояний. Наличие общих и фундаментальных решений задач механики сплошных сред позволяет формировать счётные базисы пространств состояний для различных задач;

2) в применении к динамическим задачам, термин МТС «граничное» состояние не вполне адекватен: более удачным следует признать «метод состояний», поскольку в состояние у входят как компоненты вектора поверхностных (внешних) усилий и компоненты вектора перемещений на поверхности тела, так и инерционные составляющие — компоненты вектора ускорений, распределённого по всему телу;

3) обоснован изоморфизм пространств Ё, Г и пространств функций форм Е, Г, соответственно. Обеспечены свойства изоморфизма пространств Е, Г;

4) в пространствах Е, Г определены скалярные произведения. Установлен гильбертов изоморфизм пространств 5, Г и обоснована их сепарабельность;

5) разработана методология построения базисов пространств функций форм состояний, исходящая из наличия общего решения уравнений Н. А. Киль-чевского. Наработаны эффективные алгоритмы назначения базисов;

6) в терминах МТС выполнены постановки первой, второй основной и основной смешанной задачи ТУ об установившихся колебаниях изотропных тел. Основные задачи приводятся к БСЛАУ относительно коэффициентов Фурье с симметричной матрицей коэффициентов;

7) получены и представлены в аналитическом виде решения первой и второй основной задачи для прямоугольника и круга в рамках плоского деформированного состояния. Результирующие поля напряжений и перемещений восстанавливаются в простых случаях при использовании короткого базиса (до двенадцати элементов);

8) получены и представлены в аналитическом виде решения первой основной задачи для прямоугольной призмы и кругового цилиндра. Для снижения погрешности вычислений в пространственных задачах рекомендуется наращивать количество используемых элементов базисов пространств состояний;

9) преимущество полученных результатов решения задач определяется преимуществом МГС. Оно состоит в следующем: любой численный (следовательно, приближенный) метод даёт решение с какой-либо точностью, судить о которой можно только сопоставив решения задачи с таковым, полученным на основе иного метода. МГС — метод самодостаточный: нет никакой необходимости в сравнении решений. Приближённое решение, построенное МГС, автоматически удовлетворяет всем определяющим соотношениям ТУ. Поэтому заключение о корректности полученного решения можно сделать из элементарного сопоставления граничного состояния с ГУ задачи.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1 Стебенев, И. Н. Генерирование базиса пространства состояний колеблющейся упругой среды [Текст] /В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Авиакосмические технологии «АКТ - 2008» : тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов, 10-12 сент 2008 г - М 2008.-С. 169-173.

2 Стебенев, И. Н. Метод состояний на основе уравнений Кильчевско-го для анализа трёхмерных установившихся колебаний [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки - 2011 -N 1 (22). - С. 269-275.

3 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО : сб. докл., 22-25 апр. 2008 г. - Новочеркасск, 2008 -С. 66-69.

4 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского: пространственные колебания упругой среды [Текст] /В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Теория и практика производства листового проката : сб. науч. тр , 29-30 мая 2008 г. В 2 ч. Ч. 2. - Липецк, 2008. - С. 284-287.

5 Стебенев, И. Н. Численно-аналитические решения двумерных задач о колебаниях упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Тр. ТГУ. Сер. Физ.-мат. / под общ. ред. проф. А. А. Глазунова. - Т. 276. - Томск 2010 -С. 170-173.

6 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / И. Н. Стебенев //Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания : сб. тр., 24-25 сент. 2008 г. - Липецк, 2008. - С. 264-267.

7 Стебенев, И. Н. Применение метода граничных состояний для решения задач вынужденных колебаний упругого изотропного тела [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики • сб тр. междунар. конф., 20-22 сент. 2010 г. - Воронеж, 2010. - С. 333-342.

8 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи вынужденных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. меж-дунар. науч. конф., 19-23 сент. 2011 г. - Тула, 2011. - С. 199-204.

9 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи стационарных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., 26-28 сент. 2011 г. - Воронеж, 2011. - С. 376-382.

Изд. лицензия ИД № 06179 от 01.11.2001 г. Подписано в печать 28.01.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объём 1,0 п. л. Тираж 120 экз. Заказ № //.

Полиграфическое подразделение Издательства Липецкого государственного технического университета. 398600, Липецк, ул. Московская, 30.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Стебенев, Иван Николаевич

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1 Место метода граничных состояний в задачах теории упругости.:.П

1.1 Вариационные методы механики.

1.1.1 Обзор по вариационным методам.

1.1.2 Метод граничных состояний.

1.2 Общие решения для упругих сред.

1.3 Фундаментальные решения для упругих сред.

1.4 Задачи теории упругости об установившихся колебаниях тел.

1.5 Выводы по разделу.

2 Развитие метода граничных состояний для задач о колебаниях упругих тел.

2.1 Обоснование метода граничных состояний для задач о колебаниях.

2.1.1 Принцип виртуальных работ в динамике.

2.1.2 Основные соотношения линейной теории упругости.

2.1.3 Пространства состояний линейной динамической теории упругости.1.

2.1.4 Пространства функций форм состояний.

2.1.5 Скалярные произведения в пространствах функций форм.

2.1.6 Изоморфизм пространств функций формы состояний.

2.1.7 Ортогонализация базисов пространств состояний.

2.2 Уравнения Н. А. Кильчевского.

2.2.1 Решение уравнений Кильчевского для установившихся колебаний. Пространственный случай.

2.2.2 Решение общих уравнений Кильчевского для установившихся колебаний. Двумерный случай.

2.3 Выводы по разделу.

3 Постановка. краевых задач теории упругости об установившихся колебаниях в терминах метода граничных состояний.

3.1 Постановка первой основной задачи в случае установившихся колебаний.

3.2 Постановка второй основной задачи в случае установившихся колебаний.

3.3 Постановка основной смешанной задачи в случае установившихся колебаний.

3.4 Обеспечение достоверности.

3.5 Выводы по разделу.

4 Решение краевых задач.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Плоское деформированное состояние.

4.2.1 Первая основная задача для круга.

4.2.2 Вторая основная задача для прямоугольньника.

4.3 Пространственные задачи.

4.3.1 Первая основная задача для прямой призмы.

4.3.2 Первая основная задача для кругового цилиндра.

4.4 Исследование устойчивости.

4.5 Верификация метода граничных состояний классическим методом в задаче об установившихся колебаниях.

4.6 Выводы по разделу.

Введение диссертация по механике, на тему "Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел"

Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях:

- снижение уровня инструментальной ошибки;

- построение аналитического решения.

Вариационный «метод граничных состояний» (МГС) заявил себя как надежный способ решения задач об установившихся колебаниях изотропных тел. МГС обеспечивает: снижение уровня инструментальной ошибки; лёгкость тестирования; построение аналитического решения.

Всё это обусловливает актуальность темы диссертационной работы.

Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:

- формулировка понятий пространств состояний для задач ТУ при колебательном процессе;

- конструирование счётных базисов пространств состояний в задачах об установившихся колебаниях изотропных тел;

- введение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление их гильбертова изоморфизма, ортогонализация базисов;

- постановка краевых задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных тел в терминах МГС;

- решение основных задач об установившихся колебаниях.

Научная новизна работы содержится в следующих положениях:

- построено общее решение уравнений Н. А. Кильчевского для изотропного тела в классе установившихся колебаний;

- МГС развит для решения задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных упругих тел;

- выполнены конкретные решения новых задач об установившихся колебаниях изотропных упругих тел.

Теоретическая ценность:

- построены общие решения уравнений Н. А. Кильчевского для установившихся колебаний изотропного тела;

-в терминах МГС выполнены постановки первой, второй и основной смешанной задач;

-средствами МГС обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для полей НДС.

Практическая ценность:

- получены новые решения задач ТУ для установившихся колебаний од-носвязных тел;

-разработан алгоритм назначения базисов пространств внутренних и «граничных» состояний тел;

Достоверность обусловлена:

- использованием корректных классических моделей в механике деформируемого твёрдого тела (МДТТ);

- применением фундаментальных математических основ при построении МТС для задач ТУ об .установившихся колебаниях изотропных тел и решением конкретных задач;

Апробация работы. Основные результаты и материалы диссертации в целом докладывались на:

1) регулярных докладах в рамках семинара научной школы «Математические методы и модели механики» под руководством В. Б. Пенькова (Липецк, ЛГТУ);

2) совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (г. Новочеркасск, 22-25 апреля 2008 г.);

3) международной научно-технической конференции «Теория и практика производства листового проката» (г. Липецк, 29-30 мая 2008 г.);

4) IX Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (АКТ-2008) (г. Воронеж, 29 мая 2008 г.; г. Москва, 10-12 сентября 2008 г.);

5) IV школе молодых учёных Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (г. Липецк, 24-25 сентября 2008 г.);

6) XI Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010) (г. Воронеж, 14 мая 2010 г.; г. Москва, 29 сентября - 1 октября 2010 г.);

7) II Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.);

8) международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики информатики и механики» (г. Воронеж, 20-22 сентября 2010 г., 26-28 сентября 2011 г.);

9) I Всероссийской конференции молодых учёных «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред» (г. Томск, 16-19 октября 2010 г.);

10) международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 22-26 ноября 2010 г., 19-23 сентября 2011 г.);

11) семинаре кафедры теории упругости МГУ (г. Москва, МГУ, 12 декабря 2012 г.).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в опубликованных работах [52; 53; 43; 78; 64; 79; 49; 80; 81], в том числе одна статья [49] в журнале «Вестник СамГТУ», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации. Работы [52; 53; 43; 49; 64] выполнены в соавторстве с научным руководителем.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка использованных источников и четырёх приложений. Общий объём работы составляет 77 страниц, в том числе 64 страницы основного текста, включая 12 рисунков и 3 таблицы. Список использованных источников содержит 110 наименований на 13 страницах. Приложения составляют 24 страницы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

4.6 Выводы по разделу

Решение конкретных задач позволяет сделать ряд выводов:

1) выполнено и представлено в аналитическом виде решение первой и второй основных задач для плоского деформированного состоянии круга и прямоугольника соотретственно. Основные характеристики состояния представлены в графической форме (изолинии). Важной особенностью задач является то, что результирующие поля напряжений и перемещений восстанавливаются при использовании короткого базиса (до семи элементов). Сравнение заданных усилий и найденных в решении показала почти абсолютное совпадение;

2) решена первая основная задача для прямоугольной призмы и цилиндра. Основные характеристики НДС каждой задачи представлены в графической форме (изолинии);

3) проведено исследование насыщения суммы Бесселя для первой и второй основных задач ТУ. Графики показывают уверенное стремление суммы Бесселя к насыщению. Эта тенденция свидетельствует о практически наблюдаемой устойчивости решения БСЛАУ;

4) произведено сравнение МТС с методом решения задач об установившихся колебаниях изотропного тела, описанного В. Т. Гринченко и В. В. Ме-лешко [11]. Сопоставление полученных решений обнаруживает высокую точность их взаимного приближения;

5) элементы пространств состояний среды, колеблющейся с фиксированной частотой, восстанавливаются умножением на ехрЦш) функций формы состояний среды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим основные результаты работы:

3) обоснован изоморфизм пространств 5,Г и пространств функций форм 5, Г, соответственно. Обеспечены свойства изоморфизма пространств Н, Г;

4) в пространствах Г определены скалярные произведения. Установлен гильбертов изоморфизм пространств 5, Г и обоснована их сепарабельность;

5) разработана методология построения базисов пространств функций форм состояний, исходящая из наличия общего решения уравнений Н. А. Киль-чевского. Наработаньгэффективные алгоритмы назначения базисов;

Отметим некоторые ближайшие перспективы развития МГС для решения динамических задач.

Первая очередь работ может быть связана с обоснованием в терминах МГС решения основной контактной задачи для установившихся колебаний изотропного тела.

Во вторую очередь следует расширять не столько «геометрию» изотропных тел (здесь можно ожидать чисто технические трудности), сколько топологию областей: принципиальные вопросы связаны с конструированием счётных базисов пространств состояний для двусвязной, многосвязной конфигурации.

Третья серия исследований может быть посвящена усложнению моделей на предмет учёта анизотропии тел, а также рассмотрение термодинамических задач.

В-четвёртых, возможно рассмотреть решение динамических задач с учётом массовых сил и сосредоточенных граничных усилий.

Перспективным представляется применение МГС для решения нестационарных динамических задач и определения собственных частот колебания упругих тел.

10 Горшков, А. Г. Теория упругости и пластичности [Текст] / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 416 с.

11 Гринченко, В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах [Текст] / В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко. - Киев : Наукова думка, 1981. - 284 с.

12 Демидов, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Демидов. - М. : Высш. шк., 1979.-432 с.

13 Ермоленко Г. Ю. Решение второй начально-краевой задачи линейной теории упругости для тел конечного объёма из изотропного материала [Текст] / Г. Ю. Ермоленко // ИНПРИМ-98 : 3-й Сиб. конгр. по прикладн. и индустр. математике, 22-27 июня, 1998 г. - Новосибирск, 1998. - С. 97.

14 Ермоленко, Г. Ю. Решение динамической задачи анизотропной теории упругости со смешанными краевыми условиями [Текст] / Г. Ю. Ермоленко // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2003. - И 19. - С. 86-88.

15 Иванычев, Д. А. Исследование изгиба анизотропных тонких плит методом граничных состояний [Текст] / Д. А. Иванычев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 19-23 сент. 2011 г.-Тула, 2011.-С. 119-122.

16 Ионов, В. Н. О возможных формах общего решения уравнений равновесия в криволинейных координатах [Текст] / В. Н. Ионов, Г. А. Введенский // Изв. вузов. Математика. - 1964. - N 6. - С. 59-66.

17 Ионов, В. Н. Прочность пространственных элементов конструкций [Текст]. В 2 т. Т. 2 : Статика и колебания / В. Н. Ионов, П. М. Огибалов. - М. : Высш. шк., 1979. - 536 с.

41 Пеньков, В. Б. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, А. А. Харитоненко // Изв. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Вып. 2. - Тула, 2006. - С. 167-175.

42 Пеньков, В. Б. Анализ гармонических полей методом граничных состояний [Текст] / В. Б: Пеньков, А. А. Харитоненко // Молодые учёные— производству : материалы регион, науч.-практ. конф., 20-21 апр. 2006 г. - Т. 2. - Старый Оскол, 2006. - С. 183-186.

43 Пеньков, В. Б. Генерирование базиса пространства состояний колеблющейся упругой среды [Текст] /В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Авиакосмические технологии «АКТ - 2008» : тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов, 10-12 сент. 2008 г. - М., 2008.-С. 169-173.

44 Пеньков, В. Б. Компьютерная алгебра в методе граничных состояний [Текст] / В. В. Пеньков, А. Н. Рожков // Соврем, проблемы механики и при-кладн. математики: сб. тр. междунар. шк.-семинара, 12-16 сент. 2005 г. В 2 ч. 4.2.-Воронеж, 2005.-С. 134-141.

45 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в задачах термоупругости с участием объёмных сил [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, Д. В. Викторов // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Т. 2. - Вып. 4. - Тула, 2008. - С. 107-117.

46 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в задачах термоэластоста-тики со связанными граничными условиями [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. В. Викторов, Л. В. Саталкина // Теория и практика производства листового проката. Май 2008 г. : сб. науч. тр. В 2 ч. Ч. 2. - Липецк, 2008. - С. 280-284.

47 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости [Текст] / В. Б. Пеньков, А. Н. Рожков // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика : сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря.-Т. 11.-Вып. 2.-Тула, 2005.-С. 101-106.

48 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики [Текст] / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков //Дальневост. мат. журн.

- 2001. - Т. 2, N 2. - С. 115-137.

49 Пеньков, В. Б. Метод состояний на основе уравнений Кильчевского для анализа трёхмерных установившихся колебаний [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев// Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011.- N1(22). -С. 269-275.

50 Пеньков, В. Б. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода распознавания состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, А. А. Харито-ненко // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл., 28-30 нояб. 2006 г. - Тула, 2006. - С. 169-171.

51 Пеньков, В. Б. Нелинейные термоупругие состояния областей с коническими точками [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 24-27 нояб. 2009 г. - Тула, 2009. - С. 251-252.

52 Пеньков, В. Б. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / В, Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО : сб. докл., 22-25 апр. 2008 г. - Новочеркасск, 2008.

- С. 66-69.

53 Пеньков, В. Б. Общее решение уравнений Кильчевского: пространственные колебания упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Теория и практика производства листового проката : сб. науч. тр., 29-30 мая 2008 г. В 2 ч. Ч. 2. - Липецк, 2008. - С. 284-287.

54 Пеньков, В. Б. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума [Текст] /В.Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика : сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Т. 6. - Вып. 2. - Тула, 2000. -С. 124-127.

55 Пеньков, В. Б. Пространства состояний: фундаментальный подход к решению задач математической физики [Текст] / В. Б. Пеньков, А. А. Харито-ненко // Вестн. ЛГПУ. Сер. Математика. Информац. технологии. Физика, естеств. науки. - 2006. - Т. 1, вып. 2. - С. 132-134.

56 Пеньков, В. Б. Развитие метода граничных состояний на класс анизотропных тел [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО : сб. докл., 22-25 апр. 2009 г. - Новочеркасск, 2009. - С. 63-66.

57 Пеньков, В. Б. Развитие метода граничных состояний на класс задач термоупругости [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. В. Викторов, Л. В. Саталкина // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 20-22 нояб. 2008 г. - Тула, 2008. - С. 274-277.

58 Пеньков, В. Б. Решение анизотропных задач теории упругости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., 22-24 июня 2009 г. В 2 ч. Ч. 2. - Воронеж, 2009. - С. 112-114.

59 Пеньков, В. Б. Решение задачи Сен-Венана для анизотропного цилиндра методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 24-27 нояб. 2009 г. - Тула, 2009. - С. 250-251.

60 Пеньков, В. Б. Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря.-Вып. 6.-Тула, 2010.-С. 88-91.

61 Пеньков, В. Б. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Вести высш. учебн. заведений Черноземья. - 2010. - N 2. - С. 31-35.

62 Пеньков, В. Б. Состояния равномерно вращающегося изотропно-упругого шара при различных граничных условиях [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. В. Викторов, Л. В. Саталкина // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики. Механика. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Вып. 3. - Тула, 2007. -С. 176-183.

63 Пеньков, В. Б. Стационарная задача термоупругости со связанными граничными условиями [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, Д. В. Викторов // Авиакосмические технологии «АКТ - 2008» : тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов, 10-12 сент. 2008 г. - М., 2008.-С. 173-177. '

64 Пеньков, В. Б. Численно-аналитические решения двумерных задач о колебаниях упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Тр. ТГУ. Сер. Физ.-мат. / под общ. ред. проф. А. А. Глазунова. - Т. 276. - Томск, 2010. -С. 170-173.

65 Пеньков, В. Б. Эффективные алгоритмы метода граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина //Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Вып. 6. - Тула, 2010. - С. 91-96.

66 Пеньков, В. В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики [Текст] : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / В. В. Пеньков. - Тула, 2002. - 98 с.

67 Пеньков, В. В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды [Текст] / В. В. Пеньков // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика : сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Т. 4. - Вып. 2. - Тула, 1998. - С. 128-134.

68 Пеньков, В. В. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации [Текст] / Трещев А. А., Пеньков В. В. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика : сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Т. 6. - Вып. 2. - Тула, 2000. - С. 153-159.

69 Поручиков, В. Б. Методы динамической теории упругости [Текст] / В. Б. Поручиков. - М. : Наука, 1986. - 328 с.

70 Постановка и решение задачи восстановления волнового поля в упругой конструкции [Текст] / Бобровницкий Ю. И [и др.] // Доклады АН. - 1998. -Т. 359,N2.-С. 190-193.

71 Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела [Текст] / Ю. Н. Работнов. - М. : Наука, 1988. - 712 с.

72 Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике [Текст] : пер. с англ. / К. Ректорис. - М. : Мир, 1985. - 590 с.

73 Саталкина, Л. В. Метод граничных состояний с возмущениями в линейных задачах для неоднородных сред [Текст] / Л. В. Саталкина // Перспективы науки. - 2010.-Ы 3 (05). - С. 48-51.

74 Саталкина, Л. В. Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей [Текст] / Л. В. Саталкина // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. - Вып. 5. - Тула, 2009.-С. 157-160. •

75 Седов, Л. И. Механика сплошной среды [Текст]. В 2 т. Т. 1 / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1970, - 492 с.

76 Слободянский, М. Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженных через гармонические функции [Текст] / М. Г. Слободянский // ПММ. - 1954. - Т. 18. - С. 55-74.

77 Соловьёв, Ю. И. Представление общего решения теории упругости в тороидальных координатах при помощи обобщённых аналитических функций [Текст] / Ю. И. Соловьёв, О. М. Гейнц // Сиб. журн. индустр. математики. -1999.-Т. 2,Ы 1.-С. 164-166.

78 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания : сб. тр., 24-25 сент. 2008 г. - Липецк, 2008. - С. 264-267.

79 Стебенев, И. Н. Применение метода граничных состояний для решения задач вынужденных колебаний упругого изотропного тела [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., 20-22 сент. 2010 г. - Воронеж, 2010. - С. 333-342.

80 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи вынужденных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 19-23 сент. 2011 г. - Тула, 2011. - С. 199-204.

81 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи стационарных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., 26-28 сент. 2011 г. - Воронеж, 2011. - С. 376-382.

82 Теплова, С. С. Взаимодействие упругого слоя с жесткой сфероидальной поверхностью [Текст] / С. С. Теплова, В. Б. Пеньков, А. С. Шульмин // Соврем, проблемы математики, механики, информатики : сб. докл. междунар. науч. конф., 17-21 сент. 2012 г. - Тула, 2012. - С. 225-227.

83 Трёхмерные задачи математической теории упругости [Текст] / В. Д. Купрадзе [и др.]; под ред. В. Д. Купрадзе. - М. : Наука, 1976. - 664 с.

84 Уилкинсон, Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений [Текст] : пер. в англ. / Дж. X. Уилкинсон. - М. : Наука, 1970, - 564 с.

85 Филоненко-Бородич, М. М. Теория упругости [Текст] / М. М. Фило-ненко-Бородич. - М. : Физматгиз, 1959. - 364 с.

86 Харитоненко, А. А. Анализ кручения призматического тела методом граничных состояний [Текст] / А. А. Харитоненко // Прогрессивные технологии и оборудование в машиностроении и металлургии : сб. науч. тр. междунар. науч.-техн. конф., 11-12 мая 2006 г. В 2 ч. Ч. 2. - Липецк, 2006. - С. 252-255.

87 Харитоненко^ А. А. Новый метод анализа электростатических полей [Текст] / А. А. Харитоненко // Энергетика и энергоэффективн. технологии : сб. докл. междунар. науч.-техн. конф., посвящен. 50-летию ЛГТУ, 18-20 окт. 2006 г. В 2 ч. Ч. 1.-Липецк, 2006.-С. 130-134.

88 Харитоненко, А. А. Особенности применения нового энергетического метода для расчёта электростатического поля [Текст] / А. А. Харитоненко // Современная металлургия начала нового тысячелетия : сб. докл. междунар. науч.-технич. конф., посвящ. 50-летию ЛГТУ, 31 окт.-З нояб. 2006 г. В 4 ч. Ч. 4. - Липецк, 2006. - С. 80-84.

89 Хуторянский, Н. М. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости [Текст] /Н. М. Хуторянский, X. A. Coca, В. Зу // Прикладн. проблемы прочности и пластичности. - 1997. - С. 183-195.

90 Ben-Menahem, A. A concise history of mainstream seismology: origins, legacy, and perspectives [Text] / A. Ben-Menahem // BSSA. - 1995. - Vol. 85, N 4. -P. 1202-1225.

91 Cagniard, L. Reflection and refraction of progressive seismic waves [Text] / L. Cagniard. - New York : Mc Graw-Hill, 1962. - 282 p.

92 Ding, H. General solutions of coupled thermoelastic problem [Text] / H. Ding, F. Guo, P. Hou //Appl. Math, and Mech. - 2000. - Vol. 21, N 6. - P. 631-636.

93 General solutions and fundamental solutions of varied orders to the vibrational thin, the Berger, and the Winkler plates / Chen W. [et al.] // Eng. Anal. Boundary Elem. - 2005. - Vol. 29, N 7. - P. 699-702.

94 Hortal, M. Use of Reduced Gaussian Grids in Spectral Models [Text] / M. Hortal, A.J. Simmons // Month. Weather Rev. - 1991. - Vol.119, N. 4. -P. 1057-1074.

95 Ignaczak, J. Direct Determination of Stresses from the Stress Equations on Motion in Elasticity [Text] / J. Ignaczak // Arch. Mech. Stos. - 1959. - Vol. 11, N5.-P. 671-678.

96 Ignaczak, J. On the Stress Equations of Motion in the Linear Thermoelastic-ity [Text] / J. Ignaczak // Arch. Mech. Stos. - 1963. - Vol. 15, N 5. - P. 691-695.

97 Juang, H-M. H. A reduced spectral transform for the NCEP seasonal forecast global spectral atmospheric model [Text] / H-M. H. Juang // Month. Weather Rev. - 2004. - Vol. 132, №4. - P. 1019-1035.

98 Khutoryansky, N. M. Dynamic representation formulas and fundamental solution for piezoelasticity [Text] / N. M. Khutoryansky, H. Sosa // Int. J. Solids Struct. - 1995. - Vol. 32, Issue 22. - P. 3307-3325.

99 Kobayashi, M. Green's functions for a steady state heat source in an infinite transversely isotropic elastic solid [Text] /M. Kobayashi, H. Koguchi, T. Kondo // JSME. Ser. A. - 1997. - Vol. 63. - P. 1656-1662.

100 Love, A. E. H. The propagation of wave motion in an isotropic elastic solid medium [Text] / A. E.H. Love //Proc. London Math. Soc. - 1904. - S. 2-1. -P. 291-344.

101 McGregor, J. L. Semi-Lagrangian advection on conformal-cubic grids [Text] /J. L. McGregor //Month. Weather Rev. - 1996. - Vol. 124, N6. -P. 1311-1322.

102 Moser, Friedrich. Nicht-singuläre räumliche Randelement formulierung der Elastodynamik [Text] / Friedrich Moser // Ber. aus dem Inst, für Angew. und Experimentelle Mech. der Univ. Stuttgart. - 2001. - N 2. - P. 1-153.

103 Neuber, H. Ein neuer Ansatz zur Lösung räumlicher Probleme der Elastizitätstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel [Text] / H. Neuber // ZAMM. - 1934. - Vol. 14, Issue 4. - P. 203-212.

104 Radok, J. R. M. On the Solution of Problems of Dynamics Plane Elasticity [Text] / J. R. M. Radok // Quart. Appl. Math. - 1956. - Vol. 14. - P. 289-298.

105 Reutskiy, S. Yu. The method of fundamental solutions for problems of free vibrations of plates [Text] / S. Yu. Reutskiy // Eng. Anal. Boundary Elem. - 2007. -Vol. 31, N 1. -P. 10-21.

106 Somigliana, C. Sopra Alcune Formole Fondamentali della Dinamica dei Mezzi Isotropi [Text] / C. Somigliana // Atti R. Accad. Sei. Torino CI. SCi. Fis. Mat. Natur. - 1905 ; 1906. - Vol. 41. - P. 869-885 ; 1070-1080.

107 Stokes, G. G. On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids [Text] / G. G. Stokes. // Phil. Trans. R. Soc. A. - 1849. - Issue 8. - P. 287-319.

108 Thompson, W. Note on the integration of the equations of equilibrium of an elastic solid [Text] /W. Thompson //Cambridge and Dublin Math. J. - 1848. -Vol. 3.-P. 87-89.

109 Xu, Xu, Shan, Feng. Three-dimensional vibration of thick plate [Text] / Xu Xu, Feng Shan // J. of Shanghai Univ. (Engl. Ed.). - 1998. - Vol.2, N2. -P. 112-116.

110 Zhang, Y. Vibrations of rectangular stepped plates [Text] / Y. Zhang, Ch. Jiang // Chin. J. of Appl. Mech. - 1998. - Vol. 15, N 4. - P. 109-115.